2011年清华自主招生数学试题和答案解析

2011年高水平大学自主招生选拔学业能力测试数学注意事项：1. 答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设复数z 满足|z|<1且15|z+|2z=，则|z |=（ ） A 45 B 34 C 23 D 12解析：设|z |a bi =+代入15|z+|2z =整理得22221174a b a b ++=+，又|z |<1，所以2214a b +=，|z |=12=（2）在正四棱锥P-ABCD 中，M 、N 分别为PA 、PB 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切.则异面直线DM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A13 B 16 C 18 D 112解析：设2AB =,容易算出2PB =,以底面中心为原点建立空间坐标系，1111(1,1,0),(1,1,0),(,,(,,222222D A M N ------，由1cos 6|DM AN ||DM ||AN |θ⋅==⋅uuu u r uuu ruuuu r uuu r （3）过点(1,1)-的直线l 与曲线3221y x x x =--+相切，且(1,1)-不是切点，则直线l 的斜率是（ ）A 2B 1C 1-D 2-解析：32221(),()322y x x x f x f x x x '=--+==--，设切点(),()t f t ，()()()y f t f t x t '-=-，把(1,1)-代入且1t ≠-得到1t =，所以2k =-（4）若23A B π+=,则22cos cos A B +的最小值和最大值分别为（ ）A.312-， B.1322，C.11D.112， 解析：2222211cos cos cos cos ()1cos(2)323A B A A A ππ+=+-=++，选B （5）如图，1O e 和2O e 外切于点C ，1O e ，2O e 又都和O e 内切，切点分别为,A B . 设AOB ACB αβ∠=∠=，，则（ ） A cos sin02αβ+= B sin cos02αβ-=C sin 2sin 0βα+=D sin 2sin 0βα-= 解析：连接12O O 过点C ，设12CAO CBO ∠=∠∠=∠，，12O C O C 、，则+1+2=+21+22=βαπ∠∠∠∠,即2=βαπ-，只有D 是错的。

（6）已知异面直线,a b 成060角，A 为空间中一点，则过A 与,a b 都成045角的平面（ ） A 有且只有一个 B 有且只有两个 C 有且只有三个 D 有且只有四个解析：060，范围是00,60⎡⎤⎣⎦，有两个；0120，范围是00,30⎡⎤⎣⎦，没有。

选B（7）已知向量11(0,1)()(),(1,1)2222a b c xa yb zc ==--=-++=r r r r r r ，，.则 222x y z ++的最小值为（ ）A 1 B43 C 32D 2 解析：由11(0,1)()),(1,1)22a b c xa yb zc ==-=-++=r r r r r r ，，消去,x z 整理得到 222243(3x y z y ++=++，选B （8）AB 为过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 为坐标原点，且0135OFA ∠=,C 为抛物线准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为（ ） A 5 C 3 D 3解析：直线AB 方程是1y x =-，联立抛物线24y x =解得ECBFDA(32(32A B ++--，容易算出直线AC,BC 的斜率，由tan()αβ+得到ACB ∠的正切值为（9）如图，已知ABC ∆的面积为2,D ，E 分别为边AB ,边AC 上的点，F 为线段DE 上一点，设AD AE DFx y z AB AC DE===，，，且1y z x +-=，则BDF ∆面积的最大值为（ ） A8B 1027C 1427D 1627 ,1,BDE ABE ABEABCS S S S z x y ∆∆∆∆==-=，于是(1)2BDF ABCS S z x y∆∆-=联立1y z x +-= 得到[]2()(2(122BDF ABCS S zy zyy zzy ∆∆=-+≤-=- 3(14822432727BDF S ∆⎡⎤-++⎢⎥≤=∴≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦（10）将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（ ）A 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形B 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形C 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形D 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形 解析：思路暂缺。

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（11）（本小题满分14分）已知BC A ∆不是直角三角形.（I ）证明：tan tan tan tan tan tan A BC A B C ++=； （II tan tan 1tan B CC A+-=，且sin 2sin 2sin 2A B C ，，的倒数成等差数列. 求cos2A C-的值.（12）（本小题满分14分）已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）.质量为b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处。

（I ）若3b a =，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （II ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？（13）（本小题满分14分）已知函数212()(1)1().23x f x f f ax b ===+，， 令111()2n n x x f x +==，（I ）求数列{}n x 的通项公式； （II ）证明121>2n x x x e⋅⋅⋅.（14）（本小题满分14分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，12,F F 分别为C 的左，右焦点。

P 为C 右支上一点，且使123F PF ∠=π，又12F PF ∆的面积为2.（Ⅰ）求C 的离心率e ；（Ⅱ）设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数(0)λλ>，使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立。

若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.（15）将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以n p 表示未出现连续3次正面的概率.（Ⅰ）求1234,,p p p p 和；（Ⅱ）探究数列{}n p 的递推公式，并给出证明；（Ⅲ）讨论数列{}n p 的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义.2011年高水平大学自主选拔学业能力测试数学解答题试题、参考答案、评分标准（11）已知△ABC不是直角三角形.（Ⅰ）证明：tan tan tan tan tan tanA B C A B C++=；tan tan1tanB CCA+-=，且sin2A，sin2B，sin2C的倒数成等差数列，求cos2A C-的值.评分标准：（Ⅰ）证法1：由A B Cπ++=，得A B Cπ+=-，由△ABC不是直角三角形，上式两端同时取正切，得()tan tanA B C+=-，展开，得tan tantan1tan tanA BCA B+=--⋅，去分母，整理得tan tan tan tan tan tanA B C A B C++=. ……………5分证法2：()tan tan tan tan tan tanA B C A B A B++=+-+tan tantan tan1tan tanA BA BA B+=+--⋅()()()tan tan1tan tan tan tan1tan tanA B A B A BA B+-⋅-+=-⋅()tan tan tan tantan tan tan1tan tanA B A BA B CA B-+⋅==-⋅. ……………5分证法3：由()tan0A B C++=，得()()tan tan1tan tanA B CA B C++=-+，分子()tan tantan tan tan01tan tanB CA B C AB C+++=+=-，整理即得结论. ……………5分证法4：sin sin sintan tan tancos cos cosA B CA B CA B C++=++sin cos cos sin cos cos sin cos coscos cos cosA B C B A C C A BA B C++=()sin cos cos coscos sin sin cos coscos cos cos cos cos cosC C A BC C C A BA B C A B C++==sin sin sintan tan tancos cos cosC A BA B CA B C==. ……………5分tan tan1tanB CCA+-=及（Ⅰ），得tan tan tan tan tan tan tanA C ABC A B C⋅=++=⋅⋅，因为(),0,A Cπ∈，所以tan B=，得3Bπ=，……………7分由sin2A，sin2B，sin2C的倒数成等差数列，得211sin2sin2sin2B A C=+，)sin2sin24sin2sin2A C A C+=⋅，由积化和差及和差化积公式，得()()()()cos2cos2cos2A C A C A C A C+-=-+--⎡⎤⎣⎦，将23A Cπ+=代入上式，整理得()()2cos23cos10A C A C---+=，所以()()24cos3cos10A C A C----=，解得()cos1A C-=或()1cos4A C-=-，……………12分由cos2A C-=得cos12A C-=或cos2A C-=……………14分阅卷说明：1、第（Ⅰ）问5分或0分，通常只要有()tan tantan tan1tan tanA BC A BA B+=-+=--⋅，后面作差或通分通常会对.2、第（Ⅰ）问凡是用余弦定理的学生，只要有主要推导步骤，没有核心步骤就得出证明的等式不能给分.3、第（Ⅰ）、（Ⅱ）两问独立给分.4、第（Ⅱ）问有3个得分点：得出tan B=或3Bπ=给2分；然后直接找()cos1A C-=或()1cos4A C-=-，全对给5分，否则不给分；最后看cos12A C-=或cos2A C-=2分，否则不给分.多解、少解、错解均不给分！（12）已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立平放），质量为b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯重心还在圆柱轴的中点处.（Ⅰ）若b =3a ，求装入半杯水后的水杯的重心与水杯高的比值； （Ⅱ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？ 评分标准：（Ⅰ）解：设杯高为l ，设装水后水杯的重心与水杯底面的距离为h ，半杯水质量为322b a=， 水的重心与水杯底面的距离为14，所以131()()422a h a h -=-， ……………4分 解得720h =， 所以水杯的重心与水杯高的比值是720. ……………6分 （Ⅱ）解：设装入水的质量为xb 克时水杯重心最低，则水的重心与水杯底面的距离为2x ， 设装水后水杯的重心与水杯底面的距离为y ，所以122x xb y a y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得()22bx a y a bx +=+， ……………9分由()22222b x abx ab y a bx +-'=+，令0y '=，解得x =（负值舍去），a 克水时，重心最低. ……………14分阅卷说明： 第（Ⅰ）问： 1、先看结果720对，即得6分； 2、结果不是720，再往上看131()()422a h a h -=-对得4分，否则得0分.第（Ⅱ）问：1a 克对，第2问得满分（8分），第1问亦对时，即得14分；2a ，再往上看()22bx ay a bx +=+是否对，对得小分（3分），第1问亦对时，即得9分.否则第2问得0分.注意除标准解答中解析式外，以下解析式也正确：①设装入水的质量为x 克时，()()22x abf x h b a x +=⋅+（h 为杯高）； ②设装水后，水面距杯底高度为x ，则()2222ah bx f x ah bx +=+（h 为杯高）；③设装水后，水面距杯底高度为xh ，则()()22bx af x h a bx +=⋅+（h 为杯高）.（13）已知函数()2x f x ax b =+，()11f =，12()23f =，令112x =，()1n n x f x +=. （Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式； （Ⅱ）证明：12312n x x x x e⋅⋅⋅>. 评分标准：（Ⅰ）解法一：由()11f =，12()23f =，解得1a =，1b =，所以()21xf x x =+， ……………5分 则121n n n x x x +=+，即1111122n n x x +=⋅+，则1111112n n x x +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 令1n n y x =，从而有()11112n n y y +-=-， 又111y -=，可知12n n y -+=，故11221n n n x --=+. ……………10分解法二：同解法一求出()21xf x x =+， ……………5分 由112x =，求出223x =，345x =，489x =，猜想出11221n n n x --=+. ………7分证明：1）当n =1时，112x =满足11221n n n x --=+；2）假设当n =k 时成立，即11221k k k x --=+，则当1n k =+时，()122121kk k k k k x x f x x +===++， 所以当1n k =+时结论成立.由1）2）知，11221n n n x --=+. ……………10分解法三：同解法一求出()21xf x x =+， ……………5分则121n n n x x x +=+，即1111122n n x x +=⋅+，令1n n y x =，则11122n n y y +-=， 11122n n y y --=， 121122n n y y ---=， ………321122y y -=， 211122y y -=， 以上式子分别乘以012⎛⎫ ⎪⎝⎭，112⎛⎫ ⎪⎝⎭，212⎛⎫ ⎪⎝⎭，……，212n -⎛⎫⎪⎝⎭，112n -⎛⎫⎪⎝⎭，相加1211111()1()()2222n n n y -+-=+++⋅⋅⋅+， ……………………7分所以1212n n n y ++=，则11221n n n x --=+………………………10分注：若将11122n n y y +-=变形为11222n n n n n x x ++=-，得用累加或其他方法等同于此法 （Ⅱ）令()ln(1),(0)0,g x x x g =-+=，当0x >时，可知1()101g x x'=->+， 可知0ln(1)x x <+<，2311111111ln()[ln(1)ln(1)ln(1)]()1242242n n n x x x --⋅⋅⋅=-++++⋅⋅⋅++>-++⋅⋅⋅+>-12312n x x x x e ⋅⋅⋅>…………………………12分评卷说明：第（Ⅰ）问满分10分，分两个得分点计算： 1. 求出,a b 或求出()f x 得5分，否则得0分。