第3章物体系统的平衡问题
理论力学：第3 章 力系的平衡
力系平衡是静力学研究的主要内容之一，也是静力学最重要的内容。其中平面力系的平衡又
是重要之重要内容，平面物系的平衡又是重要之重要内容。
事实上我们已经得到力系的平衡条件(充要)：
R
0，M O
0 。下面将其写成代数方程即
平衡方程，用其解决具体问题。
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
受力图如图(c)，列解方程：
Y 0, P cos G sin 0
P
使 P 最小，则
G sin cos
G sin cos( )
cos( ) 1,
arctan 3
3652'
Pmin
G sin
20
3 5
12kN
4
另解：（几何法） 画自行封闭的力三角形，如图(d)，则
Q
G(b
e) 50b a
Hale Waihona Puke 350.0kN∴ 使起重机正常工作的平衡重为：333.3kN≤Q≤350.0kN 注：也可按临界平衡状态考虑，求 Pmin 和 Pmax。 静力学的应用：
学习静力学有何用处？——上面几个例题有所反映。
例 1：碾子问题——满足工作条件的载荷设计。
例 2：梁平衡问题——结构静态设计（一类重要工程问题）。
分由由由图图图析(((：acb)))汽：：：车受平面平行力mmm系EBB(((，FFF))易) 列解000,,,方程。下shl面只给出方程：
例 4 平行力系典型题目，稳定性问题且求范围。 行动式起重机的稳定性极其重要，要求具有很好的稳定裕度，满载时不向右翻倒，空载时不 向左翻倒。已知自重 G = 500kN，最大载荷 Pmax = 210kN，各种尺寸为：轨距 b = 3m，e = 1.5m， l = 10m，a = 6m，试设计平衡重 Q，使起重机能正常工作，且轨道反力不小于 50kN。
高中物理必修二第三章—3.9动态平衡的问题
质量相等的小球A和B套在杆上，A、B间用不可 伸长的轻绳相连，用水平拉力F沿杆向右拉A使
之缓慢移动的过程中（AD ）
A．A球受到杆的弹力保持不变
B．A球受到的摩擦力逐渐变小
C．B球受到杆的弹力保持不变
D．力F逐渐增大
例题7：如图所示，重为500N的人通过跨过定滑轮的 轻绳牵引重200N的物体，不计绳与滑轮间的摩擦。
二、解决动态平衡问题的方法：
1、图解法：
对物体进行受力分析，画出受力示意图，并根据平衡 条件，画出平行四边形。根据力或位置的变化，判 断平行四边如何变化，再根据四边形中各边长度变 化来确定各力的大小如何变化，这种方法叫图解法。
例题1：如图所示，重物G用绳子OA悬挂于天花板下。
在绳上的B点系一段绳子BC，现对BC绳施加一水平
③确定方向变化的力的方向如何改变，以及对应的角 度变化的范围。
④根据平行四边形形状的变化，确定各力大小的变化， 和各力大小的取值范围。
2、相似三角形法：
利用力构成的平行四边形中的三角形与支撑物体的 支架、细绳、支持面等组成的三角形相似对应边 成比例的规律来判断各力变化的方法。
例题3：光滑的半球固定在水平地面上。一小球（可 看作质点）通过细绳绕过光滑的定滑轮用手拉住。 如图所示，现拉动细绳，使小球在球面上缓慢移动， 请分析移动过程中，细绳的拉力、球面的支持力如 何变化。
例题5.如图所示,一端可绕0点自由转动的长木板上方 放一个物块,手持木板的另一端,使木板从水平位置沿 顺时针方向缓慢旋转,则在物块滑离木板前：( BCD )
A.物块对木板的压力不变 B.木板对物块的支持力一直减小。 C.木板对物块的作用力先不变，后减小。 D.物块受到的摩擦力先增大后减小
建筑力学(第二版)第3章 平面力系
§ 3 - 1-2 简化结果的分析
■ （３） Ｆ′R≠０，Ｍ0≠０，原力系可以进一步简化为一个合力，如图３ －２ａ 所示。为此，只要将力偶Ｍ0 用一对等 值、反向、不共线的平行力Ｆ″R和ＦR 表示，且使ＦR ＝ － Ｆ″R ＝ Ｆ′R0 ＝ Ｆ′R，则力偶臂 如图３ －２ｂ 所示。若使力Ｆ″R作用于Ｏ 点，则力Ｆ′RＯ和Ｆ″R构成一对平衡力，可以去掉这一对平衡力，只剩下作用 于Ｏ′点的力ＦR。显然，力ＦR 就是原力系的合力，如图３ －２ｃ 所示。因此，在这种情况下，原力系简化的最后结果是 一个合力ＦR，其大小和方向与主矢Ｆ′R相同，合力的作用线离简化中心Ｏ 的垂直距离为
§ 3 - 2-2 平面特殊力系的平衡方程
■ 3. 平面平行力系的平衡方程
力系中各力的作用线均相互平行的平面力系称为平面平行力系。设物体受平面平行力系Ｆ１，Ｆ２，…，Ｆｎ 的作用（图 ３ －１３）。如选取ｘ 轴（或ｙ 轴）与各力垂直，则不论力系是否平衡，每一个力在ｘ 轴（或ｙ 轴） 上的投影恒等于 零，即∑Ｆｘ ＝ ０ （或∑Ｆｙ ＝０）。于是，平面平行力系的独立平衡方程的数目只有两个，即
■ 斜梁ＡＢＣ 为一楼梯的计算简图，如图３ －１４ａ 所示。其上承受的荷载为作用于斜梁ＡＢ 中点的集中力Ｆ ＝６００ Ｎ，作用于Ｃ 处的集中力偶Ｍ ＝１． ２ ｋＮ·ｍ 及沿梁ＡＢ 长度方向的均布荷载ｑ ＝１ ｋＮ／ ｍ，ｌ ＝１ ｍ， 试求梁Ａ，Ｂ 处的约束反力。
§ 例题
■ 例 3-12
■ 塔式起重机如图３ －１５ 所示。机架重Ｗ１ ＝７００ ｋＮ，其作用线通 过塔架的中心。最大起重量Ｗ２ ＝２００ ｋＮ，最大悬臂长为１２ ｍ， 轨道ＡＢ 的间距为４ ｍ。平衡荷重Ｗ３ 到机身中心线距离为６ ｍ。试问 ：
理论力学 陈立群 第3章 平衡问题 解答
第三章平衡问题：矢量方法习题解答3-1讨论图示各平衡问题是静定的还是静不定的，若是静不定的试确定其静不定的次数。
题3.1图解：（1）以AB杆为对象，A为固定端约束，约束力有3个。
如果DC杆是二力杆，则铰C处有1个约束力，这4个力组成平面一般力系，独立平衡方程有3个，所以是1次静不定；如果DC杆不是二力杆，则铰C和D处各有2个约束力，系统共有7个约束力，AB 杆和DC杆上的约束力各组成平面一般力系，独立平衡方程共有6个，所以，是1次静不定。
（2）AD梁上，固定铰链A处有2个约束力，辊轴铰链B、C和D各有1个约束力，共有5个约束力，这5个约束力组成平面一般力系，可以列出3个独立的平衡方程。
所以，AD梁是2次静不定。
（3）曲梁AB两端都是固定端约束，各有3个共6个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。
所以是3次静不定。
（4）刚架在A、B和C处都是固定端约束，各有3个共9个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。
所以是6次静不定。
（5）平面桁架在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该平面桁架的外力是静定的。
平面桁架由21根杆组成，所以有21个未知轴力，加上3个支座反力，共有24个未知量。
21根杆由10个铰链连接，每个铰链受到平面汇交力系作用。
若以铰链为研究对象，可以列出2×10=20个平衡方程。
所以，此平面桁架的内力是24-20=4次静不定。
（6）整体在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该系统的外力是静定的。
除了3个约束外力外，3根杆的轴力也是未知的，共有6个未知量。
AB梁可以列出3个平衡方程，连接3根杆的铰链可以列出2个平衡方程，共有5个方程，所以，该系统的内力是1次静不定。
3-2炼钢炉的送料机由跑车A与可移动的桥B组成，如图示。
跑车可沿桥上的轨道运动，两轮间距离为2米，跑车与操作架、手臂OC以及料斗相连，料斗每次装载物料重W=15kN，平臂长OC=5m。
高中物理必修一第三章共点力平衡问题归纳
共点力平衡问题归纳一 知识要点：1、平衡状态：静止或匀速直线运动，“缓慢”意味着每个过程可以看作平衡状态。
2、规律：0=合F 。
3、推论：①两个力处于平衡状态则这两个力等大反向。
②三个力处于平衡状态则其中任意两个力的合力与第三个力等大反向。
③N 个力处于平衡状态则其中任意一个力与剩余）（1-N 个力的合力等大反向。
4、解法：①力的合成法②力的正交分解法③正弦定理（拉米定理）法④相似三角形法⑤矢量三角形图解法二 三力静态平衡题型分类1、三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知。
方法：力的合成与分解。
【例题】如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O 为球心，一质量为m 的小滑块，在水平力F 的作用下静止P 点。
设滑块所受支持力为N F 。
OF 与水平方向的夹角为θ。
下列关系正确的是A ．θtan mg F =B ．θtan mg F =C ． θtan mg F N =D ．θtan mg F N =2、三个力互相不垂直，但夹角（方向）已知 方法：正交分解法或正弦定理【例题】如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的．一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m 1和m 2的小球．当它们处于平衡状态时，质量为m 1的小球与O 点的连线与水平线的夹角为α=60°两小球的质量比为2m ：1m 为（ ）A ．33B ．32C ．23D ．223、三个力互相不垂直，且夹角（方向）未知但存在几何边长的变化关系。
方法：相似三角形法【例题】如图所示，表面光滑为R 的半球固定在水平地面上，球心O 的正上方O ˊ处有一个无摩擦定滑轮，轻质细绳两端各系一个小球挂在定滑轮上，两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为R l 4.22=，R l 5.21=.则这两个小球的质量之比1m ∶2m 为(不计小球大小)A ．24∶1B ．25∶1C ．24∶25D ．25∶24三 三力动态平衡题型分类题型一 特点： 1、三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）2、另一个力方向不变，大小可变，3、第三个力大小方向均可变，方法：矢量三角形法分析第三个力的方向变化引起的物体受力的动态变化情况。
高中物理必修一 讲义 第3章 5 第2课时 多力平衡问题 轻绳、轻杆模型
第2课时多力平衡问题轻绳、轻杆模型[学习目标] 1.熟练运用合成法、效果分解法、正交分解法处理平衡问题(重点)。
2.知道轻绳、轻杆上弹力的区别，并能分析简单的平衡问题(重难点)。
一、多力平衡问题1．当物体受到不在同一条直线上的多个共点力时，一般要采用正交分解法。
2．用正交分解法解决平衡问题的一般步骤：(1)明确研究对象，对物体受力分析。
(2)建立坐标系：使尽可能多的力落在x、y轴上，这样需要分解的力比较少，计算方便。
(3)根据共点力平衡的条件列方程：F x＝0，F y＝0。
例1小王同学在家卫生大扫除时用拖把拖地，依靠拖把对地面的摩擦力来清扫污渍。
如图所示，他沿推杆方向对拖把施加40 N的推力，且推杆与水平方向的夹角θ＝37°时，刚好可以匀速推动拖把。
已知拖把质量为1 kg，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：(1)拖地时地面对拖把的支持力；(2)拖把与地面间的动摩擦因数μ。
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例2如图所示，物体的质量m＝4.4 kg，用与竖直方向成θ＝37°的斜向右上方的推力把该物体压在竖直墙壁上，并使它沿墙壁在竖直方向做匀速直线运动。
工程力学b215魏媛第三章
例10： 已知：P 5kg ABC 300
l
求：杆BC 所受的力 解： 方法一 对AB杆及电机
B
l 2
A
P
Fx 0
Fy 0
S B cos30 RAcos30 0
S Bsin 30 RAsin 30 P 0
C
A
RA
P
SB
B
© 2008.Wei Yuan. All rights reserved.
已知：AB l , m , 45 例7： 求：A、B 处约束反力
m
A
B
解： 对AB杆
m
B
B
0
m
A
RA
RAlcos m 0
NB
解得：RA N B
2m l
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F 0 x Fy 0 M o F 0
平衡方程基本形式
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例1： 已知：AC 3l , P , m , 45 求：A、B 处约束反力
m
A
P
B
C
l
l
l
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解得： S B RA P 5kg
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3、 三力矩式
m A F 0 mB F 0 mC F 0
B
C
FR
高中物理平衡问题教案
高中物理平衡问题教案
学科：物理
年级：高中
课题：平衡问题
时间：80分钟
教学目标：
1.了解平衡的概念和条件
2.掌握平衡问题的解题方法
3.应用平衡原理解决实际问题
教学重点：
1.平衡的概念和条件
2.平衡问题的解题方法
教学难点：
1.应用平衡原理解决实际问题
教学准备：
1.教案、课件
2.平衡问题的练习题
3.实验器材：不同重量的物体、吊钩、弹簧测力计等
教学过程：
一、导入（5分钟）
介绍平衡的概念，引导学生思考平衡问题在生活中的应用。
二、讲解（20分钟）
1.讲解平衡的条件：合力为零，合力矩为零
2.介绍平衡问题的解题方法：分解力，建立坐标系等
三、实验操作（20分钟）
1.教师展示实验：使用吊钩和弹簧测力计测量物体的重量
2.学生分组进行实验操作：测量不同重量的物体的重量并记录数据
四、练习（20分钟）
1.布置平衡问题的练习题，让学生尝试解答
2.学生互相讨论和解答问题，教师在一旁指导和解释
五、总结（10分钟）
1.回顾本节课的内容，强化学生对平衡问题的掌握
2.展示一些实际问题让学生应用平衡原理解决
六、作业（5分钟）
布置作业：完成平衡问题的习题，加深对本节课内容的理解和掌握。
教学反思：
通过本节课的教学，学生应该对平衡问题有了更深入的认识，掌握了解决平衡问题的方法。
同时，也希望学生能够应用所学知识解决实际问题，加深对物理学概念的理解。
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第三章 物体系统的平衡问题
§3–1静定与静不定问题的概念
知识回顾: 平面汇交力系 平面力偶系 平面平行力系
Fx 0 Fy 0
两个独立方程，只能求两个独立未知数。
§3–2物体系统的平衡问题分析
[例1] 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平时，冲压力为P时， 求：①M=？ ②O点的约束反力？ ③AB杆内力？ ④冲头给导轨的侧压力？
解：(1)以B为研究对象：
显然是平面汇交力系.
X 平衡的条件是 0 Y 0
P FB cos
1m 1m B FAy A
q F'Bx F'By
F
x
0
FAx FBx 5 KN
FAx
MA
m A (F ) 0
M A 3FBx 2FBy q 1 1.5 0
F
M A 9KNm
0
FAy FBy q 1 0
FAy 10.67KN
29
第三章 物体系统的平衡问题
§3–3考虑摩擦时的物体平衡问题 二、摩擦角和自锁
1、摩擦角 当物体处于平衡的临界状态时， 全约束反力与法线间的夹角的最大 值 f 称为摩擦角。
Fmax f s FN fs tan f FN FN
★处于平衡状态的三个力 应符合力的三角形法则！
G
f FR
F
y
0
FAy FC FE q 2 P sin60o 0
FAy 10.67KN
21
第三章 物体系统的平衡问题
§3–3考虑摩擦时的物体平衡问题
什么是摩擦?
由于接触面凹凸不平与材料分子间的黏附作用，使物体沿 接触面有运动或运动趋势时，产生的一种阻碍物体运动的现 象。
22
F FN
F tan FN
FP F
28
第三章 物体系统的平衡问题
§3–3考虑摩擦时的物体平衡问题 二、摩擦角和自锁
1、摩擦角 F随FP增大到极限值Fmax，不 会再增大。FP再增大，物体则马 上向右运动。这种要动还未动的 状态称为临界状态，是一种平衡 状态！ 这时的FN与Fmax的合力系为全约束反力 （全反力）FR
q 32 P1 3 P2 m 6FA sin 0 2
mB ( F ) 0
F
FA 2604 .2kN
q C P2
x
0
FBx P .5kN 1 FA cos 562
m P1
B 1m FBy FBx
12
F
y
0
A
FA
4m
FBy FA sin P2 3q 0
FB 50 2 70.7kN
10
§3–2物体系统的平衡问题分析
以整体为研究对象： 1m
q
D
M
C
P E FB B
F
x
0
3m
FAy A 2m
FAx P cos45o 4q 0
FAx 129.3 KN
FAx MA
1.5m
1.5m
M
A
(F ) 0
M A 5FB 8q M 3.5P sin 45o 1.5P cos45o 0
FAy 3.5kN
9
§3–2物体系统的平衡问题分析
[例3] 已知：M=40KNm,P=100KN, q= 50KN/m , 求：A处的反力。 D M FCy 1m C P C
q
3m A 2m
FCx E B 1.5m 1.5m E
P FB
B
解： 以BC为研究对象：
M
C
(F ) 0
3FB P 1.5 2 0
B
q
FC C
A 1m
解：以BC为研究对象：
F
x
B
0
(F ) 0
FBx 0
q 12 2FC 0 2
M
FC 0.5KN
F
y
0
FBy FC q 1 0
FBy 1.5KN
8
§3–2物体系统的平衡问题分析
[例2] 已知：M=10kNm, q= 2kN/m , 求：A、C 处的反力。
1、摩擦力定义 物体在接触面有相对运动或相对运动趋势时一般都存
在相互的阻碍作用。这种阻碍相对运动或相对运动趋势的
力称为摩擦力。
25
第三章 物体系统的平衡问题
§3–3考虑摩擦时的物体平衡问题 一、滑动摩擦
2、摩擦力与主动力的关系
在这个试验中,弹簧称的读数会如何变化?
26
第三章 物体系统的平衡问题
§3–3考虑摩擦时的物体平衡问题 一、滑动摩擦 静摩擦因素
FC
m
F'Dy
mB ( F ) 0
2FC 4FDy q 1 0.5 m 0
FC 25KN
FC FBy q 1 FDy 0
FBy 15.67KN
17
F
y
0
q
C
1m A 以AB为研究对象： 1m B 3m 1m 1m
m
60o D 2m
P E
FP
30
第三章 物体系统的平衡问题
FA
Fox P tan
FB FN
F
y
0
FA cos Foy 0
Foy P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
7
§3–2物体系统的平衡问题分析
[例2] 已知：M=10KNm, q= 2KN/m , 求：A、C 处的反力。
M
q
C B 1m 1m 1m FBx
FBy
2m A D 1m B
解：
m A (F ) 0
2FCx 2.3 P 0
FCx 2.3kN
FCy
C P
F
FCx
x
0
FAx FCx 2.3kN
F
y
0
FAy FCy P 0
(1)
14
§3–2物体系统的平衡问题分析
以BC为研究对象： 1m A 2m D 1m B
M A 227.9 KNm
F
y
0
FAy FBy P sin45o 0
FAy 0
11
§3–2物体系统的平衡问题分析
[例4] 已知：P1=1000kN, P2=2000kN, m=1000kNm, q=1000kN/m, 求： A、B 处的反力及BC杆对铰C的约束力。
解：
以整体为研究对象：
FDy FE P sin60o 0
Fy 0
FDy 2.5 3 KN 16
§3–2物体系统的平衡问题分析 q m
C
1m A 以BD为研究对象： FBx 1m B 3m 1m 1m 2m FBy q D F'Dx B C 60o D 1m 1m P E
F
x
0
FBx FDx 5KN
Y 0 X 0
P FB cos 0
FN FB sin 0
FN P tan
6
§3–2物体系统的平衡问题分析
再以轮O为研究对象：
M
O
(F ) 0
Foy
FA cos R M 0
M PR
Fox
X 0
Fox FA sin 0
M
q
C
B 1m 1m 1m FBx
FBy
B FAy
q
FC C q F'Bx B
A 1m
以AB为研究对象：
x
0
(F ) 0
FAx FBx 0
FAx
A MA
M
F'By
M
A
2FBy q 1 1.5 M M A 0
M A 4kNm
F
y
0
FAy FBy q 1 0
18
y
§3–2物体系统的平衡问题分析
[例7] 已知：m=30KNm,P=10KN, q= 5KN/m , 求：A、C 、E处的反力。
q
m
P 60o D 1m 1m FDy 60o P E
C 1m A 1m B 3m 1m 1m 2m
FE E
解：
以DE为研究对象： FDx
2FE P sin60o 1 0
第三章 物体系统的平衡问题
§3–3考虑摩擦时的物体平衡问题
摩擦有利的一面
23
第三章 物体系统的平衡问题
§3–3考虑摩擦时的物体平衡问题
摩擦不利的一面
a.功率损耗
b.发热 c.磨损 动摩擦
摩擦的分类
滑动摩擦 滚动摩擦
静摩擦
24
第三章 物体系统的平衡问题
§3–3考虑摩擦时的物体平衡问题 一、滑动摩擦
第三章 物体系统的平衡问题
§3–2物体系统的平衡问题分析 物体系统（物系）：
由若干个物体通过约束所组成的系统。
[例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
4
第三章 物体系统的平衡问题
§3–2物体系统的平衡问题分析
物系平衡问题的特点：
①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程， 整个系统可列3n个方程（设物系中有n个物体）。 解题步骤 ① 选研究对象 ② 画受力图（受力分析） ③ 列平衡方程(选坐标、取矩点)。 ④ 解方程求出未知数