几何概型练习题

几何概型练习题

1．在正方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1内随机取点则该点落在三棱锥 A 1－ ABC 内的概率是 ( )

A ．16 m

B ．20 m

C ．8 m

D ．10 m

5．一个路口的红绿灯，红灯的时间为 30秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为 40秒，当某人到达路

口时，看见的是红灯的概率是 ________ ；看见的不是黄灯的概率是 _______ ．

6．取一根长度为 4 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断， 那么剪得的两段都不少于 1 m 的概率是 _____ ． 7．点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点， 若在该圆周上随机取一点 B ，则劣弧 的长度小于 1 的概

率_

8．已知如图所示的矩形，长为 12，宽为 5，在矩形内随机地投掷 1 000 粒黄豆，落在阴影部分的黄豆

为 600 粒，则可以估计出阴影部分的面积为 ________

9．点 P 在边长为 1的正方形 ABCD 内运动，则动点 P 到顶点 A 的距离 | PA | ≤1

的 概率为 __ ．

10．利用计算机产生 0～1 之间的均匀随机数 a ，则事件“ 3a －1<0”发生的概率

为 ______ ．

11．一只蚂蚁在三边边长分别为 3、4、 5 的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁

距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率为 ________ ．

12．在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图．在球内任取一点

P ，则点

落在剩余几何体上的概率为 ________ ．

13．在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C .现作一矩形，邻边长分别等于线段

AC ，CB 的长，则该矩形面积大于 20 cm 2的概率为 _____ ．

A ．

．

1

．

6 ．

2

2．如图，在一个边长为 a 、b ( a >b >0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为 3a

与2a ，

高为 b . 向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为 ( )

1

A ． B

12 1

．

4 C ．

57

12 D ．

12

3．在区间 [0,1] 内任取两个

数，

则这两个数的平方和也在 [0,1] 内的概率是 (

)

π

C

π

D

π

10

．

20

．

40

4．某人从甲地去乙地共走了 500 m ，途中要过一条宽为 x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中， 若物品掉在河里就找不到， 物品不掉在河里就能找到， 已知该物品能被找到的概率为

24

则河宽为

25

A ．

B

14．在 1 升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出 ；从中随机取出 30 毫升，含有麦锈病种子的概率是

3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正

方体

的距离均大于 1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为

1

16．在区间 [

, ]上随机取一个数 x ，cos x 的值介于 0 至2之间的概率为 ___________ 2 2 2

17. 如图所示， 设 M 是半径为 R 的圆周上一个定点， 在圆周上等可能地任取一点 N ，

连接 MN ，则弦 MN 的长超过 2R 的概率为 ______ ．

18．如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇

形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ________ ．

19．已知正三棱锥 S － ABC 的底边长为 4，高为 3，在三棱锥内任取一点 P ，使得

1

V P －ABC < 2V S －ABC 的概率是

1

20．已知正方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1的棱长为 1，在正方体内随机取点 M ，求使四棱锥 M － ABCD 的体积

小于

6

的概率．

21． (1) 在半径为 1 的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三 角

形的边长 3的概率是多少 (2) 在半径为 1 的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内 接正三角形的边长 3的概率是多少 (3) 在半径为 1 的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内 接正三角形边长 3的概率是多少

23．设关于 x 的一元二次方程 x 2＋ 2ax ＋b 2＝ 0. 若 a 是从区间 [0,3] 任取的一个数， b 是从区间 [0,2] 任

取的一个数，求方程有实根的概率．

10 毫升，含有麦锈病种子的概率

15．一只蜜蜂在一个棱长为 6 个表面

24．设AB＝6，在线段AB上任取两点(端点A，B除外) ，将线段AB分成了三条线段，(1) 若分成的三条

≤1. [ 解析 ] 设在 [0,1] 内取出的数为 a ，b ，若 a 2＋b 2 也在 [0,1] 内，则有

如右图，试验的全部结果所构成的区域为边长为

0≤a 2＋ b 2

a

2

＋ b 2 在

线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；

正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．

答案： 1．在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取点则该点落在三棱锥

1

A ．

3 11 B ． C ． D

62

1 ．4

[ 答

案 ]

B

[ 解析 ]

体积型几何概型问题．

VA 1－ ABC 1

P ＝ ＝ .

P ＝

VABC －D A 1B 1C 1D 1＝ 6

2．如图，在一个边长为 a 、b (a >b >0) 的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为

3

a

与2a ，高为

32

b . 向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为 ( )

故所投的点落在梯形内部的概率为

5

ab

S 梯形 12 5 P ＝ ＝ ＝ .

S 矩形 ab 12

3．(2013 ～2014·山东济南模拟 )在区间 [0,1] 内任取两个数， 则这两个数的平方和也在 [0,1] 内的

概率是 ( )

[ 答案 ] A

(2) 若分成的三条线段的长度均为

A 1－ ABC 内的概率是 (

1

1

5

．

7

A ．

B ．

C ． D

12

4 12

．

12

[ 答案 ] C

[ 解析 ] S 矩形 ＝ ab .

1 11

5

S 梯形＝

2 3a ＋2a b ＝ ab . 12 .

A ．

10

π

20

π

40