【解题模型】倍长中线模型

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中考数学中点四大模型专题知识解读

中点四大模型专题知识解读【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。

【方法技巧】模型1 ：倍长中线法如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.模型2：平行线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3：中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型4：连接直角顶点，构造斜中定理【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE到F，使得EF＝DE；（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC ＝10，点E是CD的中点，求AE的长．【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝．【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F 处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；②求BE的长．【模型3 中位线】【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（）A．1B．2C．D．【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为．【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）四边形DEFC的面积为．【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD 的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA ＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A．5B．10C．15D．20【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE 交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。

三角形全等5大模型含参考答案

三角形全等模型题型01倍长中线1如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是．2如图，五边形ABCDE中，AB=BC=7，AE=ED=8，∠ABC+∠AED=180°，M为边CD的中点，BM=9，EM=10，则五边形ABCDE的面积为=．3(1)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB=5，AC=3，设AD=x，可得x的取值范围是；(2)如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．4【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.HL(2)求得AD的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．题型02一线三等角1如图，AC=AB=BD，∠ABD=90°，BC=8，则△BCD的面积为()A.8B.12C.14D.162如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，对角线BD⊥CD，若BD=14，则△ABD的面积为．3在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5，BE=2，求线段DE的长．4已知，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA=∠AEC=∠BAC．(1)如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，BD，CE与DE的数量关系为．(2)如图②，当AB不垂直于AC时，(1)中的结论是否成立？请说明理由．(3)如图③，若只保持∠BDA=∠AEC，BD=EF=7cm，DE=10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以x cm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t(s)．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由．题型03手拉手模型1如图所示，AB=AC，AD=AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC=∠DAE，∠1= 25°，∠2=30°，则∠3=()A.55°B.50°C.45°D.60°2如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC，BF与CE相交于点M．(1)求证：EC=BF；(2)求证：EC⊥BF．3(1)如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD=CE；(2)如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：∠AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是．(3)拓展探究如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．题型04半角模型1已知四边形ABCD是正方形，M、N分别是边BC，CD上的动点．(1)如图①，设O是正方形ABCD对角线的交点，若OM⊥ON，求证：BM=CN，(2)在(1)的条件下，若正方形ABCD的边长为4cm，求四边形MONC的面积；(3)如图②，若∠MAN=45°试说明△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半．2已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N，AH⊥MN于点H．(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；(2)如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；题型05对角互补模型1如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B=∠C=45°；②AP=EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的34，其中正确的结论是()A.①②③B.①②④⑤C.①③④⑤D.①③④2【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出△DEF的周长．3(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若EF=BE+FD．求证：∠EAF=12∠BAD(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，证明你的结论．提优练习1如图，△ABC的面积为1cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，则△PBC的面积为()A.0.4cm2B.0.5cm2C.0.6cm2D.0.7cm22如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC =3，则BD的长为()A.1B.1.5C.2D.2.53如图，已知△ABC中，BD=AD，F是高AD和BE的交点，FD=4，AF=2，则线段BC的长度为()A.6B.8C.10D.124在△ABC中，AB=5，AC=7，则中线AD的取值范围是()A.1<AD<7B.1<AD<8C.1<AD<6D.2<AD<55如图，△ABC是边长为a的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D 为顶点做一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是()A.aB.2aC.3aD.不能确定6如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD= 4，BE=3，则DE=．7如图，AC=AB=BD，∠ABD=90°，BC=6，则△BCD的面积为．8如图，△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，E是AB上一点，且∠BDE=90°，DB= DE=AE，若BC=5，则AD的长是．9如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，AC-AB=5，若S△BDC的最大值为30，则BC长为．10如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°．P是BC边上一点，CP=CA，连接AP，以AP为边在AP的右上方作等边三角形APQ．若AB=5，则点Q到边AB的距离为．11如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB=5，EN=2，则DM=．12如图，∠BAC=90°，AB=AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．(1)求证：△ABE≌△CAF；(2)若CF=5，BE=2，求EF的长．13(1)问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．(2)拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．14在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF=AB；当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线时，如图③．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明．16在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点(不与点B、C重合)，以AD为腰右侧作等腰三角形△ADE，且AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接CE．(1)如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=度．(2)设∠BAC=α，∠BCE=β．①点D是在线段BC上移动时，如图2，则α、β之间有怎样的数量关系？试说明理由．②点D是在射线CB上移动时，则α、β之间有怎样的数量关系？试直接写出结论．17如图，已知△ABC中，AB=AC，点D，E分别为AB，AC上的点，BE=CD．(1)△ABD与△ACE全等吗？为什么？(2)连接AF，DE，求证：AF垂直平分DE．18如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；拓展延伸如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；∠EAF=12实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°(即∠AON=30°)的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心的夹角∠EOF=70°，请直接写出两舰艇之间的距离为海里．三角形全等模型题型01倍长中线1如图，在△ABC 中，AB =10，AC =6，则BC 边上的中线AD 的取值范围是．【分析】延长AD 至E ，使DE =AD ，由SAS 证明△ACD ≌△EBD ，得出BE =AC =6，在△ABE 中，由三角形的三边关系求出AE 的取值范围，即可得出AD 的取值范围；【解答】(1)解：延长AD 至E ，使DE =AD ，连接BE ，如图1所示∵AD 是BC 边上的中线，∴BD =CD ，在△BDE 和△CDA 中，BD =CD ∠BDE =∠CDA DE =AE，∴△BDE ≌△CDA (SAS )，∴BE =AC =6，在△ABE 中，由三角形的三边关系得：AB -BE <AE <AB +BE ，∴10-6<AE <10+6，即4<AE <16，∴2<AD <8；故答案为2<AD <8．【点评】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．2如图，五边形ABCDE 中，AB =BC =7，AE =ED =8，∠ABC+∠AED =180°，M 为边CD 的中点，BM =9，EM =10，则五边形ABCDE 的面积为=．【分析】延长BM 到F ，使FM =BM ，连接DF 、EF 、BE ，易证△BCM ≌△FDM ，△ABE ≌△DFE ，根据全等三角形的对应边相等，可得△BEF 是等腰三角形，五边形的面积转化成了三角形的面积，利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：如图，延长BM 到F ，使FM =BM ，连接DF 、EF 、BE ，在△BMC 和△FMD 中，BM =FM ∠BMC =∠FMD CM =DM，∴△BMC ≌△FMD 中(SAS )，∴BM =FM ，BC =FD =AB ，∠C =∠FDM ，∵∠A +∠ABC +∠C +∠CDE +∠AED =(5-2)×180°=540°，∵∠ABC +∠AED =180°，∴∠A +∠C +∠CDE =360°，∵∠CDE +∠CDF +∠EDF =360°，∴∠A =∠EDF ，在△ABE 和△DFE 中，AB =DF ∠A =∠EDF AE =DE，∴△ABE ≌△DFE (SAS )，∴BE =EF ，∵BM =FM ，∴EM ⊥BF ，∴S 五边形ABCDE=S △ABE +S △BCM +S 四边形BMDE=S △BEF=12BF •EM =12×9×2×10=90．故答案为：90．【点评】本题考查了多边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添辅助线将多边形的问题转化为三角形的问题是解题的关键．3(1)如图1，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED=AD ，连接CE ．①证明△ABD ≌△ECD ；②若AB =5，AC =3，设AD =x ，可得x 的取值范围是；(2)如图2，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE +CF >EF．【分析】(1)①根据三角形的中线得出BD =CD ，再由对顶角相等得出∠ADB =∠CDE ，即可得出结论；②先由△ABD ≌△ECD ，得出CE =5，再由ED =AD ，得出AE =2AD =2x ，最后用三角形的三边关系，即可求出答案；(2)先根据SAS 判断出△DEF ≌△DEH ，得出EH =EF ，再根据SAS 判断出△BDH ≌△CDF ，得出CF =BH ，即可求出答案．【解答】(1)①证明：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD ，在△ADB 和△ECD 中，BD =CD ∠ADB =∠CDE (对顶角相等)AD =DE，∴△ABD ≌△ECD (SAS )；②解：由①知，△ABD ≌△ECD ，∴CE =AB ，∵AB =5，∴CE =5，∵ED =AD ，AD =x ，∴AE =2AD =2x ，在△ACE 中，AC =3，根据三角形的三边关系得，5-3<2x <5+3，∴1<x <4，故答案为：1<x <4；(2)证明：如图2，延长FD，截取DH=DF，连接BH，EH，∵DH=DF，DE⊥DF，即∠EDF=∠EDH=90°，DE=DE，∴△DEF≌△DEH(SAS)，∴EH=EF，∵AD是中线，∴BD=CD，∵DH=DF，∠BDH=∠CDF，∴△BDH≌△CDF(SAS)，∴CF=BH，∵BE+BH>EH，∴BE+CF>EF．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，用倍长中线法构造全等三角形是解本题的关键．4【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.HL(2)求得AD的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图2，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE =EF ．求证：AC =BF ．【分析】(1)根据AD =DE ，∠ADC =∠BDE ，BD =DC 推出△ADC 和△EDB 全等即可；(2)根据全等得出BE =AC =6，AE =2AD ，由三角形三边关系定理得出8-6<2AD <8+6，求出即可；(3)延长AD 到M ，使AD =DM ，连接BM ，根据SAS 证△ADC ≌△MDB ，推出BM =AC ，∠CAD =∠M ，根据AE =EF ，推出∠CAD =∠AFE =∠BFD ，求出∠BFD =∠M ，根据等腰三角形的性质求出即可．【解答】(1)解：∵在△ADC 和△EDB 中， AD =DE ∠ADC =∠BDE BD =CD，∴△ADC ≌△EDB (SAS )，故选B ；(2)解：∵由(1)知：△ADC ≌△EDB ，∴BE =AC =6，AE =2AD ，∵在△ABE 中，AB =8，由三角形三边关系定理得：8-6<2AD <8+6，∴1<AD <7，故选C ．(3)证明：延长AD 到M ，使AD =DM ，连接BM ，∵AD 是△ABC 中线，∴CD =BD ，∵在△ADC 和△MDB 中，DC =DB ∠ADC =∠MDB DA =DM∴△ADC ≌△MDB ，∴BM =AC ，∠CAD =∠M ，∵AE =EF ，∴∠CAD =∠AFE，∵∠AFE=∠BFD，∴∠BFD=∠CAD=∠M，∴BF=BM=AC，即AC=BF．【点评】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．题型02一线三等角1如图，AC=AB=BD，∠ABD=90°，BC=8，则△BCD的面积为()A.8B.12C.14D.16【分析】由等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，即可求解．【解答】解：作AE⊥BC于E，DF⊥CB交CB延长线于F，∵AB=AC，∴BE=CE=4，∵∠EAB+∠ABE=∠DBF+∠ABE=90°，∴∠EAB=∠DBF，∵∠AEB=∠BFD=90°，AB=DB，∴△AEB≌△BFD(AAS)，∴DF=BE=4，∴S△DCB=1CB•DF，2×8×4=16，∴S△DCB=12故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是作辅助线构造全等三角形．2如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，对角线BD⊥CD，若BD=14，则△ABD的面积为．【分析】过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，根据垂直定义可得∠AEB =∠CDB =90°，从而可得∠BAE +∠ABE =90°，再利用同角的余角相等可得∠BAE =∠DBC ，然后利用AAS 证明△ABE ≌△BCD ，从而利用全等三角形的性质可得AE =BD =14，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．【解答】解：过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，∵AE ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠AEB =∠CDB =90°，∴∠BAE +∠ABE =90°，∵∠ABC =90°，∴∠ABD +∠DBC =90°，∴∠BAE =∠DBC ，∵AB =BC ，∴△ABE ≌△BCD (AAS )，∴AE =BD =14，∴△ABD 的面积=12BD •AE =12×14×14=98，故答案为：98．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD +BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，AD =5，BE =2，求线段DE 的长．【分析】(1)①由已知推出∠ADC =∠BEC =90°，因为∠ACD +∠BCE =90°，∠DAC +∠ACD =90°，推出∠DAC =∠BCE ，根据AAS 即可得到答案；②由①得到AD =CE ，CD =BE ，即可求出答案；(2)与(1)证法类似可证出∠ACD =∠EBC ，能推出△ADC ≌△CEB ，得到AD =CE ，CD =BE ，代入已知即可得到答案．【解答】(1)①证明：∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∠DAC +∠ACD =90°，∴∠DAC =∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中，∠CDA =∠BEC ∠DAC =∠ECB AC =BC，∴△ADC ≌△CEB (AAS )；②证明：由(1)知：△ADC ≌△CEB ，∴AD =CE ，CD =BE ，∵DC +CE =DE ，∴AD +BE =DE ；(2)证明：∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∴∠EBC +∠ECB =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ECB +∠ACE =90°，∴∠ACD =∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，∠ACD =∠BEC ∠ADC =∠BEC AC =BC，∴△ADC ≌△CEB (AAS )，∴AD =CE ，CD =BE ，∴DE =EC -CD =AD -BE =5-2=3．【点评】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．4已知，在△ABC 中，AB =AC ，D ，A ，E 三点都在直线m 上，∠BDA =∠AEC =∠BAC ．(1)如图①，若AB ⊥AC ，则BD 与AE 的数量关系为，BD ，CE 与DE 的数量关系为．(2)如图②，当AB 不垂直于AC 时，(1)中的结论是否成立？请说明理由．(3)如图③，若只保持∠BDA =∠AEC ，BD =EF =7cm ，DE =10cm ，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点D 向点E 运动，同时，点C 在线段EF 上以x cm/s 的速度由点E 向点F 运动，它们运动的时间为t (s )．是否存在x ，使得△ABD 与△EAC 全等？若存在，求出相应的t 与x 的值；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE =∠ABD ，再由AAS 证明△ABD ≌△CAE ，得BD =AE ，CE =AD ，即可解决问题；(2)同(1)得△ABD ≌△CAE (AAS )，得BD =AE ，CE =AD ，即可得出结论；(3)分△DAB ≌△ECA 或△DAB ≌△EAC 两种情形，分别根据全等三角形的性质求出t 的值，即可解决问题．【解答】解：(1)∵∠BDA =∠AEC =∠BAC ，∠BAD +∠CAE +∠BAC =∠BAD +∠ABD +∠BDA =180°，∴∠BAD +∠CAE =∠BAD +∠ABD ，∴∠CAE =∠ABD ，∵∠BDA=∠AEC，AB=CA，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∵AE+AD=DE，∴BD+CE=DE，故答案为：BD=AE，BD+CE=DE；(2)成立，BD=AE，BD+CE=DE，理由如下：同(1)得：△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD=AE，CE=AD，∵AE+AD=DE，∴BD+CE=DE；(3)存在，理由如下：当△DAB≌△ECA时，AD=CE，BD=AE=7cm，∵AD+AE=DE=10cm，∴CE=AD=DE-AE=3cm，∴t=AD2=32，∴x=3÷32=2；当△DAB≌△EAC时，∴AD=AE=12DE=5cm，DB=EC=7cm，∴t=AD2=52，x=7÷52=145，综上所述，存在x，使得△ABD与△EAC全等，t=32，x=2或t=52，x=145．【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平角的定义以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．题型03手拉手模型1如图所示，AB=AC，AD=AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC=∠DAE，∠1= 25°，∠2=30°，则∠3=()A.55°B.50°C.45°D.60°【分析】求出∠BAD =∠EAC ，证△BAD ≌△EAC ，推出∠2=∠ABD =30°，根据三角形的外角性质求出即可．【解答】解：∵∠BAC =∠DAE ，∴∠BAC -∠DAC =∠DAE -∠DAC ，∴∠1=∠EAC ，在△BAD 和△EAC 中，AB =AC ∠BAD =∠EAC AD =AE，∴△BAD ≌△EAC (SAS )，∴∠2=∠ABD =30°，∵∠1=25°，∴∠3=∠1+∠ABD =25°+30°=55°，故选：A ．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD ≌△EAC ．2如图，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE =AB ，AF =AC ，BF 与CE 相交于点M ．(1)求证：EC =BF ；(2)求证：EC ⊥BF．【分析】(1)利用SAS 说明△ABF ≌△AEC 得结论；(2)先利用全等三角形的性质说明∠AEC =∠ABF ，再利用三角形内角和定理说明∠BMD =90°得结论．【解答】证明：(1)∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，∴∠BAE =∠CAF =90°．∴∠BAE +∠BAC =∠CAF +∠BAC ，即∠EAC =∠BAF ．在△ABF 和△AEC 中，AB =AE ∠EAC =∠BAF AC =AF，∴△ABF ≌△AEC (SAS )．∴EC =BF ．(2)由(1)知：△ABF ≌△AEC ，∴∠AEC =∠ABF ．∵AE ⊥AB ，∴∠BAE =90°．∴∠AEC +∠ADE =90°．∵∠ADE =∠BDM ，∴∠ABF +∠BDM =90°．在△BDM 中，∠BMD =180°-∠ABF -∠BDM =180°-90°=90°．∴EC ⊥BF ．【点评】本题主要考查了全等三角形，掌握三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定是解决本题的关键．3(1)如图1，△ABC 与△ADE 均是顶角为40°的等腰三角形，BC 、DE 分别是底边，求证：BD =CE ；(2)如图2，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．填空：∠AEB 的度数为；线段BE 与AD 之间的数量关系是．(3)拓展探究如图3，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ．请判断∠AEB 的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由．【分析】(1)根据全等三角形的判定方法，判断出△BAD ≌△CAE ，即可判断出BD =CE ．(2)首先根据△ACB 和△DCE 均为等边三角形，可得AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∠CDE =∠CED =60°，据此判断出∠ACD =∠BCE ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD ≌△BCE ，即可判断出BE =AD ，∠BEC =∠ADC ，进而判断出∠AEB 的度数为60°即可．(3)首先根据△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，可得AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =90°，据此判断出∠ACD =∠BCE ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD ≌△BCE ，即可判断出BE =AD ，∠BEC =∠ADC ，进而判断出∠AEB 的度数为90°即可；最后根据DCE =90°，CD =CE ，CM ⊥DE ，可得CM =DM =EM ，所以DE =DM +EM =2CM ，据此判断出AE =BE +2CM 即可．【解答】(1)证明：∵∠BAC =∠DAE =40°，∴∠BAC -∠DAC =∠DAE -∠DAC ，即∠BAD =∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE∴△BAD ≌△CAE (SAS )，∴BD =CE ．(2)解：∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∠CDE =∠CED =60°，∴∠ACB -∠DCB =∠DCE -∠DCB ，即∠ACD =∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE∴△ACD ≌△BCE (SAS )，∴BE =AD ，∠ADC =∠BEC ，∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC =180°-60°=120°，∴∠BEC =120°，∴∠AEB =∠BEC -∠CED =120°-60°=60°，综上，可得∠AEB 的度数为60°；线段BE 与AD 之间的数量关系是：BE =AD ．故答案为：60°、BE =AD ．(3)解：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =90°，∠CDE =∠CED =45°，∴∠ACB -∠DCB =∠DCE -∠DCB ，即∠ACD =∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE，∴△ACD ≌△BCE (SAS )，∴BE =AD ，∠BEC =∠ADC ，∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC =180-45=135°，∴∠BEC =135°，∴∠AEB =∠BEC -∠CED =135-45=90°；∵∠DCE =90°，CD =CE ，CM ⊥DE ，∴CM =DM =EM ，∴DE =DM +EM =2CM ，∴AE =AD +DE =BE +2CM ．【点评】(1)此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．(2)此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．题型04半角模型1已知四边形ABCD 是正方形，M 、N 分别是边BC ，CD 上的动点．(1)如图①，设O 是正方形ABCD 对角线的交点，若OM ⊥ON ，求证：BM =CN ，(2)在(1)的条件下，若正方形ABCD 的边长为4cm ，求四边形MONC 的面积；(3)如图②，若∠MAN =45°试说明△MCN 的周长等于正方形ABCD周长的一半．【分析】(1)由正方形的性质可以得出△BOM ≌△CON ，由全等三角形的性质就可以得出ON =OM ；(2)由全等可以得出S △BOM =S △CNF ，就可以得出S 四边形MONC =S △BOC ，S △BOC 的面积就可以得出结论；(3)绕点A 顺时针旋转△ADN 90°得到△ABE ，得出△ABE ≌△ADN ，由全等三角形的性质可以得出△ANM ≌△AEM ，进而有MN =ME =MB +BE ，分别表示出C △MNC =DN +MB +MC +CN =DC +BC =2BC ．C 正方形ABCD =AB +BC +CD +AD =4BC ．从而可以得出结论．【解答】解：(1)证明：∵正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O∴∠BOC =90°，∠OBC =∠OCD =45°，OB =OC ，AB =BC =DC =AD ．∵∠EOF =90°∵∠BOM +∠MOC =90°，∠NOC +∠MOC =90°∴∠BOM =∠CON ．在△OBM 和△OCN 中，∠BOM =∠CON OB =OC ∠OBC =∠OCD，△OBM ≌△OCN (ASA )．∴OM =ON ；(2)∵△OBM ≌△OCN ，∴S △OBM =S △OCN ．∴S △OBM +S △MOC =S △OCN +S △MOC ，即S △OBC =S 四边形MONC ．∵S △OBC =4×4×14=4，∴S 四边形MONC =4；(3)绕点A 顺时针旋转△ADN 90°得到△ABE ，∴△ABE ≌△ADN ，∴∠4=∠1．AE =AN ，BE =DN ．∵∠2=45°，∴∠1+∠3=45°．∵∠4+∠3=∠MAE =45°．∴∠MAE =∠2．在△ANM 和△AEM 中，AN =AE ∠2=∠MAE AM =AM，∴△ANM ≌△AEM (SAS )，∴MN =ME =MB +BE ，∴MN =DN +MB ．∵C △MNC =MN +MC +CN ，∴C △MNC =DN +MB +MC +CN =DC +BC =2BC ．∵C 正方形ABCD =AB +BC +CD +AD =4BC ．∴△MCN 的周长等于正方形ABCD 周长的一半．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，三角形的周长和正方形的周长的运用，全等三角形的判定及性质的运用，旋转的性质的运用，解答时证明三角形全等得出OM =ON 是关键．2已知，正方形ABCD 中，∠MAN =45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC (或它们的延长线)于点M 、N ，AH ⊥MN 于点H ．(1)如图①，当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时，请你直接写出AH 与AB 的数量关系：；(2)如图②，当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时，(1)中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；【分析】(1)由SAS证明△ABM≌△ADN，即可得出AH=AB，(2)延长CB至E，使BE=DN，由SAS证明△AEB≌△AND，得出AE=AN，∠EAB=∠NAD，证出∴∠EAM=∠NAM=45°，再由SAS证明△AEM≌△ANM，得到AH=AB即可；(3)分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN 交于点C，得正方形ABCE，设MH=x，则MC=5-x，NC=2，MN=x+3，在Rt△MCN中，由勾股定理得出方程，解得x即可．【解答】解：(1)AH=AB；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BAD=∠D=90°，AB=AD，在△ABM和△ADN中，AB=AD ∠B=∠D BM=DN，∴△ABM≌△ADN(SAS)，∴AM=AN，∠BAM=∠DAN，∴△AMN是等腰三角形，又∵AH⊥MN，∴∠AHM=90°，∠HAM=∠HAN，∵∠MAN=45°，∴∠HAM=12×45°=22.5°，∠BAM+∠DAN=45°，∴∠BAM=22.5°=∠HAM，在△ABM和△AHM中，∠BAM=∠HAM ∠B=∠AHM=90°AM=AM，∴△ABM≌△AHM(AAS)，∴AH=AB；故答案为：AH=AB；(2)数量关系成立，AH=AB．理由如下：如图②，延长CB至E，使BE=DN．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，AB=AD∠ABE=∠D BE=DN，∴Rt△AEB≌Rt△AND(SAS)，∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，∵∠DAN+∠BAM=45°，∴∠EAB+∠BAM=45°，∴∠EAN=45°，∴∠EAM=∠NAM=45°，在△AEM和△ANM中，AE=AN∠EAM=∠NAM AM=AM，∴△AEM≌△ANM(SAS)．∴S△AEM=S△ANM，EM=MN，∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB=AH．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、翻折变换的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，构造全等三角形是解题的关键．题型05对角互补模型1如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B=∠C=45°；②AP=EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的34，其中正确的结论是()【分析】利用ASA 证明△AEP ≌△CFP ，得PE =PF ，则△EPF 是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可对结论逐一进行判断．【解答】解：∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴∠B =∠C =45°，故①正确；∵点P 为BC 的中点，∠BAC =90°，AB =AC ，∴AP =CP ，∠APC =90°，∠BAP =∠C =45°，∵∠EPF =∠APC ，∴∠APE =∠FPC ，在△AEP 和△CFP 中，∠EAP =∠C AP =PC ∠APE =∠CPF，∴△AEP ≌△CFP (ASA )，∴PE =PF ，∴△EPF 是等腰直角三角形，∴四边形AEPF 的面积为S △AEP +S △AFP =S △CPF +S △APF =S △APC =12S △ABC，故④正确，⑤不正确；∵∠BAC =∠EPF =90°，∴∠AFP 和∠AEP 互补，故③正确；∵PE 不是定长，故②不正确．∴正确的有：①③④，故选：D ．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明△AEP ≌△CFP 是解题的关键．2【问题背景】如图1：在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF =60°，试探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG =BE ，连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E 、F 分别是BC ，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出△DEF的周长．【分析】(1)延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE= AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；(2)延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；(3)延长DC，截取CG=AE，连接BG，根据SAS定理可得出△AEB≌△CGB，故可得出BE =BG，∠ABE=∠CBG，再由∠EBF=45°，∠ABC=90°可得出∠ABE+∠CBF=45°，故∠CBF+∠CBG=45°，由SAS定理可得△EBF≌△GBF，故EF=GF，故△DEF的周长= EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD，由此可得出结论．【解答】(1)解：如图1，在△ABE和△ADG中，∵DG=BE∠B=∠ADG AB=AD，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE=AG∠EAF=∠GAF AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF．(2)解：结论EF=BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，∵DG=BE∠B=∠ADG AB=AD，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE=AG∠EAF=∠GAF AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；(3)解：如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，在△AEB与△CGB中，∵AE=CG∠A=∠BCG AB=BC，∴△AEB≌△CGB(SAS)，∴BE=BG，∠ABE=∠CBG．∵∠EBF=45°，∠ABC=90°，∴∠CBF+∠CBG=45°．在△EBF与△GBF中，∵BE=BG∠EBF=∠GBF BF=BF，∴△EBF≌△GBF(SAS)，∴EF=GF，∴△DEF的周长=EF+ED+DF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=5+5=10．【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．3(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若EF=BE+FD．求证：∠EAF=12∠BAD(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，证明你的结论．【分析】(1)延长CB至M，使得BM=DF，根据全等三角形的判定和性质解答即可；(2)通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF．【解答】证明：(1)延长CB至M，使得BM=DF，连接AM，∵∠B=∠D=90°，AB=AD，在△ABM与△ADF中BM=DF∠ABM=∠ADF AB=AD，∴△ABM≌△ADF(SAS)，∴AM =AF ，∠DAF =∠BAM ，∵EF =BE +DF =BE +BM =ME ，在△AME 与△AFE 中AE =AEEF =ME AM =AF，∴△AME ≌△AFE (SSS )，∴∠MAE =∠EAF ，∴∠BAE +∠DAF =∠EAF ，即∠EAF =12∠BAD ；(2)线段EF 、BE 、FD 之间的数量关系是EF +DF =BE ，在BE 上截取BM =DF ，连接AM ，∵AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，∠ADC +∠ADF =180°，∴∠ABM =∠ADF ，在△ABM 与△ADF 中， BM =DF∠ABM =∠ADF AB =AD，∴△ABM ≌△ADF (SAS )，∴AM =AF ，∠BAM =∠DAF ，∠EAF =12∠BAD ，∴∠EAF =∠EAM ，在△AEM 与△AEF 中， AM =AF∠EAF =∠EAM AE =AE，∴△AEM ≌△AEF (SAS )，∴EM =EF ，即BE -BM =EF ，即BE -DF =EF ．【点评】此题考查三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．提优练习1如图，△ABC 的面积为1cm 2，BP 平分∠ABC ，AP ⊥BP 于P ，则△PBC 的面积为()A.0.4cm 2B.0.5cm 2C.0.6cm 2D.0.7cm 2【分析】证△ABP ≌△EBP ，推出AP =PE ，得出S △ABP =S △EBP ，S △ACP =S △ECP ，推出S △PBC =12S △ABC，代入求出即可．【解答】解：∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP =∠EBP ，∵AP ⊥BP ，∴∠APB =∠EPB =90°，在△ABP 和△EBP中，∠ABP =∠EBP BP =BP ∠APB =∠EPB，∴△ABP ≌△EBP (ASA )，∴AP =PE ，。

初中数学模型1-倍长中线模型构造全等三角形

• ∴△EFD≌ △HFD（AAS） • ∴EF=FH • 在△BDE和△CDH中，
• DE=DH • ∠1=∠2
• BD=DC • ∴△BDE≌△CDH（SAS） • ∴BE=CH • 在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞
FH • ∵CH=BE,FH=EH • ∴BE&#Ｄ
• 解析： • 延长AM到D，使MD=AM,连CD • ∵AM是BC边上的中线， • ∴BM=CM • 又AM=DM,∠AMB=∠CMD • ∴△ABM≌△DCM，∴AB=CD • 在△ACD中，则AD＜ AC+CD • 即2AM＜AC+AB • 即结论成立。
例3
• 如图，在△AB C中，AD交BC于点D，点E是BC 的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG=CF,求证：AD为△ABC的角平分线.
倍长中线模型构造全等三角形
专题说明
• 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
知识总结
• 题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.
主要思路：倍长中线（线段）造全等
A
A
B
C
D
B
C
D
E
在△ABC中 AD是BC边中线; 延长AD到E，使DE=AD，连接BE;
• BD=DE, • ∠ADB=∠CDE

中考数学“倍长中线模型”应用分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，模型观念是初中阶段的数学核心素养的主要表现之一。

对初中学生来说，运用数学几何模型来解决实际问题要有清晰的认识，需要具备较好的解题思维与解题技巧。

数学建模是数学世界与现实世界联系的基本途径之一，教师应让学生在学习中感知数学建模的基本过程，增强数学知识的应用意识和能力。

文章以鲁教版五四学制初中数学教材七年级上册第一章第1节“认识三角形”中的相关内容为例进行讲解分析，进而研究倍长中线模型（中线加倍法模型）解题策略和解题思路。

初中数学学习策略模型的建立及其应用案例的研究显得尤其重要。

文章重点分析倍长中线模型并进行拓展应用，达到思维的提升。

一、倍长中线模型中线：平面内的三角形，任意取一个顶点，这个顶点到对边中点的线段，定义为三角形的一条中线，显然三角形有三条中线。

倍长中线模型（中线加倍法模型）：沿着某一个方向延长中线，使得被延长的部分线段的长度等于它本身的长度，再连接两个端点。

此模型经常用来构造三角形全等（AAS 、SAS ）以求解三角形边长之间的取值范围、长度、数量关系等问题。

一般思路：已知条件中出现三角形一边的中线或与中点有关的线段时，优先运用倍长中线模型来构造全等三角形加以论证说明。

利用中点巧作辅助线，通常是把中线延长一倍，然后利用全等三角形判定定理来解决问题。

常用的解决方案如下面四种情况所示：已知，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线。

①如图1所示，延长AD 到E ，使得DE =AD ，连接BE ；②如图2所示，延长AD 到F ，使得DF =AD ，连接CF ；③如图3所示，作CN ⊥AD 于点N ，作BM ⊥AD 的延长线于点M ；④如图4所示，在AB 上取一点G ，连接GD 并延长到点H ，使得DH =GD ，连接CH 。

上述四种解题思路均可以推导出两个三角形全等。

图1 图2 图3 图4二、模型应用及分析倍长中线的应用，需要借助中线的条件，根据题目条件来求解问题。

全等三角形中“倍长中线”模型

全等模型-倍长中线与截长补短模型(学生版+答案解析)

全等模型-倍长中线与截长补短模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型(倍长中线模型、截长补短模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．(注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候)。

【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE.若连结BE，则ΔBDE≅ΔCDA；若连结EC，则ΔABD≅ΔECD；2、中点型:如图2，C为AB的中点.证明思路：若延长EC至点F，使得CF=EC，连结AF，则ΔBCE≅ΔACF;若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则ΔACD≅ΔBCG.3、中点+平行线型：如图3, AB⎳CD，点E为线段AD的中点.证明思路：延长CE交AB于点F(或交BA延长线于点F)，则ΔEDC≅ΔEAF.1(2023·江苏徐州·模拟预测)(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．2(2023·贵州毕节·二模)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．3(2022·山东·安丘市一模)阅读材料：如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．类比迁移：(1)如图2，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，⋯⋯请根据小亮的思路完成证明过程．方法运用：(2)如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点(点D在点C的右侧)，连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．4(2022·河南商丘·一模)阅读材料如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．(1)类比迁移：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，⋯⋯请根据小明的思路完成证明过程．(2)方法运用：如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点(点D在点C的右侧)，连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

中考必会几何模型：倍长中线模型

倍长中线模型模型讲解【结论】如图所示，AD是△ABC的中线，延长AD至点A'，使得DA'=AD，连接CA'，则AB= A'C，AB∥A'C.【证明】在△ABD和△A'CD中，{DB=CD .∠BDA=∠CDA′，AD=A′D.∴△ABD ≌△A'CD(SAS).∴AB=A'C.∠ABD=∠A'CD，∴AB//A'C.模型拓展【模型1】(直接倍长）△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD 到点E，使DE=AD，连接BE.【模型2】(间接倍长)△ABC中，AD是BC边上的中线.(1)如图，作CF⊥AD于点F. 作BE⊥AD交AD的延长线于点E.(2)如图，点M（不与A，B重合)是AB上一点，连接MD并延长至点N，使DN=MD，连接CN.典型例题典例1如图，△ABC中，若AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD长度的取值范围为（）.A. 6＜AD＜8B. 6≤AD≤8C. 1＜AD＜7D. 1≤AD≤7典例2如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在边AB，AC上(E，F不与端点重合)，且DE⊥DF，则（）.A.BE+CF>EFB.BE+CF=EFC.BE+CF<EFD.BE+CF与EF的长短关系不确定典例3如图所示，E是BC 的中点，∠BAE=∠CDE.若AB=6.则CD=（）.A.6B.3C.12D.无法确定典例4已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB=12，AC=8，则边BC及中线AD的取值范围分别是（）.A. 4<BC<20，2<AD<10B. 4<BC<20，4<AD<20C. 2<BC<10，2<AD<10D. 2<BC<10，4<AD<20初露锋芒1.如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，则中线AD长度的取值范围（）.A.1<AD<6B.2<AD<12C.5<AD<7D.无法确定2.阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE.求证；AB=CD.分折：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形成等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此，要证AB=CD.必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形. 现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明.感受中考1.（2020山东德州中考真题）问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6.AC=4.AD是中线，求AD的取值范围.她的做法是：延长AD到E，使DE=AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决.请回答下列各题.（1）小红证明△BED≌△CAD的判定理由是____________________.（2）AD的取值范围是_______________________________________.方法运用：（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE=EF，求证；BF=AC.（4）如图3.在矩形ABCD中,ABBC =12，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且FEBE =12，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG=CG.答案典例1【答案】C【解析】如图，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，∵AD是BC边上的中线，∴由倍长中线模型可知BE=AC.∵AB-BE<AE<AB+BE，∴AB-AC<AE<AB+AC.∵AB=8，AC=6，∴8-6<AE<8+6，∴2<AE<14.∵AD=ED，∴AE=AD+ED=AD+AD=2AD，即2<2AD<14，1<AD<7.故选C.典例2【答案】A【解析】如图，延长ED至点G，使DG=ED.连接CG，FG.∵AD是BC边上的中线，∴由倍长中线的拓展模型可得CG=BE.又∵DE⊥DF，DG⊥ED，∴FD是EG的垂直平分线，∴FG=EF.∵GC+CF>FG ，∴BE+CF>EF. 故选A. 典例3 【答案】A【解折】如图，延长DE 至点G ，使得DE=EG ，连接 BG. 由模型知△GBE ≌△DCE. 所以∠BAE=∠CDE=∠BGE. 所以BG=AB=DC=6. 故选A. 典例4 【答案】A【解析】在△ABC 中.则AB-AC ＜BC ＜AB+AC. 即12-8＜BC ＜12+8，4＜BC ＜20, 延长AD 至点E ，使AD=DE ，连接BE ， ∵AD 是△ABC 的边BC 上的中线， ∴BD=CD.又∠ADC=∠BDE ，AD=DE ∴△ACD≌△EBD(SAS). ∴BE=AC.在△ABE 中，AB-BE ＜AE ＜AB+BE ，即AB-AC ＜AE ＜AB+AC.12-8＜AE＜12+8.即4＜AE＜20.∴2＜AD＜10.故选A.初露锋芒1.【答案】A【解折】如图，延长AD至点E，使AD=ED.连接CE.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD.∴根据倍长中线模型结论可知△ABD≌△ECD.∴AB=EC.∵AC-EC<AE<AC+EC，∴AC-AB<AE<AC+AB.∵AC=7，AB=5,∴7-5＜AE＜7+5,∴2<AE<12.∵AD=ED.∴AE=AD+ED=AD+AD=2AD，∴2<2AD<12.∴1<AD<6.故选A.2. 【答案】D【解折】方法一；作BF⊥DE交DE的延长线于点F，作CG⊥DE于点G，∴∠F=∠CGE=90°.又∵∠BEF=∠CEG，BE=CE.∴△BFE≌△CGE(AAS).∴BF=CG.在△ABF和△DCG中，∵∠F=∠DGC=90°,∠BAE=∠CDE.BF=CG，∴△ABF≌△DCG(AAS).∴AB=CD.方法二：作CF∥AB.交DE的延长线于点F，则∠F=∠BAE.又∵∠BAE=∠D，∴∠F=∠D.∴CF=CD.∵∠F=∠BAE，∠AEB=∠FEC，BE=CE,∴△ABE≌△FCE(AAS)，∴АВ=СF.∴AB=CD.方法三：延长DE 至点F ，使EF=DE ，连接BF.∵BE=CE ，∠BEF=∠CED ，EF=DE.∴△BEF ≌△CED(SAS),∴BF=CD. ∠D=∠F.又∵∠BAE=∠D,∴∠BAE=∠F.∴AB=BF.∴AB=CD.感受中考1.【解折】（1）∵AD 是中线，∴BD=CD.在△HED 和△CAD 中，{ED =AD,∠EDB =∠ADC.BD =CD∴△BED ≌△CAD(SAS).故答案为SAS:（2）∵△BED ≌△CAD.∴AC=BE=4.又∵AB=6.∴2<AE<10.∵AE=2AD.∴1<AD<5.故答案为1<AD<5.（3）如图，延长AD至点A'.使A'D=AD.∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD.在△ADC 和△A'DB中.{AD=A′D.∠ADC=∠A′DBCD=BD∴△ADC≌△A'DB.∴∠CAD=∠A'，AC=A'B.又∵AE=EF.∴∠CAD=∠AFE.∴∠A'=∠AFE.又∵∠AFE=∠BFD.∴∠BFD=∠A'，∴BF=A'B.又∵A'B=AC.∴BF=AC.（4）如图，延长CG至点H，使HG=CG.连接HF，HE，CE.∵G为FD的中点，∴FG=DG，在△HGF 和△CGD中，{HG−CG，∠HGF=∠CGD FG=DG.∴△HGF≌△CGD.∴HF=CD，∠HFG=∠CDG.在Rt△BEF中，∵EFBE =12，∴tan∠EBF= 12.又在矩形ABCD中，ABBC =1 2.∴ABAD =1 2.∴tan∠ADB= 12.∴∠EBF=∠ADB.又AD//BC,∴∠ADB=∠DBC.∴∠EBF=∠ADB=∠DBC.∵∠EFD为△BEF的外角。

全等三角形的六种模型全梳理(学生版)--初中数学专题训练

全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。

类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。

将分散的条件集中到一个三角形中。

1【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：(1)如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.ASA(2)如图2，AD长的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．2(培优)已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD,BE，点F为BE中点．AD；(1)如图1，求证：BF=12(2)将△DCE绕C点旋转到如图2所示的位置，连接AE,BD，过C点作CM⊥AD于M点．①探究AE和BD的关系，并说明理由；②连接FC，求证：F，C，M三点共线．1.如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AB=2AE．2.(1)如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；(2)如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；(3)如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．3.(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明(往往需证2次全等)3如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，∠CAD=12∠BAE．(1)求证：CD=BC+DE；(2)若∠B=75°，求∠E的度数．4(培优)在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．(1)求证：∠BFC=90°+12∠A；(2)已知∠A=60°．①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．1.如图，△ABC为等边三角形，若∠DBC=∠DAC=α0°<α<60°，则∠BCD=(用含α的式子表示)．2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠BAD．∠EAF=12(1)当点E、F分别在边BC、CD上时(如图1)，请说明EF=BE+FD的理由．(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时(如图2)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．3.阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6，求BC的长．【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决(如图2)．【问题解答】(1)参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；(2)拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=2.3，BC=2．求AD 的长．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

中考数学专题《全等三角形中的六种模型梳理》解析

专题02 全等三角形中的六种模型梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。

类型一、倍长中线模型中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。

目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。

将分散的条件集中到一个三角形中去。

例1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE△AB交AC延长线于点E，求证：△ABC△△EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且△CAE＝△B，点E是CD的中点，若AD平分△BAE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．【变式训练1】如图1，在ABC 中，CM 是AB 边的中线，BCN BCM ∠=∠交AB 延长线于点N ，2CM CN =．（1）求证AC BN =；（2）如图2，NP 平分ANC ∠交CM 于点P ，交BC 于点O ，若120AMC ∠=︒，CP kAC =，求CPCM的值．【变式训练2】（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>；（2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+；（3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．【变式训练3】在ABC 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，BM ⊥直线a 于点M ．CN ⊥直线a 于点N ，连接PM ，PN ．（1）如图1，若点B ，P 在直线a 的异侧，延长MP 交CN 于点E ．求证：PM PE =．（2）若直线a 绕点A 旋转到图2的位置时，点B ，P 在直线a 的同侧，其它条件不变，此时7BMP CNP S S +=△△，1BM =，3CN =，求MN 的长度．（3）若过P 点作PG ⊥直线a 于点G ．试探究线段PG 、BM 和CN 的关系．类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）例．在等边三角形ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，P 为△ABC 外一点，且△MPN ＝60°，△BPC ＝120°，BP ＝CP ．探究：当点M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系．(1)如图①，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且PM ＝PN 时，试说明MN ＝BM +CN ． (2)如图②，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且PM ≠PN 时，MN ＝BM +CN 还成立吗？答：．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如图③，当点M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，请直接写出BM ，NC ，MN 之间的数量关系．【变式训练1】如图，在四边形ABCD 中，,180AB AD B ADC =∠+∠=︒，点E 、F 分别在直线BC 、CD 上，且12EAF BAD ∠=∠．(1)当点E 、F 分别在边BC 、CD 上时（如图1），请说明EF BE FD =+的理由．(2)当点E 、F 分别在边BC 、CD 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF 、BE 、FD 之间的数量关系，并说明理由．【变式训练2】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，180A C ∠+∠=︒．求证：DA DC =．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种．．．．，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC ，当60DAC ∠=︒时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180A C ∠+∠=︒，DA DC =，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，请直接写出线段AB 、CE 、BC 之间的数量关系．【变式训练3】在ABC 中，BE ，CD 为ABC 的角平分线，BE ，CD 交于点F ．（1）求证：1902BFC A ∠=︒+∠；（2）已知60A ∠=︒．①如图1，若4BD =， 6.5BC =，求CE 的长； ②如图2，若BF AC =，求AEB ∠的大小．类型三、做平行线证明全等例1．如图所示：ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD CE =，连接DE 交BC 于点M ．求让：MD ME =【变式训练1】 P 为等边△ABC 的边AB 上一点，Q 为BC 延长线上一点，且P A ＝CQ ，连PQ 交AC 边于D ．（1）证明：PD ＝DQ ．（2）如图2，过P 作PE △AC 于E ，若AB ＝6，求DE 的长．【变式训练2】已知在等腰△ABC 中，AB =AC ，在射线CA 上截取线段CE ，在射线AB 上截取线段BD ，连接DE ，DE 所在直线交直线BC 与点M ．请探究：(1)如图（1），当点E 在线段AC 上，点D 在AB 延长线上时，若BD =CE ，请判断线段MD 和线段ME 的数量关系，并证明你的结论．(2)如图（2），当点E 在CA 的延长线上，点D 在AB 的延长线上时，若BD =CE ，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；类型四、旋转模型例．如图1，AC BC =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点M ，连接CM ．（1）求证：BE AD =，并用含α的式子表示AMB ∠的度数；（2）当90α=︒时，取AD ，BE 的中点分别为点P 、Q ，连接CP ，CQ ，PQ ，如图2，判断CPQ 的形状，并加以证明．【变式训练1】四边形ABCD 是由等边ABC ∆和顶角为120︒的等腰ABD ∆排成，将一个60︒角顶点放在D 处，将60︒角绕D 点旋转，该60︒交两边分别交直线BC 、AC 于M 、N ，交直线AB 于E 、F 两点．（1）当E 、F 都在线段AB 上时（如图1），请证明：BM AN MN +=；（2）当点E 在边BA 的延长线上时（如图2），请你写出线段MB ，AN 和MN 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若7AC =， 2.1AE =，请直接写出MB 的长为．【变式训练2】（1）问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，当△DCE 旋转至点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．则：①△AEB 的度数为 °；②线段AD 、BE 之间的数量关系是．（2）拓展研究：如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，且△ACB ＝△DCE ＝90°，点 A 、D 、E 在同一直线上，若AD ＝a ，AE ＝b ，AB ＝c ，求a 、b 、c 之间的数量关系．（3）探究发现：图1中的△ACB 和△DCE ，在△DCE 旋转过程中，当点A ，D ，E 不在同一直线上时，设直线AD 与BE 相交于点O ，试在备用图中探索△AOE 的度数，直接写出结果，不必说明理由．【变式训练3】如图1，在Rt ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______．（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．类型五、手拉手模型例．在等边ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，将线段DE 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DF ，连接CF ．(1)如图（1），点D 是AB 的中点，点E 与点C 重合，连接AF ．若6AB =，求AF 的长； (2)如图（2），点G 在AC 上且60AGD FCB ∠=︒+∠，求证：CF DG =；(3)如图（3），6AB =，2BD CE =，连接AF ．过点F 作AF 的垂线交AC 于点P ，连接BP 、DP ．将BDP △沿着BP 翻折得到BQP ，连接QC ．当ADP △的周长最小时，直接写出CPQ 的面积．【变式训练1】△ACB 和△DCE 是共顶点C 的两个大小不一样的等边三角形．(1)问题发现：如图1，若点A ，D ，E 在同一直线上，连接AE ，BE ． ①求证：△ACD △△BCE ；②求△AEB 的度数．(2)类比探究：如图2，点B 、D 、E 在同一直线上，连接AE ，AD ，BE ，CM 为△DCE 中DE 边上的高，请求△ADB 的度数及线段DB ，AD ，DM 之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，若设AD （或其延长线）与BE 的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明．【变式训练2】（1）如图1，锐角△ABC 中，分别以AB 、AC 为边向外作等腰直角△ABE 和等腰直角△ACD ，使AE ＝AB ，AD ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，连接BD ，CE ，试猜想BD 与CE 的大小关系，不需要证明．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝2，∠ABC ＝∠ACD ＝∠ADC ＝45°，求BD 2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD 全等的三角形，将BD 进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∠ADC ＝30°，AD ＝6，BD ＝10，则CD ＝．【变式训练3】（1）问题发现：如图1，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 在同一条直线上，则AEB ∠的度数为__________，线段AD 、BE 之间的数量关系__________；（2）拓展探究：如图2，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 不在一条直线上，请判断线段AD 、BE 之间的数量关系和位置关系，并说明理由．（3）解决问题：如图3，ACB △和DCE 均为等腰三角形，ACB DCE α∠=∠=，则直线AD 和BE 的夹角为__________．（请用含α的式子表示）类型六、一线三角模型例.在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C 且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①ADC △CEB △；②DE AD BE =+；(2)当直线MN 烧点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【变式训练1】【问题解决】（1）已知△ABC 中，AB =AC ，D ，A ，E 三点都在直线l 上，且有△BDA =△AEC =△BAC ．如图①，当△BAC =90°时，线段DE ，BD ，CE 的数量关系为：______________；【类比探究】（2）如图②，在（1）的条件下，当0°<△BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；【拓展应用】（3）如图③，AC=BC，△ACB=90°，点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2），请求出点A的坐标．【变式训练2】（1）如图1，在△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD△直线m，CE△直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD△△CAE；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有△BDA＝△AEC＝△BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD△△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为△BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若△BDA＝△AEC＝△BAC，求证：△DEF是等边三角形．【变式训练3】探究：（1）如图（1），已知：在△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD△直线m，CE△直线m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD，DE，CE之间的数量关系是．拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有△BDA=△AEC=△BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为△BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若△BDA=△AEC=△BAC，请直接写出△DEF的形状是．。

初中数学几何模型之倍长中线模型

数学模型-倍长中线模型模型分析：倍长中线主要用于证明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定过程中，给出中线，通过延长辅助线的方法证明三角形全等及其他，达到解题的目的．其主要的图形特征和证明方法如下图：已知：在三角形ABC 中，O 为BC 边中点，辅助线：延长AO 到点D 使AO=DO ，结论：△AOB ≌△DOC证明：延长AO 到点D 使AO=DO ，由中点可知，OB=OC ，在△AOB 和△DOC 中OA ODAOB DOC OB OC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOB ≌△DOC同理下图中仍能得到△AOB ≌△DOC规律总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS 的方法，这是由于作出延长线后出现的对顶角决定的．补充：关于倍长中线的其他模型①向中线做垂直，易证△BEO ≌△CDO步骤：延长AO 到点D ，过点B ，C 分别向AD 作垂线，垂足为E ，D ，易证△BEO ≌△CDO(AAS)②过中线做任意三角形证明全等，易证△BDO ≌△CEO步骤：AC 上任意选取一点E ，连接EO 并延长到点D ，使EO=DO ，连接BD ，易证△BDO ≌△CEO(SAS)实例精练：1. 如图，在平行四边形ABCD 中，28CD AD ==，E 为AD 上一点，F 为DC 的中点，则下列结论中正确的是（）A. 4BF =B. 2ABC ABF ∠>∠C. ED BC EB +=D. 2DEBC EFB S S =四边形【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质可以得到228CD AD BC ===，且F 为DC 的中点，所以4CF BC ==,由此可判断A 选项；再结合平行线的性质可以得到CFB FBA ∠=∠，由此可判断B 选项；同时延长EF 和BC 交于点P ，,,DF CF DFE PFC D FCP =∠=∠∠=∠ 可以证得DFE CFP ≅，所以ED BC CP BC BP +=+= 由此可以判断C 选项；由于DFE CFP ≅，所以BEP DEBC S S =四边形，由此可以判断D 选项；【详解】四边形ABCD 是平行四边形∴ 228CD AD BC ===∴ 4CF BC ==由于条件不足，所以无法证明4BF =,故A 选项错误；4CF BC ==∴ CFB FBC ∠=∠DC AB ∥∴ CFB FBC FBA ∠=∠=∠∴ 2ABC ABF ∠=∠故B 选项错误；同时延长EF 和BC 交于点PAD BP∴ D FCP ∠=∠∴ 在DFE △和CFP 中：()DF CF DFE PFC D FCP ASA ⎧=⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴ DFE CFP ≅∴ ED BC CP BC BP +=+=由于条件不足，并不能证明BP BE =，故C 选项错误；DFE CFP ≅∴ BEP DEBC S S =四边形F 为DC 的中点∴ 2BEP BEF DEBC S S S ==四边形故D 选项正确；故选：D.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键.2. 如图，901,2,AB CD BCD AB BC CD E ∠=︒===，，为AD 上的中点，则BE ＝______．【解析】【分析】延长BE 交CD 于点F ，证ABE DFE ≌，则BE=EF=12BF ，故再在直角三角形BCF 中运用勾股定理求出BF 长即可.【详解】解：延长BE 交CD 于点F∵AB 平行CD ，则∠A=∠EDC ，∠ABE=∠DFE ，又E 为AD 上的中点，∴BE=EF,所以ABE DFE ≌. ∴1,12BE EF BF AB DF ==== ∴1CF =在直角三角形BCF 中，∴12BE BF ==. 【点睛】本题的关键是作辅助线，构造三角形全等，找到线段的关系，然后运用勾股定理求解.3. 如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于F ，BE AC =，且9BF =，6CF =，那么AF 的长度为__．【答案】32；【解析】【分析】延长AD 至G 使AD DG =，连接BG ，得出ACD GBD ∆≅∆ 得出AC BG BE ==，所以得出AEF ∆是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算．【详解】如图：延长AD 至G 使AD DG =，连接BG在ACD ∆和GBD ∆中：CD BD ADC BDG AD DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD GBD ∆≅∆∴,CAD G AC BG ∠=∠=∵BE AC =∴BE BG =∴G BEG ∠=∠∵BEG AEF ∠=∠∴AEF EAF ∠=∠∴EF AF =∴AF CF BF EF +=-即69AF EF +=- ∴32AF = 【点睛】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键． 4. 如图，平行四边形ABCD 中，CE AD ⊥于E ，点F 为边AB 中点，12AD CD =，40CEF ∠=︒，则AFE ∠=_________【答案】30【解析】【分析】延长EF 、CB 交于点G ，连接FC ，先依据全等的判定和性质得到FE FG =，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到FC FE FG ==，依据平行四边形的对边相等及等量代换得到BF BC =，依据三角形等边对等角得到50FCG G ∠=∠=︒、50BFC FCG ∠=∠=︒，依据三角形内角和得到GFC ∠，通过作差即得所求.【详解】解：延长EF 、CB 交于点G ，连接FC ，∵平行四边形ABCD 中，∴//AD BC ，AB CD =,AD BC =,∴A GBF ∠=∠，AFE BFG ∠=∠，90GCE CED ∠==︒又∵点F 为边AB 中点，得12A FB A BF ==, ∴AFE △≌BFG (ASA)，0509C G EF ∠∠-==︒︒，∴FE FG =，∴FC FE FG ==，∴50FCG G ∠=∠=︒,∴18080GFC FCG G ∠=︒-∠-∠=︒, ∵12BF AB =,12AD CD = AB CD =,AD BC =, ∴BF BC =,∴50BFC FCG ∠=∠=︒,∴30BFG GFC BFC ∠=∠-∠=︒,∴30BFG AFE ∠∠==︒,故答案为：30.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形等边对等角、三角形内角和，解题的关键是构造直角三角形.5. 已知：如图所示，AD平分BAC，M是BC的中点，MF//AD，分别交CA延长线，AB于F、E．求证：BE=CF．【答案】见解析.【解析】【分析】过B作BN∥AC交EM延长线于N点，易证△BMN≌△CMF，可得CF＝BN，然后由MF//AD，AD平分∠BAC可得∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM，∠BEM ＝∠N，所以BE＝BN＝CF.【详解】证明：过B作BN∥AC交EM延长线于N点，∵BN∥AC，BM＝CM，∴∠BMN＝∠CMF，∠N＝∠F，∴△BMN≌△CMF，∴CF＝BN，又∵MF//AD，AD平分∠BAC，∴∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM，∴∠BEM＝∠N，∴BE＝BN＝CF.【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．6. 如图所示，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为BAC ∠的平分线.【答案】见解析【解析】【分析】延长FE ，截取EH =EG ，连接CH ，可证∴BEG ≌△CEH ，即可求得∠F =∠FGA ，即可求得∠CAD =∠BAD ，即可解题．【详解】证明：延长FE ，截取EH =EG ，连接CH ，∵E 是BC 中点，∴BE =CE ，∴∠BEG =∠CEH ，在∴BEG 和∴CEH 中，BE CE BEG CEH GE EH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BEG ≌△CEH （SAS ），∴∠BGE =∠H ，∴∠BGE =∠FGA =∠H ，∴BG =CH ，∵CF =BG ，∴CH =CF ，∴∠F =∠H =∠FGA ，∵EF ∥AD ，∴∠F =∠CAD ，∠BAD =∠FGA ，∴∠CAD =∠BAD ，∴AD 平分∠BAC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证∴BEG ≌△CEH 是解题的关键．7. 已知：如图所示，在ABC ∆中，AD 为中线，BF 交,AD AC 分别于,E F ，如果BE AC =，求证：AF EF = ．【答案】详见解析【解析】【分析】根据点D 是BC 的中点，延长AD 到点G ，得到BDE CDG ∆∆≌，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE 等于EF ．【详解】证明：延长ED 至G ，使DG DE =，连结GC ，∵在ABC ∆中，AD 为中线，∴BD=CD ，在△ADC 和△GDB 中，BD CD BDE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BDE CDG ∆∆≌，BE CG ∴=，BED CGD ∠=∠，BE AC =，AC GC ∴=，AGC CAG ∴∠=．又BED AEF ∠=∠，∴AEF EAF ∠=∠，∴AF EF =.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形．8. 如图所示，AD 为ABC ∆的角平分线，,E F 分别在,BD AD 上，DC DE =，若EF AB ∥．求证：EF AC =．【答案】详见解析【解析】【分析】延长FD 至G ，使DG DF =，连结CG ，可证DEF DCG ∆∆≌，则EF=CG ，利用全等三角形和角平分线以及平行线的性质可得GAC AGC ∠=∠ ，根据等角对等边得AC=CG ，即可得出结论.【详解】证明：延长FD 至G ，使DG DF =，连结CG ，∵DC=DE ，∠EDF=∠CDG ，DG DF =∴DEF DCG ∆∆≌，EF CG ∴=，EFG CGD ∠=∠EF AB ∥，EFG BAD ∴∠=∠，又BAD CAD ∠=∠，GAC AGC ∴∠=∠，AC GC ∴=，EF AC ∴=.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证△EDF 与△CDG 全等． 9. 如图所示，在ABC ∆中，AD 为中线，90,2BAD AB AD ∠==，求DAC ∠的度数．【答案】45°【解析】【分析】延长AD 至E ，使DE AD =，连结CE ，则ADB EDC ∆∆≌，根据全等三角形的性质得EC=AB ，90E BAD ∠=∠=︒，由AB=2AD 可得EC=AE ，可得△AEC 是等腰直角三角形，即可得∠DAC 的度数．【详解】解：延长AD 至E ，使DE AD =，连结CE ，∵BD=CD ，∠ADB=∠EDC∴ADB EDC ∆∆≌，∴EC=AB ，90E BAD ∠=∠=︒，∵AB=2AD ，DE AD =∴AB=AE=EC∴△AEC 是等腰直角三角形，∴∠DAC=45°.故答案为45°.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构建全等三角形和等腰直角三角形.10. 已知：如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且ED FD ⊥于D .求证：222AE BF EF +=.【答案】详见解析【解析】【分析】通过倍长线段DE ，将AE 、BF 、EF 转化到BGF ∆中，再证BGF ∆为直角三角形.=，连结BG、FG，【详解】延长ED至G，使DG DE∠=∠，=，ADE BDGAD BD∴∆≅∆，ADE BDG∴=，A DBG∠=∠，AE BG∴，AC BG∴∠=︒，FBGC FBG180∴∠+∠=︒，90222∴+=，BG BF GF=，又ED FD⊥，ED GD∴=，EF GF222∴+=.AE BF EF【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键.11. 阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC ＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：以进一步证得∠G＝∠F AE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图∴，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠F AE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．（1）∴思路一的辅助线的作法是：；∴思路二的辅助线的作法是：．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．【答案】（1）∴延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；∴作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）详见解析【解析】【分析】（1）∴依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠F AE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．∴作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠F AE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出结论．【详解】解：（1）∴延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图∴，理由如下：∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，=AD DGADC GD CD BDB ⎧=∠⎪∠⎪⎨⎩＝，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EF A，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；∴作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图∴．理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EF A，∵∠EF A＝∠BFG，∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中，CAD GADC GCD BDDB ⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠∠＝＝，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∴AC＝BF；故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图∴所示：则∠G＝∠CAD，∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，CAD GADC GCD BDDB ⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠∠＝＝，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EF A，∵∠BFG＝∠EF A，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有四个定理：AAS、ASA、SAS、SSS，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题．12. 阅读∴1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=10∴AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD 绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB∴AC∴2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是________∴∴2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D∴DE交AB于点E∴DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF∴EF∴∴3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°∴CB=CD∴∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB∴AD于E∴F两点，连接EF，探索线段BE∴DF∴EF之间的数量关系，并加以证明．【答案】∴1∴2∴AD∴8∴∴2）证明见解析；（3∴BE+DF=EF；理由见解析.【解析】（1）延长AD至E，使DE=AD，由SAS证明∴ACD∴∴EBD，得出BE=AC=6，【分析】在∴ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；（2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）得∴BMD∴∴CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在∴BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；（3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证出∴NBC=∴D，由SAS证明∴NBC∴∴FDC，得出CN=CF，∴NCB=∴FCD，证出∴ECN=70°=∴ECF，再由SAS 证明∴NCE∴∴FCE，得出EN=EF，即可得出结论．【详解】（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图∴所示：∴AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在∴BDE和∴CDA中，BD=CD，∴BDE=∴CDA，DE=AD，∴∴BDE∴∴CDA（SAS），∴BE=AC=6，在∴ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，∴2＜AD＜8；故答案为2＜AD＜8；（2）证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图∴所示：同（1）得：∴BMD∴∴CFD（SAS），∴BM=CF，∴DE∴DF，DM=DF，∴EM=EF，在∴BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）解：BE+DF=EF；理由如下：延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：∴∴ABC+∴D=180°，∴NBC+∴ABC=180°，∴∴NBC=∴D，在∴NBC和∴FDC中，BN=DF，∴NBC =∴D，BC=DC，∴∴NBC∴∴FDC（SAS），∴CN=CF，∴NCB=∴FCD，∴∴BCD=140°，∴ECF=70°，∴∴BCE+∴FCD=70°，∴∴ECN=70°=∴ECF，在∴NCE和∴FCE中，CN=CF，∴ECN=∴ECF，CE=CE，∴∴NCE∴∴FCE（SAS），∴EN=EF，∴BE+BN=EN，∴BE+DF=EF．考点：全等三角形的判定和性质；三角形的三边关系定理.13. 如图，在∴ABC中，AB=AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA，BE∴AD于点E，取BE的中点F，连接AF．(1)若，求BE的长；(2)在（1）的条件下，如果∴D=45°，求∴ABD的面积．(3)若∴BAC=∴DAF，求证：2AF=AD；【答案】（1）（2）9；（3）见详解【解析】【分析】（1）在Rt △AEB 中，利用勾股定理即可解决问题；（2）由∠D ＝45°可证得BE ＝DE ，再利用三角的面积公式计算即可；（3）如图，延长AF 至M 点，使AF ＝MF ，连接BM ，首先证明△AEF ≌△MFB ，再证明△ABM ≌△ACD 即可．【详解】（1）解：∵AB ＝AC ，AC∴AB∵BE ⊥AD ，AE，∴在Rt △AEB中，BE ===；（2）解：∵BE ⊥AD ，∠D ＝45°，∴∠EBD ＝∠D ＝45°，∴BE ＝DE＝∴AD ＝AE+DE=∴11922ABD S AD BE =⋅=⨯=；（3）证明：如图，延长AF 至M 点，使AF ＝MF ，连接BM ，∵点F 为BE 的中点，∴EF ＝BF ，在△AEF 和△MBF 中，AF FM AFE BFM EF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△MBF （SAS ），∴∠F AE ＝∠FMB ，∴AE ∥MB ，∴∠EAB +∠ABM ＝180°，∴∠ABM ＝180°﹣∠BAD ，又∵AB ＝AC ，DB ＝DA ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠BAD ，∴∠ACD ＝180°﹣∠ACB ，∴∠ABM ＝∠ACD ．又∵∠BAC ＝∠DAF ，∴∠BAC ﹣∠MAC ＝∠DAF ﹣∠MAC ，∴∠1＝∠2．在△ABM 和△ACD 中，12AB ACABM ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABM ≌△ACD （ASA ），∴AM ＝AD ，又∴AM ＝AF +MF ＝2AF ，∴2AF ＝AD ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是中线延长一倍，作出正确的辅助线构造全等三角形，属于常考题型．14. 阅读材料，解答下列问题．如图1，已知△ABC 中，AD 为中线．延长AD 至点E ，使 DE =AD ．在△ADC 和△EDB 中，AD =DE ，∠ADC =∠EDB ，BD =CD ，所以，△ACD ≌△EBD ，进一步可得到AC =BE ，AC //BE 等结论．在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．解决问题：如图2，在△ABC 中，AD 是三角形的中线，点F 为AD 上一点，且BF =AC ，连结并延长BF 交AC 于点E ，求证：AE =EF ．【答案】详见解析【解析】【分析】延长AD 到M ，使DM=AD ，连接BM ，根据SAS 推出△BDM ≌△CDA ，根据全等三角形的性质得出BM=AC ，∠CAD=∠M ，根据BF=AC 可得BF=BM ，推出∠BFM=∠M ，求出∠AFE=∠EAF 即可．【详解】如图，延长AD 至点M ，使得MD AD =，并连结BM ，∵AD 是三角形的中线，∴BD CD =，在MDB △和ADC △中，,,,BD CD BDM CDA DM DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴MDB ADC △≌△，∴AC MB =，BMD CAD ∠=∠，∵BF AC =，∴BF BM =，∴BMD BFD ∠=∠，∵BFD EFA ∠=∠，BMD CAD ∠=∠，∴EFA EAF ∠=∠，即AE EF =．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形．。

专题08 三角形中的倍长中线模型(学生版)

专题08三角形中的倍长中线模型【模型1】如图，已知AD 是ABC ∆的边BC 的中线，延长AD 至点E，使得AD=DE，连接BE，结合BD=CD，EDB ADC ∠=∠，可证得ADC ∆≌EDB ∆。

【模型2】如图，已知点D 是ABC ∆的边BC 上的中点，点E 是边AC 上的一点，连接ED 并延长ED 至点P，使得ED=DP。

结合BD=CD，CDE BDP ∠=∠，可证得BDP ∆≌CDE ∆。

【例1】如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，点D 为BC 的中点，则AD 的长可能是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【例2】如图，ABC 中，13AB =，6AD =，5AC =，D 为BC 边的中点，则ABC S =______．【例3】（1）如图1，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED =AD ，连接CE ．①证明△ABD ≌△ECD ；②若AB ＝5，AC ＝3，设AD ＝x ，可得x 的取值范围是_______；（2）如图2，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE ＋CF ＞EF ．一、单选题1．如图，已知AD 是△ABC 中BC 边上的中线，AB ＝5，AC ＝3，则AD 的取值范围是（）A ．2＜AD ＜8B ．1＜AD ＜4C ．2＜AD ＜5D ．4≤AD ≤82．在ABC 中，5AC =，中线7AD =，则AB 边的取值范围（）A ．212AB <<B ．412AB <<C ．919AB <<D ．1019AB <<3．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AB BD ⊥，5AB =，4BD =，3CD =，点E 是AC 的中点，则BE 的长为（）．A ．2B ．52C ．5D ．34．如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点，点E 为BA 延长线上一点，DF DE ⊥交射线AC 于点F ，连接EF ，则BE CF +与EF 的大小关系为()A ．BE CF EF +<B ．BE CF EF +=C ．BE CF EF +>D ．以上都有可能5．在ABCF 中，2BC AB =，CD AB ⊥于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ∠=︒，则B Ð的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒6．如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 是中线，AE 是角平分线，点F 是AE 上任意一点（不与A ，E 重合），连接BF 、CF ．给出以下结论：①AB EB AC EC =；②1()2DAE ACB ABC ∠=∠-∠；③11()()22AB AC AD AB AC -<<+；④AB CF AC BF +>+．其中一定正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题7．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，3AC =，5AD =，则AB 的取值范围是________．8．在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是△ABC 内一点，点E 是CD 的中点，连接AE ，作EF ⊥AE ，若点F 在BD 的垂直平分线上，∠BAC ＝α，则∠BFD ＝_________．（用α含的式子表示）9．如图，平行四边形ABCD ，点F 是BC 上的一点，连接AF ，∠FAD ＝60°，AE 平分∠FAD ，交CD 于点E ，且点E 是CD 的中点，连接EF ，已知AD ＝5，CF ＝3，则EF ＝__．10．在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，若AB ＝3cm ，AC ＝5cm ，则AD 的取值范围是_______．11．如图，在正方形ABCD 中，MN 分别是AD 、BC 边上的点，将四边形ABNM 沿直线MN 翻折，使得点A 、B 分别落在点'A 、'B 处，且点'B 恰好为线段CD 的中点，''A B 交AD 于点G ，作DP MN ⊥于点P ，交''A B 于点Q ．若4AG =，则PQ =________．12．如图，901,2,AB CD BCD AB BC CD E ∠=︒===，，为AD 上的中点，则BE ＝______．三、解答题13．如图，AD 为ABC 中BC 边上的中线()AB AC >．（1）求证：2AB AC AD AB AC -<<+；（2）若8cm AB =，5cm AC =，求AD 的取值范围．14．如图，已知//AP BC ，点E 是DC 的中点，且AD BC AB +=，求证：AE BE ⊥．15．如图，O 为四边形ABCD 内一点，E 为AB 的中点，OA ＝OD ，OB ＝OC ，∠AOB +∠COD ＝180︒．（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝OB的长；（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．16．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．17．如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．①请证明△CED≌△ABD；②中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC 外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．18．（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>；（2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+；（3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．19．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在ABC 中，6AB =，10AC =，D 是BC 的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图1，延长AD 到E 点，使DE AD =，连接BE ．根据______可以判定ADC ≌△______，得出AC =______．这样就能把线段AB 、AC 、2AD 集中在ABE △中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD 的取值范围是．【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法．【问题解决】（2）如图2，在ABC 中，90A ∠=，D 是BC 边的中点，90EDF =∠，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：222BE CF EF +=．【问题拓展】（3）如图3，ABC 中，90B =∠，3AB =，AD 是ABC 的中线，CE BC ⊥，5CE =，且90ADE ∠=．直接写出AE 的长＝______．20．在△ABM 中，AM ⊥BM ，垂足为M ，AM ＝BM ，点D 是线段AM 上一动点．（1）如图1，点C 是BM 延长线上一点，MD ＝MC ，连接AC ，若BD ＝17，求AC 的长；（2）如图2，在（1）的条件下，点E 是△ABM 外一点，EC ＝AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：∠BDF ＝∠CEF ．（3）如图3，当E 在BD 的延长上，且AE ⊥BE ，AE ＝EG 时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）21．已知：等腰Rt ABC 和等腰Rt ADE △中，AB AC =，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=︒．（1）如图1，延长DE 交BC 于点F ，若68BAE ∠=︒，则DFC ∠的度数为；（2）如图2，连接EC 、BD ，延长EA 交BD 于点M ，若90AEC ∠=︒，求证：点M 为BD 中点；（3）如图3，连接EC 、BD ，点G 是CE 的中点，连接AG ，交BD 于点H ，9AG =，5HG =，直接写出AEC △的面积．22．（1）基础应用：如图1，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，AD 是BC 边上的中线，延长AD 到点E 使DE ＝AD ，连接CE ，把AB ，AC ，2AD 利用旋转全等的方式集中在△ACE 中，利用三角形三边关系可得AD 的取值范围是；（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且DE ⊥DF ，求证：BE +CF ＞EF ；（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠ADC ＝180°且∠EAF ＝12∠BAD ，试问线段EF 、BE 、FD 具有怎样的数量关系，并证明．。

三角形常见模型综合(解析版) -- 中考数学专题训练

三角形常见模型综合中考直击本考点是中考五星高频考点，难度中等及中等偏上，在全国各地市的中考试卷中都有考查。

1(2022年鄂尔多斯中考试卷第14题)如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC=5，AD= 10，BE=132，则AB的长是．【模型】倍长中线类模型：∥+中点→三角形全等【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF=BC=5，BE=EF，由勾股定理可求AB的长．【解答】解：如图，延长BE交AD于点F，∵点E是DC的中点，∴DE=CE，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE，∵∠FED=∠BEC，∴△BCE≌△FDE(ASA)，∴DF=BC=5，BE=EF，∴BF=2BE=13，在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB=12．故答案为：12．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键。

教材方位三角形常见模型是解决中考数学问题的有效“捷径”，因为各个模型总结了不同类题的问题特征，并且给予了问题的解决方向，熟悉模型能有效提高做题速度，节约考试时间。

本考点是中考五星高频考点，难度中等或较大，个别还会以压轴题出现，在全国各地市的中考试卷中均有考查。

技法指引全等常见模型：①K型图：图形条件与结论辅助线注意事项条件：AC=BC,AC⊥BC 结论：分别过点A、B作ADK型图可以和等腰直角三角板结合，也可以和正方12△ADC ≌△CEB (AAS )⊥l ,BE ⊥l形结合K 型全等模型变形--三垂定理：如图，亦有△ADC ≌△CEB (AAS )总结：当一个直角放在一条直线上时，常通过构造K 型全等来证明边相等，或者边之间的数量关系②手拉手：模型名称几何模型图形特点具有性质全等型手拉手AD =AEAB =AC ∠BAC =∠DAE连结BD 、CE ①△ABD ≌△ACE②△AOB ∽△HOC ③旋转角相等(即∠1=∠2=∠3)④A 、B 、C 、D四点共圆⑤AH 平分∠BHE③倍长中线：基本图形辅助线条件与结论应用环境延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE条件：△ABC ，AD =BD结论：△ABD ≌△CED (SAS )①倍长中线常和△三边关系结合，考察中线长的取值范围②倍长中线也可以和其他几何图形结合，考察几何图形的面积问题相似常见模型：①A 字图：变型当DE ⎳BC 时，△ADE ∾△ABC 性质：①AD AB =AE AC=DE BC ②AD DB =AE EC当∠ADE =∠ACB 时△ADE ∽△ACB 性质：AD AC =AE AB=DEBC3②8字图：AB CD =JA JC=JBJD 变型③一线三等角常用结论：1.易得△左∽△右；2.如图②，当DE =DF 时，△BDE ≌△CFD ；3.中点型“一线三等角”中，可得三个三角形两两相似如右图，若∠1=∠2=∠3，且BD =DC ，则△1∽△2∽△一般地：当动点E 运动到底边的中点时，CF 有最大值组合常见模型：①知2得1：②勾股定理面积应用：当AB ∥CD 时△AOB ∽△DOC 性质：AB CD =OA OD =OBOC当∠A =∠C 时△AJB ∽△CJD 性质：AB CD =JA JC=JBJD ①AD 为角平分线；②DE ∥AB ；③AE=ED 若以上3个条件中有2个成立，则剩余的那个就会成立。

初中几何模型之——倍长中线模型

初中几何模型之——倍长中线模型展开全文【方法综述】中线是三角形中的一条重要线段，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。

所谓倍长中线法，就是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，再联结相应的顶点，利用中线的性质、辅助线、对顶角相等，构造出全等三角形（通常用“SAS”证明），进而证明对应边之间的关系。

中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系。

中线倍长其实就是通过图形旋转来构造三角形全等，从而把分散的已知条件集中起来加以利用，所以中线倍长的辅助线也可以转化为添平行线，同样能达到解决问题的效果。

简单地说，倍长中线法其目的是构造一对对顶的全等三角形，其本质是转移边、转移角。

【模式变式】倍长类中线模型1、如图，点E是AC边上任意一点，延长ED到F，使DF=DE，联结BF，则△ADE≌△BDF。

模型2、如图，点E是CD边上任意一点，延长ED到F，使DF=DE，联结AF，则△ADF≌△BDE。

模型3、如图，作BE⊥CD于F，作AE⊥CD的延长线于E，则△ADE≌△BDF。

模型4、如图，点P是BC边的中点，连接EP并延长到点F，使PF=PE，联结CF，则△BPE≌△CPF。

模型5、【条件】：①平行四边形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；【结论】：∠EMD=3∠MEA辅助线：有平行AB∥CD，有中点AM=DM，延长EM，构造△AME≌△DMF，连接CM构造等腰△EMC，等腰△MCF。

【应用场景】题干中出现三角形一边的中线（或与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题。

类型1 、用于几何计算问题例1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6．求CE的长．【分析】延长AF至BC延长线上交于G点，由已知可证明∠AGB ＝∠EAG，则EF为△ABG的中位线，得出EF＝3，还可证明FG＝4，由勾股定理得EG＝5，则求得CE的长为2.3．【解答】：延长AF至BC延长线上交于G点，∵AD∥BC，∴△ADF∽△GCF，∴AF：FG＝DF：CF，∵DF＝CF∴AF＝FG．∵AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE，∵AF⊥AB，∴∠ABE+∠AGB＝90°，∠BAE+∠EAG＝90°，∴∠AGB＝∠EAG，∴A E＝EG，∴GE＝BE，∴E为BG中点，∴EF是△ABG的中位线，故可得：EF＝1/2AB＝3，FG＝AF＝4，∴AG＝8，∴BG＝10，∴EG＝5，∵AF⊥AB，AE＝BE，∴点E是BG的中点，∴EG＝BE＝5，∴可得△EFG为直角三角形，∴CE＝EG﹣CG＝EG﹣AD＝5﹣2.7＝2.3．例2.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．【分析】延长GE交CB的延长线于M．只要证明△AEG≌△BEM，推出AG＝CM＝2，再根据线段的垂直平分线的性质，即可解决问题．解：延长GE交CB的延长线于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CM，∴∠AGE＝∠M，在△AEG和△BEM中，∠AGE＝∠M，∠AEG＝∠MEB，AB=BE，∴△AEG≌△BEM（AAS），∴GE＝EM，AG＝BM＝2，∵EF⊥MG，∴FG＝FM，∵BF＝4，∴MF＝BF+BM＝2+4＝6，∴GF＝FM＝6．类型2 、用于几何证明问题例3、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．（1）求证：AB+AC＞2AD；（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．【分析】（1）延长AD到点E，使DE=AD，联结BE，用SAS证明△BDE≌△CDA，得BE=AC，根据三角形的三边关系的AB+BE＞AE，即可证得结论；（2）利用第（1）小题的结论以及三角形的三边关系即可解决问题.【解析】（1）证明：如图，延长AD到点E，使DE=AD，联结BE.∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD，∵∠BDE=∠CDA，DE=AD，∴△BDE≌△CDA，∴BE=A C，∵DE=AD∴AE=2AD在△ABE中，AB+BE＞AE，∴AB+AC＞2AD.（2）在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB＋BE，由(1)，得AE=2AD，BE=AC，∵AB=5，AC=3，∴5-3＜AE＜5＋3，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4.【点评】本题属于三角形的综合题，考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是作出倍长中线的辅助线，构造全等三角形解决问题，属于常考题型.例4、已知△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，求证：CD=2CE.解析：如图，延长CE到点F，使EF=CE，联结BF，可证△AEC≌△BEF，得∠1=∠A，BF=AC，再证△BCD≌△BCF，即可得CD=2CE.如图，延长CE到点F，使EF=CE，联结BF，∵CE是AB边上的中线，∴AE=BE，∵∠AEC=∠BEF，CE=EF，∴△AEC≌△BEF，∴∠1=∠A，BF=AC，∵AB=AC，BD=AB，∴BD=BF，∵∠CBD是△ABC的外角，∴∠CBD=∠A＋∠ABC，∵∠CBF=∠1＋∠ABC，∴∠CBD=∠CBF，∵BC=BC，∴△BCD≌△BCF，∴CD=CF，∵CF=2CE，∴CD=2CE.【点评】本题考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，解题的关键是作出倍长中线的辅助线，构造全等三角形解决问题，属于常考题型.本题还可以这样添加辅助线，具体证明过程这里略.（1）如图，作BF∥AC，交CD于点F.（2）取AC的中点F，联结BF.。

全等三角形中“倍长中线”模型

第13讲全等三角形中“倍长中线”模型（（核心考点讲与练）【基础知识】三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线（线段）造全等在△ABC 中 AD 是BC 边中线延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E连接BE延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CD【考点剖析】1、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDADE DA =ìïÐ=Ðíï=î∴△BDE ≌△CDA （SAS ）∴A C =BE ，∠E =∠2∵AD 平分∠BACCD B A21ECD B A∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB =BE∴AB =AC方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交A D 的延长线于点E∵BE ∥AC∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDABD CD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△BDE ≌△CDA （AAS ）∴BE =AC∵AD 平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB =BE∴AB =AC2、如图1，已知ABC D 中，AD 是BC 边上的中线．21ECD B A求证：2AB AC AD +>．证明：如图2，延长AD 至E ，使DE AD =，∵AD 是BC 边上的中线∴BD CD=在BDE D 和CDA D 中BD CD BDE CDADE DA =ìïÐ=Ðíï=î∴BDE CDA D D ≌∴BE CA=在ABE D 中，AB BE AE+>∴2AB AC AD +>．3.如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．（1）按要求作图：延长AD 到点E ，使DE =AD ；连接BE ．（2）求证：△ACD ≌△EBD ．（3）求证：AB +AC >2AD ．（4）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围．解：（1）如图，D CBA（2）证明：如图，∵AD 为BC 边上的中线∴BD =CD在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =ìïÐ=Ðíï=î∴△BDE ≌△CDA （SAS ）（3）证明：如图，∵△BDE ≌△CDA∴BE =AC∵DE =AD∴AE =2 AD在△ABE 中，AB +BE >AE∴AB +AC >2AD（4）在△ABE 中，AB -BE <AE <AB +BE由（3）得 AE =2AD ，BE =AC∵AC =3，AB =5∴5-3<AE <5+3∴2<2AD <8∴1<AD <44.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．21EB CD A证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△ADC 和△EDB 中CD BD ADC EDBAD ED =ìïÐ=Ðíï=î∴△ADC ≌△EDB （SAS ）∴AC =EB ，∠2=∠E∵AD 平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB =BE∴AB =AC5.如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BFD CB A21ED CB AE D CB A∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线∴BD =AD在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDFDF DC =ìïÐ=Ðíï=î∴△BDF ≌△ADC （SAS ）∴BF =AC ，∠1=∠F∵CB 是△AEC 的中线∴BE =AB∵AC =AB∴BE =BF∵∠1=∠F∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°又∵AC =AB∴∠1+∠2=∠5又∵∠4+∠5=180°∴∠4=∠5+∠6即∠CBE =∠CBF在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBFBE BF =ìïÐ=Ðíï=î∴△CBE ≌△CBF （SAS ）∴CE =CF ，∠2=∠3∴CE =2CDCB 平分∠DCE6.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．求证：∠AEF =∠EAF ．证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM∵D 是BC 边的中点∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDBAD MD =ìïÐ=Ðíï=î∴△ADC ≌△MDB （SAS ）∴∠1=∠M ，AC =MB∵BE =AC∴BE =MB∴∠M =∠3∴∠1=∠3∵∠3=∠2∴∠1=∠2即∠AEF =∠EAF7.如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ．FED CB A321MAB CD EF求证：AD 为△ABC 的角平分线．证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM∵点E 是BC 的中点∴BE =CE在△CFE 和△BME 中FE ME CEF BEMCE BE =ìïÐ=Ðíï=î∴△CFE ≌△BME （SAS ）∴CF =BM ，∠F =∠M∵BG =CF∴BG =BM∴∠1=∠M∴∠1=∠F∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线GFE D CB A321MAB CD E FG【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2020秋•沈丘县期中）已知△ABC中AD为中线，且AB＝5、AC＝7，则AD的取值范围为（）A．2＜AD＜12B．5＜AD＜7C．1＜AD＜6D．2＜AD＜10【分析】先作辅助线，延长AD至点E，使DE＝AD，连接EC，先证明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三边关系定理得出答案．【解答】解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接EC，在△ADB和△EDC中∴△ADB≌△EDC（SAS），∴CE＝AB，∵AB＝5，AC＝7，∴CE＝5，设AD＝x，则AE＝2x，∴7﹣5＜2x＜7+5，∴1＜x＜6，故选：C．【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的判定和性质的应用，注意：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．2．（2021秋•新城区校级期中）已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则中线AD的取值范围是（）A．2＜AD＜10B．4＜AD＜20C．1＜AD＜4D．以上都不对【分析】延长AD至点E，使AD＝DE，得出△ACD≌△EBD，进而在△ABE中利用三角形三边关系求解．【解答】解：如图，延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴BD＝CD，又∠ADC＝∠BDE，AD＝DE∴△ACD≌△EBD，∴BE＝AC，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即AB﹣AC＜AE＜AB+AC，12﹣8＜AE＜12+8，∴4＜AE＜20，∴2＜AD＜10．故选：A．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．3．（2020秋•广州校级月考）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（）A．3＜AD＜13B．1.5＜AD＜6.5C．2.5＜AD＜7.5D．10＜AD＜16【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证明△ADC≌△EDB，推出EB＝AC，根据三角形的三边关系定理求出即可．【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB＝AC，根据三角形的三边关系定理：8﹣5＜AE＜8+5，∴1.5＜AD＜6.5，故选：B．【点评】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理，倍长中线等知识点的理解和掌握，能推出8﹣5＜2AD＜8+5是解此题的关键．4．（2020秋•江岸区校级月考）在△ABC中，AB＝4，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是（）A．1＜AD＜5B．4＜AD＜6C．2＜AD＜10D．3＜AD＜6【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．【解答】解：延长AD至点E，使得DE＝AD，∵在△ABD和△CDE中，，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴AB＝CE，AD＝DE∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．5．（2021秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）A．x＞5B．x＜7C．4＜x＜14D．2＜x＜7【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，CE，利用SAS证明ADC≌△EDB，得BE＝AC＝9，由AD＝x，得AE＝2x，在△ABE中利用三角形三边关系可得答案．【解答】解：如图，AB＝5，AC＝9，AD为BC边的中线，延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，CE，∵AD＝x，∴AE＝2x，在△BDE与△CDA中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝9，在△ABE中，AB+BE＞AE，BE﹣AB＜AE，即5+9＞2x，9﹣5＜2x，∴2＜x＜7，故选：D．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．6．（2020秋•平舆县期中）如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（）A．2＜AD＜8B．1＜AD＜4C．2＜AD＜5D．4≤AD≤8【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，先证△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．【解答】解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB＝5，在△ACE中，由三角形的三边关系得：CE﹣AC＜AE＜CE+AC，∴5﹣3＜AE＜5+3，即2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4，故选：B．【点评】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质等知识；遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．二．填空题（共5小题）7．（2021秋•九台区期末）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，D是BC的中点，AD的取值范围为　1＜AD＜5　．【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BDE≌△CDA，得出AC＝BE，再根据三角形的三边关系得到结论．【解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，在△ACD与△EBD中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC，∵AB＝6，AC＝4，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．故答案为：1＜AD＜5．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，理解倍长中线法，证明△BDE≌△CDA是解题的关键．8．（2021秋•东莞市期中）在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，AD是BC边上的中线，则AD取值范围是　1＜AD＜4　．【分析】如图，首先倍长中线AD至E，连接CE，因此可以得到△ABD≌△ECD，这样就有CE＝AB，然后在△ACE中利用三角形的三边的关系即可求解．【解答】解：如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∠ADB＝∠CDE，∴△ABD≌△ECD，∴CE＝AB，在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，而AB＝3，AC＝5，∴5﹣3＜AE＜5+3，∴2＜2AD＜8，即1＜AD＜4．【点评】此题既考查了全等三角形的性质与判定，也考查了三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题．9．（2020秋•荣昌区校级期中）在△ABC中，AB＝6，AC＝2，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是　2＜AD＜4　．【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根据三角形的三边关系即可求解．【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB．在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即4＜2AD＜8，2＜AD＜4．故答案为：2＜AD＜4．【点评】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．10．（2021秋•木兰县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥BC于点M，点D在AM上，且DM ＝CM，F是BC的中点，连接FD并延长，在FD的延长线上有一点E，连接CE，且CE＝CA，∠BDF＝36°，则∠E＝　36°　．【分析】先证明△AMC≌△BMD，延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．再证△BFG≌△CFE可得BG＝CE，∠G＝∠E，从而得BD＝BG＝CE，即可得∠BDG＝∠G＝∠CEF．【解答】解：∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，∴∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，在△BMD和△AMC中，，∴△BMD≌△AMC（SAS），延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．如图所示：∵△BMD≌△AMC∴BD＝AC，又∵CE＝AC，∴BD＝CE，在△BFG和△CFE中，，∴△BFG≌△CFE（SAS），∴BG＝CE，∠G＝∠CEF，∴BD＝CE＝BG，∴∠BDF＝∠G＝∠CEF．∴∠BDF＝∠CEF，∴∠E＝36°．故答案为：36°．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉“倍长中线”模型添加辅助线，构造全等三角形．11．（2021秋•淅川县期中）AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝6，AC＝4，则中线AD的取值范围是　1＜AD＜5　．【分析】如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，可证得△BDE≌△CDA（SAS），再运用三角形三边关系即可求得答案．【解答】解：如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5；故答案为：1＜AD＜5．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．解题关键是通过倍延中线构造全等三角形．三．解答题（共5小题）12．（2021秋•南充期末）如图，AD是△ABC的中线，F为AD上一点，E为AD延长线上一点，且DF＝DE．求证：BE∥CF．【分析】证明△BDE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出∠BED＝∠CFD，由平行线的判定可得出结论．【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴∠BED＝∠CFD，∴BE∥CF．【点评】本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定与性质，证明△BDE≌△CDF是解题的关键．13．（2020秋•津南区期末）（1）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分∠BAC．求证：AD＝AC；（2）如图2，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP＝BC．求证：PE＝BE．【分析】（1）求∠BAC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∠BAD BAC＝20°，再求∠ADC＝∠B+∠BAD ＝60°+20°＝80°，得∠C＝∠ADC，即可证明；（2）过点A作AF∥BC交BD的延长线于点F，先证明△ADF≌△CDB，得AF＝BC，得AP＝AF，证出∠APF＝∠F，再得∠BPE＝∠PBE，即可证明．【解答】证明：（1）在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，∴∠BAC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD BAC＝20°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+20°＝80°，∵∠C＝80°，∴∠C＝∠ADC，∴AD＝AC；（2）过点A作AF∥BC交BD的延长线于点F，∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C，∵AD＝CD，∴△ADF≌△CDB（AAS），∴AF＝BC，∵AP＝BC，∴AP＝AF，∴∠APF＝∠F，∵∠APF＝∠BPE，∠F＝∠DBC，∴∠BPE＝∠PBE，∴PE＝BE．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，解题关键是利用倍长中线构造全等三角形．14．（2020秋•田家庵区期末）（1）如图1，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，使得AB、AC、2AD集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD 的取值范围是　1＜AD＜5　；（2）如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF．求证：BE+CF＞EF．【分析】（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），推出CE＝AB＝4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可．（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），推出BE ＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答】（1）解：如图1中，∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，∴△CDE≌△BDA（SAS），∴EC＝AB＝4，∵6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案为1＜AD＜5．（2）证明：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，∵FD⊥EH．DE＝DH，∴EF＝FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH＝BE，FH＝EF，∴BE+CF＞EF．【点评】本题属于综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于常考题型．15．（2020秋•饶平县校级期中）（1）如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝6则AD的取值范围是　C　A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF，求证：AC＝BF．【分析】（1）延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，易证明△ADC≌△BDM，得到BM＝AC；在△ABM中，根据三角形三边关系定理，得2＜AM＜14，即2＜2AD＜14，即可得出AD的范围；（2）利用（1）中△ADC≌△BDM，得出∠M＝∠CAD，BM＝AC，进而得出∠BMF＝∠BFM即可得出答案．【解答】解：（1）延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，∵AD＝DM，BD＝CD，∠ADC＝∠MDB，∴△ADC≌△BDM，∴BM＝AC，在△ABM中，根据三角形三边关系定理，得2＜AM＜14，即2＜2AD＜14，所以AD的范围是1＜AD＜7．故选：C．（2）∵△ADC≌△MDB，∴∠M＝∠CAD，BM＝AC，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠MFB＝∠AFE，∴∠BMF＝∠BFM，∴BM＝BF，∴AC＝BF．【点评】此题考查了三角形全等的判定方法；注意此题中的辅助线的作法．能够根据全等三角形的性质，把要求的线段和已知的线段转换到一该三角形，根据三角形的三边关系进行求解．16．（2020秋•岫岩县期中）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．【分析】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，先判断出BE＝CE，进而判断出△BEF≌△CED，得出BF＝CD，∠F＝∠CDE，再判断出AB＝BF，即可得出结论；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，先判断出BE＝CE，进而判断出△BEF≌△CEG，得出BF＝CG，再判断出△BAF≌△CDG，即可得出结论；（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，先判断出BE＝CE，进而判断出△BAE≌△CME（AAS），得出CM＝AB，∠BAE＝∠M，即可得出结论．【解答】证明：（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，，∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，在△BAF和△CDG中，，∴△BAF≌△CDG（AAS），∴AB＝CD；（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，∵E是BC中点，∴BE＝CE，在△BAE和△CME中，，∴△BAE≌△CME（AAS），∴CM＝AB，∠BAE＝∠M，∵∠BAE＝∠EDC，∴∠M＝∠EDC，∴CM＝CD，∴AB＝CD．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．。

第四章全等三角形模型(十三)——倍长中线模型

第四章.全等三角形模型（十三）——倍长中线模型【结论1】如图，AD为△ABC的中线，则AD＜21（AB+AC）【证明】间接倍长模型讲解典例秒杀典例1 ☆☆☆☆☆如图，△ABC中，若 AB=8，AC=6，则 BC边上的中线AD长度的取值范围为（）.A.6＜AD＜8B.6≤AD≤8C.1＜AD＜7D.1≤AD≤7【解析】如图，延长AD至点E，使ED=AD，连接 BE，∵AD是 BC边上的中线，∴由倍长中线模型可知 BE= AC.∵AB-BE＜AE＜AB+BE, ∴AB-AC＜AE＜AB+AC.∵AB=8,AC=6, ∴8-6＜AE＜8＋6,∴2＜AE＜14.∵AD=ED,∴AE=AD+ED=AD+AD=2AD,即 2＜2AD＜14，∴1＜AD＜7. 故选 C典例2 ☆☆☆☆☆如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在边AB，AC上（E，F不与端点重合），且DE⊥DF，则（ )A .BE+CF＞EF B.BE＋CF=EFC. BE＋CF＜EFD.BE＋CF 与EF 的长短关系不确定【答案】A【解析】如图，延长 ED 至点G，使 DG=ED，连接 CG，FG.∵AD是BC 边上的中线，由倍长中线的拓展模型可得 CG= BE.又∵DE⊥DF，DG=ED，∴FD 是 EG 的垂直平分线，∴FG=EF.∵GC+CF＞FG,∴BE+CF>EF. 故选 A.典例3 ☆☆☆☆☆如图所示，E 是 BC 的中点，∠BAE= ∠CDE.若 AB=6，则CD= ( ).A .6 B.3 C.12 D. 无法确定【答案】A【解析】如图，延长 DE至点G，使得 DE=EG，连接 BG.由模型知△GBE≌△DCE，所以∠BAE=∠CDE=∠BGE，所以 BG=AB=DC=6. 故选 A.小试牛刀1.（★★☆☆☆）如图,在△ABC中,AB=5,AC=7,则中线AD长度的取值范围是（ )DA.1＜AD＜6B.2＜AD＜12C.5＜AD＜7D. 无法确定2.（★★★☆☆）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明已知∶如图，E是 BC 的中点，点 A 在 DE 上，且∠BAE= ∠CDE.求证∶AB=CD.分析∶证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质.观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此，要证 AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明.1.问题探究∶狗蛋遇到这样一个问题∶如图 1，△ABC 中，AB=6，AC=4，AD 是中线，求 AD 的取值范围.他的做法是∶延长 AD 到E ，使 DE= AD ，连接 BE ，证明△BED ≌△CAD ，经过推理和计算使问题得到解决。

78 全等模型—倍长中线模型

拓展应用：以△ABC 的边 AB，AC 为边向外作△ABE 和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°， M 是 BC 中点，连接 AM，DE．当 AM＝3 时，求 DE 的长．【答案】问题背景： SAS；问题解决：完整过程见解析；拓展应用： DE＝6．【分析】问题背景：先判断出 BD=CD，由对顶角相等∠BDE=∠CDA，进而得出△ADC≌△EDB（SAS）；问题解决：先证明△ADC≌△EDB（SAS），得出 BE=AC=3，最后用三角形三边关系即可得出结论；拓展应用：如图 2，延长 AM 到 N，使得 MN=AM，连接 BN，同（1）的方法得出△BMN≌△CMA（SAS），则 BN=AC，进而判断出∠ABN=∠EAD，进而判断出△ABN≌△EAD，得出 AN=ED，即可求解．【详解】问题背景：如图 1，延长 AD 到点 E，使 DE＝AD，连接 BE，
【答案】4＜AE＜8 【分析】证明△ABD≌△ECD（AAS），得到 AB=EC=6，AD=ED，再由三角形的三边关系即可得出答案．【详解】解：∵AD 是 BC 边上的中线， ∴BD=CD． ∵AB∥CE， ∴∠BAD=∠E，在△ABD 和△ECD 中， BAD E BDA CDE ， BD CD ∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∴AB=EC=6， ∴AD=DE，在△ACE 中，CE-AC＜AE＜CE+AC，即 6-2＜AE＜6+2， ∴4＜AE＜8．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的三边关系等知识；熟练掌握三角形的三边关系，证明三角形全等是解题的关键．
题型二：利用倍长中线证明线段、角相等【例题 2】（2021·全国八年级课时练习）如图，CE、CB 分别是 ABC 与 ADC 的中线，且 ACB ABC ， AC AB ．求证： CD 2CE ．

八年级上册数学初中几何模型之倍长中线模型

浙教版八年级上册数学几何模型之倍长中线模型(常考)倍长中线模型巧记:有中点,可倍长,倍长完了8字现.常见的四大倍长中线模型F EDCBAMFEDCBAFEDCBAFEDCBA接下来我们来看具体的倍长中线模型的练习.模型讲解结论: 如图所示,AD 是△ABC 的中线,延长AD 至点A ′,使得DA ′=AD,连结CA ′,则AB =A ′C,AB ∥A ′C .模型讲解1DCBAA'模型讲解1DCBA有中线,就可以倍长中线解:如图,延长延长AD 至点A ′,使得DA ′=AD,连结CA′模型拓展模型一: (直接倍长)△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,延长AD 到点E,使DE=AD,连结BE.模型1E DC BA模型二: (间接倍长)△ABC 中,AD 是BC 边上的中线.(1)如图,作CF ⊥AD 于点F ,作BE ⊥AD 交AD 的延长线于点E.(2)如图,点M(不与A,B 重合)是AB 上一点,连结MD 并延长至点N,使DN=MD,连结CN.模型2EDCBA模型3NMD CBA如图,△ABC 中,若AB=8,AC=6,则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是___________.1<AD <7模型练习1DBACE如图,AD 是△ABC 的中线,E,F 分别在边AB,AC 上(E,F 不与端点重合),且DE ⊥DF ,则_______.FE模型练习2DBACA.BE+CF>EFB.BE+CF=EFC.BE+CF<EFD.BE+CF 与EF 的长短关系不确定A 'FE模型练习2DBAC'如图所示,E 是BC 的中点,∠BAE=∠CDE.若AB=6,则CD=_____.6模型练习3ECDBA FF模型练习3EC DBA 注意:有中点的可以倍长,长短线段都可以哦!模型练习4如图1,△ABC 中,AB=6,AC=4,AD 是中线,求AD 的取值范围.作法是:延长AD 至点E,使DE=AD,连接BE,证明△BED ≌△CAD.(1) △BED ≌△CAD 的判定理由是_________.(2) AD 的取值范围是_________.模型练习4DCBAESAS 1<AD <5如图2,AD 是△ABC 的中线,在AD 上取一点F ,连接BF 并延长交AC 于点E,使AE=EF .求证:BF=AC.模型练习5FECBADG模型练习5FECBADG在矩形ABCD中,ABBC =12,在BD上取一点F,以BF为斜边作Rt△BEF,且E F BE =12,点G是DF的中点,连接EG,CG,求证:EG=CG.模型练习6GFEDCBAMH。

全等三角形-倍长中线模型、垂线模型、旋转模型

是题库不是教案全等三角形-倍长中线模型、垂线模型、旋转模型一、垂线模型1．在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，过点C 作直线MN ，过点A 作AM MN ⊥于点M ，过点B 作BN MN ⊥于点N ．（1）如图1，当直线MN 在ABC 外时，证明：MN AM BN =+．（2）如图2，当直线MN 经过ABC 内部时，其他条件不变，则,AM BN 与MN 之间有怎样的数量关系？请说明理由．2．如图，已知：ABC 中，AB AC =，BAC 90∠=︒，分别过B ，C 向经过点A 的直线EF 作垂线，垂足为E ，F ．（1）当EF 与斜边BC 不相交时，请证明EF BE CF(=+如图1)；（2）如图2，当EF 与斜边BC 这样相交时，其他条件不变，证明：EF BE CF =-；3．如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．（1）在图1中，求证:①ADC CEB ∆∆≌；②DE AD EB =+；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，DE ，AD ，EB 三条线段的长度关系又如何？并说明理由．4．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90º，∠ABC ＝45 º，点O 是AB 的中点，过A 、C 两点向经过点O 的直线作垂线，垂足分别为E 、F.（1）如图①，求证：EF ＝AE+CF.（2）如图②，图③，线段EF 、AE 、CF 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.5．探究：如图①，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 经过点C ，且点AB 、在直线l 的同侧，过点A B 、分别作直线l 的垂线，垂足分别为点D E 、．求证：DE AD BE =+．应用：如图②，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 经过点C ，且点AB 、在直线l 的异侧，过点AB 、分别作直线l 的垂线，垂足分别为点D E 、．直接写出线段AD BE DE 、、之间的相等关系．图① 图②6．在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，显然有：DE AD BE =+（不必证明）；是题库不是教案=-；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE（3）当直线MN MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．7．问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由．问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．8．在△ABC中，∠ACB=90︒，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN 于E.(1)当直线MN如图(1)的位置时，求证：①△ADC≌△CEB ②DE=AD+BE(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时，直接写出DE、AD、BE三者之间的关系.9．过正方形ABCD（四边都相等，四个角都是直角）的顶点A作一条直线MN．图（1）图（2）图（3）⊥于点E，过点D作（1）当MN不与正方形任何一边相交时，过点B作BE MN⊥于点F如图（1），请写出EF，BE，DF之间的数量关系，并证明你的结DF MN论．（2）若改变直线MN的位置，使MN与CD边相交如图（2），其它条件不变，EF，BE，DF的关系会发生变化，请直接写出EF，BE，DF的数量关系，不必证明；（3）若继续改变直线MN的位置，使MN与BC边相交如图（3），其它条件不变，EF，BE，DF的关系又会发生变化，请直接写出EF，BE，DF的数量关系，不必证明．10．已知，△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过A 任作一直线l，作BD⊥l于D，CE⊥l于E，观察三条线段BD，CE，DE 之间的数量关系．（1）如图1，当l 经过BC 中点时，此时BD CE；（2）如图2，当l 不与线段BC 相交时，BD，CE，DE 三者的数量关系为，并证明你的结论．（3 ）如图3 ，当l 与线段BC 相交，交点靠近B 点时，BD ，CE ，DE 三者的数量关系为．证明你的结论，并画图直接写出交点靠近C 点时，BD，CE，DE 三者的数最关系为．11．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．是题库不是教案（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．二、倍长中线模型12．如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，若3,4AC AD ==．则AB 的长不可能．．．是（）A ．5B ．7C ．8D ．913．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 是BC 边上的中线，AD 的取值范围是（）A ．1＜AD ＜6B ．1＜AD ＜4C ．2＜AD ＜8 D ．2＜AD ＜4 14．如图，AD 是ABC 中BC 边上的中线，若AB ＝5，AC ＝8，则AD 的取值范围是_____．15．在ABC 中，5AB =，3AC =，AD 是ABC 的中线，设AD 长为m ，则m的取值范围是______．16．在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若7,5AB AC ==，则AD 长的取值范围是_________．17．如图，ABC ∆中，3AB =，4AC =，AD 为中线，求中线AD 的取值范围．18．如图，CE 、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线，且∠ACB=∠ABC ．求证：CD=2CE ．19．已知：如图，D 是△ABC 边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线．求证：AC ＝2AE ．20．已知：如图，AD ，AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，且BA ＝BD ．求证：AE ＝12AC ．21．如图，在△ABC 中，已知：点D 是BC 中点，连接AD 并延长到点E ，连接BE.是题库不是教案（1）请你添加一个条件使△ACD ≌△EBD ，并给出证明.（2）若5AB =，3AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围.22．（1）如图1，AD 是ABC ∆的中线，8,6AB AC ==，求AD 的取值范围，我们可以延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM （如图2所示），这样就可以求出2AD 的取值范围，从而得解，请写出解题过程；（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图3，AD 是ABC ∆的中线，BE 交AC 于点E ，交AD 于点F ，且AE EF =，求证：AC BF =．23．如图1，AD 为△ABC 的中线，延长AD 至E ，使DE ＝AD ．（1）试证明：△ACD ≌△EBD ；（2）用上述方法解答下列问题：如图2，AD 为△ABC 的中线，BMI 交AD 于C ，交AC 于M ，若AM ＝GM ，求证：BG ＝AC ．24．阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线．求证：2AB AC AD +>．智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长AD 至E ，使DE AD =，∵AD 是BC 边上的中线∴BD CD =在BDE ∆和CDA ∆中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BDE CDA ∆∆≌（依据一）∴BE CA =在ABE ∆中，AB BE AE +>（依据二）∴2AB AC AD +>．任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：______________________________________________；依据2：______________________________________________．归纳总结：上述方法是通过延长中线AD ，使DE AD =，构造了一对全等三角形，将AB ，AC ，AD 转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．任务二：如图3，3AB =，4AC =，则AD 的取值范围是_____________；任务三：如图4，在图3的基础上，分别以AB 和AC 为边作等腰直角三角形，在Rt ABE∆是题库不是教案中，90BAE ∠=︒，AB AE =；Rt ACF ∆中，90CAF =︒∠，AC AF =．连接EF ．试探究EF 与AD 的数量关系，并说明理由．25．（阅读理解）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，若AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到△ADC ≌△EDB 的理由是_____.A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL(2)求得AD 的取值范围是______.A ．6＜AD ＜8B ．6≤AD≤8C ．1＜AD ＜7 D ．1≤AD≤7（感悟）解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.（问题解决）(3)如图2，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE ＝EF.求证：AC ＝BF.三、旋转模型26．如图所示的正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，把ADE 绕点A 顺时针旋转得到ABF ，20FAB ∠=︒．旋转角的度数是（）A ．110°B ．90°C ．70°D ．20° 27．如图，已知ABC 和AEF 中，BE ∠=∠，AB AE =，BC EF =，25EAB ∠=︒，57F ∠=︒，线段BC 分别交AF ，EF 于点M ，N ．（1）请说明EAB FAC ∠=∠的理由；（2）ABC 可以经过图形的变换得到AEF ，请你描述这个变换；（3）求AMB ∠的度数．28．如图，ABC 中，60ABC ∠=︒，将ABC 绕点B 逆时针旋转60︒得到DBE ，DE 的延长线与AC 相交于点F ，连接DA 、BF ．（1）求证：//DA BC ．（2）若BF AF ==DF 的长．29．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AE ，连接CD ，BE,（1）求证：∠AEB=∠ADC ；（2）连接DE ，若∠ADC=105°，求∠BED 的度数．是题库不是教案30．已知ABC 与DAE 都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°．求证：（1）ABE ≌ACD ；（2）DC ⊥BE ．31．如图，在△AOB 和△COD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=90°，当将△COD绕点O 顺时针旋转时，连线AC 与BD 之间的大小关系如何？试猜想并证明你的结论．32．如图，△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝90°，AC 、BD 交于点M ．(1) 如图1，求证：AC=BD ，判断AC 与BD 的位置关系并说明理由；(2) 如图2，∠AOB ＝∠COD ＝60°时，∠AMD 的度数为___________.33．如图，AB AC =，AE AD =，CAB EAD α∠=∠=．（1）求证：AEC ADB ≅△△；（2）若90α=︒，试判断BD 与CE 的数量及位置关系并证明；（3）若CAB EAD α∠=∠=，求CFA ∠的度数．34．如图①所示，已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，MN 是经过点A 的直线，,BD MN CE MN ⊥⊥，垂足分别为点D 、E ．（1）求证：DE DB EC =+；（2）如图②，将MN 绕点A 旋转，使MN 和BC 交于G 点，其他条件不变，结论（1）还成立吗？若成立请给出证明；若不成立，请探究CE 、DB 、DE 的关系，并证明你的结论．35．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①ADC CEB △≌△；②DE AD BE =+；（2）当直线MN 绕点C 旋转到如图2所示的位置时，求证：DE AD BE =-；（3）当直线MN 绕点C 旋转到如图3所示的位置时，试问DE ，AD ，BE 具有怎样是题库不是教案的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．36．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线,MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于点D ，BE ⊥MN 于点E 。

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【解题模型】倍长中线模型
初中数学解题思路
倍长中线模型
倍长中线：将三角形的中线（或类似中线）力日倍延长，构造全等三角形，实现角和线段的转化．【基本模型】
【典型例题1】
【思路分析】倍长线段ED ，构造全等三角形，将BE,CF 和EF 转移到同一个三角形中．
【答案解析】
【归纳总结】
1. 出现中点时，常考虑倍长与中点相关的线段，构造全等三角形，转换线段．
2. 出现垂直关系时，常考虑倍长直角边，构造等腰三角形.
【典型例题2】
【思路分析】倍长中线，将已知边和倍长后的边转化到同一三角形中，运用三边关系求范围．
【答案解析】
【归纳总结】
1. 三角形的三边关系是求线段范围的常用方法．
2. 出现中线时，常考虑倍长中线构造全等三角形，实现线段的转化．
【典型例题3】
【思路分析】
【答案解析】
【归纳总结】。

【解题模型】倍长中线模型

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