倒易点阵复习材料

例题

2．1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵

是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵． [证明]

选体心立方点阵的初基矢量如图1．8所示，

()1ˆˆˆ2a

a x y z =

+- ()2ˆˆˆ2a

a x y z =-++ ()3ˆˆˆ2a

a x y z =-+ 其中a 是立方晶胞边长，ˆˆˆ,,x

y z 是平行于立方体边的正交的单位矢量。 初基晶胞体积()31231

2c V a a a a =⋅⨯=

根据式(2．1)计算倒易点阵矢量

123231312222,,c c c

b a a b a a b a a V V V πππ=

⨯=⨯=⨯ ()2

123ˆˆˆˆˆ22

2222

22c x

y z

V a a a a b a a x

y a a a π=⨯=-=+- ()2

231ˆˆˆˆˆ22

2222

22c x

y z

V a

a a a

b a a y

z a a a π=⨯=-=+- ()2

312ˆˆˆˆˆ22

2222

2

2

c x

y z

V a

a a a

b a a z

x a a a π=⨯=-=+-

于是有：

()()()123222ˆˆˆˆˆˆ,,b x y b y z b z x a a a

πππ

=

+=+=+ 显然123,,b b b 正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4a π．

同理，对面心立方点阵写出初基矢量

()1ˆˆ2a

a x y =

+ ()2ˆˆ2a

a y z =+ ()3ˆˆ2a

a z x =+ 如图1.10所示。

初基晶胞体积()31231

4c V a a a a =⋅⨯=。

根据式(2．1)计算倒易点阵矢量

()()()123222ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,b x y z b x y z b x y z a a a

πππ

=

+-=-++=-+ 显然，123,,b b b 正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是4a π．

2．2 (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是()3

2/c V π，这里c V 是晶体点阵初基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身．

[证明]

(a) 倒易点阵初基晶胞体积为()123b b b ⋅⨯，现计算()123b b b ⋅⨯．由式(2．1)知，

123231312222,,c c c

b a a b a a b a a V V V πππ=

⨯=⨯=⨯ 此处

()123c V a a a =⋅⨯ 而

()()()(){}

22

2331123121311222c c b b a a a a a a a a a a a a V V ππ⎛⎫⎛⎫

⨯=⨯⨯⨯=⨯⋅-⨯⋅⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭

这里引用了公式：()()()()A B C D A B D C A B C D ⨯⨯⨯=⨯⋅-⨯⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦。 由于()3110a a a ⨯⋅=，故有

()2

2331212c b b a a a a V π⎛⎫⨯=⨯⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭

而

()312c V a a a =⨯⋅ 故有

2

2312c b b a V π⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭

()

()()()

()2

3

3

12311

1232

222c

c

c

b b b a b a a a V V V πππ⋅⨯=

⋅=

⋅⨯=

或写成

()()()

3

1231232b b b a a a π⋅⨯=

⋅⨯

倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的()3

2π倍。 (b) 现要证明晶体点阵初基矢量123,,a a a 满足关系

()()()

233112

1231231231232,2,2b b b b b b a a a b b b b b b b b b π

ππ⨯⨯⨯===⋅⨯⋅⨯⋅⨯

有前面知：

()2

23

12c

b b a V π⨯=

令()()()

2231112312321

22c b b c a b b b V b b b πππ⎡⎤⨯==⎢⎥⋅⨯⋅⨯⎢⎥⎣⎦

又知 ()()3

12312c

b b b V π⋅⨯=

，代入上式得：

()()3

1

11322c c

V c a a V ππ⎡⎤

=

=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

同理 ()

31

221232b b c a b b b π

⨯==⋅⨯

()

12

331232b b c a b b b π

⨯==⋅⨯

可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身．

2．3 面间距 考虑晶体中一组互相平行的点阵平面(hkl)，(a) 证明倒易点阵矢量()123G hkl hb kb lb =++垂直于这组平面(hkl)；(b) 证明两个相邻的点阵平面间的距离d (hkl)为：

()()

2d hkl G hkl π

=

(c) 证明对初基矢量123,,a a a 互相正交的晶体点阵，有

(

)d hkl =

(d) 证明对简单立方点阵有

(

)d hkl =

证明

(a) 参看图2．3，在平面族(hkl)中，距原点最近的点阵平面ABC 在三个晶轴上的截距分别是123,,a h a k a ． 现要证明G(hkl)垂直于ABC ，只需证明G(hkl)垂直于平面ABC 上的两个矢量CA 和CB 即可．