立体几何坐标法教师版
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在Rt△B1OB中，BB1=2，∴BO=
BB1=1 又∵BB1=AB，∴BO=
AB ∴O是AB的中点。 即点B1在平面ABC上的射影O为AB的中点 …………4分
（2）连接AB1过点O作OM⊥AB1，连线CM，OC， ∵OC⊥AB，平面ABC⊥平面AA1BB1 ∴OC⊥平面AABB。 ∴OM是斜线CM在平面AA1B1B的射影 ∵OM⊥AB1 ∴AB1⊥CM ∴∠OMC是二面角C—AB1—B的平面角 在Rt△OCM中，OC=
∴EF∥GH，即EH与FG共面．
所以EF=2GH，EF∥GH，则．
设P（x1，y1，z1），则=（x1－4，y，z1－4）．
∴x1=，y1=，z1=，即P（，，）．
则P（，，）在底面上ABCD上的射影为M（，，0）.又B（8，
8，0），
所以为点P到直线的距离.
……12分
22.解:（1）连接AO, 因为平面ABC,所以,因为, 得,在中, 在中，则又
在中，DE=， 设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t） 由AB+AD=4，得AD=4-t， 所以， 设平面PCD的法向量为， 由，，得 取，得平面PCD的一个法向量， 又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，得 解得（舍去，因为AD）， 所以 （ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的 距离都相等， 由GC=CD，得，
中点，G、H分别为棱DA，DC上动点，且EH⊥FG． （1）求GH长的取值范围； （2）当GH取得最小值时，求证：EH与FG共面；
并求出此时EH与FG的交点P到直线的距离.
19、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中， AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，． （I）求证：平面PAB⊥平面PAD； （II）设AB=AP． （i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长； （ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的 距离都相等？说明理由。
，OM=
∴∠OMC=cosC+sin2 ∴二面角C—AB1—B的大小为
…………8分 （3）过点O作ON⊥CM，∵AB1⊥平面OCM，∴AB1⊥ON
∴ON⊥平面AB1C。∴ON是O点到平面AB1C的距离
连接BC1与B1C相交于点H，则H是BC1的中点 ∴B与C1到平面ACB1的相导。 又∵O是AB的中点 ∴B到平面AB1C的距离 是O到平面AB1C距离的2倍 是G到平面AB1C距离为
（Ⅰ）证明：; （Ⅱ）求与平面所成角的大小．
三：经典练习; 26.【2012高考全国文19】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作 答无效）
如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，。 （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）设二面角为，求与平面所成角的大小。 成都二诊：
19．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为8，E、F分别为AD1，CD1
设点C到平面的距离为 则由得，从而……4分 (2)如图所示,分别以所在的直线 为x,y,z轴，建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0), C(0,-2,0), A1(0.0,2),B(0,2,0), ，.
设平面的法向量, 又 由,得, 令,得,即。 设平面的法向量, 又 由,得,令,得,即。 所以 ，……7分 由图形观察可知，二面角为钝角， 所以二面角的余弦值是. ……9分 (3)方法1.在中,作于点E,因为,得. 因为平面ABC,所以,因为, 得,所以平面,所以,
上的射影
为
的中点； （2）求二面角
的大小 ； （3）求点
到平面
的距离.
答案：
28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分) 如图，在三棱锥中，，，，点在平面内的射影在上。
（Ⅰ）求直线与平面所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角的大小。 命题立意：本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角 的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决 立体几何问题的能力. 【答案】 【解析】
所以平面PAD。 又平面PAB，所以平面平面PAD。
（II）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系 A—xyz（如图） 在平面ABCD内，作CE//AB交AD于点E，则 在中，DE=， 设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t） 由AB+AD=4，得AD=4-t， 所以， （i）设平面PCD的法向量为， 由，，得 取，得平面PCD的一个法向量， 又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，得 解得（舍去，因为AD），所以 （ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的 距离都相等， 设G（0，m，0）（其中）
解:填. 设三棱柱侧棱长为侧面的异面对角线互相垂直,则
9、如图，在四棱锥中，底面是矩形.
已知. （Ⅰ）证明平面； （Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角的大小.
59、已知斜三棱柱
的各棱长均为2， 侧棱
与底面
所成角为
， 且侧面
底面
. A B C A1 B1 C1 O
（1）证明：点
在平面
22. 在三棱柱中,已知,在在底面的投影是线段的中点。 （1）求点C到平面的距离； (2)求二面角的余弦值; (3)若M,N分别为直线上动点,求MN的最小值。
用向量法做几何题： 2010 年河南 预赛：
6.已知一个正三棱柱的底面边长为1,两个侧面的异面对角 线互相垂直.该正三棱柱的侧棱长为 ．
所以平面.从而 在中, 为异面直线的距离，即为MN的最小值。……14分
方法2.设向量,且 令,得,即。 所以异面直线的距离即为MN的最小值。……14分
59、（1）证明：过B1点作B1O⊥BA。∵侧面ABB1A1⊥底面ABC ∴A1O⊥面ABC ∴∠B1BA是侧面BB1与底面ABC倾斜角 ∴∠B1BO=
（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（II）设AB=AP． （i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长； （ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的 距离都相等？说明理
由。
本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基 础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算 求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思 想，满分14分。 解法一： （I）因为平面ABCD， 平面ABCD， 所以， 又
∴=（－4，b，－4），=（a，－4，－4）．
∵EH⊥FG．
∴·=－4a－4b+16=0，则a+b=4，即b=4－a．
又G1H在棱DA，DC上，则0≤a≤8，0≤b≤8，从而0≤a≤4．
∴GH==．
∴GH取值范围是[2，4] ． ……6分
（2）当GH=2时，a=2，b=2．
∴=（－2，2，0），=（－4，4，0），即=2．
立体几何坐标法：
一：一般的公式：
1、空间角 (1)（线线）设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1 与l2的夹角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)（线面）设直线l的方向向量和平面α的法向量分别 为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|. (3)（面面）求二面角的大小 (ⅰ)如图①，AB、CD是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的直 线，则二面角的大小θ＝〈，〉．
点）
二：如何选择建系： 8、在如图所示的几何体中，平面，平面，，且，是的中点．
（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求与平面所成的角．
11年重庆
19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．） 如题（19）图，在四面体中，平面平面，，，．
（Ⅰ）若，，求四面体的体积； （Ⅱ）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值．
19．解法一： （I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，
连结SE，则 又SD=1，故， 所以为直角。 …………3分 由， 得平面SDE，所以。 SD与两条相交直线AB、SE都垂直。 所以平面SAB。 …………6分 （II）由平面SDE知， 平面平面SED。 作垂足为F，则SF平面ABCD，
从而，即 设 ， 在中， 这与GB=GD矛盾。 所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点B，C，D的距离都 相等， 从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离 都相等
19. 解：（1）以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立 空间直角坐标系．
设DG=a，DH=b，则E（4，0，4），F（0，4，4），G（a，0， 0），H（0，b，0）．
…………12分
系C—xyz。 设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。 又设 （I），，
由得 故x=1。 由 又由 即 …………3分 于是， 故 所以平面SAB。 …………6分
（II）设平面SBC的法向量， 则 又 故 …………9分 取p=2得。 故AB与平面SBC所成的角为
4、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形 ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，．
28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分) 如图，在三棱锥中，，，，点在平面内的射影在上。
（Ⅰ）求直线与平面所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角的大小。
三：添加 轴，通过公式算出来的： 点。 全国的
19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形，．
作，垂足为G，则FG=DC=1。 连结SG，则， 又， 故平面SFG，平面SBC平面SFG。 …………9分 作，H为垂足，则平面SBC。 ，即F到平面SBC的距离为 由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有
Baidu Nhomakorabea
设AB与平面SBC所成的角为α， 则 …………12分 解法二： 以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标
则， 由得，（2） 由（1）、（2）消去t，化简得（3） 由于方程（3）没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G， 使得点G到点P，C，D的距离都相等。 从而，在线段AD上不存在一个点G， 使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。 解法二： （I）同解法一。 （II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A—xyz（如图） 在平面ABCD内，作CE//AB交AD于E， 则。 在平面ABCD内，作CE//AB交AD于点E，则
(ⅱ)如图②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的
法向量，则二面角的大小θ满足cos
θ＝cos〈n1，n2〉或－
cos〈n1，n2〉．
2、 距离
（1） 点面距的求法：设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α
的法向量，则B到平面α的距离d＝.
（2） 线面距、面面距均可转化为点面距
（3） 两异面直线的距离求法：d＝.（AB是异面直线上任意两
BB1=1 又∵BB1=AB，∴BO=
AB ∴O是AB的中点。 即点B1在平面ABC上的射影O为AB的中点 …………4分
（2）连接AB1过点O作OM⊥AB1，连线CM，OC， ∵OC⊥AB，平面ABC⊥平面AA1BB1 ∴OC⊥平面AABB。 ∴OM是斜线CM在平面AA1B1B的射影 ∵OM⊥AB1 ∴AB1⊥CM ∴∠OMC是二面角C—AB1—B的平面角 在Rt△OCM中，OC=
∴EF∥GH，即EH与FG共面．
所以EF=2GH，EF∥GH，则．
设P（x1，y1，z1），则=（x1－4，y，z1－4）．
∴x1=，y1=，z1=，即P（，，）．
则P（，，）在底面上ABCD上的射影为M（，，0）.又B（8，
8，0），
所以为点P到直线的距离.
……12分
22.解:（1）连接AO, 因为平面ABC,所以,因为, 得,在中, 在中，则又
在中，DE=， 设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t） 由AB+AD=4，得AD=4-t， 所以， 设平面PCD的法向量为， 由，，得 取，得平面PCD的一个法向量， 又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，得 解得（舍去，因为AD）， 所以 （ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的 距离都相等， 由GC=CD，得，
中点，G、H分别为棱DA，DC上动点，且EH⊥FG． （1）求GH长的取值范围； （2）当GH取得最小值时，求证：EH与FG共面；
并求出此时EH与FG的交点P到直线的距离.
19、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中， AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，． （I）求证：平面PAB⊥平面PAD； （II）设AB=AP． （i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长； （ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的 距离都相等？说明理由。
，OM=
∴∠OMC=cosC+sin2 ∴二面角C—AB1—B的大小为
…………8分 （3）过点O作ON⊥CM，∵AB1⊥平面OCM，∴AB1⊥ON
∴ON⊥平面AB1C。∴ON是O点到平面AB1C的距离
连接BC1与B1C相交于点H，则H是BC1的中点 ∴B与C1到平面ACB1的相导。 又∵O是AB的中点 ∴B到平面AB1C的距离 是O到平面AB1C距离的2倍 是G到平面AB1C距离为
（Ⅰ）证明：; （Ⅱ）求与平面所成角的大小．
三：经典练习; 26.【2012高考全国文19】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作 答无效）
如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，。 （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）设二面角为，求与平面所成角的大小。 成都二诊：
19．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为8，E、F分别为AD1，CD1
设点C到平面的距离为 则由得，从而……4分 (2)如图所示,分别以所在的直线 为x,y,z轴，建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0), C(0,-2,0), A1(0.0,2),B(0,2,0), ，.
设平面的法向量, 又 由,得, 令,得,即。 设平面的法向量, 又 由,得,令,得,即。 所以 ，……7分 由图形观察可知，二面角为钝角， 所以二面角的余弦值是. ……9分 (3)方法1.在中,作于点E,因为,得. 因为平面ABC,所以,因为, 得,所以平面,所以,
上的射影
为
的中点； （2）求二面角
的大小 ； （3）求点
到平面
的距离.
答案：
28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分) 如图，在三棱锥中，，，，点在平面内的射影在上。
（Ⅰ）求直线与平面所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角的大小。 命题立意：本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角 的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决 立体几何问题的能力. 【答案】 【解析】
所以平面PAD。 又平面PAB，所以平面平面PAD。
（II）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系 A—xyz（如图） 在平面ABCD内，作CE//AB交AD于点E，则 在中，DE=， 设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t） 由AB+AD=4，得AD=4-t， 所以， （i）设平面PCD的法向量为， 由，，得 取，得平面PCD的一个法向量， 又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，得 解得（舍去，因为AD），所以 （ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的 距离都相等， 设G（0，m，0）（其中）
解:填. 设三棱柱侧棱长为侧面的异面对角线互相垂直,则
9、如图，在四棱锥中，底面是矩形.
已知. （Ⅰ）证明平面； （Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角的大小.
59、已知斜三棱柱
的各棱长均为2， 侧棱
与底面
所成角为
， 且侧面
底面
. A B C A1 B1 C1 O
（1）证明：点
在平面
22. 在三棱柱中,已知,在在底面的投影是线段的中点。 （1）求点C到平面的距离； (2)求二面角的余弦值; (3)若M,N分别为直线上动点,求MN的最小值。
用向量法做几何题： 2010 年河南 预赛：
6.已知一个正三棱柱的底面边长为1,两个侧面的异面对角 线互相垂直.该正三棱柱的侧棱长为 ．
所以平面.从而 在中, 为异面直线的距离，即为MN的最小值。……14分
方法2.设向量,且 令,得,即。 所以异面直线的距离即为MN的最小值。……14分
59、（1）证明：过B1点作B1O⊥BA。∵侧面ABB1A1⊥底面ABC ∴A1O⊥面ABC ∴∠B1BA是侧面BB1与底面ABC倾斜角 ∴∠B1BO=
（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（II）设AB=AP． （i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长； （ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的 距离都相等？说明理
由。
本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基 础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算 求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思 想，满分14分。 解法一： （I）因为平面ABCD， 平面ABCD， 所以， 又
∴=（－4，b，－4），=（a，－4，－4）．
∵EH⊥FG．
∴·=－4a－4b+16=0，则a+b=4，即b=4－a．
又G1H在棱DA，DC上，则0≤a≤8，0≤b≤8，从而0≤a≤4．
∴GH==．
∴GH取值范围是[2，4] ． ……6分
（2）当GH=2时，a=2，b=2．
∴=（－2，2，0），=（－4，4，0），即=2．
立体几何坐标法：
一：一般的公式：
1、空间角 (1)（线线）设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1 与l2的夹角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)（线面）设直线l的方向向量和平面α的法向量分别 为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|. (3)（面面）求二面角的大小 (ⅰ)如图①，AB、CD是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的直 线，则二面角的大小θ＝〈，〉．
点）
二：如何选择建系： 8、在如图所示的几何体中，平面，平面，，且，是的中点．
（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求与平面所成的角．
11年重庆
19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．） 如题（19）图，在四面体中，平面平面，，，．
（Ⅰ）若，，求四面体的体积； （Ⅱ）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值．
19．解法一： （I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，
连结SE，则 又SD=1，故， 所以为直角。 …………3分 由， 得平面SDE，所以。 SD与两条相交直线AB、SE都垂直。 所以平面SAB。 …………6分 （II）由平面SDE知， 平面平面SED。 作垂足为F，则SF平面ABCD，
从而，即 设 ， 在中， 这与GB=GD矛盾。 所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点B，C，D的距离都 相等， 从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离 都相等
19. 解：（1）以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立 空间直角坐标系．
设DG=a，DH=b，则E（4，0，4），F（0，4，4），G（a，0， 0），H（0，b，0）．
…………12分
系C—xyz。 设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。 又设 （I），，
由得 故x=1。 由 又由 即 …………3分 于是， 故 所以平面SAB。 …………6分
（II）设平面SBC的法向量， 则 又 故 …………9分 取p=2得。 故AB与平面SBC所成的角为
4、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形 ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，．
28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分) 如图，在三棱锥中，，，，点在平面内的射影在上。
（Ⅰ）求直线与平面所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角的大小。
三：添加 轴，通过公式算出来的： 点。 全国的
19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形，．
作，垂足为G，则FG=DC=1。 连结SG，则， 又， 故平面SFG，平面SBC平面SFG。 …………9分 作，H为垂足，则平面SBC。 ，即F到平面SBC的距离为 由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有
Baidu Nhomakorabea
设AB与平面SBC所成的角为α， 则 …………12分 解法二： 以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标
则， 由得，（2） 由（1）、（2）消去t，化简得（3） 由于方程（3）没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G， 使得点G到点P，C，D的距离都相等。 从而，在线段AD上不存在一个点G， 使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。 解法二： （I）同解法一。 （II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A—xyz（如图） 在平面ABCD内，作CE//AB交AD于E， 则。 在平面ABCD内，作CE//AB交AD于点E，则
(ⅱ)如图②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的
法向量，则二面角的大小θ满足cos
θ＝cos〈n1，n2〉或－
cos〈n1，n2〉．
2、 距离
（1） 点面距的求法：设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α
的法向量，则B到平面α的距离d＝.
（2） 线面距、面面距均可转化为点面距
（3） 两异面直线的距离求法：d＝.（AB是异面直线上任意两