信号处理与数据分析 邱天爽作业答案第四章
4_连续信号的离散化与离散信号的连续化
• （3）采样过程的频域分析
– 采样后信号：
x p (t ) x(t ) p(t ), 其中 p(t )
– – 由FT的乘法性质，有
X p j
n
(t nT )
1 X j * P j 2π
2π ( k s ) – 上式中： P j T k
27
• 【拉格朗日线性插值】
x0 , y0 和 x1, y1 ，在上式中取 N 1 – 已知 y f ( x) 的两点，
–
p1 ( x ) y0 x x1 x x0 y y y1 =y0 1 0 ( x x0 ) x0 x1 x1 x0 x1 x0
cT sin[c (t nT )] xr (t ) x (nT ) c (t nT ) n
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• 理想冲激序列采样的时域分析
– 图中， xr (t ) xp (t )* h(t )
p(t ) x p (t )
n
X j * s X j s
–
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• 2. 采样过程的频域分析（续）
1 2π 1 X p j X j * P j X j * ( k ) s 2 2 π T k
– 频率混叠一旦出现，信号必然出现失真，无论采用什么 方法再进行后处理，都不能无失真地恢复原始连续时间 信号。 – 常用的方法：预滤波。即利用一个低通滤波器，使滤波 器的截止频率等于想要保留的信号的最高频率分量，而 将高于这个最高频率分量的所有频率成分滤除。 – 这样做看起来会丢失一定的信息，但是实际上对信号采 样的总体结果来说，由于避免了信号的频率混叠，一般 要比丢失一定的频率成分更有利。
信号处理与数据分析 邱天爽第11章作业答案
于是
Pxz ( z ) Pxx ( z ) 0.82 (1 0.6 z 1 )(1 0.6 z ) 0.82 1 0.3 z 1 1 0.3 z 1 2 G ( z )G ( z ) 1 (1 0.6 z )(1 0.6 z ) 1 0.6 z 1 1 0.6 z
Pxx ( s) Pss ( s) Pvv ( s)
其中：
1 1 5 2s 2 G ( s) 2 2 G ( s) 1 s 4s 1 s2 4 s 2
G (s)
2( 2.5 s ) 2( 2.5 s ) , G (s) (1 s )(2 s ) (1 s )(2 s )
2.（书稿 11.18）设系统模型为 x( n 1) 0.6x (n ) w (n ) ，观测方程为 z( n) x( n) v( n) ，其中 w( n) 为方差
2 w 0.82 的白噪声， v(n) 为方差 v2 1 的白噪声， v(n) 与 x ( n ) 互不相关。试求其离散维纳滤波器。
可以得到白化滤波器为
H w ( s) 1 (1 s )(2 s ) G (s) 2( 2.5 s)
又因为 Psx ( s ) Pss ( s ) ，因此可以得到
Psx ( s) Pss ( s ) 1 / (1 s)(1 s) 0.822 0.115 G (s) G (s) 2( 2.5 s) / (1 s)(2 s) 1 s 2.5 s
解：
由给定系统模型知 x n 是一阶广义平稳马尔可夫信号或 AR(1)信号，此信号可用白噪声 n 激励传递函数为
H ( z) 1 线性系统的输出产生。因此 z 0.6
数字信号处理课后答案第3和4章fb
[e 2
n0
N 1
j 0 n
e
]e
j N j N 1 e 0 1 e 0 2π 2π j( 0 k) j( 0 k) 2 N N 1 e 1 e
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
解法二
因为
由DFT共轭对称性可得同样结果。
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
(6)
2π kn X (k ) cos mn W N N n0
N 1
N 1
1 2
j
2π N
mn
(e
e
-j
2π N
mn
-j
2π N
kn
)e
n0
1 2
N 1
j
2π N
(mk )n
e
1 2
n0
N 1
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
教材第3章习题与上机题解答
1． 计算以下序列的N点DFT， 在变换区间0≤n≤N－1内， 序列定义为 (1) x(n)=1 (2) x(n)=δ(n) (3) x(n)=δ(n－n0) 0<n0<N (4) x(n)=Rm(n) 0<m<N
1 2j
j(
2π N
mn )
[e
e
j(
2π N
mn )
]
2π sin mn N
n=0, 1, …, N－1
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
3． 已知长度为N=10的两个有限长序列：
信号与信息处理基础课后习题参考答案
信号与信息处理基础习题及题解目录第1章绪论 (3)第2章连续时间信号的时域分析 (3)第3章连续时间信号的频域分析 (8)第4章连续时间信号的复频域分析 (15)第5章离散时间信号的时域分析 (19)第6章离散傅里叶变换 (22)第7章离散时间信号的复频域分析 (27)第一章1.1 结合具体实例，分析信息、消息和信号的联系与区别。
答：具体实例略。
信息、消息和信号三者既有区别又有联系，具体体现在：⑴ 信息的基本特点在于其不确定性，而通信的主要任务就是消除不确定性。
受信者在接收到信息之前，不知道发送的内容是什么，是未知的、不确定性事件。
受信者接收到信息后，可以减少或者消除不确定性。
⑵ 消息是信息的载体。
可以由消息得到信息，以映射的方式将消息与信息联系起来，如果不能建立映射关系就不能从消息中得到信息。
例如，一个不懂得中文的人看到一篇中文文章，就不能从中获取信息。
⑶ 信号是消息的具体物理体现，将消息转换为信号才能够在信道（传输信号的物理媒质，如空气、双绞线、同轴电缆、光缆等）中传输。
1.2 说明连续时间信号与模拟信号、离散时间信号与数字信号间的联系和区别。
答：按照时间函数取值的连续性与离散性可将信号划分为连续时间信号与离散时间信号，简称连续信号与离散信号。
第二章2.2 试写出题2.2图示各波形的表达式。
题2.2图解：左图：()()()[]()()()[]31312-------=t u t u t t u t u t f()()()()()33112--+---=t u t t u t t u中图：()()()()()321-----+=t u t u t u t u t f 右图：()()()()221---+=t u t u t u t f连续时间信号离散时间信号幅值连续幅值离散模拟信号幅值连续幅值离散数字信号抽样2.3 试画出时间t 在（-4，6）内以下信号的波形图。
⑴ t 2πsin ；⑵()1 2-t πsin ；⑶()t t u 21πsin -；⑷ ()t t u 2πsin ； ⑸()()1 2-t t u πsin ； ⑹()()1 21--t t u πsin 。
信号处理与数据分析 邱天爽作业答案第二章(Part2)
3.
出 A 的值。 解：我们知道 H ( j)
1 j 1 j 1 2 1 2 1 ，因此 A 1 。
X (e j )
n 0
x ne
j n
n
1 2
n 1
e j n 1 2
n 1
n 1
eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ j n
1 1 1 e j j 2 1 1 2 e 1 1 2 e j 0.75e j 1.25 cos 3e j 5 4cos
1.
(书稿 2.22)计算下列各式的离散时间傅里叶变换：
1 （1） x ( n) 2
n 1
u ( n 1) ；
1 （2） x ( n) 2
| n 1|
；
（3） x(n) (n 1) (n 1)
解：
（1） x(n) 的离散时间变换为：
X (e j )
n
x(n)e
j n
因此，
FT x(n) X (e j )
由本题（1）可知：
FT x (n) X (e j )
所以，
FT x (n) X (e j )
如若为实信号则有： X (e j )=X (e j ) (书稿 2.31) 一因果稳定 LTI 系统的频率响应为： H j 1 j 。试证明 H j A ，并求
* （2） x ( n)
解： （1）因为
X (e j )
n
x(n)e
j n
我们可以写成：
X (e j )
4_连续信号的离散化与离散信号的连续化
p(t )
1
0
T
t
x(t )
x p (t )
h0 (t )
x0 ( t )
– 零阶保持采样系统实质上是一个单位冲激序列采样系统 与一个零阶保持滤波器的级联。
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• 零阶保持采样系统
• 说明：
• 系统前端为一理想冲激 序列采样系统； • 系统后端级联一个零阶 保持系统，即平滑滤波器；
• 连续时间信号经理想冲
激序列采样后，再经平滑 滤波器保持。
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• （3）零阶保持采样的信号恢复
– 零阶保持采样的信号恢复
p(t )
x(t )
H ( j)
x p (t )
h0 (t )
x0 ( t )
r (t )
hr (t )
– 若虚线框中的 H ( j) 为理想低通滤波器， 则可无失真 恢复原始信号。
1 1 X j * ( k s ) X j ( k s ) T k T k
– 上式说明： – X p j 包含 X j 。
– X p j 是一个关于
X j 的周期性频谱。
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4.3.1
离散时间信号的插值
• （1）信号插值的概念与分类
– 所谓信号的插值（interpolation），是指在离散时 间信号（或称为数据）样本点的基础上补充连续曲 线，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点， 进而估算出曲线在其他点处的近似值。插值是离散 函数逼近的重要方法，也是离散时间信号连续化的 一种常用的重要手段。 – 常用的插值方法：多项式插值、埃尔米特插值、分 段插值与样条插值、三角函数插值等。
信号处理作业4-参考答案.docx
3.巳知长度为N=10的两个有限长序列,0 < 刀 < 45 < 90 W 刀 V 45<”<9做图表示•![(辨)、x2(n)和y(n)=X| (w)®x:(n)»循环卷积区间长度L= 10.解：石(刀)、与(”)和y〈”)=H] (rt)®x2(n)分别如题3解图(a)、(b) w (c)所示•题3解图Matlab程序代码参考(a)n=0:9;xl=[l,1,1,1,1,0,0,0,0,0];subplot(2,2,l);stem(n,xl,'fiir);xlabel('n');ylabelCxl(n)*);title(* xl(n)序列图')；(b)n=0:9;x2=[l,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1]；subplot(2,2,2);stem(n,x2,'fiir);xlabel('n');ylabel('x2(n)');title(* x2(n)序列图')；(c)Xl=fft(xl,10);X2=fft(x2,10);Y=X1.*X2;%%%或者Y=cconv(x 1 ,x2,10);%保证循环卷积区间长度L=10y=ifft(Y,10);subplot(2,2,3)；stem(n,y,'r')xlabel('n');ylabel('y(n)');title(' y(n)序列图);15.已知实序列上(")的8点DFT的前5个值为0.25, 0.125-jO. 3018. 0. 0. 125-j0.0518, 0.(1)求X(Q的其余3点的值；(2)x t(n) = Z 工(” + 5 + 8m)&.求 X1(4)=DFT[r)(n)],i(3) i2(n)=j(n)e)，,4,求x t(.k) =DFT[i J(n)]t,解：⑴因为小)是实序列，由第7题证明结果有XGO=X・(NT),即X(NT)=X-(A)，所以，X。
信号处理与数据分析 邱天爽作业答案 Part
1.（P24,课后习题1.5（a,c,e ））试确定下列系统的（1）记忆性；（2）时不变性；（3）线性；（4）因果性；（5）稳定性。
（a ）(t)(t -2)+(1-t)y x x = （c ）()(t)sin 2(t)y t x =⎡⎤⎣⎦ （e ）()(1)()y n n x n =+解： （a ）记忆，时变，线性，非因果性，稳定性；（c ）无记忆，时变，线性，因果性，稳定性； （e ）无记忆，时变，线性，因果性，不稳定性；备注：本题中关于时变与时不变系统的判定，错误率较高，故特以（a ）为例，时变性质解答如下： 设：()0g (t )t x t =-，且有()T (t 2)+(1t)x t x x ⎡⎤=--⎣⎦，则：()()()()()0000T (t 2)+(1t)t 2+1t =(t 2)+(1t )g t g g x t x t x t x t ⎡⎤=--=--------⎣⎦又：()()()()00000(t )t 2+1t =(t 2)+1t +y t x t x t x t x t -=------- 显然：()0T (t )g t y t ⎡⎤≠-⎣⎦，故为时变系统。
又注：对于()T g t ⎡⎤⎣⎦，信号先经过系统再做时移；0(t )y t -，信号先做时移动再经过系统。
如果还不理解，做题可以这样判断：只要信号(t)x 中t 的系数不为1，则该系统必定为时变系统，如本题中(1-t)x ，t 的系数为-1，不是1，时变系统。
此外，若信号(t)x 的系数含有t ，该系统也为时变系统，如()sin 2(t)t x ⎡⎤⎣⎦，系数为()sin 2t 含有t ，为时变系统。
这是我做题自己积累的经验，大家选择性使用。
2.（P24,课后习题1.7）计算卷积并画出结果曲线-1()(1),()(1)3nx n u n h n u n ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭解：利用定义可知，11()()()()()1()(1)(1)31()(1)31()(1)3k kk k k kk y n x n h n x k h n k u k u n k u n k u n k ∞=-∞∞-=-∞--=-∞∞=-=*=-=----=--=+-∑∑∑∑用p 代替-1k 则，101()()()3p p y n u n p ∞+==+∑对于0n ≥，则有101111()()133213p p y n ∞+====-∑对于0n <，则有1110111113()()()()()13333213np n p n p n p y n ∞∞+-+-+=-=====-∑∑ 因此：3,02()1(),02nn y n n ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩n1/61/23.（P24,课后习题1.8）设1,01(),()(/)0, t x t h t x t tα≤≤⎧==⎨⎩其余，（1）计算并画出卷积()()()y t x t h t =* （2）若d()d y tt仅含有3个不连续点，则?α=解：（a ）画出()x t 和()h t 的图形如下图所示：01α<<利用该图形，得到()()()y t x t h t =* 如图所示：因此，,0,t 1()1,1(1)0,t t y t t t otherwiseααααα≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨+-≤≤+⎪⎪⎩(b) 画出()x t 和()h t 的图形如下图所示：1α≥0 αh(t)1卷积后的图形如下图所示：10 1α 1+α所以,011,1t ()1,(1)0,t t y t t t otherwiseαααα≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨+-≤≤+⎪⎪⎩同理可以得到当1α≤-与10α-≤<时的结果，这里不再详细给出。
数字信号处理》课后作业参考答案
第3章 离散时间信号与系统时域分析3．1画出下列序列的波形（2）1()0.5(1)n x n u n -=- n=0:8; x=(1/2).^n;n1=n+1; stem(n1,x);axis([-2,9,-0.5,3]); ylabel('x(n)'); xlabel('n');(3) ()0.5()nx n u n =-（）n=0:8; x=(-1/2).^n;stem(n,x);axis([-2,9,-0.5,3]); ylabel('x(n)'); xlabel('n');3.8 已知1,020,36(),2,780,..n n x n n other n≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪⎩,14()0..n n h n other n≤≤⎧=⎨⎩，求卷积()()*()y n x n h n =并用Matlab 检查结果。
解：竖式乘法计算线性卷积： 1 1 1 0 0 0 0 2 2）01 2 3 4）14 4 4 0 0 0 0 8 83 3 3 0 0 0 0 6 62 2 2 0 0 0 0 4 41 1 1 0 0 0 02 21 3 6 9 7 4 02 6 10 14 8）1x (n )nx (n )nMatlab 程序:x1=[1 1 1 0 0 0 0 2 2]; n1=0:8; x2=[1 2 3 4]; n2=1:4; n0=n1(1)+n2(1);N=length(n1)+length(n2)-1; n=n0:n0+N-1; x=conv(x1,x2); stem(n,x);ylabel('x(n)=x1(n)*x2(n)');xlabel('n'); 结果：x = 1 3 6 9 7 4 0 2 6 10 14 83.12 (1) 37πx （n ）=5sin(n) 解：2214337w πππ==，所以N=14 (2) 326n ππ-x （n ）=sin()-sin(n)解：22211213322212,2122612T N w T N w N ππππππ=========，所以(6) 3228n π-x （n ）=5sin()-cos(n) 解：22161116313822222()T N w T w x n ππππππ=======，为无理数，所以不是周期序列所以不是周期序列3.20 已知差分方程2()3(1)(2)2()y n y n y n x n --+-=，()4()nx n u n -=，(1)4y -=，(2)10,y -=用Mtalab 编程求系统的完全响应和零状态响应，并画出图形。
信号处理与数据分析第十章作业答案(A).邱天爽.
习题10.5试说明周期图谱估计方法。
解：周期图（periodogram ）是一种经典的功率谱密度估计方法，其主要优点是能应用快速傅里叶变换算法来进行谱估计。
当序列的长度足够长时，使用改进的周期图法，可以得到较好的功率谱估值，因而应用很广。
周期图的直接计算公式为：j j *j j 2per 11(e )(e )(e )|(e )|P X X X N Nωωωω==。
此外，功率谱密度还可以根据自相关函数估计的傅里叶变换来进行计算，称为经典谱估计的间接法，又称为BT 法，其计算公式为：j (2)j j 2per 1ˆ(e )()e |(e )|m N m P R m X Nωωω+∞−=−∞==∑，其中(2)ˆ()N R m 为自相关函数的有偏估计。
习题10.18设()x n 为一平稳随机信号，且是各态历经的，现用式()()()1||01ˆ||N m N N n r m x n x n m N m −−==+−∑ 解：估计其自相关函数，求此估计的均值和方差。
偏差的定义：ˆˆbia[()][()}()]rm E r m r m =− 式中1010101ˆ[()][()()]1 [()()]1 () ()N m N N n N m N N n N M n E r m E x n x n m N mE x n x n m N mr m N mr m −−=−−=−−==+−=+−=−=∑∑∑ 所以ˆbia[()]0rm =，即本题的自相关函数的估计是无偏估计。
由定义222ˆˆˆˆˆvar[()][()[()]][()][()]rm E r m E r m E r m E r m =−=−，其中 22ˆ[()]()E r m r m = 所以：1||22(1||)ˆˆvar[()][()()()](||)N m k N m N r m rk r k m r k m N m −−=−−−≈++−−∑。
信号分析与处理答案
2.3 10
已知信号
x(t)
=
sin(t)
×
(u(t)
−
u(t
−
π))，求(1) x1(t)
=
d2 dt2
x(t)
+
x(t);
(2)
x2
(t)
=
∫t
−∞
x(τ )dτ 。
答：(1)
dx(t) dt
=
cos(t) × (u(t) − u(t − π)) + sin(t) × (δ(t) − δ(t − π))
6 第五章
24
6.1 补 1： . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.2 补 2： . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1+cos(2t) 2
,
E
= ∞, P
= 1/2.
(4) E = 4/3, P = 0;
(5) E = ∞, P = 1;
(6) E = ∞, P = 1/2.
2 第二章 P. 23
2.1 1
应用∫冲∞激信号的抽样特性，求下列表达式的函数值
(1) f (t − t0) · δ(t)dt = f (−t0) ∫−∞∞
x2(t)
=
1
− cos(t) ∞
, ,
if (t ∈ (0, π]) if (t > π)
课后习题答案及讲解
第4章课后习题答案及讲解(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--4-2 根据图P4—1所示的调制信号波形，试画出DSB及AM信号的波形图，并比较它们分别通过包络检波器后的波形差别。
解：DSB信号及包络检波后输出AM信号及包络栓波后输出由此可见，对DSB信号采用包络检波法不能正确还原基带信号。
4-3已知调制信号m(t)=cos(2000πt)+cos(4000πt)载波为cos104πt，进行单边带调制，试确定该单边带信号的表示式，并画出频谱图。
解：DSB信号为:S DSB(t)= [cos(2000πt)+ cos(4000πt)] cos104πt= 1/2[cos(12000πt)+cos(8000πt)]+1/2[cos(14000πt)+cos(6000πt)]SSB信号为：上边带S SSB(t)= 1/2·cos(12000πt)+ 1/2·cos(14000πt)-8000π 0 6000πω下边带S SSB(t)= 1/2·cos(6000πt)+ 1/2·cos(8000πt)-14000π 0 12000πω4-6 某调制系统如图P4-4所示。
为了在输出端同时分别得到f1(t)及f2(t)，试确定接收端的c1(t)和c2(t)。
（发送（接收解：该调制系统采用相干解调，设c1(t)=cos(ω1t+φ1)则接收端相乘器输出r1(t)=[f1(t) cosω0t + f2(t) sinω0t] cos(ω1t+φ1)= f1(t) cosω0t cos(ω1t+φ1) + f2(t) sinω0t cos(ω1t+φ1)=1/2 f1(t) [ cos(ω0t+ω1t+φ1)+ cos(ω0t- ω1t- φ1)]+1/2 f2(t) [ sin(ω0t+ω1t+φ1)+ sin(ω0t- ω1t- φ1)]若要经过低通滤波器后得到f1(t)，应有ω1=ω0，φ1=0，即c1(t)= cosω0t同理可得c2(t)= sinω0t思考题：4-11 什么是频分复用答：频分复用(Frequency Division Multiplexing) 是按频率分割多路信号的方法，即将信道的可用频带分成若干互不交叠的频段，每路信号占据其中的一个频段。
数字信号处理课后答案第3和4章
用DFT/FFT对信号进行谱分析的误差表现在三个方面， 即混叠现象、 栅栏效应和截断效应。 截断效应包括泄漏和 谱间干扰。
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
xN(n)=IDFT［X(k)］为x(n)的周期延拓序列（以N为延拓周期） 的主值序列。 以后这一结论可以直接引用。
［例3.4.2］ 已知 x(n)=R8(n), X(ejω)=FT［x(n)］
对X(ejω)采样得到X(k)，
X(k)X(ej)|2πk, k0,1, ,5 6
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
当然， 截取信号的长度要足够长。 但如果截取的长度 不够长， 而依靠在所截取的序列尾部加零点， 增加变换区 间长度， 也不会提高分辨率。 例如， 分析周期序列的频谱， 只观察了一个周期的1/4长度， 用这些数据进行DFT， 再通 过尾部增加零点， 加大DFT的变换区间N， 也不能分辨出是 周期序列， 更不能得到周期序列的精确频率。
令m=N－1－n， 则上式可写成
0
N1
X(k) x(m )W N k(n1) x(m )W N km
m N1
m 0
W N k(N 1 )X ( (k)N )R N (k)
第３章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
当 k N 时（N为偶数）， 2
因为
X N 2 W N N 2(N 1 )X N 2 NW N N 2(N 1 )X N 2
信号处理与数据分析 邱天爽作业答案第二章(Part1)
2 5 ，试求其基波频率 (书稿 2.5) 给定连续时间周期信号 x t 2 cos 0 和傅里 t sin t 3 3
叶级数系数 a k
解：
首先计算信号的基波频率：通过计算 T1 周期，所以基波频率为 0
x (t ) 2 1 j e 2
解：
X ( j) e 2( t 1)u (t 1)e jt dt
e 2( t 1) e jt dt
1
e j (2 j)
Hale Waihona Puke 图像如图所示。|X(jΩ)| 1/2
0
Ω
3.
(书稿 2.12) 求下式的傅里叶反变换： X j 2 4 4
1 1 j j 级数系数为 a0 2, a2 , a2 , a5 , a5 , ak 0 k Z 0, 2, 5 。 2 2 2 2
2.
(书稿 2.11) 计算信号 x(t ) e2(t 1)u (t 1) 的傅里叶变换，并画出其幅频特性曲线。
做傅里叶反变换可以得到，
x(t ) e 4t u (t )
2 t 3
2 2 6 3 ， T2 ，可知两者的最小公倍数 T 6 是信号的 2 3 5 3 5
2 。然后计算信号的傅里叶级数系数：将原周期信号适当变形，可得 T 3
5 5
1 j e 2
2 t 3
1 j 3 t 1 j 3 t 1 1 1 1 因此可知其傅里叶 e e 2 e j00 t e j20 t e j20 t e j50 t e j50 t ， 2j 2j 2 2 2j 2j
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号恢复 y(t ) 的采样周期 T 的范围。 解： y(t ) 利用傅里叶变换的性质，我们可以得到：
Y ( j)=X 1 ( j)X 2 ( j)
因此 Y ( j )=0， 1000 。这说明 y(t ) 的奈奎斯特采样频率为 2 1000 2000 ，采样周期最多维
2 2000 10 3 sec，因此采样周期 T 必须满足 T 103 sec，才能从采样信号中恢复 y(t ) 。
1 X ( j)=75X ( j) ，因此 0 的最大值为 50 。 T
3.( 书 稿 4.15) 设 x1 ( t ) 和 x2 ( t ) 均 为 带 限 信 号 ， 它 们 的 频 谱 满 足 X 1 ( j) 0, | | 1000 ，
X 2 ( j) 0, | | 2000 。若 y (t ) x1 (t ) x2 (t ) ，对 y(t ) 进行单位冲激序列采样，试给出保证能从采样后信
sin(4000 t ) x (t ) t （3）
2
，因此采样频率至少为 2(4000 ) 8000 。
4000
，因此采样频率至少为 2(4000 ) 8000 。
4000
（3） x(t ) 对应的 X ( j) 可以看作两个举行脉冲的卷积，且两脉冲均在 至少为 2(8000 ) 16000 。
100
100
通过冲击序列采样的结果为：
G ( j)= 1 X ( j( ks )) T
其中 T 2 / s 1 / 75 ，因此 G(j) 如下图所示
250
100
100
250
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
很显然，当不存在频谱交叠时，即 50 ， G ( j)=
1. （书稿 4.11）试确定下列各信号的采样频率。
（1） x(t ) 1 cos(2000 t ) sin(4000 t ) ； 解： （1）我们很容易算得 X ( j) 0 ，当 （2）可算得 X ( j) 0 ，当
4000
x (t )
（2）
sin(4000 t ) t ；
时为 0，因此采样频率
sin 50 t 2.(书稿 4.13) 考虑信号 x (t ) 。现想用采样频率 s 150 对 x(t ) 采样，得到信号 g (t ) 的傅里叶 t
2
变换为 G( j) 。为保证 G( j) 75 X ( j), | | 0 ，其中 X ( j) 为 x(t ) 的傅里叶变换。求 0 的最大值为 多少？ 解： x(t ) 的傅里叶变换 X ( j) 如下图所示，