二次函数与三角形的最大面积

二次函数与三角形最大面积

【典型例题】

1：如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（-4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；

（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．

2：（永州）如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（-1，0）、（0，—3

），点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长；

（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．

小结：三角形的面积一般都是通过分割成几个三角形然后计算几个三角形的面积和，然后利用坐标来表示三角形的面积，这样三角形的面积即为一个二次函数，下面求解二次函数的最值即可。

【培优训练】

1、（广安）如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 经过点（1，-5）和（-2，4）

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）设此抛物线与直线y=x 相交于点A ，B （点B 在点A 的侧），平行于y 轴的直线x=m （0＜m ＜5+1）与抛物线交于点M ，与直线y=x 交于点N ，交x 轴于点P ，求线段MN 的长（用含m 的代数式表示）；

（3）在条件（2）的情况下，连接OM 、BM ，是否存在m 的值，使△BOM 的面积S 最大？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．

2、已知：抛物线2

y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． 其中点A 在x 轴的负半轴上，点C 在y 轴的负半轴上，线段OA 、OC 的长（OA

（1）求A 、B 、C 三点的坐标；

（2）求此抛物线的解析式；

（3）若点D 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连结CD ，设BD 的长为m ，△CDE 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由．

y x B D O A E C

3、己知：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋6（a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点

A 、点

B 的横坐标是一元二次方程x 2－4x －12＝0的两个根．

（1）请直接写出点A 、点B 的坐标；

（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标；

（3）如图l ，在二次函数对称轴上是否存在点P ，使△APC 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）如图2，连接AC 、BC ，点Q 是线段OB 上一个动点（点Q 不与点O 、B 重合），过点Q 作QD ∥AC 交BC 于点D ，设Q 点坐标（m ，0），当△CDQ 面积S 最大时，求m 的值．

4、平面直角坐标系中，□ABOC 如图放置，点A 、C 的坐标分别为（0，3）、（－1，0），将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°，得到□A ′B ′OC ′．

（1）若抛物线过点C 、A 、A ′，求此抛物线的解析式；

（2）求□ABOC 和□A ′B ′OC ′ 重叠部分△OC ′D 的周长；

（3）点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M 在何处时△AMA ′ 的面积最大？最大面

积是多少？并求出此时点M 的坐标．

图1

图

2

【课后作业】

1、（南充）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m﹣4，0）和B（m，0），与直线y=﹣x+p 相交于点A和点C（2m﹣4，m﹣6）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P，Q的坐标；

（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．

2、（达州）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；

（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．