空间坐标法解立体几何题

空间坐标法解立体几何题（工具：向量）

例1（2011届景德镇市二检卷文19）正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为6，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点

（1）求证：平面EF B 1⊥平面11BDD B

（2）求点1D 到平面EF B 1的距离d

1． 概念：什么是点到平面的距离？

过该点做已知平面的垂线段，所作垂线段的长度就叫做点到平面的距离（如下图所示）

2．怎样用向量表示点到平面的距离？

如图，PO ⊥α于O ，A 是平面α内任意一点，点P 到

平面α的距离设为d ，为平面α的一个法向量，则有：

==||d θcos ||= ||n =

3．怎样用坐标法求点到平面的距离？

解答例1第2问

如图建立空间坐标系，分析：要求点1D 到平面

EF B 1的距离d ，由公式：d 11=， 只要求出11B D 的坐标和平面EF B 1的一个法向

量坐标，11B D 坐标很好求，因为1D 坐标为：

（0，0，4），1B 坐标为（6，6，4），所以11B D 坐标为：（6，6，0）；

下面求平面EF B 1的一个法向量n 坐标 分析：如何求平面的一个法向量坐标？

基本思想：初中的数学思想：“设、列、求”。即设平面的一个法向量n 坐标为：(x ，y ，z)，然后列出它们的方程，最后解方程求出x 、y 、z

根据法向量的含义，法向量和平面垂直，故法向量和平面内任何一条直线都垂直，根据直线和平面垂直的判定定理，知道只要和两个不共线的向量垂直即可，在本题中可推出法向量⊥E B 1，F B n 1⊥，所以01=⋅E B n ，01=⋅F B n ，由于1B 坐标为（6，6，4），E 坐标为（3，6，0），F 坐标为（6，3，0），所以B 1的坐标为：（3-，0，4-），B 1的坐标为：

（0，3-，4-），利用坐标法，得到：⎩

⎨⎧=--=--043043z y z x ，由于法向量有长有短，方向可以朝上，还可以朝下，所以法向量有无数多个，但法向量不可以是零向量，故z 不能取0，为简单起见，取3=z ，得：4-=x ，4-=y ，所以法向量n =4(-，4-，3）

代入公式d 11=，得点1D 到平面EF B 1的距离为：

4141

4841483)4()4(|

30)4(6)4(6|222==+-+-⨯+-⨯+-⨯=d 例2（2010全国卷一6）直三棱柱111C B A ABC -中，若︒=∠90BAC ，1AA AC AB ==，则异面直线

1BA 与1AC 所成的角等于（ ）

A.30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

1． 概念：什么是两条异面直线所成的角？

如图：a 、b 是两条异面直线，O 是空间任意一点，过点O 作a '∥a ，

作b '∥b ，a '、b '是两条相交直线，它们构成四个角，我们把那个不大

于90°的角称为两条异面直线所成的角。

2． 怎样用向量表示两条异面直线所成的角？

任何直线都有方向向量，设直线a 的方向向量为a ，直线b 的方向 向量为b ，a 、b 两条异面直线所成的角为θ，向量a 、b 的夹角

<，>有可能是锐角，有可能是直角，也有可能是钝角，当

<，>为锐角或直角时，<，> θ=，当<，>为钝角时，a <，>b θπ-= 所以=θcos cos |<，> |=3．怎样用坐标法求两条异面直线所成的角？

解答例2：

如图建立空间坐标系，设异面直线1BA 与1AC 所成的角为θ，

则cos 1111=θAB=a ，易求点B 坐标：（0，a ，)0，

点1A 坐标：0(，0，a ），点A 坐标：（0，0，0），点1C 坐标：

a (，0，a ），所以

0(1=，a -，a ）

，=1AC a (，0，a ） 2120)(0|

00|cos 22222222==+++-+⨯+⨯-⨯=a

a a a a a a a a a θ ∴︒=60θ

故选C

例3（2010江西卷20）如图，BCD ∆与MCD ∆都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平

面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB =（1）求直线AM 与平面BCD 所成的角的大小；

（2）求平面ACM 与平面BCD 所成的二面角的正弦值.

概念讲解

1．什么是直线和平面所成的角？

如图：直线PA 是平面α的一条斜线，PO ⊥α，

O 为垂足，A 为斜足，OA 为PA 在平面α内的

射影，我们把斜线与其射影所成的锐角叫做斜线

和平面所成的角。

2． 怎样用向量表示直线和平面所成的角？

见右下图，设直线PA 和平面α所成的角为θ，则

θAPO ∠-︒=90，而PAO ∠可看成向量PA 和向量PO 的夹角，n 为平面α的一个法向量，显然与向量共线，故法向量和向量的夹角与向量和向量的夹角相等或互补，即<，>=<，>或<-π，>，所以

)90sin(sin APO ∠-︒=θ

APO ∠=cos

<=cos ，>

<=cos |，>|

||||n PA =3．怎样用坐标法求直线和平面所成的角？

讲解例3的第（1）问

如图建立空间坐标系，设直线AM 与平面BCD

所成的角的大小为θ，

∵AB ⊥平面BCD ∴是平面BCD 的一个法向量 故||||sin BA AM =θ点A 坐标：（0，0，32）

点B 坐标：（0，0，0）

点M 坐标：（23，2

3，3） （注明：先作MO ⊥CD 于O ，过点C 作CE ⊥BD 于E ，CG ⊥y 轴于G ，过点O 作OF ⊥BD 于F ，OH ⊥y 轴于H ，再利用坐标定义求出点M 坐标）