新教材苏教版必修第二册 11.1 余弦定理 课件(51张)
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
①a2=b2+c2-2bccos A;②cos A= b2 c2 a2 ,同时还要熟练掌握运用两种形式的
2bc
条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住30°,45°,60°
等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.
【题组训练】 1.在△ABC中,边a,b的长是方程 x2-5x+2=0的两个根,C=60°,则边c=________. 【解析】由题意得:a+b=5,ab=2. 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab =(a+b)2-3ab=52-3×2=19,所以c1=9 . 答案: 19
2.在△ABC中,已知b=3,c=3 3 ,B=30°,则角C=________. 【解析】由余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 得32=a2+(33 )2-2a×3 3×cos 30°, 所以a2-9a+18=0,得a=3或6. 当a=3时,A=30°,所以C=120°. 当a=6时,因为32+(3 3)=2 9+27=36=62. 所以A=90°,所以C=60°. 答案:60°或120°
2
5
5
由余弦定理得,AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C,
则AB2=25+1-2×5×1×( 3) =32,
5
所以AB=42 .
【解题策略】 已知两边及其夹角的三角形的解法 首先直接利用余弦定理求出第三边,其次再利用余弦定理求出一个角,最后利用 内角和为π得出第三个角.
角度2 已知两边及一边对角解三角形
【解题策略】已知两边及角解三角形 (1)已知两边及其夹角可以直接运用余弦定理求解,如果已知两边及一边对角亦 可以运用余弦定理,此时选用含有此角的形式的余弦定理,然后解关于未知边作 为变量的一元二次方程,解出未知量后根据内角和为π或者利用大边对大角、 小边对小角加以检验.
(2)应用余弦定理应该注意的事项:一定要熟记两种形式:
218 42 14
所以sin∠BAC= 1 (11)2 ,5 3
14 14
cos α=cos(∠BAC+60°)=cos∠BACcos 60°-sin∠BACsin 60°=
11 1 5 3 , 3 1
14 2 14 2 7
所以缉私艇用时最短的追赶方向(方位角α)的余弦值是 . 1
7
【解题策略】解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的
【典例】若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则 ab=________. 【思路导引】把已知关系式化简,根据化简结果和C=60°求出ab即可.
【变式探究】
本例的条件若改为“在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,b=a+1=c+2,
且cos C= 4 ”,则△ABC的周长为________.
(1)求PA的长度; (2)现要更改卡口B的位置,使得卡口B能在最短时间内截获来自P处的信号,求此 时P,B两点间的距离.
A. 3 2
B. 3 3
C.3
2
2
2
D.3 3
【解析】选B.由BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A,可得13=9+16-2×3×4×cos A
cos A = 1 .
因为A为△2ABC的内角,所以A=π
3
,所以AC边上的高为AB·sin
A=3×3 = 3 3
22
.
类型三 余弦定理的综合应用(数学运算) 角度1 求值问题
关键能力·合作学习
类型一 已知两边及其一角解三角形(数学运算)
角度1 已知两边及夹角解三角形
【典例】在△ABC中,cos C 5 ,BC=1,AC=5,求AB的长.
25
【思路导引】首先利用二倍角公式求出cos C,然后利用余弦定理求出AB的长.
【解析】cos C=2cos2C -1=2×( 5 )-21=- 3,在△ABC中,
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例.
()
(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形.
()
(3)在△ABC中,已知两边和其夹角时,△ABC不唯一.
()
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=4,b=5,c= 61 ,则角C等于 ()
(1)三角形的元素 三角形的_三__个__角__A_,_B_,_C_和它们的_对__边___a_,_b_,_c_叫作三角形的元素.
(2)解三角形
已知三角形的_几__个__元__素__求其他_元__素__的过程叫作解三角形.
【思考】已知三角形的三个角能不能解三角形? 提示:根据余弦定理知,已知三角形的两边及一角或已知三角形的三条边,可以解 三角形,根据三角形的三个角,无法解三角形.
即(21x)2=182+(15x)2-2×18×15x×cos 120°, 化简得4x2-5x-6=0,解得x=2或x=3- (不合题意,舍去);
4
所以缉私艇追上走私船所需的最短时间是2小时.
(2)在△ABC中,AB=18,AC=42,BC=30,
所以cos∠BAC=182 422 30,2 11
推论
b2 +c2 a2
a2 +c2 b2
a2 b2 c2
cos A 2bc
cos B=
2ac
cosC= 2ab
(2)本质:把用SAS、SSS判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画,即 把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式. (3)应用:已知三角形的两边及一角求其他边和角或已知三角形的三边,求三角 形的三角.
【典例】在△ABC中,若AB= 13 ,BC=3,∠C=120°,则AC= ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【思路导引】利用余弦定理求出AC,再检验方程的根.
【解析】选A.由余弦定理得,AB2=BC2+AC2-2BC·ACcos C,将各值代入得
AC2+3AC-4=0,解得AC=1或AC=-4(舍去).
A.120°
B.90°
C.60°
D.45°
【解析】选A.由余弦定理的推论,得cos C= a2 +b2 -c2= 42 52 ( 61)2 1 ,
2ab
245
2
所以C=120°.
3.(教材二次开发:例题改编)已知在△ABC中,a=1,b=2,C=60°,则c=________. 【解析】由余弦定理,得c2=12+22-2×1×2×cos 60°=3,所以c= . 3 答案: 3
所以 c2 4c2 = , 1
2bc 4
4
2bc
所以 3c =，所1 以
2b 4
×b 4==3 6.
c2
备选类型 余弦定理的实际应用(数学建模) 【典例】(2020·成都高一检测)如图,海面上一走私船正以每小时15海里的速 度沿方位角120°方向航行,距离走私船18海里处的缉私艇测得该走私船当前的 方位角为60°,并即刻以每小时21海里的速度径直追赶.
C.135°
D.150°
3.在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b-c),则A等于 ( )
A.90°
B.60°
C.120°
D.150°
3.选B.因为(a+c)(a-c)=b(b-c),
所以b2+c2-a2=bc, 所以cos A=b2 c2 a.2 = 1
2bc 2
因为0°<A<180°,所以A=60°.
【解题策略】已知三角形的三边解三角形的方法 (1)利用余弦定理的推论求出两个角,最后利用三角形的内角和定理求出第三个 角. (2)若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三 边求解.
【补偿训练】 (2020·苏州高一检测)在△ABC中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则AC边上的高为 ( )
【思考】
已知三角形的两边及其夹角,三角形的其他元素是否唯一确定?
提示:当已知两边及其夹角时,不妨设a,b边和其夹角C已知,由余弦定理可知,
c2 a2-2abb2 cosC,c唯一,cos B=
a2,因 c为2 -b02<B<π,所以B唯一,从而
2ac
A也唯一,所以三角形其他元素唯一确定.
2.三角形的元素与解三角形
5
【解析】由余弦定理得
cos
C=a 2
b2 -c2
=
a2
（a
1）2 -（a-1）2 =
4
2ab
2a（a+1） 5
解得a=4.所以b=5,c=3.所以△ABC的周长为12.
答案:12
角度2 判断三角形的形状 【典例】在△ABC中,若b2sin 2C+c2sin 2B=2bccos Bcos C,试判断△ABC的形状.
C.直角三角形
D.等边三角形
()
【解析】选D.在△ABC中,因为A=60°,a2=bc,所以由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc,所以bc=b2+c2-bc,即(b-c)2=0, 所以b=c,结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形.
3.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则
第11章 解三角形 11.1 余弦定理
必备知识·自主学习
1.余弦定理 (1)定理
公式 表达
a2= _b_2_+_c_2-_2_b_c_c_o_s__A_, b2= _a_2_+_c_2-_2_a_c_c_o_s__B_, c2= _a_2_+_b_2-_2_a_b_c_o_s__C_
语言 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边 余弦 叙述 与它们夹角的余弦的积的两倍 定理
【思路导引】先将正弦转化为余弦,化简后利用余弦定理的推论判断.
【解析】将已知等式变形为b2(1-cos 2C)+c2(1-cos 2B)=2bccos Bcos C.
即b2+c2=b2cos2C+c2cos2B+2bccos Bcos C
=(bcos C+ccos B)2
=（b • a2 +b2 -c2 +c • a2 +c2 -b2 ）2
(1)求缉私艇追上走私船所需的最短时间; (2)求缉私艇用时最短的追赶方向(方位角α)的余弦值. 【思路导引】 (1)设缉私艇追上走私船的最短时间为x小时,利用余弦定理列方程求出x的值; (2)利用余弦定理和两角和的余弦值,即可求出缉私艇用时最短的追赶方向(方 位角α)的余弦值.
则AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC;
【题组训练】 1.(2020·朔州高二检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若(a2+b2-c2)·tan C=ab,则角C的值为 ( )
A. π
6
C.π 或 5π
66
B.π
3
D. π 或 2π
33
2.在△ABC中,A=60°,a2=bc,则△ABC一定是
A.锐角三角形
B.钝角三角形
2ab
2ac
=
2a 2 (
)2 =a2.
2a
所以A=90°.所以△ABC是直角三角形.
【解题策略】 利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 (1)化边的关系:将条件中的角,利用余弦定理化为边的关系,再变形条件进行判 断. (2)化角的关系:将条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换得出关系进行 判断.
△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
【补偿训练】
(2020·鲁山高二检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
a2-b2=4c2,cos A=- 1 ,则 b = ( )
4c
A.6Fra Baidu bibliotek
B.5
C.4
D.3
【解析】选A.由已知得a2-b2=4c2,由余弦定理可得-1 =cos A=b2 c2 ,a2
关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型; (3)根据题意选择余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算 的要求等.
【跟踪训练】 (2020·泰州高一检测)如图,在西部某边防警戒线上有一笔直的公路上,武警边 防支队在点A,B,C处设置了治安卡口,B,C两点到A的距离分别为11千米和32千米, 某一天,B收到来自防控目标P的一个特殊无线信号,7秒后A,C同时接收到该无线 信号,已知该特殊无线信号在空气中的传播速度是1千米/秒.(假设该无线信号 沿直线传播)
类型二 已知三边解三角形(数学运算) 【题组训练】1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=4,b=3,c= 13 , 则C= ( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
2.(2020·合肥高一检测)已知三角形三边之比为5∶7∶3,则最大角为 ( )
A.90°
B.120°
2bc
条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住30°,45°,60°
等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.
【题组训练】 1.在△ABC中,边a,b的长是方程 x2-5x+2=0的两个根,C=60°,则边c=________. 【解析】由题意得:a+b=5,ab=2. 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab =(a+b)2-3ab=52-3×2=19,所以c1=9 . 答案: 19
2.在△ABC中,已知b=3,c=3 3 ,B=30°,则角C=________. 【解析】由余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 得32=a2+(33 )2-2a×3 3×cos 30°, 所以a2-9a+18=0,得a=3或6. 当a=3时,A=30°,所以C=120°. 当a=6时,因为32+(3 3)=2 9+27=36=62. 所以A=90°,所以C=60°. 答案:60°或120°
2
5
5
由余弦定理得,AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C,
则AB2=25+1-2×5×1×( 3) =32,
5
所以AB=42 .
【解题策略】 已知两边及其夹角的三角形的解法 首先直接利用余弦定理求出第三边,其次再利用余弦定理求出一个角,最后利用 内角和为π得出第三个角.
角度2 已知两边及一边对角解三角形
【解题策略】已知两边及角解三角形 (1)已知两边及其夹角可以直接运用余弦定理求解,如果已知两边及一边对角亦 可以运用余弦定理,此时选用含有此角的形式的余弦定理,然后解关于未知边作 为变量的一元二次方程,解出未知量后根据内角和为π或者利用大边对大角、 小边对小角加以检验.
(2)应用余弦定理应该注意的事项:一定要熟记两种形式:
218 42 14
所以sin∠BAC= 1 (11)2 ,5 3
14 14
cos α=cos(∠BAC+60°)=cos∠BACcos 60°-sin∠BACsin 60°=
11 1 5 3 , 3 1
14 2 14 2 7
所以缉私艇用时最短的追赶方向(方位角α)的余弦值是 . 1
7
【解题策略】解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的
【典例】若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则 ab=________. 【思路导引】把已知关系式化简,根据化简结果和C=60°求出ab即可.
【变式探究】
本例的条件若改为“在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,b=a+1=c+2,
且cos C= 4 ”,则△ABC的周长为________.
(1)求PA的长度; (2)现要更改卡口B的位置,使得卡口B能在最短时间内截获来自P处的信号,求此 时P,B两点间的距离.
A. 3 2
B. 3 3
C.3
2
2
2
D.3 3
【解析】选B.由BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A,可得13=9+16-2×3×4×cos A
cos A = 1 .
因为A为△2ABC的内角,所以A=π
3
,所以AC边上的高为AB·sin
A=3×3 = 3 3
22
.
类型三 余弦定理的综合应用(数学运算) 角度1 求值问题
关键能力·合作学习
类型一 已知两边及其一角解三角形(数学运算)
角度1 已知两边及夹角解三角形
【典例】在△ABC中,cos C 5 ,BC=1,AC=5,求AB的长.
25
【思路导引】首先利用二倍角公式求出cos C,然后利用余弦定理求出AB的长.
【解析】cos C=2cos2C -1=2×( 5 )-21=- 3,在△ABC中,
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例.
()
(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形.
()
(3)在△ABC中,已知两边和其夹角时,△ABC不唯一.
()
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=4,b=5,c= 61 ,则角C等于 ()
(1)三角形的元素 三角形的_三__个__角__A_,_B_,_C_和它们的_对__边___a_,_b_,_c_叫作三角形的元素.
(2)解三角形
已知三角形的_几__个__元__素__求其他_元__素__的过程叫作解三角形.
【思考】已知三角形的三个角能不能解三角形? 提示:根据余弦定理知,已知三角形的两边及一角或已知三角形的三条边,可以解 三角形,根据三角形的三个角,无法解三角形.
即(21x)2=182+(15x)2-2×18×15x×cos 120°, 化简得4x2-5x-6=0,解得x=2或x=3- (不合题意,舍去);
4
所以缉私艇追上走私船所需的最短时间是2小时.
(2)在△ABC中,AB=18,AC=42,BC=30,
所以cos∠BAC=182 422 30,2 11
推论
b2 +c2 a2
a2 +c2 b2
a2 b2 c2
cos A 2bc
cos B=
2ac
cosC= 2ab
(2)本质:把用SAS、SSS判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画,即 把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式. (3)应用:已知三角形的两边及一角求其他边和角或已知三角形的三边,求三角 形的三角.
【典例】在△ABC中,若AB= 13 ,BC=3,∠C=120°,则AC= ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【思路导引】利用余弦定理求出AC,再检验方程的根.
【解析】选A.由余弦定理得,AB2=BC2+AC2-2BC·ACcos C,将各值代入得
AC2+3AC-4=0,解得AC=1或AC=-4(舍去).
A.120°
B.90°
C.60°
D.45°
【解析】选A.由余弦定理的推论,得cos C= a2 +b2 -c2= 42 52 ( 61)2 1 ,
2ab
245
2
所以C=120°.
3.(教材二次开发:例题改编)已知在△ABC中,a=1,b=2,C=60°,则c=________. 【解析】由余弦定理,得c2=12+22-2×1×2×cos 60°=3,所以c= . 3 答案: 3
所以 c2 4c2 = , 1
2bc 4
4
2bc
所以 3c =，所1 以
2b 4
×b 4==3 6.
c2
备选类型 余弦定理的实际应用(数学建模) 【典例】(2020·成都高一检测)如图,海面上一走私船正以每小时15海里的速 度沿方位角120°方向航行,距离走私船18海里处的缉私艇测得该走私船当前的 方位角为60°,并即刻以每小时21海里的速度径直追赶.
C.135°
D.150°
3.在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b-c),则A等于 ( )
A.90°
B.60°
C.120°
D.150°
3.选B.因为(a+c)(a-c)=b(b-c),
所以b2+c2-a2=bc, 所以cos A=b2 c2 a.2 = 1
2bc 2
因为0°<A<180°,所以A=60°.
【解题策略】已知三角形的三边解三角形的方法 (1)利用余弦定理的推论求出两个角,最后利用三角形的内角和定理求出第三个 角. (2)若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三 边求解.
【补偿训练】 (2020·苏州高一检测)在△ABC中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则AC边上的高为 ( )
【思考】
已知三角形的两边及其夹角,三角形的其他元素是否唯一确定?
提示:当已知两边及其夹角时,不妨设a,b边和其夹角C已知,由余弦定理可知,
c2 a2-2abb2 cosC,c唯一,cos B=
a2,因 c为2 -b02<B<π,所以B唯一,从而
2ac
A也唯一,所以三角形其他元素唯一确定.
2.三角形的元素与解三角形
5
【解析】由余弦定理得
cos
C=a 2
b2 -c2
=
a2
（a
1）2 -（a-1）2 =
4
2ab
2a（a+1） 5
解得a=4.所以b=5,c=3.所以△ABC的周长为12.
答案:12
角度2 判断三角形的形状 【典例】在△ABC中,若b2sin 2C+c2sin 2B=2bccos Bcos C,试判断△ABC的形状.
C.直角三角形
D.等边三角形
()
【解析】选D.在△ABC中,因为A=60°,a2=bc,所以由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc,所以bc=b2+c2-bc,即(b-c)2=0, 所以b=c,结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形.
3.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则
第11章 解三角形 11.1 余弦定理
必备知识·自主学习
1.余弦定理 (1)定理
公式 表达
a2= _b_2_+_c_2-_2_b_c_c_o_s__A_, b2= _a_2_+_c_2-_2_a_c_c_o_s__B_, c2= _a_2_+_b_2-_2_a_b_c_o_s__C_
语言 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边 余弦 叙述 与它们夹角的余弦的积的两倍 定理
【思路导引】先将正弦转化为余弦,化简后利用余弦定理的推论判断.
【解析】将已知等式变形为b2(1-cos 2C)+c2(1-cos 2B)=2bccos Bcos C.
即b2+c2=b2cos2C+c2cos2B+2bccos Bcos C
=(bcos C+ccos B)2
=（b • a2 +b2 -c2 +c • a2 +c2 -b2 ）2
(1)求缉私艇追上走私船所需的最短时间; (2)求缉私艇用时最短的追赶方向(方位角α)的余弦值. 【思路导引】 (1)设缉私艇追上走私船的最短时间为x小时,利用余弦定理列方程求出x的值; (2)利用余弦定理和两角和的余弦值,即可求出缉私艇用时最短的追赶方向(方 位角α)的余弦值.
则AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC;
【题组训练】 1.(2020·朔州高二检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若(a2+b2-c2)·tan C=ab,则角C的值为 ( )
A. π
6
C.π 或 5π
66
B.π
3
D. π 或 2π
33
2.在△ABC中,A=60°,a2=bc,则△ABC一定是
A.锐角三角形
B.钝角三角形
2ab
2ac
=
2a 2 (
)2 =a2.
2a
所以A=90°.所以△ABC是直角三角形.
【解题策略】 利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 (1)化边的关系:将条件中的角,利用余弦定理化为边的关系,再变形条件进行判 断. (2)化角的关系:将条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换得出关系进行 判断.
△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
【补偿训练】
(2020·鲁山高二检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
a2-b2=4c2,cos A=- 1 ,则 b = ( )
4c
A.6Fra Baidu bibliotek
B.5
C.4
D.3
【解析】选A.由已知得a2-b2=4c2,由余弦定理可得-1 =cos A=b2 c2 ,a2
关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型; (3)根据题意选择余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算 的要求等.
【跟踪训练】 (2020·泰州高一检测)如图,在西部某边防警戒线上有一笔直的公路上,武警边 防支队在点A,B,C处设置了治安卡口,B,C两点到A的距离分别为11千米和32千米, 某一天,B收到来自防控目标P的一个特殊无线信号,7秒后A,C同时接收到该无线 信号,已知该特殊无线信号在空气中的传播速度是1千米/秒.(假设该无线信号 沿直线传播)
类型二 已知三边解三角形(数学运算) 【题组训练】1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=4,b=3,c= 13 , 则C= ( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
2.(2020·合肥高一检测)已知三角形三边之比为5∶7∶3,则最大角为 ( )
A.90°
B.120°