初中几何辅助线——“倍长中线法”

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中考数学几何辅助线：倍长中线法

中考数学几何添加辅助线：倍长中线中线或中点是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。

所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。

此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角进而用“SAS”证明对应边之间的关系。

常规的倍长中线可以出全等，但需要证明“三点共线”，遇到“中点+平行”，我们“延长出全等”，而非“倍长出全等”. 用“倍长中线法”作辅助线解几何题，是一种重要的技巧套路。

它可以有效地生发出全等、平行等基本条件，关联好多基本图形，帮助解题，大家务必好好掌握。

也给我们解题的启示：抓住核心，找到关键，才能快速解题。

逢中点，便倍长，全等观，平行现.倍长中线法:是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造“8字形”的全等三角形。

在与中点有关的线段尤其是涉及线段的等量关系时，倍长中线应用较常见，常见添加如图（AD是底边中线）典例1．已知：AD是ΔABC的中线，AE=EF．求证：AC=BF．名师指点：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，再根据等腰三角形的性质证明即可．满分解答：证明：延长AD 到M ，使AD ＝DM ，连接BM ，∵AD 是△ABC 中线，∴CD ＝BD ，∵在△ADC 和△MDB 中，{CD ＝BD∠ADC ＝∠MDB AD ＝DM，∴△ADC ≌△MDB （SAS ），∴BM ＝AC ，∠CAD ＝∠M ，∵AE ＝EF ，∴∠CAD ＝∠AFE ，∵∠AFE ＝∠BFD ，∴∠BFD ＝∠CAD ＝∠M ，∴BF ＝BM ＝AC ，即AC ＝BF ．名师点评：倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角、线段的代换是解决问题的关键． 1．如图，在平行四边形ABCD 中，28CD AD ==，E 为AD 上一点，F 为DC 的中点，则下列结论中正确的是（）A ．4BF =B ．2ABC ABF ∠>∠。

倍长中线法

倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。

例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE例6：如图已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF ＝2AD.E D AB C第 14 题图D F C BE AF E A B C自检自测：1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE。

2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。

试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.3、已知：如图，在ABC∆中，ACAB≠，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC∠4、如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE．FEAB CDABFD E C。

(完整版)倍长中线法(经典例题)

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠BABFDEC例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E D ABF EAB C3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DF CBEADABCMTE。

八年级数学常用辅助线添加方法~倍长中线法

八年级数学常用辅助线添加方法~倍长中线法中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法” 添加辅助线。

所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而利用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。

倍长中线法最重要的一点：延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

一、常用辅助线添加方法 ~ 倍长中线法如图在△ABC 中， AD 是 BC 边上的中线：图1方法一、延长 AD 到 E ，使 DE = AD ，连接 BE ：图2方法二、间接倍长：① 如图作CF⊥AD 于点 F ，作BE⊥AD 的延长线于点 E ，图3② 如图延长 MD 到 N 使 DN = MD ，连接 CN ，图4二、典型例题例题1、在△ABC 中，AB = 5 ， AC = 3 ，求中线 AD 的取值范围。

思路：用方法一（利用三角形中三边关系确定中线范围）例题2、已知在△ABC 中，AB = AC , D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于点 F ，且 DF = EF ，求证： BD = CE图5证明：过点 D 作DG∥AC 交 BC 于点 G图6∵ DG∥AC ∴ ∠GDF = ∠E ，∠DGB = ∠ACB∵ DF = EF ，∠DFG = ∠EFC∴ △DFG ≌ △EFC ∴ DG = CE∵ AB = AC ∴ ∠B = ∠ACB∴ ∠B = ∠DGB ∴ BD = DG = CE例题3、已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE = AC ，延长 BE 交 AC 于点 F ，求证：AF = EF图7证明：延长 AD 到点 G 使 ED = DG ，连接 CG图8∵ BD = DC , ED = GD , ∠BDE = ∠CDG∴ △BDE ≌ △CDG ∴ BE = CG ，∠BED = ∠G∵ BE = AC ∴ AC = CG ∴ ∠G = ∠CAG∵ ∠BED = ∠AEF ∴ ∠AEF = ∠FAE∴ AF = EF三、拓展提高（作业题）例题4、如图，在△ABC 中，AB ≠ AC ，D , E 在 BC 上，且 DE = EC , 过点 D 作DF∥BA ，交 AE 于点 F ，DF = AC 。

全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法精编版

全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法△ABC中,AD是BC边中线方式1：直接倍长，(图1)：延长AD到E，使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长1)（图2）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E, 连接BE2)（图3）延长MD到N，使DN=MD，连接CD【经典例题】例1已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.（提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边）例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上， DE交BC于F，且DF=EF. 求证：BD=CE.（提示：方法1：过D作DG∥AE交BC于G，证明ΔDGF≌ΔCEF方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G，证明ΔEFG≌ΔDFB方法3：过D 作DG ⊥BC 于G ，过E 作EH ⊥BC 的延长线于H ，证明ΔBDG ≌ΔECH ）例3、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.变式：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+ （提示：方法1：在DA 上截取DG=BD ，连结EG 、FG ，证明ΔBDE ≌ΔGDE ΔDCF ≌ΔDGF 所以BE=EG 、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边方法2：倍长ED 至H ，连结CH 、FH ，证明FH=EF 、CH=BE ，利用三角形两边之和大于第三边） _D _ F _C _B _E _A_ D _ F _C _B _E _A例4：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF （提示：方法1：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA三角形BEG是等腰三角形。

方法2：倍长ED.试一试，怎么证明？）例5、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. （提示：倍长AE至M,连接DM）变式一：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE提示：倍长AE至F，连结DF,证明ΔABE≌ΔFDE（SAS）,进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS）变式二：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：2AE ＝AC 。

倍长中线法

倍长中线法的变形可以根据具体问题的需要对倍长中线法进行变形以便更好地解决问题。
拓展学生的解题思路
倍长中线法在数学教育中的价值
培养学生的数学思维和创新能力
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提高学生分析问题和解决问题的能力
促进数学教育的改革和发展
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证明倍长中线法的推论
推论：倍长中线法可以证明三角形中线定理
应用范围：适用于所有三角形包括等腰三角形、直角三角形等
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证明过程：通过倍长中线法将三角形分为两个小三角形然后利用相似三角形的性质进行证明
注意事项：在应用倍长中线法时需要保证中线的长度足够长以便进行倍长操作
倍长中线法的几何意义
倍长中线法是利用中线的性质来证明线段相等的方法倍长中线法的几何意义在于将线段延长一倍从而证明线段相等倍长中线法在几何证明题中应用广泛是解决线段相等问题的重要方法之一倍长中线法可以通过构造辅助线来证明线段相等使证明过程更加简洁明了
倍长中线法的应用场景
定义：倍长中线法是一种几何证明方法通过延长线段来证明线段相等或三角形全等应用场景：证明线段相等、三角形全等、平行四边形性质等适用范围：适用于各种几何图形如三角形、四边形、圆等注意事项：在应用倍长中线法时需要仔细分析图形确定是否适用该方法
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倍长中线法
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CONTENTS
01 添加目录标题
02 倍长中线法的定义
03 倍长中线法的证明
04 倍长中线法的应用
05 倍长中线法的拓展
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倍长中线法的定义
倍长中线法的概念

全等三角形辅助线之倍长中线法

全等三角形辅助线之倍长中线法(总20页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-全等三角形辅助线之倍长中线法倍长中线法：遇中线，要倍长，倍长之后有全等．当倍长后，连接方式不一样，可以产生更多结论如下：与倍长中线法类似的辅助线作法M ABCDEMD E MD=DE CE BDM CDE BM CE∆≅∆延长至，使，连接可证，AD ABC ∆为的中线DC BAEAD E AD=DE CE BE CE ABEC 延长至，使，当连接时，结论相似；　当连接、，则为平行四边形AD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CDADC EDB(SAS)AC BE∆∆∠∠∆≅∆延长至使，连接在和中，，故与此相关的重要结论AD ABC ∆为的中线D CB AE举例：如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中D CB AEAD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CDADC EDB(SAS)AB-BE AE AB+BE AE <AD<∆∆∠∠∆≅∆<<<<延长至使，连接在和中，，故即２８１４FE G FE=GE EGC ()EFD ∆≅∆延长至，使可证平行线夹中点F EDCBA G如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE=AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．求证：∠AEF=∠EAF．F EDCBA 321MA BCD EF1.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．（2）求证：△ACD≌△EBD．（3）求证：AB+AC >2AD．（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE的延长线交AC 于点F ．求证：∠AEF =∠EAF ．5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB于点G ，BG =CF ．求证：AD 为△ABC 的角平分线．6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =，AE =BE =5，求CE 的长．GFE DB AE D CB AF EDBAGFE DB AGDAFE DCB A7. 如图，在正方形ABCD 中，CD =BC ，∠DCB =90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF ⊥BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ．求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．【参考答案】课前预习1. （1）相等，SSS ；夹角，SAS ；夹边，ASA ；对边，AAS ；直角，HL（2）全等，三，边 2. （1）证明：如图∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO在△AOC 和△BOD 中AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD （SAS ）（2）证明：如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B在△AOC 和△BOD 中A B AO BOAOC BOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOC ≌△BOD （ASA ）典型题型 1. 解：（1）如图，（2）证明：如图， ∵AD 为BC 边上的中线 ∴BD =CD21BCDA在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ）（3）证明：如图， ∵△BDE ≌△CDA ∴BE =AC ∵DE =AD ∴AE =2 AD在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （4）在△ABE 中，AB BE <AE <AB +BE由（3）得 AE =2AD ，BE =AC ∵AC =3，AB =5 ∴53<AE <5+3∴2<2AD <8 ∴1<AD <42. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△ADC 和△EDB 中CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC21EDCBA∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC3. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线∴BD =AD在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDF DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE =AB ∵AC =AB ∴BE =BF ∵∠1=∠F ∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC =AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE =∠CBF 在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠2=∠3 ∴CE =2CDCB 平分∠DCE4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM∵D 是BC 边的中点∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠1=∠M ，AC =MB ∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠3 ∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1=∠2 即∠AEF =∠EAF5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM∵点E 是BC 的中点∴BE =CE在△CFE 和△BME 中321AFG 321MABCDEFFE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2 ∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G∵AD ∥BC ∴∠3=∠G∵点F 是CD 的中点∴DF =CF在△ADF 和△GCF 中3G AFD GFC DF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△GCF （AAS ）∴AD =CG ∵AD =∴∠1=∠B ∵AB ⊥AF ∴∠1+∠2=90° ∠B +∠G =90° ∴∠2=∠G ∴EG =AE =5 ∴CE =EG CG=5 =7. 证明：如图，延长EG 交CD 的延长线于点M由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90°∴∠DCB +∠FEB =180° ∴EF ∥CD ∴∠FEG =∠M ∵点G 为FD 的中点 ∴FG =DG在△FGE 和△DGM 中1M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FGE ≌△DGM （AAS ） ∴EF =MD ，EG =MG∵△FEB 是等腰直角三角形M2134GFDA在正方形ABCD 中，BC =CD ∴BE +BC =MD +CD 即EC =MC∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG∴EG ⊥CG ，∠3=∠4=45° ∴∠2=∠3=45° ∴EG =CG三角形全等之倍长中线（实战演练）1. 在△ABC 中，AC =5，中线AD =4，则边AB 的取值范围是_______________．思路分析：①画出草图，标注条件：②根据题目条件，见_________，考虑_____________；添加辅助线是______________________________________；③倍长之后证全等：__________≌___________（），证全等转移边：______=_______； ④全等转移条件后，利用三角形三边关系可以得到AB 的取值范围．2. 如图，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，且AG =1，BF =2．若GE ⊥EF ，则GF 的长为多少G FEAD BC【参考答案】1. 3<AB <13①图略②中线AD 倍长中线延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE ③△ADC △EDB SAS AC EB ④略2. AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，平行夹中点；AG =BH ，GE =HE ；到线段两端点的距离相等，FH ，AG +BF 解：如图，延长GE 交CB 的延长线于点H ∵AD ∥BC ∴∠GAE =∠HBE ∵E 为AB 边的中点 ∴AE =BE在△AGE 和△BHE 中，AEG BEH AE BEGAE HBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AGE ≌△BHE （ASA ） ∴BH =AG ，HE =GE ∵GE ⊥EF ∴GF =HF ∵BF =2，AG =1 ∴GF =HF =BF +BH =BF +AG =2+1 =3三角形全等之倍长中线（作业）例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ．求证：AE 平分∠BAC ．【思路分析】读题标注：见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可．【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAEA D CEFA B DCE F？？GG？？FECDBA ？？FE CD B A A B DCE F？？G∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．2. 已知：如图，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，点E 为CD 上一点，且AD =DE ，EF ∥BC 交BD 于F ．求证：AB =EF ．3. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形，AB =AE ，AC =AF ，∠BAE =∠CAF =90°．求证：EF =2AD ．4. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．求证：BF =CG ．5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CDD CBAF E DCBAFEB AG FED CBADA的中点，连接AF ，EF ，AE ，若∠DAF =∠EAF ，求证：AF ⊥EF ．思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．比较下列两种不同的证明方法，并回答问题．方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC21ECDB A 21ECDB A DBA相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等．不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等． 2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是斜边AB 的中线．求证：CD 12AB ．【参考答案】巩固练习 1. 22. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得GD =AD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得EH =FE ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ）思考小结 1. 倍长中线 SAS AAS角2. 证明略DCB A。

初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题

初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题初中数学：几何题型，辅助线的画法和典型例题1.倍长中线法已知在△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，需要判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明结论。

思路点拨：利用倍长中线法，倍长过中点的线段DF使DG＝DF，再证明△XXX≌△EDF，△FDC≌△GDB，将BE、CF与EF线段转化到△BEG中，利用两边之和大于第三边证明。

解析：连接BG、EG，因为D是BC中点，所以BD＝CD。

又因为DE⊥DF，在△XXX和△EDF中，ED＝ED，∠XXX∠EDF，DG＝DF，因此△XXX≌△EDF（SAS），所以EG＝EF。

在△XXX与△GDB中，CD＝BD，∠1＝∠2，DF＝DG，因此△FDC≌△GDB（SAS），所以CF＝BG。

因为BG＋BE＞EG，所以BE＋CF＞EF。

结论得证。

总结升华：有中点的时候作辅助线可以考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）。

变式：已知CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC，需要证明CD＝2CE。

解析：连接BF，延长CE至F使EF＝CE。

因为EC为中线，所以AE＝BE。

在△AEC与△BEF中，AE＝BE，∠AEC ＝∠BEF，CE＝EF，因此△AEC≌△BEF（SAS）。

所以AC ＝BF，∠A＝∠FBE。

又因为∠ACB＝∠ABC，∠XXX∠ACB＋∠A，∠XXX∠ABC＋∠A，所以AC＝AB，∠XXX∠XXX。

因此AB＝BF，BC为△ADC的中线，所以AB＝BD，即BF＝BD。

在△FCB与△DCB中，∠XXX∠DBC，BC＝BC，因此△FCB≌△DCB（SAS），所以CF＝CD。

结论得证。

2.以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，需要证明XXX。

解析：在AB上截取AE＝AC，连接CE，作角ACE的平分线交AB于D，连接CD。

因为∠C＝2∠B，所以∠ACE＝∠XXX∠B，∠XXX∠A＝∠1＝∠2，所以△AED≌△ACD （SAS），因此ED＝CD。

倍长中线法

倍长中线法
知识网络详解：
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．
所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）
倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线
经典例题讲解：
例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围
例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE
例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC 于F，求证：AF=EF
例4：已知：如图，在ABC 中，ACAB ，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE 于点F，DF=AC.
求证：AE平分∠BAC
例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE
、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE
在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。

试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
.。

倍长中线法

倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长一条直线到某点，使这延长线等于另一条线段，构造两个全等三角形，用SAS证明全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中，AD是BC边中线方式1：直接倍长延长AD到E使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长F作CF⊥AD于F作BE⊥AD的延长线于E连接BEDAB CEDAB CFE D CBA延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CNNDC BAM经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围解：延长AD至点E，使DE=AD，连接EC∵BD=CD，DE=AD，∠ADB=∠EDC∴△ABD≌△ECD∴CE=AB∵AB=5，AC=3，CE=5 设AD=x，则AE=2x∴2＜2x＜8，∴1＜x＜4，∴1＜AD＜4．故答案为：1＜AD＜4．DAB C例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE证明：过D 点作DG ∥AE 交BC 于G 点，如图， ∴∠1=∠2，∠4=∠3， ∵AB=AC ，∴∠B=∠2，∴∠B=∠1， ∴DB=DG ，而BD=CE ， ∴DG=CE ，在△DFG 和△EFC 中∠4＝∠3∠DFG ＝∠EFCDG ＝CE∴△DFG ≌△EFC ，∴DF=EF ．FEC ABD例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF 证明：如图，延长AD到点G，使得AD=DG，连接BG．∵AD是BC边上的中线（已知），∴DC=DB，在△ADC和△GDB中，AD＝DG∠ADC＝∠GDB(对顶角相等)DC＝DB∴△ADC≌△GDB（SAS），∴∠CAD=∠G，BG=AC又∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠BED=∠G，∵∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠CAD，即：∠AEF=∠FAE，∴AF=EF．FEDAB C例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠证明：如图，延长FE 到G ，使EG=EF ，连接CG ．在△DEF 和△CEG 中，ED ＝EC∠DEF＝∠CEGFE ＝EG∴△DEF ≌△CEG ．∴DF=GC ，∠DFE=∠G ． ∵DF ∥AB ，∴∠DFE=∠BAE ． ∵DF=AC ， ∴GC=AC ．∴∠G=∠CAE ． ∴∠BAE=∠CAE ．即AE 平分∠BAC ．例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE证明：延长AE 到F ，使EF=AE ，连接DF ， ∵AE 是△ABD 的中线 ∴BE=ED ，在△ABE 与△FDE 中BE ＝DE ∠AEB ＝∠DEF AE ＝EFABFDECE DABC∴△ABE≌△FDE（SAS），Array∴AB=DF，∠BAE=∠EFD，∵∠ADB是△ADC的外角，∴∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD，∴∠BAE+∠EAD=∠BAD，∠BAE=∠EFD，∴∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD，∴∠ADF=∠ADC，∵AB=DC，∴DF=DC，在△ADF与△ADC中AD＝AD∠ADF＝ADCFD＝DC∴△ADF≌△ADC（SAS）∴∠C=∠AFD=∠BAE．自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

倍长中线法

几何模型02——倍长中线法当线段出现一个中点时，特别是三角形中，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法：△ABC 中AD 是BC 边中线方式1：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE例1.已知：如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB +AC ＞2AD ．证明：延长AD 到M ，使DM ＝AD ，连接BM ，CM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝DC ，∵AD ＝DM ，∴四边形ABMC 是平行四边形，∴BM ＝AC ，在△ABM 中，AB +BM ＞AM ，即AB +AC ＞2AD ．例2.已知，如图△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，则中线AD 的取值范围是．解：延长AD 到点E ，使AD ＝ED ，连接CE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△ABD 和△ECD 中∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴AB ＝EC ，在△AEC 中，AC +EC ＞AE ，且EC ﹣AC ＜AE ，即AB +AC ＞2AD ，AB ﹣AC ＜2AD ，∴2＜2AD ＜8，∴1＜AD ＜4，故答案为：1＜AD ＜4．E D A B C练习1.如图，在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是．例3.如图，△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC的中点，E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF．若BE＝3，CF＝4，试求EF的长．解：延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，EG，∵在△CDF和△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS），∴BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，∵∠C+∠ABC＝90°，∴∠DBG+∠ABC＝90°，即∠ABG＝90°，∵DE⊥FG，DF＝DG，∴EF＝EG＝＝5．练习2.如图，已知AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB交AB于点E，DF平分∠ADC交AC于点F．求证：BE+CF＞EF．练习3.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，求GF的长．练习4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD 的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6．求CE的长．例4.如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB中点，延长AB到D，使BD＝BA，延长CE至F，使得EF＝CE．求证：CD＝2CE．证明：方法一：如右图1，取AC的中点H，连接BH，∵BD＝BA，∴BH是△ACD的中位线，∴CD＝2BH，又∵E是AB的中点，AB＝AC，∴AE＝AH＝AB，在△ABH和△ACE中，，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴CE＝BH，∴CD＝2CE．方法二：∵点E为AB的中点，∴BE＝AE，在△BEF和△AEC中，，∴△BEF≌△AEC（SAS），∴BF＝AC，∠EBF＝∠A，∵AB＝AC＝BD，∴∠ACB＝∠ABC，BF＝BD，∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，∴∠CBD＝∠CBF，在△CBD和△CBF中，，∴△CBD≌△CBF（SAS），∴CD＝CF，∵CF＝CE+EF，CE＝EF，∴CF＝2CE，∴CD＝2CE．练习5.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB的中点．求证：CD＝2CE练习6.已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．练习7.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AD是∠EAC的平分线．例5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD 交AB于点G，交CA的延长线于点F．求证：BG＝CF．证明：作CM∥AB交FE的延长线于M．∵BG∥CM，∴∠B＝∠MCE，∵E是BC中点，∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，，∴△BEG≌△CEM，∴BG＝CM，∵AD∥EF，∴∠1＝∠FGA，∠2＝∠F，∵∠1＝∠2，∴∠F＝∠FGA，∵AB∥CM，∴∠FGA＝∠M，∴∠F＝∠M，∴CF＝CM，∴BG＝CF．练习8.已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE＝EC，过D 作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC．求证：AE平分∠BAC．例6.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图，求证：EF＝2AD．证明：延长AD至点G，使得AD＝DG，连接BG，CG，∵AD＝DG，BD＝CD，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC＝AF＝BG，AB＝AE＝CG，∠BAC+∠ABG＝180°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAF＝∠ABG，在△EAF和△BAG中，，∴△EAF≌△BAG（SAS），∴EF＝AG，∵AG＝2AD，∴EF＝2AD．练习9.如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC中点，连接P A交EF于点Q，试探究AP与EF的数量和位置关系，并证明你的结论．方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ，连接BE 连接CN例7.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF ＝EF ，求证：BD ＝CE ．证明：如图，过点D 作DG ∥AE ，交BC 于点G ；则△DGF ≌△ECF ，∴DG ＝CE ；∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ；∵DG ∥AE ，∴∠DGB ＝∠ACB ，∴∠DBG ＝∠DGB ，∴DG ＝BD ，∴BD ＝CE ．练习9.如图，△ABC 中，点D 在AB 上，E 是AC 延长线上一点，BD ＝CE ，DE 交BC 于点F ，DF ＝EF ，DP ∥AE 交BC 于点P ，求证：AB ＝AC ．F E D C B A N D C B A M课后练习1、如图1已知：AD为△ABC的中线，易证AB+AC＞2AD．（1）如图2，在△ABC中，AC＝5，AB＝13，D为BC的中点，DA⊥AC．求△ABC的面积．（2）问题2：如图3，在△ABC中，AD是三角形的中线．点F在中线AD上，且BF＝AC，连接并延长BF交AC于点E．求证AE＝EF．2.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并说明理由．3.如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：（1）AE平分∠DAB；（2）AB+CD＝AD．4.在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG＝CG且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），证明：EG＝CG且EG⊥CG．（2）如图（3）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，证明：EG＝CG且EG⊥CG．5.如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作FM∥AD交AC于F，求FC的长．6.如图所示，∠BAC＝∠DAE＝90°，M是BE的中点，AB＝AC，AD＝AE，求证：AM⊥CD．7.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．。

全等辅助线方法专题——倍长中线

全等三角形辅助线方法------倍长中线一、知，为行之始1.三角形中线的定义2.三角形中线的性质定理3.倍长中线法的核心为“中点”两字二、行，为知之成1.倍长中线辅助线方法一：向中线作垂线构造全等（间接倍长）作法：作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E ，证明△CFD ≌△BED FED C BA【例】已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF.F ED AB C2.倍长中线辅助线方法二：延长或作平行线构造全等（间接倍长）作法：延长MD 到N 使DN=MD ，连接CN 或者过C 作CN ∥AB 交MD 的延长线与点N N DCB AM【例】在四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 是AB 的中点，连接CE ，ED 且CE DE ，试猜想线段,,BC CD AD之间满足的数量关系，并予以证明．3.倍长中线辅助线方法三：直接倍长中线构造全等作法：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE 或者CE ，证明△ACD ≌△EBD ED AB C【例】如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点.（1）求证：AB+AC ＞2AD ；（2）若AB=5，AC=7，求AD 的取值范围.三、知行合一1.已知△ABC中，AB=5，AC=7，则BC边上的中线a的取值范围是（）A．1＜a＜6B．5＜a＜7C．2＜a＜12D．10＜a＜14的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若EF=AF，BE=7.5，CF=6，则2.如图，AD是ABCEF=().A．2.5B．2C．1.5D．13.如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是△ABC的中线，若AD的长为偶数，则AD＝_____．4.在△ABC中，AC=8，中线AD=5，那么边AB的取值范围为____．5.如图，△ABC中，BC边上的中线AD将∠BAC分成了两角∠BAD、∠DAC分别为70°和40°，若中线AD长为2.4cm，则AC长为________cm.6.如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，求证：AE=2AD。

初中数学三角形相关辅助线：倍长中线、角平分线、手拉手模型

初一全等三角形相关辅助线板块一、倍长中线中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．下面举例说明．△ABC中AD是BC边中线方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE；方式2：作CF⊥AD于F,作BE⊥AD的延长线于E；方式3：过点C作NC∥AB，交AB于M点；例1 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．求证：AB +AC ＞2AD ．DABC例2 如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．求证：BF =CG ．例3 如图4，CB ，CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC =AB ．求证：CE =2CD ．变式1：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF变式2：在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F ，求证：AB=AF+CF 。

FEDBCEABC课堂练习：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠第 1 题图ABFDEC板块二、角平分线角平分线是三角形中的重要线段之一，在利用角平分线解决几何问题时，常常采用“轴对称”添加辅助线．所谓轴对称，根据翻折对称的思想，构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．下面举例说明．(l)若PA ⊥OM 于点A ，如图 (a)，可以过P 点作PB ⊥ON 于点B ，则PB=PA.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”．(a)B AOPM N(b)B OPMNA(2)若点A 是射线OM 上任意一点，如图 (b)，可以在ON 上截取OB=OA ，连接PB ，构造△OPB ∽△OPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”．(3)若AP ⊥OP 于点P ，如图 (c)，可以延长AP 交ON 于点B ，构造△AOB 是等腰三角形，P 是底边AB 的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”．(c)BAOPM N(d)QOPMN(4)若过P 点作PQ ∥ON 交OM 于点Q ，如图 (d)，可以构造△POQ 是等腰三角形，可记为“角平分线十平行线，等腰三角形必呈现”．例1 (1)如图2-3(a)，在△ABC 中，∠C=90。

【辅助线方法总结】倍长中线，不止是倍长这么简单

【辅助线方法总结】倍长中线，不止是倍长这么简单必须可以！基本图形：△ABC内有一条中线AD基本操作：延长中线AD到E，使得DE=AD，连接EC（或BE）基本结论：△ADB≌△EDC这是倍长中线的基本模型。

当题目中出现中点或者中线时，就需要考虑倍长中线这个方法。

而实际操作中好像看到中点的第一个方法并不是倍长中线，可能是三线合一或者直角三角形斜边中线更多一些。

那什么时候要考虑倍长中线呢？这就需要了解倍长中线到底做了什么。

来看一道题题目中有“点D是BC中点”，这个条件该怎么用？图中没有等腰或者直角三角形，那么中点的用法也就是倍长中线了。

而有同学会说：D是中点，但没有三角形，构不成中线，怎么用倍长中线呢？（也是因为这一点，不少孩子不认为这个题需要倍长中线，或者不知道该如何倍长）仔细观察一下倍长中线的基本操作，就会发现，是否有三角形并没有啥影响。

我们回头看方法基本操作，会发现整个过程中△ABC的边AC没有任何用处，如果去掉这个边，从题目到结论没有任何影响（只是题目叙述会麻烦一些）。

现在再来看这个题，是不是倍长ED或者AD，都能解决问题了？所以想真正掌握一个方法，需要对其模型做深入研究。

倍长中线深入理解图形结论：其实这个图形的结论并不是全等，而是旋转。

返回文章第一个图，观察倍长中线后，原图发生了什么变化可以看到△ABD绕着点D旋转了180°，把AB挪到了CE，同时把∠BAD和∠ABD同时转到了对面。

因此在做题时发现需要将边旋转，或者角需要挪位置，而题目中恰好有个中点，这时候考虑倍长中线才是最合适的。

再进一步，连接BE，这时四边形ABEC就是平行四边形（对角线互相平分）。

此时有关平行四边形的性质及常用方法，就可以在图中实现了。

通过上面的介绍，倍长中线这个方法是不是更清晰了。

真正学会一个方法，并不是知道个名字，知道辅助线是咋做的就可以了，而是要深入的研究，搞清楚方法究竟做了哪些。

这时再看定理或者方法，就不会出现“需要别人提醒辅助线该怎么做”了。

(完整)倍长中线法(经典例题)

倍长中线最重要的一点,延长中线一倍，完成SAS全等三角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ模型的构造.
【方法精讲】常用辅助线添加方法—-倍长中线
△ABC中方式1：延长AD到E，
AD是BC边中线使DE=AD，
连接BE
方式2:间接倍长
作CF⊥AD于F, 延长MD到N，
作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，
连接BE 连接CN
经典例题讲解：
倍长中线法
知识网络详解:
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线．
所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
倍长中线法的过程:延长某某到某点,使某某等于某某，使什么等于什么(延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）
3、如图，AD为的中线，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F. 求证：
4、已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D,交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.
求证:AE平分
例5：已知CD=AB,∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证:∠C=∠BAE
自检自测：
1、如图，△ABC中,BD=DC=AC，E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE。
2、在四边形ABCD中,AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.
例1:△ABC中,AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围
例2：已知在△ABC中,AB=AC，D在AB上,E在AC的延长线上,DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE

中考专题中线倍长法及截长补短

几何证明中常用辅助线(一)中线倍长法:例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤21(AB+AC)分析：要证明AD ﹤21(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD ，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边〞，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进展转化。

待证结论AB+AC>2AD 中，出现了2AD ，即中线AD 应该加倍。

证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连CE ，如此AE=2AD 。

在△ADB 和△EDC 中，∠∴△ADB ≌△EDC(SAS)∴AB=CE 又在△ACE 中，AC+CE ＞＞2AD，即AD ﹤21(AB+AC)小结：(1)涉与三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，即中线倍长法。

它可以将分居中线两旁的两条边角∠BAD 和∠CAD 课题练习:ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC例2: 中线一倍辅助线作法△ABC 中方式1：延长AD 到E ， AD 是BC 边中线使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长B C作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ，连接BE连接CD例3：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值X 围例4：在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE课堂练习：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于例5：：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠课堂练习：CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 第 1 题图作业：1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

巧添辅助线-中线倍长法

八年级数学培优训练（1）巧添辅助线—倍长中线【夯实基础】例：ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC方法1：作DE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，证明二次全等方法2：辅助线同上，利用面积方法3：倍长中线AD【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中方式1：延长AD 到E ， AD 是BC 边中线使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，作BE⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ，连接BE 连接CD【经典例题】例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠提示：方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至F ，连结DF证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ）进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ）第 1 题图 A B F D EC【融会贯通】1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长AE 、DF 交于G证明AB=GC 、AF=GF 所以AB=AF+FC 2、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+3、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE. 提示：过T 作TN ⊥AB 于N 证明ΔBTN ≌ΔECD第 14 题图DFCBEADABCMTE4、（09崇文二模）以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是，线段AM 与DE 的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．。