不等关系与不等式 ppt课件
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3.1.1不等关系和3.1.2不等关系与不等式(一)课件ppt
a a－ b a (2)当 a＝b 时， ＝1，a－b＝0，∴ ＝1， b b
∴aabb＝abba.(8 分) a (3)当 a＜b 时，0＜ ＜1，a－b＜0， b
a a－b ∴ ＞1，∴aabb＞abba.(11 分) b
综上可知，当 a＞0，b＞0 时，aabb≥abba.(12 分)
课堂讲练互动
自学导引
1．关于a≥b或a≤b的含义 (1)a＞b或a＜b，表示严格的不等式． 大于或等于b 或者a (2)不等式“a≥b”读作“_____________”．其含义是指“_____ ＞b，或者a＝b ______________”，等价于“a不小于b”，即a＞b或a＝b中有
一个正确，则a≥b正确． a小于或等于b (3)不等式“a≤b”读作“______________”．其含义是指“或者 a不大于b a＜b，或者a＝b”，等价于“__________”，即a＜b或a＝b中 有一个正确，则a≤b正确．
解 1)(x
2
(x3－1)－(2x2－2x)＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)＝(x－
1 2 3 －x＋1)＝(x－1)x－ ＋ 2 4
12 3 ∵x＜1，∴x－1＜0，又x－ ＋ ＞0. 2 4 1 2 3 ∴(x－1)[x－ ＋ ]＜0，∴x3－1＜2x2－2x. 2 4
课前探究学习
课堂讲练互动
【题后反思】 (1)作商比较法的应用条件，利用作商比较 法的前提是两个数需同号，一般情况下，比较两个正数间 的大小关系多用作商法． (2)作商法的基本步骤： ①作商；②变形；③判断与1的大小；④得出结论．
课前探究学习
课堂讲练互动
【训练3】 若m＞0，比较mm与2m的大小．
∴aabb＝abba.(8 分) a (3)当 a＜b 时，0＜ ＜1，a－b＜0， b
a a－b ∴ ＞1，∴aabb＞abba.(11 分) b
综上可知，当 a＞0，b＞0 时，aabb≥abba.(12 分)
课堂讲练互动
自学导引
1．关于a≥b或a≤b的含义 (1)a＞b或a＜b，表示严格的不等式． 大于或等于b 或者a (2)不等式“a≥b”读作“_____________”．其含义是指“_____ ＞b，或者a＝b ______________”，等价于“a不小于b”，即a＞b或a＝b中有
一个正确，则a≥b正确． a小于或等于b (3)不等式“a≤b”读作“______________”．其含义是指“或者 a不大于b a＜b，或者a＝b”，等价于“__________”，即a＜b或a＝b中 有一个正确，则a≤b正确．
解 1)(x
2
(x3－1)－(2x2－2x)＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)＝(x－
1 2 3 －x＋1)＝(x－1)x－ ＋ 2 4
12 3 ∵x＜1，∴x－1＜0，又x－ ＋ ＞0. 2 4 1 2 3 ∴(x－1)[x－ ＋ ]＜0，∴x3－1＜2x2－2x. 2 4
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【题后反思】 (1)作商比较法的应用条件，利用作商比较 法的前提是两个数需同号，一般情况下，比较两个正数间 的大小关系多用作商法． (2)作商法的基本步骤： ①作商；②变形；③判断与1的大小；④得出结论．
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【训练3】 若m＞0，比较mm与2m的大小．
课件高一数学必修：不等关系与不等式PPT课件_优秀版
x
≥
0
y ≥ 0
这是一个二元一次不等式组的问题
例 1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
作差
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 变形
7
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0 定符号
转化为数学问题：a 克糖水中含有 b 克糖(a>b>0)，
若再加 m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
怎么解决这个数学问题?
分析:起初糖水的浓度为 b ,加入 m 克糖后的糖 a
水浓度为 b m ,只要证明 b m b 即可,怎么
am
am a
证呢? 这是一个不等式的证明问题
问题 2: 某杂志以每本 2.5 元的价格发行时，可以售出 8 万 册．经过调查，若价格每提高 0.1 元，销售量就相应减少 2000 册．要使杂志社的销售收入不低于 20 万元，每本杂志的价
得到相反的结论，从而误解。
1.不等关系和不等 0
小
a b ab 0
结
a b ab 0
3.作差法的步骤：
（1）作差→（2）变形→（3）定号→（4）结论
其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；通分，分子 /分母有理化等，必要时进行讨论。
4、作商法步骤：（1）作商；（2）变形； （3）判断商与1的大小；（4）结论。
证明: =x2(x－1)+(x－1) ∵ b m b (b m)a (a m)b
作差
a m a (a m)a 今天的天气预报说：明天早晨最低温度t为7℃，明天白天的最高温度t为13℃;
=x2(x－1)+(x－1)
不等关系与不等式课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册 (2)
3.三角型两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，写成不等式：
设三边长为a,b,c,则a+b>c,a-b<c 4.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，
垂线段最短，写成不等式：如图， CD<CE
【提升总结】
将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中 关键性的文字语言与数学符号间的正确转换.
思考1：这会标中含有怎样的几何图形？ 思考2：你能否在这个图案中找出一些相等 关系或不等关系？
D
a2 b2
bห้องสมุดไป่ตู้
G
F
A
aHE
1、正方形ABCD的面积S=＿a＿2 ＿＿b＿2
C ２、四个直角三角形的面积和S’ =＿2＿ab
３、S与S’有什么样的不等关系？
S___>__S′
B 问：那么它们有相等的情况吗？
2如果a b 0, c d 0,那么ac _<__ bd;
3如果a
b
0,
那
么
1 a2
_<__
1 b2
;
4如果a b c 0,那么 c _<__ c .
ab
课本P42T2
当堂达标：
已知 6 a 8,2 b 3,求2a b, a b及 a 的取值范围. b
1.不等式的基本性质； 2.不等式基本性质的应用. 3.不等式的基本性质列表
不等式是否有类似性质呢？ 带着这个问题，我们继续学习！
探究点4 不等式的性质
(1)a > b b < a; （对称性) (2)a > b,b > c a > c；(传递性)
(3) a > b a + c > b + c； (可加性)
设三边长为a,b,c,则a+b>c,a-b<c 4.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，
垂线段最短，写成不等式：如图， CD<CE
【提升总结】
将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中 关键性的文字语言与数学符号间的正确转换.
思考1：这会标中含有怎样的几何图形？ 思考2：你能否在这个图案中找出一些相等 关系或不等关系？
D
a2 b2
bห้องสมุดไป่ตู้
G
F
A
aHE
1、正方形ABCD的面积S=＿a＿2 ＿＿b＿2
C ２、四个直角三角形的面积和S’ =＿2＿ab
３、S与S’有什么样的不等关系？
S___>__S′
B 问：那么它们有相等的情况吗？
2如果a b 0, c d 0,那么ac _<__ bd;
3如果a
b
0,
那
么
1 a2
_<__
1 b2
;
4如果a b c 0,那么 c _<__ c .
ab
课本P42T2
当堂达标：
已知 6 a 8,2 b 3,求2a b, a b及 a 的取值范围. b
1.不等式的基本性质； 2.不等式基本性质的应用. 3.不等式的基本性质列表
不等式是否有类似性质呢？ 带着这个问题，我们继续学习！
探究点4 不等式的性质
(1)a > b b < a; （对称性) (2)a > b,b > c a > c；(传递性)
(3) a > b a + c > b + c； (可加性)
不等关系与不等式 课件
(2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条 性质是否具有可逆性．
用不等式(组)表示不等关系
[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情 况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20 台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：
家电名称 空调
彩电
冰箱
工时(h)
1 2
用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值 范围． [解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．
数式的大小比较
[典例] (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与1a的大小． [解] (1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)x－122＋34. ∵x<1，∴x－1<0.又x－122＋34>0， ∴(x－1)x－122＋34<0. ∴x3－1<2x2－2x.
(2)因为a－1a＝a2－a 1＝a－1aa＋1， 因为a>0，所以当a>1时，a－1aa＋1>0，有a>1a； 当a＝1时，a－1aa＋1＝0，有a＝1a； 当0<a<1时，a－1aa＋1<0，有a<1a. 综上，当a>1时，a>1a； 当a＝1时，a＝1a； 当0<a<1时，a<1a.
用不等式(组)表示不等关系
[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情 况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20 台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：
家电名称 空调
彩电
冰箱
工时(h)
1 2
用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值 范围． [解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．
数式的大小比较
[典例] (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与1a的大小． [解] (1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)x－122＋34. ∵x<1，∴x－1<0.又x－122＋34>0， ∴(x－1)x－122＋34<0. ∴x3－1<2x2－2x.
(2)因为a－1a＝a2－a 1＝a－1aa＋1， 因为a>0，所以当a>1时，a－1aa＋1>0，有a>1a； 当a＝1时，a－1aa＋1＝0，有a＝1a； 当0<a<1时，a－1aa＋1<0，有a<1a. 综上，当a>1时，a>1a； 当a＝1时，a＝1a； 当0<a<1时，a<1a.
不等关系与不等式 ppt课件
(2)a是负数
a＜0
(3)x与3的和小于6 x+3＜6
(4)x与2的差大于-1 x-2＞-1
(5)x的4倍大于等于7 4x≥7
(6)y的一半小于3
1 2
y＜3
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不等式和它的基本性质
例1.用不等式表示：
(1) a是负数；(2) a是非负数；
(3) x的6倍减去3大于10；
(4)y的
……
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10
2020/12/2
11
A A
2020/12
1 不等关系
在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理，
并且根据这一原理设计出了一些简单机械，
并把它们用到了生活实践当中．
由此可见，“不相等”处处可见.
从今天起，我们开始学习一类新的数学知识：不等式．
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不等词为_不__少__于__， m 2.5%
用不等式组来表示：_____n___2_._3_%_.
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文字语言与数学符号间的转换.
文字语言
数学符号
大于、多于、高于、超过…
>
小于、少于、低于、落后于… <
大于等于、不小于、不少于… ≥
小于等于、不大于、不多于… ≤
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19人的普通票花费
190元
若选择20人的团体票花费 160元
此情况下购买团体票能得到更大实惠.
是否选择团体票就一定实惠？ 若1人去肯定会选择普通票.
那么满足什么样的不等关系时，消费者 能得到更大实惠？
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23
例2.某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万 册.经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少 5000册.若设每本杂志的定价提高x元，怎样才能使 杂志社的销售收入超过22.4万元？（不求解）
3-1《不等式与不等关系》课件(共29张PPT)
判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、 通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形 定符号 确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、 通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形 定符号 确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
2.1.1不等关系与重要不等式课件(人教版)
∴ 2 + 2 + 2 ≥ + + .
当且仅当 = = 时，等号成立
4 课堂训练
4
课堂训练
C
C
4
课堂训练
≥ 0
+ >
16 ≤ ≤ 18
2 + 2 > 3
5 预习自测
5
预习自测
√
√
×
√
5
预习自测
C
<
= 2 + 5 + 6 − 2 + 5 + 4
=2
∵2＞0，
∴ +2 +3 ＞ +1 +4 .
作差
变形
0是相等与不等的分界
限，它也为比较实数的大
定号
定论
小提供了标杆.
2
实数大小的比较
再
已知，均为正数，且 ≠ ，比较3 + 3与2 + 2的大小
【解】运用作差法：
【问题4】 ：如何证明重要不等式？
2
2
2
证明： (a b ) - 2ab (a b)
当a b时, (a b) 0
2
当a b时, ( a b )2 0
(a 2 b 2 ) 2ab 0,
当 且 仅 当 a b时 ， 等 号 成 立 。
3
一个重要不等式
B
D
（3）S与S’会出现相等的情况吗，什么时候相
当a=b时
等？ 当a=b时，S=S'，即 + =
A
C
E(FGH)
B
综上， + ≥
重要不等式
当且仅当 = = 时，等号成立
4 课堂训练
4
课堂训练
C
C
4
课堂训练
≥ 0
+ >
16 ≤ ≤ 18
2 + 2 > 3
5 预习自测
5
预习自测
√
√
×
√
5
预习自测
C
<
= 2 + 5 + 6 − 2 + 5 + 4
=2
∵2＞0，
∴ +2 +3 ＞ +1 +4 .
作差
变形
0是相等与不等的分界
限，它也为比较实数的大
定号
定论
小提供了标杆.
2
实数大小的比较
再
已知，均为正数，且 ≠ ，比较3 + 3与2 + 2的大小
【解】运用作差法：
【问题4】 ：如何证明重要不等式？
2
2
2
证明： (a b ) - 2ab (a b)
当a b时, (a b) 0
2
当a b时, ( a b )2 0
(a 2 b 2 ) 2ab 0,
当 且 仅 当 a b时 ， 等 号 成 立 。
3
一个重要不等式
B
D
（3）S与S’会出现相等的情况吗，什么时候相
当a=b时
等？ 当a=b时，S=S'，即 + =
A
C
E(FGH)
B
综上， + ≥
重要不等式
不等关系与不等式 课件
不等式性质的应用
[探究问题] 1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b<3， ∴13<1b<12， 又∵－6<a<8， ∴－2<ab<4. 你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变， 但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a<8.不明确 a 值 的正负．故不能将31<b1<21与－6<a<8 两边分别相乘，只有两边都是正数的同向 不等式才能分别相乘．
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？ 提示：不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相 除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意 “创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵－2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
0<x≤18，
x15－2x≥110.
[规律方法] 1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等 关系． 2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间 的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量 即可．
3．用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、 不少于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
不等关系与不等式ppt课件演示文稿
第五单元
不等式、推理与证明
第一节 不等关系与不等式
基础梳理
1. 不等式的定义：用不等号≠、＞、＜、≥、≤ 连接 两个数或代数式 的式子叫做不等式. 2. 不等式的基本性质 (1)a＞b b＜a; (2)a>b,b>c a > c; (3)a>b a+c > b+c; (4)a>b,c>0 ac > bc; (5)a>b,c<0 ac＜bc; (6)a>b,c>d a+c > b+d; (7)a>b>0,c>d>0 ac > bd; > n b. (8)a>b>0,n∈N*,n>1 an > bn,n a ____
2
易错警示
【例】（2010· 辽宁）已知-1＜x+y＜4且2＜x-y＜3， 则z=2x-3y的取值范围是 （答案用区间表示）.
错解 ∵-1＜x+y＜4，① 2＜x-y＜3，② ∴-3＜-x+y＜-2,③ 1 7 由①+②得 2 ＜x＜2 ，由①+③得-2＜y＜1， ∴1＜2x＜7，-3＜-3y＜6,-2＜2x-3y＜13， ∴z的取值范围是（-2，13）.
变式3-1 已知- 2 ≤ a<b ≤ ，求 2 ， 2 的取值范围． 2 解析：∵- 2 ≤a< 2 ， ① - <b ≤ 2 ， ② ①+②得-p<a+b<p，∴- 2 < 2 < 2 . ∵- 2 <b ≤ 2 ，∴- 2 ≤ -b < 2 . ③ ①+③得-p≤a-b<p，∴- 2 ≤ < . 2 2 又a<b，∴ 2 <0，∴- ≤ 2 <0.
不等式、推理与证明
第一节 不等关系与不等式
基础梳理
1. 不等式的定义：用不等号≠、＞、＜、≥、≤ 连接 两个数或代数式 的式子叫做不等式. 2. 不等式的基本性质 (1)a＞b b＜a; (2)a>b,b>c a > c; (3)a>b a+c > b+c; (4)a>b,c>0 ac > bc; (5)a>b,c<0 ac＜bc; (6)a>b,c>d a+c > b+d; (7)a>b>0,c>d>0 ac > bd; > n b. (8)a>b>0,n∈N*,n>1 an > bn,n a ____
2
易错警示
【例】（2010· 辽宁）已知-1＜x+y＜4且2＜x-y＜3， 则z=2x-3y的取值范围是 （答案用区间表示）.
错解 ∵-1＜x+y＜4，① 2＜x-y＜3，② ∴-3＜-x+y＜-2,③ 1 7 由①+②得 2 ＜x＜2 ，由①+③得-2＜y＜1， ∴1＜2x＜7，-3＜-3y＜6,-2＜2x-3y＜13， ∴z的取值范围是（-2，13）.
变式3-1 已知- 2 ≤ a<b ≤ ，求 2 ， 2 的取值范围． 2 解析：∵- 2 ≤a< 2 ， ① - <b ≤ 2 ， ② ①+②得-p<a+b<p，∴- 2 < 2 < 2 . ∵- 2 <b ≤ 2 ，∴- 2 ≤ -b < 2 . ③ ①+③得-p≤a-b<p，∴- 2 ≤ < . 2 2 又a<b，∴ 2 <0，∴- ≤ 2 <0.
不等关系与不等式课件
x 2.5 0.2万 本 0.1
因此，销售总收入为： x 2.5 (8 0.2)x万 元 0.1 用不等式表示为：
x 2.5 (8 0.2) x 20 0.1
小组探究： 假设截得500mm的钢管x根，截得600mm 的钢管y根.根据题意，应当有什么样的不 等关系呢？ (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm； (2)截得600mm钢管的数量不能超过 500mm的钢管数量的3倍；
一.问题情境
轻重
实际生活中
长短
大小
高矮
在数学上
B
AB<AB
A C
AB+A C>BC
B A
AB-A C<BC
不等式:
用不等号（＜、＞、≤、≥、≠） 连接表示不等关系的式子叫不等式。
二.新知讲解
（一）用不等式来表示不等关系
引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路 段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h， 不超过，写成不等式就是：________. 不等词为________ 引例2：有将销售，凡一次性消费金额a不低于60元 的顾客，可凭收银条参加抽奖活动， 不低于 不等词为_______ ，写成不等式是：_______. 引例3：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的 含量m应不少于2.5%，蛋白质的含量n应不少于2.3%， 不少于 不等词为_______ ， m 2.5% 用不等式组来表示： ____________.
(3)截得两种钢管的数量都不能为负.
上面三个不等关系，是“且”的关系，要 同时满足的话，可以用下面的不等式组来 表示：
500 x 600 y 4000 3 x y x 0 y 0
因此，销售总收入为： x 2.5 (8 0.2)x万 元 0.1 用不等式表示为：
x 2.5 (8 0.2) x 20 0.1
小组探究： 假设截得500mm的钢管x根，截得600mm 的钢管y根.根据题意，应当有什么样的不 等关系呢？ (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm； (2)截得600mm钢管的数量不能超过 500mm的钢管数量的3倍；
一.问题情境
轻重
实际生活中
长短
大小
高矮
在数学上
B
AB<AB
A C
AB+A C>BC
B A
AB-A C<BC
不等式:
用不等号（＜、＞、≤、≥、≠） 连接表示不等关系的式子叫不等式。
二.新知讲解
（一）用不等式来表示不等关系
引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路 段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h， 不超过，写成不等式就是：________. 不等词为________ 引例2：有将销售，凡一次性消费金额a不低于60元 的顾客，可凭收银条参加抽奖活动， 不低于 不等词为_______ ，写成不等式是：_______. 引例3：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的 含量m应不少于2.5%，蛋白质的含量n应不少于2.3%， 不少于 不等词为_______ ， m 2.5% 用不等式组来表示： ____________.
(3)截得两种钢管的数量都不能为负.
上面三个不等关系，是“且”的关系，要 同时满足的话，可以用下面的不等式组来 表示：
500 x 600 y 4000 3 x y x 0 y 0
2025届高中数学一轮复习课件《不等式与不等关系》ppt
B．2ba＜log2(a＋b)＜a＋1b
C．a＋1b＜log2(a＋b)＜2ba
D．log2(a＋b)＜a＋1b＜2ba
1 解析：令 a＝3，b＝13，则 a＋1b＝6，1＜log2(a＋b)＝log2130＜2，2ba＝233＝214，即 a＋1b＞
log2(a＋b)＞2ba.故选 B．
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第21页
方法二(作商法)：∵p＝a3a＋bb3＝a＋baa2－b ab＋b2， ∴pq＝a2－aabb＋b2≥2aba－b ab＝1， 应用基本不等式：a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时等号成立. 此题还有另一妙解：p＝ba2＋ ab2＝ba2＋a＋ab2＋b－(a＋b)≤2b＋2a－(a＋b)＝a＋b＝q. 当且仅当 a＝b 时等号成立． ∵q＜0，∴p≤q.故选 B．
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第14页
重难题型 全线突破
高考一轮总复习•数学
第15页
题型 不等式简单性质的理解
典例 1(1)若 a，b 都是实数，则“ a－ b＞0”是“a2－b2＞0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0，能推出1a＜1b成立 的是________．
解析 答案
高考一轮总复习•数学
4．“a＋b＞2c”的一个充分条件是( )
A．a＞c 或 b＞c
B．a＞c 且 b＜c
C．a＞c 且 b＞c
D．a＞c 或 b＜c
第13页
解析：对于 A，a＞c 或 b＞c，不能保证 a＋b＞2c 成立，故 A 错误；对于 B，a＞c 且 b＜c，不能保证 a＋b＞2c 成立，故 B 错误；对于 C，a＞c 且 b＞c，由同向不等式相加的 性质，可以推出 a＋b＞2c，故 C 正确；对于 D，a＞c 或 b＜c，不能保证 a＋b＞2c 成立， 故 D 错误．故选 C．
2.1 不等关系与不等式1共13张PPT
理 a - b < 0 <=> a < b
比较两数（式）的大小的最基本和首选的方法：
归纳逻辑过程： 作差 变形 判断符号
讲
课
人
：
邢
启 强
7
例题讲评 例3.比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.
练习：
已知x 0,比较 x2 1 2与x4 x2 1的大小.
讲 想一想 : 在上题中, 如果没有x 0这个条件,
邢
启 强
9
讲
课
人
：
邢启 强2来自课引入4、右图是限速40km/h的路标，指 示司机在前方路段行驶时，应使汽 车的速度v不超过40km/h ，写成
不等式是：__0__<_v_≤_4__0
40
5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂 肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应
不少于2.3%，用不等式可以表示为：( B,C )
课
人
： 邢 启
那么两式的大小关系如何 ?
强
8
课堂小结
1．不等关系是普遍存在的
2．用不等式（组）来表示不等关系
3．不等式基本原理 a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b
4．作差比较法
讲 课
步骤：作差，变形，定号
人
：
不等式的定义：
用不等号连接两个解析式所得的式子，
叫做不等式．
说明：1 不等号的种类：＞、＜、 、 、 ．
2 解析式是指：代数式和超越式
包括指数式、对数式和三角式等
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abab0 这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又 推导不等式的性质的基础. 作差比较法其一般步骤是:
作差
变形
判断
结论
因式分解、配方、 通分等手段
探究（一）：不等式的基本性质
思考1：若甲的身材比乙高，则乙的身材比甲矮， 反之亦然.从数学的观点分析，这里反映了一个不 等式性质，你能用数学符号语言表述这个不等式性 质吗？
不超过，
(2)将以上两个不等不 关等 系式 (用 组)表示?
v40
学生活动
实例2 这是某酸奶的质量检查规定
脂肪含量（f） 蛋白质含量（p） 不少于2.5％ 不少于2.3％
从表格中你能获得什么信息？ 用数学关系来反映就是： f≥2.5% p≥2.3%
小于、大于、不小于、不大于、少于、多于、 不少于、不多于、至多、最多、至少、最少
a＞b＞0 n a ＞ n b (n∈N*)
理论迁移
例1 已知a＞b＞0，c＜0， 求证: c c .
ab
例2 已知1 1 0 ，x＞y＞0，
ab
x 求证：x a
y yb
.
例3 若a＜b＜0，判断下列结论是否成
立.
1 （1） a
1 b
（2） a
1
b
1 a
（3） a 2 b2 （4）ac2＜bc2
三.建构数学
实际问题：不等关系
抽象 概括
刻画
数学问题：不等式
用今天所学的数学知识来解释生活中“糖 水加糖甜更甜”的现象.
不等式的证明（作差法）
对于任意两个实数 a、b，在 a＞b，a = b，a＜b 三种关系中有且仅有一种成立．
判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0
作差比较法
a＞b a+c＞b+c（可加性）
思考4：还有一个不争的事实：若甲班的 男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多， 则甲班的人数比乙班多. 这里反映出的 不等式性质如何用数学符号语言表述？
a＞b，c＞d a+c＞b+d（同向可加性）
思考5：如果a＞b，c＞0，那么ac与bc的 大小关系如何？如果a＞b，c＜0，那么 ac与bc的大小关系如何？为什么？
§ 3.1 不等关系与不等式
一.问题情境
不等关系与不等式
轻重
长短
大小
高矮
不等关系与不等式 远横 近看 高成 低岭 各侧 不成 同峰
说一说 在数学中我们如何表示不等关系?
二、新课讲解
40
实例 1.限速 40km/h的路,标 指示司机在前方路
驶时 ,应使汽车的v不 速超 度4过0km/h.
思考: (1)以上不等关系中的不等 词？
a＞b b＜a（对称性）
思考2：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙高， 那么甲的身材比丙高，这里反映出的不等式性质 如何用数学符号语言表述？
a＞b，b＞c a＞c； a＜b，b＜c a＜c（传递性）
思考3：再有一个不争的事实：若甲的年薪比乙高， 如果年终两人发同样多的奖金或捐赠同样多的善款， 则甲的年薪仍然比乙高，这里反映出的不等式性质 如何用数学符号语言表述？
a＞b，c＞0 ac＞bc；
a＞b，c＜0 ac＜bc
思考6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ac与bd的大小关系如何？为什么？
a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd
思考7：如果a＞b＞0，n∈N*，那么an与 bn的大小关系如何？
a＞b＞0 an＞bn (n∈N*)
思考8：如果a＞b＞0，n∈N*，那么 n a 与 n b 的大小关系如何？