边缘分布随机变量的相互独立性

k 1
x2y21
(2)
fX(x) f(x,y)dy
当 x[1,1] 时
fX(x)
1 1x2 dy
1x2
-1
2 1 x2
均匀分布 1
续解 ………..
当 x[1,1] 时
fX(x) 0
所以，关于X的边缘
-1
1
分布密度函数为
2
fX (x)
1x2
x[1,1]
0
其它
解
fY(y) f(x,y)dx
可见，联合分布可以确定边缘分布， 但边缘分布不能确定联合分布
随机变量的相互独立性
定义 设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个 边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y 都有F(x,y)= FX(x) FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义 分别等价于
关于X的边缘分布
X
x1
x2
x3
…
概率 P1.
P2.
P3.
…
pi P{Xxi} pij
关于Y的边缘分布
j
第i行之和
Y
y1
y2
y3
…
概率 P.1
源自文库
P.2
P.3
…
pj P{Yyj} pij 第j列之和 i
二维离散型R.v.的边缘分布
例1 设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
Y
X
0
1
1/3
-1
0
边缘分布 marginal distribution
二维随机变量 ( X , Y ) ,是两个随机变量视为
一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布 函数来描述其取值规律。
F (x ,y ) P { X x ,Y y }
问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个 一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？
当 y[1,1] 时
-1
1
1 1y2
fY(y)
dx
1y2
2 1 y2
当 y[1,1] 时
fY ( y) 0
所以，关于Y的边缘 分布密度函数为
2
fY (y)
1y2
y[1,1]
0
其它
解 （3） P(XY1)f(x,y)dxdy
D
1 dxdy
0
1x
dx
1 dy
D 1
1 1x2
可见，联合分布可以确定边缘分布， 但边缘分布不能确定联合分布
例4 设（X，Y）的联合分布密度函数为
f(x ,y )1e x 2 2 y 2(1 sin xsiny ), x ,y 2
求关于X，Y的边缘分布密度函数
解 关于X的分布密度函数为
fX(x) f(x,y)dy
1
x2y2
fY ( y)
4
0
y [1,3] 其它
边缘分布密度和概率的计算
例3 设（X, Y) 的联合分布密度为
k x2y2 1
f(x, y) 0
其它
（1）求k值
(2) 求关于X和Y的边缘密度
（3）求概率P(X+Y<1) 和 P(X>1/2)
解 (1) 由
f(x,y)dxdy1
得 kdxdyk 1
例2 设（X, Y）的联合密度为
f(x,y) k0 xy
0x1,1y3 其 它
3
求k值和两个边缘分布密度函数
解 由
dx f(x,y)dy1
1 1
得
3
1
k ydy xdx2k1
1
0
k1 2
关于X的边缘分布密度为 fX(x) f(x,y)dy
当 x [0, 1] 时
31
fX(x)
1
二维离散型R.v.的边缘分布
Y
X
y1
y2
y3
…
Pi.
x1
p11
p12
p13
…
P1.
x2
p21
p22
p23
…
P2.
x3
p31
p32
p33
…
P3.
…………… …
p.j
p.1
p.2 p.3
…
关于X的边缘分布 关于Y的边缘分布
pi P{Xxi} pij
j
pj P{Yyj} pij i
二维离散型R.v.的边缘分布
xydy2x 2
解 当 x [0, 1]时 fX (x) 0
所以，关于X的边缘分布密度为 关于Y的边缘分布密度为
2x
fX(x)
0
x[0,1] 其它
fY(y) f(x,y)dx
3
当 y [1,3] 时 fY (y) 0
1
当 y [1,3] 时
fY(y)
11xydx y
02
4
1
y
所以，关于Y的边缘分布密度为
2e 2 (1sinxsiny)dy
1e x2 2y2d y 1e x2 2y2sinxsinyd y
2
2
1
x2
e2
1
y2
e 2dy
2
2
1ex22 sinx
y2
e 2 sinydy
2
1
x2
e2
2
所以， X ~N0,1
不同的联合分布，可
同理可得 Y ~ N0,1 有相同的边缘分布。
1/3 1/12
0
1/6
0
0
2 5/12 0
0
求关于X、Y的边缘分布
解 关于X的边缘分布为
X -1 0 2 概率 5/12 1/6 5/12
关于Y的边缘分布
Y 0 1 1/3 概率 7/12 1/3 1/12
（X，Y）的联合分布列
Y
X
0
1 1/3
-1 0 1/3 1/12 0 1/6 0 0 2 5/12 0 0
依次称为二维随机变量 ( X , Y )关于 X 和关于 Y
的边缘分布函数．
FX(x)F(x,) FY(y)F(,y)
二维离散型R.v.的边缘分布
如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
P {Xxi,Yyj}pij i,j1,2,3,L
即
Y
X
y1 y2 y3 …
x1 p11 p12 p13 … x2 p21 p22 p23 … x3 p31 p32 p33 … ……………
1 ( 1)
4 2
1
P(X2)D f(x,y)dxdy
1
D 2
dxdy
1
1 1x2
1 dx
2
1x2
dy
1 ( 3 ) 3 4
见课本P59例3 如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布
N1,2,1 2,2 2,
则两个边缘分布分别服从正态分布
X~N1,12 Y~N2,22
与相关系数 无关
二维连续型随机变量的边缘分布
关于 X 的边缘分布函数为
x
F X(x)F (x, ) f(u ,v)d v d u
关于X的边缘概率密度为 fX(x)f(x,y)dy
关于 Y 的边缘分布函数为
y
F Y(x)F ( ,y) f(u ,v)d u d v
关于Y的边缘概率密度为
fY(y) f (x, y)dx
——边缘分布问题
边缘分布 marginal distribution
设二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数为 F ( x , y ) ，
F X ( x ) P { X x } P { X x , Y } F ( x , ) F Y ( y ) P { Y y } P { X , Y y } F ( , y )