时针分针夹角问题解答

有关时针分针夹角的计算钟表上的时针、分针你追我赶，始终围绕中心按各自恒定的速度旋转，两针所成的夹角也随着时间的变化而变化。

如何来计算两针的夹角呢？通常我们以两针各自正对钟表面上“12”时为起始位置，以所计算角度时刻时针、分针暂停的位置为终止位置，两针各自旋转的角度之差为两针的夹角。由于我们常说的角都是小于180度的，当两针夹角大于180度时，应用周角360度减去两针所所旋转的夹角差为两针的夹角。

时针旋转一圈是12小时，从起始位置旋转到终止位置旋转了360度，1小时旋转了30度，1分钟旋转了0。5度；分针旋转一圈是60分钟，从起始位置旋转到终止位置是360度，1分钟旋转了6度。

一、整点两针夹角的计算

例1 2点整时针分的夹角是多少度？

分析：如图1，时针从0点旋转到2点，旋转了2×30°=60°；分针没有旋转，从0分到0分，转了0°。所以两针的夹角为60°-0°=60°。

解：2×30°-0×6°=60°

练习1：6点整时，时针分针的夹角是多少度？8点整呢？

（提示：当所计算的夹角大于180度时，应用周角360度

减去两针所所旋转的夹角差为两针的夹角。）

二、非整点两针夹角的计算

例2 计算3点40分时两针的夹角。

分析：如图2所示，3点40分时，时针以正对0点为始边，以2以到3点40分时为终边，旋转角度为：3×30°＋40×0.5°=110°；分针以正对0分为始边，以旋转到40分时为终边，旋转角度为：40×6°=240°。分针旋转角度大于时针旋转角度，所以两针夹角为240°-110°=130度。

解：如图2所示，时针旋转角度为：3×30°＋40×0.5°=110°

分针旋转角度为：40×6°=240°

两针夹角为240°-110°=130°

练习2：计算10点过5分时两针的夹角。

三、已知两针的夹角，求时间

例3 4点过多少时，时针与分针互相垂直？

分析：存在两种情况：（1）当时针旋转角度大于分针旋转角度时，如图3，时针分针互相垂直；（2）当分针旋转角度大于时针旋转角度时，如图4，时针分针互相垂直。

解：（1）当时针旋转角度大于分针旋转角度时，如图3，设4点过x分钟时两针互相垂直。由题得：

（4×30+0.5x）－6x=90

120+0.5x－6x=90

5.5x=30

x=60/11

(2) 当分针旋转角度大于时针旋转角度时，如图4，设4点过y分钟时两针互相垂直。由题得：

6y－(4×30＋0.5y)=90

6y－120－0.5y=90

5.5y=210

y=420/11

答：4点过5 分或4点38分时，时针与分针互相垂直。

练习3：11点过多少分时，时针与分针的夹角为60度？

（提示：也存在两种情况，一种是时针比分针旋转角度大60度，另一种是时针比分针旋转角度大360°－60°=300°）

四、时针与分针重合时的时间计算

时针与分针重合时，时针与分针旋转角度相等，因此，可列一元一次方程解决问题。

例4 5点过多少分钟时，时针与分针重合？

解：设5点x分钟时，两针刚好重合。由题得：

5×30－0。5x=6x

5.5x=150

x=27

答：5点过27分时，时针与分针重合。

六年级专题讲座(三)时钟问题

刘丹

钟表是我们生活中重要的计时工具.钟面上的分针，时针都在连续不断的按规律转动着.时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题.是特殊的,在圆周上的行程问题，如求分针时针重合，成角等有趣的问题.研究此类问题对提高思维能力很有益处。为解好这类问题应掌握以下基础知识.即特殊常用关系式.

讲座：

1．钟面的一周分为60格,每格为6°.每个数字间隔为5个格为30°.分针每分钟走一格,为6°.时针每分钟走格.为0.5°.分针速度是时针的12倍，时针速度是分针的

.

2．时针和分针在重合状态时，分针每走60÷(1－)=65(分),再与时针重合一次.

3. 若在初始时刻两针相差的格数为a,分针在后，则后者赶上前者的时间为:a÷(1－)(分)

4.两针垂直,表示它们所成最小角是90°.

例题：现举几例阐述解题方法与思路.

例1现在是12点,分针与时针重合.问再过几分钟两针第一次重合?

解：由上面给出的公式得:

60÷(1－)=65(分)

答:再过65(分)两针重合

例2现在是3点，问什么时间时针与分针第一次重合？

分析: 3点时,分针指在12处，时针指在3处.分针在时针后5×3＝15（个）格.

答:所求时刻为3点16分。

例3．当5点08分时，求时针与分针所成角度

解：5点时分针与时针成6×25=150° 8分钟分针走了48°，时针走了48°×=4°.

所以此时分针多转过了48－4=44°。两针成角为150－44=106°.

答：5点08分时，时针与分针成106°.

例4：在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？

解: 分两种情况进行讨论

①若从时针到分针沿顺时针方向上成90°角时,如图:

为达到两针成90°角,在这段时间内，分针要比时针多走 5（个）格，

由上述公式得:

5÷(1－)=5(分)

②若在顺时针方向上分针与时针成90°角：

由于在10点整时分针落后时针5×10=50（个）格，成90°时只落后15个格，

所以在这段时间内，分针要比时针多走50-15=35（个）格，因此到达这一时刻分针应走

35÷(1－)=38 (分)

例5在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？

分两种情况进行讨论.

①若分针与时针的夹角为180°角：

当分针与时针的夹角为180°角时，分针落后时针60×=30（个）格，而在9点整

时，分针落后时针5×9=45（个）格.因此，在这段时间内分针要比时针多走45-30=15（个）格，

由公式得:15÷(1－)=16(分)

②分针与时针的夹角为0°，即分针与时针重合：

因为9点整时，分针落后时针5×9=45（个）格，而当分针与时针重合时，分针要比时针多走45个格，

因此到达这一时刻所用的时间为

45÷(1-)=49(分)