【解题模型】倍长中线模型
中考数学中点四大模型专题知识解读
中点四大模型专题知识解读【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。
【方法技巧】模型1 ：倍长中线法如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.模型2：平行线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3：中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型4：连接直角顶点，构造斜中定理【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE到F，使得EF＝DE；（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC ＝10，点E是CD的中点，求AE的长．【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝．【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F 处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；②求BE的长．【模型3 中位线】【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（）A．1B．2C．D．【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为．【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）四边形DEFC的面积为．【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD 的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA ＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A．5B．10C．15D．20【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE 交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。
三角形全等5大模型含参考答案
三角形全等模型题型01倍长中线1如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是．2如图，五边形ABCDE中，AB=BC=7，AE=ED=8，∠ABC+∠AED=180°，M为边CD的中点，BM=9，EM=10，则五边形ABCDE的面积为=．3(1)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB=5，AC=3，设AD=x，可得x的取值范围是；(2)如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．4【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.HL(2)求得AD的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．题型02一线三等角1如图，AC=AB=BD，∠ABD=90°，BC=8，则△BCD的面积为()A.8B.12C.14D.162如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，对角线BD⊥CD，若BD=14，则△ABD的面积为．3在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5，BE=2，求线段DE的长．4已知，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA=∠AEC=∠BAC．(1)如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，BD，CE与DE的数量关系为．(2)如图②，当AB不垂直于AC时，(1)中的结论是否成立？请说明理由．(3)如图③，若只保持∠BDA=∠AEC，BD=EF=7cm，DE=10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以x cm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t(s)．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由．题型03手拉手模型1如图所示，AB=AC，AD=AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC=∠DAE，∠1= 25°，∠2=30°，则∠3=()A.55°B.50°C.45°D.60°2如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC，BF与CE相交于点M．(1)求证：EC=BF；(2)求证：EC⊥BF．3(1)如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD=CE；(2)如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：∠AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是．(3)拓展探究如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．题型04半角模型1已知四边形ABCD是正方形，M、N分别是边BC，CD上的动点．(1)如图①，设O是正方形ABCD对角线的交点，若OM⊥ON，求证：BM=CN，(2)在(1)的条件下，若正方形ABCD的边长为4cm，求四边形MONC的面积；(3)如图②，若∠MAN=45°试说明△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半．2已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N，AH⊥MN于点H．(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；(2)如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；题型05对角互补模型1如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B=∠C=45°；②AP=EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的34，其中正确的结论是()A.①②③B.①②④⑤C.①③④⑤D.①③④2【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出△DEF的周长．3(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若EF=BE+FD．求证：∠EAF=12∠BAD(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，证明你的结论．提优练习1如图，△ABC的面积为1cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，则△PBC的面积为()A.0.4cm2B.0.5cm2C.0.6cm2D.0.7cm22如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC =3，则BD的长为()A.1B.1.5C.2D.2.53如图，已知△ABC中，BD=AD，F是高AD和BE的交点，FD=4，AF=2，则线段BC的长度为()A.6B.8C.10D.124在△ABC中，AB=5，AC=7，则中线AD的取值范围是()A.1<AD<7B.1<AD<8C.1<AD<6D.2<AD<55如图，△ABC是边长为a的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D 为顶点做一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是()A.aB.2aC.3aD.不能确定6如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD= 4，BE=3，则DE=．7如图，AC=AB=BD，∠ABD=90°，BC=6，则△BCD的面积为．8如图，△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，E是AB上一点，且∠BDE=90°，DB= DE=AE，若BC=5，则AD的长是．9如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，AC-AB=5，若S△BDC的最大值为30，则BC长为 ．10如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°．P是BC边上一点，CP=CA，连接AP，以AP为边在AP的右上方作等边三角形APQ．若AB=5，则点Q到边AB的距离为．11如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB=5，EN=2，则DM=．12如图，∠BAC=90°，AB=AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．(1)求证：△ABE≌△CAF；(2)若CF=5，BE=2，求EF的长．13(1)问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．(2)拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．14在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF=AB；当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线时，如图③．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明．16在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点(不与点B、C重合)，以AD为腰右侧作等腰三角形△ADE，且AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接CE．(1)如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=度．(2)设∠BAC=α，∠BCE=β．①点D是在线段BC上移动时，如图2，则α、β之间有怎样的数量关系？试说明理由．②点D是在射线CB上移动时，则α、β之间有怎样的数量关系？试直接写出结论．17如图，已知△ABC中，AB=AC，点D，E分别为AB，AC上的点，BE=CD．(1)△ABD与△ACE全等吗？为什么？(2)连接AF，DE，求证：AF垂直平分DE．18如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；拓展延伸如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；∠EAF=12实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°(即∠AON=30°)的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心的夹角∠EOF=70°，请直接写出两舰艇之间的距离为海里．三角形全等模型题型01倍长中线1如图，在△ABC 中，AB =10，AC =6，则BC 边上的中线AD 的取值范围是．【分析】延长AD 至E ，使DE =AD ，由SAS 证明△ACD ≌△EBD ，得出BE =AC =6，在△ABE 中，由三角形的三边关系求出AE 的取值范围，即可得出AD 的取值范围；【解答】(1)解：延长AD 至E ，使DE =AD ，连接BE ，如图1所示∵AD 是BC 边上的中线，∴BD =CD ，在△BDE 和△CDA 中，BD =CD ∠BDE =∠CDA DE =AE，∴△BDE ≌△CDA (SAS )，∴BE =AC =6，在△ABE 中，由三角形的三边关系得：AB -BE <AE <AB +BE ，∴10-6<AE <10+6，即4<AE <16，∴2<AD <8；故答案为2<AD <8．【点评】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．2如图，五边形ABCDE 中，AB =BC =7，AE =ED =8，∠ABC+∠AED =180°，M 为边CD 的中点，BM =9，EM =10，则五边形ABCDE 的面积为=．【分析】延长BM 到F ，使FM =BM ，连接DF 、EF 、BE ，易证△BCM ≌△FDM ，△ABE ≌△DFE ，根据全等三角形的对应边相等，可得△BEF 是等腰三角形，五边形的面积转化成了三角形的面积，利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：如图，延长BM 到F ，使FM =BM ，连接DF 、EF 、BE ，在△BMC 和△FMD 中，BM =FM ∠BMC =∠FMD CM =DM，∴△BMC ≌△FMD 中(SAS )，∴BM =FM ，BC =FD =AB ，∠C =∠FDM ，∵∠A +∠ABC +∠C +∠CDE +∠AED =(5-2)×180°=540°，∵∠ABC +∠AED =180°，∴∠A +∠C +∠CDE =360°，∵∠CDE +∠CDF +∠EDF =360°，∴∠A =∠EDF ，在△ABE 和△DFE 中，AB =DF ∠A =∠EDF AE =DE，∴△ABE ≌△DFE (SAS )，∴BE =EF ，∵BM =FM ，∴EM ⊥BF ，∴S 五边形ABCDE=S △ABE +S △BCM +S 四边形BMDE=S △BEF=12BF •EM =12×9×2×10=90．故答案为：90．【点评】本题考查了多边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添辅助线将多边形的问题转化为三角形的问题是解题的关键．3(1)如图1，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED=AD ，连接CE ．①证明△ABD ≌△ECD ；②若AB =5，AC =3，设AD =x ，可得x 的取值范围是；(2)如图2，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE +CF >EF．【分析】(1)①根据三角形的中线得出BD =CD ，再由对顶角相等得出∠ADB =∠CDE ，即可得出结论；②先由△ABD ≌△ECD ，得出CE =5，再由ED =AD ，得出AE =2AD =2x ，最后用三角形的三边关系，即可求出答案；(2)先根据SAS 判断出△DEF ≌△DEH ，得出EH =EF ，再根据SAS 判断出△BDH ≌△CDF ，得出CF =BH ，即可求出答案．【解答】(1)①证明：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD ，在△ADB 和△ECD 中，BD =CD ∠ADB =∠CDE (对顶角相等)AD =DE，∴△ABD ≌△ECD (SAS )；②解：由①知，△ABD ≌△ECD ，∴CE =AB ，∵AB =5，∴CE =5，∵ED =AD ，AD =x ，∴AE =2AD =2x ，在△ACE 中，AC =3，根据三角形的三边关系得，5-3<2x <5+3，∴1<x <4，故答案为：1<x <4；(2)证明：如图2，延长FD，截取DH=DF，连接BH，EH，∵DH=DF，DE⊥DF，即∠EDF=∠EDH=90°，DE=DE，∴△DEF≌△DEH(SAS)，∴EH=EF，∵AD是中线，∴BD=CD，∵DH=DF，∠BDH=∠CDF，∴△BDH≌△CDF(SAS)，∴CF=BH，∵BE+BH>EH，∴BE+CF>EF．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，用倍长中线法构造全等三角形是解本题的关键．4【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.HL(2)求得AD的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图2，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE =EF ．求证：AC =BF ．【分析】(1)根据AD =DE ，∠ADC =∠BDE ，BD =DC 推出△ADC 和△EDB 全等即可；(2)根据全等得出BE =AC =6，AE =2AD ，由三角形三边关系定理得出8-6<2AD <8+6，求出即可；(3)延长AD 到M ，使AD =DM ，连接BM ，根据SAS 证△ADC ≌△MDB ，推出BM =AC ，∠CAD =∠M ，根据AE =EF ，推出∠CAD =∠AFE =∠BFD ，求出∠BFD =∠M ，根据等腰三角形的性质求出即可．【解答】(1)解：∵在△ADC 和△EDB 中， AD =DE ∠ADC =∠BDE BD =CD，∴△ADC ≌△EDB (SAS )，故选B ；(2)解：∵由(1)知：△ADC ≌△EDB ，∴BE =AC =6，AE =2AD ，∵在△ABE 中，AB =8，由三角形三边关系定理得：8-6<2AD <8+6，∴1<AD <7，故选C ．(3)证明：延长AD 到M ，使AD =DM ，连接BM ，∵AD 是△ABC 中线，∴CD =BD ，∵在△ADC 和△MDB 中，DC =DB ∠ADC =∠MDB DA =DM∴△ADC ≌△MDB ，∴BM =AC ，∠CAD =∠M ，∵AE =EF ，∴∠CAD =∠AFE，∵∠AFE=∠BFD，∴∠BFD=∠CAD=∠M，∴BF=BM=AC，即AC=BF．【点评】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．题型02一线三等角1如图，AC=AB=BD，∠ABD=90°，BC=8，则△BCD的面积为()A.8B.12C.14D.16【分析】由等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，即可求解．【解答】解：作AE⊥BC于E，DF⊥CB交CB延长线于F，∵AB=AC，∴BE=CE=4，∵∠EAB+∠ABE=∠DBF+∠ABE=90°，∴∠EAB=∠DBF，∵∠AEB=∠BFD=90°，AB=DB，∴△AEB≌△BFD(AAS)，∴DF=BE=4，∴S△DCB=1CB•DF，2×8×4=16，∴S△DCB=12故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是作辅助线构造全等三角形．2如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，对角线BD⊥CD，若BD=14，则△ABD的面积为．【分析】过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，根据垂直定义可得∠AEB =∠CDB =90°，从而可得∠BAE +∠ABE =90°，再利用同角的余角相等可得∠BAE =∠DBC ，然后利用AAS 证明△ABE ≌△BCD ，从而利用全等三角形的性质可得AE =BD =14，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．【解答】解：过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，∵AE ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠AEB =∠CDB =90°，∴∠BAE +∠ABE =90°，∵∠ABC =90°，∴∠ABD +∠DBC =90°，∴∠BAE =∠DBC ，∵AB =BC ，∴△ABE ≌△BCD (AAS )，∴AE =BD =14，∴△ABD 的面积=12BD •AE =12×14×14=98，故答案为：98．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD +BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，AD =5，BE =2，求线段DE 的长．【分析】(1)①由已知推出∠ADC =∠BEC =90°，因为∠ACD +∠BCE =90°，∠DAC +∠ACD =90°，推出∠DAC =∠BCE ，根据AAS 即可得到答案；②由①得到AD =CE ，CD =BE ，即可求出答案；(2)与(1)证法类似可证出∠ACD =∠EBC ，能推出△ADC ≌△CEB ，得到AD =CE ，CD =BE ，代入已知即可得到答案．【解答】(1)①证明：∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∠DAC +∠ACD =90°，∴∠DAC =∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中，∠CDA =∠BEC ∠DAC =∠ECB AC =BC，∴△ADC ≌△CEB (AAS )；②证明：由(1)知：△ADC ≌△CEB ，∴AD =CE ，CD =BE ，∵DC +CE =DE ，∴AD +BE =DE ；(2)证明：∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∴∠EBC +∠ECB =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ECB +∠ACE =90°，∴∠ACD =∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，∠ACD =∠BEC ∠ADC =∠BEC AC =BC，∴△ADC ≌△CEB (AAS )，∴AD =CE ，CD =BE ，∴DE =EC -CD =AD -BE =5-2=3．【点评】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．4已知，在△ABC 中，AB =AC ，D ，A ，E 三点都在直线m 上，∠BDA =∠AEC =∠BAC ．(1)如图①，若AB ⊥AC ，则BD 与AE 的数量关系为，BD ，CE 与DE 的数量关系为．(2)如图②，当AB 不垂直于AC 时，(1)中的结论是否成立？请说明理由．(3)如图③，若只保持∠BDA =∠AEC ，BD =EF =7cm ，DE =10cm ，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点D 向点E 运动，同时，点C 在线段EF 上以x cm/s 的速度由点E 向点F 运动，它们运动的时间为t (s )．是否存在x ，使得△ABD 与△EAC 全等？若存在，求出相应的t 与x 的值；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE =∠ABD ，再由AAS 证明△ABD ≌△CAE ，得BD =AE ，CE =AD ，即可解决问题；(2)同(1)得△ABD ≌△CAE (AAS )，得BD =AE ，CE =AD ，即可得出结论；(3)分△DAB ≌△ECA 或△DAB ≌△EAC 两种情形，分别根据全等三角形的性质求出t 的值，即可解决问题．【解答】解：(1)∵∠BDA =∠AEC =∠BAC ，∠BAD +∠CAE +∠BAC =∠BAD +∠ABD +∠BDA =180°，∴∠BAD +∠CAE =∠BAD +∠ABD ，∴∠CAE =∠ABD ，∵∠BDA=∠AEC，AB=CA，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∵AE+AD=DE，∴BD+CE=DE，故答案为：BD=AE，BD+CE=DE；(2)成立，BD=AE，BD+CE=DE，理由如下：同(1)得：△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD=AE，CE=AD，∵AE+AD=DE，∴BD+CE=DE；(3)存在，理由如下：当△DAB≌△ECA时，AD=CE，BD=AE=7cm，∵AD+AE=DE=10cm，∴CE=AD=DE-AE=3cm，∴t=AD2=32，∴x=3÷32=2；当△DAB≌△EAC时，∴AD=AE=12DE=5cm，DB=EC=7cm，∴t=AD2=52，x=7÷52=145，综上所述，存在x，使得△ABD与△EAC全等，t=32，x=2或t=52，x=145．【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平角的定义以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．题型03手拉手模型1如图所示，AB=AC，AD=AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC=∠DAE，∠1= 25°，∠2=30°，则∠3=()A.55°B.50°C.45°D.60°【分析】求出∠BAD =∠EAC ，证△BAD ≌△EAC ，推出∠2=∠ABD =30°，根据三角形的外角性质求出即可．【解答】解：∵∠BAC =∠DAE ，∴∠BAC -∠DAC =∠DAE -∠DAC ，∴∠1=∠EAC ，在△BAD 和△EAC 中，AB =AC ∠BAD =∠EAC AD =AE，∴△BAD ≌△EAC (SAS )，∴∠2=∠ABD =30°，∵∠1=25°，∴∠3=∠1+∠ABD =25°+30°=55°，故选：A ．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD ≌△EAC ．2如图，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE =AB ，AF =AC ，BF 与CE 相交于点M ．(1)求证：EC =BF ；(2)求证：EC ⊥BF．【分析】(1)利用SAS 说明△ABF ≌△AEC 得结论；(2)先利用全等三角形的性质说明∠AEC =∠ABF ，再利用三角形内角和定理说明∠BMD =90°得结论．【解答】证明：(1)∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，∴∠BAE =∠CAF =90°．∴∠BAE +∠BAC =∠CAF +∠BAC ，即∠EAC =∠BAF ．在△ABF 和△AEC 中，AB =AE ∠EAC =∠BAF AC =AF，∴△ABF ≌△AEC (SAS )．∴EC =BF ．(2)由(1)知：△ABF ≌△AEC ，∴∠AEC =∠ABF ．∵AE ⊥AB ，∴∠BAE =90°．∴∠AEC +∠ADE =90°．∵∠ADE =∠BDM ，∴∠ABF +∠BDM =90°．在△BDM 中，∠BMD =180°-∠ABF -∠BDM =180°-90°=90°．∴EC ⊥BF ．【点评】本题主要考查了全等三角形，掌握三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定是解决本题的关键．3(1)如图1，△ABC 与△ADE 均是顶角为40°的等腰三角形，BC 、DE 分别是底边，求证：BD =CE ；(2)如图2，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．填空：∠AEB 的度数为；线段BE 与AD 之间的数量关系是．(3)拓展探究如图3，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ．请判断∠AEB 的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由．【分析】(1)根据全等三角形的判定方法，判断出△BAD ≌△CAE ，即可判断出BD =CE ．(2)首先根据△ACB 和△DCE 均为等边三角形，可得AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∠CDE =∠CED =60°，据此判断出∠ACD =∠BCE ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD ≌△BCE ，即可判断出BE =AD ，∠BEC =∠ADC ，进而判断出∠AEB 的度数为60°即可．(3)首先根据△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，可得AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =90°，据此判断出∠ACD =∠BCE ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD ≌△BCE ，即可判断出BE =AD ，∠BEC =∠ADC ，进而判断出∠AEB 的度数为90°即可；最后根据DCE =90°，CD =CE ，CM ⊥DE ，可得CM =DM =EM ，所以DE =DM +EM =2CM ，据此判断出AE =BE +2CM 即可．【解答】(1)证明：∵∠BAC =∠DAE =40°，∴∠BAC -∠DAC =∠DAE -∠DAC ，即∠BAD =∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE∴△BAD ≌△CAE (SAS )，∴BD =CE ．(2)解：∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∠CDE =∠CED =60°，∴∠ACB -∠DCB =∠DCE -∠DCB ，即∠ACD =∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE∴△ACD ≌△BCE (SAS )，∴BE =AD ，∠ADC =∠BEC ，∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC =180°-60°=120°，∴∠BEC =120°，∴∠AEB =∠BEC -∠CED =120°-60°=60°，综上，可得∠AEB 的度数为60°；线段BE 与AD 之间的数量关系是：BE =AD ．故答案为：60°、BE =AD ．(3)解：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =90°，∠CDE =∠CED =45°，∴∠ACB -∠DCB =∠DCE -∠DCB ，即∠ACD =∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE，∴△ACD ≌△BCE (SAS )，∴BE =AD ，∠BEC =∠ADC ，∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC =180-45=135°，∴∠BEC =135°，∴∠AEB =∠BEC -∠CED =135-45=90°；∵∠DCE =90°，CD =CE ，CM ⊥DE ，∴CM =DM =EM ，∴DE =DM +EM =2CM ，∴AE =AD +DE =BE +2CM ．【点评】(1)此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．(2)此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．题型04半角模型1已知四边形ABCD 是正方形，M 、N 分别是边BC ，CD 上的动点．(1)如图①，设O 是正方形ABCD 对角线的交点，若OM ⊥ON ，求证：BM =CN ，(2)在(1)的条件下，若正方形ABCD 的边长为4cm ，求四边形MONC 的面积；(3)如图②，若∠MAN =45°试说明△MCN 的周长等于正方形ABCD周长的一半．【分析】(1)由正方形的性质可以得出△BOM ≌△CON ，由全等三角形的性质就可以得出ON =OM ；(2)由全等可以得出S △BOM =S △CNF ，就可以得出S 四边形MONC =S △BOC ，S △BOC 的面积就可以得出结论；(3)绕点A 顺时针旋转△ADN 90°得到△ABE ，得出△ABE ≌△ADN ，由全等三角形的性质可以得出△ANM ≌△AEM ，进而有MN =ME =MB +BE ，分别表示出C △MNC =DN +MB +MC +CN =DC +BC =2BC ．C 正方形ABCD =AB +BC +CD +AD =4BC ．从而可以得出结论．【解答】解：(1)证明：∵正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O∴∠BOC =90°，∠OBC =∠OCD =45°，OB =OC ，AB =BC =DC =AD ．∵∠EOF =90°∵∠BOM +∠MOC =90°，∠NOC +∠MOC =90°∴∠BOM =∠CON ．在△OBM 和△OCN 中，∠BOM =∠CON OB =OC ∠OBC =∠OCD，△OBM ≌△OCN (ASA )．∴OM =ON ；(2)∵△OBM ≌△OCN ，∴S △OBM =S △OCN ．∴S △OBM +S △MOC =S △OCN +S △MOC ，即S △OBC =S 四边形MONC ．∵S △OBC =4×4×14=4，∴S 四边形MONC =4；(3)绕点A 顺时针旋转△ADN 90°得到△ABE ，∴△ABE ≌△ADN ，∴∠4=∠1．AE =AN ，BE =DN ．∵∠2=45°，∴∠1+∠3=45°．∵∠4+∠3=∠MAE =45°．∴∠MAE =∠2．在△ANM 和△AEM 中，AN =AE ∠2=∠MAE AM =AM，∴△ANM ≌△AEM (SAS )，∴MN =ME =MB +BE ，∴MN =DN +MB ．∵C △MNC =MN +MC +CN ，∴C △MNC =DN +MB +MC +CN =DC +BC =2BC ．∵C 正方形ABCD =AB +BC +CD +AD =4BC ．∴△MCN 的周长等于正方形ABCD 周长的一半．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，三角形的周长和正方形的周长的运用，全等三角形的判定及性质的运用，旋转的性质的运用，解答时证明三角形全等得出OM =ON 是关键．2已知，正方形ABCD 中，∠MAN =45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC (或它们的延长线)于点M 、N ，AH ⊥MN 于点H ．(1)如图①，当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时，请你直接写出AH 与AB 的数量关系：；(2)如图②，当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时，(1)中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；【分析】(1)由SAS证明△ABM≌△ADN，即可得出AH=AB，(2)延长CB至E，使BE=DN，由SAS证明△AEB≌△AND，得出AE=AN，∠EAB=∠NAD，证出∴∠EAM=∠NAM=45°，再由SAS证明△AEM≌△ANM，得到AH=AB即可；(3)分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN 交于点C，得正方形ABCE，设MH=x，则MC=5-x，NC=2，MN=x+3，在Rt△MCN中，由勾股定理得出方程，解得x即可．【解答】解：(1)AH=AB；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BAD=∠D=90°，AB=AD，在△ABM和△ADN中，AB=AD ∠B=∠D BM=DN，∴△ABM≌△ADN(SAS)，∴AM=AN，∠BAM=∠DAN，∴△AMN是等腰三角形，又∵AH⊥MN，∴∠AHM=90°，∠HAM=∠HAN，∵∠MAN=45°，∴∠HAM=12×45°=22.5°，∠BAM+∠DAN=45°，∴∠BAM=22.5°=∠HAM，在△ABM和△AHM中，∠BAM=∠HAM ∠B=∠AHM=90°AM=AM，∴△ABM≌△AHM(AAS)，∴AH=AB；故答案为：AH=AB；(2)数量关系成立，AH=AB．理由如下：如图②，延长CB至E，使BE=DN．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，AB=AD∠ABE=∠D BE=DN，∴Rt△AEB≌Rt△AND(SAS)，∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，∵∠DAN+∠BAM=45°，∴∠EAB+∠BAM=45°，∴∠EAN=45°，∴∠EAM=∠NAM=45°，在△AEM和△ANM中，AE=AN∠EAM=∠NAM AM=AM，∴△AEM≌△ANM(SAS)．∴S△AEM=S△ANM，EM=MN，∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB=AH．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、翻折变换的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，构造全等三角形是解题的关键．题型05对角互补模型1如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B=∠C=45°；②AP=EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的34，其中正确的结论是()【分析】利用ASA 证明△AEP ≌△CFP ，得PE =PF ，则△EPF 是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可对结论逐一进行判断．【解答】解：∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴∠B =∠C =45°，故①正确；∵点P 为BC 的中点，∠BAC =90°，AB =AC ，∴AP =CP ，∠APC =90°，∠BAP =∠C =45°，∵∠EPF =∠APC ，∴∠APE =∠FPC ，在△AEP 和△CFP 中，∠EAP =∠C AP =PC ∠APE =∠CPF，∴△AEP ≌△CFP (ASA )，∴PE =PF ，∴△EPF 是等腰直角三角形，∴四边形AEPF 的面积为S △AEP +S △AFP =S △CPF +S △APF =S △APC =12S △ABC，故④正确，⑤不正确；∵∠BAC =∠EPF =90°，∴∠AFP 和∠AEP 互补，故③正确；∵PE 不是定长，故②不正确．∴正确的有：①③④，故选：D ．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明△AEP ≌△CFP 是解题的关键．2【问题背景】如图1：在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF =60°，试探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG =BE ，连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E 、F 分别是BC ，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出△DEF的周长．【分析】(1)延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE= AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；(2)延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；(3)延长DC，截取CG=AE，连接BG，根据SAS定理可得出△AEB≌△CGB，故可得出BE =BG，∠ABE=∠CBG，再由∠EBF=45°，∠ABC=90°可得出∠ABE+∠CBF=45°，故∠CBF+∠CBG=45°，由SAS定理可得△EBF≌△GBF，故EF=GF，故△DEF的周长= EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD，由此可得出结论．【解答】(1)解：如图1，在△ABE和△ADG中，∵DG=BE∠B=∠ADG AB=AD，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE=AG∠EAF=∠GAF AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF．(2)解：结论EF=BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，∵DG=BE∠B=∠ADG AB=AD，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE=AG∠EAF=∠GAF AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；(3)解：如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，在△AEB与△CGB中，∵AE=CG∠A=∠BCG AB=BC，∴△AEB≌△CGB(SAS)，∴BE=BG，∠ABE=∠CBG．∵∠EBF=45°，∠ABC=90°，∴∠CBF+∠CBG=45°．在△EBF与△GBF中，∵BE=BG∠EBF=∠GBF BF=BF，∴△EBF≌△GBF(SAS)，∴EF=GF，∴△DEF的周长=EF+ED+DF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=5+5=10．【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．3(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若EF=BE+FD．求证：∠EAF=12∠BAD(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，证明你的结论．【分析】(1)延长CB至M，使得BM=DF，根据全等三角形的判定和性质解答即可；(2)通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF．【解答】证明：(1)延长CB至M，使得BM=DF，连接AM，∵∠B=∠D=90°，AB=AD，在△ABM与△ADF中BM=DF∠ABM=∠ADF AB=AD，∴△ABM≌△ADF(SAS)，∴AM =AF ，∠DAF =∠BAM ，∵EF =BE +DF =BE +BM =ME ，在△AME 与△AFE 中AE =AEEF =ME AM =AF，∴△AME ≌△AFE (SSS )，∴∠MAE =∠EAF ，∴∠BAE +∠DAF =∠EAF ，即∠EAF =12∠BAD ；(2)线段EF 、BE 、FD 之间的数量关系是EF +DF =BE ，在BE 上截取BM =DF ，连接AM ，∵AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，∠ADC +∠ADF =180°，∴∠ABM =∠ADF ，在△ABM 与△ADF 中， BM =DF∠ABM =∠ADF AB =AD，∴△ABM ≌△ADF (SAS )，∴AM =AF ，∠BAM =∠DAF ，∠EAF =12∠BAD ，∴∠EAF =∠EAM ，在△AEM 与△AEF 中， AM =AF∠EAF =∠EAM AE =AE，∴△AEM ≌△AEF (SAS )，∴EM =EF ，即BE -BM =EF ，即BE -DF =EF ．【点评】此题考查三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．提优练习1如图，△ABC 的面积为1cm 2，BP 平分∠ABC ，AP ⊥BP 于P ，则△PBC 的面积为()A.0.4cm 2B.0.5cm 2C.0.6cm 2D.0.7cm 2【分析】证△ABP ≌△EBP ，推出AP =PE ，得出S △ABP =S △EBP ，S △ACP =S △ECP ，推出S △PBC =12S △ABC，代入求出即可．【解答】解：∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP =∠EBP ，∵AP ⊥BP ，∴∠APB =∠EPB =90°，在△ABP 和△EBP中，∠ABP =∠EBP BP =BP ∠APB =∠EPB，∴△ABP ≌△EBP (ASA )，∴AP =PE ，。
初中数学模型1-倍长中线模型构造全等三角形
• ∴△EFD≌ △HFD（AAS） • ∴EF=FH • 在△BDE和△CDH中，
• DE=DH • ∠1=∠2
• BD=DC • ∴△BDE≌△CDH（SAS） • ∴BE=CH • 在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞
FH • ∵CH=BE,FH=EH • ∴BE&#Ｄ
• 解析： • 延长AM到D，使MD=AM,连CD • ∵AM是BC边上的中线， • ∴BM=CM • 又AM=DM,∠AMB=∠CMD • ∴△ABM≌△DCM，∴AB=CD • 在△ACD中，则AD＜ AC+CD • 即2AM＜AC+AB • 即结论成立。
例3
• 如图，在△AB C中，AD交BC于点D，点E是BC 的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于 点G，若BG=CF,求证：AD为△ABC的角平分线.
倍长中线模型构造全等三角形
专题说明
• 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中 线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应 角对应边都对应相等。常用于 构造全 等三角形。 中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间 的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原 题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时 候）。
知识总结
• 题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线 段），或中点，通常考虑倍长中线或 类中线，构 造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全 等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题 的方法.
主要思路：倍长中线（线段）造全等
A
A
B
C
D
B
C
D
E
在△ABC中 AD是BC边中线; 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE;
• BD=DE, • ∠ADB=∠CDE
中考数学“倍长中线模型”应用分析
《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，模型观念是初中阶段的数学核心素养的主要表现之一。
对初中学生来说，运用数学几何模型来解决实际问题要有清晰的认识，需要具备较好的解题思维与解题技巧。
数学建模是数学世界与现实世界联系的基本途径之一，教师应让学生在学习中感知数学建模的基本过程，增强数学知识的应用意识和能力。
文章以鲁教版五四学制初中数学教材七年级上册第一章第1节“认识三角形”中的相关内容为例进行讲解分析，进而研究倍长中线模型（中线加倍法模型）解题策略和解题思路。
初中数学学习策略模型的建立及其应用案例的研究显得尤其重要。
文章重点分析倍长中线模型并进行拓展应用，达到思维的提升。
一、倍长中线模型中线：平面内的三角形，任意取一个顶点，这个顶点到对边中点的线段，定义为三角形的一条中线，显然三角形有三条中线。
倍长中线模型（中线加倍法模型）：沿着某一个方向延长中线，使得被延长的部分线段的长度等于它本身的长度，再连接两个端点。
此模型经常用来构造三角形全等（AAS 、SAS ）以求解三角形边长之间的取值范围、长度、数量关系等问题。
一般思路：已知条件中出现三角形一边的中线或与中点有关的线段时，优先运用倍长中线模型来构造全等三角形加以论证说明。
利用中点巧作辅助线，通常是把中线延长一倍，然后利用全等三角形判定定理来解决问题。
常用的解决方案如下面四种情况所示：已知，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线。
①如图1所示，延长AD 到E ，使得DE =AD ，连接BE ；②如图2所示，延长AD 到F ，使得DF =AD ，连接CF ；③如图3所示，作CN ⊥AD 于点N ，作BM ⊥AD 的延长线于点M ；④如图4所示，在AB 上取一点G ，连接GD 并延长到点H ，使得DH =GD ，连接CH 。
上述四种解题思路均可以推导出两个三角形全等。
图1 图2 图3 图4二、模型应用及分析倍长中线的应用，需要借助中线的条件，根据题目条件来求解问题。
全等三角形中“倍长中线”模型
第13讲 全等三角形中“倍长中线”模型（（核心考点讲与练）【基础知识】三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线（线段）造全等在△ABC 中 AD 是BC 边中线延长AD 到E ， 使DE=AD ，连接BE作CF ⊥AD 于F ， 作BE ⊥AD 的延长线于E连接BE延长MD 到N ， 使DN=MD ，连接CD【考点剖析】1、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．2、如图1，已知ABC D 中，AD 是BC 边上的中线．求证：2AB AC AD +>．3.如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．CD B A（1）按要求作图：延长AD 到点E ，使DE =AD ；连接BE ．（2）求证：△ACD ≌△EBD ．（3）求证：AB +AC >2AD ．（4）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围．4.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．5.如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．6.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．求证：∠AEF =∠EAF ．D CB AD CB AE D CB A7.如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ．求证：AD 为△ABC 的角平分线．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2020秋•沈丘县期中）已知△ABC 中AD 为中线，且AB ＝5、AC ＝7，则AD 的取值范围为（ ）FED CB AGFE D CB AA．2＜AD＜12B．5＜AD＜7C．1＜AD＜6D．2＜AD＜102．（2021秋•新城区校级期中）已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则中线AD的取值范围是（ ）A．2＜AD＜10B．4＜AD＜20C．1＜AD＜4D．以上都不对3．（2020秋•广州校级月考）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（ ）A．3＜AD＜13B．1.5＜AD＜6.5C．2.5＜AD＜7.5D．10＜AD＜164．（2020秋•江岸区校级月考）在△ABC中，AB＝4，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是（ ）A．1＜AD＜5B．4＜AD＜6C．2＜AD＜10D．3＜AD＜65．（2021秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（ ）A．x＞5B．x＜7C．4＜x＜14D．2＜x＜76．（2020秋•平舆县期中）如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（ ）A．2＜AD＜8B．1＜AD＜4C．2＜AD＜5D．4≤AD≤8二．填空题（共5小题）7．（2021秋•九台区期末）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，D是BC的中点，AD的取值范围为 ．8．（2021秋•东莞市期中）在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，AD是BC边上的中线，则AD取值范围是 ．9．（2020秋•荣昌区校级期中）在△ABC中，AB＝6，AC＝2，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是 ．10．（2021秋•木兰县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥BC于点M，点D在AM上，且DM ＝CM，F是BC的中点，连接FD并延长，在FD的延长线上有一点E，连接CE，且CE＝CA，∠BDF＝36°，则∠E＝ ．11．（2021秋•淅川县期中）AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝6，AC＝4，则中线AD的取值范围是 ．三．解答题（共5小题）12．（2021秋•南充期末）如图，AD是△ABC的中线，F为AD上一点，E为AD延长线上一点，且DF＝DE．求证：BE∥CF．13．（2020秋•津南区期末）（1）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分∠BAC．求证：AD＝AC；（2）如图2，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP＝BC．求证：PE＝BE．14．（2020秋•田家庵区期末）（1）如图1，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，使得AB、AC、2AD集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD 的取值范围是 ；（2）如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF．求证：BE+CF ＞EF．15．（2020秋•饶平县校级期中）（1）如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝6则AD的取值范围是 A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF，求证：AC＝BF．16．（2020秋•岫岩县期中）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．。
全等模型-倍长中线与截长补短模型(学生版+答案解析)
全等模型-倍长中线与截长补短模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型(倍长中线模型、截长补短模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．(注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候)。
【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE.若连结BE，则ΔBDE≅ΔCDA；若连结EC，则ΔABD≅ΔECD；2、中点型:如图2，C为AB的中点.证明思路：若延长EC至点F，使得CF=EC，连结AF，则ΔBCE≅ΔACF;若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则ΔACD≅ΔBCG.3、中点+平行线型：如图3, AB⎳CD，点E为线段AD的中点.证明思路：延长CE交AB于点F(或交BA延长线于点F)，则ΔEDC≅ΔEAF.1(2023·江苏徐州·模拟预测)(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．2(2023·贵州毕节·二模)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．3(2022·山东·安丘市一模)阅读材料：如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．类比迁移：(1)如图2，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，⋯⋯请根据小亮的思路完成证明过程．方法运用：(2)如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点(点D在点C的右侧)，连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．4(2022·河南商丘·一模)阅读材料如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．(1)类比迁移：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，⋯⋯请根据小明的思路完成证明过程．(2)方法运用：如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点(点D在点C的右侧)，连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
中考必会几何模型：倍长中线模型
倍长中线模型模型讲解【结论】如图所示，AD是△ABC的中线，延长AD至点A'，使得DA'=AD，连接CA'，则AB= A'C，AB∥A'C.【证明】在△ABD和△A'CD中，{DB=CD .∠BDA=∠CDA′，AD=A′D.∴△ABD ≌△A'CD(SAS).∴AB=A'C.∠ABD=∠A'CD，∴AB//A'C.模型拓展【模型1】(直接倍长）△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD 到点E，使DE=AD，连接BE.【模型2】(间接倍长)△ABC中，AD是BC边上的中线.(1)如图，作CF⊥AD于点F. 作BE⊥AD交AD的延长线于点E.(2)如图，点M（不与A，B重合)是AB上一点，连接MD并延长至点N，使DN=MD，连接CN.典型例题典例1如图，△ABC中，若AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD长度的取值范围为（）.A. 6＜AD＜8B. 6≤AD≤8C. 1＜AD＜7D. 1≤AD≤7典例2如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在边AB，AC上(E，F不与端点重合)，且DE⊥DF，则（）.A.BE+CF>EFB.BE+CF=EFC.BE+CF<EFD.BE+CF与EF的长短关系不确定典例3如图所示，E是BC 的中点，∠BAE=∠CDE.若AB=6.则CD=（）.A.6B.3C.12D.无法确定典例4已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB=12，AC=8，则边BC及中线AD的取值范围分别是（）.A. 4<BC<20，2<AD<10B. 4<BC<20，4<AD<20C. 2<BC<10，2<AD<10D. 2<BC<10，4<AD<20初露锋芒1.如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，则中线AD长度的取值范围（）.A.1<AD<6B.2<AD<12C.5<AD<7D.无法确定2.阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE.求证；AB=CD.分折：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形成等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此，要证AB=CD.必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形. 现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明.感受中考1.（2020山东德州中考真题）问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6.AC=4.AD是中线，求AD的取值范围.她的做法是：延长AD到E，使DE=AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决.请回答下列各题.（1）小红证明△BED≌△CAD的判定理由是____________________.（2）AD的取值范围是_______________________________________.方法运用：（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE=EF，求证；BF=AC.（4）如图3.在矩形ABCD中,ABBC =12，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且FEBE =12，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG=CG.答案典例1【答案】C【解析】如图，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，∵AD是BC边上的中线，∴由倍长中线模型可知BE=AC.∵AB-BE<AE<AB+BE，∴AB-AC<AE<AB+AC.∵AB=8，AC=6，∴8-6<AE<8+6，∴2<AE<14.∵AD=ED，∴AE=AD+ED=AD+AD=2AD，即2<2AD<14，1<AD<7.故选C.典例2【答案】A【解析】如图，延长ED至点G，使DG=ED.连接CG，FG.∵AD是BC边上的中线，∴由倍长中线的拓展模型可得CG=BE.又∵DE⊥DF，DG⊥ED，∴FD是EG的垂直平分线，∴FG=EF.∵GC+CF>FG ，∴BE+CF>EF. 故选A. 典例3 【答案】A【解折】如图，延长DE 至点G ，使得DE=EG ，连接 BG. 由模型知△GBE ≌△DCE. 所以∠BAE=∠CDE=∠BGE. 所以BG=AB=DC=6. 故选A. 典例4 【答案】A【解析】在△ABC 中.则AB-AC ＜BC ＜AB+AC. 即12-8＜BC ＜12+8，4＜BC ＜20, 延长AD 至点E ，使AD=DE ，连接BE ， ∵AD 是△ABC 的边BC 上的中线， ∴BD=CD.又∠ADC=∠BDE ，AD=DE ∴△ACD≌△EBD(SAS). ∴BE=AC.在△ABE 中，AB-BE ＜AE ＜AB+BE ，即AB-AC ＜AE ＜AB+AC.12-8＜AE＜12+8.即4＜AE＜20.∴2＜AD＜10.故选A.初露锋芒1.【答案】A【解折】如图，延长AD至点E，使AD=ED.连接CE.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD.∴根据倍长中线模型结论可知△ABD≌△ECD.∴AB=EC.∵AC-EC<AE<AC+EC，∴AC-AB<AE<AC+AB.∵AC=7，AB=5,∴7-5＜AE＜7+5,∴2<AE<12.∵AD=ED.∴AE=AD+ED=AD+AD=2AD，∴2<2AD<12.∴1<AD<6.故选A.2. 【答案】D【解折】方法一；作BF⊥DE交DE的延长线于点F，作CG⊥DE于点G，∴∠F=∠CGE=90°.又∵∠BEF=∠CEG，BE=CE.∴△BFE≌△CGE(AAS).∴BF=CG.在△ABF和△DCG中，∵∠F=∠DGC=90°,∠BAE=∠CDE.BF=CG，∴△ABF≌△DCG(AAS).∴AB=CD.方法二：作CF∥AB.交DE的延长线于点F，则∠F=∠BAE.又∵∠BAE=∠D，∴∠F=∠D.∴CF=CD.∵∠F=∠BAE，∠AEB=∠FEC，BE=CE,∴△ABE≌△FCE(AAS)，∴АВ=СF.∴AB=CD.方法三：延长DE 至点F ，使EF=DE ，连接BF.∵BE=CE ，∠BEF=∠CED ，EF=DE.∴△BEF ≌△CED(SAS),∴BF=CD. ∠D=∠F.又∵∠BAE=∠D,∴∠BAE=∠F.∴AB=BF.∴AB=CD.感受中考1.【解折】（1）∵AD 是中线，∴BD=CD.在△HED 和△CAD 中，{ED =AD,∠EDB =∠ADC.BD =CD∴△BED ≌△CAD(SAS).故答案为SAS:（2）∵△BED ≌△CAD.∴AC=BE=4.又∵AB=6.∴2<AE<10.∵AE=2AD.∴1<AD<5.故答案为1<AD<5.（3）如图，延长AD至点A'.使A'D=AD.∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD.在△ADC 和△A'DB中.{AD=A′D.∠ADC=∠A′DBCD=BD∴△ADC≌△A'DB.∴∠CAD=∠A'，AC=A'B.又∵AE=EF.∴∠CAD=∠AFE.∴∠A'=∠AFE.又∵∠AFE=∠BFD.∴∠BFD=∠A'，∴BF=A'B.又∵A'B=AC.∴BF=AC.（4）如图，延长CG至点H，使HG=CG.连接HF，HE，CE.∵G为FD的中点，∴FG=DG，在△HGF 和△CGD中，{HG−CG，∠HGF=∠CGD FG=DG.∴△HGF≌△CGD.∴HF=CD，∠HFG=∠CDG.在Rt△BEF中，∵EFBE =12，∴tan∠EBF= 12.又在矩形ABCD中，ABBC =1 2.∴ABAD =1 2.∴tan∠ADB= 12.∴∠EBF=∠ADB.又AD//BC,∴∠ADB=∠DBC.∴∠EBF=∠ADB=∠DBC.∵∠EFD为△BEF的外角。
全等三角形的六种模型全梳理(学生版)--初中数学专题训练
全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。
类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。
将分散的条件集中到一个三角形中。
1【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：(1)如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.ASA(2)如图2，AD长的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．2(培优)已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD,BE，点F为BE中点．AD；(1)如图1，求证：BF=12(2)将△DCE绕C点旋转到如图2所示的位置，连接AE,BD，过C点作CM⊥AD于M点．①探究AE和BD的关系，并说明理由；②连接FC，求证：F，C，M三点共线．1.如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AB=2AE．2.(1)如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；(2)如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；(3)如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．3.(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明(往往需证2次全等)3如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，∠CAD=12∠BAE．(1)求证：CD=BC+DE；(2)若∠B=75°，求∠E的度数．4(培优)在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．(1)求证：∠BFC=90°+12∠A；(2)已知∠A=60°．①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．1.如图，△ABC为等边三角形，若∠DBC=∠DAC=α0°<α<60°，则∠BCD=(用含α的式子表示)．2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠BAD．∠EAF=12(1)当点E、F分别在边BC、CD上时(如图1)，请说明EF=BE+FD的理由．(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时(如图2)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．3.阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6，求BC的长．【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决(如图2)．【问题解答】(1)参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；(2)拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=2.3，BC=2．求AD 的长．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
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【解题模型】倍长中线模型
初中数学解题思路
倍长中线模型
倍长中线：将三角形的中线（或类似中线）力日倍延长，构造全等三角形，实现角和线段的转化．【基本模型】
【典型例题1】
【思路分析】倍长线段ED ，构造全等三角形，将BE,CF 和EF 转移到同一个三角形中．
【答案解析】
【归纳总结】
1. 出现中点时，常考虑倍长与中点相关的线段，构造全等三角形，转换线段．
2. 出现垂直关系时，常考虑倍长直角边，构造等腰三角形.
【典型例题2】
【思路分析】倍长中线，将已知边和倍长后的边转化到同一三角形中，运用三边关系求范围．
【答案解析】
【归纳总结】
1. 三角形的三边关系是求线段范围的常用方法．
2. 出现中线时，常考虑倍长中线构造全等三角形，实现线段的转化．
【典型例题3】
【思路分析】
【答案解析】
【归纳总结】。