概率论(第二版) 多维随机变量及其分布课件页PPT文档
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第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量及其分布函数 概率论课件
前面我们介绍了二维随机变量的概 念, 二维随机变量的分布函数及其性质。
二维随机变量也分为离散型和连续型, 下面我们分别讨论它们。
三、二维离散型随机变量 及其概率分布
如果二维随机变量(X,Y)的每个分 量都是离散型随机变量,则称(X,Y)是 二维离散型随机变量.
二维离散型随机变量(X,Y)所有可 能取的值也是有限个或可列无穷个.
求: 二维随机变量(X,Y)的概率分布和其边缘分 布.
解: (X,Y)所有可能取的值是
(0,0),(0,1),(1,0,),(1,1).
P{X=0,Y=0}
=P{第一次取到正品且第二次也取到正品},
利用古典概型,得: P{X=0,Y=0}=(76)/(109)=7/15
同理求得:
P{X=0,Y=1}=(73)/(109)=7/30
第三章
多维随机变量及其分布
一般地，我们称n个随机变量的整体
X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随
机向量. 以下重点讨论二维随机变量.
请注意与一维情形的对照 .
第三章 第一节
二维随机变量及其分布函数
一、二维随机变量
设随机试验E的样本空间是Ω，X=X() 和Y=Y()是定义在Ω上的随机变量, 由它们 构成的向量(X,Y),称为二维随机变量(向量)。
而把F(x,y)称为X和Y的联合分布函数。
注意
X与Y的边缘分布函数,实质上就是一维随 机变量X或Y的分布函数。称其为边缘分布函数 的原因是相对于(X,Y)的联合分布而言的。
同样地,(X,Y)的联合分布函数F(x, y)是相 对于(X,Y)分量X与Y的分布而言的。
求法
FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞) FY(y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y)
多维随机变量 PPT课件
第五章
多维随机变量
在实际问题中,一些随机试验的结果往往同时 需要两个或两个以上的随机变量来描述.要研究这 些随机变量之间的关系,就应同时考虑若干个随机 变量，即多维随机变量及其取值规律。本章主要 讨论多维随机变量的分布及其性质.
本章内容
§5.1 二维随机变量的概念() §5.2 边缘分布、条件分布() §5.3 随机变量的独立性() §5.4 数字特征 () §5.5 二维随机变量函数的概率分布() §5.6 中心极限定理简介() 小结 课程要求 习题选讲 本章测验
i j
例1 已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从 这批产品中任意抽出4 件, 求其中一等品件数 与二等品件数 的联合分布列.
解: 由已知条件，二维随机变量( , ) 所有可能的取值为： (i , j )
其中 i 0,1,2,3; j 0,1,2,3,4 且 2 i j 4, 由古典概率公式,有
X：表示该地区学龄前儿童的身高； Y：表示该地区学龄前儿童的体重； 则（X，Y）就是一个二维随机变量。 3、考察某地区的气候状况： X：表示该地区的温度； Y：表示该地区的湿度； 则（X，Y）就是一个二维随机变量。
4、考察某钢厂钢材的质量： X：表示该钢厂钢材的硬度； Y：表示该钢厂钢材的含碳量； Z：表示该钢厂钢材的含硫量；
其中 pi
pij
j 1 3
i 0,1,2,3
边缘分布律
p j pij
i 1
j 0,1,2,3,4
1 1 1 例2 设A,B为随机事件,且 P ( A) , P ( B | A) , P ( A | B ) , 4 3 2 A发生 1 1 B发生 令 X Y 0 A不发生 0 B不发生
多维随机变量
在实际问题中,一些随机试验的结果往往同时 需要两个或两个以上的随机变量来描述.要研究这 些随机变量之间的关系,就应同时考虑若干个随机 变量，即多维随机变量及其取值规律。本章主要 讨论多维随机变量的分布及其性质.
本章内容
§5.1 二维随机变量的概念() §5.2 边缘分布、条件分布() §5.3 随机变量的独立性() §5.4 数字特征 () §5.5 二维随机变量函数的概率分布() §5.6 中心极限定理简介() 小结 课程要求 习题选讲 本章测验
i j
例1 已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从 这批产品中任意抽出4 件, 求其中一等品件数 与二等品件数 的联合分布列.
解: 由已知条件，二维随机变量( , ) 所有可能的取值为： (i , j )
其中 i 0,1,2,3; j 0,1,2,3,4 且 2 i j 4, 由古典概率公式,有
X：表示该地区学龄前儿童的身高； Y：表示该地区学龄前儿童的体重； 则（X，Y）就是一个二维随机变量。 3、考察某地区的气候状况： X：表示该地区的温度； Y：表示该地区的湿度； 则（X，Y）就是一个二维随机变量。
4、考察某钢厂钢材的质量： X：表示该钢厂钢材的硬度； Y：表示该钢厂钢材的含碳量； Z：表示该钢厂钢材的含硫量；
其中 pi
pij
j 1 3
i 0,1,2,3
边缘分布律
p j pij
i 1
j 0,1,2,3,4
1 1 1 例2 设A,B为随机事件,且 P ( A) , P ( B | A) , P ( A | B ) , 4 3 2 A发生 1 1 B发生 令 X Y 0 A不发生 0 B不发生
《多维随机变量》课件
实际应用案例和问题解析
通过实际案例和问题解析，我们将展示多维随机变量在金融、工程和科学领 域的应用。
多维随机变量可以具有相关性或独立性，通过协方差矩阵可以描述它们之间 的关系。
多维随机变量的概率密度函数
概率密度函数描述了多维随机变量在各个取值点上的概率分布。
多维随机变量的期望和方差
期望是多维随机变量的平均值，而方差衡量了多维随机变量的离散程度。
多维随机变量的常见分布
常见的多维随机变量分布包括多维正态分布、多重二项分布和多重泊松分布。
《多维随机变量》PPT课 件
这个PPT课件将为您介绍多维随机变量的概念、特性、概率密度函数、期望和 方差，以及常见的分变量是指包含多个随机变量的组合。
多维随机变量的定义
多维随机变量是由多个随机变量组合而成的向量，其中每个随机变量都可以 取不同的取值。
多维随机变量的特性
第二章多维随机变量ppt课件
0
故 k 1
作 f (x, y) 非零区域的图形, 结合图形进行处理非常有用
{ X Y } 0 , (2) P
16
y e ,0 x 1 ,y 0 , ( x ,y ) 例 设 (X, Y) 的概率密度为：f 0 , 其它 .
试求 (2)
P { X Y } , P { X Y 1 } ;
X 的概率密度 fX (x) ：
F ( x ) ( x ) d x X fX
x
F ( x , y ) ( x , y ) d x ] d y , [ f
y
x
f (x, y) 称为 ( X, Y ) 的概率密度,
或称为 X与Y 的联合概率密度.
F ( x , y ) P { X x , Y y }
xy 1
最终的积分区域为 f (x, y) 的非零区域与区域 y x 的公共部分
d x
0
1
1 x e yd y e1 0
17
y e ,0 x 1 ,y 0 , ( x ,y ) 例: 设 (X, Y) 的概率密度为： f 0 , 其它
( X, Y ) 的分布函数
F ( x , y ) P { X x , Y y }
几何表示: F (x, y) 为随机点 (X, Y )落在图中阴影 区域内的概率.
y
.(x, y)
( X, Y ) 的分布函数具有:
. (X, Y )
0
F ( , y ) F ( x , )
36多维随机变量的联合分布函数及边缘分布函数离散型随机变量的联合分布律及边缘分布律连续型随机变量联合概率密度及边缘概率密度随机变量的独立性密度函数的性质常见的连续型分布均匀分布正态分布多维随机变量函数的分布
故 k 1
作 f (x, y) 非零区域的图形, 结合图形进行处理非常有用
{ X Y } 0 , (2) P
16
y e ,0 x 1 ,y 0 , ( x ,y ) 例 设 (X, Y) 的概率密度为：f 0 , 其它 .
试求 (2)
P { X Y } , P { X Y 1 } ;
X 的概率密度 fX (x) ：
F ( x ) ( x ) d x X fX
x
F ( x , y ) ( x , y ) d x ] d y , [ f
y
x
f (x, y) 称为 ( X, Y ) 的概率密度,
或称为 X与Y 的联合概率密度.
F ( x , y ) P { X x , Y y }
xy 1
最终的积分区域为 f (x, y) 的非零区域与区域 y x 的公共部分
d x
0
1
1 x e yd y e1 0
17
y e ,0 x 1 ,y 0 , ( x ,y ) 例: 设 (X, Y) 的概率密度为： f 0 , 其它
( X, Y ) 的分布函数
F ( x , y ) P { X x , Y y }
几何表示: F (x, y) 为随机点 (X, Y )落在图中阴影 区域内的概率.
y
.(x, y)
( X, Y ) 的分布函数具有:
. (X, Y )
0
F ( , y ) F ( x , )
36多维随机变量的联合分布函数及边缘分布函数离散型随机变量的联合分布律及边缘分布律连续型随机变量联合概率密度及边缘概率密度随机变量的独立性密度函数的性质常见的连续型分布均匀分布正态分布多维随机变量函数的分布
多维随机变量及其分布
26 November 2019
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第13页
例3.2.4 已知 (X, Y) 的联合密度为
exy , p(x, y)
0,
问 X 与Y 是否独立？
x 0, y 0; 其 他.
解: 边际分布密度分别为:
p(x)
e(x y)dy
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
Y X
yy 12
y j
x1
pp 11 12
p 1j
x2
pp p
21 22
2j
xi
pp p
i1 i2
ij
p pp p
j
1 2
j
26 November 2019
第4页
p i
p 1
p 2
p i
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第三章 多维随机变量及其分布
第5页
3.2.3 边际密度函数
26 November 2019
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第三章 多维随机变量及其分布
注意点
第11页
(1) X 与Y是独立的其本质是： 任对实数a, b, c, d，有
Pa X b, c Y d Pa X b Pc Y d
(2) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.
0
ex
x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
x0
ey, y 0 p(y)
0, y 0
所以X 与Y 独立。 注意：p(x, y) 可分离变量.
26 November 2019
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
概率3.1节-多维随机变量及其联合分布.ppt
c, x 2 y 2 R 2 , f ( x, y ) 2 2 2 0, x y R ,
(1)求常数c，（2）计算原点到该点的距 离D小于等于a的概率；（3）计算E(D).
二维正态分布 若二维随机变量(X,Y)的联合密度 函数为
p ( x, y ) 2 1 2 1 2
( x 1 ) 2 1 exp{ [ 2 2 2 2(1 ) 1 1 ( y 2 ) 2
( x 1 )( y 2 )
1 2
2
2
]}, x, y ,
则称(X,Y)服从二维正态分布，记为 其中参数满足
二维正态分布图
二维正态分布剖面图
p( x1 , , ( x1 , , xn ) D, , xn ) S D 0, 其他.
则称 布，记为
服从D上的多维均匀分
例3 考虑一个半径为R的圆，按如下方式 随机地在圆内投点：落在圆内任一区域 内的概率只与这个区域的面积有关，与 该区域在圆内的位置及形状无关。如果 令圆心表示原点，且令X和Y表示所投点 的坐标，设它们的联合密度函数为
y
(,)
F ( , ) 1
y
x
(x, y)
x
F ( , ) 0
(,)
y
F ( x , ) 0
x
F ( , y) 0
y
x
② 对每个变量单调不减 固定 x , 对任意的 y1< y2 , F (x, y1) F (x, y2) 固定 y , 对任意的 x1< x2 , F (x1,y) F (x2, y) ③ 对每个变量右连续 F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 )
(1)求常数c，（2）计算原点到该点的距 离D小于等于a的概率；（3）计算E(D).
二维正态分布 若二维随机变量(X,Y)的联合密度 函数为
p ( x, y ) 2 1 2 1 2
( x 1 ) 2 1 exp{ [ 2 2 2 2(1 ) 1 1 ( y 2 ) 2
( x 1 )( y 2 )
1 2
2
2
]}, x, y ,
则称(X,Y)服从二维正态分布，记为 其中参数满足
二维正态分布图
二维正态分布剖面图
p( x1 , , ( x1 , , xn ) D, , xn ) S D 0, 其他.
则称 布，记为
服从D上的多维均匀分
例3 考虑一个半径为R的圆，按如下方式 随机地在圆内投点：落在圆内任一区域 内的概率只与这个区域的面积有关，与 该区域在圆内的位置及形状无关。如果 令圆心表示原点，且令X和Y表示所投点 的坐标，设它们的联合密度函数为
y
(,)
F ( , ) 1
y
x
(x, y)
x
F ( , ) 0
(,)
y
F ( x , ) 0
x
F ( , y) 0
y
x
② 对每个变量单调不减 固定 x , 对任意的 y1< y2 , F (x, y1) F (x, y2) 固定 y , 对任意的 x1< x2 , F (x1,y) F (x2, y) ③ 对每个变量右连续 F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 )
第3章 多维随机变量及其分布
16 January 2017
第三章 多维随机变量及其分布
第11页
列表为：
X
0 1 2 3 4 Y 0 1 2 3 4 0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 0 1/16 0 0 0 0
16 January 2017
第三章 多维随机变量及其分布
则称 (X, Y) 服从二维正态分布， 2 2 记为 (X, Y) N ( 1, 2 , 1 , 2 , ) .
16 January 2017
第三章 多维随机变量及其分布
第27页
16 January 2017
第三章 多维随机变量及其分布
第28页
§3.2 边际分布与随机变量的独立性
则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量。 称p(x, y) 为联合密度函数。
16 January 2017
第三章 多维随机变量及其分布
第16页
联合密度函数的基本性质 (1) p(x, y) 0. (2) (非负性)
+
+
p( x, y ) d x d y 1 (正则性)
注意：P (X ,Y ) D p( x, y)dxdy, D R2 .
16 January 2017
第三章 多维随机变量及其分布
第13页
列表为：
X1 0 1
X2
0 0.0455
0
1 0.2719
0.6826
16 January 2017
第三章 多维随机变量及其分布
第14页
课堂练习
设随机变量 X 在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可 能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能
第三章 多维随机变量及其分布
第11页
列表为：
X
0 1 2 3 4 Y 0 1 2 3 4 0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 0 1/16 0 0 0 0
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第三章 多维随机变量及其分布
则称 (X, Y) 服从二维正态分布， 2 2 记为 (X, Y) N ( 1, 2 , 1 , 2 , ) .
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第三章 多维随机变量及其分布
第27页
16 January 2017
第三章 多维随机变量及其分布
第28页
§3.2 边际分布与随机变量的独立性
则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量。 称p(x, y) 为联合密度函数。
16 January 2017
第三章 多维随机变量及其分布
第16页
联合密度函数的基本性质 (1) p(x, y) 0. (2) (非负性)
+
+
p( x, y ) d x d y 1 (正则性)
注意：P (X ,Y ) D p( x, y)dxdy, D R2 .
16 January 2017
第三章 多维随机变量及其分布
第13页
列表为：
X1 0 1
X2
0 0.0455
0
1 0.2719
0.6826
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第三章 多维随机变量及其分布
第14页
课堂练习
设随机变量 X 在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可 能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能
概率论与数理统计Chapter+3多维随机变量及其分布.ppt
P{X i}p{Y j|X i}141i, i1,2,3,4, j1, i.
(X ,Y)关于X的边缘分布律为
p{X i} ji 1pij ji 11i1414, i1,2,3,4.
(X ,Y)关于Y的边缘分布律为
p1 j
p2
j
p3
j
p4
j
25 48
,
j 1
p2 j p3 j p4 j 1438, j2
类似一维情形,在 f (x,y)的连续点处
lim x0,y0
p{x
X
xx, y Y xy
yy}
2F(x, xy
y)
f
(x,
y).
从而当x,y很小时 p{x X xx,yY yy} f (x,y)xy.
即(x,y)落在小长方形(x,xx](y, yy]内的
概率 f (x,y)xy. 例2:设随机变量(X ,Y)具有概率密度
0,
else
例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度
6, x2 y x. f (x, y)
0, else.
求边缘概率密度.
解：确定区域： x 2
y
x
0 y 1
0 x 1 y x y
fX (x)
f
(x,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y)dy
x 6dy 6(x x2 ), 0 x 1
x2
这些随机变量之间有某种联系,需要作为一 个整体来考虑.
X (e)
e S
Y (e)
§1.二维随机变量
一. 二维随机变量的定义: 设为E随机实验,样本空间是 S {e},设
X X (e)和Y Y(e)是定义在S的随机变量， 由它们构成的一个向量( X ,Y )，叫做二维随 机向量或二维随机变量
(X ,Y)关于X的边缘分布律为
p{X i} ji 1pij ji 11i1414, i1,2,3,4.
(X ,Y)关于Y的边缘分布律为
p1 j
p2
j
p3
j
p4
j
25 48
,
j 1
p2 j p3 j p4 j 1438, j2
类似一维情形,在 f (x,y)的连续点处
lim x0,y0
p{x
X
xx, y Y xy
yy}
2F(x, xy
y)
f
(x,
y).
从而当x,y很小时 p{x X xx,yY yy} f (x,y)xy.
即(x,y)落在小长方形(x,xx](y, yy]内的
概率 f (x,y)xy. 例2:设随机变量(X ,Y)具有概率密度
0,
else
例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度
6, x2 y x. f (x, y)
0, else.
求边缘概率密度.
解：确定区域： x 2
y
x
0 y 1
0 x 1 y x y
fX (x)
f
(x,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y)dy
x 6dy 6(x x2 ), 0 x 1
x2
这些随机变量之间有某种联系,需要作为一 个整体来考虑.
X (e)
e S
Y (e)
§1.二维随机变量
一. 二维随机变量的定义: 设为E随机实验,样本空间是 S {e},设
X X (e)和Y Y(e)是定义在S的随机变量， 由它们构成的一个向量( X ,Y )，叫做二维随 机向量或二维随机变量
概率论与数理统计课件：多维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
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在实际问题中, 试验结果有时需要同时用两个或两
个以上的随机变量来描述.
如， 炮弹的弹着点的位置, (X, Y)是一个二维随
机变量.
又如，研究天气变化状况，令X, Y, Z分别表示
温度、湿度、风速，则(X, Y, Z)是一个三维随机变量.
研究多维随机变量有必要将多个变量作为一个整
二元函数
F ( x , y ) P{( X x ) (Y y )} P ( X x , Y y )
称为随机变量(X,Y)的联合分布函数。
一维随机变量X的联合分布
函数F ( x ) P ( X x ).
多维随机变量及其分布
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F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)
y
F ( , y ) 0,
o
F ( x , ) 0,
F ( , ) 0, F ( , ) 1;
4 F ( x , y )关于x和y分别右连续；
x1
F ( x1 , y ) F ( x2 , y )
5 对于任意x1 x2 , y1 y2 , 有矩形公式
…
…
…
…
X
性质： 1 pij 0, i , j 1, 2, ;
2
p
i 1 j 1
多维随机变量及其分布
ij
1.
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例1 从1,2,3,4中任取一个数记为X、再从1,2, ⋯ ,
中任取一个数记为Y,求 ( X, Y ) 的联合分布律及P
( X=2Y ).
解：
可以证明，f(x,y)满足联合密度的性质。
(ppt) 第三章 多维随机变量及其分布
14 August 2013
D
河北科技大学
第三章 多维随机变量及其分布
19
说明
几何上, z f ( x , y ) 表示空间的一个曲面.
f ( x, y ) d x d y 1,
表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空三章 多维随机变量及其分布
5
定义1 设 ( X , Y ) 为2-rv, 称函数
F(x, y) = P{X x, Y y} (任意实数x, y) 为(X,Y) 的分布函数, 或 ( X , Y ) 的联合分布函数, 或 X 和 Y 的联合分布函数. J-cdf Joint distribution function y 注 F(x, y)表示 随机点(X, Y) y (x, y) 落在以点(x, y)为右上端点 x 0 x 的广义矩形域 内的概率.
14 August 2013
第三章 多维随机变量及其分布
28
当 x 1, y 1 时,
F ( x, y)
y
x
f ( u, v ) d u d v
1 d u0
0
u1
2 d v 1.
所以 ( X , Y ) 的分布函数为
0, x 1, 或 y 0, ( 2 x y 2) y , 1 x 0, 0 y x 1, F ( x , y ) ( x 1)2 , 1 x 0, y x 1, (2 y ) y , x 0, 0 y 1, 1, x 1, y 1.
14 August 2013
河北科技大学
第三章 多维随机变量及其分布
18
联合概率密度函数的基本性质
D
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第三章 多维随机变量及其分布
19
说明
几何上, z f ( x , y ) 表示空间的一个曲面.
f ( x, y ) d x d y 1,
表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空三章 多维随机变量及其分布
5
定义1 设 ( X , Y ) 为2-rv, 称函数
F(x, y) = P{X x, Y y} (任意实数x, y) 为(X,Y) 的分布函数, 或 ( X , Y ) 的联合分布函数, 或 X 和 Y 的联合分布函数. J-cdf Joint distribution function y 注 F(x, y)表示 随机点(X, Y) y (x, y) 落在以点(x, y)为右上端点 x 0 x 的广义矩形域 内的概率.
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第三章 多维随机变量及其分布
28
当 x 1, y 1 时,
F ( x, y)
y
x
f ( u, v ) d u d v
1 d u0
0
u1
2 d v 1.
所以 ( X , Y ) 的分布函数为
0, x 1, 或 y 0, ( 2 x y 2) y , 1 x 0, 0 y x 1, F ( x , y ) ( x 1)2 , 1 x 0, y x 1, (2 y ) y , x 0, 0 y 1, 1, x 1, y 1.
14 August 2013
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第三章 多维随机变量及其分布
18
联合概率密度函数的基本性质
多维随机变量及分布61页PPT
谢谢！
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
多维随机变量及分布
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
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第三章 多维随机变量及其分布
第9页
联合分布列的基本性质
(1) pij 0, i, j = 1, 2,… (非负性)
(2) pij = 1. (正则性)
第三章 多维随机变量及其分布
确定联合分布列的方法
第10页
(1) 确定随机变量 (X, Y) 的所有取值数对. (2) 计算取每个数值对的概率. (3) 列出表格.
第三章 多维随机变量及其分布
列表为：
XY 0 1 2 3 4
0
0 0 0 0 1/16
1
0 0 0 1/4 0
2
0 0 6/16 0 0
3
0 1/4 0 0 0
4 1/16 0 0 0 0
第12页
第三章 多维随机变量及其分布
课堂练习
第13页
设随机变量 X 在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可 能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能 地取一整数值。试求（X, Y）的联合分布列.
0,
x0, y0 其它
试求常数 A.
第三章 多维随机变量及其分布
第17页
解:
1 p(x,y)dxdy
Ae(2x3y)dxdy
00
Ae2xdx e3ydy
0
0
A1 2e2x0 1 3e3y0
x1
X1
第三章 多维随机变量及其分布
第6页
联合分布函数的基本性质
(1) F(x, y) 关于 x 和 y 分别单调增. (单调性)
(2) 0 F(x, y) 1， (有界性) F(, y) = 0，F(x, ) =0， F(+, +) = 1.
(3) F(x, y) 关于 x 和 y 分别右连续. (右连续性) (4) 当a<b, c<d 时，有 (非负性)
3.3.1 多维随机变量 定义3.1.1
若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(X, Y) 是二维随机变量.
同理可定义 n 维随机变量 (随机向量).
第三章 多维随机变量及其分布
第3页
●在研究四岁至六岁儿童的生长发育情况时，我们感兴趣的
是每个儿童（样本点）的身高X1() 和体重 X2() ，
第三章 多维随机变量及其分布
第11页
例3.1.1 将一枚均匀的硬币抛掷4次，X表示正面向上
的次数，Y表示反面朝上次数。求 (X, Y) 的联合分布列.
解：概率非零的(X,Y) 可能取值对为: X Y 其对应的概率分别为： 0 4 P(X=0, Y=4)= 0.54=1/16 1 3 P(X=1, Y=3)= C410.50.53 =1/4 2 2 P(X=2, Y=2)= C420.520.52 =6/16 3 1 P(X=3, Y=1)= C430.530.51 =1/4 4 0 P(X=4, Y=0)= 0.54 =1/16
第8页
二维离散分布的联合分布列
称 pij = P(X=xi, Y=yj)， i, j=1, 2, ..., 为(X,Y) 的联合分布列，其表格形式如下:
Y X
x1 x2 … xi …
y1 y2 … yj …
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … ……… pi1 pi2 … pi j … … … ………
第15页
联合密度函数的基本性质
(1) p(x, y) 0. (非负性)
(2)
p(x,y)dxdy1
(正则性)
- -
注意： P(X,Y) D p(x,y)dxdy
D
第三章 多维随机变量及其分布
第16页
例3.1.3
若 (X, Y) ～
Ae(2x3y), p(x,y)
第三章 多维随机变量及其分布
3.1.4 联合密度函数
第14页
设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)， 若存在非负可积函数 p(x, y)，使得
xy
F(x,y)= p(u,v)dvdu --
则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量。 称p(x, y) 为联合密度函数。
第三章 多维随机变量及其分布
这里 (X1,X2) 一个二维随机变量。
●在研究每个家庭的支出情况时，我们感兴趣于每个家庭（样
本点 ）的衣食住行四个方面。若用X1() ， X2() ，X3()，
X4 () 分别表示衣食住行的花费占其家庭收入的百分比，则
(X1,X2,X3,X4) 就是一个四维随机变量。
第三章 多维随机变量及其分布
=A/6
所以, A=6
第三章 多维随机变量及其分布
例3.1.4
第18页
6e(2x3y), x0,y0
若
(X,
Y)
～
p(x,y)
0,
其它
试求 P{ X< 2, Y< 1}.
பைடு நூலகம்三章 多维随机变量及其分布
第19页
y
解: P{ X<2, Y<1} p(x,y)dxdy
{x2, y1}
1
2
dx
16e(2x3y)dy
0
0
6 2e2xdx 1e3ydy
0
0
{x<2, y<1}
2x
612e2x
0213e3y
第三章 多维随机变量及其分布
第1页
第三章 多维随机变量及其分 布
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5
多维随机变量及其联合分布 边际分布与随机变量的独立性 多维随机变量函数的分布 多维随机变量的特征数 条件分布与条件期望
第三章 多维随机变量及其分布
第2页
§3.1 多维随机变量及其联合分 布
第4页
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2(以下仅讨论两维随机变量)
任对实数 x 和 y, 称 F(x, y) = P( X x, Y y)
为(X, Y) 的联合分布函数.
注意：
F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.
第三章 多维随机变量及其分布
X2 x2
第5页
(x1, x2)
F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0. 注意：上式左边 = P(a<Xb, c<Y d).
第三章 多维随机变量及其分布
第7页
3.1.3 联合分布列
二维离散随机变量
若(X, Y) 的可能取值为有限对、或可列对， 则称(X, Y)为二维离散随机变量.
第三章 多维随机变量及其分布