几何概型练习题

几何概型练习题1．在正方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1内随机取点则该点落在三棱锥 A 1－ ABC 内的概率是 ( )A ．16 mB ．20 mC ．8 mD ．10 m5．一个路口的红绿灯，红灯的时间为 30秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为 40秒，当某人到达路口时，看见的是红灯的概率是 ________ ；看见的不是黄灯的概率是 _______ ．6．取一根长度为 4 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断， 那么剪得的两段都不少于 1 m 的概率是 _____ ． 7．点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点， 若在该圆周上随机取一点 B ，则劣弧 的长度小于 1 的概率_8．已知如图所示的矩形，长为 12，宽为 5，在矩形内随机地投掷 1 000 粒黄豆，落在阴影部分的黄豆为 600 粒，则可以估计出阴影部分的面积为 ________9．点 P 在边长为 1的正方形 ABCD 内运动，则动点 P 到顶点 A 的距离 | PA | ≤1的 概率为 __ ．10．利用计算机产生 0～1 之间的均匀随机数 a ，则事件“ 3a －1<0”发生的概率为 ______ ．11．一只蚂蚁在三边边长分别为 3、4、 5 的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率为 ________ ．12．在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图．在球内任取一点P ，则点落在剩余几何体上的概率为 ________ ．13．在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于 20 cm 2的概率为 _____ ．A ．．1．6 ．22．如图，在一个边长为 a 、b ( a >b >0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为 3a与2a ，高为 b . 向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为 ( )1A ． B12 1．4 C ．5712 D ．123．在区间 [0,1] 内任取两个数，则这两个数的平方和也在 [0,1] 内的概率是 ()πCπDπ10．20．404．某人从甲地去乙地共走了 500 m ，途中要过一条宽为 x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中， 若物品掉在河里就找不到， 物品不掉在河里就能找到， 已知该物品能被找到的概率为24则河宽为25A ．B14．在 1 升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出 ；从中随机取出 30 毫升，含有麦锈病种子的概率是3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体的距离均大于 1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为116．在区间 [, ]上随机取一个数 x ，cos x 的值介于 0 至2之间的概率为 ___________ 2 2 217. 如图所示， 设 M 是半径为 R 的圆周上一个定点， 在圆周上等可能地任取一点 N ，连接 MN ，则弦 MN 的长超过 2R 的概率为 ______ ．18．如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ________ ．19．已知正三棱锥 S － ABC 的底边长为 4，高为 3，在三棱锥内任取一点 P ，使得1V P －ABC < 2V S －ABC 的概率是120．已知正方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1的棱长为 1，在正方体内随机取点 M ，求使四棱锥 M － ABCD 的体积小于6的概率．21． (1) 在半径为 1 的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三 角形的边长 3的概率是多少 (2) 在半径为 1 的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内 接正三角形的边长 3的概率是多少 (3) 在半径为 1 的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内 接正三角形边长 3的概率是多少23．设关于 x 的一元二次方程 x 2＋ 2ax ＋b 2＝ 0. 若 a 是从区间 [0,3] 任取的一个数， b 是从区间 [0,2] 任取的一个数，求方程有实根的概率．10 毫升，含有麦锈病种子的概率15．一只蜜蜂在一个棱长为 6 个表面24．设AB＝6，在线段AB上任取两点(端点A，B除外) ，将线段AB分成了三条线段，(1) 若分成的三条≤1. [ 解析 ] 设在 [0,1] 内取出的数为 a ，b ，若 a 2＋b 2 也在 [0,1] 内，则有如右图，试验的全部结果所构成的区域为边长为0≤a 2＋ b 2a2＋ b 2 在线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．答案： 1．在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取点则该点落在三棱锥1A ．3 11 B ． C ． D621 ．4[ 答案 ]B[ 解析 ]体积型几何概型问题．VA 1－ ABC 1P ＝ ＝ .P ＝VABC －D A 1B 1C 1D 1＝ 62．如图，在一个边长为 a 、b (a >b >0) 的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为3a与2a ，高为32b . 向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为 ( )故所投的点落在梯形内部的概率为5abS 梯形 12 5 P ＝ ＝ ＝ .S 矩形 ab 123．(2013 ～2014·山东济南模拟 )在区间 [0,1] 内任取两个数， 则这两个数的平方和也在 [0,1] 内的概率是 ( )[ 答案 ] A(2) 若分成的三条线段的长度均为A 1－ ABC 内的概率是 (115．7A ．B ．C ． D124 12．12[ 答案 ] C[ 解析 ] S 矩形 ＝ ab .1 115S 梯形＝2 3a ＋2a b ＝ ab . 12 .A ．10π20π40＝20(m) ．二、填空题5．一个路口的红绿灯，红灯的时间为 30秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为 40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是 ________ ． 解析 以时间的长短进行度量，故 P ＝30＝ 2.75 5答案256．取一根长度为 4 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断， 那么剪得的两段都不少于 1 m 的概率是 _____ ．2 解析 把绳子 4 等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m ，故所求概率为 P ＝ ＝41[0,1] 内的点在 4单位圆内 ( 如阴影部分所示 ) ，故所求概率为1ππ4．某人从甲地去乙地共走了 500 m ，途中要过一条宽为 x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为 2425，则河宽为 ()A ．16 mB ．20 mC ．8 mD ．10 m [ 答案 ] B[ 解析 ] 物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件．找24 1 1到的概率为 25，即掉到河里的概率为 ，则河流的宽度占总距离的 ，所以河宽为 25 25 1500×252 解析如图可设与的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是3.3 答案238．已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷 1 000 粒黄豆，落在阴影部分的黄豆为600 粒，则可以估计出阴影部分的面积为 __________ ．600 S解析设所求的面积为S，由题意，得 1 000＝5×12，则S＝36.答案369．（2014·长沙联考）点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离| PA| ≤1的概率为_____ ．解析如图，满足|PA|≤1的点P在如图所示阴影部分运动，则动点P到顶点A的距离|PA|≤1的12×π×124＝π1×1 ＝4π答案410．（2013·福建）利用计算机产生0～1 之间的均匀随机数a，则事件“ 3a－1<0”发生的概率为概率为S阴影S正方形30[ 答案 ] 2[ 解析 ] 如图所示，△ ABC 中， AB ＝3， AC ＝4， BC ＝5，则△ ABC 的周长为 3＋4＋5＝12. 设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1为事件 A ， DE ＋ FG ＋ MN 3＋2＋ 1 1则 P （A ） ＝BC ＋CA ＋AB ＝ 12 ＝ 2.12．在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图．在球内任取一点 P ，则点 P 落在剩余几何体上的概率为[ 答案 ] 53125[ 解析 ] 由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径 R ＝5，圆柱底面半径 r ＝ 4，高 h＝ 6，故球体积 V ＝43π R ＝ 5030 ，圆柱体积 V 1＝π r · h ＝96π，3313．（2012·辽宁卷改编 ）在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于 20 cm 2的概率为 _______ ．解析 设AC ＝x cm,0<x <12，则 CB ＝ （12 － x ）cm ，要使矩形面积大于 20 cm 2，只要 x （12 －x ）> 20，＝，即取 30 毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为∴所求概率 P ＝500π3 －96π 500π53 . 125.则 x 2－ 12x ＋ 20<0，解得 2<x <10，所求概率为 10－2 P ＝1223. 2答案 2314．在 1 升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出 10 毫升，含有麦锈病种子的概率；从中随机取出 30 毫升，含有麦锈病种子的概率解析 1升＝1 000毫升，记事件 A ：“取出 10毫升种子含有这粒 带麦锈病的种子”．则 P (A ) ＝1 10000 ＝，即取出 10 毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为 . 记事件 B ：30 毫升种子含有带麦锈病的种子”．则 P(B)＝1 00015．一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 的距离均大于 1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 _________ ．解析 由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为 1的小正方体内飞行， 结合几何概型， 可得蜜蜂“安 131 全飞行”的概率为 P ＝ 33＝ 27.答案 217π π 116．（2014·淮安模拟 ）在区间 －2，2 上随机取一个数 x ，cos x 的值介于 0 至2之间的概率为答案 1317. 如图所示，设 M 是半径为 R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点 N ，连接 MN ，则弦MN的长超过 2R 的概率为 ________解析 如图，在圆上过圆心 O 作与 OM 垂直的直径 CD ，则 MD ＝ MC ＝ 2R ，当点 N 不在半圆π R 1 弧 上时， MN > 2R ，故所求的概率 P （A ）＝ ＝ .2π R 2答案 12 18．（2012·湖北卷改编 ） 如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形 OAB 内随机取一点，6 个表面解析 由 0≤ cosππ2， 2π πππ或 3 ≤ x ≤ 2 ，结合几何概型的概率公式可得所求的概率为 P ＝ π222 3 1 π ＝3. 21x ≤2，x ∈ ππ ，可得－ 2 ≤ x ≤－则此点取自阴影部分的概率是1 1 π解析 如图，设 OA ＝ 2 ，S 扇形 AOB ＝π， S △OCD ＝ 2× 1× 1＝ 2，S 扇形 OCD ＝ 4 ， ∴在以 OA 为直径的半圆中，π π 1 π－ 1×22空白部分面积 S 1＝2－2 4－2 ＝1，所有阴影面积为 π－ 2.故所求概率 P ＝ π ＝1－π.21－π解析 三棱锥 P －ABC 与三棱锥 S － ABC 的底面相同，V P －ABC <12V S －ABC 就是三棱锥 P － ABC 的高小于三棱锥 S － ABC 的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底 面 ABC 的面积为 S ，三棱锥 S － ABC 的高为 h ，则所求概率为： P ＝ 1 1 1 13Sh －3×4S ×2h 1 13Sh 78.7 答案 78三、解答题20．已知正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，在正方体内随机取点 M ，求使四棱锥 M －ABCD 的体积答案 19．（2014·徐州二模 ） 已知正三棱锥 S －ABC 的底边长为4，高为 3，在三棱锥内任取一点 P ，使得 V P －小于16的概率．6[ 分析] 由题目可获取以下主要信息：①正方体ABCD－A1B1C1D1 的棱长为1，M为其内一点；1②求四棱锥M－ABCD的体积小于的概率．解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型．[ 解析] 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，设M－ABCD的高为h11则×S 四边形ABCD× h< ，36又S 四边形ABCD＝1，1V正方体12 则h< ，即点M在正方体的下半部分．故所求概率P＝2 V正方体21．(1) 在半径为 1 的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少(2) 在半径为 1 的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少(3) 在半径为 1 的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长3的概率是多少[ 解析] (1) 设事件A＝“弦长超过 3 ”，弦长只与它跟圆心的距离有关，11∵弦垂直于直径，∴当且仅当它与圆心的距离小于2时才能满足条件，由几何概率公式知P(A)＝2.1(2) 设事件B＝“弦长超过3”，弦被其中点惟一确定，当且仅当其中点在半径为2的同心圆内时，1 才能满足条件，由几何概率公式知P(B) ＝4.(3) 设事件C＝“弦长超过3”，固定一点A 于圆周上，以此点为顶点作内接正三角形ABC，显然只有当弦的另一端点D落在上时，才有| AD|>| AB| ＝3，由几何概率公式知P(C)＝13.22．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3] 任取的一个数，区间[0,2] 任取的一个数，求方程有实根的概率．解 设事件 A 为“方程 x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当 a ≥0， b ≥0时，方程 x 2＋2ax ＋b 2＝0 有实根 的充要条件为 a ≥b .试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2} ，构成事件 A 的区域为{(a ，b )|0 ≤ a ≤3,0 ≤ b ≤2，a ≥ b } ，根据条件画出构成的区域 ( 略) ，可得所求的概率为2＝3. 23．设 AB ＝ 6，在线段 AB 上任取两点 ( 端点 A ，B 除外 )，将线段 AB 分成了三条线段，(1) 若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2) 若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解 (1) 若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是 1,1,4 ； 1,2,3 ；12,2,2 ，共 3种情况， 其中只有三条线段长为 2,2,2 时能构成三角形， 故构成三角形的概率为 P ＝3.(2) 设其中两条线段长度分别为 x ， y ，则第三条线段长度为 6－ x － y ，故全部试验结果所构成的区 域为所表示的平面区域为△ OAB .若三条线段 x ，y, 6－x － y 能构成三角形，x ＋y >6－x －y ，则还要满足 x ＋6－x － y >y ，y ＋6－x －y >x ，x ＋y >3，即为 y <3，x <3，所表示的平面区域为△ DEF ，123×2－ × 22 2 P( A)＝ 3×20<x <6，0<x <6， 0<y <6，0<6－x －y <6， 即 0< y < 6， 0<x ＋y <6，由几何概型知，所求概率为S△DEF 1 P＝＝. S△AOB 41.2.答案127．点A为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于 1 的概率为_______ ．1[ 答案]3 [ 分析] 解不等式，求出a 的取值范围，算出此范围与所给区间的比值即可．1[ 解析] 由题意，得0<a<3，所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a－1<0”发生的概率为13.11．一只蚂蚁在三边边长分别为3、4、 5 的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率为________ ．1ABC< V S－ABC的概率是______。