椭圆性质总结及习题

椭 圆

一.考试必“背”

1 椭圆的两种定义：

①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()

212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集

M={P|

e d PF

=，0＜e ＜1的常数

}。（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线）

2 标准方程：

（1）焦点在x 轴上，中心在原点：122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）；

焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -=

（一个∆Rt ）

（2）焦点在y 轴上，中心在原点：122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）；

焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -=

注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=

并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜

B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。

3．参数方程 ：椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 的参数方程

⎩⎨

⎧==θ

θ

sin cos b y a x )(为参数θ

4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12

2

22=+b

y a

x （a ＞b ＞0）有以下性质：

坐标系下的性质：

① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ；

② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；

（a 半长轴长，b 半短轴长）；

④ 准线方程：c

a x 2±

=；或c

a y 2

±=

⑤ 焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。|PF 1|=左r =a+ex 0，|PF 2|=右r =a-ex 0；

|PF 1|=下r =a+ey 0，|PF 2|=上r =a-ey 0;c a PF c a PF -=+=min max

,

平面几何性质： ⑥ 离心率：e=

a

c

（焦距与长轴长之比）()1,0∈；e 越大越______，0=e 是_____。 ⑦ 焦准距c b p 2=；准线间距c

a 2

2=

二、焦点三角形

结论一：若1F 、2F 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且

θ=∠21PF F ，当点P 位于___________时θ最大，cos θ=______________.

|PF 1||PF 2|的最大值为______________. 2

tan

2

21θ

b S PF F =∆

结论二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为__________。

结论三：已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b

y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形

21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率β

αβαsin sin )

sin(++=

e 。

结论四：四心的轨迹

(1)、)0(12222>>=+b a b y a x 焦点三角形内心的轨迹及其方程1)(22

22

22=++c a c b y c x ．

(2)、)0(122

22>>=+b a b

y a x 焦点三角形重心的轨迹及其方程：

)0(19922

22>>=+b a b

y a x (3)、)0(122

22>>=+b a b

y a x 焦点三角形垂心的轨迹及其方程：

22y =

(4)、)0(122

22>>=+b a b

y a x 焦点三角形的外心的轨迹及其方程

2

sin 2sin 2b c y b

θθ=-（22

||2b c y b -≥

）．

三．中点弦问题

AB 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的一条弦，中点M 坐标为00(,)x y ，则直线的斜率

为 。

四．弦长问题.

(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线相交于两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则所得的弦长 或 .

(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；

(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为利用 ，往往比利用弦长公式简单。 五．X 轴正半轴到椭圆的最短距离问题：

已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x ，则点(m ，O)到椭圆的最短距离为：_________________.

六．过椭圆上点切线问题

若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.

习 题

1、已知椭圆方程19

252

2=+y x ，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点的距离是2，N 是MF 1的中点，O

是椭圆的中心，那么线段ON 的长是（ ）

（A ）2

（B ）4

（C ）8 （D ）

2

3 2．点P 是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF 1F 2的内切圆半径为1，当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为_______________.

3.（2009年上海卷理）已知1F 、2F 是椭圆1

:22

22=+b y a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆

C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.

4.（2009北京文）椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则

2||PF =

；

12

F PF ∠的大小为 .

4．已知椭圆19

162

2=+y x 的左、右焦点分别为1F 、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）