椭圆性质整理讲解学习
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椭圆性质
1.
12||||2PF PF a +=
2. 标准方程：22
221x y a b
+=
3.
11
||
1PF e d =< 4. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
5. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去
长轴的两个端点.
6. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
7. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
8. 设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切
于A 2（或A 1）.
9. 椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时
A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=.
10. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b
+=.
11. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线
方程是
00221x x y y
a b
+=. 12. AB 是椭圆22
221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-.
13. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.
14. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.
15. 若PQ 是椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则
122222121111
(||,||)r OP r OQ r r a b
+=+==. 16. 若椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则
(1) 22
2211A B a b
+=+;(2) L =17. 给定椭圆1C ：2
2
2
2
22
b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：22
2222
22
2
()a b b x a y ab a b
-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点000(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M(2222
002
222(,)a b a b x y a b a b
---++. 18. 对2C 上任一点'
'
'
000(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'
0P 点.
19. 设000(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22
221x y a b
+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦P 0P 1, P 0P 2
斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是
2
122
11m b k k m a +⋅=-⋅-.
20. 过椭圆22
221x y a b
+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，
则直线BC 有定向且20
20
BC
b x k a y =（常数）. 21. 椭圆22
221x y a b
+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆
的焦点角形的面积为 12
2
tan 2
F PF S b γ
∆=，2
tan )2b P c γ . 22. 若P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,
21PF F β∠=，则
tan t 22
a c co a c αβ
-=+. 23. 椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,
2(,0)F c 00(,)M x y ).
24. 若椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可
在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
25. P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则
2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.
26. 椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是