一电场线电场的图示法
一电场线电场的图示法
q
E2
dS 2
dS1
E1
E dS 0
S
第八章静电场
由多个点电荷产生的电场
E E1 E2
S S i
q1
q2
E
dS
Φe E dS
Ei dS
s
S
qi
i (内）
S
Ei dS
S
选取闭合的柱形高斯面 底面积
E
S＇ 2 S＇ E 0 E 2 0
S＇
S＇
S＇
E
第八章静电场
E 2 0
E
O
x
( 0)
E
E E
E
第八章静电场
讨论
无 限 大 带 电 平 面 的 电 场 叠 加 问 题
0
0
0
（证明见附录）
？
第八章静电场
高斯定理的导出
库仑定律 电场强度叠加原理
高斯 定理
点电荷位于球面中心
E
S
q 4π 0r
S
2
r
2
dS
+
Φe E dS
q 4π 0r
dS
Φe
q
0
第八章静电场
点电荷在任意封闭曲面内
dΦe
q
2
4π 0r q dS＇ 2 4π 0 r
en
E
2
E
第八章静电场
dS
E
Φe dΦe E cosdS s
Φe E dS s S 为封闭曲面
几种典型电场线分布示意图及场强电势特点
匀强电场等量异种点电荷的电场等量同种点电荷的电场点电荷与带电平孤立点电荷周围的电场 几种典型电场线分布示意图及场强电势特点表重点一、场强分布图二、列表比较 下面均以无穷远处为零电势点，场强为零。
孤立的正点电荷 电场线直线，起于正电荷，终止于无穷远。
场强 离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点组成的球面上场强大小相等，方向不同。
电势离场源电荷越远，电势越低；与场源电荷等距的各点组成的球面是等势面，每点的电势为正。
等势面以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。
孤立的 负点电荷电场线直线，起于无穷远，终止于负电荷。
场强离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点组成的球面上场强大小相等，方向不同。
电势离场源电荷越远，电势越高；与场源电荷等距的各点组成的球面是等势面，每点的电势为负。
等势面以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。
等量同种负点电荷电场线大部分是曲线，起于无穷远，终止于负电荷；有两条电场线是直线。
电势每点电势为负值。
连线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是背离中点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。
电势由连线的一端到另一端先升高再降低，中点电势最高不为零。
中垂线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都沿着中垂线指向中点；由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个位置场强最大。
电势中点电势最低，由中点至无穷远处逐渐升高至零。
等量电场大部分是曲线，起于正电荷，终止于无穷远；有两条同种正点电荷线电场线是直线。
电势每点电势为正值。
连线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是指向中点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。
电势由连线的一端到另一端先降低再升高，中点电势最低不为零。
中垂线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都沿着中垂线指向无穷远处；由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个位置场强最大。
电荷电场线分布示意图及场强电势特点
等量同种负点电荷电场线大部分是曲线，起于无穷远，终止于负电荷；有两条电场线是直线。
电势每点电势为负值。
连线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是背离中点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。
电势由连线的一端到另一端先升高再降低，中点电势最高不为零。
中垂线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都沿着中垂线指向中点；由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个位置场强最大。
电势中点电势最低，由中点至无穷远处逐渐升高至零。
等量同种正点电荷电场线大部分是曲线，起于正电荷，终止于无穷远；有两条电场线是直线。
电势每点电势为正值。
连线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是指向中点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。
电势由连线的一端到另一端先降低再升高，中点电势最低不为零。
中垂线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都沿着中垂线指向无穷远处；由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个位置场强最大。
电势中点电势最高，由中点至无穷远处逐渐降低至零。
等量异种点电荷电场线大部分是曲线，起于正电荷，终止于负电荷；有三条电场线是直线。
电势中垂面有正电荷的一边每一点电势为正，有负电荷的一边每一点电势为负。
连线上场强以中点最小不等于零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相同，都是由正电荷指向负电荷；由连线的一端到另一端，先减小再增大。
电势由正电荷到负电荷逐渐降低，中点电势为零。
中垂线上场强以中点最大；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相同，都是与中垂线垂直，由正电荷指向负电荷；由中点至无穷远处，逐渐减小。
电势中垂面是一个等势面，电势为零（以无穷远处为零电势点，场强为零）（以无穷远处为零电势点，场强为零）注意：电场线、等势面的特点和电场线与等势面间的关系：①电场线的方向为该点的场强方向，电场线的疏密表示场强的大小。
几种典型电场线分布示意图及场强电势特点
解：先由W=qU，得AB间的电压为20V，再由已知分析：向右移动正电荷做负功，说明电场力向左，因此电场线方向向左，得出B点电势高。因此φB=16V。
例.α粒子从无穷远处以等于光速十分之一的速度正对着静止的金核射去（没有撞到金核上）。已知离点电荷Q距离为r处的电势的计算式为φ= ，那么α粒子的最大电势能是多大？由此估算金原子核的半径是多大？
以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。
等量同种负点电荷
电场线
大部分是曲线，起于无穷远，终止于负电荷；有两条电场线是直线。
电势
每点电势为负值。
连线上
场强
以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是背离中点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。
电势
由连线的一端到另一端先升高再降低，中点电势最高不为零。
连线上
场强
以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是指向中点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。
电势
由连线的一端到另一端先降低再升高，中点电势最低不为零。
中垂线上
场强
以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都沿着中垂线指向无穷远处；由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个位置场强最大。
2.带电粒子在匀强电场中的偏转
质量为m电荷量为q的带电粒子以平行于极板的初速度v0射入长L板间距离为d的平行板电容器间，两板间电压为U，求射出时的侧移、偏转角和动能增量。
电荷电场线分布示意图及场强电势特点
等量同种正点电荷
注意：电场线、等势面的特点和电场线与等势面间的关系：
①电场线的方向为该点的场强方向，电场线的疏密表示场强的大小。
②电场线互不相交，等势面也互不相交。
③电场线和等势面在相交处互相垂直。
④电场线的方向是电势降低的方向，而且是降低最快的方向。
⑤电场线密的地方等差等势面密；等差等势面密的地方电场线也密。
电容器动态变化的两类典型问题讨论
平行板电容器充电后，继续保持电容器两极板与电池两极相连接，若电容器的d 、S 、ε变化，将引起电容器的C 、Q 、U 、E 怎样变化：由于电容器始终连接在电池上，因此两板间的电压保持不变，可根据下列几式讨论C 、Q 、E 的变化情况
d
d U E d S kd SU CU Q d S kd S C 144∝=∝==∝= επεεπε 平行板电容器充电后，切断与电池的连接，若电容器的d 、S 、ε变化，将引起电容器的C 、Q 、U 、E 怎样变化：由于电容器充电后，切断与电池的连接，使电容器的带电量保持不变，可根据下列几式讨论C 、U 、E 的变化情况
S Q S kQ d kd
S Q Cd Q d S d S kdQ d kd d S kd S C εεππεεεππεεπε∝=⋅==∝=∝=44,4,4ＵＥ＝ ４ＳＱ ＣＱＵ＝。
大学物理 —— 第四章2 电通量 电场中的高斯定理
E • ds
s
0 r
qi
当场源分布具有高度对称性时求场强分布
步骤：１.对称性分析，确定
E
的大小、方向分布特征
２.作高斯面，计算电通量及 qi
３.利用高斯定理求解
例1．均匀带电球面
已知R、 q>0 求均匀带电球面的场强分布
解: 对称性分析
E
具有球对称
❖ 作高斯面 过P点的球面
R
r
P
通量
rR
e
E1 • ds E1
ds E14 r 2
rR r
通量
e
E2 • ds E2
P
ds E24 r2
s
s1
电量
qi 0
s
电量
s2
qi q
用高斯定理求解
E1 4r 2 0
E2 4r 2
q
0
E1 0
E2
q
4 0r 2
课 球体
堂
练 计算均匀带电球体内外的场强分布，已知q,R
电通量 电场中的高斯定理
一．电场线（电场的图示法）
方向 ：切线
E 大小：E dN =电场线密度
Ea
Eb
b
dS Ec
c
E
a
dS
E
性质： 静电场中，
不闭合；不相交 起于正电荷、 止于负电荷。
E
点电荷的电场线
负电荷
正电荷
+
一对等量异号电荷的电场线 +
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对异号不等量点电荷的电场线
)
等于这个闭合
曲面所包围的电荷的代数和除以 0 ，与闭合曲面外 的电荷无关。
第10-2章 静电场高斯定理
Φe dΦe s E dS s E cosdS
dS
dS
en
非均匀电场强度电通量
Φe s E dS s E cosdS
均匀电场 ，E垂直平面
Φe ES
S
均匀电场 ，E 与平面夹角
Φe E cos s dS ES cos
点电荷位于球面中心
q
E 4π 0r2
Φe
E dS
S
S
4π
q
0r2
dS
正
q负
q
电 荷
Φe
0
电 荷
Φe
0
r
+
高斯 定理
dS
点电荷q被任意曲面包围, 曲面的电通量等于多少? 通过 S 的电通量与通过 S 的电通量相等吗？
根据电力线的连续性
对球面S1
Φe
E dS
q
S1
0
对球面S2
§10-1 电荷与库仑定律 §10-２ 电场、电场强度 §10-３ 电场的高斯定理 §10-4 环路定理与电势
一 电场线 （电场的图示法）
规定 1） 曲线上每一点切线方向为该点电场强度方向
2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线根数为
该点电场强度的大小.
v E E dN / dS
特点
1） 始于正电荷,止于负电荷 2） 非源汇处电场线不相交 3） 静电场电场线不闭合
ES左
cosπ
ES左
Φe右 s右E dS ES右 cos ES左
Φe Φe前 Φe后 Φe左 Φe右 Φe下 0
封闭曲面内无电荷 凡例
问题： 任意磁场中，通过任意闭合曲面的电通量如何计算？
三 电场的高斯定理
几种典型电场线分布示意图及场强电势特点
匀强电场 等量异种点电荷的电场 等量同种点电荷的电场－ － － － 点电荷与带电平+孤立点电荷周围的电场几种典型电场线分布示意图及场强电势特点表重点一、场强分布图二、列表比较 下面均以无穷远处为零电势点，场强为零。
孤立的 正点电荷电场线直线，起于正电荷，终止于无穷远。
场强离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点组成的球面上场强大小相等，方向不同。
电势离场源电荷越远，电势越低；与场源电荷等距的各点组成的球面是等势面，每点的电势为正。
等势面以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。
孤立的 负点电荷电场线直线，起于无穷远，终止于负电荷。
场强 离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点组成的球面上场强大小相等，方向不同。
电势离场源电荷越远，电势越高；与场源电荷等距的各点组成的球面是等势面，每点的电势为负。
等势面以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。
等量同种负点电荷电场线大部分是曲线，起于无穷远，终止于负电荷；有两条电场线是直线。
电势每点电势为负值。
连线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是背离中点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。
电势由连线的一端到另一端先升高再降低，中点电势最高不为零。
中垂线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都沿着中垂线指向中点；由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个位置场强最大。
电势中点电势最低，由中点至无穷远处逐渐升高至零。
等量同种正点电荷电场线大部分是曲线，起于正电荷，终止于无穷远；有两条电场线是直线。
电势每点电势为正值。
连线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是指向中点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。
电势由连线的一端到另一端先降低再升高，中点电势最低不为零。
中垂线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都沿着中垂线指向无穷远处；由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个位置场强最大。
第6章 静电场(2)高斯定理
0
q
S内
高斯面S上积分
S内一切电荷代数和
请思考：1）高斯面上的 E 与哪些电荷有关 ？
2）哪些电荷对闭合曲面 的 Φ e 有贡献 ？ （1）通过闭合曲面的总电通量只决定于它所包围的电荷，闭合曲面外部的电 荷对总电通量无贡献．
s
（2）虽然电场强度通量只与面内电荷有关，但高斯面上的电场强度是由全部 电荷（既包括闭合曲面内又包括闭合曲面外的电荷）共同产生的总电场强度，并 非只由闭合曲面内的电荷所产生。
四. 高斯定理应用
具有某种对称性的电场，可应用高斯定理求解静电场的场强分布。
1 用高斯定理直接求场强的条件： Φe E dS S
0
q
S内
电场（电荷）的分布具有某种对称性（球、面、轴对称性），使得高斯 面上的 E 为一常数，且 E 与d S 夹角 为一常数（为0、 2 或 ）这样E 才能由积分号中提出，将积分运算化为代数运算。
与球心相距r , 当 R a r R b 时， 该点的电场 强度的大小为： (D)
1 4
0
(A)
Qa Qb r
2
1
(B)
4
0
Qa Qb r
2
1
(C)
4
(
0
Qa r
2Qb Rb2来自1)(D)
4
0
Qa r
2
解：作半径为r的同心球面为高斯面，由高斯定理
Qa 2 E d S 4 r E
E dS
S
EdS
S
E 4π r
2
1
0
S内
几种典型电场线分布示意图及场强电势特点.
匀强电场 等量异种点电荷的电场 等量同种点电荷的电场－ － － － 点电荷与带电平+孤立点电荷周围的电场几种典型电场线分布示意图及场强电势特点表一、场强分布图二、列表比较 下面均以无穷远处为零电势点，场强为零。
孤立的 正点电荷电场线直线，起于正电荷，终止于无穷远。
场强 离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点组成的球面上场强大小相等，方向不同。
电势离场源电荷越远，电势越低；与场源电荷等距的各点组成的球面是等势面，每点的电势为正。
等势面 以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。
孤立的 负点电荷电场线直线，起于无穷远，终止于负电荷。
场强 离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点组成的球面上场强大小相等，方向不同。
电势离场源电荷越远，电势越高；与场源电荷等距的各点组成的球面是等势面，每点的电势为负。
等势面 以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。
等量同种负点电荷电场线大部分是曲线，起于无穷远，终止于负电荷；有两条电场线是直线。
电势每点电势为负值。
连线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是背离中点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。
电势由连线的一端到另一端先升高再降低，中点电势最高不为零。
中垂线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都沿着中垂线指向中点；由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个位置场强最大。
电势中点电势最低，由中点至无穷远处逐渐升高至零。
等量同种正点电荷电场线大部分是曲线，起于正电荷，终止于无穷远；有两条电场线是直线。
电势每点电势为正值。
连线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是指向中点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。
电势由连线的一端到另一端先降低再升高，中点电势最低不为零。
中垂线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都沿着中垂线指向无穷远处；由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个位置场强最大。
几种典型电场线分布示意图及场强电势特点表
一、场强分布图二、列表比较下面均以无穷远处为零电势点，场强为零。
孤立的正点电荷电场线直线，起于正电荷，终止于无穷远。
场强离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点组成的球面上场强大小相等，方向不同。
电势离场源电荷越远，电势越低；与场源电荷等距的各点组成的球面是等势面，每点的电势为正。
等势面以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。
孤立的负点电荷电场线直线，起于无穷远，终止于负电荷。
场强离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点组成的球面上场强大小相等，方向不同。
电势离场源电荷越远，电势越高；与场源电荷等距的各点组成的球面是等势面，每点的电势为负。
等势面以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。
等量同种负点电荷电场线大部分是曲线，起于无穷远，终止于负电荷；有两条电场线是直线。
电势每点电势为负值。
连线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是背离中点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。
电势由连线的一端到另一端先升高再降低，中点电势最高不为零。
中垂线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都沿着中垂线指向中点；由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个位置场强最大。
电势中点电势最低，由中点至无穷远处逐渐升高至零。
等量电场线大部分是曲线，起于正电荷，终止于无穷远；有两条电场线是直线。
同种正点电荷电势每点电势为正值。
连线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是指向中点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。
电势由连线的一端到另一端先降低再升高，中点电势最低不为零。
中垂线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都沿着中垂线指向无穷远处；由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个位置场强最大。
电势中点电势最高，由中点至无穷远处逐渐降低至零。
几种典型电场线分布示意图及场强电势特点
匀强电场 等量异种点电荷的电场 等量同种点电荷的电场－ － － － 点电荷与带电平+孤立点电荷周围的电场几种典型电场线分布示意图及场强电势特点表一、场强分布图二、列表比较 下面均以无穷远处为零电势点，场强为零。
孤立的 正点电荷电场线直线，起于正电荷，终止于无穷远。
场强 离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点组成的球面上场强大小相等，方向不同。
电势离场源电荷越远，电势越低；与场源电荷等距的各点组成的球面是等势面，每点的电势为正。
等势面 以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。
孤立的 负点电荷电场线直线，起于无穷远，终止于负电荷。
场强 离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点组成的球面上场强大小相等，方向不同。
电势离场源电荷越远，电势越高；与场源电荷等距的各点组成的球面是等势面，每点的电势为负。
等势面 以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。
等量同种负点电荷电场线大部分是曲线，起于无穷远，终止于负电荷；有两条电场线是直线。
电势每点电势为负值。
连线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是背离中点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。
电势由连线的一端到另一端先升高再降低，中点电势最高不为零。
中垂线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都沿着中垂线指向中点；由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个位置场强最大。
电势中点电势最低，由中点至无穷远处逐渐升高至零。
等量同种正点电荷电场线大部分是曲线，起于正电荷，终止于无穷远；有两条电场线是直线。
电势每点电势为正值。
连线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是指向中点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。
电势由连线的一端到另一端先降低再升高，中点电势最低不为零。
中垂线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都沿着中垂线指向无穷远处；由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个位置场强最大。
几种典型电场线分布示意图及场强电势特点
几种典型电场线分布示意图及场强电势特点 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】匀强电等量异种点电荷的电等量同种点电荷－ － － 点电荷与带电+孤立点电荷周围的几种典型电场线分布示意图及场强电势特点表重点一、场强分布图二、列表比较 下面均以无穷远处为零电势点，场强为零。
孤立的 正点电荷 电场线直线，起于正电荷，终止于无穷远。
场强离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点组成的球面上场强大小相等，方向不同。
电势 离场源电荷越远，电势越低；与场源电荷等距的各点组成的球面是等势面，每点的电势为正。
等势面 以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。
孤立的 负点电荷 电场线直线，起于无穷远，终止于负电荷。
场强离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点组成的球面上场强大小相等，方向不同。
电势 离场源电荷越远，电势越高；与场源电荷等距的各点组成的球面是等势面，每点的电势为负。
等势面 以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。
等电场大部分是曲线，起于无穷远，终止于负电荷；有两条电场线量同种负点电荷线是直线。
电势每点电势为负值。
连线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是背离中点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。
电势由连线的一端到另一端先升高再降低，中点电势最高不为零。
中垂线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都沿着中垂线指向中点；由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个位置场强最大。
电势中点电势最低，由中点至无穷远处逐渐升高至零。
等量同种正点电荷电场线大部分是曲线，起于正电荷，终止于无穷远；有两条电场线是直线。
电势每点电势为正值。
连线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是指向中点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。
几种典型电场线分布示意图及场强电势特点
匀强电场等量异种点电荷的电场等量同种点电荷的电场 － － － －点电荷与带电平+孤立点电荷周围的电场 几种典型电场线分布示意图及场强电势特点表重点一、场强分布图二、列表比较 下面均以无穷远处为零电势点，场强为零。
孤立的正点电荷 电场线直线，起于正电荷，终止于无穷远。
场强 离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点组成的球面上场强大小相等，方向不同。
电势离场源电荷越远，电势越低；与场源电荷等距的各点组成的球面是等势面，每点的电势为正。
等势面以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。
孤立的负点电荷 电场线 直线，起于无穷远，终止于负电荷。
场强离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点组成的球面上场强大小相等，方向不同。
电势离场源电荷越远，电势越高；与场源电荷等距的各点组成的球面是等势面，每点的电势为负。
等势面以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。
等量同种负点电荷电场线大部分是曲线，起于无穷远，终止于负电荷；有两条电场线是直线。
电势每点电势为负值。
连线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是背离中点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。
电势由连线的一端到另一端先升高再降低，中点电势最高不为零。
中垂线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都沿着中垂线指向中点；由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个位置场强最大。
电势中点电势最低，由中点至无穷远处逐渐升高至零。
等量电场大部分是曲线，起于正电荷，终止于无穷远；有两条同种正点电荷线电场线是直线。
电势每点电势为正值。
连线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是指向中点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。
电势由连线的一端到另一端先降低再升高，中点电势最低不为零。
中垂线上场强以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都沿着中垂线指向无穷远处；由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个位置场强最大。
电通量_高斯定理
电量 ∑ qi = 0 由高斯定理 电量
P
r>R
∑q
i
= lλ
由高斯定理
E=0
λ E = 2π ε0 r
关于电通量
高斯定理的练习 1 Φ e = ∫ E • ds = ∑ qi
s
ε0
教材：P164 例1 P169 例2 P170例3 例4 P190 5-2 5-14 5-15 5-17 5-18 5-19 5-20 5-21
例.如图所示，一个带电量为 q 的点电荷位于正立方体的 A 角 上，则通过侧面 abcd 的电场 强度通量等于：
a
d
A
q
（A）q /6ε0 ; （B）q /12ε0 ； （C）q /24ε0 ; （D）q /36ε0 .
q
●q
●q
c
b
位于中 心 位于一顶点
过每一面的通量
[C] 若将此电荷移到正方体的一个顶点上，则通过整个正 方体表面的电场强度通量为 。q 8ε 0
3 r ρ 4 π 高斯定理 E 4 πr 2 = ε0 3
∑ qi ε0
ρr qr q 场强大小 E = = 场强大小 E = 3 4 πε 0 r 2 3ε 0 4 πε 0 R
q
∴E =
q e 2 r 4π ε0 r
r≥R
r≤R
oo RR
1 qr e, E= 3 r 4π ε0 R
5-4
电场强度通量
电场中的高斯定理
Eb
一．电场线（电场的图示法） c b 1、 E 方向：切线 E ∆N E a 2、 电场强度大小 E = ∆S a ⊥ 性质：不闭合；不相交； 定义：面积矢量 起于正、止于负。 S = Sn n 为面积的法向 闭合曲面的方向: 由曲面内指向曲面外 n n n n
基本内容电场线电通量高斯定理
0 r R1
E 0
R2
Q2
R1
（2） R1 r R2
Q1 E 4 π 0 r 2 Q1 Q2 E 4 π 0 r 2
Q1
O
I
II
III
（3） r R2
方向：沿着径向向外呈辐射状；
例4.7 无限长均匀带电直线的电场强度 ※※ 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即 电荷线密度为 ，求距直线为 处的电场强度.
+
S S′
q Φe E dS
S
由电场线的性质 可 知 ， 通 过 球 面 S′ 的电场线必定全部 通过闭合面S，因此 ，通过任意形状的 包围点电荷q的闭合 面的电通量都等于 q/ε0 ;
0
dΦ 1 E 1 dS1 0 dΦ2 E2 dS2 0 q
Ea
b
a
c
Ec
E
S
E
点电荷的电场线
正 点 电 荷 负 点 电 荷
+
一对等量异号点电荷的电场线
+
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
q
带电平行板电容器的电场线
+ + + + + + + + + + + +
电场线特点
1）起始于正电荷，终止于负电荷(或来自无穷远, 去向无穷远)，不会在没有电荷处中断. 2）在没有点电荷的空间里，电场线不相交.因为 电场中每一点只能有一个确定的方向；
i（外） S
Φe
i（内）
4.3高斯定理
2 求两同心的均匀带电球面的电场分布。 （q1,R1） （q2,R2）
E 0(r R1）
E
q1 4 0r
2
(R 1
r
R 2）
E
q1 q2 (r 4 0r 2
R 2）
例2 求半径为 R 、电荷线密度为 的无限长均匀带电
圆柱体的电场分布。
解 对称性分析：轴对称
选取闭合的柱形高斯面
（1） r R E dS
E dS1
1
E2
2
E1
dS2
当电场线穿入时，
π 2
2
π
dΦe2 E dS2 0
即穿入的电场线数目取负值
当电场线穿出时，
0
1
π 2
dΦe1 E dS1 0
即穿出的电场线数目取正值
对闭合曲面，约定以向外为法向。
闭合曲面的电通量为穿入和穿出的电场线 数目的代数和，即净穿入（净穿出）的电场线数目。
E dN ds
说明：1）面元的电通量表示穿过该面元的电场线数目。
2）电通量为代数量，其取值与面元的法线方向选择有关，
应事先规定法线方向。
n
E
ds
n
2 曲面的电通量
曲面的电通量为组成曲面的各面元电通量的代数和。
e
de
E
ds
s E
cos ds
s
s
若为闭合曲面，则 e
E
ds
s
?闭合曲面电通量的意义
4 π0r 2
q
0
以 q >0为例分析
n
ds
即穿出球面的电场线条数为 q / 0。
注意，q 为代数量。
可见，从规则球面和任意形状闭合曲面穿出的电场
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R
r
第八章静电场
例3 无限长均匀带电直线的电场强度
无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即
r 电荷线密度为 ，求距直线为 处的电场强度.
解 对称性分析：轴对称 选取闭合的柱形高斯面
z en
SE dS
E dS E dS E dS
s(柱面）
s ( 上底）
s (下底）
E dS
（与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）
Φe
E dS
1
S
0
n
qi
i 1
（证明见附录）
请思考：1）高斯面上的 E 与那些电荷有关 ？
s 2）哪些电荷对闭合曲面 的 Φe 有贡献 ？
高斯定理的导出
第八章静电场
库仑定律 电场强度叠加原理
高斯 定理
点电荷位于球面中心
q
E 4π 0r2
Φe
1
π 2
,
2
π 2
,
dΦe1 0
dΦe2 0
dS 2
E
第八章静电场
dS
E
en
E
dS1
E2
2
1 E1
闭合曲面的电场强度通量
dΦe E dS
Φe
E dS
S
E cosdS
S
对于一个闭合曲 面：
第八章静电场
E
dS
S
E
若e 0 表示穿出大于穿入 若e 0 表示穿入大于穿出
zen M o
enE
Rx enQ
Φe左 s左E dS ES左 cosπ ES左
Φe右 s右E dS ES右 cos ES左
Φe Φe前 Φe后 Φe左 Φe右 Φe下 0
第八章静电场
三 高斯定理
在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量,
等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 0 .
8—4 高斯定理
一 电场线 （电场的图示法） 规定
第八章静电场
1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向,
2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线数为 该点电场强度的大小. E E dN / dS
S
E
第八章静电场
点电荷的电场线
正点电荷
负点电荷
+
第八章静电场
一对等量异号点电荷的电场线
+
第八章静电场
d
S
S
dS0 r2
4π
球面度
2.高斯定理的证明
第八章静电场
库仑定律 + 叠加原理
思路：先证明点电荷的场
然后推广至一般电荷分布的场
1) 源电荷是点电荷
在该场中取一包围点电荷的闭合面(如图示)
在闭合面S上任取面元dS 该面元对点电荷所张的
Sq
d
E
dS
立体角dΩ
点电荷在面元处的场强为
E
d
E dS
例2 均匀带电球壳的电场强度
一半径为R , 均匀带电 Q 的薄
球壳 . 求球壳内外任意点的电场强
度. 解（1）0 r R
r S +
r +
+
O
+ 1+ + +
+R +
E dS 0 S1
E 0
s +++ 2
（2） r R
Q
QE
E dS
S2
0
4π r2E Q
0
E
Q
4π 0r2
4π 0R2
x L:
选如图高斯面
E dS
穿入
左 E dS 右 E dS 侧E dS E S
E 0 cos 0
q内
dV L ax Sdx aS 1 (L2 x2 )
x
2
由高斯定理：
E dS
1
s
0
q内
E a (L2 x2 ) 方向沿 x
2 0
第八章静电场
例6 设电荷体密度沿x轴方向按余弦规律： =ocosx分布在整个空间, o为幅值，求电场分布。
dΦ1 dΦ2 0
SE dS 0
E2
dS2
dS1
E1
第八章静电场
由多个点电荷产生的电场
E E1 E2
q1
q2
Φe
E dS
S
S
Ei dS
i
s qi
i(内） S
Ei
dS
i（外）S
Ei
dS
i（外） S
Ei dS
0
1
Φe
i（内） S
Ei
dS
0
qi
q
40r 2
er
dS
第八章静电场
qds cos 4 0r 2
q d 4 0
E dS
q d
S
S 4 0
q d q
4 0 S
0
q内i
在所设的情况下得证 E dS i
S
0
2)源电荷仍是点电荷
第八章静电场
dS1
取一闭合面不包围点电荷(如图示) S
在闭合面上任取面元 dS1
解 对称性分析：E垂直平面
选取闭合的柱形高斯面
E
dS
S＇
S
0 底面积
2S＇E S＇
E
S＇
0
S＇ E
S＇
E 20
E
2 0
第八章静电场
E
O
( 0)
x
E
EE
E
讨论
无的 限电 大场 带叠 电加 平问 面题
第八章静电场
0
0
0
0
0
0
第八章静电场
第八章静电场
nP
E
S
L o x L x
4 0
4 0
SE dS 0
第八章静电场
此种情况下仍得证
qi
E dS i
S
0
3) 源和面均 任意
根据叠加原理可得
qi
E dS Ei dS
S
Si
i
0
证毕
如果高斯面内无电荷，则高斯面上E不一定为零。
3.如果高斯面上E处处不为零，则该面内必有电荷。 如果高斯面上E处处不为零,则该面内不一定有电荷。
4.高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点 的场强一定为零。
高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上的场 强 不一定处处为零。
第八章静电场
四 高斯定理的应用 用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性
二 电场强度通量
通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这个面
的电场强度通量
均匀电场 ，E垂直平面
Φe ES
S
E
均匀电场 ，E 与平面夹角
Φe
Φe
ES
ES
cos
S
Sen
en
S
E
非均匀电场强度电通量
dS
dS
en
dΦe E dS
Φe
dΦe
s
E
cosdS
Φe s E dS
S 为封闭曲面
q
q
Φe2 0
Φe3
q
0
S1
S2 S3
第八章静电场
根据高斯定理：
若： qi 0 qi 0
qi 0
则 e 0 则 e 0
则 e 0
第八章静电场
问题：
Φe
E dS
1
S
0
n
qi
i 1
1.如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷。
如果高斯面上E处处为零，则该面内必无净电荷。
2.如果高斯面内无电荷，则高斯面对点电荷张的立体角 d
为dΩ
也对应面元
dS 2
两面元处对应的点电荷的电场强度分别为 E1，E2
d
E1 dS1
E2
dS 2
q
4 0r12
er1
dS1
q
4 0r22
er 2
dS 2
qdS1 cos1 qdS2 cos2
4 0r12
4 0r22
q d q d 0
1.立体角的概念
第八章静电场
1)平面角 由一点发出的两条射线之间的夹角
记做 d
设射线长为r ，
d
线段元dl对某点所张的平面角：
r dl0 dl
d dl0
r
dl cos
r
单位：弧度
dl0是以r为半径的圆弧
是线段元dl与dl0之间的夹角
2)立体角
第八章静电场
面元dS 对某点所张的角叫做立体角
dS
4）静电场是有源场.
第八章静电场
讨论
将 q2 从 A 移到 B q2 A P*
点 P 电场强度是否变化？
s 穿过高斯面 的 Φe有否变化？
s
q2 B
q1
在点电荷 q 和 q 的静电场中，做如下的三
个闭合面 S1 , S2 , S3 , 求通过各闭合面的电通量 .
q
Φe1
E dS
S1
0
解 空间是由许多垂直于x轴的无限大均匀带电平
面组成。由此判断:电场方向沿x轴,且对yoz平面对称。
选如图所示的柱形高斯面,由高斯定理：
EdS cos 2ES s
2ES
1
o
2So
sin
x
1
o
x
x o cos x Sdx
E
1
o
o
sin
x
第八章静电场
例7 空间的电场分布为:Ex=bx ,Ey=0, Ez=0;求 图中所示的边长为a的立方体内的净电荷。 (a=0.1m,b=1000N/(c.m))