整式除法精讲专题辅导不分版本
专题1.7 整式的除法(第1课时)(分层练习,五大类型)(原卷版)
专题1.7 整式的除法（第1课时）（分层练习，五大类型）考查题型一、利用整式的除法法则进行计算1．计算：（1）（﹣3x﹣4）（3x﹣4）；（2）（12a3﹣6a2+3a）÷3a．2．计算：[（x+4y）（x﹣4y）﹣x2]÷4y．3．计算：（1）（12x4﹣8x3）÷2x；（2）．考查题型二、利用整式除法法则化简求值4．化简：（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x．5．先化简，再求值：[2（x﹣y）]2﹣（12x3y2﹣9x2y3）÷（3xy2），其中x＝﹣2，．6．化简求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2．考查题型三、利用整式运算法则解误算问题7．某天数学课上，学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容，他突然发现一道三项式除法运算题：（21x4y3﹣+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝+5xy﹣y．被除式的第二项被钢笔水弄污了，商的第一项也被钢笔水弄污了，你能算出两处被污染的内容是什么吗？8．小刚在计算一个多项式除以单项式的时候，不小心当成是乘，结果得2x5y2﹣x4y3﹣3x3y4+4x2，你能帮小刚求出正确的结果吗？9．已知A、B均为整式，A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“﹣”，这样他计算的正确结果为﹣x2y2．（1）将整式A化为最简形式；（2）求整式B；（3）求A÷B的正确结果．考查题型四、利用乘除运算求字母的值10．已知a•（x3y4）3÷（﹣x2+n y4）＝x2y2m，求实数a、m、n的值．11．将一多项式（17x2﹣3x+4）﹣（ax2+bx+c），除以（5x+6）后，得商式为（2x+1），余式为0，求a﹣b﹣c的值．考查题型五、利用已知等式探究规律求值12．观察下列式子：（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1；（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1；（1）根据以上式子，请直接写出（x n﹣1）÷（x﹣1）的结果（n为正整数）；（2）计算：1+2+22+23+24+ (22021)一、单选题1．下列运算结果正确的是（）A．a2•a5＝a10B．（﹣2a2）3＝﹣8a6C．24a3b2÷3ab2＝8a2b D．a2+a3＝a52．计算：（14a3b2﹣7ab2）÷7ab2的结果是（）A．2a2B．2a2﹣1C．2a2﹣b D．2a2b﹣13．下列计算正确的是（）A．x10÷x2＝x5B．（x3）2÷（x2）3＝xC．（15x2y﹣10xy2）÷5xy＝3x﹣2yD．（12x3﹣6x2+3x）÷3x＝4x2﹣2x4．长方形的面积是12a2﹣6ab．若一边长是3a，则另一边长是（）A．4a+2b B．4a﹣2b C．2a﹣4b D．2a+4b5．张芳家有一个圆柱形的塑料桶，体积是3πx3+6πx2，底面半径为x，则这个塑料桶的高为（）A．3x+6B．3πx+6C．3πx2+6πx D．3πx+6π6．已知M•（﹣2x2）＝8x5﹣18x3y3﹣2x2，则M＝（）A．﹣4x3﹣9xy3﹣1B．﹣4x3+9xy3+1C．﹣4x3+9xy3D．4x3+9xy3﹣17．已知A＝2x+6，B是多项式，在计算B﹣A时，小海同学把B﹣A错看成了B÷A，结果得x，那么B﹣A的正确结果为（）A．2x2+4x﹣6B．3x+6C．2x2+6x D．2x2+4x+68．墨迹污染了等式15x33x＝5x2（x≠0）中的运算符号，则污染的是（）A．+B．﹣C．×D．÷9．用一个容量为2GB（1GB＝210MB）的便携式优盘存储数码照片，若每张数码照片的文件大小都为16MB，则理论上可以存储的照片数是（）A．212张B．28张C．27张D．26张二、填空题10．计算：10a2b÷（﹣5ab）＝．11．计算：（4a3﹣a2）÷a2＝．12．填上合适的式子，使等式成立：（）．13．一个多项式除以﹣x2，结果是﹣x+2y，则这个多项式为．14．已知，A是一个多项式，小明在计算A+3x2时，错将“+”抄成了“÷”，运算结果得x2﹣3x﹣1，那么，原来算式A+3x2的计算结果应为．15．火星的体积约为1.35×1020立方米，地球的体积约为1.08×1021立方米，地球体积约是火星体积的倍．三、解答题16．计算：（5a3+20a2﹣15a）÷5a．17．计算：14a8b4÷7a4b4﹣a3•a﹣（2a2）2．18．已知一个长方形的面积为（6x2y+12xy﹣24xy3）平方厘米，它的宽为6xy厘米，求它的长为多少厘米？19．不论x、y取何非零实数，等式m（x a y b）3÷（2x3y2）2＝x3y2恒成立，求a、b、m 的值．20．小明在做一个多项式除以a的题时，由于粗心误认为乘以a，结果是8a4b﹣4a3+2a2，那么你能知道正确的结果是多少吗？21．一个工件的形状和部分尺寸如图所示，其体积为（a2+2a）（6a+1）﹣a（a2﹣2a+2），求工件的长x是多少（用含a的式子表示）．。
《整式的除法》课件
详细描述
例如，在进行整式除法时，误将整数3除以2算成3/2=1.5， 而正确的计算结果应为3/2=1.05。这种错误常常是由于计算 习惯引起的，需要学生在进行整式除法时特别注意计算方法 和计算细节。
括号与乘除混合运算混淆的错误
总结词
括号与乘除混合运算混淆的错误是指在运算中，括号与乘除符号的排列顺序 出现混淆，导致计算结果错误。
详细描述
例如，将4(a+b)÷(c+d)算成4(a+b)/(c+d)，而正确的计算结果应为 (4(a+b))/(c+d)。这种错误需要学生在进行运算时注意符号的排列顺序和括号 的使用方法。
乘方与乘除混合运算混淆的错误
括号与乘除混合运算的性质
在进行乘除混合运算时，括号可以改变运算的顺序，例如 $(a + b) \div c = a \div c + b \div c$。
在进行乘除混合运算时，括号可以简化运算，例如$2 \times (a + b) \div c = (2a + 2b) \div c$。
乘方与乘除混合运算的性质
将整式除法转化为多个因式的乘法运算，简化计算过程
将复杂的多项式分解为简单的多项式组合，降低计算难度
几个典型的因式分解技巧
1 2
提取公因式法
将多项式中相同的因式提取出来，以便后续计 算
公式法
利用平方差公式、立方差公式等将多项式进行 分解
3
分组分解法
将多项式按照一定的规律分组，每组内进行因 式分解
因式分解在整式除法中的应用
1
在进行整式除法时，可以将被除式和除式同时 进行因式分解，使计算更加简便
整式的除法教案
整式的除法教案一、知识点概述整式的除法是初中数学中的一个重要知识点，也是高中数学的基础。
整式的除法主要包括两种情况：一是整式除以单项式，二是整式除以整式。
在进行整式的除法运算时，需要掌握整式的基本运算法则和多项式长除法的步骤。
二、教学目标1.掌握整式除以单项式的基本运算法则；2.掌握整式除以整式的多项式长除法的步骤；3.能够熟练地进行整式的除法运算；4.能够应用整式的除法解决实际问题。
三、教学重点和难点1.整式除以单项式的基本运算法则；2.整式除以整式的多项式长除法的步骤。
四、教学过程1. 整式除以单项式的基本运算法则整式除以单项式的基本运算法则是：将整式中每一项的系数分别除以单项式的系数，并将单项式的指数减去每一项的指数，得到的商即为整式除以单项式的结果，余数为0。
例如，将3x2+6x除以3x，则：3x2+6x3x =3x23x+6x3x =x+2因此，3x2+6x除以3x的结果为x+2。
2. 整式除以整式的多项式长除法的步骤整式除以整式的多项式长除法的步骤如下：1.将被除式按照指数从高到低排列；2.将除式按照指数从高到低排列；3.将被除式中最高次项与除式中最高次项相除，得到商；4.将商乘以除式，得到一个新的多项式；5.将被除式减去新的多项式，得到一个新的被除式；6.重复以上步骤，直到新的被除式的次数小于除式的次数为止。
例如，将3x3+5x2−2x−1除以x−1，则：$$ \begin{array}{c|cccc} & 3x^3 & +5x^2 & -2x & -1 \\ \hline x-1 & 3x^2 &+8x & +6 & \\ & 3x^3 & -3x^2 & & \\ \hline & & 8x^2 & -2x & -1 \\ & & 8x^2 & -8x & \\ \hline & & & 6x & -1 \\ & & & 6x & -6 \\ \hline & & & & 5 \end{array} $$因此，3x3+5x2−2x−1除以x−1的结果为3x2+8x+6，余数为5。
专题17 整式的除法-重难点题型(举一反三)(学生版)
专题3.4 整式的除法-重难点题型【浙教版】【例1】（2021春•肥城市期末）下列计算结果错误的是（ ） A ．﹣6x 2y 3÷（2xy 2）＝﹣3xyB ．（﹣xy 2）3÷（﹣x 2y ）＝xy 5C ．（﹣2x 2y 2）3÷（﹣xy ）3＝﹣2x 3y 3D ．﹣（﹣a 3b ）2÷（﹣a 2b 2）＝a 4【变式1-1】（2020秋•镇原县期末）如果一个单项式与﹣5ab 的积为−58a 2bc ，则这个单项式为（ ） A ．18a 2cB ．18acC ．258a 3b 2c D ．258ac【变式1-2】（2021秋•新野县期中）已知6a 2⋅(−b 3)2÷()1=23ab 4中的据号内应填入（ ） A ．9ab 2B ．﹣9ab 2C ．9a 3b 6D ．9ab 3【变式1-3】（2021春•田东县期中）计算4a 3m +1b ÷（﹣8a 2m ﹣1）的结果为（ ）A ．−12a m+2bB ．12a m bC ．−12a m bD ．−12a m+211C ．6a 4﹣2a 3+a 2D ．6a 2﹣2a【变式2-1】（2021秋•阆中市校级期中）(x 6+2x 4−4x 2)÷M =−12x 4−x 2+2中，M 为（ ） A ．12x 2B ．−12x 2C ．﹣2x 2D ．2x 2【变式2-2】（2021秋•淅川县期中）已知M •（﹣2x 2）＝8x 5﹣18x 3y 3﹣2x 2，则M ＝（ ） A ．﹣4x 3﹣9xy 3﹣1 B ．﹣4x 3+9xy 3+1C ．﹣4x 3+9xy 3D ．4x 3+9xy 3﹣1【变式2-3】（2020秋•佳木斯期末）若一个多项式与﹣2x 2的积为﹣2x 5+4x 3﹣x 2，则这个多项式 为 ．【题型3 由整式除法法则求字母的值】【例3】（2021春•铁岭月考）x m y n ÷x 2y 3＝xy ，则有（ ） A ．m ＝2，n ＝6B ．m ＝3，n ＝4C ．m ＝2，n ＝3D ．m ＝3，n ＝5【变式3-1】（2021春•宁波期末）已知28a 2b m ÷4a n b 2＝7b 2，那么m 、n 的值为（ ） A ．m ＝4，n ＝2B ．m ＝4，n ＝1C ．m ＝1，n ＝2D ．m ＝2，n ＝2【变式3-2】（2021秋•十堰期中）已知8a 3b m ÷28a n +1b 2=27b 2，则m ，n 的值分别为（ ） A ．m ＝4，n ＝3B ．m ＝4，n ＝2C ．m ＝2，n ＝2D ．m ＝2，n ＝3【变式3-3】（2021春•贺兰县期中）如果m(x a y b )3÷(2x 3y 2)2=18x 3y 2，求m ，a ，b 的值．【题型4 整式除法中错看问题】【例4】（2021秋•香洲区期末）已知A ＝2x +6，B 是多项式，在计算B ﹣A 时，小海同学把B ﹣A 错看成了B ÷A ，结果得x ，那么B ﹣A 的正确结果为（ ） A ．2x 2+4x ﹣6B ．3x +6C ．2x 2+6xD ．2x 2+4x +6【变式4-1】（2021秋•宝山区期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘（x ﹣2y ）错抄成除以（x ﹣2y ），结果得到3x ，如果小明没有错抄题目，并且计算依然正确，那么得到的结果应该是什么？【变式4-2】（2021秋•原阳县月考）已知A ＝2x ，B 是多项式，计算B +A 时，某同学把B +A 误写成B ÷A ，结果得x 2+12x ，试求： （1）B +A 的值； （2）A 2−12B 的值．【变式4-3】李老师给同学们讲了一道题，小明认真地把它抄在笔记本上，放学后回到家拿出课堂笔记本，突然这道题的被除式的第二项和商的第一项被墨水污染了，污染后的习题如下：（21x 4y 3﹣+7x 2y 2）÷（﹣【题型5 整式除法的应用】【例5】（2021秋•岚皋县期末）长方形的面积为2a 2﹣4ab +2a ，长为2a ，则它的宽为（ ） A ．2a 2﹣4abB ．a ﹣2bC ．a ﹣2b +1D ．2a ﹣2b +1【变式5-1】（2021秋•海淀区期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为2（a +b ），则宽为（ ）A ．12B ．1C ．12(a +b)D ．a +b【变式5-2】（2021秋•兰考县期末）一个三角形的面积为3xy ﹣4y ，一边长是2y ，则这条边上的高为 ． 【变式5-3】（2021春•西湖区校级月考）如图，一窗框形状由一个长方形和一个半圆组成，若要把窗框设计成一个新的长方形形状，面积保持不变，且底边长仍为a ，则高度应为 ．【题型6 竖式计算多项式除以多项式】【例6】（2021秋•思明区校级期中）【阅读材料】多项式除以多项式，可用竖式进行演算，步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白）； ②用被除式的第一项去除被除式第一项，得到商式的第一项，写再被除式的同次幂上方； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积；④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 例如：计算2x 5+3x 3+5x 2﹣2x +10除以x 2+1的商式和余式，可以用竖式演算如图． 所以2x 5+3x 3+5x 2﹣2x +10除以x 2+1的商式为2x 3+x +5，余式为﹣3x +5．（1）计算（2x 3﹣3x 2+4x ﹣5）÷（x +2）的商式为 ，余式为 ； （2）2x 4﹣4x 3+ax 2+7x +b 能被x 2+x ﹣2整除，求a 、b 的值．【变式6-1】（2021秋•鼓楼区校级期中）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 例如：计算（6x 4﹣7x 3﹣x 2﹣1）÷（2x +1），可用竖式除法如图： 所以6x 4﹣7x 3﹣x 2﹣1除以2x +1，商式为3x 3﹣5x 2+2x ﹣1，余式为0． 根据阅读材料，请回答下列问题：（1）（x 3﹣4x 2+7x ﹣5）÷（x ﹣2）的商是 ，余式是 ； （2）x 3﹣x 2+ax +b 能被x 2+2x +2整除，求a ，b 的值．【变式6-2】（2021秋•椒江区校级期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（7x +2+6x 2）÷（2x +1），仿照672÷21计算如下：因此（7x +2+6x 2）÷（2x +1）＝3x +2．（1）阅读上述材料后，试判断x 3﹣x 2﹣5x ﹣3能否被x +1整除，说明理由．（2）利用上述方法解决：若多项式2x 4﹣3x 3+ax 2+7x +b 能被x 2+x ﹣2整除，求ab 的值．【变式6-3】（2021秋•九龙坡区期末）我们知道整数a除以整数b（其中a＞b＞0），可以用竖式计算，例如计算68÷13可以用整式除法如图：所以68÷13＝5…3．类比此方法，多项式除以多项式一般也可以用竖式计算，步骤如下：①把被除式，除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类对齐），消去相等项；④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1）．可用整式除法如图：所以6x4﹣7x3﹣x2﹣1除以2x+1商式为3x3﹣5x2+2x﹣1，余式为0根据阅读材料，请回答下列问题：（1）（x3﹣2x2﹣2x﹣3）÷（x﹣3）＝．（2）（6x3+14x2+23）÷（3x2﹣2x+4），商式为，余式为．（3）若关于x的多项式2x3+ax2+bx﹣3能被三项式x2﹣x+3整除，且a，b均为整数，求满足以上条件的a，b 的值及商式．。
专题04 整式的除法及整式的混合运算(解析版)
1 / 8七年级数学下册解法技巧思维培优专题04 整式的除法及混合运算题型一 整式的除法【典例1】（1）（2019•北碚区校级月考）计算12n 3÷（﹣2n ）2正确的是（ ）A ．﹣6nB ．﹣3nC ．6nD ．3n（2）（2019•莲花期中）计算下列各式①（a 3）2÷a 5＝1 ②（﹣x 4）2÷x 4＝x 4③（x ﹣3）0＝1（x ≠3）④（﹣a 3b ）5÷12a 5b 2＝2a 4b ，正确的有（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 （3）（2019•宜春期末）计算：（6x 4﹣8x 3）÷（﹣2x 2）＝ ﹣3x 2+4x ．【点睛】（1）根据积的乘方和整式的除法计算即可．（2）根据整式的运算法则解答即可．（3）根据多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式，把所得的商相加，可得答案．【详解】（1）解：12n 3÷（﹣2n ）2＝12n 3÷4n 2＝3n ，故选：D ．（2）解：①（a 3）2÷a 5＝a 6÷a 5＝a ，故原式错误；②（﹣x 4）2÷x 4＝x 8÷x 4＝x 4，故原式正确；③因为x ≠3，所以x ﹣3≠0，（x ﹣3）0＝1，故原式正确；④（﹣a 3b ）5÷12a 5b 2＝﹣a 15b 5÷12a 5b 2＝﹣2a 10b 3，故原式错误，所以正确的有2个，故选：C ．（3）解；原式＝6x 4÷（﹣2x 2）﹣8x 3÷（﹣2x 2）＝﹣3x 2+4x ，故答案为：﹣3x 2+4x ．题型二 整式的混合运算【典例2】（1）（2019•江油市期末）计算：[x （x 2y 2﹣xy ）﹣y （x 2﹣x 3y ）]÷3xy ．（2）（2019•闵行区期末）计算：（x ﹣1﹣y ﹣1）2÷（x ﹣2﹣y ﹣2）． （3）（2019•花都区期中）计算：（2m 3）2+m 2•m 4﹣2m 8÷m 2（4）（2019•恩平市期末）化简：（x +y ）（x ﹣y ）+（2x 3y ﹣4xy 3）÷2xy ．【点睛】（1）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．（2）根据负整数指数幂的意义先对式子进行整理，再根据整式的除法法则进行计算即可．（3）首先计算乘方和乘除法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．2 / 8 （4）先算乘法和除法，再合并同类项即可．【详解】（1）解：原式＝（x 3y 2﹣x 2y ﹣x 2y +x 3y 2）÷3xy ＝（2x 3y 2﹣2x 2y ）÷3xy =23x 2y −23x ．（2）解：（x ﹣1﹣y ﹣1）2÷（x ﹣2﹣y ﹣2）＝（1x −1y ）2÷（1x −1y ）＝（y−x xy ）2×（x 2y 2y −x ）=−x−y x+y． （3）解：（2m 3）2+m 2•m 4﹣2m 8÷m 2＝4m 6+m 6﹣2m 6＝3m 6（4）解：原式＝x 2﹣y 2+x 2﹣2y 2＝2x 2﹣3y 2．【典例3】（2019•颍州区期末）计算：（1）（ab 2）2•（﹣a 3b ）3÷（﹣5ab ）（2）[（x +y ）2﹣（x ﹣y ）2]÷（2xy ）【点睛】（1）先算乘方，再算乘除即可．（2）先算括号里面的，最后算除法即可．【详解】解：（1）原式＝a 2b 4•（﹣a 9b 3）÷（﹣5ab ）=15a 10b 6．（2）原式＝[x 2+2xy +y 2﹣x 2+2xy ﹣y 2]÷2xy ＝4xy ÷2xy ＝2．【典例4】（2019•梁子湖区期末）计算：（1）（﹣2a 2）2÷a 2﹣（﹣8a 4）2÷（﹣2a 2）3（2）（a ﹣1）（a +1）（a 2+1）【点睛】（1）根据积的乘方、同底数幂的除法可以解答本题；（2）根据平方差公式可以解答本题．【详解】解：（1）（﹣2a 2）2÷a 2﹣（﹣8a 4）2÷（﹣2a 2）3＝4a 4÷a 2﹣64a 8÷（﹣8a 6）＝4a 2+8a 2＝12a 2；（2）（a ﹣1）（a +1）（a 2+1）＝（a 2﹣1）（a 2+1）＝a 4﹣1．【典例5】（2019•北碚区期末）计算：（1）（x ﹣2y ）2+4y （x ﹣y ）；（2）[（2ab +1）（ab ﹣4）﹣（ab +2）（ab ﹣2）]÷ab ．【点睛】（1）直接利用乘法公式以及单项式乘以多项式运算法则化简得出答案；（2）直接利用整式的混合运算法则计算得出答案．【详解】解：（1）（x ﹣2y ）2+4y （x ﹣y ）＝x 2﹣4xy +4y 2+4xy ﹣4y 2＝x 2；3 / 8 （2）[（2ab +1）（ab ﹣4）﹣（ab +2）（ab ﹣2）]÷ab ＝（2a 2b 2﹣8ab +ab ﹣4﹣a 2b 2+4）÷ab ＝（a 2b 2﹣7ab ）÷ab ＝ab ﹣7．题型三 整式的化简求值【典例6】（2019•南江期末）先化简，再求值：（2x +y ）（2x ﹣y ）﹣（x ﹣2y ）2+y （﹣4x +5y +1），其中x ＝2，y ＝2008．【点睛】利用乘法公式、乘法的分配律及整式的加减法则，先对整式化简，再代入求值．【详解】解：原式＝4x 2﹣y 2﹣x 2+4xy ﹣4y 2﹣4xy +5y 2+y ＝3x 2+y∵x ＝2，y ＝2008，∴原式＝3×22+2008＝2020【典例7】（2019•鞍山期末）先化简，再求值：（2x +y ）（2x ﹣y ）﹣（x 2y +xy 2﹣y 3）÷y ，其中x =−13，y =12．【点睛】直接利用整式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．【详解】解：原式＝4x 2﹣y 2﹣x 2﹣xy +y 2＝3x 2﹣xy ，当x =−13，y =12时，原式＝3×（−13）2﹣（−13）×12=13+16 =12．【典例8】（2019•曲沃期末）先化简，后求值：（2x +3）（2x ﹣3）﹣4x （x ﹣1）+（x ﹣2）2，其中x ＝﹣3．【点睛】先利用平方差公式，完全平方公式和整式的乘法计算合并，再代入求得数值即可．【详解】解：原式＝4x 2﹣9﹣4x 2+4x +x 2﹣4x +4＝x 2﹣5当x ＝﹣3时，原式＝9﹣5＝4．【典例9】（2019•新华区校级期中）（1）先化简，再求值：2b 2+（a +b ）（a ﹣2b ）﹣（a ﹣b ）2，其中a ＝﹣3，b =12．（2）已知ab ＝﹣3，a +b ＝2．求下列各式的值：①a 2+b 2；②a 3b +2a 2b 2+ab 3；③a ﹣b ．【点睛】（1）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可；（2）①根据完全平方公式求出即可；4 / 8②先分解因式，再代入求出即可；③先求出（a ﹣b ）2的值，再开方求出即可．【详解】解：（1）2b 2+（a +b ）（a ﹣2b ）﹣（a ﹣b ）2，＝2b 2+a 2﹣2ab +ab ﹣2b 2﹣a 2+2ab ﹣b 2＝ab ﹣b 2， 当a ＝﹣3，b =12，原式=−74；（2）①∵ab ＝﹣3，a +b ＝2，∴a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝22﹣2×（﹣3）＝10；②∵ab ＝﹣3，a +b ＝2，∴a 3b +2a 2b 2+ab 3；＝ab （a +b ）2＝﹣3×22＝﹣12；③∵ab ＝﹣3，a +b ＝2，∴（a ﹣b ）2＝（a +b ）2﹣4ab ＝22﹣4×（﹣3）＝16，∴a ﹣b =±√16=±4． 巩固练习1．（2019•海淀区）下列运算正确的是（ ）A ．2x +3y ＝5xyB ．4x 4y 2﹣5xy 2＝﹣x 2yC ．3x ﹣2•2x 3＝6x ﹣6D ．4x 4y 2÷（﹣2xy 2）＝﹣2x 3【点睛】根据同类项的定义，单项式的乘法法则，单项式除单项式的法则，对各选项计算后利用排除法求解．【详解】解：A 、2x 与3y 不是同类项不能合并，故本选项错误；B 、4x 4y 2与5xy 2不是同类项不能合并，故本选项错误；C 、应为3x ﹣2•2x 3＝3×2×x ﹣2•x 3＝6x ，故本选项错误；D 、4x 4y 2÷（﹣2xy 2）＝﹣2x 3，正确．故选：D ．2．（2019•滨海二模）把三张大小相同的正方形卡片A 、B 、C 叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若按图1摆放时，阴影部分的面积为S 1；若按图2摆放时，阴影部分的面积为S 2，则S 1与S 2的大小关系是（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＝S 2D ．无法确定【点睛】根据正方形的性质，可以把两块阴影部分合并后计算面积，然后，比较S 1和S 2的大小．【详解】解：设底面的正方形的边长为a，正方形卡片A ，B ，C 的边长为b ，5 / 8 由图1，得S 1＝（a ﹣b ）（a ﹣b ）＝（a ﹣b ）2，由图2，得S 2＝（a ﹣b ）（a ﹣b ）＝（a ﹣b ）2，∴S 1＝S 2．故选：C ．3．（2019•开封）已知：a +b ＝m ，ab ＝﹣4，化简（a ﹣2）（b ﹣2）的结果是（ ）A ．6B ．2m ﹣8C ．2mD ．﹣2m【点睛】（a ﹣2）（b ﹣2）＝ab ﹣2（a +b ）+4，然后代入求值即可．【详解】解：（a ﹣2）（b ﹣2）＝ab ﹣2（a +b ）+4＝﹣4﹣2m +4＝﹣2m ．故选：D ．4．（2019•安徽）一个矩形的面积为a 3﹣2ab +a ，宽为a ，则矩形的长为 a 2﹣2b +1 ．【点睛】由题意得矩形的长为（a 3﹣2ab +a ）÷a ，然后利用多项式除以单项式的法则即可求出结果．【详解】解：∵（a 3﹣2ab +a ）÷a ＝a 2﹣2b +1，∴矩形的长为a 2﹣2b +1．故应填：a 2﹣2b +1．5．（2019•天水）观察下列运算过程：S ＝1+3+32+33+…+32012+32013①，①×3得3S ＝3+32+33+…+32013+32014②，②﹣①得2S ＝32014﹣1，S =32014−12．运用上面计算方法计算：1+5+52+53+…+52013＝ ．【点睛】首先根据已知设S ＝1+5+52+53+…+524+525 ①，再将其两边同乘5得到关系式②，②﹣①即可求得答案．【详解】解：设S ＝1+5+52+53+…+52013 ①，则5S ＝5+52+53+54…+52014②，②﹣①得：4S ＝52014﹣1， 所以S =52014−14．故答案为52014−14．6．（2019•荆州模拟）对于任何实数，我们规定符号|a b cd |的意义是|a b c d |=ad ﹣bc ．例如：|1234|=1×4﹣2×3＝﹣2，|−2435|=（﹣2）×5﹣4×3＝﹣22．按照这个规定，当x 2﹣4x +4＝0时，|x +12x x −12x −3|的值是 ﹣1 ．【点睛】先根据题中所给出的例子得出关于x 的式子，再把x 2﹣4x +4＝0代入进行计算即可．【详解】解：∵|a b c d|=ad ﹣bc ，∴原式＝（x +1）（2x ﹣3）﹣2x （x ﹣1）＝x ﹣3，∵x 2﹣4x +4＝0， ∴（x ﹣2）2＝0，解得x ＝2，∴原式＝3﹣4＝﹣1．7．（2019•茂名模拟）先化简，再求值：（3x +2）（3x ﹣2）﹣5x （x ﹣1）﹣（2x ﹣1）2，其中x =−13．6 / 8【点睛】首先根据整式相乘的法则和平方差公式、完全平方公式去掉括号，然后合并同类项，最后代入数据计算即可求解．【详解】解：原式＝9x 2﹣4﹣（5x 2﹣5x ）﹣（4x 2﹣4x +1）＝9x 2﹣4﹣5x 2+5x ﹣4x 2+4x ﹣1＝9x ﹣5，当x =−13时，原式=9x −5=9×(−13)−5=−3﹣5＝﹣8．8．（2019•成都模拟）化简求值：[（x +2y ）2﹣（x +y ）（3x ﹣y ）﹣5y 2]÷2x ，其中x ＝﹣2，y =12．【点睛】根据完全平方公式，多项式乘多项式的法则，多项式除单项式的法则化简，然后再代入数据计算求解．【详解】解：[（x +2y ）2﹣（x +y ）（3x ﹣y ）﹣5y 2]÷2x ＝（x 2+4xy +4y 2﹣3x 2﹣2xy +y 2﹣5y 2）÷2x ＝（﹣2x 2+2xy ）÷2x ＝y ﹣x ，当x ＝﹣2，y =12时，原式=12−（﹣2）=52．9．（2019•广东模拟）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i 2＝﹣1，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a +bi （a ，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i ）+（3﹣4i ）＝5﹣3i ．（1）填空：i 3＝ ﹣i ，i 4＝ 1 ．（2）计算：①（2+i ）（2﹣i ）；②（2+i ）2；（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x +y ）+3i ＝（1﹣x ）﹣yi ，（x ，y 为实数），求x ，y 的值．（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将1+i1−i 化简成a +bi 的形式．【点睛】（1）根据i 2＝﹣1，则i 3＝i 2•i ，i 4＝i 2•i 2，然后计算；（2）根据平方差公式和完全平方公式计算，出现i 2，化简为﹣1计算；（3）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得x ，y 的值；（4）分子分母同乘以（1+i ）后，把分母化为不含i 的数后计算．【详解】解：（1）∵i 2＝﹣1，∴i 3＝i 2•i ＝﹣1•i ＝﹣i ，i 4＝i 2•i 2＝﹣1•（﹣1）＝1，7 / 8（2）①（2+i ）（2﹣i ）＝﹣i 2+4＝1+4＝5；②（2+i ）2＝i 2+4i +4＝﹣1+4i +4＝3+4i ；（3）∵（x +y ）+3i ＝（1﹣x ）﹣yi ，∴x +y ＝1﹣x ，3＝﹣y ，∴x ＝2，y ＝﹣3；（4）1+i 1−i =(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=(1+i)22=2i2=i ．10．（2019•淄博）根据以下10个乘积，回答问题：11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25；16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）【点睛】（1）根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可．（2）减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可．（3）根据排列的顺序可得，两数相差越大，积越小．【详解】解：（1）11×29＝202﹣92；12×28＝202﹣82；13×27＝202﹣72；14×26＝202﹣62；15×25＝202﹣52；16×24＝202﹣42；17×23＝202﹣32；18×22＝202﹣22；19×21＝202﹣12；20×20＝202﹣02 …（4分）例如，11×29；假设11×29＝□2﹣○2，因为□2﹣○2＝（□+○）（□﹣○）；所以，可以令□﹣○＝11，□+○＝29．解得，□＝20，○＝9．故11×29＝202﹣92．（或11×29＝（20﹣9）（20+9）＝202﹣92（2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20（3）①若a +b ＝40，a ，b 是自然数，则ab ≤202＝400．②若a +b ＝40，则ab ≤202＝400． …（8分）③若a+b＝m，a，b是自然数，则ab≤(m2)2．④若a+b＝m，则ab≤(m2)2．⑤若a，b的和为定值，则ab的最大值为(a+b2)2．⑥若a1+b1＝a2+b2＝a3+b3＝…＝a n+b n＝40．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|a n﹣b n|，则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤a n b n．…（10分）⑦若a1+b1＝a2+b2＝a3+b3＝…＝a n+b n＝m．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|a n﹣b n|，则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤a n b n．⑧若a+b＝m，a，b差的绝对值越大，则它们的积就越小．说明：给出结论①或②之一的得（1分）；给出结论③、④或⑤之一的得（2分）；给出结论⑥、⑦或⑧之一的得（3分）．8/ 8。
专题03整式(精讲)
攻略4式子中出现除法时，写成分数的形式，如 ．
攻略5单项式中不含加减运算，只含乘法和数字作分母的除法运算，分母中有字母的不是单项式．
攻略6字母的指数是1时，指数省略不写，如y的指数是1而不是0．
攻略7多项式的每一项都包括它前面的符号．
攻略8多项式的项数是指多项式中所包含的单项式的个数．
由图可知：甲与乙重叠的部分长度+乙与丙重叠的部分长度＝乙的长度，
∴（a﹣x﹣2）+（a﹣y﹣3）＝a，
a﹣x﹣2+a﹣y﹣3＝a，
a+a﹣a＝x+y+2+3，
a＝x+y+5，
∴乙的长度为：（x+y+5）m．
故选：A．
3．（2022春•桓台县期末）某商品每次降价20%，连续两次降价后的价格为m元，则原价为（ ）
A．（x+y+5）mB．（x﹣y+5）mC．（2x+y﹣5）mD．（x+2y﹣5）m
【答案】解：设乙的长度为am，
∵乙的长度最长且甲、乙的长度相差xm，乙、丙的长度相差ym，
∴甲的长度为：（a﹣x）m；丙的长度为：（a﹣y）m，
∴甲与乙重叠的部分长度为：（a﹣x﹣2）m；乙与丙重叠的部分长度为：（a﹣y﹣3）m，
（4）若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。
攻略1数字与字母或字母与字母相乘时，乘号通常省略不写或写成“·”，而且数字要写在字母的前面，如5×a可以写成5·a或5a，但数字与数字相乘时仍用“×”；
攻略2数字因数是1或–1时，“1”省略不写，如1×ab写成ab，–1×ab写成–ab；
整式的除法第1课时 单项式除以单项式授课典案
7 整式的除法第1课时单项式除以单项式课题第1课时单项式除以单项式授课人教学目标知识技能理解单项式除以单项式的算理,会进行简单的单项式除以单项式的运算.数学思考经历探索单项式除以单项式法则的过程,进一步体会类比方法的作用,发展运算能力.问题解决通过对问题的转化,将单项式的除法转化为幂的除法.情感态度从探索单项式除以单项式的运算法则的过程中,获得成功的体验,积累研究数学问题的经验,并培养学生的创新精神与能力.教学重点单项式除以单项式的运算法则及其应用.教学难点单项式除以单项式的运算法则的探索过程.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾活动内容:(多媒体展示)计算:(1)a7÷a4;(2)(2xy2z)·（13xy）.处理方式:两名学生板演,其他学生独立完成.通过复习同底数幂的除法和单项式的乘法,既巩固所学知识,又为探究单项式的除法做好铺垫.活动一: 创设情境导入新课【课堂引入】我们常常是“先见闪电,后闻雷鸣”,就是因为光比声音传播的速度快的缘故.已知光在空气中的传播速度为3.0×108 m/s,而声音在空气中的传播速度约为300 m/s,那么光速是声速的多少倍呢?你会列式吗?图1-7-2处理方式:在介绍生活常识的同时,提出一个极具趣味性的问题,学生可能会通过以前学习的知识得到答案,但并不能利用新知识解决问题,从而激发学生强烈的求知欲和好奇心,引入新课的学习,从中也使学生进一步体会数学来源于生活并应用于生活.以闪电雷鸣这一自然现象为背景,吸引学生的注意力.让学生自主完成计算,充分展现学生的预习情况,这一过程可以给学生在探究单项式除以单项式的法则的过程提供一种逆向的思考方式,以便于学生能更快地发现规律.活动二: 实践探究交流新知活动内容1:1.计算(3×108)÷300,说说你计算的根据是什么?方法1:利用类似分数约分的方法.可以用分数约分的方法来计算:3×108300=300000000300=1000000=1×106.方法2:利用乘除法的互逆.从乘法与除法互为逆运算的角度,我们可以想象300×()=3×108,即3×102×()=3×108.所求单项式的系数乘3等于3,即所求单项式系数为3÷3=1,所求单项式的幂的部分应根据108÷102=106得到,由3×102×(1×106)=3×108可得3×108÷300=1×106.2.你能计算下列各题吗?如果能,说说你的理由.(1)x5y÷x2;(2)8m2n2÷2m2n;(3)a4b2c÷3a2b.处理方式:让学生先自学,然后思考,再交流不同的解法.学生的解题方法不唯一,常见的有两种:①利用乘法与除法互为逆运算计算;②利用类似分数约分的方法计算.两种方法都应给予肯定,其实质是相同的,但鼓励学生利用第①种方法.例如,根据单项式乘单项式法则,欲求8m2n2÷2m2n的值,可以想象2m2n·=8m2n2,由于8÷2=4,m2÷m2=1,n2÷n=n,即2m2n·4n=8m2n2,通过数的计算,在理论上为探究单项式的除法提供思路.活动二: 实践探究交流新知所以8m2n2÷2m2n=4n,最后让学生总结出单项式除以单项式法则,教师板书.单项式除以单项式法则:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的因式.活动内容2:(多媒体出示)1.计算下列各题:(1)12xy2·(-4x3yz2);(2)-16a5bc÷14a2b.2.比较“单项式乘单项式”法则和“单项式除以单项式”法则.单项式相乘单项式相除第一步系数相乘系数第二步同底数幂相乘同底数幂第三步其余字母连同它的指数不变,作为积的因式只在被除式里含有的字母连同它的指数一起作为商的一个因式处理方式:先让学生在黑板上板演两个小题,然后结合题目来观察、思考、交流,并在回答问题的同时课件展示表格给同学进行提示.结合实例的计算过程,让学生明确单项式相除,可以分为系数、同底数幂、只在被除式里含有的字母三部分运算.实际上单项式相除是在同底数幂除法的基础上进行的.通过对比学习的方式比较单项式乘单项式法则与单项式除以单项式法则,观察其相似与不同,便于学生更好地掌握整式除法运算,并将本章的前后知识有机地联系起来,使之形成一个完整的知识框架.活动三: 开放训练体现应用【应用举例】例1计算:(1)-35x2y3÷3x2y;(2)10a4b3c2÷5a3bc;(3)(2x2y)3·(-7xy2)÷14x4y3;(4)(2a+b)4÷(2a+b)2.处理方式:(1)(2)直接运用单项式除法的运算法则;(3)要注意运算顺序:先乘方,再乘除;(4)鼓励学生悟出:将(2a+b)视为一个整体来进行单项式除以单项式的运算.教师进行板演算式(1)的运算过程,然后由两名学生在黑板上板演(2)(3)(4)的计算过程,其余学生在练习本上完成.教师巡视,对于计算中出现的问题及时给予指导,同时强调不要直接写出结果,要写出利用公式的运算过在学生充分思考的基础上,独立完成例题,再通过对问题的分析帮助学生巩固单项式除以单项式法则,提高了学生的计算能力.活动三: 开放训练体现应用程,规范运算的步骤.学生完成后进行评价.【变式训练】(1)计算:4x2y3÷-12xy2=.(2)2xy·()=-6x2yz.【拓展提升】例2计算:-2a2b2c32÷-3a2b22=.例3若(-2a4b3)3÷(-23a n b2)=ma8b7,则m=,n=.进一步巩固落实单项式除以单项式,提高学生解决实际问题的能力.活动四: 课堂总结反思【当堂训练】1.计算-8a6b3÷2a3b2的结果为()A.4a3bB.-4a2b2C.-4a3bD.2a2b22.李密在下面的计算中只做对了一道题,他做对的题目是()A.2m3n÷mn=2m2nB.(3xy)2÷xy=3xyC.7x4y2÷28x3y=4xyD.(-2a)2÷a=4a3.一个单项式乘-13x3y的结果是9x3y2z,则这个单项式是.4.一个长方体的长为2mn,宽为12mn2,体积为5m4n4,则该长方体的高为.5.贝贝在进行两个单项式的除法时,不小心把除以2a2b2错抄成乘2a2b2,结果得到-8a5b4c2,则其正确结果为.6.计算下列各题:(1)(4ab2)3÷(-2ab2)2;(2)6(x+y)5÷3(x+y)3;(3)3(xy)2·-23x2y÷-29x3y.处理方式:学生做完后,教师出示答案,指导学生校对,并统计学生答题情况,学生根据答案进行纠错,并进行“兵教兵”和“兵帮兵”活动.通过训练纠错,有针对性地对所学知识进行巩固、落实,对学生存在的问题及时反馈,然后根据学生掌握的情况,有针对性地进行点拨.对于测试完成较好的学生应及时给予激励性的表扬,对于完成不好的学生应及时帮扶或课后辅导.【课堂总结】通过这节课的学习,你有哪些收获?有何感想?学会了哪些方法?先想一想,再分享给大家.学生畅谈自己的收获!布置作业:课本P29习题1.13中T1,T2,T3,T4,T5.课堂总结是知识沉淀的过程,使学生对本节课所学进行梳理,养成反思与总结的习惯,培养自我反馈,自主发展的意识.。
整式的除法课件
01
确定商的符号
整式除法结果的符号由被除式和除式的符号共同决定。如果被除式和除
式的符号相同，则商为正；如果被除式和除式的符号不同，则商为负。
02 03
处理多项式除以多项式的情况
当被除式和除式均为多项式时，需要按照多项式除以单项式的规则进行 计算，即把被除式的每一项分别除以除式的每一项，再把所得的商相加 。
整式的除法运算性质
03
整式的除法具有交换律和结合律。
整式除法的难点解析
整式的除法运算步骤
在进行整式的除法时，需要先将被除数和除数相乘，再减去余数 。
整式的除法运算技巧
在计算过程中，需要注意符号的变化和运算顺序的正确性。
整式的除法运算注意事项
在进行整式的除法时，需要注意结果的符号和余数的正确性。
整式除法的练习题
运用分配律
在整式除法中，可以运用分配律将复杂的表达式转化为简单的形式 ，便于计算。
逐步化简
对于复杂的整式除法问题，可以逐步化简，逐步计算，最终得到结 果。
05
复习与总结
整式除法的重点回顾
整式的除法法则
01
整式的除法遵循乘法分配律，将除数与被除数相乘，再减去余
数。
整式的除法运算顺序
02
先进行乘法运算，再进行减法运算。
例题2
$(3x^3 + 5x^2 - 4x + 7) div (3x - 1)$
解
$3x^3 + 5x^2 - 4x + 7 div (3x - 1) = 3x^3 + x^2 - x + x^2 + x - 1 = 3x^3 + 2x^2 - x + 1$
整式除法的练习题
七年级数学第一章 第8—9节 完全平方公式;整式的除法北师大版知识精讲
七年级数学第一章第8—9节完全平方公式；整式的除法北师大版【本讲教育信息】一、教学内容第一章第8—9节完全平方公式及整式的除法1、完全平方公式.2、整式的除法中学习单项式除以单项式，多项式除以单项式.二、教学目标1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力，会推导完全平方公式，并能运用完全平方公式进行简单的计算，了解（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2的几何背景.2、经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算（其中仅限于单项式除以单项式、多项式除以单项式）.3、理解整式除法运算的算理，发展有条理的思考及语言表达能力.三、知识要点分析1、完全平方公式（这是重点）（1）（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2右边是三项（2）公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和.（3）几何解释上图中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（a＋b）2②a2＋2ab＋b2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号. 若这两项同号，则2ab取“＋”，若这两项异号，则2ab的符号为“－”.（4）公式中字母可代表的含义公式中的a 和b 可代表一个字母，一个数字或单项式. 2、整式的除法 （这是重难点） （1）单项式除以单项式单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.如：（3a 2b ）÷（5a ）=（3÷5）·（a 2÷a ）·b =53ab . 注意：Ⅰ.单项式除以单项式主要是通过转化为同底数幂的除法解决的.Ⅱ.本节只研究结果为整式的单项式除法，所以单项式相除的结果中的字母少于或等于被除式的字母，而结果的次数为被除式、除式的次数之差.（2）多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 如：（3x 2y －4xy 2）÷（xy ）=（3x 2y ）÷（xy ）－（4xy 2）÷（xy ）=3x －4y（3）对于混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减。
七年级上册数学同步讲义第14讲：整式的除法
辅导教案学员姓名：学科教师：年级：七年级辅导科目：数学授课日期时间主题整式的除法教学内容整式除法同整式加减法一样，是整式运算的重要内容，是进一步学习因式分解、分式、方程、函数以及其他数学内容的基础，同时也是学习物理、化学等学科不可缺少的数学工具．因此，本章内容在学习数学及其他学科方面占有重要的地位和作用．学习整式乘除是学习整式加减的继续和发展．整式的除法知识结构模块一：同底数幂的除法知识精讲内容分析1、同底数幂相除：同底数的幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：m n m n a a a -÷=（0a ≠，m ，n 都是正整数）． 2、规定()010a a =≠；1p p a a-=（0a ≠，p 是正整数）．【例1】 月球距离地球大约53.8410⨯千米，一架飞机的速度约为2810⨯千米/时．如果乘坐此飞机飞行这么远的距离，大约需要多少时间？【难度】★【例2】 计算：（1）()()151233-÷-；（2）853377⎛⎫⎛⎫÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）10010099÷．【难度】★【例3】 计算：（1）()623x x x ÷⋅；（2）()1243x x x ⋅÷． 【难度】★★【例4】 计算：（1）()()4334a a -÷-； （2）()()22237a a a a ⋅÷⨯-． 例题解析【例5】 计算：（1）()()105x y x y +÷+；（2）()()97a b b a -÷-． 【难度】★★【例6】 计算：（1）()3232942x x x x x ⋅-+÷； （2）54189t t t t ⋅-÷．【难度】★★【例7】 计算：（1）()()4222(2)x y y x x y -÷-÷-；（2）()()()()989x y x y y x x y +-÷-÷--⎡⎤⎣⎦．【难度】★★★【例8】 已知：32132n n n n x x x x -+-+÷=⋅，求n 的值．【难度】★★★1、单项式除以单项式：两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．【例10】 计算：（1）527398b b ÷；（2）645242x y x y -÷； （3）362424a b a b ÷；（4）()22153ab b ÷-． 【难度】★【例11】计算： （1）()226ab ab ÷=；（2）()()2515xy xy ÷-=； （3）()231255a x a ÷=； （4）()32243a b ab ÷=-． 【难度】★【例12】 计算：()2233310.52x y z x y ⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭． 【难度】★★模块二：单项式除以单项式 知识精讲 例题解析【例13】 计算：()()4312282x y y x ⎡⎤+÷-+⎣⎦． 【难度】★★【例14】 若32144m n x y x y x ÷=，求2531335m n mn ÷的值． 【难度】★★【例15】 计算：()()564233331232a b c a b c a b c ÷-÷． 【难度】★★1、多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．（1）多项式除以单项式，商式与被除式的项数相同，不可丢项，如（2）中容易丢掉最后一项．（2）要求学生说出式子每步变形的依据．（3）让学生养成检验的习惯，利用乘除逆运算，检验除的对不对．模块三：多项式除以单项式 知识精讲 例题解析【例16】计算：（1）()3286x x x -÷； （2）()()2101055x x --÷-． 【难度】★【例17】计算：()22642xy x y xy -÷． 【难度】★【例18】 计算：（1）()324222a a a a -+÷；（2）()643396123a a a a -+÷． 【难度】★【例19】 计算： （1）()312273ax ax ax -÷；（2）()2322224822x y x y xy xy +-÷． 【难度】★【例20】 计算：()()33232222181263x y x y x y x y -+-÷-． 【难度】★★【例21】 计算：()()755364523521287x y x y x y x y -+÷-．【例22】 计算：()()222233ab a ab a b a b a b ⎡⎤---÷⎣⎦． 【难度】★★【例23】 计算：()()()22342343223x x x x x x x x ++⋅-++÷-． 【难度】★★【例24】 已知一个多项式与单项式22x y -的积是32212x y x y -，求这个多项式． 【难度】★★【例25】 若2010n m x x x ⋅=，6m n x x x ÷=，求m 、n 的值．【难度】★★★【例26】 已知除式为232x y +，商式为422964x x y y -+，余式为38x y -，求被除式．【难度】★★★【例27】 若4325x x ax bx c -+++能被2(1)x -整除，试求2()a b c ++的值．【难度】★★★【例28】 是否存在常数p 、q 使得42x px q ++能被225x x ++整除？如果存在，求出p 、q 的值，否则请说明理由．【难度】★★★【习题1】()()()22222545a b a bc ab ⋅-÷-等于（ ） A ．4345a b c B ．4345a b c - C ．254a bc D ．254a bc - 【难度】★【习题2】 计算：（1）()24366a b ab -÷；（2）5343515a b c a b -÷； （3）423287x y x y ÷；（4）5823164x y x y ÷．随堂检测【习题3】 已知：8331863m n a b c a b a c ÷=，则m =_______，n =_______．【难度】★【习题4】 计算：()76332115181233m m m m m -+÷⋅． 【难度】★★【习题5】 计算：()22322183032x y x y x y -÷÷．【难度】★★【习题6】 计算：若2x a =，2y b =，求324x y -的值．【难度】★★【习题7】 一个三角形的面积是344a b ，底边长是22ab ，则其高为________．【难度】★★【习题8】 先化简：33242172112178x y x y z x y ⎛⎫⎛⎫⋅-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再计算当3x =，14y =，1z =-的值． 【难度】★★【习题9】 化简求值：()()()()22a b a b a b b ⎡⎤+---÷-⎣⎦，其中12a b =-=，． 【难度】★★【习题10】 已知一个单项式乘以2513x y z ，所得的积是4522x y z -，求这个多项式． 【难度】★★【习题11】 已知一个单项式除以322a bc 所得的商是2212ab c ，求这个单项式． 【难度】★★【习题12】 已知一个多项式减去21x x -+后，除以22x 的商是2x -，求这个多项式．【难度】★★★【习题13】 已知5x -与一个整式的积是234251520x x y x +-，求这个整式．【难度】★★★【习题14】 设()25m n x x x ⋅=，n m x x x ÷=，求： （1）m 、n 的值（2）分解因式()221x m x n +++．【作业1】 计算：（1）1161739x x -÷； （2）421122⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【难度】★【作业2】 计算：（1）()()5a a -÷-；（2）()()72xy xy -÷-； （3）()()42a b a b +÷+． 【难度】★【作业3】 计算：（1）()()5222x x ÷；（2）()()2332a a ÷； （3）()()322ab ab ÷-； （4）()3225x x x ⋅÷． 【难度】★【作业4】 计算：（1）382a a ÷； （2）363x y xy ÷；课后作业（3）3232123a b x ab ÷．【难度】★【作业5】 计算：（1）3223123x y x y ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）232231162a b ab c ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭； （3）()()2221263x x y yz ⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭． 【难度】★★【作业6】 计算：（1）________am m bm m ÷+÷=；（2）2______a a ab a ÷+÷=； （3）224222__________x y xy xy xy ÷+÷=．【难度】★★【作业7】 计算：()()()222433423x y x y x y ⎡⎤---÷-⎢⎥⎣⎦． 【难度】★★【作业8】 已知314748216m m m +++⋅÷=，求m 的值．【难度】★★★【作业9】 先化简，再求值：()()()22224a b a b b a b a b b +-++-÷，其中：122a b =-=，． 【难度】★★★。
《整式的除法》课件
包括整式的次数、系数、项等基 本概念及其性质。
除法运算规则简介
多项式除以单项式
将多项式的每一项分别除以单项式， 并将结果按降幂排列。
单项式除以多项式
单项式除以多项式时，可将单项式拆 分为多个多项式之和或差，再分别进 行除法运算。
常见问题与误区提示
01
02
03
忽视运算顺序
在进行整式除法时，需遵 循先乘除后加减的原则， 注意运算顺序。
《整式的除法》课件
汇报人： 2023-11-26
contents
目录
• 整式除法基本概念 • 单项式除以单项式方法论述 • 多项式除以单项式技巧总结 • 多项式之间相除算法剖析 • 整式除法在实际问题中应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
01
整式除法的基本概念
整式除法的定义
研究整式之间相除的运算规则和方法。
经济学领域中整式除法应用案例分享
平均成本计算
在生产过程中，企业需要计算产品的平均成 本，以便制定合理的定价策略。整式除法可 以帮助企业计算出单位产品的成本，从而确 定产品的售价和利润空间。
投资收益率计算
在投资决策中，投资者需要计算投资收益率 来评估投资项目的可行性。整式除法可以帮 助投资者计算出投资项目的收益率，从而做
解析
首先进行系数的除法运算，$6 \div 3 = 2$；然后比较 $x$ 的 指数，$3-1=2$；最后比较 $y$ 的指数，$2-1=1$。因此，原式
的结果为 $2x^2y$。
01
03
02 04
例题2
求解 $ (8a^5b^3c^2) \div (4a^2b^2c) $ 的值。
解析
首先进行系数的除法运算，$8 \div 4 = 2$；然后比较 $a$ 的 指数，$5-2=3$；接着比较 $b$ 的指数，$3-2=1$；最后比较 $c$ 的指数，$2-1=1$。因此， 原式的结果为 $2a^3bc$。
《整式的除法》整式的乘除PPT课件(第1课时)
因绿色为最佳感受色 ，可使睫状体放松，图案 从里到外大小不等，不断 变化图案可不断改变眼睛
远眺图使用说明
1、远眺距离为1米-2.5米(远眺图电脑版比 纸质版小，距离相应缩短)，每日眺望5次以 上，每次3—15分钟。
2、要思想集中，认真排除干扰，精神专注， 高度标准为使远眺图的中心成为使用者水平 视线的中心点。
3、远眺开始，双眼看整个图表，产生向前深 进的感觉，然后由外向内逐步辨认每一层的 绿白线条。
4、如果视力不良，只能进到某一层时，不要 立即停止远眺，应多看一会儿，将此层看清 楚后，再向内看一层，如此耐心努力争取尽 量向内看，才能使眼的睫状肌放松。
5、双眼视力相近的，两眼可同时远眺；双眼 视力相差大的、将左右眼轮流遮盖，单眼远 眺，视力差的一只眼睛，其远眺时间要延长 。
单项式相乘
单项式相除
第一步
系数相乘
系数相除
第二步 同底数幂相乘
同底数幂相除
第三步 其余字母不变连同其指 只在被除式里含有的字
数作为积的因式
母连同其指数一起作为
商的因式
➢小结
单项式 ÷
单项式
运算法那 么
1.系数相除； 2.同底数的幂相除； 3.只在被除式里出现的因式照搬作为 商的一个因式
注意
1.不要遗漏只在被除式中有而除式中 没有的字母及字母的指数； 2.系数相除时，应连同它前面的符号 一起进行运算.
存到商里面
同底数幂相除， 底数不变， 指数相减
系数 相除
求系数的商 注意符号
2.计算：(1)6a3÷2a2；
(2)24a2b3÷3ab；
(3)－21a2b3c÷3ab;〔4〕12(a-b)5÷3(a-b)2
解：(1)原式＝(6÷2)(a3÷a2)=3a； (2)原式=(24÷3)a2－1b3－1=8ab2； (3)原式=(－21÷3)a2－1b3－1c= －7ab2c. (4)原式=(12÷3)(a-b)5-2=4(a-b)3
专题1.5 整式的除法(知识讲解)-20-20-2021学年七年级数学下册基础知识专项讲练(北师大
1专题1.5 整式的除法（知识讲解）【学习目标】1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．2. 会进行单项式除以单项式的计算．3. 会进行多项式除以单项式的计算．【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）要点诠释：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.要点三、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.要点四、多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即m n m n a a a-÷=a m n 、m n >01a =a a 00()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++2要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、计算： （1）；（2）；（3）；（4）． 【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号．【答案与解析】解：（1）． （2）． （3）． （4）． 【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．类型二、单项式除以单项式2、计算：（1）；（2）； （3）；（4）．【思路点拨】：（1）先乘方，再进行除法计算．（2）、（3）三个单项式连除按顺序计算．（3）、83x x ÷3()a a -÷52(2)(2)xy xy ÷531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭83835x x xx -÷==3312()a a aa --÷=-=-5252333(2)(2)(2)(2)8xy xy xy xy x y -÷===535321111133339-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭342222(4)(2)x y x y ÷2137323m n m m n x y z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++3 （4）中多项式因式当做一个整体参与计算．【答案与解析】解：（1）．（2） ． （3）．（4）．【总结升华】（1）单项式的除法的顺序为：①系数相除；②相同字母相除；③被除式中单独有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．（2）注意书写规范：系数不能用带分数表示，必须写成假分数．举一反三：【变式】计算：（1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】 解：（1）．（2）． 342222684424(4)(2)1644x y x y x y x y x y ÷=÷=2137323m n m m n x y z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭21373211()()()3m m m n n x x x y y y z z +⎡⎤⎛⎫=÷÷-÷÷÷÷÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦21432n xy z -=-22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-222()()()()x y x y x y x y =+-÷+÷-2()()x y x y x y =-÷-=-2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++2(124)[()()][()()]a b a b b c b c =÷+÷++÷+3()33a b a b =+=+3153a b ab ÷532253x y z x y -÷2221126a b c ab ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63(1010)(210)⨯÷⨯33202153(153)()()55a b ab a a b b a b a ÷=÷÷÷==532252323553(53)()()3x y z x y x x y y z x yz -÷=-÷÷÷=-4 （3）． （4）．3、 金星是太阳系九大行星中距离地球最近的行星，也是人在地球上看到的天空中最漂亮的一颗星．金星离地球的距离为4.2×107千米，从金星射出的光到达地球需要多少时间？（光速为3.0×105千米/秒）【答案与解析】解：t=秒，答：从金星射出的光到达地球需要1.4×102秒．【总结升华】本题考查了同底数幂的除法法则，关键是利用时间=路程÷速度这一公式，此题比较简单，易于掌握．类型三、多项式除以单项式4、计算：（1）；（2）；（3）；（4）． 【答案与解析】解：（1）．（2）． （3）22222201111()()332626a b c ab a a b b c ab c ac ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-÷-÷÷== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦63633(1010)(210)(102)(1010)510⨯÷⨯=÷÷=⨯324(67)x y x y xy -÷42(342)(2)x x x x -+-÷-22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭32432423(67)(6)(7)67x y x y xy x y xy x y xy x y x -÷=÷+-÷=-42(342)(2)x x x x -+-÷-42[(3)(2)][4(2)][(2)(2)]x x x x x x =-÷-+÷-+-÷-33212x x =-+22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-5（4） ． 【总结升华】（1）多项式除以单项式是转化为单项式除以单项式来解决的．（2）利用法则计算时，不能漏项．特别是多项式中与除式相同的项，相除结果为1．（3）运算时要注意符号的变化．举一反三：【变式1】计算：（1）； （2）．【答案】解： （1）原式 ．（2）原式． 【变式2】 化简：()2212332x x x x x ⎡⎤-+-÷⎣⎦解：()2212332x x x x x ⎡⎤-+-÷⎣⎦222222212(4)(8)(4)4(4)x y y xy y y y =÷-+-÷-+÷-2321x x =-+-232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭22322432110.3(0.5)(0.5)(0.5)36a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=÷-+-÷-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22321533ab a b =-++23233421(3)2(3)92xy x x xy y x y ⎡⎤--÷⎢⎥⎣⎦2[(2)(2)4()]6x y x y x y x +-+-÷223239421922792x y x x x y y x y ⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭52510428(927)93x y x y x y x xy =-÷=-2222[44(2)]6x y x xy y x =-+-+÷2222(4484)6x y x xy y x =-+-+÷2(58)6x xy x =-÷5463x y =-6 =()32212332x x x x x -+-÷=()322122x x x -÷ =24x -.。
第02讲 整式的乘除法(知识解读+真题演练+课后巩固)(解析版)
第02讲整式的乘除法1.掌握单项式乘（或除以）单项式，多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算．2.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活的运用运算律进行混合运算。
知识点1：单项式乘单项式单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．知识点2：单项式乘多项式单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．知识点3：多项式乘多项式多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．知识点4：单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．知识点5：多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．【题型1单项式乘单项式】【典例1】（2023春•青龙县期末）计算2x2y•xy2的结果是2x3y3．【答案】2x3y3．【解答】解：2x2y•xy2＝2x3y3．故答案为：2x3y3．【变式1-1】（2023•长岭县模拟）计算（2x）2（﹣3xy2）＝﹣12x3y2．【答案】﹣12x3y2．【解答】解：（2x）2（﹣3xy2）＝4x2•（﹣3xy2）＝4×（﹣3）•（x2•x）•y2＝﹣12x3y2．故答案为：﹣12x3y2．【变式1-2】（2023春•永定区期末）计算：2（a2）3•（﹣3a2b）＝﹣6a8b．【答案】﹣6a8b．【解答】解：2（a2）3•（﹣3a2b）＝2a6•（﹣3a2b）＝﹣6a8b．故答案为：﹣6a8b．【变式1-3】（2023春•新城区校级期末）＝﹣3x4y5．【答案】﹣3x4y5．【解答】解：原式＝6×（﹣）•（x•x3）•（y3•y2）＝﹣3x4y5，故答案为：﹣3x4y5．【题型2单项式乘多项式】【典例2】（2023春•秦都区期中）计算：3a（2a2﹣4a）﹣2a2（3a+4）．【答案】﹣20a2．【解答】解：3a（2a2﹣4a）﹣2a2（3a+4）＝6a3﹣12a2﹣6a3﹣8a2＝﹣20a2．【变式2-1】（2023春•青秀区期中）化简：x+2x（x+1）﹣3x（2x﹣5）．【答案】﹣4x2+18x．【解答】解：x+2x（x+1）﹣3x（2x﹣5）＝x+2x2+2x﹣6x2+15x＝﹣4x2+18x．【变式2-2】（2022春•槐荫区期末）计算：﹣3a（2a﹣4b+2）+6a．【答案】﹣6a2+12ab．【解答】解：原式＝﹣6a2+12ab﹣6a+6a＝﹣6a2+12ab．【变式2-3】（2022春•平桂区期中）计算：m（m3+m2）﹣m3（m﹣3）．【答案】4m3．【解答】解：m（m3+m2）﹣m3（m﹣3）＝m4+m3﹣m4+3m3＝4m3．【题型3多项式乘多项式】【典例3】（2022秋•惠阳区校级月考）计算：（1）（x﹣3）（x2+4）；（2）（3x2﹣y）（x+2y）．【答案】（1）x3﹣3x2+4x﹣12；（2）3x3﹣xy﹣2y2+6yx2．【解答】解：（1）（x﹣3）（x2+4）＝x3﹣3x2+4x﹣12；（2）（3x2﹣y）（x+2y）＝3x3﹣xy﹣2y2+6yx2．【变式3-1】（2022秋•兴城市期末）计算：（2a﹣3b）（2a2+6ab+5b2）．【答案】4a3+6a2b﹣8ab2﹣15b3．【解答】解：原式＝4a3+12a2b+10ab2﹣6a2b﹣18ab2﹣15b3＝4a3+6a2b﹣8ab2﹣15b3．【变式3-2】（2022秋•南宫市期末）计算：（x﹣2）（x﹣5）﹣x2．【答案】10﹣7x．【解答】解：原式＝x2﹣7x+10﹣x2＝10﹣7x．【变式3-3】（2023春•沙坪坝区校级期末）计算：（1）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）．（2）（2x﹣1）（x+4）+（2x+3）（x﹣5）．【答案】（1）2x6﹣12x5﹣6x4；（2）4x2﹣19．【解答】解：（1）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）＝8x6﹣6x6﹣12x5﹣6x4＝2x6﹣12x5﹣6x4（2）（2x﹣1）（x+4）+（2x+3）（x﹣5）＝2x2﹣x+8x﹣4+2x2+3x﹣10x﹣15＝4x2﹣19【题型3多项式乘多项式-不存在某项问题】【典例4】（2023春•昭平县期末）已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展开式中不含x2项，常数项是﹣6．（1）求m，n的值．（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【答案】（1）m＝﹣1，n＝2；（2）7．【解答】解：（1）原式＝2x3+2mx2﹣6x+nx2+mnx﹣3n＝2x3+2mx2+nx2+mnx﹣6x﹣3n＝2x3+（2m+n）x2+（mn﹣6）x﹣3n，由于展开式中不含x2项，常数项是﹣6，则2m+n＝0且﹣3n＝﹣6，解得：m＝﹣1，n＝2；（2）由（1）可知：m＝﹣1，n＝2，∴原式＝m3+n3＝（﹣1）3+23，＝﹣1+8＝7．【变式4-1】（2023春•巨野县期末）（1）若（x2+mx+n）（x2﹣3x+1）的展开式中不含x2和x3项，求m、n的值．（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【答案】（1）m＝3，n＝8；（2）m3+n3．【解答】解：（1）（x2+mx+n）（x2﹣3x+1）＝x4﹣3x3+x2+mx3﹣3mx2+mx+nx2﹣3nx+n＝x4+（﹣3+m）x3+（1﹣3m+n）x2+（m﹣3n）x+n，∵展开式中不含x2和x3项，∴﹣3+m＝0，1﹣3m+n＝0，解得：m＝3，n＝8；（2）（m+n）（m2﹣mn+n2）＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3＝m3+n3．【变式4-2】（2023春•温江区校级期中）若（x+m）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x项，x2项的系数为﹣1，求n m的值．【答案】36．【解答】解：（x+m）（x2﹣3x+n）＝x3﹣3x2+nx+mx2﹣3mx+mn＝x3+（﹣3+m）x2+（n﹣3m）x+mn，∵展开式中不含x项，x2项的系数为﹣1，∴n﹣3m＝0，﹣3+m＝﹣1，解得：m＝2，n＝6，∴n m＝62＝36．【变式4-3】（2023春•茶陵县期中）若的积中不含x项与x2项．（1）求p、q的值；（2）求代数式p2022q2023的值．【答案】（1）；（2）3．【解答】解：（1）原式＝＝，∵不含x2项与x项，∴3p﹣1＝0，，∴，q＝3；（2）当，q＝3时，原式＝＝＝12022×3＝1×3＝3．【题型3多项式乘多项式的实际应用】【典例5】（2022秋•松原期末）如图，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（3a+2b）米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，将阴影部分进行绿化．（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积S；（2）若a＝2，b＝4，求出此时绿化的总面积S．【答案】（1）（3a2+11ab+6b2）平方米；（2）196平方米．【解答】解：（1）由题意得：S＝（3a+2b）（2a+3b）﹣a（3a+2b）＝6a2+9ab+4ab+6b2﹣3a2﹣2ab＝（3a2+11ab+6b2）平方米；（2）当a＝2，b＝4，S＝3×22+11×2×4+6×42＝196（平方米）．【变式5-1】（2023春•绥德县期末）如图，在某高铁站广场前有一块长为2a+b，宽为a+b的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．（1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示）（2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）（3）当a＝200，b＝100时，求这两个长方形喷泉池的总面积．【答案】（1）2a2+3ab+b2；（2）2a2﹣4ab+2b2；（3）20000．【解答】解：（1）（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2，答：该长方形空地的面积为2a2+3ab+b2．（2）（a+b﹣2b）（2a+b﹣3b）＝（a﹣b）（2a﹣2b）＝2a2﹣4ab+2b2．答：这两个长方形喷泉池的总面积为2a2﹣4ab+2b2．（3）当a＝200，b＝100时，这两个长方形喷泉池的总面积为2a2﹣4ab+2b2＝2×2002﹣4×200×100+2×1002＝20000．即这两个长方形喷泉池的总面积为20000．【变式5-2】（2022秋•晋江市期末）甲、乙两个长方形的边长如图所示，其面积分别记为S1，S2．（1）请通过计算比较S1与S2的大小；（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长的和，设该正方形的面积为S3，试说明代数式S3﹣2（S1+S2）的值是一个常数．【答案】（1）S1＞S2；（2）代数式S3﹣2（S1+S2）的值是一个常数20．【解答】解：（1），，∵，∴S1＞S2；（2）由题意得：正方形的边长是：，∴，∵＝4m2+24m+36﹣2m2﹣12m﹣16﹣2m2﹣12m＝20，∴代数式S3﹣2（S1+S2）的值是一个常数20．【变式5-3】（2023春•张店区期中）某学校准备在一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形空地上修建一块长为（a+2b）米，宽为（3a﹣b）米的长方形草坪，四周铺设地砖（阴影部分），（1）求铺设地砖的面积；（用含a、b的式子表示，结果化为最简）（2）若a＝3，b＝4，铺设地砖的成本为50元/平方米，则完成铺设地砖需要多少元？【答案】（1）（3a2+2ab+4b2）平方米；（2）5750元．【解答】解：（1）（3a+2b）（2a+b）﹣（a+2b）（3a﹣b）＝6a2+3ab+4ab+2b2﹣（3a2﹣ab+6ab﹣2b2）＝6a2+3ab+4ab+2b2﹣3a2+ab﹣6ab+2b2＝（3a2+2ab+4b2）平方米．故铺设地砖的面积为（3a2+2ab+4b2）平方米；（2）当a＝3，b＝4时，原式＝3×32+2×3×4+4×42＝3×9+24+4×16＝27+24+64＝115，则115×50＝5750（元）．答：完成铺设地砖需要5750元．【典例6】（2022秋•西湖区校级期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由图2可得等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45；（3）如图所示：故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．【变式6-1】（2023春•龙泉驿区期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．（1）小李同学拼成一个宽为（a+b），长为（a+2b）的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2（答案直接填写到横线上）；（2）如果用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+3b）的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张；（3）利用上述方法，画出面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并求出此长方形的周长（用含a，b的代数式表示）．【答案】（1）（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（2）A纸片需要2张，B纸片需要3张，C纸片需要7张；（3）6a+6b．【解答】解：（1）图2是长为（a+2b），宽为（a+b）的长方形，因此面积为（a+2b）（a+b），图2是6个部分的面积和，即a2+3ab+2b2，因此（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，故答案为：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（2）∵（2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2，∵A纸片的面积为a2，B纸片的面积为b2，C纸片的面积为ab，∴A纸片需要2张，B纸片需要3张，C纸片需要7张；（3）由于2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），因此可以拼成长为（2a+b），宽为（a+2b）的长方形，如图所示：这个长方形的周长为：2×[（2b+a）+（2a+b）]＝6a+6b，答：此长方形的周长为6a+6b．【变式6-2】（2021秋•罗庄区期末）我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示：（1）请你写出图3所表示的一个等式：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵长方形的面积＝长×宽，∴图3的面积＝（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，故图3所表示的一个等式：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；（2）∵图形面积为：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2，∴长方形的面积＝长×宽＝（a+b）（a+3b），由此可画出的图形为：【题型4单项式除法运算】【典例7】（2023•青岛）计算：8x3y÷（2x）2＝2xy．【答案】2xy．【解答】解：原式＝8x3y÷4x2＝2xy，故答案为：2xy．【变式7-1】（2022秋•柳州期末）计算4x2y÷2xy＝2x．【答案】2x．【解答】解：原式＝2x，故答案为：2x．【变式7-2】（2023春•威宁县期末）计算：﹣28a3÷7a＝﹣4a2．【答案】﹣4a2．【解答】解：﹣28a3÷7a＝﹣4a2，故答案为：﹣4a2．【变式7-3】（2023秋•鲤城区校级月考）计算：6a2b÷2ab＝3a．【答案】3a．【解答】解：6a2b÷2ab＝3a，故答案为：3a．【变式7-4】（2023•城阳区三模）＝﹣a4b5．【答案】﹣a4b5【解答】解：﹣a6b7÷（a2b2）＝[﹣÷（）]•a6﹣2b7﹣2＝﹣a4b5，答案为：﹣a4b5【题型5多项式除法运算】【典例8】（2023•丰城市校级开学）先化简，再求值：（12a3﹣6a2+3a）÷3a，其中a＝﹣1．【答案】4a2﹣2a+1，原式＝7．【解答】解：（12a3﹣6a2+3a）÷3a＝12a3÷3a﹣6a2÷3a+3a÷3a＝4a2﹣2a+1，当a＝﹣1时，原式＝4×（﹣1）2﹣2×（﹣1）+1＝4×1+2+1＝4+2+1＝7．【变式8-1】（2023春•济南期中）计算：（ab3﹣2a2b2+ab）÷ab．【答案】b2﹣2ab+1．【解答】解：（ab3﹣2a2b2+ab）÷ab＝ab3÷ab﹣2a2b2÷ab+ab÷ab＝b2﹣2ab+1．【变式8-2】（2023春•莲湖区期中）计算：（15x4y2﹣12x2y3﹣3x2）÷（﹣3x2）．【答案】﹣5x2y2+4y3+1．【解答】解：原式＝15x4y2÷（﹣3x2）﹣12x2y3÷（﹣3x2）﹣3x2÷（﹣3x2）＝﹣5x2y2+4y3+1；【变式8-3】（2023春•西安月考）计算：ab（2a3b2c﹣6ab3c2）÷（﹣2ab2c）．【答案】﹣a3b+3ab2c．【解答】解：ab（2a3b2c﹣6ab3c2）÷（﹣2ab2c）＝（2a4b3c﹣6a2b4c2）÷（﹣2ab2c）＝﹣a3b+3ab2c．1．（2023•随州）设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解答】解：∵（3a+b）（2a+2b）＝6a2+6ab+2ab+2b2＝6a2+8ab+2b2，∴若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为8张．故选：C．2．（2023•金昌）计算：a（a+2）﹣2a＝（）A．2B．a2C．a2+2a D．a2﹣2a【答案】B【解答】解：原式＝a2+2a﹣2a＝a2．故选：B．3．（2021•兰州）计算：2a（a2+2b）＝（）A．a3+4ab B．2a3+2ab C．2a+4ab D．2a3+4ab【答案】D【解答】解：2a（a2+2b）＝2a•a2+2a•2b＝2a3+4ab．故选：D．4．（2020•兰州）化简：a（a﹣2）+4a＝（）A．a2+2a B．a2+6a C．a2﹣6a D．a2+4a﹣2【答案】A【解答】解：a（a﹣2）+4a＝a2﹣2a+4a＝a2+2a，故选：A．5．（2021•凉山州）阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log39可以转化为指数式32＝9．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（M•N）＝log a M+log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：设log a M＝m，log a N＝n，则M＝a m，N＝a n，∴M•N＝a m•a n＝a m+n，由对数的定义得m+n＝log a（M•N）．又∵m+n＝log a M+log a N，∴log a（M•N）＝log a M+log a N．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：①log232＝5，②log327＝3，③log71＝0；（2）求证：log a＝log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）拓展运用：计算log5125+log56﹣log530．【答案】（1）5，3，0；（2）见解答；（3）2．【解答】解：（1）log232＝log225＝5，log327＝log333＝3，log71＝log770＝0；故答案为：5，3，0；（2）证明：设log a M＝m，log a N＝n，则M＝a m，N＝a n，∴＝＝a m﹣n，由对数的定义得m﹣n＝log a，又∵m﹣n＝log a M﹣log a N，∴log a＝log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）原式＝log5（125×6÷30）＝log525＝2．1．（2023春•市南区校级期中）小明有足够多的如图所示的正方形卡片A，B和长方形卡片C，如果他要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，共需要C类卡片（）A．3张B．4张C．5张D．6张【答案】A【解答】解：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．则需要C类卡片张数为3张，故选：A．2．（2022秋•新抚区期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（）A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b【答案】D【解答】解：根据题意，得纸盒底部长方形的宽为＝4a，∴纸盒底部长方形的周长为：2（4a+b）＝8a+2b．故选：D．3．（2023春•裕华区期中）化简x（x﹣2）+4x的结果是（）A．x2+6x B．x2﹣2x C．x2﹣6x D．x2+2x【答案】D【解答】解：x（x﹣2）+4x＝x2﹣2x+4x＝x2+2x．故选：D．4．（2023春•平湖市期中）计算（a+3b）（a+2b）的结果是（）A．a2+5ab+5b2B．a2+5ab+6b2C．a2+5b2D．a2+6b2【答案】B【解答】解：原式＝a2+2ab+3ab+6b2＝a2+5ab+6b2，故选：B．5．（2023春•临清市期末）若（x2﹣px+q）（x﹣3）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．p＝3q B．p+3q＝0C．q+3p＝0D．q＝3p【答案】C【解答】解：（x2﹣px+q）（x﹣3）＝x3﹣3x2﹣px2+3px+qx﹣3q＝x3+（﹣p﹣3）x2+（3p+q）x﹣3q，∵结果不含x的一次项，∴q+3p＝0．故选：C．6．（2023春•承德县期末）若（x﹣3）（x+n）＝x2+mx﹣21，则m，n的值分别是（）A．4，﹣3B．﹣7，4C．﹣5，18D．4，7【答案】D【解答】解：∵（x﹣3）（x+n）＝x2+mx﹣21，∴x2+nx﹣3x﹣3n＝x2+mx﹣21，即x2+（n﹣3）x﹣3n＝x2+mx﹣21，∴n﹣3＝m，﹣3n＝﹣21，∴m＝4，n＝7，故选：D．7．（2023春•包河区期中）若关于x的多项式（x2+ax）（x﹣2）展开合并后不含x2项，则a的值是（）A．2B．C．0D．﹣2【答案】A【解答】解：（x2+ax）（x﹣2）＝x3﹣2x2+ax2﹣2ax＝x3+（a﹣2）x2+ax2﹣2ax由题意得，a﹣2＝0，解得a＝2，故选：A．8．（2023春•漳浦县期中）已知（x﹣1）（x﹣2）＝x2+mx+n，则m+n的值为（）A．﹣1B．﹣5C．5D．1【答案】A【解答】解：∵（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2，∴m＝﹣3，n＝2，∴m+n＝﹣1，故选：A．9．（2023春•潍坊期中）计算下列各题：（1）x2•（﹣2xy2）3；（2）（2m+1）•．【答案】（1）﹣8x5y6；（2）﹣2m3﹣m﹣1．【解答】解：（1）x2•（﹣2xy2）3＝x2•（﹣8x3y6）＝﹣8x5y6；（2）（2m+1）•＝﹣2m3+m2﹣2m﹣m2+m﹣1＝﹣2m3﹣m﹣1．10．（2022秋•河北区期末）计算：（1）a•a5+（a3）2﹣（2a2）3；（2）（2x+1）（x﹣2）．【答案】（1）﹣6a6；（2）2x2﹣3x﹣2．【解答】解：（1）a•a5+（a3）2﹣（2a2）3＝a6+a6﹣8a6＝﹣6a6；（2）（2x+1）（x﹣2）＝2x2﹣4x+x﹣2＝2x2﹣3x﹣2．11．（2022秋•天河区期末）计算：（2x+1）（x﹣3）【答案】见试题解答内容【解答】解：（2x+1）（x﹣3）＝2x2﹣6x+x﹣3＝2x2﹣5x﹣3．12．（2022春•临湘市校级月考）计算：（1）（﹣2a2b）3+8（a2）2•（﹣a2）•（﹣b）3；（2）（x﹣1）（x2+x+1）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝﹣8a6b3+8a6b3＝0；（2）原式＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1＝x3﹣1．13．（2022秋•昌吉市校级期末）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．（1）试用含a、b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？（2）若a＝10，b＝8，且每平方米造价为100元，求出绿化需要多少费用？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意得：（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝（5a2+3ab）平方米．则绿化的面积是（5a2+3ab）平方米；（2）当a＝10，b＝8时，原式＝500+240＝740（平方米），740×100＝74000（元）．故绿化需要74000元费用．14．（2022秋•衡南县期中）若（x2+mx）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x2和x3项，求m和n的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝x4+（m﹣3）x3+（n﹣3m）x2+mnx，根据展开式中不含x2和x3项得：，解得：．故m的值是3，n的值是9．15．（2022春•揭东区期末）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道．（1）通道的面积共有多少平方米？（2）剩余草坪的面积是多少平方米？（3）若修两横一竖，宽度均为b米的通道（如图2），已知a＝2b，剩余草坪的面积是216平方米，求通道的宽度是多少米？【答案】见试题解答内容＝b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣b2【解答】解：（1）S通道＝2ab+3b2+4ab+3b2﹣b2＝（6ab+5b2）（平方米）．答：通道的面积共有（6ab+5b2）平方米；＝（4a+3b）（2a+3b）﹣（6ab+5b2）（2）S草坪＝8a2+6ab+12ab+9b2﹣（2ab+3b2+4ab+3b2﹣b2）＝8a2+18ab+9b2﹣6ab﹣5b2＝（8a2+12ab+4b2）（平方米）．答：剩余草坪的面积是（8a2+12ab+4b2）平方米；＝（4a+3b）（2a+3b）﹣[2b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣2b2]（3）S草坪＝8a2+18ab+9b2﹣（4ab+6b2+4ab+3b2﹣2b2）＝8a2+18ab+9b2﹣8ab﹣7b2＝8a2+10ab+2b2，∵a＝2b，∴32b2+20b2+2b2＝54b2＝216，∴b2＝4，∴b＝2（米）．答：通道的宽度是2米．16．（2023•桃城区校级模拟）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．（1）填空：S1﹣S2＝2m﹣1（用含m的代数式表示）；（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和．①设该正方形的边长为x，求x的值（用含m的代数式表示）；②设该正方形的面积为S3，试探究：S3与2（S1+S2）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由．【答案】（1）2m﹣1；（2）①2m+7；②S3与2（S1+S2）的差是常数19．【解答】解：（1）S1﹣S2＝（m+7）（m+1）﹣（m+4）（m+2）＝（m2+m+7m+7）﹣（m2+2m+4m+8）＝m2+m+7m+7﹣m2﹣2m﹣4m﹣8＝2m﹣1，故答案为：2m﹣1；（2）①根据题意得：4x＝2（m+7+m+1）+2（m+4+m+2），解得：x＝2m+7，答：x的值为2m+7；②∵S1+S2＝（m+7）（m+1）+（m+4）（m+2）＝（m2+m+7m+7）+（m2+2m+4m+8）＝m2+m+7m+7+m2+2m+4m+8＝2m2+14m+15，∴S3﹣2（S1+S2）＝（2m+7）2﹣2（2m2+14m+15）＝4m2+28m+49﹣4m2﹣28m﹣30＝19，答：S3与2（S1+S2）的差是常数19．。
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整式除法精讲专题辅导不分版本
整式除法包括单项式除以单项式和多项式除以单项式两部分。
1. 单项式除以单项式
运算法那么：将被除式，除式里的数字系数、同字母的幂分不相除，它们的积，作为商的因式，对只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数一起作为商的一个因式。
例1 运算：
〔1〕
()()()341234256x y xy x y -÷- 〔2〕
810021083⨯÷⨯(.) 〔3〕51253()[()]a b a b -÷-
解：〔1〕
()()()341234256x y xy x y -÷-
=⨯--⋅⋅⋅⋅=341232658623()x x x y y y
x y
〔2〕810021083⨯÷⨯(.) =⨯=⨯=⨯8021010
40104108
35
6
.
注：此题中，10被看作字母。
〔3〕51253()[()]a b a b -÷-
=⋅--=-+512
1025
3
22()()()a b a b a ab b =-+10201022
a a
b b 注：那个地点，()a b -被看作一个字母。
2. 多项式除以单项式
运算法那么是：多项式除以单项式，确实是用那个多项式的每一项分不除以单项式，再将所得的商相加。
例2 运算：
〔1〕
()()33183332a a a a -+÷ 〔2〕
[()()]()a b a b b a a b +--+÷-22222233 解：〔1〕
()()33183332a a a a -+÷
=⋅-⋅+⋅=-+333183331161322a a a a a a
a a
〔2〕
[()()]()a b a b b a a b +--+÷-22222233
=+-+-÷-{[()()]()}()a b a b a b a b 222223 =-+-÷-=--+--=-+[()()]()
()()a b a b a b a b a b a b a b a b 2222222222222222
22333
注：此题中，将被除式看作是以()a b 22-为字母的多项式。