第1章 事件与概率
(完整版)概率论第一章随机事件与概率
解题思路
1、将事件定义为某个参数，如A,B,C； 2、确定总样本空间样本数与事件对应的样本数 技巧：可以采用概率的性质和事件的运算关系灵 活变换。
2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.
• 重复排列：nr
•
选排列： Pnr
n! n(n 1)......(n r 1) (n r)!
组合
•
组合：
Cnr
n r
n! r!(n r)!
Pnr r!
注意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
乘法原理
第一章事件与概率讲解
习题集第一章 事件与概率1.在某城市中，公发行三种报纸A,B,C.在这个城市的居民中，订阅A 的占45%，订阅B 的占35%，订阅C 的占30%，同时订阅A 及B 的占10%，同时订阅A 及C 的占8%,同时订阅B 及C 的占5%,同时订阅A,B,C 的占3%.试求下列百分率：（1）只订阅A 的;(2) 只订阅A 及B 的；（3）只订阅一种报纸的；（4）正好订阅两种报纸的；（5）至少订阅一种报纸的；（6）不订阅报纸的。
解：（1）P A ｛只订购的｝()()()(){}P{A(B C)}P A P AB P AC P ABC =⋃-+-＝ 0.450.1.0.080.030.30=--+=（2） P ｛只订购A 及B 的｝{}()()P AB C P AB P ABC 0.100.030.07=-=-=-=｝（3） P ｛只订购A 的｝0.30=P ｛只订购B 的｝()P{B (A C)}0.350.100.050.030.23=-⋃=-+-=P ｛只订购C 的｝()P{C (A B)}0.300.050.080.030.20=-⋃=-+-=故P ｛只订购一种报纸的｝=P{只订购A}＋P{只订购B}＋P{只订购C}. 0.300.230.200.73=++=（4）P{正好订购两种报纸的}()()() P{AB C AC B BC A }-⋃-⋃-＝()()() P AB ABC P AC ABC P BC ABC =-+-+-()()()0.10.030.080.03.0.050.030.070.050.020.14=-+-+-=++=.（5）P ｛至少订购一种报纸的｝= P ｛只订一种的｝+ P ｛恰订两种的｝+ P ｛恰订三种的｝0.730.140.030=++=. （6）P ｛不订任何报纸的｝10.900.10=-= . 2．若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A = ；(3)C AB ⊂；(4)BC A ⊂.解：（1）ABC A C A B A ABC A BC A ⊃⊃⇒⊂⊃⇒=且显然)(，若A 发生，则B 与C 必同时发生。
《概率论》第1章 事件与概率
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5. 试用A、B、C 表示下列事件： ① A 出现； A ② 仅 A 出现；ABC ③ 恰有一个出现；ABC ABC ABC ④ 至少有一个出现；A B C ⑤ 至多有一个出现； ABC ABC ABC ABC ⑥ 都不出现； ABC ⑦ 不都出现； ABC A B C ⑧ 至少有两个出现； AC BC AB
第一章 事件与概率
3/27
在随后的200多年里,概率论不仅在理论上获得了一定 发展,而且在人口统计、保险业、误差理论、天文学等自 然科学中得到了应用.在这一时期,对概率论在理论和应用 方 面 作 出 重 要 贡 献 的 数 学 家 有 雅 格 布 · 努 利 (Jakob 伯 Bernoullii),丹尼尔· 伯努利(Daniel Bernoullii), 棣莫弗(De Moivre), 拉 普 拉 斯 (pace), 欧 拉 (L.Euler), 贝 叶 斯 (T.Bayes), 蒲 丰 (G.Buffon), 高 斯 (F.Gauss), 泊 松 (S.Poisson),布尼亚可夫斯基 (V.Bunjakovskii),切比雪夫 (Chebyshev), 马 尔 可 夫 (A.Markov), 李 雅 普 诺 夫 (A.Lyapunov)等. 尽管18,19世纪,概率论在理论和应用方面得到了很多 成果,但与其它数学分支比较,概率论的发展是缓慢的.甚 至直到20世纪以前概率论还未进入主流数学.其基本原因 是概率论缺乏严密的逻辑基础.
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凯恩斯主张把任何命题都看作事件,例如“明天将下 雨”,“土星上有生命”等等都是事件,人们对这些事件的 可信程度就是概率,而与随机试验无关,通常称为 主观概 率. 米泽斯定义事件的概率为该事件出现的频率的极限, 而作为公理就必须把这一极限的存在作为第一条公理,通 常称为客观概率.
《概率论》第1章§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
3/29
(约会问题) 两人相约7点到8点在某地会面，先 到者等候另一人20分钟，过时离去。试求这两人能会面 的概率。 设 x, y分别表示两人达到的时间， 则两人能会面的充要条件是
| x y | 20
20 x y 20
y
m
n m
条件： m n ,
即 m = 0, 1, 2, ……, n.
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
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常见模型(3) —— 盒子模型
n 个不同球放入 N 个不同的盒子中. 每个盒子中所放球数不限. 求恰有n 个盒子中各有一球的概率 n PN N! (nN)
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
1/29
古典概型的特点：
有限个样本点 基本事件的等可能性
怎样推广到“无限个样本点”而又 有某种“等可能性” ？ 某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里的 大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探， 问能够发现石油的概率是多少？ 认为任一点能钻探到石油是等可能的, 则所求概 率为
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
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思考题
口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球.
从中不返回任取3 个. 求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.
5 7 4 1 1 1 140 1 560 4 16 3
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
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对于 n 个事件，有
n i 1
1i j n
减二
第一章 随机事件和概率
第一章 随机事件和概率第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧Ω→贝努利概型贝叶斯公式/)(独立性全概公式和乘法公式条件概率减法加法五大公式几何概型古典概型随机事件样本空间基本事件随机试验BC C B C B C B A P A E ω2、重要公式和结论1. 设31)(=A P ，21)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ⊂， （3）81)(=AB P . 解：（1）21)()()()(=-=-=AB P B P AB B P A B P ； （2）61)()()()(=-=-=A P B P A B P A B P ； （3）838121)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 。
2. 已知41)()()(===C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率。
解：()()1()P ABC P A B C P A B C =++=-++[]1()()()()()()()P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =-++---+11111310044416168⎡⎤=-++---+=⎢⎥⎣⎦ 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I 和II 。
两种报警系统单独使用时，系统I 和II 有效的概率分别0.92和0.93，在系统I 失灵的条件下，系统II 仍有效的概率为0.85，求（1） 两种报警系统I 和II 都有效的概率；（2） 系统II 失灵而系统I 有效的概率；（3） 在系统II 失灵的条件下，系统I 仍有效的概率。
解：令=A “系统（Ⅰ）有效” ，=B “系统（Ⅱ）有效” 则85.0)|(,93.0)(,92.0)(===A B P B P A P（1）)()()()(B A P B P B A B P AB P -=-=862.085.0)92.01(93.0)|()()(=⨯--=-=A B P A P B P （2）058.0862.092.0)()()()(=-=-=-=AB P A P AB A P A B P（3）8286.093.01058.0)()()|(=-== B P B A P B A P 4. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。
经典概率论与数理统计第1章随机事件与概率
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第二节
1、频率
概率的定义及其确定方法
定义1: 在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在
这n次试验中发生了k次，则比值
实验中发生的频率，记为 频率具有下列性质： (1)对于任一事件A，有
称为事件A在n次
n n P Ai P Ai i 1 i 1
推论：
PA 1 P A
例1.2.7 一袋中装有N－1个黑球及1只白球，每次从 袋中摸出一球，并换入一只黑球，如此延续下去，问 第k次摸球摸到黑球的概率是多大？
解：令A={第k次摸球摸到黑球}。 则 A ={第k次摸到白球}。
确定性现象
不确定性现象
相同条件下大量重复试验中呈现规律性的现象称之为 随机现象或偶然现象，这种规律性称为统计规律性。 在一定条件下，对自然与社会现象进行的观察或实验 称为试验，在概率论中，把满足以下条件的试验称为 随机试验. （1）试验在相同条件下是可重复的； （2）试验的全部可能结果不止一个，且都是事先可 以知道的； （3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个 结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。
解：（1）记Ai={第i封信配对},i=1,2,…
S1 P ( Ai ) 1 n i 1 S 2 P ( Ai A j ) n(n 1) 1 2! 1 i j n 于是，由加法定理，得 n n P ( A) P ( Ai ) P ( Ai ) P ( Ai A j )
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An ).
下赌注问题：17世纪未，法国的 Chevalies Demere在赌博中 感觉到，如果上抛一对骰子25次，则把赌注押到“ 至少出现一次 双六”比把赌注押到“完全不出现双六”更有利，但他本人找不 出原因，请计算该两事件的概率。 上抛一对骰子25次，
第1章 概率论的基本概念.
注意事项
可能结果——样本点——基本事件
(1) (2)在概率论中常用一个长方形来 (3) 由中的单个元素组成的子集称为基本事件，常用表示. 判定一个事件是否发生的标准是看它所包含的样本点是否 表示概率空间，用椭圆或者其它的 A 出现 ① .事件发生当且仅当该事件包含的某个样本点出现 样本空间的最大子集称为必然事件，常用 表示； . ● 1 几何图形来表示事件.这类图形被称 ● ② 样本空间的最小子集称为不可能事件，常用 表示 .2 为维恩(Venn)图，又叫文氏图.
例1.1.2 一天内进入某商场的人数的样本空间为 ={0,1, 2, …}. 例1.1.3 电视机寿命的样本空间为 ={t|t0} . 在以后的数学处理上，我们往往把有限个或可列个 样本点的情况归为一类，称为离散样本空间；而将不可 列无限个样本点的情况归为另一类，称为连续样本空间.
随机事件 (random event) 随机试验的某些子集称为随机事件， 简称事件.它在随机试验中可能出现也可能不出现，而在大量重复试 验中具有某种规律性. 常用符号 (1)大写的英文字母：A,B,C. (2)大写的英文字母加下标：A1, A2, A3, … .
例1.1.7 设A, B, C是某个随机现象的三个事件，则 （1）事件“A与B发生，C不发生”：ABC （2）事件“A, B, C中至少有一个发生”：A B C （3）事件“A, B, C中至少有两个发生”：AB AC BC
概率论-第一章-随机事件与概率
第一章随机事件及其概率自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。
这类现象称为确定性现象，另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。
这类现象称为随机现象.随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。
随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。
§1随机事件一、随机试验与样本空间我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E表示。
举例如下：E\：抛一枚硬币，观察正面〃、反面卩出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃、反面7出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃出现的次数；£.：投掷一颗骰子，观察它出现的点数；£：记录某超市一天内进入的顾客人数；&：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。
随机试验具有以下三个特点：（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；%（3）试验可以在相同的条件下重复进行。
随机试验£的所有可能结果的集合称为£的样本空间，记作0。
样本空间的元素，即£的每个结果，称为样本点，一般用e表示，可记C = {e}。
上面试验对应的样本空间：n, ={w,T}；D.2={HH、HT、TH、TT}；o, ={0,1,2}；也={123,4,5,6}；={0,1234 …};o6 = {/|/>o}o注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。
二、随机事件试验£样本空间。
事件与概率
4) 必然事件与不可能事件
包括试验的全部样本点，每次试验每次都发生， 因此称为必然事件。 －不包括任何样本点，每次试验都不发生， 因而称为不可能事件。
12
3. 事件间的关系和运算
1) 包含关系：若事件A发生导致事件B发生，则称A 包含于B或事件B包含事件A，记为 A B 。
A 2) 和事件： B { | A, 或 B} ，称为A与B的和 事件，当且仅当A,B中至少有一个发生时，事件发 生。
27
例：(会面问题)两人约定在7点到8点之间在某处会面， 先到者等候20分钟然后离去。求两人能会面的概率。
9
2. 随机事件
1) 样本点：组成样本空间的元素，即实验的一个可能 , 故样本空间＝{}. 出现的结果，又称基本事件，记为
2) 3) 随机事件＝的子集，即部分样本点的集合，若事件中至少 一个样本点发生时，称这一事件发生或出现。 随机事件举例
1 4＝{1,2,3,4,5,6}
A={1,2,3}, B {4,5,6}
p(A)= a!(b-1)! b = (a+b)! (a+b) a!b!
两种不同的解法答案相同。 注 (1)两种解法不同就在于选取的样本空间不同； (2)本例结果与k无关； (3)利用摸球阐述了“抽签与顺序无关”的道理。
21
例：口袋里有a只白球和b只黑球，我们采用取后放回和取后 不放回两种方式从袋中取n个球，问恰有k个黑球的概率各为 多少？
3
2. 随机试验（简称试验，记E） 1) 试验：对自然现象的观察＋科学试验； 2) 随机试验的三个特点： 试验能在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果不止一个，且能明确试验 的所有可能结果； 每次试验之前不能确定哪一个结果会出现； 3) 检查一个实验是否是随机试验可查三点是否满足。
第一章 事件与概率
事件的和(A∪B) : 事件A和事 件B中至少有一个发生的这 一事件称为事件A和事件B 的和, 记为A∪B. 事件的积(A∩B) : 事件A和事 件B同时发生这一事件称为 事件A和事件B的积, 记为 A∩B. 如果A∩B= Φ, 则称A和B不相 容, 即事件A和B不能同时发 生.
概率论与数理统计
概率论与数理统计
样本空间的分割
设B1, B2, · · · Bn是样本空间Ω中的两两不相 容的一组事件, 即BiBj = Φ, i ≠ j, 且满足 n i =1 Bi =Ω, 则称B1, B2, · · · , Bn 是样本空间Ω 的一 个分割(又称为完备事件群,英文为partition).
Ac
对立事件: A不发生这一 事件称为事件A的对立 事件(或余事件) .
事件A和事件B的差A−B: 事件A发生而事件B不发 生这一事件称为事件A 和事件B的差, 记为A−B.
概率论与数理统计
De Morgan对偶法则
De Morgan对偶法则
上面公式可以推广到n个事件:
概率论与数理统计
什么是概率
概率论与数理统计
随机现象和随机试验
随机现象:自然界中的客观现象, 当人们观测它时, 所得结果不能预先确定, 而仅仅是多种可能结果 之一.
随机试验: 随机现象的实现和对它某特征的观测.
随机试验的要求: 结果至少有两个;每次只得到其 中一种结果且之前不能预知;在相同条件下能重复 试验. 举例说明随机现象和随机试验.
概率论与数理统计
(三)主观概率
人们常谈论种种事件出现机会的大小, 如某人有80% 的可能性办成某事. 而另一人则可能认为仅有50%的 可能性. 即我们常常会拿一个数字去估计这类事件发 生的可能性, 而心目中并不把它与频率挂钩.
第一章事件与概率
1
古典概型的定义
定义
称满足以下两个特点的随机现象的 数学模型为古典概型，如果 (1) 有限性：试验的样本空间只有有 限个样本点; (2) 等可能性：每个样本点作为基本 事件出现的可能性相同.
利用排列、组合知识来求概率的 模型通常都属于古典概型. 那么, 古典 概型为什么要通过数数来求概率呢？
Department of Mathematics, Tianjin University
内 容 提 要
1 2 3 4
随机事件的定义 事件之间的关系 事件的运算律 例 题
Department of Mathematics, Tianjin University
3
事件的运算律
以下设A,B,C…等都是同一随机试验中的随机事件. 交换律： AB=BA，A B=B A. 结合律： ABC=A(BC)，A B C=A (B C).
2
事件之间的关系
以下设A,B,C…等都是同一随机试验中 的随机事件. 包含（于）：若A发生，则B一定发生， 则称A包含于B,记为A B. 相等：若A与B相互包含，则称A与B相 等，记为A=B.
Department of Mathematics, Tianjin University
事件的交（积）：若事件C发生，当且 仅当A与B同时发生，则称C为A与B的交 (积)事件，记为C=A B,或简记为C=AB.
注：符号“ ”等同于“至少”.
事件的逆(对立)：由样本空间中所有 不属于A的样本点构成的集合表示的 事件称为A的逆(对立)事件，记为 A . 注：若A与B对立，则A与B互不相 容，反之不然.即A、B对立，则AB= , 且A B= .
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概率论与数理统计 第一章 随机事件与概率
推广：
（1）n个事件A1,A2, An至少有一个发生
所构成的事件，称为 A1, A2, An的和或并，
记为
n
A1 A2 An Ai
i1
当A1, A2, An互斥时
n
n
Ai Ai
i1
i1
（2）可列无限多个事件 A1, A2, 至少有一个
（1kn)的不同排列总数为：
n n n nk
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
第1张 第2张 第3张
1 2 34
n=4,k =3
1
1
1
2
2
2 共有4.4.4=43种可能取法
3
3
3
4
4
4
2、组合: 从n个不同元素取 k个
（1kn)的不同组合总数为：
C
k n
Ank k!
n! (n k)!k!
Ai
i1
三．互不相容事件（互斥事件）
若A与B不能同时发生，即 AB 则称A与B
互不相容（或互斥）。S与 互斥。
S
A
B
推广：n个事件 A1,A2, An互斥
A1, A2, An 中任两个互斥，即，
i≠j, i, j=1,2,3 ,……n.
四．事件的和（并） 事件A与B至少有一个发生所构成的事件， 称为A与B的和（并）记为A∪B。当A与B 互斥时，A∪B =A+B。
六. 对立事件（逆事件） 由A不发生所构成的事件，称为A的对立事件
（逆事件）。记为 A
A
A
AA ,A A S,A A.
例1．掷一质地均匀的骰子，A=“出现奇数点”= {1，3，5}，B=“出现偶数点”= {2，4，6}，C=“出现4或6”={4，6}， D=“出现3或5”={3，5}，E=“出现的点 数大于2”={3，4，5，6}， 求 A B,C D,AE,E.
第五讲 第1章随机事件与概率
1.5.3
试验的独立性
若试验E 的任一结果与试验E 若试验E1的任一结果与试验E2的任一 结果都是相互独立的事件，则称这两个 试验相互独立，或称独立试验. 试验相互独立，或称独立试验.
例1.5.3 两射手轮流对同一目标进行射击，甲先射， 谁先击中则得胜。每次射击中，甲、乙命中目标 的概率分别为 α 和 β，求甲得胜的概率。 解: 记事件Ai为 “第i次射击命中目标”，甲获胜可以表示 A1 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3 A4 A5 UL 为 P(甲胜) = α + (1 − α)(1− β) α + (1 − α)2(1− β)2 α +… 所以 P(甲胜) = α / [1− (1 − α)(1− β) ] .
n 重伯努里试验 重伯努里试验
伯努里试验： 伯努里试验： 若某种试验只有两个结果 (成功、失败； 黑球、白球；正面、反 面 )， 则称这个试验为伯努里试验. 则称这个试验为伯努里试验. 在伯努里试验中，一般记“成功”的概率 为p. n 重伯努里试验： 重伯努里试验： n次独立重复的伯努里试验. 次独立重复的伯努里试验.
n 重伯努里试验成功的次数 重伯努里试验成功的次数
在n 重伯努里试验中，记成功的次数 为X. X 的可能取值为： 0，1，……，n. ……， X 取值为 k 的概率为：
n P(X = k) = pk (1− p)n−k k
事件独立性的判断
实际应用中，往往根据经验来判断两个事 实际应用中，往往根据经验来判断两个事 件的独立性：例如 返回抽样、甲乙两人分别工作、 返回抽样、甲乙两人分别工作、重复试验 等.
概率论第一章随机事件与概率
n n P Ai P( Ai ) P( Ai Aj ) P( Ai Aj Ak ) i 1 i 1 n 1 ...... ( 1) P( A1 A2 ...... An )
配对模型(续)
P(Ai) =1/n, P(AiAj) =1/n(n1), P(AiAjAk) =1/n(n1)(n2), …… P(A1A2……An) =1/n! P(A1A2……An)=
从中有返回地任取n 个. 则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：
n M (N M ) m n N
m
n m
n M N M m N N
m
n m
条件： m n ,
即 m = 0, 1, 2, ……, n. NhomakorabeaA
事件运算的图示
AB
AB
AB
德莫根公式
A B A B;
n i 1
A B A B
n
Ai
n i 1
Ai ;
i 1
Ai
n i 1
Ai
记号
Ω φ AB AB=φ AB AB AB
概率论
样本空间, 必然事件 不可能事件 样本点 A发生必然导致B发生 A与B互不相容 A与B至少有一发生 A与B同时发生 A发生且B不发生 A不发生、对立事件
概率论
第一章 随机事件与概率
概率论起源： 合理分配赌金问题
有一笔赌金， 甲乙两个人竞赌， 输赢的 概率都一样，都是1/2， 谁先能够赢累计达到6 盘，就获得这笔赌金。 但是一个特别的原因， 赌博突然终止了， 那个时候甲赢了5局， 乙赢 了2局， 问这笔赌金应该如何分配？
课程释疑1 第一章 事件与概率
问1.6：在古典概型的概率计算中，把握等可能 性是难点之一。现见一例：掷两枚骰子，求事 件=A{点数之和等于5}的概率。下面的解法是 否正确？如不正确，错在哪里？解法：因试验 可能结果只有二个，一是点数之和为5，另一 个是点数之和不等于5，而事件A只含有其中的 一种，因而P(A)=1/2.
答：此解法是错误的，这种解法是对样本空间进 行了不正确的划分，分割出的二部分不是等可能 的，因而不能据此进行计算。正确的解法如下： 掷二枚骰子的样本空间可形象地表为： ,对子 ( i , j )表示二枚骰子 {( i , j ) : i , j 1,2,6} 分别出现的点子数，因而一个对子即对应着一个 样本点，一共含有 62 36个这样的对子，每个对 子出现的可能性都等于1/36。而事件A只含有(1,4), (2,3),(4,1),(3,2)这样四个对子。因而 4 1 p( A) 2 9 6
下面是一个实际例子：有线路甲、乙，甲是并联线 路，乙是串联线路（见图1.2）。
1 2
图1.2
n
（甲） 并联线路
1
1
（乙） 串联线路
1
记Ai为元件i导通， i=1,2…n,而事件A为线路导 _ 通，今要求分别对甲乙两种线路用诸 Ai或 Ai表示事 _ 件A ． 对线路甲，只要１号到n号元件中有一个导通 线路就导通。因而欲使线路甲不通，必须从1号元 _ _ 件到n号元件每一个都不通，也就是说 A , , A _ _ _ 1 n A A1 An ． 同时发生。因而
第一章
事件与概率
问1.1：样本空间有什么性质？ 答：样本空间有以下两个性质： (1)每次试验必有属于样本空间中的某个样本点 发生； (2)样本空间中的任意两个不同的样本点不会在 同一次试验中出现。
概率论与数理统计第一章——随机事件及概率
ex2: 从0,1,2,3,4,5, 这六个数字中任取四 个，问能组成多少个四位偶数?
解：组成的四位数是偶数,要求末位为0,2或
4,可先选末位数,共P31 种,前三位数的选取方法有
P53 种,而0不能作首位,所以所组成的偶数个数为
P1 P3 − P1 P1 P2 = 156 (个)
◼ 为方便起见，记Φ为不可能事件，Φ不 包含任何样本点。
(三) 事件的关系及运算 ❖事件的关系（包含、相等）
1A B：事件A发生一定导致B发生
2A＝B
A B
B A
B A
例：
✓ 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A ✓ 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}
B A
✓ 抛两颗均匀的骰子，两颗骰子出现的点数分别 记为x,y.记A={x+y为奇数}，B={两次的骰子点
A
B
n Ai：A1, A2,An至少有一发生
i=1
n Ai：A1, A 2 ,An同时发生
i =1
✓当AB= Φ时，称事件A与B是互不相
容的，或互斥的。
A
B
A A= A B =
A的逆事件记为A, A A =
, 若 A B =
,
称A, B互逆(互为对立事件)
AA
A
B
事件A对事件B的差事件：
◼可以在相同条件下重复进行(重复性)； ◼事先知道所有可能出现的结果（明确性）； ◼每次试验前并不知道哪个试验结果会发生 （随机性）。
例： ❖抛一枚硬币，观察试验结果； ❖对某路公交车某停靠站登记下车人数； ❖对某批同型号灯泡，抽取其中一只测 验其使用寿命（按小时计）。
第一章随机事件与概率
引言《概率统计》的研究对象确定性现象： 在一定条件下必然发生的现象。
⒈自由落体运动,给定时间,下降高度确定; ⒉标准大气压下,水加热到100℃,变为气态; ……1中南财经政法大学李正兴随机现象从投硬币、掷骰子和摸扑克等简单的机 会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞 生，到世间万物的繁衍生息；从流星殒落， 到大自然的千变万化…，我们无时无刻不面 对具有不确定性现象(即随机现象)。
2中南财经政法大学李正兴• 随机现象 在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不 出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准 确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。
• 随机现象的统计规律性 在相同条件下多次重复某一实验或观察时，其各种结 果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统 计规律性。
• 概率统计的研究对象 概率统计是研究随机现象统计规律性的一门科学。
随 机现象的普遍存在性决定了它的广泛应用性。
3中南财经政法大学李正兴第1章 随机事件及其概率•第1.1节 随机事件 •第1.2节 概率 •第1.3节 古典概型与几何概型 •第1.4节 条件概率与独立性 •第1.5节 全概率公式与贝叶斯公式4中南财经政法大学李正兴第1.1节 随机事件一、 随机试验、样本空间、事件1. 随机试验 把对某种随机现象的一次观察、观测或测量等 称为一个试验。
如果这个试验在相同的条件下 可以重复进行（重复性）；每次试验具有多种 可能性，在试验之前可以明确试验的所有可能 结果（明确性）；每次试验的结果事前不可预 知（随机性）；则称此试验为随机试验，也简 称为试验，记为E。
5中南财经政法大学李正兴2. 样本空间随机试验中的每一个基本结果称为样本点，通常用 表示。
这里所谓的基本结果是指相对于观察内容来说不能 再细分的结果，也称为基本事件。
样本点即是基本事件。
通常把一个随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间，通常用 表示。
6中南财经政法大学李正兴随机试验与样本空间举例： 下面Ei表示实验,Ωi表示试验Ei的样本空间, i=1,2,3,4E1: 掷一颗骰子，观察所掷出的点数是几， Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}；E2: 观察某城市某个月内交通事故发生次数， Ω2={0,1,2,…}；E3: 对某只灯泡实验，观察其使用寿命(小时)， Ω3={t│t≥0}；E4: 对某只灯泡做实验,观察其使用寿命是否小于200 小时，Ω4={寿命小于200小时，寿命不小于200小时}。
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例如 在平面上投掷一颗色子，分析下
面各题中A、B两个事件的关系。
1. 记掷出两点为事件 A ，掷出偶数 点为 B。 2为偶数 事件A发生 掷出 2 点 事件B发生 所以事件 A 包含于 B ，即 A B 。
2. 记掷出两点为事件 A ，掷出大于 1小于3点为 B 。 < 3 事件A发生 1掷出2 2< 点 事件B发生 所以事件 A 等于 B ，即 A B 。
事件B的概率
事件C的长度 事件C的概率
P(B)= 0/1=0
LC= 1－0－0 =1 P(C) = 1 / 1 = 1
课堂练习
第2次课堂练习
1.袋中有2个白球和8个黑球，现在无放回的 一个个抽出来，求第k次抽到的是白球的 概率。
2.思考题
① 概率为1的事件一定是必然事件吗？
② 概率为0的事件一定是不可能事件吗？
② A +Ｂ= Ω ① AB = Ο D={掷出大于1的点},指出几个不同的互斥完备群 称事件A与事件B为对立事件。 及其构成互斥完备群的事件。 记事件A的对立事件为 A 。 解 1) A1、A2、…、A6构成互斥完备群； 即 B = A。 2) B、C 构成互斥完备群； 3) A1、D 构成互斥完备群。
；
② AB, 或ABC ABC ；③ ABC AB C A BC ； ④ ⑥
A B C；
⑤ A B C ；
ABC AB C A BC 。
2. 为对立事件。方法1：因为 A B C A B C 。 方法2：因为 ( ABC )( A B C) ,( ABC ) ( A B C) 。 3. {至少甲和乙正常} AB A B。
Ai Aj (i j )
称 A1 , A2 , , An 满足两两互斥性。
2. 若事件 A1 , A2 , , An 满足下面两个条件
①
两两互斥性
②
A
i 1
n
i
称 A1 , A2 , , An 构成互斥完备群。
互斥完备群与对立事件
3. 对立事件 例1-1 在平面上投掷一颗色子, Ai={掷出i点} 若事件A和事件B满足下面两个条件 (1≤i≤6), B={掷出偶数点}, C={掷出奇数点}，
1061 2048
频率 f n ( A)
0.5181 0.5069
费
勒
10000
24000 80640
4979
12012 39699
0.4979
0.5005 0.4923
Pearson
罗曼诺夫斯基
概率的统计定义
1.定义 在大量重复(相同)试验中，随机事件
A的频率 f n ( A) 稳定在某一个常数a附近摆动。 则称此常数a为事件A的概率，即 P( A)＝a 。
第一章
§1-1 §1-2 §1-3
事件与概率
随机事件及其运算 事件的概率 概率的运算法则
§1-1
随机事件及其运算
本节的重点
事 件 的 基 本 概 念
事 件 的 并 与 交 运 算 互 斥 完 备 群 与 对 立事 件
1-1.1
随机实验
随机事件
1、统计学研究的对象：随机现象 2、随机实验及其特征
1. 用A、B、C表示下列各个事件：
①
至少甲不正常；
②
至少甲和乙正常；
③
⑤
只有两人正常；
至少一人正常；
④ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⑥
三人都不正常；
只有一人不正常。
2. 判断事件④与事件⑤是否为对立事件。 3. 给出事件{至少甲和乙正常}的对立事件。
思考题
事件A、B与A+B、AB的关系？
课堂练习答案
1. ①
A , 或A B C A B C A BC A BC
解
构成互斥完备群等可能的基本事件数
5
n C54
54! 5!(54 5)!
54 53 52 51 50 5 4 3 2 1
3162510
1 事件{赢一万元}包含的事件数 m C50 50
P(赢一万元) = 50/3162510 ≈1/60000
1-2.3
事件的运算(并事件和交事件)
1. 事件的并运算：
① 两个事件A与B的并事件A+B：
A+B = {A与B中至少有一个发生} n ② n个事件 A1 , A2 , , An 的并事件 Ai ：
A ={ A1 , A2 , , An 中至少有一个发生}
i i 1
n
i 1
注：希腊字母 Σ (读音sigma[sigma])的数学含义
件 A={0.25≤x≤0.5}、事件 B={x = 0.5}、
事件C={0<x<1}，求P(A)、P(B)、P(C)。
解 区域Ω 的长度 事件A的长度 事件A的概率 事件B的长度 L
Ω =L[0,1]=1－0
=1
LA= 0.5－0.25=0.25 P(A)= 0.25/1=0.25 LB= 0.5 －0.5=0
P( A) A所包含的基本事件数 等可能基本事件总数 mA n
例1 抛一颗骰子，求出现的点数为偶数的概率。
解：设A={点数为偶数}={2，4，6},则m=3
而 ={1,2,3,4,5,6}，则n=6 所以P（A）=m/n=3/6=1/2
例2 某厂生产50件产品，其中有3件次品， 求： （1）任取一件，为次品的概率； （2）任取5件，其中有2件次品的概率。
① ②
A x
i 1 i 1 n
n
i
A A2 An （n个事件的并事件） 1 x1 x2 xn （n个数的和）
i
2. 事件的交运算：
①
两个事件A与B的交事件AB(AB):
A B = {A与B同时发生} n个事件 A1 , A2 , , An 的交事件 Ai ： i 1
思考题
事件A、B与A+B、AB的关系？
A(或B) AB。
A(或B) A B,
§1-2
事件的概率
本节的重点 概率的统计定义 概率的古典定义 概率的性质
1-2.1
概率的统计定义
概率与频率
1. 概率：一次实验中，用来描述随机事件发生可
能性大小的数量(用 P(A) 表示事件A的概率)。
概率的性质及几何定义
( ② P )=1; P( )=0
概率的性质
① 0 P（A） 1
概率的几何定义
1. 几何测度: 指长度、面积、体积。
2. 几何概率定义：若实验结果只能出现在区
域 Ω 中的任一点，且满足等可能性。事件A 只能发生在区域 Ω 中某个子区域A，则
例1-5 在闭区间[0，1]上随机取一数x，事
(1) 随机实验：对随机现象的观察。 (2) 随机实验的特征： ① 在相同条件下，实验可重复进行。 ② 每次试验结果各异，且试验之前不 能预测结果。 ③ 所有可能的试验结果是明确的，且 每次试验必有一种结果出现。
例如
1. 在平面上投掷一个硬币，观察 其出现的结果（正面、反面）。 2. 用某药治疗某病患者，观察其 治疗的结果(无效、有效)。 3. 袋中有5个球，从中抽出1球。在 不同条件下，观察抽到红球、白球 的结果。
1-1.2 事件之间的关系及其运算
事件的基本关系
1.包含关系：若事件A 发生，导致事件B 一 定发生，则称事件A 包含于事件B 或称事 件B 包含事件A 。记为
A B或B A.
2.等价(相等)关系：若事件A 包含事件B ， 且事件B 又包含事件A，则称事件A与事件 B 等价。记为 A = B 。
§1-3
概率的运算
本节的重点 互斥事件的加法法则 对立事件的概率 独立事件的乘法法则
1-3.1
加法定理（并事件的概率）
互斥事件的加法定理
1. 若事件A、B互斥(即AB = Ο ),则
P(A+B) = P(A) + P(B) 。
2. 若n个事件A1、A2、…、An两两互斥，则
P( Ai ) P( Ai )
i 1 n n
n
i 1
i
(知识点回顾：对立事件满足 AA 一般事件的加法定理
i 1
A AA)A 1P(A )) 3. 对立事件的概率： P( A (多个概率值的和 P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) )
(多个事件的并事件
2. 频率：在n次相同的实验中，事件A出现的
次数mA与实验次数n的比值mA/n。 ① 其中事件A出现的次数 mA，叫频数； ② 频率 mA/n 记为 f n ( A) ，即
f n ( A) mA n
。
抛 掷 钱 币 实 验
试验者
De Morgan Bufen
抛币次数n
2084 4040
正面向上 次 数
② 每次实验只可能有一个事件发生。
2. 等可能性：各个事件发生的可能性相同。
古典概率模型
具有：①互斥完备群由有限个基本事件构成；
②且各个基本事件满足等可能性，
两特点的随机现象概率模型为古典概型。
古典概率定义
在古典概型中，若互斥完备群由满足等可 能性的n个基本事件构成，随机事件A只包含 其中的mA个事件，则随机事件A的概率为：
A2 A3 A4一定不会发 生。
b) 在一次观察中，五个 事件至少有一个事件 一定会发生。即 A 0 + A 1+ A 2 + A 3 + A 4 一定会发生。
互斥完备群与对立事件