两直线平行重合相交垂直的条件

解:
解：?? 3 x ?2x
? ?
4y? 2? 0 ?
y? 2? 0
?x ? ?2
? ?
y
?
2
所以,交点坐标为(?2, 2).
例题分析
例2、判定下列各对直线的位置关系，若相交， 则求交点的坐标
(1) l1 : x ? y ? 0 l2 : 3x ? 3 y ? 10 ? 0
(2) l1 : 3x ? y ? 4 ? 0 l2 : 6x ? 2 y ? 1 ? 0
2、与Ax+By+C=0平行的直线系方程可设为
Ax+By+m=0 （m≠c ）m=c 时重合
1）求过点(－1，2)平行于y=
1 2
x+1的ห้องสมุดไป่ตู้线；
2）求过点(1，－4) 平行于 2x+3y+5=0的直线.
答案： （1）x－2y+5=0.
（2）2x+3y+10=0.
1、与y=kx+b垂直的直线方程可设为
y ? y1 ? x ? x1 y2 ? y1 x2 ? x1
不包括坐标轴 以及与坐标轴 平行的直线
在x轴上的截
距a,即点(a ,0)
在y轴上的截
距b,即点(0, b )
x? y?1 ab
不包括过原点 的直线以及与 坐标轴平行的 直线
Ax ? By ? C ? 0 A,B不同时为零
两条直线相交、平行、重合 、 垂直的条件
已知两条直线
l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l2: A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
相交,如何求这两条直线交点的坐标 ?
解方程组
? ? ?
A1 x A2 x
? ?
B1 y ? B2 y ?
C1 ? 0 C2 ? 0
的解即为两条直线的交点.
问题1：方程组解的情况与方程组所表示的 两条直线的位置关系有何对应关系？
直线l1, l2解方程组
? ? ?
A1x ? A2 x ?
B1 y ? C1 ? 0 B2 y ? C2 ? 0
唯一解 ? l1, l2 相交
无解
? l1, l2 平行
无穷多解 ? l1, l2 重合
例1:求下列两条直线的交点坐标
l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 l2 : 2x ? y ? 2 ? 0
3．设直线l1：(m－2)x+3y+2m=0与l2： x+my+6=0，
当m∈{m|m≠3且m≠－1 } 时，l1与l2相交;
当m= －1 时，l1与l2平行；
当m=
1 2
时，l1⊥l2.
4．直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关 系是（ C ） （A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）不能确定，与m，n取值有关
A1B2 ? A2B1 ? 0 且A1C2 ? A2C1 ? 0
A1B2 ? A2B1 ? 0 且A1C2 ? A2C1 ? 0
A1A2 ? B1B2 ? 0
相交
k1 ? k2
A1B2 ? A2B1 ? 0
1．直线Ax+4y－1=0与直线3x－y－C=0重
合的条件是（ D ） （A）A=12，C≠0 （B）A=－12，C= 1
24
解：设直线方程为 3x+4y+c=0
Q 直线与坐标轴交点A(0,- c ),B(- c ,0)
4
3
? 1 ? c - c ? 1 ? c ? ?1 2 4 3 24
? 3x+4y+1=0或x+4y-1=0
l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
(1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x－4y+5=0垂直。 （1）解: 设过两直线交点的直线方程为：
(3) l1 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 l2 : 6 x ? 8 y ? 10 ? 0
3．如果直线ax+y－4=0与直线x－y－2=0 相交于第一象限，则实数a的取值范围是 （ A）
（A）－1<a<2 （B）a>－1 （C）a<2 （D）a<－2或a>2
1、与y=kx+b平行的直线方程可设为 y=kx+m （m≠b ）
直线方程
名称
斜截式 点斜式
两点式
截距式 一般式
已知条件
标准方程
使用范围
斜率k和y轴上的截 距b
y ? kx ? b
不包括y轴及平 行于y轴的直线
斜率k和一点
P0 ( x0 , y0 )
点 P1( x1和, y点1) P2 ( x2 , y2 )
y?
y0
?
k(x ?
x0 )
不包括y轴及与 y轴平行的直线
2=0平行，那么系数a的值为（ B ）
（A）－ 3
2
（C）－3
（B）－6 （D） 2
3
2．若直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2 －a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则（ C ）
（A）a=2 （B）a=－2 （C）a=2或a=－2 （D）a=2，0，－2
例3：求直线3x ? 4 y ? 7 ? 0平行，且与两坐标轴围成 三角形面积为 1 的直线方程。
y= ? x+1m （k≠0） k
2、与Ax+By+C=0垂直的直线系方程为
Bx-Ay+m=0 （A,B不同时为0）
1）求过点(－1，3)垂直于y=2x－3的直线；
2）求过点(1，2)垂直于2x+y－10=0的直线.
y=－
1 2
x+
5 2
，
x－2y+3=0.
练习题：
1．如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－
4
（C）A=－12，C≠－ 1
4
（D）A=－12，C=－1
4
2．若两条直线l1，l2的方程分别为
A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0，l1与l2只
有一个公共点，则（ B ）
（A）A1B1－A2B2=0
（B）A1B2－A2B1≠0
（C）
A1 A2
?
B1 B2
（D） A1 ? A2
B1 B2
当? 变化时,方程 A1x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0
表示什么图形?图形有何特点?
表示经过两条直线 l1 和直线 l2交点A的 （不包括A2x+B2y+C2=0）直线的集合---直线系
例1: 求过两直线x－2y+4=0和x+y－2=0的 交点，且满足下列条件的直线l的方程。
两条直线的位置关系
直线方程 位置关 系
重合
平行
垂直
l1 : y ? k1x ? b1 l2 : y ? k2 x ? b2 k1 ? k2且b1 ? b2
k1 ? k2且b1 ? b2 k1k2 ? ? 1
或k1 ? 0，k2不存在
l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0