循环图中生成树的个数
数据结构中的树与图算法教程
数据结构中的树与图算法教程第一章树的基本概念与遍历算法树是一种非线性数据结构，它由若干个节点组成，这些节点以层级的方式连接，形成分支的结构。
树中的一个节点被称为根节点，它没有父节点；其他节点可以有一个或多个父节点，这些节点被称为子节点。
树具有分支，但没有循环。
1.1 具体树的概念在树的结构中，每个节点可以有零个或者多个子节点，但是只能有一个父节点。
树具有层级关系，通过连接节点的边表示。
1.2 树的分类常见的树包括二叉树、二叉搜索树、红黑树等。
其中，二叉树是一种特殊的树结构，它的每个节点最多可以有两个子节点。
1.3 树的遍历算法树的遍历算法主要有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
前序遍历是以根节点、左子树、右子树的顺序进行遍历；中序遍历是以左子树、根节点、右子树的顺序进行遍历；后序遍历是以左子树、右子树、根节点的顺序进行遍历。
第二章树的存储结构与常见应用2.1 树的存储结构树的存储结构有两种常见的实现方式，分别是链表实现和数组实现。
链表实现利用指针进行节点的连接，数组实现则使用数组的索引来表示节点之间的关系。
2.2 平衡二叉树平衡二叉树是一种自平衡的二叉搜索树，它的左右子树的高度差不超过1。
平衡二叉树的插入和删除操作都可以通过旋转操作进行平衡。
2.3 哈夫曼树哈夫曼树是一种特殊的二叉树，用于编码和解码数据。
哈夫曼树中出现频率高的字符距离根节点较近，而出现频率低的字符距离根节点较远，以实现编码的高效率。
第三章图的基本概念与遍历算法3.1 图的基本概念图是由节点和边组成的非线性数据结构。
节点表示实体，边表示节点之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型，有向图的边是有方向的，无向图的边没有方向。
3.2 图的存储结构图的存储结构有邻接矩阵和邻接表两种常见的方式。
邻接矩阵是一个二维数组，用于表示节点之间的连接关系；邻接表是由链表或者数组实现的，用于表示每个节点相邻节点的信息。
3.3 图的遍历算法图的遍历算法主要有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
离散数学中的图的树与生成树的计数
在离散数学中，图是一个由点和边组成的抽象数学模型。
其中，树是一种特殊的图，它是一个无环连通图。
在图论中，树扮演了重要的角色，它具有许多有趣的性质和应用。
而生成树则是树的一个特殊子集，它由给定图中的所有顶点和部分边构成。
本文将介绍图的树的基本概念，并探讨生成树的计数方法。
首先，让我们来看看图的树。
树是一种无环连通图，其中任意两个顶点之间存在唯一一条路径。
它具有以下性质：1.n个顶点的树有n-1条边。
这可以通过归纳法证明：当n=1时，结论成立；假设n=k时成立，那么n=k+1时，只需要添加一个顶点和一条边，即可构成n=k+1个顶点的树。
因此，结论成立。
2.连接树上任意两个顶点的边都是桥。
即如果一条边被删除，那么树就会变成两个或更多个不相连的子树。
3.树是一个高度平衡的结构。
对于一个n个顶点的树，任意两个叶子结点之间的路径长度至多相差1。
4.树的任意两个顶点之间有唯一一条路径，路径长度为顶点之间的边数。
接下来，让我们来讨论生成树的计数方法。
生成树是树的一个特殊子集，它是由给定图中的所有顶点和部分边构成。
生成树的计数在图论中具有重要的意义和应用。
对于一个具有n个顶点的连通图来说，其生成树的个数可以通过Cayley公式计算得到。
Cayley公式是由亚瑟·凯利于1889年提出的，它给出了完全图的生成树数目。
据此，我们可以得到生成树的计数公式为：T = n^(n-2)，其中T表示生成树的个数。
此外，还有一种常见的计数方法是基于度数矩阵和邻接矩阵的矩阵树定理。
矩阵树定理由高斯于1847年提出，它提供了一种计算图的生成树个数的方法。
根据矩阵树定理，一个无向图G的生成树数目等于该图度数矩阵的任意一个(n-1)阶主子式的行列式的值。
其中，度数矩阵是一个对角矩阵，它的对角线上的元素为各个顶点的度数。
邻接矩阵则是一个关于顶点间连接关系的矩阵，其中1表示相邻顶点之间存在边，0表示不存在边。
除了数学方法，还存在一种基于图的遍历的计数方法，称为Kirchhoff矩阵树定理。
图论中的生成树计数算法
图论中的生成树计数算法生成树是图论中重要的概念之一，它是指由给定图的节点组成的树形结构，其中包含了原图中的所有节点，但是边的数量最少。
生成树的计数问题是指在一个给定的图中，有多少种不同的生成树。
生成树计数算法是解决这个问题的关键步骤，本文将介绍一些常见的生成树计数算法及其应用。
1. Kirchhoff矩阵树定理Kirchhoff矩阵树定理是图论中经典的生成树计数方法之一。
该定理是由Kirchhoff在19世纪提出的，它建立了图的Laplacian矩阵与其生成树个数的关系。
Laplacian矩阵是一个$n\times n$的矩阵，其中$n$是图中的节点数。
对于一个连通图而言，Laplacian矩阵的任意一个$n-1$阶主子式，其绝对值等于该图中生成树的个数。
应用示例：假设我们有一个无向连通图，其中每个节点之间的边权均为1。
我们可以通过计算图的Laplacian矩阵的任意一个$n-1$阶主子式的绝对值来得到该图中的生成树个数。
2. Prufer编码Prufer编码是一种编码方法，可用于求解生成树计数问题。
它是基于树的叶子节点的度数的编码方式。
Prufer编码将一个树转换为一个长度为$n-2$的序列，其中$n$是树中的节点数。
通过给定的Prufer序列，可以构造出对应的生成树。
应用示例：假设我们有一个具有$n$个节点的有标号的无根树。
我们可以通过构造一个长度为$n-2$的Prufer序列，然后根据Prufer编码的规则构造出对应的生成树。
3. 生成函数方法生成函数方法是一种利用形式幂级数求解生成树计数问题的方法。
通过将图的生成树计数问题转化为生成函数的乘法运算，可以得到生成函数的一个闭形式表达式，从而求解生成树的个数。
应用示例：假设我们有一个具有$n$个节点的有根树，其中根节点的度数为$d$。
我们可以通过生成函数方法求解出该有根树中的生成树个数。
4. Matrix-Tree定理Matrix-Tree定理是对Kirchhoff矩阵树定理的一种扩展，适用于带权图中生成树计数的问题。
离散数学 求生成树的个数
在离散数学中，生成树（Spanning Tree）是一个图（Graph）的子图，它包含图中的所有顶点，并且是一个树（Tree）。
生成树的一个重要性质是它不包含任何环（Cycle）。
求一个给定图的生成树个数是一个经典问题，通常使用矩阵树定理（Matrix Tree Theorem）来解决。
矩阵树定理给出了一个图的生成树个数的计算公式，它基于图的拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）的行列式。
拉普拉斯矩阵是一个方阵，其大小为图的顶点数，矩阵的元素定义如下：•如果i和j是不同的顶点，则矩阵的第i行第j列的元素是顶点i和j之间的边的权重（如果存在边的话），否则是0。
•对于每个顶点i，矩阵的第i行第i列的元素是顶点i的度（即与顶点i相邻的边的数量）的负值。
矩阵树定理指出，图的生成树个数等于其拉普拉斯矩阵的任何一个n-1阶主子式的行列式值的绝对值。
n是图的顶点数，n-1阶主子式意味着去掉矩阵中的一行和一列后得到的矩阵。
下面是一个简单的例子，说明如何使用矩阵树定理计算生成树的个数：假设有一个包含4个顶点的简单图，其边和权重如下：A -- 2 -- B| |1 3 1| |C -- 4 -- D1 -3 1 00 1 -3 40 0 1 -4主子式的行列式值。
去掉第一行和第一列后，我们得到：1 01 -3 40 1 -4x3矩阵的行列式，我们得到：1 * 1) - (0 * 0) = 12 - 1 = 11过程可能涉及复杂的行列式计算，特别是对于大型图来说。
在实际应用中，通常会使用专门的数学软件或库（如Python中的NumPy或SciPy）来进行这些计算。
此外，还有一些算法（如Kruskal算法和Prim算法）可以用来构造生成树，但它们并不直接计算生成树的总数。
这些算法通常用于找到图的一个生成树，而不是计算所有可能的生成树的数量。
浙江大学大数据结构与算法课程自我测试问题详解
窗体顶端1. 邻接表是图的一种____。
正确答案点评A 顺序存储结构B 链式存储结构C 索引存储结构D 散列存储结构正确答案：B答案讲解：无【试题出处】第6章第3节1窗体底端窗体顶端2. 一组记录的关键字为（46,79,56,38,40,84）,则利用快速排序的方法，以第一个记录为基准元素得到的一次划分结果为。
正确答案点评A 38,40,46,56,79,84B 40,38,46,79,56,84C 40,38,46,56,79,84D 40,38,46,84,56,79正确答案：C窗体底端窗体顶端3. 设深度为h的二叉树上只有度为0和度为2的结点，则此类二叉树中所包含的结点数至多为_____(注意C和D中h是指数)。
正确答案点评A 2h-1B 2(h-1)C 2*h-1D 2*h正确答案：A窗体底端窗体顶端4. 一个栈的入栈序列是a,b,c,d, 则下列序列中不可能的输出序列是_______。
正确答案点评A acbdB dcbaC acdbD dbac正确答案：D窗体底端窗体顶端5. 计算机算法是指______。
正确答案点评A 计算方法B 排序方法C 调度方法D 解决问题的有限运算序列正确答案：D窗体底端窗体顶端6. 关于二叉树的三种遍历，下列说法正确的是____。
正确答案点评A 任意两种遍历序列都不可以唯一决定该二叉树B 任意两种遍历序列都可以唯一决定该二叉树C 先序遍历序列和后序遍历序列可以唯一决定该二叉树D 先序遍历序列和中序遍历序列可以唯一决定该二叉树正确答案：D窗体底端窗体顶端7. 顺序表的特点是______。
正确答案点评A 逻辑上相邻的结点其物理位置不相邻B 逻辑上相邻的结点其物理位置亦相邻C 顺序表不是随机存储结构D 在顺序表中插入和删除操作比在链表上方便正确答案：B窗体底端窗体顶端8. 设散列表长为14，散列函数是H(key)=key%11,表中已有数据的关键字为15，38，61，84共四个，现要将关键字为49的结点加到表中，用二次探测法解决冲突，则放入的位置是____________。
图论习题答案2
第四次作业
四(13).设M是二分图G的最大匹配，则 | M || X | max| S | | N ( S )| ，
SX
证明： | X | max| S | | N ( S )| min(| X | | S |) | N ( S )| ，而（X - S ) N ( S )是G的一个覆盖，则 min(| X | | S |) | N ( S )|是G的最小覆盖，
第七次作业
• 五(28).设sn是满足下列条件的最小整数，把 {1,2,...,sn}任划分成n个子集后，总有一个子集 中含有x+y=z的根，求s1,s2,s3是多少？ • 解：n=1,枚举得s1=2; • s2=5 • s3=14
第七次作业
五(34).求证r(k, l) = r(l, k) 证明：若G含有K k 子图，则G c 含有k个顶点的独立集；若G含有 l个顶点的独立集，则G c 含有K l 子图。则命题成立。
五 (13).若 是单图 G 顶的最小次数，证明； 若 1则存在 1边着色， 使与每顶关联的边种有 1种颜色。 反证法：假设在 v1处无 i 0色 设 C (E 1 , E 2 ,..., E 1 )为 G 的( 1) 最佳边着色 第一步：构造点列： v1 , v 2 ,..., v h , v h 1 ,....., vl ,.... v1处无 i 0色， v j v j 1着 i j色，且在 v j点处 i j 色重复出现，可知在 v j1处仅一 个 i j色；证明如下： 用反证法证明，假设在 v j1处 i j色重复出现，将 v j v j 1改成 v j 所关联的边 没有的颜色 im，则可以对图 G 的找色进行改善。与 C 是最佳边着色矛盾， 假设不成立。 又 是单图 G 顶的最小次数，则必存 在最小整数 h使得 i h i l 第二步：着色调整： v j v j 1着 i j-1色 ( j 1,2,..., h )，所得新着色为 C ' 在 C '中， v1处多了个 i 0色， v h 1处少了个 i h 色，其他点的边着色数 不变， 所以 C ' 还是 1最佳边着色
一些具有非固定步循环图中生成树的个数
引ｌ ｃ ’：氨２ 壹ｅ＋ ）１（（２２Ｊ 理８ ‘ （一１ｔ ＝请娄 —ｓ￣ ［ ＿ ９ （ ｉ ～ ｅ ＝ ２ｃｊ， ＝ ７ （ ， ｊ ｌ 。ｌ ｓ
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由于 图（ 网络 ）中生成 树 的个 数 可 以用 于刻 画通 信 网 的可 靠性 ， 得 该 问题 的研 究 目前很 活 跃 … ． 或 使 经 典 理论矩 阵树定 理 说 明图 Ｇ中生 成树 的个数 Ｔ Ｇ 是 由一 个从 Ｇ的邻接 矩 阵所构造 出的矩 阵 的行 列式 所 （） 决定的． 但这种 方法 并不 适用 于计 算一个 大 图 的生 成树 个数 ． 然而 ， 某 些 特 殊 图类 给 出 生 成 树 个 数 精 确 简 单 的 公 式 是 完 全 可 能 的 ． 如 ， ａｌｙ树 公 式 说 明 对 例 Ｃ ｙｅ
出简 单 的 方 法 确 定 其 中的 生 成 树 个 数 所 满 足 的 递 推 关 系 和 渐 进 性 质 ． 关键词
中 图 分 类 号 ０ １ ｌ５
Ｔｈ ｍｂ ｒｏ ａ ｎｎ ｅ ｓ ｉ ｓ ｍｅ Ｃｉ ｕａ ｔＧｒ ｐ ｓ ｗｉ ｎ ｆ ｅ ｕ ｓ ｅ Ｎｕ ｅ ｆＳｐ ｎ ｉｇ Ｔｒ ｅ ｏ ｒ ｌｎ ａ ｈ ｔ Ｎｏ — ｘ ｄ Ｊ ｍｐ ｎ ｃ ｈ ｉ
图论课件第二章_树
图论及其应用
应用数学学院
1
第二章 树
本章主要内容
一、树的概念与性质
二、生成树
三、最小生成树
2
本次课主要内容
(一)、树的概念与应用 (二)、树的性质 (三)、树的中心与形心
16
2 m ( G ) d ( v ) k 1 kn 2 ( k ) 2 n 1 2 n 2
v V ( G )
所以，有：m (G)>n-1,与G是树矛盾！ 例10 设G是森林且恰有2k个奇数顶点，则在G中有k条 边不重合的路P1, P2 ,…, Pk,使得：
v2 e2 e5 v1 v4 e4 e3 e6 v3
e1
7
该问题归结于在图中求所谓的最小生成树问题。或 称为赋权图中的最小连接问题。 例4 化学中的分子结构与树 例如：C4H10的两种同分异构结构图模型为： h h h h h h h h h h h h h h
h h h
h
h
h
8
例5 电网络中独立回路与图的生成树 早在19世纪，图论还没有引起人们关注的时候，物理学 家克希荷夫就已经注意到电路中的独立回路与该电路中的所 谓生成树的关系。即：如果电路是(n, m)图，则独立回路的 个数为m-n+1.并且，生成树添上生成树外的G的一条边，就 可以得到一独立回路。 例6 通信网络中的组播树 在单播模型中，数据包通过网络沿着单一路径从源主机向 目标主机传递，但在组播模型中，组播源向某一组地址传递数 据包，而这一地址却代表一个主机组。为了向所有接收者传 递数据，一般采用组播分布树描述IP组播在网络里经过的路 径。组播分布树有四种基本类型：泛洪法、有源树、有核树 和Steiner树 。
步数可变循环图中生成树的计数
可 靠性尸 ∑ Ａ 一 ） ｋ 为网 结点的 一 （ 户ｍ 其中 Ｐ１ ｎ ｉ 络中 个数， ｍ为边 Ａ 为 个 数， 具有 结点五 的 条边 连通子
＾ 一 １
图的 个数 ． 于 个 结点 的 网络 要连 通 ， 对 至少 要 有 一１条边 ． 以 尸一 一Ｐ （ － ｐ 一 ， 所 一 １ ） Ａ 一 为生 成树
（ ｃ ｏ ｌ ｆ Ｃ ｍ ｕ ｅ ｃｅ ｃ ａ ｄ Ｃ ｍｍｕ ｉ ｔ ｎ 。 ａ ｚ ｏ ｎｖ ｒｉ ｆ Ｓ ｉｎ ｅ ｎ ｅｈ ｏｏ ｙ， ａ ｚ ｏ ３ ０ ０ Ｃ ｉａ Ｓ ｈ ｏ ｏ ｏ ｐ ｔ Ｓ ｉ ｅ ｎ ｏ ｒ ｎ ｎｃ ｉ ｓ Ｌ ｎ ｈ ｕ Ｕ ｉｅｓ ｙ ｏ ｃ ｃ ｄ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ Ｌ ｎ ｈ ｕ ７ ０ ５ ， ｈ ｎ ） ａｏ ｔ ｅ ａ
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ： Ｔｈ ｕ ｂ ｒｏ ｐ ｎ ｉｇ ｔｅ ｓｉ ｒ ｐ ｎ ｔ ｒ ｅｎ ｍ ｅ ｆｓ ａ ｎ ｎ ｒ ｅ ｎ ａｇ ａ ｈ（ ｅ ｗｏ ｋ）ｉ ａ ｍｐ ｒａ ｔ ｓ ｎｉ ｏ ｔ ｎ ，ｗｅｌｓｕ ｉｄｑ ａ ｔｔ ．Ｎｏ ｌ—ｔ ｄｅ ｕ ｎ ｉｙ
Ｋｅ ｒ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ： ｓ ａ ｎ ｎ ｒ ｅ；ｎ ｎ ｆ ｅ ｔ ｐ ｃｒ ｕ ａ ｔ ｇ ａ ｈ；Ｃｈ ｂ ｓ ｅ ｏ ｙ ｏ ａ ｐ ｎ ｉ ｇ ｔｅ ｏ —ｉ ｄ ｓ ｅ ｉｃ ｌ ｎ ｒ ｐ ｘ ｅ ｙ ｈ ｖ ｐ ｌ ｎ ｍｉ ｌ
对 于一 个通 信 网络 ， ２个结点 间有 可能 断 开 ， 设 断开 的可 能性 为 １ 每 假 一户， 么 可以估 计 此 网络连 通 的 那
Ｆｏ ｍ ｕｌ ｓ ｆ ｒ ｔ ｅ Ｎ ｕ ｂ ｒ ｏ ｐ ｎｎ ｎ ｅ ｓ ｉ ｎ— ｉ ｅ ｔ ｐ ｒ ａ ｏ ｈ ｍ ｅ ｆ Ｓ ａ ｉ ｇ Ｔｒ ｅ ｎ Ｎｏ ｆ ｘ ｄ Ｓ ｅ
best 定理算欧拉路数量
Best定理是指以x点为起点的欧拉回路个数sum =
T[x]*∑(out[i]-1)!，其中T[x]表示以x为根的外向生成树个数，out[i]表示i点的出度。
这个定理用于计算有向图中的欧拉回路数量。
具体来说，对于一个有向图，如果存在从起点到终点的路径，使得每条边的方向都是一致的，那么这条路径被称为欧拉路径。
如果这个路径的起点和终点是同一点，那么这条路径被称为欧拉回路。
Best定理中的T[x]表示以x为根的外向生成树个数，生成树是指一个连通无环的树状图，外向生成树指的是从根节点向外延伸的生成树。
∑(out[i]-1)!表示所有出度大于1的节点的欧拉回路个数的乘积。
对于每个出度大于1的节点i，存在(out[i]-1)!种不同的欧拉回路，因为可以从(out[i]-1)个非根节点中选择一个作为下一个节点，然后再从剩下的(out[i]-2)个非根节点中选择一个作为下下个节点，以此类推，直到回到根节点。
因此，Best定理通过计算以x为根的外向生成树个数和所有出度大于1的节点的欧拉回路个数，可以得到整个有向图中的欧拉回路个数。
最小生成树
17
D
应用举例——最小生成树
Prim算法 34 A 46 19 F B 12 26 25 E 38 cost'={(A, B)34, (C, D)17, (F, E)26}
17
U={A, F, C, D}
V-U={B, E}
cost={(A, B)34, (F, E)26}
25
C
17
D
应用举例——最小生成树
{B, C, D, E, F} (A F)19
{B, C, D, E} {B, D, E} {B, E} {B} {}
(F C)25
(C D)17
(F E)26
adjvex lowcost
adjvex lowcost
4 12
{A, F, C, D, E}
{A,F,C,D,E,B}
(E B)12
21
应用举例——最小生成树
Prim算法——伪代码
1. 将顶点0加入集合U中； 2. 初始化辅助数组shortEdge，分别为lowcost和adjvex赋值； 3. 重复执行下列操作n-1次 3.1 在shortEdge中选取最短边，取其对应的下标k； 3.2 输出边(k, shortEdge[k].adjvex)和对应的权值； 3.3 将顶点k加入集合U中； 3.4 调整数组shortEdge；
U
V-U
输出
adjvex lowcost adjvex lowcost adjvex lowcost adjvex lowcost
0 34 0 34 0 34 0 34
0 46 5 25
0 ∞ 5 25 2 17
0 ∞ 5 26 5 26 5 26
0 19
图论第二章和第四章的课后习题剖析
图论第二章和第四章书后练习题2.2 给出满足下列条件的图或说明这样的图为什么不存在 (a)没有奇点的图。
(b)所有顶点的度为三的图。
(c)阶至少为5的图G ,且对于G 中任意两个邻接的顶点,,v u 均有u deg v deg ≠。
(d)阶至少为5的非完全图H ,且对于H 中任意两个不邻接的顶点,,v u 均有u deg v deg ≠。
解：（a ）（b ）(c)(d)2.4 给出一个阶为6且边数为10的图G ,满足.4)(,3)(=∆=G G δ 解：所求图如下所示：2.6 在一个阶为)1(3≥n n 的图中，若度为n n ,1-和1+n 的顶点数个数均为n ，则n 必为偶数。
证：∵n-1+n+n+1=3n;∴图中仅有度为n+1,n,n-1三种度的顶点∑deg(v)=(n-1)n+n*n+(n+1)n=3n2由图论第一定理知，3n 2为偶数 则n 为偶数。
2.8 设G 为n 阶图，若对G 中任意三个互不邻接的顶点v u ,和w ，都有u deg ,1deg deg -≥++n w v 则G 一定是连通的吗？解：不一定，如下图：2.10 我们已经知道，若n 阶图G 的任意两个不邻接的顶点u 和v 都满足,2deg deg -≥+n v u 则G 可能不连通。
(a) 证明：存在n 阶的连通图G ，它满足：对G 中两个任意不邻接的顶点u 和v ，都有,2deg deg -≥+n v u 且G 有两个不邻接的顶点x 和y ，使得y x deg deg +=2n -。
(b) 证明：若n 阶图G 的任意两个不邻接的顶点u 和v 都满足,2deg deg -≥+n v u 则G 至多有两个连通分支。
(c) (b)中的界是紧的吗？（a ）证：假设deg deg 1u v n +≤-，则由定理4可知G 不是联通的，这与已知矛盾。
∴原结论正确。
（b ）证：假设存在G1，G2,G3 三个连通分支，其阶数分别为n1,n2,n3,且n1+n2+n3≤n;取u ∈G1 v ∈G212123()()()()1123G G G G d u d v d U d v n n n n n +=+≤-+-≤--≤- 矛盾！∴至多有两个连通分支 (c)是的2.12证明：若n 阶图G 满足1)()(-≥+∆n G G δ，则G 是连通的，且4)(≤G diam 。
杨忠道定理
杨忠道定理杨忠道定理是由中国数学家杨忠道提出的一个重要的数学定理，它在数学领域具有广泛的应用价值。
本文将围绕杨忠道定理展开，介绍其定义、性质和应用。
杨忠道定理，又称为杨氏矩阵树定理，是图论中的一个重要定理。
它是由杨忠道于1963年提出的，用于计算图的生成树的个数。
该定理的核心思想是利用矩阵的行列式性质，将图的邻接矩阵转化为关联矩阵，从而求解生成树的个数。
我们来介绍一下图的邻接矩阵和关联矩阵。
在图论中，邻接矩阵是用矩阵来表示图的结构的一种方式。
对于一个n个顶点的图，邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素表示顶点i和顶点j之间是否存在一条边。
如果存在边，则为1；否则为0。
关联矩阵则是将图的边和顶点之间的关系都表示在矩阵中，是一个n×m的矩阵，其中n为顶点数，m为边数。
杨忠道定理的关键是通过计算邻接矩阵的代数余子式来求解生成树的个数。
具体来说，对于一个n个顶点的图，将其邻接矩阵的第i 行第i列元素替换为该顶点的度数，其他元素不变。
然后计算该矩阵的任意一个n-1阶代数余子式，即去掉其中任意一行和一列后，剩下的元素所构成的(n-1)×(n-1)矩阵的行列式。
最后，将所有的代数余子式相加，即可得到生成树的个数。
杨忠道定理具有以下几个重要性质。
首先，生成树的个数与图的度数有关，即与邻接矩阵的对角元素有关。
其次，生成树的个数与图的连通性有关，只有连通图才存在生成树。
此外，杨忠道定理还可以用于计算图的割集（图中去掉某个边后，图分为两个不连通的部分）的个数和割点（图中去掉某个顶点后，图分为两个不连通的部分）的个数。
杨忠道定理在实际应用中有着广泛的用途。
首先，它可以用于计算网络中的最小生成树，从而优化网络的通信效率。
其次，它可以用于计算电路中的回路个数，从而帮助设计师评估电路的稳定性。
此外，杨忠道定理还可以应用于社交网络中的信息传播研究，帮助分析信息在网络中的传播路径和速度。
详解图的应用(最小生成树、拓扑排序、关键路径、最短路径)
详解图的应用（最小生成树、拓扑排序、关键路径、最短路径）1.最小生成树：无向连通图的所有生成树中有一棵边的权值总和最小的生成树1.1 问题背景：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n—1条线路。
这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。
在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济代价。
n个城市之间，最多可能设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少呢?1.2 分析问题（建立模型）：可以用连通网来表示n个城市以及n个城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。
对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。
即无向连通图的生成树不是唯一的。
连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树，对连通图的不同遍历，就可能得到不同的生成树。
图G5无向连通图的生成树为(a)、(b)和(c)图所示：G5G5的三棵生成树：可以证明，对于有n 个顶点的无向连通图，无论其生成树的形态如何，所有生成树中都有且仅有n－1 条边。
1.3最小生成树的定义：如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵生成树为最小生成树，简称为最小生成树。
最小生成树的性质：假设N=(V,{ E}) 是个连通网，U是顶点集合V的一个非空子集，若（u,v）是个一条具有最小权值(代价)的边，其中，则必存在一棵包含边（u,v）的最小生成树。
1.4 解决方案：两种常用的构造最小生成树的算法：普里姆（Prim）和克鲁斯卡尔（Kruskal）。
他们都利用了最小生成树的性质1.普里姆（Prim）算法：有线到点，适合边稠密。
时间复杂度O(N^2)假设G＝（V，E）为连通图，其中V 为网图中所有顶点的集合，E 为网图中所有带权边的集合。
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s.lvl=++R; s.l=i+1; s.f=p; s.lr=2; enqueue(Q,s);
}
else if (i==s.h)
{p->rchild=null; //处理无右子女
s.lvl=++R; s.h=i-1; s.f=p; s.lr=1; enqueue(Q,s);
9、数组A和B的元素分别有序，欲将两数组合并到C数组，使C仍有序，应将A和B拷贝到C，只要注意A和B数组指针的使用，以及正确处理一数组读完数据后将另一数组余下元素复制到C中即可。
void union(int A[],B[],C[],m,n)
//整型数组A和B各有m和n个元素，前者递增有序，后者递减有序，本算法将A和B归并为递增有序的数组C。
i++; j=i; } //新平台起点
printf(“最长平台长度%d，在b数组中起始下标为%d”，l，k)；
}// Platform
8、请设计一个算法，要求该算法把二叉树的叶子结点按从左到右的顺序连成一个单链表，表头指针为head。 二叉树按二叉链表方式存储，链接时用叶子结点的右指针域来存放单链表指针。分析你的算法的时、空复杂度。
51. 借助于快速排序的算法思想，在一组无序的记录中查找给定关键字值等于key的记录。设此组记录存放于数组r[l..h]中。若查找成功，则输出该记录在r数组中的位置及其值，否则显示“not find”信息。请编写出算法并简要说明算法思想。
7、我们用l代表最长平台的长度，用k指示最长平台在数组b中的起始位置（下标）。用j记住局部平台的起始位置，用i指示扫描b数组的下标，i从0开始，依次和后续元素比较，若局部平台长度（i-j）大于l时，则修改最长平台的长度k（l=i-j）和其在b中的起始位置（k=j），直到b数组结束，l即为所求。
数据结构（三十三）最小生成树（Prim、Kruskal）
数据结构（三⼗三）最⼩⽣成树（Prim、Kruskal） ⼀、最⼩⽣成树的定义 ⼀个连通图的⽣成树是⼀个极⼩的连通⼦图，它含有图中全部的顶点，但只有⾜以构成⼀棵树的n-1条边。
在⼀个⽹的所有⽣成树中，权值总和最⼩的⽣成树称为最⼩代价⽣成树（Minimum Cost Spanning Tree），简称为最⼩⽣成树。
构造最⼩⽣成树的准则有以下3条：只能使⽤该图中的边构造最⼩⽣成树当且仅当使⽤n-1条边来连接图中的n个顶点不能使⽤产⽣回路的边 对⽐两个算法，Kruskal算法主要是针对边来展开，边数少时效率会⾮常⾼，所以对于稀疏图有很⼤的优势；⽽Prim算法对于稠密图，即边数⾮常多的情况会更好⼀些。
⼆、普⾥姆（Prim）算法 1.Prim算法描述 假设N={V,{E}}是连通⽹，TE是N上最⼩⽣成树中边的集合。
算法从U={u0，u0属于V}，TE={}开始。
重复执⾏下⾯的操作：在所有u属于U，v 属于V-U的边(u,v)中找⼀条代价最⼩的边(u0,v0)并加⼊集合TE，同时v0加⼊U，直到U=V为⽌。
此时TE中必有n-1条边，则T=(V,{TE})为N的最⼩⽣成树。
2.Prim算法的C语⾔代码实现/* Prim算法⽣成最⼩⽣成树 */void MiniSpanTree_Prim(MGraph G){int min, i, j, k;int adjvex[MAXVEX]; /* 保存相关顶点下标 */int lowcost[MAXVEX]; /* 保存相关顶点间边的权值 */lowcost[0] = 0;/* 初始化第⼀个权值为0，即v0加⼊⽣成树 *//* lowcost的值为0，在这⾥就是此下标的顶点已经加⼊⽣成树 */adjvex[0] = 0; /* 初始化第⼀个顶点下标为0 */for(i = 1; i < G.numVertexes; i++) /* 循环除下标为0外的全部顶点 */{lowcost[i] = G.arc[0][i]; /* 将v0顶点与之有边的权值存⼊数组 */adjvex[i] = 0; /* 初始化都为v0的下标 */}for(i = 1; i < G.numVertexes; i++){min = INFINITY; /* 初始化最⼩权值为∞， *//* 通常设置为不可能的⼤数字如32767、65535等 */j = 1;k = 0;while(j < G.numVertexes) /* 循环全部顶点 */{if(lowcost[j]!=0 && lowcost[j] < min)/* 如果权值不为0且权值⼩于min */{min = lowcost[j]; /* 则让当前权值成为最⼩值 */k = j; /* 将当前最⼩值的下标存⼊k */}j++;}printf("(%d, %d)\n", adjvex[k], k);/* 打印当前顶点边中权值最⼩的边 */lowcost[k] = 0;/* 将当前顶点的权值设置为0,表⽰此顶点已经完成任务 */for(j = 1; j < G.numVertexes; j++) /* 循环所有顶点 */{if(lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j] < lowcost[j]){/* 如果下标为k顶点各边权值⼩于此前这些顶点未被加⼊⽣成树权值 */lowcost[j] = G.arc[k][j];/* 将较⼩的权值存⼊lowcost相应位置 */adjvex[j] = k; /* 将下标为k的顶点存⼊adjvex */}}}}Prim算法 3.Prim算法的Java语⾔代码实现package bigjun.iplab.adjacencyMatrix;/*** 最⼩⽣成树之Prim算法*/public class MiniSpanTree_Prim {int lowCost; // 顶点对应的权值public CloseEdge(Object adjVex, int lowCost) {this.adjVex = adjVex;this.lowCost = lowCost;}}private static int getMinMum(CloseEdge[] closeEdges) {int min = Integer.MAX_VALUE; // 初始化最⼩权值为正⽆穷int v = -1; // 顶点数组下标for (int i = 0; i < closeEdges.length; i++) { // 遍历权值数组，找到最⼩的权值以及对应的顶点数组的下标if (closeEdges[i].lowCost != 0 && closeEdges[i].lowCost < min) {min = closeEdges[i].lowCost;v = i;}}return v;}// Prim算法构造图G的以u为起始点的最⼩⽣成树public static void Prim(AdjacencyMatrixGraphINF G, Object u) throws Exception{// 初始化⼀个⼆维最⼩⽣成树数组minSpanTree，由于最⼩⽣成树的边是n-1，所以数组第⼀个参数是G.getVexNum() - 1，第⼆个参数表⽰边的起点和终点符号，所以是2 Object[][] minSpanTree = new Object[G.getVexNum() - 1][2];int count = 0; // 最⼩⽣成树得到的边的序号// 初始化保存相关顶点和相关顶点间边的权值的数组对象CloseEdge[] closeEdges = new CloseEdge[G.getVexNum()];int k = G.locateVex(u);for (int j = 0; j < G.getVexNum(); j++) {if (j!=k) {closeEdges[j] = new CloseEdge(u, G.getArcs()[k][j]);// 将顶点u到其他各个顶点权值写⼊数组中}}closeEdges[k] = new CloseEdge(u, 0); // 加⼊u到⾃⾝的权值0for (int i = 1; i < G.getVexNum(); i++) { // 注意，这⾥从1开始，k = getMinMum(closeEdges); // 获取u到数组下标为k的顶点的权值最短minSpanTree[count][0] = closeEdges[k].adjVex; // 最⼩⽣成树第⼀个值为uminSpanTree[count][1] = G.getVexs()[k]; // 最⼩⽣成树第⼆个值为k对应的顶点count++;closeEdges[k].lowCost = 0; // 下标为k的顶点不参与最⼩权值的查找了for (int j = 0; j < G.getVexNum(); j++) {if (G.getArcs()[k][j] < closeEdges[j].lowCost) {closeEdges[j] = new CloseEdge(G.getVex(k), G.getArcs()[k][j]);}}}System.out.print("通过Prim算法得到的最⼩⽣成树序列为: {");for (Object[] Tree : minSpanTree) {System.out.print("(" + Tree[0].toString() + "-" + Tree[1].toString() + ")");}System.out.println("}");}} 4.举例说明Prim算法实现过程 以下图为例： 测试类：// ⼿动创建⼀个⽤于测试最⼩⽣成树算法的⽆向⽹public static AdjacencyMatrixGraphINF createUDNByYourHand_ForMiniSpanTree() {Object vexs_UDN[] = {"V0", "V1", "V2", "V3", "V4", "V5", "V6", "V7", "V8"};int arcsNum_UDN = 15;int[][] arcs_UDN = new int[vexs_UDN.length][vexs_UDN.length];for (int i = 0; i < vexs_UDN.length; i++) // 构造⽆向图邻接矩阵for (int j = 0; j < vexs_UDN.length; j++)if (i==j) {arcs_UDN[i][j]=0;} else {arcs_UDN[i][j] = arcs_UDN[i][j] = INFINITY;}arcs_UDN[0][5] = 11;arcs_UDN[1][2] = 18;arcs_UDN[1][6] = 16;arcs_UDN[1][8] = 12;arcs_UDN[2][3] = 22;arcs_UDN[2][8] = 8;arcs_UDN[3][4] = 20;arcs_UDN[3][6] = 24;arcs_UDN[3][7] = 16;arcs_UDN[3][8] = 21;arcs_UDN[4][5] = 26;arcs_UDN[4][7] = 7;arcs_UDN[5][6] = 17;arcs_UDN[6][7] = 19;for (int i = 0; i < vexs_UDN.length; i++) // 构造⽆向图邻接矩阵for (int j = i; j < vexs_UDN.length; j++)arcs_UDN[j][i] = arcs_UDN[i][j];return new AdjMatGraph(GraphKind.UDN, vexs_UDN.length, arcsNum_UDN, vexs_UDN, arcs_UDN);}public static void main(String[] args) throws Exception {AdjMatGraph UDN_Graph = (AdjMatGraph) createUDNByYourHand_ForMiniSpanTree();MiniSpanTree_Prim.Prim(UDN_Graph, "V0");} 输出为：通过Prim算法得到的最⼩⽣成树序列为: {(V0-V1)(V0-V5)(V1-V8)(V8-V2)(V1-V6)(V6-V7)(V7-V4)(V7-V3)} 分析算法执⾏过程：从V0开始：-count为0，k为0，closeEdges数组的-lowCost为{0 10 INF INF INF 11 INF INF INF}，adjVex数组为{V0，V0，V0，V0，V0，V0，V0，V0，V0}-⽐较lowCost，于是k为1，adjVex[1]为V0，minSpanTree[0]为（V0，V1），lowCost为{0 0 INF INF INF 11 INF INF INF}-k为1，与V1的权值⾏⽐较，得到新的-lowCost为：{0 0 18 INF INF 11 16 INF 12}，adjVex数组为{V0，V0，V1，V0，V0，V0，V1，V0，V1}-⽐较lowCost，于是k为5，adjVex[5]为V0，minSpanTree[1]为（V0，V5），lowCost为{0 0 18 INF INF 0 16 INF 12}-k为5，与V5的权值⾏⽐较，得到新的-lowCost为{0 0 18 INF 26 0 16 INF 12}，adjVex数组为{V0，V0，V1，V0，V5，V0，V1，V0，V1}-⽐较lowCost，于是k为8，adjVex[8]为V1，minSpanTree[2]为（V1，V8），lowCost为{0 0 18 INF INF 0 16 INF 0}... 三、克鲁斯卡尔（Kruskal）算法 1.Kruskal算法描述 Kruskal算法是根据边的权值递增的⽅式，依次找出权值最⼩的边建⽴的最⼩⽣成树，并且规定每次新增的边，不能造成⽣成树有回路，直到找到n-1条边为⽌。
欧拉回路与生成树的关系
代 数余 子 式 为
０ １— ２ ０ １一
０ ０ — １ ０
０ ０
欧拉 回路 与生成 树 的关 系
卢 鹏 丽
（ 兰州理工大学 计算机与通信学 院， 甘肃 兰州 ７０ ５ ） ３ ０ ０
摘
要： 计算 图（ 向 图或 无 向 图） 有 中生成树 的 个数 可 以 用组合 的方法 ， 可 以用代数 的方 法。介 绍 也
了用代数 的方法 求 图 中生成树 的 个数 ， 出了欧拉 回路 与 生成树 的 关 系， 给 并将 其应 用于 实际的 问题 中 ，解决 了一类 等价 类 问题 。 关键词 ： 阵树 定理 ；欧拉 图 ； 矩 生成 树 ； 邮递 员 问题 ； 进制 ｄ ｒ ｉ 二 ｅＢ ｕｊ ｎ序 列
列。
２ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ
３ Ｏ Ｏ 每 一个 等 价 类 都包 含一 个 以 ｎ个 ０开始 的一 个Ｏ序
有 向平 衡 图 Ｄ 中欧拉 回路 的个 数 与 图 Ｄ 的生 成树个 数 Ｔ（ ） 密切 的关 系 。 Ｄ有 定理 １连 通 的有 向平衡 图 Ｄ 的顶 点 集 为 Ｖ， ｅ 为图 中以点 ｖ为起 始 点 的边 ， 图 Ｄ 中从 边 ｅ出发 则 的欧拉 回路 的个 数 为 ＩＤ，） （ ｅ
２ ０
— １ — １ ｌ ０ — ｌ ２
一４ 所 以 ， Ｄ ， 图
０ — １
ｌ
矩阵树 定理 为 ： Ｇ 的 生成树 的个数 等 于 Ｈ 的 图 任 意一个代 数 余 子 式 的 值［ 。其 中 Ｈ 的 以 （ ） １ ］ 为 人 口元素 的代数余 子 式 的值 为 去掉 ｉ 和 ｊ 行 列元 素 的行 列式值再 乘 以 （ ） ｊ 一１ 。 。例 如 图 １ ｋｒｈ ｏｆ ＋ ， ｉｅ ｈ ｆ 矩
图G(p,q)的生成子图的构造与计数
（ １ ． Ｃｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ， Ａ ｎ ｈ ｉ ｎ Ｕ ｉｖ ｎ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ＆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， Ｈｕ ａ ｉ ｎ ｎ ａ Ａｎ ｈ ｉ ｎ ２ ３ ２ ０ ０ １ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ；
【 Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ］ Ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｓ ｐ ａ ｎ ｎ ｉ ｎ ｇ ｓ ｕ ｂ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｓ ｉ ｓ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ． Ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｕ ｎ ｔ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｏ ｆ ｓ ｐ ａ ｎ ｎ ｉ ｎ ｇ ｓ ｕ ｂ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｓ ａ ｒ ｅ ｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ ． ｈｅ Ｔ
矩阵树定理 边权和
矩阵树定理边权和矩阵树定理是图论中的一个重要定理，它可以用来计算带权无向图中的所有生成树个数。
这个定理是基于矩阵的特征值和特征向量的关系推导出来的。
在这篇文章中，我们将通过一个有趣的故事来介绍矩阵树定理的概念，并探讨它在现实生活中的应用。
故事开始于一个小镇，这个小镇由N个房屋和M条道路连接起来。
每条道路都有一个权值，代表着在这条道路上行走所需的时间。
我们的主人公小明是这个小镇的居民之一，他每天都要从家里出发去上班。
他发现，他可以选择不同的道路来到达目的地，但是他希望选择一条总时间最短的路线。
为了解决这个问题，小明决定使用矩阵树定理来计算所有可能的路线的总时间。
他首先将这个小镇的道路和房屋用无向图表示出来，其中每个房屋对应图中的一个节点，每条道路对应图中的一条边。
接下来，他将每条边的权值作为矩阵的元素，构建一个邻接矩阵。
小明发现，根据矩阵树定理，他可以通过计算邻接矩阵的一个特定的行列式来得到所有生成树的个数。
这个特定的行列式被称为Kirchhoff矩阵，它可以通过邻接矩阵减去一个度矩阵得到。
度矩阵是一个对角矩阵，其中每个元素表示对应节点的度数。
通过计算Kirchhoff矩阵的特征值，小明可以得到所有生成树的个数。
然后，他可以使用这些信息来选择总时间最短的路线。
具体来说，他可以计算每条边在所有生成树中出现的概率，然后将每条边的权值乘以对应的概率，最后将所有边的权值相加，得到总时间最短的路线。
小明将这个方法应用于他的日常通勤路线选择中，发现它非常有效。
他可以根据道路的权值和生成树的个数来做出最优的决策，从而节省了很多时间。
他的同事们也受到了他的启发，纷纷开始使用矩阵树定理来解决类似的问题。
通过这个故事，我们可以看到矩阵树定理不仅是一个抽象的数学定理，而且在解决实际问题中具有重要的应用价值。
它可以帮助我们计算带权无向图中的所有生成树个数，并在此基础上做出最优的决策。
无论是在日常生活还是在工作中，矩阵树定理都可以为我们提供有力的支持，帮助我们更好地解决问题。