椭圆中的仿射变换(伸缩变换)

y
b a
Y
椭圆变为圆： X 2 Y 2 a2
直线 l 变为 l : AX bB Y C 0 a
直线 l 与圆相切的充要条件是
圆心到直线 l 的距离
d |C| a
A2
b2B2 a2
整理得： (aA)2 (bB)2 C 2
原命题得证。
2 直线
y
k(x m) 与椭圆： x2 a2
利用仿射变化解决椭圆问题
x2
椭圆
a2
y2 b2
1,
(a
b
0)
经变换
x y
X b a
Y
后变成圆 X 2
Y2
a2 ，在此变换下有
以下一些性质：
a
○1 点变换后，横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍
b
a
○2 直线变换后仍然是直线，且斜率为原来的 倍
b
○3 平行线经变换后仍平行
○4 区域
D 变换后成为 D ，则面积 SD
直线 lM N 变为： akX bY akc 0
圆心到两直线的距离分别为
d1
| akm | (ak)2 b2
， d2
| akc | (ak)2 b2
弦长分别为： L1 2a
(a2 m2)k 2 b2 a2k2 b2
L2
2ab k 2 1 (ak)2 b2
，
长度之比是仿射不变量
MN a2 m2 k 2 b2 b2k2 b2
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y2 b2
1交于 M , N
两点，试求| MN
|
解：过右焦点作 MN 的平行线
易知： FM
b2
，
a c cos
yM M x
AF
FN b2 a c cos
N N
M N 2ab2 a2 c2 cos2
作仿射变换
x y
X bY
a
，
椭圆变为圆： X 2 Y 2 a2
直线 lMN 变为： akX bY akm 0
a b
SD
○5 两平行线段的比是不变量
○6 线段 PQ 经变换后变为 PQ ，则：| PQ || PQ | cos2 a2 b2 sin 2
1.求证：直线 l :
Ax
By C
0 与椭圆
x2 a2
y2 b2
1, (a
b
0) 相切的充要条件是：
(aA)2 (bB)2 C 2
x X
证明：作仿射变换：
a2 m2 k 2 b2 2ab2 1 k 2
b2k2 b2
a2k2 b2