边缘分布随机变量的相互独立性
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随机变量独立性判断随机变量的独立性和相关性
随机变量独立性判断随机变量的独立性和相关性随机变量的独立性和相关性是概率论和数理统计中的重要概念。
在实际问题中，我们经常需要判断随机变量之间是否相互独立或者相关。
本文将介绍如何判断随机变量的独立性和相关性。
一、什么是随机变量的独立性和相关性随机变量的独立性和相关性描述了随机变量之间的关系。
独立性：若两个随机变量X和Y的联合分布等于各自的边缘分布之积，即P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)，则称X和Y独立。
相关性：若两个随机变量X和Y之间存在某种依赖关系，即它们的联合分布和边缘分布不相等，称X和Y相关。
二、判断随机变量的独立性和相关性的方法1. 统计方法利用样本数据进行统计分析，可以判断随机变量的独立性和相关性。
对于两个随机变量X和Y，如果它们的样本相关系数接近于0，可以认为X和Y近似独立；如果样本相关系数接近于1或-1，可以认为X和Y相关。
2. 图形方法通过绘制散点图可以直观地观察随机变量的相关性。
对于两个随机变量X和Y，如果它们的散点图呈现出线性关系，则可以认为X和Y相关；如果散点图呈现出无规律的分布，则可以认为X和Y近似独立。
3. 利用协方差和相关系数判断协方差和相关系数是判断随机变量相关性的重要指标。
协方差衡量了两个随机变量之间的线性相关性，若协方差为0，则可以认为两个随机变量不相关。
相关系数除了衡量两个随机变量的线性相关性，还可以衡量非线性相关性，相关系数的范围在-1至1之间，绝对值越接近1表示相关性越强，绝对值越接近0表示独立性越强。
三、应用举例1. 抛硬币问题假设一次抛硬币，X表示正面次数，Y表示反面次数。
在这个例子中，X和Y的取值只能是0或1，它们的联合分布如下：P(X=0, Y=0) = 1/2P(X=1, Y=0) = 1/2P(X=0, Y=1) = 1/2P(X=1, Y=1) = 1/2可以看出，X和Y的联合分布等于各自的边缘分布之积，即P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)，因此X和Y是独立的。
证明随机变量相互独立
证明随机变量相互独立要证明随机变量相互独立，可以通过验证它们的联合分布函数和边缘分布函数，或者联合概率密度和边缘概率密度之间的关系来进行判断。
以下是证明随机变量X和Y相互独立的一般步骤：1. 定义独立性：如果两个随机变量X和Y满足对于所有可能的事件A和B，它们的联合概率等于各自概率的乘积，即P(A∩B) = P(A)P(B)，那么称X和Y是相互独立的。
2. 使用分布函数：对于连续型随机变量，如果X和Y相互独立，则它们的联合分布函数F(x, y)等于边缘分布函数的乘积，即F(x, y) = F_X(x) * F_Y(y)。
类似地，对于离散型随机变量，它们的联合概率质量函数等于边缘概率质量函数的乘积。
3. 使用概率密度函数：对于具有概率密度函数的随机变量，如果X和Y相互独立，则它们的联合概率密度函数f(x, y)等于边缘概率密度函数的乘积，即f(x, y) = f_X(x) * f_Y(y)。
4. 检验条件独立性：随机变量X和Y相互独立还意味着给定任何其他随机变量Z的条件下，X和Y仍然是独立的。
这可以用条件概率来表示，即P(X|Z)和P(Y|Z)的乘积应该等于P(X, Y|Z)。
5. 数学期望的性质：如果X和Y相互独立，那么它们的乘积的期望值等于各自期望值的乘积，即E(XY) = E(X)E(Y)。
这是独立性的一个结果，但不能用来作为独立性的判定标准，因为不线性相关并不意味着独立。
6. 实证检验：在实际应用中，可以通过收集数据并计算这些概率或期望值来检验随机变量是否独立。
如果实证数据与独立性的定义相符合，则可以认为它们是独立的。
7. 理论推导：在某些情况下，可以通过理论推导来证明独立性。
例如，如果已知随机变量是由某些独立的实验或过程生成的，那么这些随机变量可能是独立的。
8. 测度论方法：在更高级的数学框架下，如测度论，可以使用σ-代数和概率测度的概念来定义和证明独立性。
这通常涉及到对事件集合的操作和概率的公理化定义。
《概率论与数理统计》3-3 边缘分布
解 F x lim F x, y 1 arctan x X 2 y
2
2
2
1 arctan x 2
同理 ,
x ,
1 FY y lim F x, y 2 arctan y x 2 2 2
求 :⑴ C , ⑵ P X Y 1 . 解 又 ⑴由性质 :
x, y D,
其它 ,
f x, y d 1.
y
2 1
D1
O
1
x
f x, y d 0 dx0 Cxydy
1 1 2 C x y dx 2C xdx 0 2 0 0 1 2
P X ,Y D f x, y dxdy.
D
注: 注意分块积分. 只对密度函数为正的部分积分.
例1 设 D 是由 x 0, y 0, x 1, y 2 所围成的平面区
域 , 二维随机变量 X , Y 的联合概率密度函数为:
Cxy f x, y 0
fY y
所以
f x, y dx y 1dx 2 2 y,
0 y 1,
其它 .
2 y
2 2 y fY y 0
y
1 yx
y 2 x
O
1
2x
2 , , 定理 3.6 设 X , Y ~ N 1 , 2 , 12 , 2
2 1
,Y
.
证明 :
f X x
y 2
2
2
2
1 arctan x 2
同理 ,
x ,
1 FY y lim F x, y 2 arctan y x 2 2 2
求 :⑴ C , ⑵ P X Y 1 . 解 又 ⑴由性质 :
x, y D,
其它 ,
f x, y d 1.
y
2 1
D1
O
1
x
f x, y d 0 dx0 Cxydy
1 1 2 C x y dx 2C xdx 0 2 0 0 1 2
P X ,Y D f x, y dxdy.
D
注: 注意分块积分. 只对密度函数为正的部分积分.
例1 设 D 是由 x 0, y 0, x 1, y 2 所围成的平面区
域 , 二维随机变量 X , Y 的联合概率密度函数为:
Cxy f x, y 0
fY y
所以
f x, y dx y 1dx 2 2 y,
0 y 1,
其它 .
2 y
2 2 y fY y 0
y
1 yx
y 2 x
O
1
2x
2 , , 定理 3.6 设 X , Y ~ N 1 , 2 , 12 , 2
2 1
,Y
.
证明 :
f X x
y 2
第二节边缘分布
当-1<x<1时
1 x 2
f X ( x) f ( x, y)dy
1
1 x 2
dy
x 1 其他
2 1 x2
2 1 x2 f X ( x) 0
当 1 y 1时 同理 fY ( y )
1 y 2
2
1
1 y
即为 F(x，y)=Fx(x)FY(y) 反之，若X与Y满足F(x，y)=Fx(x)FY(y) ，则有 P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2} =F(x2, y2)- F(x1, y2)-F(x2, y1)+ F(x1, y1)
= Fx(x2)FY(y2)- Fx(x1)FY(y2)- Fx(x2)FY(y1)+Fx(x1)FY(y1)
若x与y相互独立则在fxydfdx一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时设他们两人到达的时间相互独立求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟112小时的概率
第二节 边缘分布
引言
边缘分布
随机变量独立性
一、边缘分布的定义
1．边缘分布 设(X,Y)为二维随机向量其分布函数为F(x,y)，X和Y的分 布函数分别记为Fx(x)和FY(y), 依次称Fx(x),FY(y)为(X,Y) 关于X和关于Y的边缘分布函数. 2.公式. 由于Fx(x)=P({X≤x}∩{Y<+∞})=P{X≤x,Y<+∞} =F(x,+∞) 同理有 FY(y)=F(+∞, y).
p
i xi x , y j y
p
p j
xi x
《概率论》课程PPT：边缘分布及随机变量的相互独立性
F(x, y) FX (x) FY ( y)
例1 设（X，Y）的概率分布（律）为
y x
1/2 1 2
p .j
-1 2/20 2/20 4/20 2/5
0 1/20 1/20 2/20 1/5
2
pi.
2/20 1/4
2/20 1/4
4/20 2/4 2/5
证明：X、Y相互独立。
逐个验证等式 pij pi p j
即
Y
X
y1 y2 y3 …
x1 p11 p12 p13 … x2 p21 p22 p23 … x3 p31 p32 p33 … ……………
二维离散型R.v.的边缘分布
Y
X
y1
y2
y3
…
Pi.
x1
p11
p12
p13
…
P1.
x2
p21
p22
p23
…
P2.
x3
p31
p32
p33
…
P3.
…………… …
p.j p.1 p.2 p.3 …
依次称为二维随机变量 (X ,Y )关于 X 和关于 Y
的边缘分布函数．
FX (x) F(x, ) FY ( y) F(, y)
二维离散型R.v.的边缘分布
如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
P{X xi ,Y y j} pij i, j 1, 2,3,
关于Y的边缘分布
Y 0 1 1/3 概率 7/12 1/3 1/12
（X，Y）的联合分布列
Y
X
0
1 1/3
-1 0 1/3 1/12 0 1/6 0 0 2 5/12 0 0
例1 设（X，Y）的概率分布（律）为
y x
1/2 1 2
p .j
-1 2/20 2/20 4/20 2/5
0 1/20 1/20 2/20 1/5
2
pi.
2/20 1/4
2/20 1/4
4/20 2/4 2/5
证明：X、Y相互独立。
逐个验证等式 pij pi p j
即
Y
X
y1 y2 y3 …
x1 p11 p12 p13 … x2 p21 p22 p23 … x3 p31 p32 p33 … ……………
二维离散型R.v.的边缘分布
Y
X
y1
y2
y3
…
Pi.
x1
p11
p12
p13
…
P1.
x2
p21
p22
p23
…
P2.
x3
p31
p32
p33
…
P3.
…………… …
p.j p.1 p.2 p.3 …
依次称为二维随机变量 (X ,Y )关于 X 和关于 Y
的边缘分布函数．
FX (x) F(x, ) FY ( y) F(, y)
二维离散型R.v.的边缘分布
如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
P{X xi ,Y y j} pij i, j 1, 2,3,
关于Y的边缘分布
Y 0 1 1/3 概率 7/12 1/3 1/12
（X，Y）的联合分布列
Y
X
0
1 1/3
-1 0 1/3 1/12 0 1/6 0 0 2 5/12 0 0
边缘分布律
边缘分布律摘要：边缘分布律是概率论和统计学中的一个重要概念，用于描述多维随机变量中各个维度的分布情况。
本文将介绍边缘分布律的定义、性质以及应用，并举例说明其在实际问题中的应用。
1. 引言在概率论和统计学中，边缘分布律是研究多维随机变量的重要工具。
多维随机变量是指具有两个或更多维度的随机变量。
通过研究各个维度上的分布情况，我们可以更好地理解随机变量之间的关系以及它们对整体随机过程的影响。
2. 边缘分布律的定义设有一个二维随机变量(X,Y)，其边缘分布函数分别为F(x)和G(y)。
那么X的边缘分布律可以定义为P(X=x)，表示随机变量X等于x的概率。
类似地，Y的边缘分布律可以定义为P(Y=y)。
边缘分布律可以通过边缘分布函数来推导得到。
3. 边缘分布律的性质边缘分布律具有以下性质：(1) 非负性：边缘分布律是非负的，即P(X=x)和P(Y=y)大于等于零。
(2) 归一性：边缘分布律的和等于1，即∑P(X=x)=1和∑P(Y=y)=1。
(3) 独立性：如果X和Y是相互独立的，那么X的边缘分布律和Y的边缘分布律也是相互独立的。
这些性质使得边缘分布律成为研究多维随机变量的重要工具，可以用于计算随机变量的期望、方差等统计量。
4. 边缘分布律的应用边缘分布律在实际问题中有广泛的应用。
在金融领域中，我们经常需要分析多个金融指标之间的关系，如股票价格与利率之间的关系。
通过计算这些指标的边缘分布律，可以更好地理解它们各自的走势以及它们之间的相关性。
另一个应用领域是医学研究。
我们经常需要研究多种因素对人体健康的影响，如饮食习惯、运动量和遗传因素等。
通过分析这些因素的边缘分布律，可以更好地理解它们对健康状况的影响程度，从而为制定健康政策和预防措施提供科学依据。
此外，边缘分布律还可以应用于气候模拟、经济预测等领域。
通过分析多个变量的边缘分布律，可以为决策者提供更准确的信息，从而做出更合理的决策。
5. 示例应用为了更好地理解边缘分布律的应用，我们举一个简单的例子。
高等数学3.4 随机变量的独立性与条件分布
2 3/15 3/15
0 1
(2) 由( X , Y ) 的联合分布律知 X 的边缘分布为 X P 0 1/15 1 10/15
由条件分布定义可知
P Y = 0 X = 0 = P Y = 1 X = 0 = P Y = 2 X = 0 =
P X = 0 , Y = 0 P X = 0 P X = 0 , Y = 1 P X = 0 P X = 0 , Y = 2 P X = 0
Y P
1 1/2
2 1/9 +α
3 1/18 +β
若X 与 Y 相互独立, 则有 1 = P X = 1, Y = 2 = P X= 1 9 1 1 = ( + ) 3 9 1 = P X = 1, Y= 3 = P X =1 18 1 1 = ( + ) 3 18
Y P = 2
dt
=
同理
x R
fY ( y ) =
( y 2 )2 exp , 2 2 2 2 2 1
y R
若 = 0 , 则对于任意实数 x 与 y 都有 f ( x, y ) = f X ( x )fY ( y ) 因此 X 与 Y 是相互独立的 . 反之, 若 X 与Y 相互独立, 则对于任意实数 x与 y 都有 f ( x, y ) = f X ( x )fY ( y ) 若取 x = 1 , y = 2 , 则有
1 2
2
2 2 ( x ) ( x ) 2 2 1 1 + 2 2 1 1
y 2 ( x 1 ) x 1 1 = 2 2 1 2 1 2(1 ) 2
2
所以( X , Y )关于X的边缘密度为
一、随机变量的相互独立性.
N (a , σ ),Y 在 [ b, b] 上服从均匀分布 , 求 ( X ,Y )
2
的联合概率密度 .
解
由于X 与Y 相互独立,
所以 f ( x, y ) f X ( x ) fY ( y )
1 又 f X ( x) e 2πσ
( x a )2 2σ 2
, x ;
X
1 2
Y
1 1 6 1 3
2 1 93 1 Biblioteka 81 9
1 18
pi P{ X xi } 1 3 1 3
2 3
p j P{Y y j } 1 2
2 (1)由分布律的性质知 0, 0, 1, 3
1 故与 应满足的条件是: 0, 0 且 . 3
第四节
随机变量的独立性
一、随机变量的相互独立性 二、二维随机变量的推广 三、小结
一、随机变量的相互独立性
1.定义
设F ( x , y )及FX ( x ), FY ( y )分别是二维随机变 量 ( X ,Y )的分布函数及边缘分布 函数.若对于所有 x , y 有 即 P{ X x ,Y y } P{ X x }P{Y y }, F ( x , y ) FX ( x )FY ( y ),
0
xe
dy xe x , x>0
y
fY ( y) xe
0
( x y )
dx e ,
y >0
即： xe x , x 0 f X ( x) 0, 其它
e y , y 0 fY ( y ) 0, 其它
3.2边缘分布与独立性
j
如下表：
Xa1 Y
ai
p j
b1 b2
p p
11
12
p p
i1
i2
p p
1
2
bj
p 1j
p ij
p j
p i
p 1
p i
1
例1 袋中有2只白球和3只黑球，现进行有放回地取球， 定义下列随机变量：
X
1
第一次取出白球
Y
1
第二次取出白球
0 第一次取出黑球
0 第二次取出黑球
试给出(X,Y)的联合分布与边缘分布。
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .
用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F(x, y) FX (x)FY ( y)
则称X,Y相互独立 .
它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
可推广到多维的情况.
f (x, y)
2
1
2
1
x
exp -
1
2(1 -
2
)
2 2
xy
y2
(-
x,
y
)
求（X，Y）关于X及Y的边缘分布密度.
解：
f
( x)
X
f
(x,
y)dy
1
2 1
2
exp -
1
2(1-
2
)
x2 2
xy
y2 dy
x2
2
xy
y2
(y
2
x)
2
x
22
边缘分布随机变量的相互独立性
如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布
N
1,
2
,12
,
2 2
,
则两个边缘分布分别服从正态分布
X ~ N 1,12
与相关系数 无关
Y ~ N
2
,
2 2
可见，联合分布可以确定边缘分布， 但边缘分布不能确定联合分布
例4 设（X，Y）的联合分布密度函数为
f (x, y)
f
(x,
y)
kxy
0
0 x 1,1 y 3 其它
3
求k值和两个边缘分布密度函数
解 由
dx f (x, y)dy 1
1 1
3
1
得 k 1 ydy 0 xdx 2k 1
k1 2
关于X的边缘分布密度为
fX (x)
f ( x, y)dy
1
x2 y2
e 2 (1 sin x sin y),
2
求关于X，Y的边缘分布密度函数
x, y
解 关于X的分布密度函数为
fX (x) f (x, y)dy
1
x2 y2
e 2 (1 sin x sin y)dy
2
F (x, y) FX (x) FY ( y)
例1 设（X，Y）的概率分布（律）为
y x
1/2 1 2
p .j
-1 2/20 2/20 4/20 2/5
0 1/20 1/20 2/20 1/5
2
pi.
2/20 1/4
2/20 1/4
3-2 边缘分布及随机变量的独立性
1 则有 p X ( x) e 2 σ1
即
( x μ1 )2
2 2 σ1
2 2 σ1
e
t2 2
d t,
同理可得
1 p X ( x) e 2πσ1
( x μ1 )2
, x .
1 pY ( y ) e 2 σ 2
( y μ2 )2
为随机变量( X , Y )关于X 的边缘分布函数.
记为 FX ( x) F ( x, ).
同理令 x ,
FY ( y) F (, y) P{X , Y y} P{Y y}
为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数.
二、离散型随机变量的边缘分布律
X PX
1 0.3
3 0.7
Y PY
2 0.6
4 0.4
求随机变量 (X,Y) 的分布律.
解
因为X与Y 相互独立, 所以
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi } P{Y y j }
于是
P{ X 1,Y 2} P{ X 1} P{Y 2}
0.3 0.6 0.18,
i 1
j 1, 2, ,
分别称 pi (i 1, 2,) 和 p j ( j 1, 2,) 为 ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律.
Y
X
x1
x2
xi
y1 y2 yj
p11 p12 p1 j
p21 p22 p2 j
pi 1 pi 2 pij
, x ;
1 , b y b, pY ( y ) 2b 其它. 0,
3.2,3.4边缘分布及独立性
相互独立的充分必要条件是：对 (X ,所Y)有可能
的取值 ( x有i , y j )
P{X xi ,Y y j} P{X xi} P{Y y j} ,
即对所有的 (i, j)
pij pi p j
例2 设 ( X 的,Y联) 合分布律为
X Y 1 0 1
1 1 12 1 6 1 12
2 1 24 1 12 1 24
3.2，3.4 边缘分布及独立性
一、边缘分布函数 设二维随机变量（X,Y)的联合分布函数
为F(x,y) FX ( x) P{X x} P{X x,Y }＝F ( x,)
FY ( y) P{Y y} P{ X ,Y y}＝F (, y)
将以上 FX和( x) 称F维Y (二y)维随机 变量
f (x, y) fX (x) fY ( y) .
即对任何 x,都y 成立
1
21 2
1
2
exp{
2(1
1
2
)
[(
x 1 1
)2
2( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2]}
1 2
2
1
( x1 )2
e 212
1
( y2 )2
e 2
2 2
2 1
2 2
特别取 x 1, y 2 上式化为：
4 1 8 14 18
证明X与 Y分布 3
1 4
p1•
p•1
1 11
p12
6
3
2
p1•
p•2
类似可以验证：
对所有的 (i, j) pij pi p j 成立，所以 X与 Y分布相互立。
例3 已知
X Y 1 0 1
0 1/ 4 0 1/ 4
的取值 ( x有i , y j )
P{X xi ,Y y j} P{X xi} P{Y y j} ,
即对所有的 (i, j)
pij pi p j
例2 设 ( X 的,Y联) 合分布律为
X Y 1 0 1
1 1 12 1 6 1 12
2 1 24 1 12 1 24
3.2，3.4 边缘分布及独立性
一、边缘分布函数 设二维随机变量（X,Y)的联合分布函数
为F(x,y) FX ( x) P{X x} P{X x,Y }＝F ( x,)
FY ( y) P{Y y} P{ X ,Y y}＝F (, y)
将以上 FX和( x) 称F维Y (二y)维随机 变量
f (x, y) fX (x) fY ( y) .
即对任何 x,都y 成立
1
21 2
1
2
exp{
2(1
1
2
)
[(
x 1 1
)2
2( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2]}
1 2
2
1
( x1 )2
e 212
1
( y2 )2
e 2
2 2
2 1
2 2
特别取 x 1, y 2 上式化为：
4 1 8 14 18
证明X与 Y分布 3
1 4
p1•
p•1
1 11
p12
6
3
2
p1•
p•2
类似可以验证：
对所有的 (i, j) pij pi p j 成立，所以 X与 Y分布相互立。
例3 已知
X Y 1 0 1
0 1/ 4 0 1/ 4
10-3 边缘分布与独立性
( X , Y )的分布律为：
P( X m, Y n) p 2 q n2 , q 1 p, n 2,3,, m 1, 2,n 1.
X 的边缘分布律为：P( X m)
n m 1
P( X m, Y n)
n m 1
p 2 q n2 pq m1 , m 1, 2,
x
同理：
f ( x, t )dx dt FY ( y) F (, y)
y
y
fY (t )dt
例1：对一群体的吸烟及健康状况进行调查，引入随机变量 0, 健康 0, 不吸烟 X 和Y 如下：X 1, 一般 , Y 10, 一天吸烟不多于15支 2, 不健康 20, 一天吸烟多于15支 根据调查结果,得 X , Y 的如下的联合概率分布：
第三节 边缘分布 与随机变量的独立性
一、 边缘分布 二、条件分布 三、独立性
一、 边缘分布 二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 F ( x, y), 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 F 记为：FX ( x)， Y ( y)，称为边缘分布函数。
FX ( x) F ( x, ) FY ( y ) F (, y)
X Y y1 x1 p11 x2 p21 … xi pi1
P Y y j
…
y2 … yj p12 … p 1j p22 … p 2j … pi2 … p ij
… P X x
i
p· 1
p· 2
… … p.j
… … … … … …
p1· p2·
…
…
pi · 1 …
3.2.边缘分布_条件分布
2、连续型r.v.边缘分布
设(X, Y)～f (x, y),(x, y)R2,F(x, y)为分布 函数,则
FX ( x) F ( x, )
称
x
f ( x, y)dydx
f X ( x) f ( x, y)dy
为(X, Y )关于X 的边缘密度函数；
同理，称
例8 (X,Y)~ N(1, 12, 2, 22, ),求 fY | X ( y | x)
1 1 f X ( x) exp{ ( x 1 ) 2 } 解、由Ex3知， 2 12 2 1
f ( x, y ) fY | X ( y | x ) f X ( x)
1 2 2
二、条件分布
1. 离散型随机变量的条件分布律 例6.已知(X,Y)的分布律为 X \Y -1 0 pi.
-2 0 1/10 3/10 2/5 3/10 3/10 3/5 p.j 2/5 3/5 求X|Y = -1的条件分布律。
P{ X xi , Y 1} P{ X xi | Y 1} P{Y 1}
2 exp{ [ y2 2 ( x 1 )]2 } 2 2 2 2 1 1
1
2 Y | X N ( 2 ( x 1 ), 2 2 (1 2 )) 1
三、随机变量的相互独立性
定义 如果对任意实数x, y, F(x, y)=FX(x)FY(y)
其分量X及Y的分布函数为二维随机变量(X, Y) 关于X及关于Y的边缘分布函数, 分别记作 FX(x), FY(y), 边缘分布函数可以由(X ,Y)的分 布函数F(x, y)来确定.
定义
FX ( x) P{ X x} F ( x, ) lim F ( x, y )
2.4边缘分布与独立性
即
事件{a<Xb}与事件{c<Yd}独立，则称随机变
量X与Y独立。
定理：随机变量X与Y独立的充分必要条件是 F(x,y)=FX(x)FY(y)
或f(x,y)=f(x)f(y)
例4.已知随机变量(X,Y)的分布律为
x y0 1
0
0.15 0.15
1
ab
且知X与Y独立，求a、b的值。 解:由归一性
0.15 0.15 a b 1 a b 0.7
y)
0
0 y 1 others
由脚印估计罪犯身高
公安人员根据收集到的 罪犯脚印，通过公式
身高 脚印长度6.876
算出罪犯的身高. 这个公式是 如何推导出来的?
设一个人身高为 X ,脚印长度为Y .
显然，两者之间是有统计关系的，故
应作为二维随机变量 (X ,Y )来研究.
由于影响人类身高与脚印的随机
1
u2
e2
1
t2
e 2 dt
2 1
2
1
u2
e 2
1
e
(
x 1
2
2 1
)2
2 1
2 1
即为正态分布的密度函数，所以
X
~
N
(
1,
2 1
),
同理可证：
Y
~
N
(
2
,
2 2
).
EX .设(X,Y)的概率密度为
c x2 y x f (x, y)
0 others
（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度
由独立性 0.15 (a 0.15)0.3
a 0.35, b 0.35
例5 已知 ( X, Y ) 的联合 d.f.为
边缘分布和独立性
fX (x)
dy
1x2
-1
2 1 x2
均匀分布 1
续解 ………..
当 x [1, 1] 时
fX (x) 0
所以，关于X的边缘
-1
1
分布密度函数为
2
fX (x)
1 x2
x [1,1]
0
其它
解
fY ( y)
f ( x, y)dx
同理
1
f
y
(
y)
c
d
0
c xy d otherwise
所以 f (x, y) fX (x) fY ( y) 即 X 与 Y 独立。
习题三 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12,15, 16
f (x, y)dy
当 x1 或 x0 时 2
fX (x) 0
当 1 x 0 时，
2
2 x1
fX (x) 0 4dy 4(2x 1)
所以，关于X的边缘分布密度为
f
X
(
x)
4(2x
1),
( 1 x 0) 2
0,
其它
关于Y的边缘分布密度为
F (x, y) FX (x) FY ( y)
例1 设（X，Y）的概率分布（律）为
y x
-1
0
2
pi.
1/2 2/20 1/20 2/20 1/4
1 2/20 1/20 2/20 1/4
2 4/20 2/20 4/20 2/4
p .j
2/5 1/5 2/5
第九讲(边缘分布及随机变量的独立性)
于是 P{ X 1, Y 2} P{ X 1} P{Y 2}
0.3 0.6 0.18
P{ X 1, Y 4} P{ X 1}P{Y 4}
0.3 0.4 0.12
P{ X 3,Y 2} P{ X 3}P{Y 2}
0.7 0.6 0.42
F (x,y) =
求边缘概率密度与边缘分布函数
解： 当x<0时
FX ( x ) F ( x , ) 0
当 0 x1 时
FX ( x ) F ( x , ) 2 x x
2 4
当
x1
时
FX ( x ) F ( x , ) 1
0,
FX ( x ) =
x < 0，
P{ X 3,Y 4} P{ X 3}P{Y 4}
f X ( x)
f ( x, y)dy x
x
事实上 , FX x F x , [
f x, y dy ]dx
x f x , y dy f X x FX
Y
1
3
0 18 38 0 38 0 0 18
P{X=0}=P{X=0, Y=1}+P{X=0, Y=3}=1/8, P{X=1}=P{X=1, Y=1}+P{X=1, Y=3}=3/8, P{X=2}= P{X=2, Y=1}+P{X=2, Y=3}=3/8, P{X=3}= P{X=3, Y=1}+P{X=3, Y=3}=1/8. P{Y=1}= P X k ,Y 1=3/8+3/8=6/8, P{Y=3}= P X k ,Y 3=1/8+1/8=2/8.
概率与数理统计3.4 相互独立的随机变量
26
12
23
1
则有 P{X 0,Y 1} 1 6 P{X 0}P{Y 1},
P{X 0,Y 2} 1 6 P{X 0}P{Y 2},
P{X 1,Y 1} 2 6 P{X 1}P{Y 1},
P{X 1,Y 2} 2 6 P{X 1}P{Y 2},
xe y
d
y,
xex , x 0,
0, x 0.
x0 x 0.
fY ( y)
f (x, y)d x
y 0
xe y d x,
y0
0,
y 0.
12 y2e y , y 0,
0,
y 0.
由于在 0 x y 上, f ( x, y) f X ( x) fY ( y), 故 X 与Y 不独立.
第四节 相互独立的随机变量
一、随机变量的相互独立性 二、二维随机变量的推广 三、小结
一、相互独立的随机变量
1.定义
设F ( x, y)及FX ( x), FY ( y)分别是二维随机变 量( X ,Y )的分布函数及边缘分布函数. 若对于所有
x, y有
P{X x,Y y} P{X x}P{Y y},
(2) 设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x, y),边缘概率密度分别为f X ( x), fY ( y),则有
X 和 Y 相互独立 f ( x, y) fX ( x) fY ( y).
(3)X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
例1 对于随机变量 X和Y，由
exp
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1 ( 1)
4 2
1
P(X2)D f(x,y)dxdy
1
D 2
dxdy
1
1 1x2
1 dx
2
1x2
dy
1 ( 3 ) 3 4
见课本P59例3 如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布
N1,2,1 2,2 2,
则两个边缘分布分别服从正态分布
X~N1,12 Y~N2,22
与相关系数 无关
2e 2 (1sinxsiny)dy
1e x2 2y2d y 1e x2 2y2sinxsinyd y
2
2
1
x2
e2
1
y2
e 2dy
2
2
1ex22 sinx
y2
e 2 sinydy
2
1
x2
e2
2
所以， X ~N0,1
不同的联合分布，可
同理可得 Y ~ N0,1 有相同的边缘分布。
依次称为二维随机变量 ( X , Y )关于 X 和关于 Y
的边缘分布函数．
FX(x)F(x,) FY(y)F(,y)
二维离散型R.v.的边缘分布
如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
P {Xxi,Yyj}pij i,j1,2,3,L
即
Y
X
y1 y2 y3 …
x1 p11 p12 p13 … x2 p21 p22 p23 … x3 p31 p32 p33 … ……………
边缘分布 marginal distribution
二维随机变量 ( X , Y ) ,是两个随机变量视为
一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布 函数来描述其取值规律。
F (x ,y ) P { X x ,Y y }
问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个 一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？
xydy2x 2
解 当 x [0, 1]时 fX (x) 0
所以，关于X的边缘分布密度为 关于Y的边缘分布密度为
2x
fX(x)
0
x[0,1] 其它
fY(y) f(x,y)dx
3
当 y [1,3] 时 fY (y) 0
1
当 y [1,3] 时
fY(y)
11xydx y
02
4
1
y
所以，关于Y的边缘分布密度为
例2 设（X, Y）的联合密度为
f(x,y) k0 xy
0x1,1y3 其 它
3
求k值和两个边缘分布密度函数
解 由
dx f(x,y)dy1
1 1
得
3
1
k ydy xdx2k1
1
0
k1 2
关于X的边缘分布密度为 fX(x) f(x,y)dy
当 x [0, 1] 时
31
fX(x)
1
二维离散型R.v.的边缘分布
Y
X
y1
y2
y3
…
Pi.
x1
p11
p12
p13
…
P1.
x2
p21
p22
p23
…
P2.
x3
p31
p32
p33
…
P3.
…………… …
p.j
p.1
p.2 p.3
…
关于X的边缘分布 关于Y的边缘分布
pi P{Xxi} pij
j
pj P{Yyj} pij i
二维离散型R.v.的边缘分布
可见，联合分布可以确定边缘分布， 但边缘分布不能确定联合分布
随机变量的相互独立性
定义 设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个 边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y 都有F(x,y)= FX(x) FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义 分别等价于
1/3 1/12
0
1/6
0
0
2 5/12 0
0
求关于X、Y的边缘分布
解 关于X的边缘分布为
X -1 0 2 概率 5/12 1/6 5/12
关于Y的边缘分布
Y 0 1 1/3 概率 7/12 1/3 1/12
（X，Y）的联合分布列
Y
X
0
1 1/3
-1 0 1/3 1/12 0 1/6 0 0 2 5/12 0 0
k 1
x2y21
(2)
fX(x) f(x,y)dy
当 x[1,1] 时
fX(x)
1 1x2 dy
1x2
-1
2 1 x2
均匀分布 1
续解 ………..
当 x[1,1] 时
fX(x) 0
所以，关于X的边缘
-1
1
分布密度函数为
2
fX (x)
1x2
x[1,1]
0
其它
解
fY(y) f(x,y)dx
可见，联合分布可以确定边缘分布， 但边缘分布不能确定联合分布
例4 设（X，Y）的联合分布密度函数为
f(x ,y )1e x 2 2 y 2(1 sin xsiny ), x ,y 2
求关于X，Y的边缘分布密度函数
解 关于X的分布密度函数为
fX(x) f(x,y)dy
1
x2y2
当 y[1,1] 时
-1
1
1 1y2
fY(y)
dx
1y2
2 1 y2
当 y[1,1] 时
fY ( y) 0
所以，关于Y的边缘 分布密度函数为
2
fY (y)
1y2
y[1,1]
0
其它
解 （3） P(XY1)f(x,y)dxdy
D
1 dxdy
0
1x
dx
1 dy
D 1
1 1x2
二维连续型随机变量的边缘分布
关于 X 的边缘分布函数为
x
F X(x)F (x, ) f(u ,v)d v d u
关于X的边缘概率密度为 fX(x)f(x,y)dy
关于 Y 的边缘分布函数为
y
F Y(x)F ( ,y) f(u ,v)d u d v
关于Y的边缘概率密度为
fY(y) f (x, y)dx
fY ( y)
4
0
y [1,3] 其它
边缘分布密度和概率的计算
例3 设（X, Y) 的联合分布密度为
k x2y2 1
f(x, y) 0
ห้องสมุดไป่ตู้
其它
（1）求k值
(2) 求关于X和Y的边缘密度
（3）求概率P(X+Y<1) 和 P(X>1/2)
解 (1) 由
f(x,y)dxdy1
得 kdxdyk 1
——边缘分布问题
边缘分布 marginal distribution
设二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数为 F ( x , y ) ，
F X ( x ) P { X x } P { X x , Y } F ( x , ) F Y ( y ) P { Y y } P { X , Y y } F ( , y )
关于X的边缘分布
X
x1
x2
x3
…
概率 P1.
P2.
P3.
…
pi P{Xxi} pij
关于Y的边缘分布
j
第i行之和
Y
y1
y2
y3
…
概率 P.1
P.2
P.3
…
pj P{Yyj} pij 第j列之和 i
二维离散型R.v.的边缘分布
例1 设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
Y
X
0
1
1/3
-1
0