中考翻折问题复习资料解析

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中考专题--翻折专题3(含详细解析)

翻折练习31．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝AC，D为AB的中点，E为BC上一点，将△BDE沿DE翻折，得到△FDE，EF交AC于点G，则△ECG 的周长是．2．如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A 落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②，若AF ＝，则AD＝，AB＝．3．如图，将边长为4的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF 交于点P，取GH的中点Q连接PQ，则△GPQ的周长最小值是．4．在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B 的对应点B’始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为．第1页（共63页）5．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，tan D ＝，点E在BC上运动（不与B，C重合），将四边形AECD沿直线AE 翻折后，点C落在C′处，点D′落在D处，C′D′与AB交于点F，当C′D'⊥AB时，CE 长为．6．如图，四边形ABCD是矩形，AD＝5，AB＝，点E在CD边上，DE＝2，连接BE，F是BE边上的一点，过点F作FG⊥AB于G，连接DG，将△ADG沿DG翻折的△PDG，设EF＝x，当P落在△EBC内部时（包括边界），x的取值范围是．7．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE交BC于点F，且CF＝，把△ADE沿DE翻折得到△A′DE，边A′D交EF、AC分别于点G、H，则△A′FG的面积为．第2页（共63页）8．如图，等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，以BC为底边作等腰△DCB，DC＝DB，CD与AB交于E，将△DCB沿DC折叠，点B落到点F处，连接FD刚好经过点A，连接FB，分别交AC于G，交CD于H．在下列结论中：①∠CBG＝30°；②△FDB是等腰直角三角形；③F A＝FG；④S△ABC+S△ADE＝S△DCB；⑤BH ＝CE +CG ．其中正确的结论有．（填写所有正确的序号）．9．如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝6，AB＝6．点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD 分别沿直线CA、CB翻折得到△CAE与△CBF，连接EF，则△CEF面积的最小值为．10．在边长为的正方形ABCD中，点E是边CD上一点，连接AE，过点D作DM⊥AE于点M，连接MC．把△DMC沿DM翻折，点C的对应点为C′，DC′交AE于点P，连接AC'、BC′，已知S△ABC′＝1，则△PMC'的周长为．第3页（共63页）11．如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，DE＝2，过B作AE的垂线，垂足为点F，BF＝3，将△ADE沿AE翻折，得到△AGE，AG与BF于点M，连接BG，则△BMG 的周长为．12．如图，一张矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F分别在边AD 、BC上，将纸片ABCD折叠，折痕为EF，使点C落在边AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围是≤BF≤3；④当点H与点A重合时，EF＝．以上结论中，正确的是．（填序号）．13．已知如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，将△ABE沿着BE翻折得到△FBE，EF交BC于点H，延长BF、DC相交于点G，若DG＝16，BC＝24，则FH＝．14．如图，在矩形ABCD中，M、N分别为CD、AB的三等分点，现将矩形ABCD对折，使顶点B恰落在MN上的点P处，延长EP交AD边于F．若AB＝2，则折痕AE的长为．15．在矩形ABCD中，AB＝3，点P在对角线AC上，直线l过点P，且与AC垂直交AD边于点E．第4页（共63页）（1）如图1，若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心O重合，求BC的长；（2）如图2，若直线l与AB相交于点F且AP ＝AC，设AD的长为x，五边形BCDEF的面积为S，①求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②探索：是否存在这样的x，使得以A为圆心，以x ﹣长为半径的圆与直线l相切？若存在，请求出x的值若不存在，请说明理由．16．如图，将矩形ABCD先过点A的直线L1翻折，点DA的对应点D′刚好落在边BC上，直线L1交DC于点F；再将矩形ABCD沿过点A的直线L2翻折，使点B的对应点G落在AD′上，EG的延长线交AD于点H．（1）当四边形AED′H是平行四边形时，求∠AD′H的度数．（2）当点H与点D刚好重合时，试判断△AEF的形状，并说明理由．第5页（共63页）第6页（共63页）17．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在线段BC上，∠EDB ＝∠C，交AB于F，BE⊥DE于E，探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明．小白的想法是，将△BDE以直线DE为对称轴翻折，再通过证明△GBH≌△FDH得到结论，请按照小白的想法完成此题解答．证明：延长BE至点G，使EG＝EB，连接GD交AB于点H．【解决问题】△ABC中，∠C＝2∠B，点E是线段BC的延长线上一点，CE＝kBC，AD平分∠BAC交BC于点D，EF⊥AD于F，交AC于G ，求的值．第7页（共63页）18．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3，点D为AB的中点，点E为线段BC上的点，连接DE，把△BDE沿着DE翻折得△B1DE．（1）当A、D、B1、C构成的四边形为平行四边形，求DE的长；（2）当DB1⊥AC时，求△DEB1和△ABC重叠部分的面积．第8页（共63页）19．在正方形ABCD中，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于E，延长EG交CD于F．[感知]如图①，当点H与点C重合时，可得FG＝FD．[探究]如图②，当点H为边CD上任意一点时，猜想FG与FD的数量关系，并说明理由．[应用]在图②中，当AB＝5，BE＝3时，利用探究的结论，求FG的长．第9页（共63页）20．如图1，一张菱形纸片EHGF，点A、D、C、B分别是EF、EH、HG、GF边上的点，连接AD、DC、CB、AB、DB，且AD ＝，AB ＝；如图2，若将△F AB、△AED、△DHC、△CGB分别沿AB、AD、DC、CB对折，点E、F都落在DB上的点P处，点H、G都落在DB上的点Q处．（1）求证：四边形ADCB是矩形；第10页（共63页）（2）求菱形纸片EHGF的面积和边长．第11页（共63页）21．如图①，在矩形纸片ABCD中，AB ＝+1，AD ＝．（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE 的长为；（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为；（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留π）第12页（共63页）22．如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②．（1）求证：EG＝CH；（2）已知AF＝2，求AD和AB的长．第13页（共63页）23．（一）实践与操作第一步：取一张正方形纸片ABCD，按图1对折，得折痕EF，摊开展平；第二步：将B点折到EF上B′，如图2．（二）解决问题第14页（共63页）（1）如图3，连接BB′，试判定△ABB′的形状，并证明你的结论；（2）如图4，连接AC，交BB′于P，作PQ⊥AB于Q，若AB＝2，求PQ．24．如图，在△ABD中，AB＝AD，将△ABD沿BD翻折，使点A翻折到点C．E是BD上一点，且BE＞DE，连结CE并延长交AD于F，连结AE．第15页（共63页）（1）依题意补全图形；（2）判断∠DFC与∠BAE的大小关系并加以证明；（3）若∠BAD＝120°，AB＝2，取AD的中点G，连结EG，求EA+EG的最小值．第16页（共63页）25．已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F两点分别在边AB，BC上运动，△BEF沿EF折叠后为△GEF，（1）若BF＝a，则线段AG的最小值为．（用含a的代数式表示）（2）问：在E、F运动过程中，取a＝时，AG有最小值，值为．第17页（共63页）翻折练习3参考答案与试题解析一．填空题（共15小题）1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝AC，D为AB的中点，E为BC上一点，将△BDE沿DE翻折，得到△FDE，EF交AC于点G，则△ECG 的周长是．【分析】连接CD，DG，作DM⊥AC于M，DN⊥EF于N．只要证明CG＝GF，即可推出△ECG的周长＝EG+CG+EC ＝EG+FG+EC＝EF+EC＝BE+EC＝BC；【解答】解：连接CD，DG，作DM⊥AC于M，DN⊥EF于N．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，BD＝AD，∴CD＝BD＝AD，∠DCA＝∠B＝45°由翻折的性质可知：DB＝DF，BE＝EF，∠B＝∠F＝45°，∴∠F＝∠DCM，∵DF＝DC，∠DNF＝∠DMC，第18页（共63页）∴△DNF≌△DMC（AAS），∴CM＝FN，DM＝DN，∵DG＝DG，∠DMG＝∠DNG＝90°，∴Rt△DGN≌Rt△DGM（HL），∴GM＝GN，∴GF＝CG，∵△ECG的周长＝EG+CG+EC＝EG+FG+EC＝EF+EC＝BE+EC＝BC，在Rt△ABC中，∵AB＝2，BC＝CA，∴BC ＝，∴△GCE 的周长为，（方法二：连接CF，利用等角对等边可证CG＝FG，可以证明△GCE的周长＝BC的长）故答案为．【点评】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A 落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②，若AF ＝，则AD ＝+2，AB＝2+2．【分析】由折叠的性质可知∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A ＝90°，AF＝，那么DG＝，利用勾股定理求出DF＝2，于是可得AD＝AF+DF＝+2；再利用AAS证明△AEF≌△BCE，得到AF＝BE，于是AB＝AE+BE＝第19页（共63页）+2+＝2+2．【解答】解：∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF ＝，∴DG ＝，DF＝2，∴AD＝AF+DF ＝+2；由折叠知∠AEF＝∠GEF，∠BEC＝∠HEC，∴∠GEF+∠HEC＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∴∠BEC＝∠AFE，在△AEF与△BCE中，，∴△AEF≌△BCE（AAS），∴AF＝BE，∴AB＝AE+BE ＝+2+＝2+2．故答案为：+2；2+2．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识．3．如图，将边长为4的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF 交于点P，取GH的中点Q连接PQ，则△GPQ 的周长最小值是2+2．第20页（共63页）【分析】如图，取CD的中点N，连接PN，PB，BN．首先证明PQ＝PN，PB＝PG，推出PQ+PG＝PN+PB≥BN，求出BN即可解决问题．【解答】解：如图，取CD的中点N，连接PN，PB，BN．由翻折的性质以及对称性可知；PQ＝PN，PG＝PC，HG＝CD＝4，∵QH＝QG，∴QG＝2，在Rt△BCN中，BN ＝＝2，∵∠CBG＝90°，PC＝PG，∴PB＝PG＝PC，∴PQ+PG＝PN+PB≥BN＝2，∴PQ+PG的最小值为2，∴△GPQ的周长的最小值为2+2，故答案为2+2．【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会第21页（共63页）添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．4．在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B 的对应点B’始终落在边CD上，则A、E 两点之间的最大距离为2﹣．【分析】如图，作AH⊥CD于H．由B，B′关于EF对称，推出BE＝EB′，当BE的值最小时，AE 的值最大，根据垂线段最短即可解决问题．【解答】解：如图，作AH⊥CD于H．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB∥CD，∴∠D+∠BAD＝180°，∴∠D＝60°，∵AD＝AB ＝2，∴AH＝AD•sin60°＝，∵B，B′关于EF对称，∴BE＝EB′，当BE的值最小时，AE的值最大，第22页（共63页）根据垂线段最短可知，当EB时，BE的值最小，∴AE的最大值＝2﹣，故答案为2﹣．【点评】本题考查翻折变换，菱形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，tan D ＝，点E在BC上运动（不与B，C重合），将四边形AECD沿直线AE 翻折后，点C落在C′处，点D′落在D处，C′D′与AB交于点F，当C′D'⊥AB时，CE 长为．【分析】如图，作AH⊥CD于H，交BC 的延长线于G ，连接AC′．首先证明EA平分∠BAG，推出＝，想办法求出AG，BG，EG，CG即可解决问题．【解答】解：如图，作AH⊥CD 于H，交BC的延长线于G，连接AC′．由题意：AD＝AD′，∠D＝∠D′，∠AFD′＝∠AHD＝90°，∴△AFD′≌△AHD（AAS），∴∠F AD′＝∠HAD，∵∠EAD′＝∠EAD，第23页（共63页）∴∠EAB＝∠EAG，∴＝（角平分线的性质定理，可以用面积法证明）∵AB∥CD，AH⊥CD，∴AH⊥AB，∴∠BAG＝90°，∵∠B＝∠D，∴tan B＝tan D ＝＝，∴＝，∴AG ＝，∴BG ＝＝＝，∴BE：EG＝AB：AG＝4：3，∴EG ＝BG ＝，在Rt△ADH中，∵tan D ＝＝，AD＝5，∴AH＝3，CH＝4，∴CH＝1，∵CG∥AD，∴＝，∴CG ＝，∴EC＝EG﹣CG ＝﹣＝．第24页（共63页）故答案为．【点评】本题考查翻折变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．6．如图，四边形ABCD是矩形，AD＝5，AB ＝，点E在CD边上，DE＝2，连接BE，F是BE边上的一点，过点F作FG⊥AB于G，连接DG，将△ADG沿DG翻折的△PDG，设EF＝x，当P落在△EBC内部时（包括边界），x 的取值范围是≤x ≤．．【分析】当点P落在BE上时，如图，延长GF交DC于H，作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N．求出EF的长；当点P落在DC上时，求出EF的长即可解决问题；【解答】解：当点P落在BE上时，如图，延长GF交DC于H，作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠BAC＝∠BCD＝90°，DC∥AB，AB＝CD ＝，AD＝BC＝5，∵DE＝2，∴EC＝，∵∠CEB＝∠PBM，∴tan∠CEB＝tan∠PBM，∴＝＝，设PM＝3k，则BM＝2k，第25页（共63页）∵四边形AMPN是矩形，∴PM＝AN＝3k，PN＝AM ＝﹣2k，在Rt△PDN中，∵PD＝AD＝5，DN＝5﹣3k，PN ＝﹣2k，∴25＝（5﹣3k）2+（﹣2k）2，整理得：117k2﹣462k+256＝0，解得k ＝或（舍弃）∴PM＝2，BM ＝，AM＝4，设AG＝GP＝m，在Rt△PGM中，m2＝（4﹣m）2+22，解得m ＝，∴AH＝AG ＝，∵EH ＝，∵＝＝tan∠CEB ＝，∴HF ＝，∴EF ＝，当点P落在DC上时，如图，第26页（共63页）∵AD＝DP＝5，DE＝2，∴EP＝3，∵tan∠CEB ＝＝，∴PF ＝，∴EF ＝＝，∴≤x ≤．故答案为≤x ≤．【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．7．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE交BC于点F，且CF ＝，把△ADE沿DE翻折得到△A′DE，边A′D交EF、AC分别于点G、H，则△A′FG 的面积为．【分析】作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N，连接DF．利用全等三角形的性质求出CM，CN，DM，FN，再证明∠DEM＝∠A′FG，推出tan ∠DEM ＝tan∠A′FG，可得＝，由此构建方程求出A′G即可解决问题．第27页（共63页）【解答】解：作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N，连接DF．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ECN＝∠ECM，∵∠EMC＝∠ENC＝90°，CE＝CE，∴△ECN≌△ECM（AAS），∴EM＝EN，CN＝CM，∵∠ENC＝∠EMC＝∠MCN＝90°，∴∠MEN＝90°，∵EF⊥ED，∴∠DEF＝∠MEN＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠ENF＝∠EMD＝90°，∴△ENF≌△EMD（ASA），∴FN＝DM，DE＝EF，∴∠EDF＝∠EFD＝45°，∴∠ADE+∠CDF＝∠EDA′+∠A′DF＝45°，∵∠ADE＝∠A′DE，第28页（共63页）∴∠A′DF＝∠CDF，∵DA＝DA′＝DC，DF＝DF，∴△A′DF≌CDF（SAS），∴∠DA′F＝∠DCF＝90°，CF＝F A ′＝∵∠GED＝∠GA′F＝90°，∠EGD＝∠A′GF，∴∠A′FG＝∠A′DE＝∠ADE＝∠DEM，∵CF+CD＝CN﹣NF+CM+DM＝2CM ＝+4＝，∴CM ＝，∴FN＝DM＝4﹣＝，∵∠DEM＝∠A′FG，∴tan∠DEM＝tan∠A′FG，∴＝，∴＝，∴A′G ＝，∴S△GF A′＝×A′G×A′F ＝××＝．故答案为．【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．第29页（共63页）8．如图，等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，以BC为底边作等腰△DCB，DC＝DB，CD与AB交于E，将△DCB沿DC折叠，点B落到点F处，连接FD刚好经过点A，连接FB，分别交AC于G，交CD于H．在下列结论中：①∠CBG＝30°；②△FDB是等腰直角三角形；③F A＝FG；④S△ABC+S△ADE＝S△DCB；⑤BH ＝CE +CG．其中正确的结论有②③④．（填写所有正确的序号）．【分析】由翻折可知：CA＝CB＝CF，推出点F，A ，B在以C为圆心CA为半径的圆上推出∠AFB＝∠ACB＝45°，再利用等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题．【解答】解：由翻折可知：CA＝CB＝CF，∴点F，A，B 在以C为圆心CA为半径的圆上，∴∠AFB＝∠ACB＝45°，∵DF＝DB，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，∴∠BDF＝90°，故②正确，∴∠BDH＝∠FDH＝45°，∵DC＝DB，∴∠DBC＝∠DCB＝67.5°，∴∠CBG＝67.5°﹣45°＝22.5°，故①错误，易证∠F AG＝∠FGA＝67.5°，第30页（共63页）∴F A＝FG，故③正确，易证∠DAE＝∠DEA＝67.5°，∴DA＝DE，∵DC＝DB，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴S△ADC＝S△DEB，∴S△ADC+S△ECB＝S△DEB+S△ECB，∴S△ACB+S△ADE＝S△DBC，故④正确，作AT⊥CD于T，易证△ATC≌△CHB，△ATE≌△CHG，∴BH＝CT，CG＝AE，∵CT＝CE+ET，显然ET ≠CG，故⑤错误，故答案为：②③④．【点评】本题考查分钟，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考填空题中点压轴题．．第31页（共63页）9．如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝6，AB＝6．点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD 分别沿直线CA、CB翻折得到△CAE与△CBF，连接EF，则△CEF 面积的最小值为．【分析】作CH⊥AB于H．首先证明△ECF是顶角为120°的等腰三角形，根据此线段最短可知CD的最小值为3，延长即可解决问题；【解答】解：作CH⊥AB于H．∵CA＝CB，CH ⊥AB，∴AH＝BH＝3，∴cos∠CAH＝＝，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∴∠ACB＝120°，CH＝AC＝3，由翻折不变性可知：CD＝CE＝CF，∠ACE＝∠ACD，∠BCD＝∠BCF，∴∠ECF＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∴△ECF是顶角为120°的等腰三角形，∴当CE的长最短时，△ECF的面积最小，第32页（共63页）根据垂线段最短可知，当CD与CH重合时，EC＝CD＝CH＝3，∴S△ECF ＝××＝，故答案为．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．10．在边长为的正方形ABCD中，点E是边CD上一点，连接AE，过点D作DM⊥AE于点M，连接MC．把△DMC沿DM翻折，点C的对应点为C′，DC′交AE于点P，连接AC'、BC′，已知S△ABC′＝1，则△PMC'的周长为++．【分析】如图，连接CC′，延长DM交CC′于K，作C′E⊥AB于E交CD于F．利用三角形的面积公式求出C′E，C′F，再利用勾股定理求出DF，CF，CC′，利用相似三角形的性质求出DE，再利用平行线分线段成比例定理求出EM，DM，MK，求出PM，PC′，MC′即可解决问题．【解答】解：如图，连接CC′，延长DM 交CC′于K，作C′E⊥AB于E交CD于F．∵S△ABC′＝1，第33页（共63页）∴××EC′＝1，∴EC ′＝，∵四边形AFCB是矩形，∴EF＝BC ＝，∴FC ′＝﹣＝，在Rt△DFC′中，DF ＝＝＝，∴CF ＝﹣＝，∴CC ′＝＝，由翻折的性质可知：DK⊥CC′，DK⊥AE，PM＝ME，DP＝DE，CK＝KC ′＝，∴AE∥CC′，∴∠AED＝∠FCC′，∵∠ADE＝∠CFC′＝90°，∴△CFC′∽△DEA，∴＝，∴＝，∴DE ＝，∵EM∥CK，∴＝，第34页（共63页）∴＝，∴EM ＝，∴PM＝ME ＝，∵DP＝DE ＝，∴PC ′＝﹣＝，∴DM ＝＝＝，∵＝＝，∴MK ＝，∴MC ′＝＝＝，∴△PMC′的周长＝PM+PC′+MC ′＝++，故答案为++．【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．11．如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，DE＝2，过B作AE的垂线，垂足为点F，BF＝3，将△ADE沿AE翻折，得到△AGE，AG与BF于点M，连接BG，则△BMG 的周长为2+3﹣．第35页（共63页）【分析】如图，延长BF交AD于K，作BH⊥AG于H．首先证明AK＝DE＝2，再利用相似三角形的性质求出FK，再证明∠ABK＝30°，吧问题特殊化后即可解决问题．【解答】解：如图，延长BF交AD于K，作BH⊥AG于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAK＝∠ADE＝90°，∵AF⊥AE，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABH＝90°，∠F+∠DAE＝90°，∴∠ABK＝∠DAE，∴△ABK≌△ADE（ASA），∴AK＝DE＝2，∵∠AKF＝∠AKB，∠AFK＝∠KAB＝90°，∴△AKF∽△BKA，∴＝，设KF＝x，则有＝，整理得x2+3x﹣4＝0，解得x＝1或﹣4（舍弃），∴BK＝BF+FK＝3+1＝4，第36页（共63页）∵sin∠ABK ＝＝＝，∴∠ABK＝30°，∴∠DAE＝∠ABK＝∠EAG＝∠BAG＝30°，∴MA＝MB，在Rt△ABH中，∵AB＝2，∠BAH＝30°，∠AHB＝90°，∴BH ＝AB ＝，AH ＝BH＝3，∵AD＝AB＝AG＝2，∴HG＝2﹣3，∴BG ＝＝＝3﹣，∴△BMG的周长＝BM+GM+BG＝AM+GM+BG＝AG+BG＝2+3﹣．故答案为2+3﹣．【点评】本题考查正方形的性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．12．如图，一张矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F分别在边AD、BC上，将纸片ABCD折叠，折痕为EF，使点C落在边AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF 的取值范围是≤BF≤3；④当点H与点A重合时，EF ＝．以上结论中，正确的是①③④．（填序号）．【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①；第37页（共63页）②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，判断出②；③点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝6﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G 与点D重合时，CF＝CD，求出BF，然后写出BF的取值范围，判断出③；④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④．【解答】解：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF＝FH，∴四边形CFHE是菱形，故①正确；②∴∠BCH＝∠ECH，∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，故②错误；③点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝6﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即32+x2＝（6﹣x）2，解得x ＝，点G与点D重合时，CF＝CD＝3，∴BF＝3，∴线段BF 的取值范围为≤BF≤3，第38页（共63页）故③正确；过点F作FM⊥AD于M，则ME＝（6﹣）﹣＝，由勾股定理得，EF ＝，故④正确．综上所述，结论正确的有①③④．故答案为：①③④【点评】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键．13．已知如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，将△ABE沿着BE翻折得到△FBE，EF交BC于点H，延长BF、DC相交于点G，若DG＝16，BC＝24，则FH ＝．【分析】连结GE，根据折叠的性质和矩形的性质可得△EFG与△EDG是直角三角形，DE＝AE＝FE，再根据HL即可证明△EFG≌△EDG．根据全等三角形的性质可得DG＝FG＝16，可设AB＝BF＝DC＝x，在Rt△BCG 中，根据勾股定理可求BF的长，再在Rt△BFH中，根据勾股定理可求FH＝BH的长．第39页（共63页）【解答】解：连结GE．∵E是边AD的中点，∴DE＝AE＝FE，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠BFE＝90°，∴∠D＝∠EFG＝90°．在Rt△EFG与Rt△EDG中，，∴Rt△EFG≌Rt△EDG（HL）；∴DG＝FG＝16，设DC＝x，则CG＝16﹣x，BG＝x+16在Rt△BCG中，BG2＝BC2+CG2，即（x+16）2＝（16﹣x）2+242，解得x＝9，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵∠AEB＝∠FEB，∴∠CBE＝∠FEB，∴BH＝EH，设BH＝EH＝y，则FH＝12﹣y，第40页（共63页）在Rt△BFH中，BH2＝BF2+FH2，即y2＝92+（12﹣y）2，解得y ＝，∴12﹣y＝12﹣＝．故答案为：．【点评】考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识点有：折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性较强，有一定的难度，关键是作出辅助线构造全等三角形．14．如图，在矩形ABCD中，M、N分别为CD、AB的三等分点，现将矩形ABCD对折，使顶点B恰落在MN上的点P处，延长EP交AD边于F．若AB＝2，则折痕AE 的长为2．【分析】过点P作AB的平行线交BC于G，交AD于H，设BE＝x，根据翻折变换的性质用x表示出PE，证明△EGP∽△PHA，根据相似三角形的性质求出x，根据勾股定理计算即可．【解答】解：过点P作AB的平行线交BC于G，交AD于H，设BE＝x，第41页（共63页）由翻折变换的性质可知，P A＝AB＝2，PE＝BE＝x，∵N为AB的三等分点，AB＝2，∴PH＝AN ＝，∴AH ＝＝，∴GB ＝，GE ＝﹣x，∵∠EP A＝∠B＝90°，∠EGP＝∠PHA＝90°，∴△EGP∽△PHA，∴＝，即，解得，x＝2，即BE＝2，∴AE ＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的是翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．15．在矩形ABCD中，AB＝3，点P在对角线AC上，直线l过点P，且与AC垂直交AD边于点E．（1）如图1，若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心O重合，求BC的长；（2）如图2，若直线l与AB相交于点F且AP ＝AC，设AD的长为x，五边形BCDEF的面积为S，第42页（共63页）①求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②探索：是否存在这样的x，使得以A为圆心，以x ﹣长为半径的圆与直线l相切？若存在，请求出x的值若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及轴对称的性质得到AC＝2AB，进而利用勾股定理求解即可．（2）①五边形的面积＝矩形的面积﹣S△AEF，利用相似可求得AE，AF的长度．②圆与直线l相切，半径x ﹣应等于AP长．【解答】解：（1）∵O是矩形ABCD的对称中心，∴OB＝AO ＝AC（1分）又∵AB＝OB，AB＝3，AC＝6，（1分）在Rt△ABC中BC2＝AC2﹣AB2∴．（2分）（2）①在Rt△ADC中∵AD＝x，AB＝3，∴．（1分）第43页（共63页）∵AP ＝（1分）易证△APF∽△ABC ，＝，，（1分）同理可得，（1分）∴＝，∴，即：（）．②若圆A与直线l相切，则，（1分）15x2﹣24x＝0，x1＝0（舍去），．（1分）∵，∴不存在这样的x，使圆A与直线l相切．（1分）【点评】本题考查了翻折变换的知识，同时涉及了矩形和切线的性质，注意掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；圆与直线相切，半径等于圆心到直线的距离．二．解答题（共10小题）16．如图，将矩形ABCD先过点A的直线L1翻折，点DA的对应点D′刚好落在边BC上，直线L1交DC于点F；再将矩形ABCD沿过点A的直线L2翻折，使点B的对应点G落在AD′上，EG的延长线交AD于点H．（1）当四边形AED′H是平行四边形时，求∠AD′H的度数．（2）当点H与点D刚好重合时，试判断△AEF的形状，并说明理由．第44页（共63页）【分析】（1）如图1中，在RT△ABC中，由AD′＝2AB推出∠AD′B＝30°，再证明四边形AED′H是菱形即可解决问题．（2）如图2中，先证明△DD′G≌△DD′C得出DG＝DC＝AB＝AG，发现△AGD、△GED′、△DEC都是等腰直角三角形，再证明△ABE≌△ECF即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形AED′H是平行四边形，∴AG＝GD，∵EH⊥AD，∴四边形AED′H是菱形，∴∠AD′H＝∠AD′B，∵△AEG是由△AEB翻折得到，∴AB＝AG＝D′G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴∠AD′B＝30°，∴∠AD′H＝30°．（2）结论：△AEF是等腰直角三角形．理由：如图2中，连接DD′．∵四边形ABCD是矩形，第45页（共63页）∴AD∥BC，∠ADD′＝∠DD′C，AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，∵AD＝AD′，∴∠ADD′＝∠AD′D，∴∠DD′A＝∠DD′C，在△DD′G和△DD′C中，，∴△DD′G≌△DD′C，∴DG＝DC＝AB＝AG，∵∠AGD＝90°，∴∠GAD＝∠GDA＝∠AD′E＝∠DED′＝45°，∴EG＝GD′＝BE＝CD′，∵∠AD′B+∠FD′C＝90°，∴∠FD′C＝′D′FC＝45°，∴CD′＝CF＝BE，∵∠CED＝∠CDE＝45°，∴EC＝CD＝AB，在△ABE和△ECF中，，∴△ABE≌△ECF，∴AE＝EF，∠BAE＝∠CEF，第46页（共63页）∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠AEF＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形．【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定等知识，第一问的关键是菱形性质的应用，第二个问题的关键是正确寻找全等三角形，利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．17．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在线段BC上，∠EDB ＝∠C，交AB于F，BE⊥DE于E，探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明．小白的想法是，将△BDE以直线DE为对称轴翻折，再通过证明△GBH≌△FDH得到结论，请按照小白的想法完成此题解答．证明：延长BE至点G，使EG＝EB，连接GD交AB于点H．【解决问题】△ABC中，∠C＝2∠B，点E是线段BC的延长线上一点，CE＝kBC，AD平分∠BAC交BC于点D，EF⊥AD于F，交AC于G ，求的值．第47页（共63页）【分析】【探究】结论：DF＝2BE．如图1中，延长BE至点G，使EG＝EB，连接GD交AB于点H．只要证明△BHG≌△DHF即可；【解决问题】延长AC到H，使得AB＝AH．只要证明CD＝CH，EF∥BH，即可解决问题；【解答】解：【探究】：结论：DF＝2BE．理由：如图1中，延长BE至点G，使EG＝EB，连接GD交AB于点H．∵BE＝EG，DE⊥BG，∴DB＝DG，∠BDE＝∠GDE，∵∠EDB ＝∠C，∴∠BDG＝∠C，∴DG∥AC，∴∠BHD＝∠A＝90°，∵∠BFE＝∠DFH，∠BEF＝∠DHF＝90°，∴∠GBH＝∠FDH，∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ABC＝45°，第48页（共63页）∵∠BHG＝∠DHF＝90°，∴△BHG≌△DHF，∴DF＝BG＝2BE．【解决问题】：延长AC到H，使得AB＝AH．∵∠DAB＝∠DAH，AD＝AD，AB＝AH，∴△DAB≌△DAH，∴∠ABD＝∠AHD，DB＝DH，∵∠ACB＝2∠ABD，∠ACB＝∠AHD+∠CDH，∴∠CDH＝∠CHD，∴CD＝CH，∵AB＝AH，DB＝DH，∴AD垂直平分BH，∵EF⊥AD，∴EF∥BH，∴△ECG∽△BCH，∴＝＝，第49页（共63页）∴＝．【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．18．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3，点D为AB的中点，点E为线段BC上的点，连接DE，把△BDE沿着DE翻折得△B1DE．（1）当A、D、B1、C构成的四边形为平行四边形，求DE的长；（2）当DB1⊥AC时，求△DEB1和△ABC重叠部分的面积．【分析】（1）分两种情形画出图形即可解决问题；（2）当DB1⊥AC时（如图3），设B1D、B1E分别与AC交于P、Q，根据S四边形PQED ＝﹣；【解答】解（1）如图1，若四边形为ACB1D的平行四边形，则有，DB1∥AC，且DB1＝AC＝3，第50页（共63页）。

中考数学复习：专题7-2 中考折叠问题的归类解析

专题02 中考折叠问题的归类解析【专题综述】折叠问题在近年来各地的中考试卷中频频出现，解决这一类问题主要抓住两点：折叠前后重合的角相等，重合的边也相等．【方法解读】一、折叠与平行例1：如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°.将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝___．【来源】2013-2014学年江苏省宜兴市和桥学区七年级下学期期中考试数学试卷（带解析）【答案】95°在△BMN中，∠B=180°-（∠BMN+∠BNM）=180°-（50°+35°）=180°-85°=95°．考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理；3．翻折变换（折叠问题）．【解读】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF，∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【举一反三】如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．（1）求证：EDB EBD∠=∠；（2）判断AF与BD是否平行，并说明理由．【来源】2015中考真题分项汇编第1期专题4 图形的变换【答案】【解析】试题解析：（1）由折叠可知：∠CDB =∠EDB∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB∴∠CDB =∠EBD∴∠EDB=∠EBD(2) ∵∠EDB=∠EBD∴DE=BE由折叠可知：DC=DF∵四边形ABCD是平行四边形∴DC=AB∴AE=EF∴∠EAF=∠EFA△BED中, ∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°即2∠EDB+∠DEB=180°同理△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°∵∠DEB=∠AEF∴∠EDB= ∠EFA∴AF∥BD考点：折叠变换，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和二、折叠与全等例2：如图，在□ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G。

中考数学专题复习翻转折叠问题

翻转折叠问题【专题点拨】图形折叠是中考中常考题型，这种题型主要考察学生对图形的认知，特别是考察轴对称的性质、全等三角形、勾股定理、相似三角形等知识综合运用。

【解题策略】有关图形折叠的相关计算，首先要熟知折叠是一种轴对称变换，即位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；然后根据图形折叠的性质，即折叠前、后图形的对应边和对应角相等，对应点的连线被折痕垂直平分并结合勾股定理或相似三角形的性质进行相关计算.【典例解析】类型一：三角形折叠问题例题1：（2016·浙江省湖州市·3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（）A．4 B． C．3D．2【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠DAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ABC，∵∠C=∠C，∴△CAD∽△CBA，∴=，∴=，∴CD=，BD=BC﹣CD=，∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴=，即=，∴DM=，MB=BD﹣DM=，∵∠ABM=∠C=∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD，∴△ABD∽△MBE，∴=，∴BE===．故选B．变式训练1：（2016·吉林·3分）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为（用含a的式子表示）．类型二：平行四边形折叠问题例题2：（2016·湖北武汉·3分）如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为_______．【考点】平行四边形的性质【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠EAD，＝∠DAE＝20°，∠AED，＝∠AED＝180°－∠DAE－∠D＝180°－20°－52°＝108°，∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，∴∠FED′＝108°－72°＝36°．变式训练2：(2016河北3分）如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B’处.若∠1=∠2=44°，则∠B为（）第13题图A．66°B．104°C．114°D．124°类型三：矩形折叠问题例题3：（2016贵州毕节3分）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解析】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．根据折叠的性质可得DH=EH，在直角△CEH中，若设CH=x，则DH=EH=9﹣x，CE=3cm，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．【解答】解：由题意设CH=xcm，则DH=EH=（9﹣x）cm，∵BE：EC=2：1，∴CE=BC=3cm∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4cm．故选（B）变式训练3：（2016·四川南充）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°类型四：菱形折叠问题例题4：（2016·四川攀枝花）如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连结GF，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S△OGF=1，则正方形ABCD的面积是6+4，其中OGD正确的结论个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】四边形综合题．【分析】①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数；②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE；③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面积＞△OGD的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF；⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG；⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB=GF，再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得出△OGF时等腰直角三角形，由S△OGF=1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD=∠ADO=45°，由折叠的性质可得：∠ADG=∠ADO=22.5°，故①正确．∵由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，∴AE=EF＜BE，∴AE＜AB，∴＞2，故②错误．∵∠AOB=90°，∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，∴S△AGD＞S△OGD，故③错误．∵∠EFD=∠AOF=90°，∴EF∥AC，∴∠FEG=∠AGE，∵∠AGE=∠FGE，∴∠FEG=∠FGE，∴EF=GF，∵AE=EF，∴AE=GF，故④正确．∵AE=EF=GF，AG=GF，∴AE=EF=GF=AG，∴四边形AEFG是菱形，∴∠OGF=∠OAB=45°，∴EF=GF=OG，∴BE=EF=×OG=2OG．故⑤正确．∵四边形AEFG是菱形，∴AB∥GF，AB=GF．∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，∴△OGF时等腰直角三角形．∵S△OGF=1，∴OG2=1，解得OG=，∴BE=2OG=2，GF===2，∴AE=GF=2，∴AB=BE+AE=2+2，∴S正方形ABCD=AB2=（2+2）2=12+8，故⑥错误．∴其中正确结论的序号是：①④⑤．故选B．【点评】此题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．变式训练4：（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为﹣1 ．类型五：圆的折叠问题例题5：（2015•聊城）如图，点O是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使和都经过圆心O，则阴影部分的面积是⊙O面积的（）A. 12B.13C.23D.352. 解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，∵OD=AO，∴∠OAD=30°，∴∠AOB=2∠AOD=120°，同理∠BOC=120°，∴∠AOC=120°，∴阴影部分的面积=S扇形AOC=×⊙O面积．故选：B．变式训练5：（2016·山东省德州市·4分）如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是．【能力检测】1.（2016·黑龙江龙东·3分）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为．2.（2015•湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．3.（2016·浙江省绍兴市·5分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为．4.（2016·重庆市A卷·4分）正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是多少？5.（2015•咸宁）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；（2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．①试求△PAD的面积的最大值；②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D 的坐标；若不能，请说明理由．【参考答案】变式训练1：（2016·吉林·3分）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为3a （用含a的式子表示）．【解析】翻折变换（折叠问题）．由折叠的性质得出BE=EF=a，DE=BE，则BF=2a，由含30°角的直角三角形的性质得出DF=BF=a，即可得出△DEF的周长．【解答】解：由折叠的性质得：B点和D点是对称关系，DE=BE，则BE=EF=a，∴BF=2a，∵∠B=30°，∴DF=BF=a，∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a；故答案为：3a．变式训练2：(2016河北3分）如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B’处.若∠1=∠2=44°，则∠B为（）第13题图A．66°B．104°C．114°D．124°【解析】平行线的性质，折叠关系。

初中几何翻折问题总结

初中几何翻折问题总结几何翻折问题是初中数学中较为有趣且富有挑战性的部分。

通过对几何图形的翻折，我们可以培养空间想象能力和逻辑思维能力。

本文将对初中阶段的几何翻折问题进行总结，帮助大家更好地掌握这一知识点。

一、翻折问题基本概念1.翻折：将一个几何图形沿着某条线（折痕）翻转到另一个位置，使得翻折前后的图形完全重合。

2.折痕：翻折过程中，图形沿着某条线折叠，这条线称为折痕。

3.对称轴：翻折过程中，图形两侧关于折痕对称的直线称为对称轴。

二、翻折问题类型及解题方法1.点的翻折（1）问题：已知点A关于直线l翻折得到点A"，求点A"的坐标。

（2）解题方法：利用对称性，找到点A关于直线l的对称点A"，根据对称点的性质求解。

2.线段的翻折（1）问题：已知线段AB关于直线l翻折得到线段A"B"，求线段A"B"的长度及位置关系。

（2）解题方法：利用对称性，找到线段AB关于直线l的对称线段A"B"，根据对称线段的性质求解。

3.角的翻折（1）问题：已知角∠ABC关于直线l翻折得到角∠A"B"C"，求角∠A"B"C"的大小及位置关系。

（2）解题方法：利用对称性，找到角∠ABC关于直线l的对称角∠A"B"C"，根据对称角的性质求解。

4.几何图形的翻折（1）问题：已知几何图形ABC关于直线l翻折得到几何图形A"B"C"，求几何图形A"B"C"的面积、周长等。

（2）解题方法：利用对称性，找到几何图形ABC关于直线l的对称图形A"B"C"，根据对称图形的性质求解。

三、翻折问题注意事项1.注意翻折过程中图形的形状、大小、位置关系的变化。

2.熟练掌握对称点的性质，如：对称点关于对称轴的距离相等、对称点连线的延长线交于对称轴等。

中考数学翻折问题考点类型

中考数学翻折问题考点类型·最新说明：本文档整理了中考数学翻折问题的考点类型、试题类型、难度系统等内容，详细讲解了各种类型题目的解法和技巧，本文是翻折问题的专项训练，望对老师和同学们有所帮助。

目录一、知识与方法 (3)二、典型题 (4)一、知识与方法1. 轴对称的定义把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，对应点叫对称点，直线叫对称轴，两个图形关于某条直线对称也叫轴对称.2. 轴对称的性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）对称轴这条直线是对应点连线段的垂直平分线.3. 轴折叠两侧的部分对应相等，如①对应角相等、②对应边相等、③折痕上的点到对应点的距离相等；4. 对应点的连线段被折痕所在直线垂直平分，这会出现垂直于中点；5. 折叠问题中，常常结合角平分线、等腰三角形、三线合一、设未知数解勾股定理等综合知识点；6. 在平面直角坐标系中出现折叠，常常还会用到求解析式法、两点间距离公式、中点坐标公式等。

二、典型题【题1】如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上．则sin∠EFG 的值为．【解析】如图：过点E作HE⊥AD于点H，连接AE交GF于点N，连接BD，BE．∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠DAB=60°，∴AB=BC=CD=AD=4，∠DAB=∠DCB=60°，DC∥AB∴∠HDE=∠DAB=60°，∵点E是CD中点，∴DE=CD=2在Rt△DEH中，DE=2，∠HDE=60°∴DH=1，HE=，∴AH=AD+DH=5在Rt△AHE中，AE==2∵折叠，∴AN=NE=，AE⊥GF，AF=EF∵CD=BC，∠DCB=60°∴△BCD是等边三角形，且E是CD中点∴BE⊥CD，∵BC=4，EC=2，∴BE=2∵CD ∥AB ，∴∠ABE =∠BEC =90°在Rt △BEF 中，EF 2=BE 2+BF 2=12+（AB ﹣EF ）2．∴EF =，∴sin ∠EFG ===，故答案为：【点评】“对应点的连线段被折痕所在直线垂直平分”，“三线合一”，“转化目标角”【题2】如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是边AB 上一点，且AE =2EB ，点P 是边BC 上一点，连接EP ，过点P 作PQ ⊥PE 交射线CD 于点Q ．若点C 关于直线PQ 的对称点正好落在边AD 上，求BP 的值．【解析】过点P 作PE ⊥AD 于点E ，∴∠PEC '=90°∵矩形ABCD 中，AB =3，BC =4∴∠EAB =∠B =∠C =∠QDC '=90°，CD =AB =3∴四边形CPED 是矩形∴DE =PC ，PE =CD =3∵AE =2EB ，∴AE =2，EB =1设BP =x ，则DE =PC =4﹣x∵点C 与C '关于直线PQ 对称∴△PC 'Q ≌△PCQ ∴PC '=PC =4﹣x ，C 'Q =CQ ，∠PC 'Q =∠C =90°∵PE ⊥PQ法2：亦可过C`作C`G ⊥BC ，连接CC`∴∠BPE+∠CPQ=90°又∵∠BEP+∠BPE=90°∴∠BEP=∠CPQ∴△BEP∽△CPQ同理可证：△PEC'∽△C'DQ∴，，∴CQ==x（4﹣x）∴C'Q=x（4﹣x），DQ=3﹣x（4﹣x）=x2﹣4x+3∴，∴C'D=3x，EC'=∵EC'+C'D=DE，∴，解得：x1=1，x2=∴BP的值为1或【题3】如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，则OE的长为_________.【解析】连接A′D，AD，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，∵CD=3DB，∴CD=3，BD=1，法2：亦可过D作DG⊥AO，连接AA`∴CD =AB ，∵将四边形ABDE 沿DE 折叠，若点A 的对称点A ′恰好落在边OC 上， ∴A ′D =AD ，A ′E =AE ，在Rt △A ′CD 与Rt △DBA 中，，∴Rt △A ′CD ≌Rt △DBA （HL ），∴A ′C =BD =1，∴A ′O =2，∵A ′O 2+OE 2=A ′E 2，∴22+OE 2=（4﹣OE ）2，∴OE =，【点评】“对应点的连线段被折痕垂直平分”，“全等相似”，“十字架”，“勾股定理解方程”【题4】如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为．【解析】连接BF ，∵BC =6，点E 为BC 的中点，∴BE =3，又∵AB =4，∴AE ==5，∴BH =，则BF =，法2：亦可过E 作EG ⊥FC ；或者过F 作MN 分别垂直AD 和BC∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，根据勾股定理得，CF===．故答案为：．【题5】如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N（1）若CM=x，则CH=（用含x的代数式表示）；（2）求折痕GH的长．【解析】（1）∵CM=x，BC=6，∴设HC=y，则BH=HM=6﹣y，故y2+x2=（6﹣y）2，整理得：y=﹣x2+3，∵∠HMC+∠MHC=90°，∴∠EMD=∠MHC，∴△EDM∽△MCH，∴=，∴=，解得：HC=﹣x2+2x，故答案为：﹣x2+3或﹣x2+2x；（2）方法一：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠C=∠D=90°，设CM=x，由题意可得：ED=3，DM=6﹣x，∠EMH=∠B=90°，故∠HMC+∠EMD=90°，∵∠HMC+∠MHC=90°，∴∠EMD=∠MHC，∴△EDM∽△MCH，∴=，即=，解得：x1=2，x2=6，当x=2时，∴CM=2，∴DM=4，∴在Rt△DEM中，由勾股定理得：EM=5，∴NE=MN﹣EM=6﹣5=1，∵∠NEG=∠DEM，∠N=∠D，∴△NEG∽△DEM，∴=，∴=，解得：NG=，由翻折变换的性质，得AG=NG=，过点G作GP⊥BC，垂足为P，则BP=AG=，GP=AB=6，当x=2时，CH=﹣x2+3=，∴PH=BC﹣HC﹣BP=6﹣﹣=2，在Rt△GPH中，GH===2．当x=6时，则CM=6，点H和点C重合，点G和点A重合，点M在点D处，点N在点A处．MN同样经过点E，折痕GH的长就是AC的长．所以，GH长为6．方法二：有上面方法得出CM=2，连接BM，可得BM⊥GH，则可得∠PGH=∠HBM，在△GPH和△BCM中，∴△GPH≌△BCM（SAS），∴GH=BM，∴GH=BM==2．【题6】已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（1）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；（2）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，求m（用含有t的式子表示）；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果）．【解析】（1）根据题意，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t．∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2，t2=﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（2，6）；（2）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°，∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ，又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ，∴=，由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11﹣t，CQ=6﹣m．∴=，∴m=t2﹣t+6（0＜t＜11）；（3）过点P作PE⊥OA于E，如图3，∴∠PEA=∠QAC′=90°，∴∠PC′E+∠EPC′=90°，∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴=，在△PC′E和△OC′B′中，，∴△PC′E≌△OC′B′（AAS），∴PC'=OC'=PC，∴BP=AC'，∵AC′=PB=t，PE=OB=6，AQ=m，EC′=11﹣2t，∴=，∵m=t2﹣t+6，∴3t2﹣22t+36=0，解得：t1=，t2=故点P的坐标为（，6）或（，6）．1．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=15，tan∠ABC=，将菱形纸片沿折痕FG 翻折，使点B落在AD边上的点E处，若CE⊥AD，则cos∠EFG的值为．【解析】如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接BE，过点P作PE⊥AB，∵AB=15，tan∠ABC=，∴AH=9，BH=12，∴CH=3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=15，AD∥BC，∵AH⊥BC，∴AH⊥AD，且AH⊥BC，CE⊥AD，∴四边形AHCE是矩形∴EC=9，AE=CH=3，∴BE===3，∵将菱形纸片沿折痕FG翻折，使点B落在AD边上的点E处，∴BF=EF，BE⊥FG，BO=EO=∵AD∥BC，∴∠ABC=∠P AE，∴tan∠ABC=tan∠P AE=，且AE=3，∴AP=，PE=，∵EF2=PE2+PF2，∴EF2=+（15﹣EF+）2，∴EF=，∴FO===∴cos∠EFG==，故答案为：2．如图，在菱形ABCD中，AB=5，tan D=，点E在BC上运动（不与B，C重合），将四边形AECD沿直线AE翻折后，点C落在C′处，点D′落在D处，C′D′与AB交于点F，当C′D'⊥AB时，CE长为．【解析】如图，作AH⊥CD于H，交BC的延长线于G，连接AC′．由题意：AD=AD′，∠D=∠D′，∠AFD′=∠AHD=90°，∴△AFD′≌△AHD（AAS），∴∠F AD′=∠HAD，∵∠EAD′=∠EAD，∴∠EAB=∠EAG，∴=（角平分线的性质定理，可以用面积法证明）∵AB∥CD，AH⊥CD，∴AH⊥AB，∴∠BAG=90°，∵∠B=∠D，∴tan B=tan D==，∴=，∴AG=，∴BG===，∴BE：EG=AB：AG=4：3，∴EG=BG=，在Rt△ADH中，∵tan D==，AD=5，∴AH=3，CH=4，∴CH=1，∵CG∥AD，∴=，∴CG=，∴EC=EG﹣CG=﹣=．故答案为．3．如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D 的对应点D′恰好在线段BE上．若AD=3，DE=1，则AB=5．【解析】∵折叠，∴△ADE≌△AD'E，∴AD=AD'=3，DE=D'E=1，∠DEA=∠D'EA，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DEA=∠EAB，∴∠EAB=∠AEB，∴AB=BE，∴D'B=BE﹣D'E=AB﹣1，在Rt△ABD'中，AB2=D'A2+D'B2，∴AB2=9+（AB﹣1）2，∴AB=5故答案为：54．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点N为边BC的中点，点M为AB边上任意一点，连接MN，把△BMN沿MN折叠，使点B落在点E处，若点E 恰在矩形ABCD的对称轴上，则BM的长为5或．【解析】①当E在矩形的对称轴直线PN上时，如图1此时∠MEN=∠B=90°，∠ENB=90°，∴四边形BMEN是矩形．又∵ME=MB，∴四边形BMEN是正方形．∴BM=BN=5．②当E在矩形的对称轴直线FG上时，如图2，过N点作NH⊥FG于H点，则NH=4．根据折叠的对称性可知EN=BN=5，∴在Rt△ENH中，利用勾股定理求得EH=3．∴FE=5﹣3=2．设BM=x，则EM=x，FM=4﹣x，在Rt△FEM中，ME2=FE2+FM2，即x2=4+（4﹣x）2，解得x=，即BM=．故答案为5或．5．如图，在矩形ABCD中，AB=6，点E在边AD上且AE=4，点F是边BC上的一个动点，将四边形ABFE沿EF翻折，A、B的对应点A1、B1与点C在同一直线上，A1B1与边AD交于点G，如果DG=3，那么BF的长为．【解析】∵△CDG∽△A'EG，A'E=4∴A'G=2∴B'G=4由勾股定理可知CG'=则CB'=由△CDG∽△CFB'设BF=x∴解得x=故答案为6．如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G．若OE=4，则O到折痕EF的距离为2．【解析】过点G作O′G⊥OB，作AO′⊥O′G于O′，如图，连结OO′交EF于H，则四边形AOGO′为矩形，∴O′G=AO=6，∵沿EF折叠后所得得圆弧恰好与半径OB相切于点G，∴与所在圆的半径相等，∴点O′为所在圆的圆心，∴点O与点O′关于EF对称，∴OO′⊥EF，OH=HO′，设OH=x，则OO′=2x，∵∠EOH=∠O′OA，∴Rt△OEH∽Rt△OO′A，∴=，即=，解得x=2，即O到折痕EF的距离为2．故答案为2．7．如图，矩形ABCD中，AD=4，O是BC边上的点，以OC为半径作⊙O交AB 于点E，BE=AE，把四边形AECD沿着CE所在的直线对折（线段AD对应A′D′），当⊙O与A′D′相切时，线段AB的长是．【解析】设⊙O与A′D′相切于点F，连接OF，OE，则OF⊥A′D′，∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=A′=90°，由折叠的性质得：∠AEC=∠A′EC，∴∠B+∠BCE=∠A′EO+∠OEC，∴∠OEA′=∠B=90°，∵OE=OF，∴四边形A′FOE是正方形，∴A′E=AE=OE=OC，∵BE=AE，设BE=3x，AE=5x，∴OE=OC=5x，∵BC=AD=4，∴OB=4﹣5x，在R t BOE中，OE2=BE2+OB2，∴（5x）2=（3x）2+（4﹣5x）2，解得：x=，x=4（舍去），∴AB=8x=．故答案为：．9．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，O是CD上一点，以OC 为半径作⊙O，将△ADE折叠至△A′DE，点A′在⊙O上，延长EA′交BC延长线于F，且恰好过点O，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点G．若FG=1，则AD=2，⊙O半径=．【解析】作OH⊥DG于H，如图，设DA=x，则AB=2x，∵△ADE折叠至△A′DE，∴DA′=DA=x，∠DA′E=∠A=90°，∴DA′与⊙O相切，在△ODA′和△OCF中∴△DOA′≌△FOC．∴DA′=CF=x，∵DG是⊙O的切线，OH⊥DG，∴H点为切点，∴DH=DA′=x，GH=GC=CF+GF=x+1，在Rt△DCG中，∵DC2+CG2=DG2，∴（2x）2+（x+1）2=（x+x+1）2，解得x1=0（舍去），x2=2，∴AD=2，设⊙O的半径为r，则OC=OA′=r，OD=2x﹣r=4﹣r，在Rt△DOA′中，∵DA′2+OA′2=DO2，∴22+r2=（4﹣r）2，解得r=，即⊙O的半径为．故答案为2，．10．如图1，在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，分别以△ABC的三边AB，BC，AC为边在三角形外部作正方形ABDE，BCIJ，AFGC．如图2，作正方形ABDE 关于直线AB对称的正方形ABD′E′，AE′交CG于点M，D′E′交IC于点N点D′在边IJ上．则四边形CME′N的面积是24．【解析】∵正方形ABDE关于直线AB对称的正方形ABD′E′，∴AE′=AB=10，∠E′AB=90°，∠AE′N=90°，∵AC=6，BC=8，AB=10，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为直角三角形，∴AC2=BC•MC，∴MC==，∵∠MAC=∠NAE′，∴Rt△ACM∽Rt△AE′N，∴=，即=，∴E′N=，∴四边形CME′N的面积=S△AE′N﹣S△ACM=×10×﹣×6×=24．故答案为24．11．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A，D分别落在A′，D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为．【解析】设BC与D′F交于点K．CF=a，D′K=b，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴∠C=60°，∠D′=∠D=120°，∵KF⊥CD，∴∠KFC=90°，∴∠FKC=∠BKD′=30°，∴∠KBD′=180°﹣∠D′﹣∠BKD′=30°，∴BD′=b，BK=b，KC=2a，KF=a，∵BC=CD=D′F+CF，∴b+2a=b+a+a，∴（﹣1）a=（﹣1）b，∴a=b，∴==，故答案为．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B=﹣1．【解析】如图，连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），∴∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，∵∠C=90°，AC=BC=，∴AB==2，∴BD=2×=，C′D=×2=1，∴BC′=BD﹣C′D=﹣1．故答案为：﹣1．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B 落在点F处，连接AF，当线段AF=AC时，BE的长为．【解析】连接AD，作EG⊥BD于G，如图所示：则EG∥AC，∴△BEG∽△BAC，∴==，设BE=x，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∴==，解得：EG=x，BG=x，∵点D是边BC的中点，∴CD=BD=2，∴DG=2﹣x，由折叠的性质得：DF=BD=CD，∠EDF=∠EDB，在△ACD和△AFD中，，∴△ACD≌△AFD（SSS），∴∠ADC=∠ADF，∴∠ADF+∠EDF=×1880°=90°，即∠ADE=90°，∴AD2+DE2=AE2，∵AD2=AC2+CD2=32+22=13，DE2=DG2+EG2=（2﹣x）2+（x）2，∴13+（2﹣x）2+（x）2=（5﹣x）2，解得：x=，即BE=；故答案为：．14．在正方形ABCD中，（1）如图1，若点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，且∠AOF=90°．求证：AE=BF．（2）如图2，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若DC=5，CM=2，求EF的长．【解析】（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∵∠AOF=90°，∴∠BAE+∠OBA=90°，又∵∠FBC+∠OBA=90°，∴∠BAE=∠CBF，在△ABE和△BCF中∵，∴△ABE≌△BCF（ASA）．∴AE=BF．（2）由折叠的性质得EF⊥AM，过点F作FH⊥AD于H，交AM于O，则∠ADM=∠FHE=90°，∴∠HAO+∠AOH=90°、∠HAO+∠AMD=90°，∴∠POF=∠AOH=∠AMD，又∵EF⊥AM，∴∠POF+∠OFP=90°、∠HFE+∠FEH=90°，∴∠POF=∠FEH，∴∠FEH=∠AMD，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=FH=5，在△ADM和△FHE中，∵，∴△ADM≌△FHE（AAS），∴EF=AM===．15．如图，已知E是正方形ABCD的边AB上一点，点A关于DE的对称点为F，∠BFC=90°，求的值．【解析】如图，延长EF交CB于M，连接CM，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠A=∠BCD=90°，∵将△ADE沿直线DE对折得到△DEF，∴∠DFE=∠DFM=90°，在Rt△DFM与Rt△DCM中，，∴Rt△DFM≌Rt△DCM，∴MF=MC，∴∠MFC=∠MCF，∵∠MFC+∠BFM=90°，∠MCF+∠FBM=90°，∴∠MFB=∠MBF，∴MB=MC，设MF=MC=BM=a，AE=EF=x，∵BE2+BM2=EM2，即（2a﹣x）2+a2=（x+a）2，解得：x=a，∴AE=a，∴==3．16．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC=54°，则∠DAE的度数为18°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB=6，AD=10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB=6，AD=10，求CG的长．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠BAC=54°，∴∠DAC=90°﹣54°=36°，由折叠的性质得：∠DAE=∠F AE，∴∠DAE=∠DAC=18°；故答案为：18；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6，由折叠的性质得：AF=AD=10，EF=ED，∴BF===8，∴CF=BC﹣BF=10﹣8=2，设CE=x，则EF=ED=6﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2=（6﹣x）2，解得：x=，即CE的长为；（3）连接EG，如图3所示：∵点E是CD的中点，∴DE=CE，由折叠的性质得：AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，FE=DE，∴∠EFG=90°=∠C，在Rt△CEG和△FEG中，，∴Rt△CEG≌△FEG（HL），∴CG=FG，设CG=FG=y，则AG=AF+FG=10+y，BG=BC﹣CG=10﹣y，在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2=（10+y）2，解得：y=，即CG的长为．17．（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为23°．（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9．【画一画】如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；【算一算】如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A′，B′处，若AG=，求B′D 的长；【验一验】如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK=3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A′，B′处，小明认为B′I所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由．【解析】（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=46°，由翻折不变性可知，∠DBE=∠EBC=∠DBC=23°，故答案为23．（2）【画一画】，如图2中，【算一算】如图3中，∵AG=，AD=9，∴GD=9﹣=，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DGF=∠BFG，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，∴∠DFG=∠DGF，∴DF=DG=，∵CD=AB=4，∠C=90°，∴在Rt△CDF中，CF==，∴BF=BC﹣CF=，由翻折不变性可知，FB=FB′=，∴DB′=DF﹣FB′=﹣=3．【验一验】如图4中，小明的判断不正确．理由：连接ID，在Rt△CDK中，∵DK=3，CD=4，∴CK==5，∵AD∥BC，∴∠DKC=∠ICK，由折叠可知，∠A′B′I=∠B=90°，∴∠IB′C=90°=∠D，∴△CDK∽△IB′C，∴==，即==，设CB′=3k，IB′=4k，IC=5k，由折叠可知，IB=IB′=4k，∴BC=BI+IC=4k+5k=9，∴k=1，∴IC=5，IB′=4，B′C=3，在Rt△ICB′中，tan∠B′IC==，连接ID，在Rt△ICD中，tan∠DIC==，∴tan∠B′IC≠tan∠DIC，∴B′I所在的直线不经过点D．。

中考翻折问题复习资料解析

翻折问题解答题综合1．△在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，A（0，﹣3），B（﹣2，0），O是坐标原点．（1）将△先作其关于x轴的对称图形，再把新图形向右平移3个单位，在图中画出两次变换后所得的图形△1B1；（2）若点M（x，y）在△上，则它随上述两次变换后得到点M1，则点M1的坐标是．2．（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，△中，∠90°，，求证：∠30°，请你完成证明过程．（2）如图②，四边形是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为、的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A 落在上的点A′处，折痕交于点G，请运用（1）中的结论求∠的度数和的长．（3）若矩形纸片按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当6，求的长．3．如图，矩形中，6，8，点E是射线上的一个动点，把△沿折叠，点C的对应点为C′．（1）若点C′刚好落在对角线上时，′=；（2）若点C′刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长；（3）若点C′刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长．4．如图，矩形纸片，将△和△分别沿和折叠（＞），点A和点B都与点E重合；再将△沿折叠，点C落在线段上点F处．（1）判断△，△，△和△中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）（2）如果1，∠，求的长．5．如图，在矩形中，点E在边上，将该矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处，过点F作分、∥，交于点G连接．（1）求证：四边形为菱形；（2）若8，4，求的值．6．如图1，一张菱形纸片，点A、D、C、B分别是、、、边上的点，连接、、、、，且，；如图2，若将△、△、△、△分别沿、、、对折，点E、F都落在上的点P处，点H、G都落在上的点Q处．（1）求证：四边形是矩形；（2）求菱形纸片的面积和边长．7．（1）操作发现：如图①，在△中，∠2∠90°，点D是上一点，沿折叠△，使得点C恰好落在上的点E处．请写出、、之间的关系；（2）问题解决：如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想、、之间的关系，并证明你的结论；（3）类比探究：如图③，在四边形中，∠120°，∠90°，，，连接，点E是上一点，沿折叠，使得点D正好落在上的F处，若，直接写出的长．8．如图，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，折痕为，联结、．（1）求证：∠∠；（2）求证：；（3）当1时，求的长．9．如图，折叠矩形纸片，使点B落在边上一点E处，折痕的两端点分别在边，上（含端点），且6，10，设．（1）当的最小值等于时，才能使点B落在上一点E处；（2）当点F与点C重合时，求的长；（3）当3时，点F离点B有多远？10．如图，三角形纸片中，8，6，5．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，求△的周长．11．【问题提出】如果我们身边没有量角器和三角板，如何作15°大小的角呢？【实践操作】如图．第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开，得到∥∥．第二步：再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．折痕与折痕相交于点P．连接线段，，得到．【问题解决】（1）求∠的度数；（2）通过以上折纸操作，还得到了哪些不同角度的角？请你至少再写出两个（除∠的度数以外）．（3）你能继续折出15°大小的角了吗？说说你是怎么做的．12．已知矩形中，3，4，点E、F分别在边、上，连接B、E，D、F．分别把△和△沿，折叠成如图所示位置．（1）若得到四边形是菱形，求的长．（2）若折叠后点A′和点C′恰好落在对角线上，求的长．13．如图1，矩形纸片的边长4，2．同学小明现将该矩形纸片沿折痕，使点A与点C重合，折痕后在其一面着色（如图2），观察图形对比前后变化，回答下列问题：（1）：（直接填写=、＞、＜）（2）判断△的形状，并说明理由；（3）小明通过此操作有以下两个结论：①四边形的面积为42②整个着色部分的面积为5.52运用所学知识，请论证小明的结论是否正确．14．操作：准备一张长方形纸，按下图操作：（1）把矩形对折，得折痕；（2）把A折向，得△；（3）沿线段折叠，得到另一条折痕，展开后可得到△．探究：△的形状，并说明理由．15．1）如图1，将△纸片沿折叠，使点A落在四边形内点A′的位置，若∠40°，求∠1+∠2的度数；（2）通过（1）的计算你发现∠1+∠2与∠A有什么数量关系？请写出这个数量关系，并说明这个数量关系的正确性；（3）将图1中△纸片的三个内角都进行同样的折叠．①如果折叠后三个顶点A、B、C重合于一点O时，如图2，则图中∠α+∠β+∠γ=；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=；②如果折叠后三个顶点A、B、C不重合，如图3，则①中的关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论是否仍然成立？请说明你的理由．16．如图，长方形纸片，点E、F分别在边、上，连接，将∠对折，点B落在直线上的B′处，得到折痕，将点A落在直线上的点A′处，得到折痕．（1）若∠′=110°，则∠°，∠°，∠∠°．（2）若∠′°，则（1）中∠∠的值是否改变？请说明你的理由．（3）将∠对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠′．17．如图△中，∠60°，∠78°，点D在边上，点E在边上，且∥，将△沿折叠，点A对应点为F点．（1）若点A落在边上（如图1），求证：△是等边三角形；（2）若点A落在三角形外（如图2），且∥，求△各内角的度数．18．如图1，四边形中，，3，2，∠∠90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与所成的角设为θ，将四边形的直角∠沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）．（1）若折叠后点D恰为的中点（如图2），则θ=；（2）若θ=45°，四边形的直角∠沿直线l折叠后，点B落在点四边形的边上的E处（如图3），求a的值．19．在△中，∠90°，6，8，D、E分别是斜边和直角边上的点，把△沿着直线折叠，顶点B的对应点是B′．（1）如图（1），如果点B′和顶点A重合，求的长；（2）如图（2），如果点B′和落在的中点上，求的长．20．把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为．（1）连接，求证：四边形是菱形；（2）若8，16，求线段和的长．21．如图，矩形中，8，6，动点P从点A出发，以每秒1的速度沿线段向点B运动，连接，把∠A沿折叠，使点A 落在点A′处．求出当△′为直角三角形时，点P运动的时间．22．在矩形中，，点G，H分别在边，上，且，点E为边上的一个动点，连接，把△沿直线翻折得到△．如图1，当时，（1）填空：∠度；（2）若∥，求∠的度数，并求此时a的最小值；23．如图1，△中，沿∠的平分线1折叠，点B落在A1处．剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，点B1落在A2处．剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠的平分线1折叠，点与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠是△的好角．小丽展示了确定∠是△的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形顶角∠的平分线1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠的平分线1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．（1）情形二中，∠B与∠C的等量关系．（2）若经过n次折叠∠是△的好角，则∠B与∠C的等量关系．（3）如果一个三角形的最小角是4°，直接写出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．答：．24．在矩形纸片中，6，8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合（如图），（1）求证：四边形是菱形；（2）求折痕的长．25．如图1，是一张矩形纸片，1，5．在矩形的边上取一点M，在上取一点N，将纸片沿折叠，使与交于点K，得到△，交于O．（1）若∠1=80°，求∠的度数；（2）当B与D重合时，画出图形，并求出∠的度数；（3）△的面积能否小于2？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．26．七年级科技兴趣小组在“快乐星期四”举行折纸比赛，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26厘米，回答下列问题：（1）如果长方形纸条的宽为2厘米，并且开始折叠时起点M与点A的距离为3厘米，那么在图②中，厘米；在图④中，厘米．（2）如果信纸折成的长方形纸条宽为2，为了保证能折成图④形状（即纸条两端均刚好到达点P），纸条长至少多少厘米？纸条长最小时，长方形纸条面积是多少？（3）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是对称图形，假设长方形纸条的宽为x厘米，试求在开始折叠时（图①）起点M与点A的距离（用含x的代数式表示）．（温馨提示：别忘了用草稿纸来折一折哦！）27．将四张形状，大小相同的长方形纸片分别折叠成如图所示的图形，请仔细观察重叠部分的图形特征，并解决下列问题：（1）观察图①，②，③，④，∠1和∠2有怎样的关系？并说明你的依据．（2）猜想图③中重叠部分图形△的形状（按边），验证你的猜想．（3）若图④中∠1=60°，猜想重叠部分图形△的形状（按边），验证你的猜想．28．如图，长方形纸片中，10，将纸片折叠，使顶点B落在边上的E点处，折痕的一端G点在边上．（1）如图（1），当折痕的另一端F在边上且5时，求的长；（2）如图（2），当折痕的另一端F在边上且13时，求的长．29．矩形沿折叠，使点B落在边上的B′处，再沿B′G折叠四边形，使B′D边与B′F重合，且B′D′过点F．已知4，1（1）试探索与B′G的位置关系，并说明理由；（2）若四边形′是菱形，求∠的度数；（3）若点D′与点F重合，求此时图形重叠部分的面积．30．（1）操作发现：如图①，在△中，∠2∠90°，点D是上一点，沿折叠△，使得点C恰好落在上的点E处，请写出、、之间的关系（2）问题解决：如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想、、之间的关系，并证明你的结论；（3）类比探究：如图③，在四边形中，∠120°，∠90°，，，连接，点E是上一点，沿折叠，使得点D正好落在上的点F处，若3，直接写出的长．翻折问题解答题综合参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•安徽模拟）△在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，A（0，﹣3），B（﹣2，0），O是坐标原点．（1）将△先作其关于x轴的对称图形，再把新图形向右平移3个单位，在图中画出两次变换后所得的图形△1B1；（2）若点M（x，y）在△上，则它随上述两次变换后得到点M1，则点M1的坐标是（3，﹣y）．【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于x轴的对称点位置，再向右平移3个单位找到对应点位置，然后再连接即可；（2）根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标相反可得点M（x，y）关于x轴的对称图形上的点的坐标为（x，﹣y），再向右平移3个单位，点的横坐标+3，纵坐标不变．【解答】解：（1）如图所示：（2）点M（x，y）关于x轴的对称图形上的点的坐标为（x，﹣y），再向右平移3个单位得到点M1的坐标是（3，﹣y）．故答案为：（3，﹣y）．【点评】此题主要考查了作图﹣﹣平移变换和轴对称变换，关键是掌握点的坐标的变化规律．2．（2016•贵阳模拟）（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，△中，∠90°，，求证：∠30°，请你完成证明过程．（2）如图②，四边形是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为、的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A 落在上的点A′处，折痕交于点G，请运用（1）中的结论求∠的度数和的长．（3）若矩形纸片按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当6，求的长．【分析】（1）△中，根据═=，即可证明∠30°；（2）求出∠′D的度数，利用翻折变换的性质可求出∠的度数，在△A'中求出A'F，得出A'E，在△A'中可求出A'G，利用翻折变换的性质可得出的长度．（3）先判断出，得出∠30°，∠60°，从而求出的长度，根据翻折变换的性质可得出∠∠30°，在△中求出，继而得出，同理可求出，再由，即可得出答案．【解答】（1）证明：△中，∠90°，，∵，∴∠30°；（2）解：∵正方形边长为2，E、F为、的中点，∴×边长=1，∵沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在上的点A′处，∴A′2，∴=，∴∠′30°，可得∠′=90°﹣30°=60°，∵A沿折叠落在A′处，∴∠∠A′，′G，∴∠15°，∵A′2，1，∴A′，∴′﹣A′2﹣，∵∠′∠′180°﹣∠′90°，∴∠′90°﹣∠′90°﹣30°=60°，∴∠′=90°﹣∠′90°﹣60°=30°，则A′2′=2（2﹣）；（3）解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴，∴，∵∠90°，∴∠30°，∵6，在△中，30°，则•30°=6×=2，∵∠∠∠30°，∴30°=，∴2，∴2，同理2，∴4．【点评】本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识点较多，注意将所学知识融会贯通．3．（2016•贵阳模拟）如图，矩形中，6，8，点E是射线上的一个动点，把△沿折叠，点C的对应点为C′．（1）若点C′刚好落在对角线上时，′=4；（2）若点C′刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长；（3）若点C′刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长．【分析】（1）根据点B，C′，D在同一直线上得出′﹣′﹣求出即可；（2）利用垂直平分线的性质得出′′，则△′C是等边三角形，进而利用勾股定理得出答案；（3）利用①当点C′在矩形内部时，②当点C′在矩形外部时，分别求出即可．【解答】解：（1）如图1，∵点B，C′，D在同一直线上，∴′﹣′﹣10﹣6=4；故答案为：4；（2）如图2，连接′，∵点C′在的垂直平分线上，∴点C′在的垂直平分线上，∴′′，则△′C是等边三角形，设，易得2x，由勾股定理得：（2x）2﹣x2=62，解得：2，即的长为2；（3）作的垂直平分线，交于点M，交于点N，分两种情况讨论：①当点C′在矩形内部时，如图3，∵点C′在的垂直平分线上，∴4，∵′=6，由勾股定理得：′=2，∴′=6﹣2，设，则C′，4﹣y，故′22′E2，即（6﹣2）2+（4﹣y）22，解得：9﹣3，即9﹣3；②当点C′在矩形外部时，如图4，∵点C′在的垂直平分线上，∴4，∵′=6，由勾股定理得：′=2，∴′=6+2，设，则C′，﹣4故′22′E2，即（6+2）2+（z﹣4）22，解得：9+3，即9+3，综上所述：的长为9±3．【点评】此题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识；利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．4．（2015•南充）如图，矩形纸片，将△和△分别沿和折叠（＞），点A和点B都与点E重合；再将△沿折叠，点C 落在线段上点F处．（1）判断△，△，△和△中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）（2）如果1，∠，求的长．【分析】（1）由矩形的性质得∠∠∠90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠∠∠，所以△∽△∽△；（2）先证明，然后根据∠，设3x，5x，表示出、、，再根据△∽△，列出比例式解方程求解即可．【解答】解：（1）△∽△∽△，∵四边形是矩形，∴∠∠∠90°，根据折叠的性质可知：∠∠，∠∠，∴∠∠∠∠90°，∵∠∠90°，∴∠∠，∴△∽△，同理：△∽△，根据相似的传递性，△∽△；（2）∵∥，∴∠∠，根据折叠的性质可知：∠∠，∴∠∠，∴，∵，，∴﹣﹣，∵∠，∴设3x，5x，∴，5x﹣1，∵△∽△，∴，∴，解得：（舍）或2，∴6．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折的性质以及锐角三角函数的综合运用，在求长的问题中，关键是恰当的设出未知数表示出一对相似三角形的对应边列比例式．5．（2015•漳州）如图，在矩形中，点E在边上，将该矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处，过点F作分、∥，交于点G连接．（1）求证：四边形为菱形；（2）若8，4，求的值．【分析】（1）根据折叠的性质，易知，，∠1=∠2，由∥，可得∠1=∠3，易证，故由四边相等证明四边形为菱形；（2）在△中，用勾股定理列方程即可、，从而求出的值．【解答】（1）证明：由折叠的性质可知：，，∠1=∠2，∵∥，∴∠2=∠3，∴，∴，∴四边形为菱形；（2）解：设，根据折叠的性质，，8﹣x，在△中，222，即42+（8﹣x）22，解得：5，8﹣3，∴=．【点评】本题主要考查了折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解答此题的关键．6．（2015•江西校级模拟）如图1，一张菱形纸片，点A、D、C、B分别是、、、边上的点，连接、、、、，且，；如图2，若将△、△、△、△分别沿、、、对折，点E、F都落在上的点P处，点H、G都落在上的点Q处．（1）求证：四边形是矩形；（2）求菱形纸片的面积和边长．【分析】（1）由对折可知∠∠，∠∠，利用等角关系可求出∠90°，同理可求出∠∠90°．即可得出四边形是矩形．（2）由对折可知S菱形2S矩形即可求出的面积，由对折可得出点A，C为中点，连接，得．利用勾股定理就可得出边长．【解答】（1）证明：由对折可知∠∠，∠∠，∴2（∠∠）=180°，即∠∠∠90°．同理可得，∠∠90°．∴四边形是矩形．（2）解：由对折可知：△≌△，△≌△，△≌△，△≌△．∴S菱形2S矩形．又∵，∴A为的中点．同理有C为的中点．即，且∥，如图2，连接，∴四边形为平行四边形，得．∴．【点评】本题主要考查了翻折变换，勾股定理，菱形的性质及矩形的判定，解题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．7．（2015•平顶山二模）（1）操作发现：如图①，在△中，∠2∠90°，点D是上一点，沿折叠△，使得点C恰好落在上的点E处．请写出、、之间的关系；（2）问题解决：如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想、、之间的关系，并证明你的结论；（3）类比探究：如图③，在四边形中，∠120°，∠90°，，，连接，点E是上一点，沿折叠，使得点D正好落在上的F处，若，直接写出的长．【分析】（1）如图①，设，由∠2∠90°易得△为等腰直角三角形，则，，再根据折叠的性质得，∠∠90°，又可判断△为等腰直角三角形，所以，则，（+1）t，•（+1）（2+）t，从而得到；（2）如图②，根据折叠的性质得，∠∠C，，而∠2∠B，则∠2∠B，根据三角形外角性质得∠∠∠，所以∠∠，则，所以，于是得到；（3）作⊥于H，如图③，设，利用（1）的结论得（2+）x，根据等腰三角形的性质由，∠120°得到∠∠30°，且，在△中，利用30度的余弦得30°，即（2+2），然后解方程求出x即可．【解答】解：（1）如图①，设，∵∠2∠90°，∴∠45°，∠45°，∴△为等腰直角三角形，∴，，∵折叠△，使得点C恰好落在上的点E处，∴，∠∠90°，∴△为等腰直角三角形，∴，∴，∴（+1）t，∴•（+1）（2+）t，∴；故答案为；（2）．理由如下：如图②，∵折叠△，使得点C恰好落在上的点E处，∴，∠∠C，，∵∠2∠B，∴∠2∠B，而∠∠∠，∴∠∠，∴，∴，∴；（3）作⊥于H，如图③，设，由（1）的结论得（2+）x，∵，∠120°，∴∠∠30°，∵⊥，∴，在△中，30°，∴（2+2），解得，即的长为．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形．8．（2015•潍坊校级一模）如图，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，折痕为，联结、．（1）求证：∠∠；（2）求证：；（3）当1时，求的长．【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠∠，进而利用平行线的性质得出∠∠即可得出答案；（2）首先证明△≌△，进而得出△≌△，即可得出；（3）设，则4﹣x．在△中，根据勾股定理列出关于x的方程求解即可．【解答】（1）证明：∵，∴∠∠，又∵∠∠90°，∴∠﹣∠∠﹣∠．即∠∠．又∵四边形为正方形∴∥，∴∠∠．∴∠∠．（2）证明：过B作⊥，垂足为Q，由（1）知，∠∠，在△与△中，，∴△≌△（），∴，．又∵，∴．又∵∠∠90°，∴△和△是直角三角形，在△与△中，∴△≌△（），∴，∴．（3）解：由（2）知，1，∴3．设，则4﹣x．在△中，222，即32+（4﹣x）2=（1）2，解得2.4，∴3.4．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．9．（2015•江西样卷）如图，折叠矩形纸片，使点B落在边上一点E处，折痕的两端点分别在边，上（含端点），且6，10，设．（1）当的最小值等于6时，才能使点B落在上一点E处；（2）当点F与点C重合时，求的长；（3）当3时，点F离点B有多远？【分析】（1）当点G与点A重合时，的值最小，即可求出的最小值等于6；（2）在△中运用勾股定理求出，再利用﹣即可求出答案；（3）作⊥于点H，设，利用勾股定理可先求出，可得，利用△∽△，由=可求出，即得出的值．【解答】解：（1）点G与点A重合时，如图1所示，四边形是正方形，此时的值最小，即6．当的最小值等于6时，才能使B点落在上一点E处；故答案为：6．（2）如图2所示，∵在△中，10，6，∴8，∴﹣10﹣8=2，（3）如图3所示，作⊥于点H，3，设，则6﹣y，根据勾股定理得：（6﹣y）22+9，解得：，∴，又△∽△，∴=，∴，∴，∴．【点评】本题主要考查了翻折变换，解题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．10．（2015秋•苍溪县期末）如图，三角形纸片中，8，6，5．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，求△的周长．【分析】根据翻折变换的性质可得，，然后求出，再根据三角形的周长列式求解即可．【解答】解：∵沿折叠点C落在边上的点E处，∴，，∵8，6，∴﹣﹣8﹣6=2，∴△的周长，，，=5+2，=7．【点评】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．11．（2015春•无棣县期末）【问题提出】如果我们身边没有量角器和三角板，如何作15°大小的角呢？【实践操作】如图．第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开，得到∥∥．第二步：再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．折痕与折痕相交于点P．连接线段，，得到．【问题解决】（1）求∠的度数；（2）通过以上折纸操作，还得到了哪些不同角度的角？请你至少再写出两个（除∠的度数以外）．（3）你能继续折出15°大小的角了吗？说说你是怎么做的．【分析】（1）根据折叠性质由对折矩形纸片，使与重合得到点P为的中点，即，再根据矩形性质得∠90°，∠90°，则根据直角三角形斜边上的中线性质得，再根据折叠性质由折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．折痕得到，∠1=∠2，∠∠90°，利用等要三角形的性质得∠2=∠4，利用平行线的性质由∥得到∠4=∠3，则∠2=∠3，易得∠1=∠2=∠3=∠30°；（2）利用互余得到∠60°，根据折叠性质易得∠120°；（3）把30度的角对折即可．【解答】解：（1）∵对折矩形纸片，使与重合，∴点P为的中点，即，∵四边形为矩形，∴∠90°，∠90°，∴，∵折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．折痕，∴，∠1=∠2，∠∠90°，∴∠2=∠4，∵∥，∴∠4=∠3，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠30°，即∠30°；（2）通过以上折纸操作，还得到了∠60°，∠120°等；（3）折叠纸片，使点A落在上，则可得到15°的角．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．12．（2015春•大同期末）已知矩形中，3，4，点E、F分别在边、上，连接B、E，D、F．分别把△和△沿，折叠成如图所示位置．（1）若得到四边形是菱形，求的长．（2）若折叠后点A′和点C′恰好落在对角线上，求的长．【分析】（1）由矩形的性质得出∠90°，设，则（4﹣x），由菱形的性质得出4﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）由勾股定理求出，由折叠的性质得出A′，∠′∠90°，A′3，求出A′D，设′，则（4﹣x），在△′D中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵四边形是矩形，∴∠90°，设，则（4﹣x），∵四边形是菱形，∴4﹣x，由勾股定理得：222，即322=（4﹣x）2，解得：，∴；（2）根据勾股定理得：5，由折叠的性质得：A′，∠′∠90°，A′3，∴∠′90°，A′5﹣3=2（），设′，则（4﹣x），在△′D中，A′E2′D22，即x2+22=（4﹣x）2，解得：，∴．【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、菱形的性质；熟练掌握翻折变换和矩形、菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．13．（2015春•廊坊期末）如图1，矩形纸片的边长4，2．同学小明现将该矩形纸片沿折痕，使点A与点C重合，折痕后在其一面着色（如图2），观察图形对比前后变化，回答下列问题：（1）=：（直接填写=、＞、＜）（2）判断△的形状，并说明理由；（3）小明通过此操作有以下两个结论：①四边形的面积为42②整个着色部分的面积为5.52运用所学知识，请论证小明的结论是否正确．【分析】（1）根据翻折的性质解答；（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠∠，再根据翻折的性质可得∠∠，从而得到∠∠，根据等角对等边可得，从而得解；（3）①根据翻折的性质可得，然后求出，再根据图形的面积公式列式计算即可得解；②设，表示出，然后在△中，利用勾股定理列式求出，根据三角形的面积公式求出，然后计算即可得解．【解答】解：（1）由翻折的性质，；（2）△是等腰三角形．∵矩形，∴∥，∴∠∠，由翻折的性质，∠∠，∴∠∠，∴，故△为等腰三角形；（3）①由翻折的性质，，∵，∴，∴S四边形（）••×4×2×=42；②设，则4﹣x，∵∠90°，∴x2+22=（4﹣x）2，解得1.5，∴×1.5×2=1.5，S着色部分=1.5+4=5.5；综上所述，小明的结论正确．【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，以及勾股定理的应用，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合是解题的关键．14．（2015春•娄底期末）操作：准备一张长方形纸，按下图操作：（1）把矩形对折，得折痕；（2）把A折向，得△；（3）沿线段折叠，得到另一条折痕，展开后可得到△．探究：△的形状，并说明理由．【分析】由（1）得出M、N分别是、的中点，由（2）得出2，再由（3）得出2，证出，因此∠1=∠2，由角的关系求出∠1=60°，即可证出△为等边三角形．【解答】解：△是等边三角形；理由如下：如图所示：由操作（1）得：M、N分别是、的中点，∴在△中，P为的中点，是斜边上的中线，∴，即2，在△中，A是的中点，∴，即2，∴，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，2∠1+∠3=180°，∴3∠1=180°，∴∠1=60°，∴△为等边三角形．【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．15．（2015秋•兴化市校级期末）（1）如图1，将△纸片沿折叠，使点A落在四边形内点A′的位置，若∠40°，求∠1+∠2的度数；（2）通过（1）的计算你发现∠1+∠2与∠A有什么数量关系？请写出这个数量关系，并说明这个数量关系的正确性；（3）将图1中△纸片的三个内角都进行同样的折叠．①如果折叠后三个顶点A、B、C重合于一点O时，如图2，则图中∠α+∠β+∠γ=180°；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°；②如果折叠后三个顶点A、B、C不重合，如图3，则①中的关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论是否仍然成立？请说明你的理由．【分析】（1）根据将△纸片沿折叠，使点A落在四边形内点A′的位置，若∠40°，可以求得∠∠∠A′∠A′，进而可以求得∠1+∠2的度数；（2）先写出数量关系，然后说明理由，将△纸片沿折叠，使点A落在四边形内点A′的位置，可以得到折叠后的各个角的关系，从而可以解答本题；（3）根据第二问的推导，可以进行这一问结论的推导，从而可以解答本题．【解答】解：（1）∵∠40°，∴∠∠∠A′∠A′140°，∴∠1+∠2=360°﹣（∠∠）﹣（∠A′∠A′）=80°，即∠1+∠2的度数是80°；（2）∠1+∠2=2∠A，理由：∵将△纸片沿折叠，使点A落在四边形内点A′的位置，∴∠∠∠A′∠A′，∠∠A′，∴∠1+∠2=360°﹣（∠∠）﹣（∠A′∠A′）=360°﹣（180°﹣∠A）﹣（180°﹣∠A′）=360°﹣180°+∠A﹣180°+∠A′=2∠A，即∠1+∠2=2∠A；（3）①由题意可得，∠α+∠β+∠γ=360°﹣180°=180°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2∠2∠2∠2（∠∠∠C）=2×180°=360°，故答案为：180°，360°；②如果折叠后三个顶点A、B、C不重合，如图3，则①中的关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论仍然成立；理由：∵∠1+∠2=2∠A，∠3+∠4=2∠B，∠5+∠6=2∠C，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2∠2∠2∠C=2（∠∠∠C）=360°，即如果折叠后三个顶点A、B、C不重合，如图3，则①中的关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论仍然成立．【点评】本题考查翻折问题、角的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．16．（2015秋•海珠区期末）如图，长方形纸片，点E、F分别在边、上，连接，将∠对折，点B落在直线上的B′处，得到折痕，将点A落在直线上的点A′处，得到折痕．（1）若∠′=110°，则∠55°，∠35°，∠∠90°．（2）若∠′°，则（1）中∠∠的值是否改变？请说明你的理由．（3）将∠对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠′．【分析】（1）根据折叠的性质可求出∠和∠的度数，然后求出两角之和；（2）不变．根据折叠的性质可得∠∠B'，根据∠′°，可得∠∠B'∠′°，然后求出∠，最后求和进行判断；（3）根据折叠的性质可得∠B'∠B'，∠B'∠，进而得出∠B'∠B'∠，求出其度数，在△中，可知∠与∠互余，然后求出∠的度数，最后根据平角的性质和折叠的性质求解．【解答】解：（1）由折叠的性质可得，∠∠B'，∠∠A'，∵∠′=110°，∴∠'=180°﹣110°=70°，∴∠∠B'∠′=55°，∠∠A'∠'=35°．∴∠∠55°+35°=90°；（2）不变．由折叠的性质可得：∠∠B'，∠∠A'，∵∠′°，∴∠'=180°﹣m°，可得∠∠B'∠′°，∠∠A'∠'=（180°﹣m°），∴∠∠°+（180°﹣m°）=90°，。

中考18题翻折类探究

中考18题翻折类题型探究中考数学18题一般考旋转、翻折两种题型（考平移的可能性很小），下面我就翻折类型题目进行分析，并给出解题思路。

关于翻折我们首先要熟记我们学到的相关概念：1、把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

2、如果把一个图形沿某一条直线翻折，能与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点。

我们要注意翻折前后不改变图形的形状和大小、即翻折前后对应边和对应角相等，翻折前后对应点之间连线被对称轴垂直平分，对同一个图形进行翻折前后对应边往往可以看成一个等腰三角形的两边，对称轴可以看成是这个等腰三角形顶角平分线。

中考18题翻折类题目往往以等腰三角形、直角三角形、矩形、直角梯形等为翻折前的初始图形，一般也会给出特殊的边角关系（如30度、60度、45度角、勾三股四类直角三角形）需要直接或间接构造直角三角形并利用相关性质求解。

常用到的知识点：1.勾股定理2.等腰三角形三线合一3.三角形相似与全等的性质4.锐角三角比5.特殊三角形和特殊四边形的性质与判定一般解题步骤：1.看原图形的形状和特征（若有等腰看高线，若含直角找边角信息，有中点联系中位线或斜边中线）2.确定翻折线，若给出折线看翻折后各对应边角的特殊情况；若没有给出翻折线，则要根据翻折后形成的特殊边角关系分情况讨论。

3.对题目中给的特殊边角，找出隐含的信息（如30度角想到直角边与斜边的关系）4.解图中的直角三角形或构造新的直角三角形进行求解得出结论。

若无法直接求出，则利用相似或全等找等量关系进行求解。

中考数学18题翻折类题型，一般也可以归纳为解直角三角形，对于特殊三角形的性质，大家要特别熟悉，对于题目中的隐含条件要能准确发现并利用。

中考和模考真题18.（2012上海市，18，4分）如图3，在Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为 .1标注：特殊直角三角形，翻折形成特殊角度（90度）根据翻折性质（角度不变）推出特殊边角关系（含45度直角三角形）。

专题01 翻折问题(解析版)

专题01 翻折问题一、解答题1．（2020·江苏南京·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=6，DC=4，求AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：（1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出△ABD和△ACD的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，建立关于x的方程模型，求出AD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）12．【分析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形；（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x−6）2＋（x−4）2＝102，求出AD＝x＝12．【详解】（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，∴∠EAF=90°．又∵AD⊥BC，∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，∴四边形AEGF是矩形，又∵AE=AD，AF=AD，∴AE=AF，∴矩形AEGF是正方形；（2）解：设AD=x，则AE=EG=GF=x．∵BD=6，DC=4，∴BE=6，CF=4，∴BG=x﹣6，CG=x﹣4，在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2=102．化简得：x2﹣10x﹣24=0解得：x1=12，x2=﹣2（舍去）所以AD=x=12．2．（2019秋·江苏盐城·九年级校考期中）在初二的数学学习中，我们已经了解了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．张老师在课堂上又提出了这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，那么BC与AB有怎样的数量关系？（1）经过小组合作交流后，小明代表小组发言，他们发现了AB＝2BC，证明方法如下：证明：如图2，把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC∴∠ACD＝∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＋∠ACB＝90°＋90°＝180°，∴点B、C、D三点共线．又∵∠DAC＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝60°，（请在下面补全小明的证明过程）（2）受到小明“翻折”方法的启发，另一组代表小刚发言：如图3，在△ABC中，如果把条件“∠ACB＝90°”改为“∠ACB＝135°”，保持“∠BAC＝30°”不变，若BC＝1，求AB的长．【答案】（1）AB=2BC；补全证明过程见解析；（2）【分析】（1）根据翻折的性质可得AB=AD，BC=BD，即可证明△ABD是等边三角形，可得AB=BD，即可AB；证明BC=12（2）如图，把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC，连接BD，根据翻折的性质可得∠DAC=∠BAC=30°，∠ACD=∠ACB=135°，AB=AD，CD=BC=1，可得∠BAD=60°，∠BCD=90°，即可证明△ABD是等边三角形，可得AB=BD，根据勾股定理可得，即可得答案．【详解】（1）∵把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC，∴AB=AD，BC=BD，∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD=2BC．（2）如图，把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC，连接BD，∵∠ACB＝135°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴∠DAC=∠BAC=30°，∠ACD=∠ACB=135°，AB=AD，CD=BC=1，∴∠BCD=360°-135°-135°=90°，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，=∴．3．（2021秋·江苏南京·九年级统考期中）问题：如图1，在等边三角形△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，ED＝EC，回答下列问题：（1）与AE相等的线段是．（2）请证明（1）中得到的结论，证明思路如下：①小聪思路：如图2，过E作EF//BC，交AC于点F，请你完成剩下解答过程；②小明思路：如图3，把△EBD沿BE翻折得到△EBF，连接CF，请你完成剩下解答过程．【答案】（1）BD；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）思路见（2）（2）①过E作EF//BC，证明△AEF为等边三角形，再证明△DBE≌△EFC，即可得到BD=EF=AE；②把△EBD沿BE翻折得到△EBF，连接CF，得到△EBD≌△EBF，再证明△ACE≌△BCF，即可得到AE＝BF＝BD；【详解】（1）BD（2）①小聪思路：过点E作EF//BC，交AC于F∵△ABC是等边三角形∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠A ＝60°，AB ＝BC ＝AC∵EF //BC ∴∠AEF ＝∠ABC ＝60°，∠AFE ＝∠ACB ＝60°，∠FEC ＝∠ECB∵又∠A ＝60° ∴△AEF 是等边三角形∴AE ＝AF ＝EF ，∠EFC ＝∠DBE ＝120°，∴CF ＝BE∵ED ＝EC∴∠D ＝∠ECB∴∠D ＝∠FEC∴∠FCE ＝∠BED在△DBE 和△EFC 中，CF BE FCE BEDCE DE =ìïÐ=Ðíï=î∴△DBE ≌△EFC （SAS ）∴BD ＝EF∴BD ＝AE②小明思路：∵DE ＝EC ∴∠ECB ＝∠D∵∠ABC ＝∠DEB +∠D ，∠ACB ＝∠ACE +∠ECB∴∠DEB ＝∠ACE∵△EBD 翻折到△EBF∴△EBD ≌△EBF ∴∠DEB ＝∠FEB ，DE ＝EF∴∠DEB ＝∠ACE ＝∠FEB∵∠CEB ＝∠CEF +∠FEB ＝∠A +∠ACE ∴∠CEF ＝∠A ＝60°∵DE ＝EF ＝CE ∴△ECF 为等边三角形∴CE ＝CF ，∠ECF ＝60°∴∠ACE +∠ECB ＝∠ECB +∠BCF∴∠ACE ＝∠BCF ，在△ACE 和△BCF 中CF BE BCF ACEAC BC =ìïÐ=Ðíï=î∴△ACE ≌△BCF （SAS ）∴AE ＝BF ＝BD4．（2022·江苏南京·统考一模）阅读下面的问题及解决途径．结合阅读内容，完成下面的问题．(1)填写下面的表格．(2)将函数y ＝－2x 2＋3x ＋1的图像沿y 轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式为．(3)将函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的图像先向左平移1个单位长度，再沿y 轴翻折，最后绕原点旋转180°，求所得到的图像对应的函数表达式．【答案】(1)1x +，y ，61y x =+(2)2323y x x -=-+(3)2(2)y ax a b x a b c=--+---【分析】（1）阅读题干材料，弄清题中材料中图形平移的规律，“左加右减”进行求解即可；（2）根据二次函数图像与几何变换，将x 换成x -，整理后即可得出翻折后的解析式，根据二次函数的性质即可求得结论；（3）利用图像向左平移、关于,x y 轴翻折、绕坐标原点旋转的规律进行解答．【详解】（1）解：设平移后新的函数图像上任意点P 的坐标为(,)x y ，将点P 向右平移1个单位长度得点(1,)P x y ¢+平移后的图像对应的函数表达式为：61y x =+，故答案为：1x +，y ，61y x =+；（2）解：将二次函数2231y x x =-++的图像沿着y 轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式是22()3()1y x x +=--×-+，即2323y x x -=-+，故答案为：2323y x x -=-+；（3）解：将2y ax bx c =++(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的图像先向左平移1个单位长度，得2(1)(1)y a x b x c =++++，再沿y 轴翻折，得2(1)(1)y a x b x c =-++-++，即2(21)(1)y a x x b x c =-++-+，最后绕原点旋转180°，得2(21)(1)y a x x b x c -=+++++，整理得：2(2)y ax a b x a b c =--+---，故答案为：2(2)y ax a b x a b c =--+---．答：所得到的图像对应的函数表达式2(2)y ax a b x a b c =--+---．5．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）在数学活动《折纸与证明》中，有这样的一段活动材料：①如图①，把正方形ABCD 对折后再展开，折痕为EF ；②如图②，将点A 翻折到EF 上点A ¢处，且使折痕过点B ；③如图③，沿A C ¢折叠，得A BC ¢V （如图④）．回答下列问题：(1)判断：A BC ¢V 的形状为______________；并说明你的理由；(2)若正方形纸片的边长为2，则线段A F ¢的平方的值为______________．【答案】(1)等边三角形，理由见解析(2)3【分析】（1）由折叠的性质可知EF 垂直平分BC ，结合正方形的性质可知A C A B AB BC ¢¢===，可判断A BC ¢V 是等边三角形．（2）利用勾股定理解直角A FB ¢D 可得222A F A B FB ¢¢=-．【详解】（1）解：等边三角形．理由如下：∵如图②，把正方形纸片ABCD 对折，折痕为EF ，∴EF 垂直平分BC ．∵将点A 翻折，折痕过点B ，且使点A 落在EF 的点A ¢处，∴A C A B AB BC ¢¢===．∴A BC ¢V 是等边三角形．（2）解：∵正方形纸片的边长为2，EF 垂直平分BC ，∴2A B AB ¢==，112122FB BC ==´=，90A FB ¢Ð=°，∴2222213A F A B FB ¢¢=-=-=，线段A F ¢的平方的值为3．6．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）【问题背景】小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt ABC V 中，9060A CB ，A Ð=°Ð=°，CD 平分ACB Ð，试判断BC 和AC AD 、之间的数量关系．【初步探索】小明发现，将ACD V 沿CD 翻折，使点A 落在BC 边上的E 处，展开后连接DE ，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）（1）写出图2中全等的三角形____________________；（2）直接写出BC 和AC AD 、之间的数量关系__________________；【类比运用】（3）如图3，在ABC V 中，2C B Ð=Ð，AD 平分32CA B ，A B ，A D Ð==，求ACD V 的周长．小明的思路：借鉴上述方法，将ACD V 沿AD 翻折，使点C 落在AB 边上的E 处，展开后连接DE ，这样可以将问题解决（如图4）；请帮小明写出解答过程：【实践拓展】（4）如图5，在一块形状为四边形ABCD 的空地上，养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围成两个小型的养殖场，即图5中的ABC V 和ACD V ，若AC 平分10m 17m 9m BAD BC CD AC AD Ð====，，，．请你帮丁师傅算一下需要买多长的栅栏．【答案】（1）A C D E C D @V V ；（2）BC AC AD =+；（3）ACD V 的周长为5；（4）需要买67m 长的栅栏【分析】（1）将ACD V 沿CD 翻折得到ECD V ，则A CD E C D @V V ，即可得答案；（2）由90,60ACB A Ð=°Ð=°，得30B Ð=°，由翻折得,E C A C E D A D ==，60CED A Ð=Ð=°，得30EDB B Ð=Ð=°，所以E D E B A D ==，于是B C E C E B A C A D =+=+；（3）将ACD V 沿AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，展开后连接DE ，则,A C A E CD E D ==，2AED C B Ð=Ð=Ð，于是得2B E D B B Ð=Ð+Ð，则B EDB Ð=Ð，得EB ED CD ==，所以3A C C D A B +==，即可得答案；（4）将ACD V 沿AC 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，连接CE ，作CF AB ^于F ，设m EF BF c ==，则()9A F x m =+，可得方程()222217910x x -+=-，解得：6x =，即可求得6m EF BF ==，()21m AB =，则()91010211767m AD BC CD AB AC ++++=++++=，可得答案．【详解】解：（1）如图2，ACD QV 沿CD 翻折得到ECDV A C D E C D \@V V ；（2）BC AC AD =+，理由：90,60ACB A Ð=°Ð=°Q ，30B \Ð=°，由翻折得,E C A C E D A D ==，60CED A Ð=Ð=°，603030E D B C E D B \Ð=Ð-Ð=°-°=°，EDB B \Ð=Ð，ED EB \=，EB AD \=，B C E C E B A C A D \=+=+；（3）如图4，将ACD V 沿AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，展开后连接DE ，由翻折得,A C A E CD E D ==，2AED C B Ð=Ð=Ð，A E D E D B B Ð=Ð+ÐQ ，2B E D B B \Ð=Ð+Ð，B EDB \Ð=Ð，EB ED \=，CD EB \=，3A C C D A E E B A B \+=+==，325A C C D A D \++=+=，ACD V 的周长为5；（4）如下图5，将ACD V 沿AC 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，连接CE ，作CF AB ^于F ，10m,17m,9m BC CD CA AD ====Q ，9m,10m AE AD CE CD \====，10m BC CE \==，CF AB ^Q ，\90,A FC B FC E F B F Ð=Ð=°=，设m EF BF c ==，则()9m AF x =+，22222A C A F B C B F C F -=-=Q ，()222217910x x \-+=-，解得：6x =，6m EF BF ==Q ，()96621m AB AE EF BF \=++=++=，()91010211767m AD BC CD AB AC \++++=++++=，\需要买67m 长的栅栏．7．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有一个ABC V ，按要求回答下列问题：(1)ABC V 的面积为；(2)画出将ABC V 向右平移6格，再向上平移3格后的111A B C △；(3)画出ABC V 绕点B 顺时针旋转90°后的图形22A BC V ；(4)画出ABC V 沿直线EF 翻折后的图形33A B C △．【答案】(1)3(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】（1）直接利用三角形面积求法得出答案；（2）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出111A B C △；（3）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出22A BC V ；（4）直接利用翻折变换的性质得出对应点位置，进而得出33A B C △．【详解】（1）ABC V 的面积为：13232´´=；故答案为：3；（2）如图所示：111A B C △即为所求；（3）如图所示：22A BC V 即为所求；（4）如图所示：33A B C △即为所求；8．（2020·江苏无锡·统考一模）阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”：如图1．在△ABC 中，如果AB ＞AC ，那么∠ACB ＞∠ABC ．证明如下：将AB 沿△ABC 的角平分线AD 翻折（如图2），因为AB ＞AC ，所以点B 落在AC 的延长线上的点B '处．于是，由∠ACB ＞∠B '，∠ABC =∠B '，可得∠ACB ＞∠ABC ．（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”：如图3．在△ABC 中，如果∠ACB ＞∠ABC ，那么AB ＞AC ．小明的思路是：沿BC 的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：如图4，已知M 为正方形ABCD 的边CD 上一点（不含端点），连接AM 并延长，交BC 的延长线于点N ．求证：AM ＋AN ＞2BD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）设BC的中垂线交BC于点E，交AB于点D，连接DC，结合中垂线的性质定理与三角形三边长的关系，即可得到结论；（2）延长DC到点E，使得CE=CN，连接AE交BC于点F．易证△ACE≌△CAN，得AE=AN．过点C作PQ⊥AC，分别交AN、AE于点P、Q，结合“三角形中，大角对大边”，得AP＋AQ＞2AC，QE＞CQ，PC＞PM，进而得QE＞PM，即AM＋AN＞AP＋AQ，然后即可得到结论．【详解】（1）设BC的中垂线交BC于点E，交AB于点D，连接DC．将∠B沿BC的中垂线DE翻折（如图3），使点B落在点C处．∵∠ACB＞∠ABC，∴CD在△ABC的内部，∵DE为BC的中垂线，∴DB=DC．∵在△ADC中，AD＋DC＞AC，∴AD＋DB＞AC．即AB＞AC；（2）如图4，延长DC到点E，使得CE=CN，连接AE交BC于点F．∵∠ACE=∠ACN=135°，CE=CN，AC=AC，∴△ACE≌△ACN（SAS），∴AE=AN．过点C作PQ⊥AC，分别交AN、AE于点P、Q．∵∠ACP=∠ACQ=90°，∴AP＞AC，AQ＞AC，∴AP＋AQ＞2AC．∵∠ACD＞∠E，∠ACD=45°，∠QCE=135°-90°=45°，∴∠QCE＞∠E，∴QE＞CQ．同理可得：PC＞PM．∵△ACE≌△ACN，∴∠CAN=∠CAE，又∵AC=AC，∠ACP=∠ACQ=90°，∴△ACP≌△ACQ（ASA），∴PC=CQ，∴QE＞PM，∴AM＋AN=AM＋AE=AM＋AQ＋QE＞AM＋AQ＋PM=AP＋AQ．又∵AP＋AQ＞2AC，∴AM＋AN＞2AC．∵正方形ABCD中，AC=BD，∴AM＋AN＞2BD．9．（2022秋·江苏·九年级期末）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如图1），怎样证明∠C＞∠B呢？把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C′处（如图2）．于是，由∠AC′D ＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．利用上述方法（或者思路）解决下列问题：（1）如图2，上述阅读材料中，若∠B＝45°，∠C＝60°，则∠C′DB＝_______°．（2）如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．若CD＝2，AB＝6．求△ABD的面积．（3）如图4，△ABC中，已知AD⊥BC于点D，且CD＝AB＋BD．若∠C＝24°，求∠CAB的度数．【答案】（1）15；（2）△ABD的面积为6；（3）∠CAB＝108°．【分析】（1）利用折叠的性质和三角形的外角性质，即可求出答案；（2）把AC沿角平分线AD翻折，点C落在AB上的点C＇处，得DC＇=CD=2，即可求出△ABD的面积；（3）把AB沿AD翻折，点B落在BC上的点B＇处，则BD＝DB＇，求得AB＇＝B＇C，然后得到∠B＇AC＝∠C ＝24°，从而得到∠B＝∠AB＇B＝48°，即可求出答案．【详解】解：（1）由折叠的性质，则∠AC′D=∠C=60°，∵∠B=45°，∴∠C′DB＝60°-45°=15°；故答案为：15°．（2）如图，把AC沿角平分线AD翻折，点C落在AB上的点C＇处，∵AD是角平分线，∠ACB＝90°，∴DC＇＝DC＝2，∠AC＇D＝∠ACD＝90°，∵DC＇是高，∴△ABD的面积为6．（3）如图，把AB沿AD翻折，点B落在BC上的点B＇处，则BD＝DB＇，∴AB＇＝AB=B＇C，∴∠B＇AC＝∠C ＝24°∴∠B＝∠AB＇B＝48°，∴∠CAB＝108°．10．（2021春·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）问题背景如图1，矩形ABCD中，AB=AB AD<，M、N分别是AB、CD的中点，折叠矩形ABCD，使点A落在MN上的点K处，折痕为BP．（1）用直尺和圆规在图1中的AD 边上作出点P （不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AK ，判断ABK V 的形状；（3）如图2，若点E 是直线MN 上的一个动点．连接EB ，在EB 左侧作等边三角形BEF ；连接MF ，则MF 的最小值是______；（4）如图3，若点E 是射线KM 上的一个动点将BEK △沿BE 翻折，得BET △，BT 所在直线交直线MN 于点Q ，当TQE △是直角三角形时，KE 的长为多少？请直接写出答案．【答案】（1）见详解；（2）ABK V 是等边三角形，理由见详解；（3（4）4或12【分析】（1）作∠ABK 的平分线交AD 于P ，点P 即为所求；（2）先求出∠BKM ＝30°；根据对称性可得∠AKB =60°，进而即可得到答案；（3）由△FBA ≌△EBK ，因为FM 、EH 分别是AB 、BK 上的中线，推出FM ＝EH ，根据垂线段最短可知，当HE ⊥MN 时，EH 的值最小，进而即可求解；（4）分四种情形分别画出图形，求解即可；【详解】解：（1）如图①中，点P 即为所求：（2）连接AK ，在Rt △BKM 中，∵sin ∠BKM ＝BM BK ＝12，∴∠BKM ＝30°．∵M 、N 分别是AB 、CD 的中点，∴MN 是矩形ABCD 的对称轴，∴∠AKM =∠BKM ＝30°，AK =BK ，∴∠AKB =60°，∴ABK V 是等边三角形；（3）如图②中，连接AF ，取BK 的中点H ，连接EH ．∵等边三角形BEF中，∴∠FBE＝∠ABK＝90°-∠BKM=90°-30°=60°，又∵BF＝BE，BA＝BK，∴∠FBA＝∠EBK，∴△FBA≌△EBK（SAS），∵FM、EH分别是AB、BK上的中线，∴FM＝EH，根据垂线段最短可知，当HE⊥MN时，EH的值最小，最小值EH＝12∴FMAB MKB=30°，（4）∵MB=12∴MK=6，如图，当∠TEQ＝90°时，则TE∥MB，∴∠MBQ=∠T=∠MKB=30°，∴MQ=，设EK=ET=x，则QE，x+x+2=6，解得：x EK如图，当∠TQE＝90°时，此时点Q与点M重合，QE=2=，∴EK=6-2=4；如图当∠TEQ＝90°时，则∠BEM=45°，∴EM=BM∴EK如图：当∠TQE＝90°时，此时点Q与点M重合，∵∠TEM=90°-∠T=60°，×60°=30°，∴∠KEB=12∴∠EKB=∠KEB=30°，∴ME=MK=6，∴EK=12．综上所述，满足条件的EK的值为4或12．11．（2022春·江苏扬州·九年级校联考期中）问题情境：如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．易证：CE＝DF．（不需要写出证明过程）问题探究：在“问题情境”的基础上请研究．(1)如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段AE与MN之间的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，CQ（图中未连），判断线段EQ与CQ之间的数量关系，并说明理由．(3)在（2）的条件下延长EQ交边AD于点F．则∠AEF= °；(4)拓展提高：如图3，若该正方形ABCD边长为8，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝5，请直接写出AC′的长．【答案】(1)AE＝MN，理由见解析；(2)EQ＝CQ，理由见解析；(3)45；(4)2.【分析】（1）过点B作BF//MN交CD于点F，则四边形M BFN为平行四边形，得出MN =BF，BF⊥AE，由ASA证得△ABE≌△BCF，得出AE= BF，即可得出结论；（2）在图2中，连接AQ、CQ，易证△ABQ≌△CBQ，所以AQ＝CQ，再根据垂直平分线的性质得到AQ＝EQ，所以可得EQ＝CQ（3）连接AQ，过点Q作HI// AB，分别交AD，BC于点H、I，则四边形ABIH为矩形，得出HI⊥AD，HI ⊥BC，HI = AB= AD，证△DHQ是等腰直角三角形，得HD= HQ，AH = QI，由H L证得Rt△AHQ≌Rt△QIE，得∠AQH =∠QEI，证∠AQE=90°，得△AQE是等腰直角三角形，即可得出结果；(4)延长AG交BC于E，则EG = AG= 5，得AE=10，由勾股定理得：BE，则CE= BC-BE，由折叠的性质即可得出结果．（1）（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC，AB∥CD，过点B作BF∥MN交CD于点F，如图1所示：∴四边形MBFN为平行四边形，∴MN＝BF，BF⊥AE，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∵∠ABF+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，{BAE CBF AB BC ABE BCFÐ=Ð=Ð=Ð，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF，∴AE＝MN；（2）解：在图2中，连接AQ、CQ，在△ABQ和△CBQ中，{AB CB ABQ CBQ BQ BQ=Ð=Ð=，∴△ABQ≌△CBQ，∴AQ＝CQ，∵MN⊥AE于F，F为AE中点，∴AQ＝EQ，∴EQ＝CQ（3）解：连接AQ，过点Q作HI// AB，分别交AD．BC于点H、I，如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABIH为矩形，∴HI⊥AD，HI⊥．BC，HI= AB= AD，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠BDA = 45°，∴△DHQ是等腰直角三角形，∴HD=HQ，AH=QI，∵MN是AE的垂直平分线，AQ= QE，在Rt△AHQ和Rt△QIE中，∵AQ= QE，AH= QI，∴Rt△AHQ≌Rt△QIE(HL)，∴∠AQH =∠QEI，∠AQH＋∠EQI = 90°，△AQ E是等腰直角三角形，∠EAQ=∠AEQ=45°，即∠AEF= 45°故答案为：∠AEF=45°；（4）解：拓展提高：由(3)延长AG交BC于E，如图4所示：则EG =AG =5，∴AE = 10，在Rt △ABE 中，BE 6==CE = BC - BE = 8-6=2，由折叠的性质得： AC '=CE =2，故答案为： AC ′=2.12．（2022·江苏盐城·校联考一模）（1）背景问题：如图①，已知矩形ABCD ，E 是边CD 上一点，将△BCE 沿BE 翻折，使得C 落在AD 上的点F 处，求证：△ABF ∽△DFE ．（1）尝试应用：如图②，已知四边形ABCD 中，∠A =∠D =90°，点E 在AD 上，∠BEC =90°，2∠BCE +∠ECD =180°，过点E 作EF ⊥BC 垂足为F ，若EF =2，BC =5，求AE 的长．（2）拓展创新：如图③，已知矩形ABCD ，AB =9，BC =12，E 是边CD 上一动点，将△BCE 沿BE 翻折至△BPE ，连接AP 在上取点T ，使得PT =2AT ，连接DT ，求出DT 长度的最小值．【答案】（1）见解析；（2（3）4【分析】（1）由矩形的性质和翻折得到∠BFE ＝∠A ＝∠D ＝∠C ＝90°，由同角的余角相等可推得∠DEF ＝∠AFB ，证得△EDF ∽△FAB ；（2）证明△ECF ∽△BEF ，得CF =1，BF =4 ，由△ABF ∽△DFE ，2∠BCE +∠ECD =180°，构造矩形ABGD ，由BG =AD 建立方程，解方程求解即可；(3)在AB 边上取Q ，使得BO =2AQ ，连接TQ ，则ATQ APB V V ∽求得4TQ =，可得T 在以Q 为圆心4为半径的圆上，根据点圆关系求最值即可．【详解】（1）证明：如图1，在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝∠C ＝90°，由翻折得∠EFB ＝∠C ＝90°．∵∠DEF ＋∠DFE ＝90°，∠AFB ＋∠DFE ＝180°−90°＝90°，∴∠DEF＝∠AFB，∴△ABF∽△DFE．（1）尝试应用：如图2，过点B作BG⊥CD，交DC的延长线于点G，设DE＝m，CD＝x．∵EF⊥BC，∴∠EFC＝∠BFE＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠ECF＝90°−∠CEF＝∠FEB，∴△ECF∽△BEF，EF CFBF EF\=\EF2=CF·BF25EF BC==，Q()225CF CF\=-解得CF=1，或4（舍去）\CF=1，BF=4\EC==EB==∵△ABF∽△DFE∴12 CD DE CE AE AB BC===设CD=x，则AE=2x∵2∠BCE+∠ECD=180°∴D、C、G共线，在矩形ABGD中则DG x AB==由BG=AD得2x=∴AE=（2）拓展创新：在AB边上取Q，使得BQ=2AQ，连接TQQ PT =2AT ，PAB TAQÐ=Ð\ATQ APBV V ∽\13TQ AQ AT PB AB AP ===143TQ PB \==\T 在以Q 为圆心4为半径的圆上，当点T 落在DQ 上，即DT ＝DQ−4时，DT 的值最小，9AB DC ==Q \133AQ AB ==Q 90CB =°DQ \==∴DTmin =413．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AB ＝6cm ，BC ＝8cm 点E 从点D 出发，沿DA 方向匀速运动，速度是2cm/s ；点F 从点B 出发，沿BD 方向匀速运动，速度是1cm/s ，MN 是过点F 的直线，分别交AB 、BC 于点M 、N ，且在运动过程中始终保持MN ⊥BD ．连接EM 、EN 、EF ，两点同时出发，设运动时间为t （s ）（0<t <3.6），请回答下列问题：(1)求当t 为何值时，△EFD ∽△ABD ?(2)求当t 为何值时，△EFD 为等腰三角形；(3)将△EMN 沿直线MN 进行翻折，形成的四边形能否是菱形?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当t 的值为207时，△EFD ∽△ABD(2)当t 的值为5021或103时△EFD 为等腰三角形(3)不存在，理由见解析【分析】（1）当△EFD ∽△ABD 时，得到相似比DE DF DA DB=，解得207t =即可；（2）根据题意，等腰三角形分三种情况：EF ＝DE 时；EF ＝DF 时；DE ＝DF 时；作出相应图形，结合条件求解即可；（3）假设存在这样的菱形，当EM EN =时，过点E 作EQ ⊥BC 于点Q ，利用勾股定理求出两条线段长，根据相等关系列方程求解即可确定结论存在与否．【详解】（1）解：如图所示：在矩形ABCD 中，AD ＝BC ＝8cm ，∠A ＝∠ABC ＝90°，在Rt △ABD 中由勾股定理得10BD ===（cm ），由题意得：DE ＝2t cm ，BF ＝t cm ，∴()10DF BD BF t =-=-cm ，∵△EFD ∽△ABD ，∴DE DF DA DB =，∴210810t t -=，解得207t =∴当t 的值为207时，△EFD ∽△ABD ；（2）解：△EFD 为等腰三角形有三种情况：①EF ＝DE 时，点E 在DF 的垂直平分线上，过点E 作EG ⊥DF 于点G ，如图所示：则11022t DG DF -==cm ，在Rt △DEG 中，4cos 15DG DE Ð==，∴5DG ＝4DE ，∴105422t t -´=´，解得：5021t =；②EF ＝DF 时，点F 在DE 的垂直平分线上，过点F 作FH ⊥AD 于点H ，如图所示：则12DH DE t ==cm ，在Rt △DHF 中，4cos 15DH DF Ð==，∴5DH ＝4DF ，∴()5410t t =-，解得409t =，∵40 3.69>，∴不合题意舍去；③DE ＝DF 时，则2t ＝10－t ，解得：103t =；综上：当t 的值为5021或103时，△EFD 为等腰三角形；（3）解：不存在．假设△EMN 沿直线MN 翻折后点E 落在点E ¢处，由折叠得：EM E M ¢=，EN E N ¢=，当翻折后的四边形为菱形时，EM E M E N E N ¢¢¢===，∴EM ＝EN ，∴22EM EN =，过点E 作EQ ⊥BC 于点Q ，如图所示：则四边形EQCD 为矩形，∴EQ ＝CD ＝6cm ，CQ ＝DE ＝2t cm ，∴51382844NQ BC CQ BN t t t æö=--=--=-ç÷èø，∴222222131696852100416EN EQ NQ t t t æö=+=+-=-+ç÷èø，∵563AM AB BM t æö=-=-ç÷èøcm ，()82AE t =-cm ，∴()2222225616825210039ME AM AE t t t t æö=+=-+-=-+ç÷èø，∴22611695210052100916t t t t -+=-+，此方程无解，∴不存在这样的菱形．14．（2022秋·江苏·九年级期中）(1)【原题呈现】在课本中，安排有这样一个思考问题：“如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，那么BC 和AB 有怎样的数量关系？试证明你的结论”老师在课堂中提出这样的问题，并展示了小明的部分解答小明：AB =2B C ．证明：把△ABC 沿着AC 翻折，得到△AD C ．∴∠ACD =∠ACB =90°，∴∠BCD =∠ACD +∠ACB =90°+90°=180°，即：点B 、C 、D 在一条直线上．（请在下面补全小华后面的证明过程）(2)【变式拓展】如图2，在△ABC 中，把（1）中条件“∠ACB =90°”改为“∠ACB =135°”，保持“∠BAC =30°”不变，则2AB = 2BC ．(3)【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题．如图3，点D 是△ABC 内一点，AD =AC ，∠BAD =∠CAD =20°，∠ADB +∠ACB =210°，探求AD 、DB 、BC 三者之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)2(3)222BD BC AD +=，理由见解析【分析】（1）根据翻折的性质得出点B 、C 、D 共线，再由等边三角形的判定和性质即可证明；（2）把∆ABC 沿着AC 翻折，得到∆ADC ，根据翻折的性质得出∆ABD 为等边三角形，由题意确定∠BCD =90°，运用勾股定理即可得出结论；（3）把△ABD延AB边翻折得到△AEB，连接ED，EC，由翻折及各角之间的关系得出△AEC为等边三角形，再由勾股定理及等量代换即可得出结论．【详解】（1）证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．∴∠ACD=∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，即：点B、C、D共线，∴AB=AD，∵∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD=2BC；（2）如图所示，把∆ABC沿着AC翻折，得到∆ADC，由翻折得：AD=AB，∠CAD=∠CAB=30°，BC=CD，∴∠BAD=60°，∴∆ABD为等边三角形，∴AB=BD，∵∠ACB=∠ACD=135°，∴∠BCD=90°，2222\=+=，BD BC CD BC2即22AB BC=；2（3）222+=；BD BC AD理由：把△ABD延AB边翻折得到△AEB，连接ED，EC，∵∠BAD=∠CAD=20°，∴∠EAB=20°，∴∠EAC=60°，∵∠ACB +∠ADB =210°，∠AEB =∠ADB ，∴∠ACB =∠AEB =210°，∴∠EBC =360°-210°-60°=90°，∵AD =AC ，AE =AD ，∴AE =AC ，∴△AEC 为等边三角形，∴EC =AE =AD ，在Rt △EBC 中，222BE BC EC +=，∵BC =BD ，EC =AD ，∴222BD BC AD +=．15．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）问题情境：如图1，P 是O e 外的一点，直线PO 分别交O e 于点A ，B ．(1)探究证明：如图2，在O e 上任取一点C (不与点A ，B 重合)，连接PC ，求证：<AP PC ；(2)直接应用：如图3，在Rt ABC △中，=90ACB Ð°，3AB AC ==，以BC 为直径的半圆O 交AB 于D ，P 是弧CD 上的一个动点，则AP 的最小值是．(3)构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD 中，=60A Ð°，M 是AD 的中点，N 是AB 边上一动点，将AMN V 沿MN 所在的直线翻折得到A MN ¢V ，连接A B ¢，则A B ¢长度的最小值为．(4)综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点()2,3A -，点()4,5B ，分别以1，2为半径作A e 、B e ，M ，N 分别是A e ，B e 上的动点，直接写出PM PN +的最小值为．【答案】(1)见解析321-(4)7【分析】(1)在POC △中，根据“三角形两边之差小于第三边”可求证；(2)连接OA 交O e 于点P ，根据勾股定理求得OA ，进而求得AP ；(3)A ¢的轨迹是以M 为圆心，半径是1的圆，故连接BM ，求得BM ，进而求得A B ¢的最小值；(4)作点A 关于x 轴的对称点C ，连接CB 交x 轴于点P ，求出BC 的长，进而求得PM PN +的最小值．（1）证明：如图1，<PO OC PC -Q ，()<AP OA OC PC \+-，OA OC =Q ，<AP PC \；（2）解：如图2，连接OA ，交半O e 于点P ，13==22CO BC \，在Rt AOC V 中，OA ===∴32AP OA OP =-=，\AP 32，32；（3）解：如图3，连接BM 、BD ，交M ⊙于点1A ，∵四边形ABCD 是菱形，AB AD \=，=60BAM Ð°Q ，ABD \V 是等边三角形，∵M 是AD 的中点，A ¢的轨迹是以M 为圆心，半径是1的圆，=90AMB \Ð°，1112AM A M AD ===，BM \==，∴111A B BM A M =-=，A B \¢1-，1；（4）解：如图4，作点A 关于x 轴的对称点C ，连接BC ，交x 轴于点P ，交B e 于点N ，连接PA 交A e 于M ，PA PC \=，PA PB PC PB BC \+=+=，∵点()2,3A -，点()4,5B ，∴点(2,3)C --，10BC \==，∵分别以1，2为半径作A e 、B e ，=1AM \，2BN =，PM PN \+PA PB AM BN =+-- 1012=--=7，故答案是：7．16．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）函数图象是研究函数的重要工具，类比一次函数的学习，对函数32y x =-的图象与性质进行探究．下表是探究过程中的部分信息：x …2-1-012 (32)y x =-…4a2-14…请按要求完成下列各小题：(1)a 的值为______；(2)在图中画出该函数的图象；(3)结合函数的图象，解决下列问题：①下列说法正确的是：______．（填所有正确选项）A ．函数图像关于x 轴对称B ．当0x =时，函数有最小值，最小值为2-C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大②直接写出不等式1324x <-<的解集为______．(4)将该函数图像在直线1y =上方的部分保持不变，下方的部分图像沿直线1y =进行翻折，得到新函数图像，若经过点()2,0-的一次函数y kx b =+图像与新函数图像W 只有1个交点时，请直接写出k 满足的条件______．【答案】(1)1(2)见解析(3)①BC ；②2<<1x --或12x <<(4)3k ³或3k <-或13k =【分析】（1）把=1x -代入32y x =-即可求出a 的值；（2）先描点再连线画出函数图像即可；（3）①根据函数图象可以看出函数图像关于y 轴对称，关于x 轴不对称，即可判断A 错误；根据函数图象可判断当0x =时，函数有最小值，最小值为2-，得出B 正确；根据函数图象可判断当0x >时，y 随x 的增大而增大，得出C 正确；②根据函数图象写出不等式的解集即可；（4）根据题意画出翻折后的图像，然后数形结合求出k 的范围即可．【详解】（1）解：把=1x -代入32y x =-得：3121y =´--=，即1a =，故答案为：1．（2）解：该函数的图象，如图所示：（3）解：①A ．函数图像关于y 轴对称，故A 错误；B ．当0x =时，函数有最小值，最小值为2-，故B 正确；C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大，故C 正确；故答案为：BC ；②根据函数图象可知，当2<<1x --或12x <<时，1324x <-<；故答案为：2<<1x --或12x <<；（4）解：如图所示：设点()2,4A ，()1,1B ，()0,4C ，()11D -,，()2,4E -，设AB 的解析式为11y k x b =+，把()2,4A ，()1,1B 代入得：1111241k b k b +=ìí+=î，解得：1132k b =ìí=-î，AB 的解析式为：()321y x x =->，设CD 的解析式为22y k x b =+，把()0,4C ，()11D -,代入得：22141b k b =ìí-+=î，解得：2234k b =ìí=î，CD 的解析式为：()3410y x x =+-<<，设DE 的解析式为33y k x b =+，把()11D -,，()2,4E -代入得：3333241k b k b -+=ìí-+=î，解得：3332k b =-ìí=-î，DE 的解析式为：()341y x x =--<-，根据图像可知，当直线y kx b =+经过()2,0-和点()1,1B 时，直线y kx b =+与图像W 只有一个交点，把()2,0-，()1,1B 代入得：201k b k b -+=ìí+=î，解得：13k =；∵123k k ==，∴AB CD ∥，根据图像可知，当直线y kx b =+与AB 平行时，直线y kx b =+与图像W 只有一个交点，且此时直线y kx b =+绕点()2,0-继续逆时针旋转，直到与DE 平行之前，直线y kx b =+与图像W 只有一个交点，∴当3k ³或3k <-时，直线y kx b =+与图像W 只有一个交点；综上分析可知，当3k ³或3k <-或13k =时直线y kx b =+与图像W 只有一个交点．故答案为：3k ³或3k <-或13k =．17．（2017江苏省宿迁市，第25题，10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2=23y x x --交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将该抛物线位于x 轴上方曲线记作M ，将该抛物线位于x 轴下方部分沿x 轴翻折，翻折后所得曲线记作N ，曲线N 交y 轴于点C ，连接AC 、BC ．（1）求曲线N 所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC 外接圆的半径；（3）点P 为曲线M 或曲线N 上的一动点，点Q 为x 轴上的一个动点，若以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2（3）Q （0）或（4，0）或（5，0）或（0）或（2，0）或（1，0）．【详解】试题分析：（1）由已知抛物线可求得A 、B 坐标及顶点坐标，利用对称性可求得C 的坐标，利用待定系数法可求得曲线N 的解析式；（2）由外接圆的定义可知圆心即为线段BC 与AB 的垂直平分线的交点，即直线y =x 与抛物线对称轴的交点，可求得外接圆的圆心，再利用勾股定理可求得半径的长；（3）设Q （x ，0），当BC 为平行四边形的边时，则有BQ ∥PC 且BQ =PC ，从而可用x 表示出P 点的坐标，代入抛物线解析式可得到x 的方程，可求得Q 点坐标，当BC 为平行四边形的对角线时，由B 、C 的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标，从而可表示出P 点坐标，代入抛物线解析式可得到关于x 的方程，可求得P 点坐标．试题解析：（1）在2=23y x x --中，令y =0可得x 2﹣2x ﹣3=0，解得x =﹣1或x =3，∴A （﹣1，0），B （3，0），令x =0可得y =﹣3，又抛物线位于x 轴下方部分沿x 轴翻折后得到曲线N ，∴C （0，3），设曲线N 的解析式为2y ax bx c =++，把A 、B 、C 的坐标代入可得：09303a b c a b c c -+=ìï++=íï=î，解得：123a b c =-ìï=íï=î，∴曲线N 所在抛物线相应的函数表达式为223y x x =-++；（2）设△ABC 外接圆的圆心为M ，则点M 为线段BC 、线段AB 垂直平分线的交点，∵B （3，0），C （0，3），∴线段BC 的垂直平分线的解析式为y =x ，又线段AB 的解析式为曲线N 的对称轴，即x =1，∴M （1，1），∴MB△ABC（3）设Q （t ，0），则BQ =|t ﹣3|．①当BC 为平行四边形的边时，如图1，则有BQ ∥PC ，∴P 点纵坐标为3，即过C 点与x 轴平行的直线与曲线M 和曲线N 的交点即为点P ，x 轴上对应的即为点Q ，当点P 在曲线M 上时，在2=23y x x --中，令y =3可解得x或x =1，∴PCPC﹣1．。

中考数学几何问题综合专题复习6.翻折问题

7.翻折问题1.在ABC 中，AB AC ＝，60BAC ∠︒＜，D 为BC 延长线上一点，E 为ACD ∠内部一点，且90ABE ECD ∠∠︒＋＝．（1）若60ABE ∠︒＝，如图1，直接写出AC BE 、间的数量关系：___________；（2）若45ABE ∠︒＝，如图2，求证：BE ；（3）在（2）的条件下，如图3，将线段BA 沿BE 翻折，翻折后的点A 落在点M 处，且MC BC ⊥，连接EM ，交BC 的延长线于N ，若2CN ＝，求AN 的长．解析：（1）AC BE ＝提示：作AF BC ⊥于F ，BG CE ⊥交EC 延长线于G∵AB AC ＝， ∴12BF FC BC ＝＝∵9060ABE ECD ABE ∠∠︒∠︒＋＝，＝ ∴30ECD ∠︒＝，∴30BCG ∠︒＝∴1602CBG BG BC ∠︒＝，＝∴ABF EBG BF BG ∠∠＝，＝∴RtABF Rt EBG ≌，∴AB BE ＝ ∴AC BE ＝（2）作AF BC ⊥于F ，BG CE ⊥交EC 延长线于G∵AB AC ＝， ∴12BF FC BC ＝＝ ∵9045ABE ECD ABE ∠∠︒∠︒＋＝，＝ ∴45ECD ∠︒＝， ∴45BCG ∠︒＝∴45CBG ∠︒＝， 2BG BC ＝ ∴ABF EBG ∠∠＝， ∴Rt ABF Rt EBG ∽∴BE BGAB BD==∴BE∴BE（3）作AF BC ⊥于F ，MH BE ⊥于H则90ABF BAF ∠∠︒＋＝，12BF FC BC ＝＝由题意，45MBE ABE AB BM ∠∠︒＝＝，＝ ∴90ABM ∠︒＝，∴90ABF MBC ∠∠︒＋＝ ∴BAF MBC ∠∠＝ ∵MC BC ⊥， ∴90BCM AFB ∠∠︒＝＝ ∴ABF BMC ≌，∴2AF BC BF BF MC ＝＝，＝ ∴2BC MC ＝由（2）知，BE ，∴BE∵45MBH ∠︒＝，∴45BMH ∠︒＝，212BH MH BM BE ＝＝＝ ∴BH EH MH ＝＝，∴45MEH EMH ∠∠︒＝＝ ∴90BME ∠︒＝，∴Rt BMC Rt MNC ∽ ∴24MC CN ＝＝， ∴468FC FN AF ＝，＝，＝∴10AN ==2.如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，翻折C ∠，使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，折痕为EF （点E F 、分别在边AC BC 、上）（1）若CEF 与ABC 相似．①当2AC BC ==时，求AD 的长； ②当34AC BC ==，时，求AD 的长；（2）当点D 是AB 的中点时，CEF 与ABC 相似吗？请说明理由．解析：（1）若CEF 与ABC 相似．①当2AC BC ==时，ABC 为等腰直角三角形，如答图1所示．此时D 为AB 边中点，2AD AC ==． ②当34AC BC ==，时，有两种情况：（I ）若34CE CF =：：，如答图2所示．∵CE CFAC BC =：：，∴EF BC ∥．由折叠性质可知，CD EF ⊥，∴CD AB ⊥，即此时CD 为AB 边上的高．在Rt ABC 中，34AC BC ==，， ∴5AB =，∴3cos 5AC A AB ==．3•cos 3 1.85AD AC A ==⨯=；（II ）若34CF CE =：：，如答图3所示．∵CEF CAB ∽， ∴CEF B ∠=∠．由折叠性质可知，90CEF ECD ∠+∠=︒，又∵90A B ∠+∠=︒， ∴A ECD ∠=∠， ∴AD CD =．同理可得：B FCD CD BD ∠=∠=，，∴此时115 2.522ADAB ==⨯=．综上所述，当34AC BC ==，时，AD 的长为1.8或2.5．（2）当点D 是AB 的中点时，CEF 与ABC 相似．理由如下：如答图3所示，连接CD ，与EF 交于点Q ．∵CD 是Rt ABC 的中线， ∴CD DB AB ==， ∴DCB B ∠=∠．由折叠性质可知，90CQFDQF ∠=∠=︒，∴90DCB CFE ∠+∠=︒， ∵90B A ∠+∠=︒， ∴CFE A ∠=∠，又∵C C ∠=∠，∴CEF CBA ∽．3.在矩形ABCD 中，ABa AD=，点G H ，分别在边AB DC ，上，且HA HG ＝．点E 为AB 边上的一个动点，连接HE ，把AHE 沿直线HE 翻折得到FHE ．（1）如图1，当DH DA ＝时， ①填空：HGA ∠＝___________度；②若EF HG ∥，求AHE ∠的度数，并求此时a 的最小值；（2）如图3，602AEH EG BG ∠︒＝，＝，连接FG ，交边DC 于点P ，且F G A B⊥，G 为垂足，求a 的值．解析：（1）①45︒②分两种情况：第一种情况（如图1）45HAG HGA ∠∠︒＝＝， ∴180454590AHG ∠︒︒︒︒＝－－＝由折叠可知：45HAE F AHE FHE ∠∠︒∠∠＝＝，＝又∵EF HG ∥，∴45FHG F ∠∠︒＝＝∴904545AHF AHG FHG ∠∠∠︒︒︒＝－＝－＝即45AHE FHE ∠∠︒＋＝，∴22.5AHE ∠︒＝此时，当B 与G 重合时，a 的值最小，最小值是2 第二种情况（如图2）∵EF HG ∥，∴45HGA FEA ∠∠︒＝＝即45AEH FEH ∠∠︒＋＝由折叠可知：AEH FEH ∠∠＝， ∴22.5AEH FEH ∠∠︒＝＝ ∵EF HG ∥，∴22.5GHE FEH ∠∠︒＝＝ ∴9022.5112.5AHE ∠︒︒︒＝＋＝此时，当B 与E 重合时，a 的值最小设DH DA x ＝＝，则AH GH ＝在RtAHG 中，90AHG ∠︒＝，∴2AG x ＝∵AEH FEH GHE FEH ∠∠∠∠＝，＝， ∴AEH GHE ∠∠＝∴GH GE ＝，∴2AB AE x ＝＝22AB x a AD x+===+ （2）过点H 作HQ 交AB 于Q ，则90AQH GQH ∠∠︒＝＝在矩形ABCD 中，90D DAQ ∠∠︒＝＝ ∴90D DAQ AQH ∠∠∠︒＝＝＝ ∴四边形DAQH 为矩形， ∴AD HQ ＝设AD x GB y ＝，＝，则2HQ x EG y ＝，＝由折叠可知：60AEH FEH ∠∠︒＝＝ ∴180606060FEG ∠︒︒︒︒＝－－＝在RtEFG 中，·cos604EG EF EF y ︒＝，＝在RtHQE 中，tan 603HO EQ x =︒＝∴23QG QE EG x y +＝＋＝∵HAHG HQ AB ⊥＝，，∴23AQ GQ x y +＝＝∴23AE AQ QE x y +＝＋＝由折叠可知：AE EF ＝∴243x y y +=，∴3y x ＝∴2223AB AQ GB x y y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭＝＋＝∴AB a AD =＝4.如图，ABC 为等边三角形，D 为ABC 内一点，且120ADB ∠︒＝，把ADB 沿BD 翻折，点A 落在点E 处，连接CE ．（1）求证：BD CE AD ＋＝；（2）连接CD ，若87AD CD ＝，＝，求CE 的长．解析：（1）将ABD 绕点A 逆时针旋转60︒得ACF ，连接DF 、CF EF 、则ADF 是等边三角形， ∴60AD DF ADF AFD ∠∠︒＝，＝＝∵120ADB ∠︒＝，∴180ADB ADF ∠∠︒＋＝∴B D F 、、三点在同一直线上 ∵120AFC ADB ∠∠︒＝＝，∴60DFC ∠︒＝由题意，60EDF ADF DE AD ∠∠︒＝＝，＝ ∴DE DF ＝，∴DEF 是等边三角形∴60EF DE AD DFE ∠︒＝＝，＝ ∴E C F 、、三点在同一直线上 ∴BD CE CF CE EF AD ＋＝＋＝＝（2）过C 作CG DE ⊥于G ∵DEF 是等边三角形，∴60DEF ∠︒＝设CE x ＝，则12GE x ＝， 2CG x ＝，182DG x ＝－在Rt CDG中，22218722x x ⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得1235x x ＝，＝∴CE 的长为3或55.已知矩形ABCD 的一条边8AD ＝，将矩形ABCD 折叠，使顶点B 落在CD 边上的P 点处．（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP OP OA 、、．①求证：OCP PDA ∽；②若OCP 与PDA 的面积比为1:4，求边AB 的长；（2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求OAB ∠的度数；（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P A 、不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN PM ＝，连结MN 交PB 于点F ，作ME BP ⊥于点E ．试问当点M N 、在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．解析：（1）①∵四边形ABCD 是矩形，∴90C D ∠∠︒＝＝∴90APD DAP ∠∠︒＋＝∵AOP 是由ABO 沿AO 折叠， ∴90APO B ∠∠︒＝＝ ∴90APD CPO ∠∠︒＋＝ ∵DAP CPO ∠∠＝， ∴OCP PDA ∽ ②∵OCP PDA ∽，OCP PDA 与的面积比为1:4∴214OCP PDA S CP S AD ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△， ∴12CP AD = ∵8AD ＝， ∴4CP ＝设AB x ＝，则4DP x ＝－在Rt PDA 中，222AP AD DP ＝＋ ∴222(8)4xx ＝＋－，∴10x ＝即边AB 的长为10（2）∵折叠后AOB 与AOP 重合， ∴AP AB ＝，OAB OAP ∠∠＝ ∵AB CD ＝， ∴AP CD ＝∵P 是CD 的中点，∴ 12DP AP ＝∵90D ∠︒＝， ∴30PAD ∠︒＝又OAB OAP ∠∠＝， ∴30OAB ∠︒＝（3）线段EF 的长度不变作MH BN ∥交PB 于点H∵AP AB ＝， ∴APB ABP ∠∠＝ ∴MHP ABP MHF NBF ∠∠∠∠＝，＝ ∴MHP APB ∠∠＝， ∴MP MH ＝ ∵MP BN ＝， ∴BN MH ＝ ∵NFB MFH ∠∠＝， ∴NBF MHF ≌ ∴FH FB ＝∵EF EH FH ＝＋，∴12EF EP FB PB ＝＋＝由（1）得：108AB AD ＝，＝， ∴6DP ＝ ∴4PC ＝，∴PB ＝，∴EF ＝6.如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 是BC 边的中点，连接AE 并延长，交DC 的延长线于点F ，且2AEC ABE ∠∠＝．连接BF AC 、．（1）求证：四边形ABFC 是矩形；（2）在图1中，若点M 是BF 上一点，沿AM 折叠ABM ，使点B 恰好落在线段DF上的点 B '处（如图2），1312A BA C ＝，＝，求MF 的长．解析：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB DF ∥∴ABE FCE BAE CFE ∠∠∠∠＝，＝ ∵E 是BC 的中点，∴BE CE ＝ ∴AEB FEC ≌，∴AB FC ＝ ∴四边形ABFC 是平行四边形 ∴22AF AE BC BE ＝，＝∵2AEC ABE AEC ABE BAE ∠∠∠∠∠＝，＝＋ ∴ABE BAE ∠∠＝， ∴AE BE ＝， ∴AF BC ＝∴四边形ABFC 是矩形（2）∵四边形ABFC 是矩形，1312AB AC ＝，＝ ∴131290CF AB BF AC ACF MFB ∠∠'︒＝＝，＝＝，＝＝ ∵AB M '是由ABM 折叠得到的 ∴13AB AB B ''＝＝，在Rt AB C '中，5B C ='=∴B F CF B C ''＝－＝设MF x ＝，则12B M BM x '＝＝－在RtB MF '中，222B F MF B M''＋＝即222(812)x x ＋＝－，解得103x ＝∴103MF ＝.7.在直角梯形ABCD 中，90AD BC B ∠︒∥，＝，60C ∠︒＝，AD CD ＝，点E 在射线BC 上，将ABE 沿AE 翻折，点B 落到点F 处，射线EF 与射线CD 交于点M ．（1）如图1，当点M 在CD 边上时，求证：3FM DM AB －＝.（2）如图2，当点E 在BC 边的延长线上时，线段FM DM AB 、、的数量关系是：_______________；（3）在（2）的条件下，过A 点作AG CM ⊥，垂足为点G ，设直线BG 与直线AM 交于点N ，若61AD FM ＝，＝，求GN 的长．解析：（1）过A 作AG CD ⊥，交CD 的延长线于G ，连接AM AC 、∵AD BC ∥， ∴ACB DAC ∠∠＝∵AD CD ＝， ∴ACD DAC ∠∠＝ ∴ACB ACD ∠∠＝， ∴AB AG ＝ ∵AB AF ＝， ∴AF AG ＝又90AM AM AFM G ∠∠︒＝，＝＝ ∴AMF AMG ≌， ∴FM GM ＝∴FM DM DG －＝ ∵60ADG BCD ∠∠︒＝＝，∴33DG AG AB =＝∴3FM DM AB －＝（2）3DMFM AB -=提示：过A 作AG CM ⊥于G ，连接AM AC 、同（1）可证：AB AG AF FM GM ＝＝，＝∵DM GM DG －＝，33DG AG AB =＝∴3DMFM AB -=（3）连接AC ，作MH BC ⊥于H ，DK BC ⊥于K∵6160AD FM BCD ∠︒＝，＝，＝∴63CD KC ＝，＝，AB DK ＝＝，9BC ＝∵3DMFM AB -=，∴143DM ⨯+=＝∴105CM HC ＝，＝，MH ＝，4BH ＝设BE x ＝，则14FE x ME x HE x --＝，＝，＝∵222MHHE ME ＋＝，2224()(1)x x ＋－＝－解得15x ＝， ∴156BE CE ＝，＝ ∵60BCG ∠︒＝， ∴120ECG ∠︒＝30120ACB ACD BAG ∠∠︒∠︒＝＝，＝ ∵AMF AMG ≌， ∴MAF MAG ∠∠＝∴12MAE GAC EAC MAG BAF EAC ∠∠∠∠∠-∠＝－＋＝60BAE EAC BAC ∠∠∠︒＝－＝＝又60GAC ∠︒＝， ∴GAN CAE ∠∠＝ ∵120AB AG BAG ∠︒＝，＝， ∴30ABG ∠︒＝ ∴150AGN ACE ∠︒∠＝＝， ∴AGN ACE ∽∵12AG AC ＝， ∴ 123GN CE ＝＝8.如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD 的顶点A 重合，将此三角板绕点A 旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC DC 、于点E F 、，连结EF ．（1）猜想BE EF DF 、、三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A 作AMEF ⊥于点M ，请直接．．写出AM 和AB 的数量关系；（3）如图2，将R t A B C 沿斜边AC 翻折得到Rt ADC ，E F 、分别是BC CD 、边上的点，12EAF BAD ∠∠＝，连接EF ，过点A 作AM EF ⊥于点M ．试猜想AM 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想．答案：见解析解析：（1）猜想：BE DF EF ＋＝证明：延长CB 到G ，使BG DF ＝，连接AG∵四边形ABCD 是正方形 ∴90AB AD ABC D ∠∠︒＝，＝＝ ∴90ABG ∠︒＝，∴ABG D ∠∠＝ ∴ABG ADF ≌ ∴AG AF GAB FAD ∠∠＝，＝∵45904545EAF FAD BAE BAD EAF ∠︒∠∠∠∠︒︒︒＝，＋＝－＝－＝ ∴45GAE GAB BAE ∠∠∠︒＝＋＝ ∴GAE EAF ∠∠＝又∵AG AF AE AE ＝，＝， ∴AEG AEF ≌ ∴EG EF ＝即BE DF EF ＋＝（2）AM AB ＝（3）猜想：AM AB ＝证明：延长CB 到G ，使BG DF ＝，连接AG∵Rt ABC 沿斜边AC 翻折得到Rt ADC∴90AB AD ABC D ∠∠︒＝，＝＝ ∴90ABG ∠︒＝， ∴ABG D ∠∠＝ ∴ABG ADF ≌ ∴AG AF GAB FAD ∠∠＝，＝ ∵12EAF BAD ∠∠＝， ∴12FAD BAE BAD ∠∠∠＋＝∴12GAE GAB BAE FAD BAE BAD ∠∠∠∠∠∠＝＋＝＋＝ ∴GAE EAF ∠∠＝又∵AG AF AE AE ＝，＝， ∴AEG AEF ≌∴EG EF ＝，AEGAEFSS＝∴11··22EG AB EF AM ＝ ∴AM AB ＝9.（1）如图1，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ．求证：BF DF ＝；（2）若矩形纸片ABCD 中，410AB BC ＝，＝，将矩形ABCD 沿过B 点的直线折叠，使点C D ，落在点E G ，处，折痕交线段AD （不含端点）于点H ，线段BE 交直线AD 于点F ．图2是该矩形折叠后的一种情况．请探究并解决以下问题： ①当BEH 为直角三角形时，求DH 的长；②当110DH ≤＜时，求tan BEH ∠的取值范围．解析：（1）由题意，12∠∠＝ ∵AD BC ∥， ∴13∠∠＝ ∴23∠∠＝， ∴BF DF ＝（2）①∵H 不与端点A D ，重合 ∴9090BEH EBH ∠︒∠︒＜，＜∴当BEH 为直角三角形时，只能90BHE ∠︒＝连接CH∵BC BE CBH EBH BH BH ∠∠＝，＝，＝ ∴BCH BEH ≌ ∴90BHC BHE ∠∠︒＝＝ ∴DHC ABH ∽， ∴DH ABDC AH=即4410DH DH=-，解得2DH ＝或8DH ＝ ∴当BEH 为直角三角形时，DH 的长为2或8②∵BE HG ∥，∴BEH EHG ∠∠＝∴4tan tan EG BEH EHG GH GH∠∠=＝＝ ∵110DH ≤＜，∴tan 4BEH∠≤0.4＜10.已知矩形ABCD 的一条边8AD =，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP OP OA 、、． ①图中COP ∠=∠___ ②若OCP 与PDA 的面积比为14：，求边AB 的长为_____；（2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求OAB ∠的度数为_____度；（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P A 、不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BNPM =，连结MN 交PB 于点F ，作ME BP ⊥于点E ．试问当点M N 、在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．解析：（1）如图1， ①∵四边形ABCD 是矩形，90AD BC DC AB DAB B C D ∴==∠=∠=∠=∠=︒，，．由折叠可得：AP AB PO BO PAO BAO APO B ==∠=∠∠=∠，，．．90APO ∴∠=︒．90APD CPO POC ∴∠=︒-∠=∠． D C APD POC ∠=∠∠=∠，． OCP PDA ∴∽．②OCP 与PDA 的面积比为14：，12OC OP CP PD PA DA ∴==== 222PD OC PA OP DA CP ∴===，，．848AD CP BC =∴==，，．设OP x =，则8OB x CO x ==-，．在RtPCO 中，9048C CP OP x CO x ∠=︒===-，，，，22284x x ∴=-+（）．解得：5x =．210AB AP OP ∴===．∴边AB 的长为10．（2）如图1，P 是CD 边的中点，12DP DC ∴=．DC AB AB AP ==，，12DP AP ∴=． 90D ∠=︒，12DP sin DAP AP ∴∠==． 30DAP ∴∠=︒．9030DAB PAO BAO DAP ∠=︒∠=∠∠=︒，，，30OAB ∴∠=︒． OAB ∴∠的度数为30︒．（3）作MQ AN ∥，交PB 于点Q ，如图2．AP AB MQ AN =，∥，APB ABP ABP MQP ∴∠=∠∠=∠，． APB MQP ∴∠=∠．MP MQ ∴=．MP MQ =，ME PQ ⊥，12PE EQ PQ ∴==． BN PM MP MQ ==，， BN QM∴=．MQ AN ∥，QMF BNF ∴∠=∠．在MFQ 和NFB 中，QMF BNF QFM BFN QM BN ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩． MFQ NFB ∴≌． QF BF ∴=．12QF QB ∴=．111222EF EQ QF PQ QB PB ∴=+=+=．由（1）中的结论可得：4890PC BC C ==∠=︒，，．PB ∴==12EF PB ∴== ∴在（1）的条件下，当点M N 、在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为11.问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN的值为_____．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =则AMBN的值等于______；（注：若答案不是整数，请化为小数）；若14CE CD =则AMBN的值等于______；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值等于____．（用含n 的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D 、重合），压平后得到折痕MN 设11(1),,AB CE m BC m CD n =>=则AMBN的值等于______．（用含方法指导：为了求得AM BN的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2,m n 的式子表示）解析：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE 、、由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称． ∴MN 垂直平分BE ．∴,BM EM BN EN ==∵四边形ABCD 是正方形， ∴90,2A D CAB BC CD DA ∠=∠=∠=︒====∵1,12CE CE DE CD =∴==设BN x =,则,NE x =2NC x =-在RtCNE 中，222NE CN CE =+．∴222(2)1x x =-+解得54x =，即54BN =在RtABM 和在Rt DEM 中，222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=，2222AM AB DM DE ∴+=+设AM y =则2DM y =-∴22222(2y)1y+=-+解得14y=即14AM = 15AM BN ∴=方法二：同方法一，54BN=如图（1－2），过点N 做//NG CD 交AD 于点G ，连接BE∵AD BC ∥∴四边形GDCN 是平行四边形． ∴NG CD BC ==同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==∵,90MNBE EBC BNM ⊥∴∠+∠=︒,90,NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=︒∴∠=∠在BCE 与NGM 中90EBC MNG BC NGC NGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴,.BCE NGM EC MG =≌∵51,1.44AM AG MG AM =-=-=∴1.5AM BN =类比归纳25（或410）；917；()2211n n -+联系拓广2222211n m n n m -++12.ABC 中，60AB AC BAC ∠︒＝，＜，D 为BC 延长线上一点，E 为ACD ∠内部一点，且90ABE ECD ∠∠︒＋＝．（1）若60ABE ∠︒＝，如图1，直接写出AC BE 、间的数量关系：AC =______BE ；（2）若45ABE ∠︒＝，如图2，求证：BE ；（3）在（2）的条件下，如图3，将线段BA 沿BE 翻折，翻折后的点A 落在点M 处，且MC BC ⊥，连接EM ，交BC 的延长线于N ，若2CN ＝，求AN 的长为______．解析：（1）AC BE ＝提示：作AF BC ⊥于F BG CE ⊥，交EC 延长线于G12AB AC BF FC BC ∴＝，＝＝9060ABE ECD ABE ∠∠︒∠︒＋＝，＝3030ECD BCG ∴∠︒∴∠︒＝，＝1602CBG BG BC ∴∠︒＝，＝ABF EBG BF BG ∴∠∠＝，＝ Rt Rt ABF EBG AB BE ∴∴≌，＝∴AC ＝BE （2）作AFBC ⊥于F BG CE ⊥，交EC 延长线于G12AB AC BF FC BC ∴＝，＝＝9045ABE ECD ABE ∠∠︒∠︒＋＝，＝4545ECD BCG ∴∠︒∴∠︒＝，＝452CBG BG BC ∴∠︒＝，＝Rt Rt ABF EBG ABF EBG ∴∠∠∴＝，∽BE BGBE AB BD==∴=BE ∴（3）作AF BC ⊥于F MH BE ⊥，于H则1902ABF BAF BF FC BC ∠∠︒＋＝，＝＝由题意，45MBE ABE AB BM ∠∠︒＝＝，＝9090ABM ABF MBC ∴∠︒∴∠∠︒＝，＋＝BAF MBC ∴∠∠＝ 90MC BC BCM AFB ⊥∴∠∠︒，＝＝ 2ABF BMC AF BC BF BF MC ∴∴≌，＝＝，＝ 2BC MC ∴＝由（2）知，BE ，BE ∴1454522MBH BMH BH MH BM BE ∠︒∴∠︒＝，＝，＝＝＝ 45BH EH MH MEH EMH ∴∴∠∠︒＝＝，＝＝ 90Rt Rt BME BMC MNC ∴∠︒∴＝，∽12NC MC MC BC ∴==, 248NC MC BC =∴==，， 68FN AF ∴==，10AN ∴===13.如图1，四边形ABCD 是一张正方形纸片，先将正方形ABCD 对折，使BC 与AD 重合，折痕为EF ，把这个正方形展平，然后沿直线CG 折叠，使B 点落在EF 上，对应点为B '．（1）求CB F ∠'的度数为______度；（2）如图2，在图1的基础上，连接AB '，试判断B AE ∠'与 GCB ∠'的大小关系，并说明理由；（3）如图3，按以下步骤进行操作：第一步：先将正方形ABCD 对折，使BC 与AD 重合，折痕为EF ，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB 与DC 重合，折痕为MN ，再把这个正方形展平，设EF 和MN 相交于点O ；第二步：沿直线CG 折叠，使B 点落在EF 上，对应点为B '；再沿直线AH 折叠，使D 点落在EF 上，对应点为D '；第三步：设CG AH ，分别与MN 相交于点P Q ，，连接B P PD D Q '''，，，QB '．试判断四边形B PD Q ''的形状为______，并证明你的结论．解析：（1）如图1，由对折可知，1902EFC CF CD ∠︒＝，＝∵四边形ABCD 为正方形，12CD CB CF CB ∴∴＝，＝又由折叠可知，12CB CB CF CB '∴'＝，＝ ∴在RtB FC '中，1sin `2CF CB F CB ∠'＝＝ 30CB F ∴∠''︒＝解法二：如图1，连接B D ＇，．（2）B AE GCB ∠'∠'＝理由如下：如图2，连接B D '由对折知，EF 垂直平分CD B C B D ∴''，＝由折叠知，B C BC '＝∵四边形ABCD 为正方形，BC CD ∴＝ B C CD B D B CD ∴''∴'＝＝，为等边三角形 60CDB ∴∠'︒＝∵四边形ABCD 为正方形 9030CDA DAB B DA ∴∠∠︒∴∠'︒＝＝，＝ DB DA DAB DB A '∴∠'∠'＝，＝1(180)752DB A B DA ∴∠'︒∠'︒＝－＝907515B AE DAB DAB ∴∠'∠∠'︒︒︒＝－＝－＝由（1）知30CB F ∠'︒＝ //30EF BC B CB CB F ∴∠'∠'︒，＝＝由折叠知，11301522GCB B CB ∠'∠'⨯︒︒＝＝＝ B AE GCB ∴∠'∠'＝（3）四边形B PD Q ''为正方形如图3，连接AB '由（2）知，B AE GCB ∠'∠'＝由折叠知，GCB PCN B AE PCN ∠'∠∴∠'∠＝，＝由对折知，119022AEB CNP AE AB CN BC ∠'∠︒=＝＝，＝，又∵四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴＝AE CN AEB CNP ∴∴'＝，≌EB NP ∴'＝同理可得，FD MQ '＝由对称性可知，EB FD ''＝EB NP FD MQ ∴''＝＝＝由两次对折可知，OE ON OF OM ＝＝＝OB OP OD OQ ∴''＝＝＝，∴四边形B PD Q ''为矩形由对折知，MNEF ⊥于点 O PQ B D ∴⊥''，于点O ∴四边形B PD Q ''为正方形14.如图，在Rt ABC 中，9045C AC BC D∠︒＝，＝，＝，是BC 边上一点，3CD ＝，P 是AC 边上一动点（不与A C 、重合），过点P 作PE BC ∥交AD 于点E ．（1）设AP x DE y ＝，＝，求y 关于x 的函数关系式；（2）以PE 为半径的E 与以DB 为半径的D 能否相切？若能，求tan DPE ∠的值；若不能，请说明理由；（3）将ABD 沿直线AD 翻折，得到AB D '，连接EC B C '、，当A C EBC B ∠∠'＝时，求AP 的长．解析：（1）在Rt ACD 中，435AC CD AD ∴＝，＝，＝//PE BC ，∴AP AE AC AD =，即545x y-= 55044y x x ∴＝-＋（＜＜）（2）对于34E E r EP x ，＝＝；对于2D D r DB ，＝＝；圆心距554ED x ＝-＋当两圆外切时，E D r r ED ＋＝，∴352544x x ＋＝-＋解得3522x PC ∴＝，＝ //PE BC DPE PDC ∴∠∠，＝5tan tan 6PC DPE PDC CD ∴∠∠＝＝＝当两圆内切时，||E Dr r ED －＝，35|2|544x x ∴－＝－＋解得72x ＝或6x ＝（舍去），12PC ∴＝1tan tan 6PC DPE PDC CD ∴∠∠=＝＝（3）延长AD 交 BB '于F ，则AF 垂直平分BB '在RtBDF 中，2BD ＝，4sin sin 5AC BDF ADC AD ∠∠=＝＝85BF ∴＝，165BB '＝ ADC BDF CAD DBF ∠∠∴∠∠＝，＝当 ACE BCB ∠∠'＝时，CAE CBB '∽AC BCAE BB ∴='，即451655y =-，64525y ∴-＝ ∴56455425x -+=-，解得256125x ＝15.如图①，把矩形纸片ABCD 沿EF GH 、同时折叠，B C 、两点恰好落在AD边的P 点处，已知9086FPH PF PH ∠︒＝，＝，＝．（1）求图①中矩形ABCD 的边BC 的长为______；（2）求图①中四边形EFHG 的面积为______；（3）如图②，点M 是直线EF 上的动点，点N 是直线GH上的动点，连接A M MN ND ''、、，求A M MN ND ''＋＋的最小值为______．答案：24；57.6；24解析：（1）由题意，86BF PF CH PH ＝＝，＝＝90FPH ∠︒＝，10FH ∴==（2）连接BE CG 、AD BC PEF ∴∠，PFE BFE ∠∠＝8PE PF ∴＝＝同理，PG PH ＝＝EG PE ∴＝由题意，A M MN ND AM MN ND AD ''≤＋＋＝＋＋当点M N 、都落在线段AD 上时， A M MN ND ''＋＋取得最小值即等于线段AD 的长A M MN ND ∴''＋＋的最小值为2416.如图1，在梯形ABCD中，9021A B C D B A B C D ∠=︒==∥，，，，BC m P ＝，为线段BC 上的一动点，且和B C 、不重合，连接PA ，过P 作PE PA⊥交CD 所在直线于E ．设BP x CE y ＝，＝．（1）求y 与x 的函数关系式（2）若点P 在线段BC 上运动时，点E 总在线段．．CD 上，求m 的取值范围（3）如图2，若4m ＝，将PEC 沿PE 翻折至PEG 位置，90BAG ∠=︒，求BP长为______.解析：（1）9090AB CD B B C ∠=︒∴∠=∠=︒，， 90APB BAP ∴∠∠=︒＋ 90PE PA APE ⊥∴∠=︒， 90APB CPE BAP CPE ∴∠∠=︒∴∠∠＋，＝在ABP 和PCE 中，90B C BAP CPE ∠∠=︒∠∠＝，＝ABP PCE ∴∽，AB BPPC CE∴=BC m BP x PC m x ∴-＝，＝，＝2xm x y∴=-，2122m y x x ∴=-+y ∴与x 的函数关系式为21022my x x x m =-+（＜＜）（2）22211()22228m m m y x x x =-+=--+∴当2m x =时，28m y =最大∵点E 总在线段CD 上，218m ∴≤m ∴≤0m ∴≤＜（3）连接CG ，过P 作PH AG ⊥于H由翻折可知4CG PE PG PC x ⊥-，＝＝//PE PA CG PA ⊥∴，90B BAG ∠=∠=︒， AG PC ∴∥∴四边形APCG 为平行四边形 4AG PC x ∴-＝＝90B BAG AHP ∠=∠=∠=︒， ∴四边形ABPH 为矩形242AH BP x PH AB HG x ∴====∴=-，，在Rt PHG 中，222PH HG PG ＋＝ 2222(42)(4)x x ∴＋－＝－，解得12223x x ＝，＝2BP ∴＝或2317.如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 为矩形，0680A C （，），（，）．（1）如图1，D 是OC 的中点，将AOD 沿AD 翻折后得到AED ，AE 的延长线交BC 于F ，求点F 的坐标为_____.（2）如图2，点M N 、分别是线段AB OB 、上的动点，2ON MB ＝，如果以M N B 、、三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点（M N B 、、三点不在同一条直线上），求点M 的坐标为______．解析：（1）连接DF由题意，90AED AOD ∴∠∠︒＝＝90DEF DEF DCF ∴∠︒∴∠∠＝，＝ D 是OC 的中点，OD DC ∴＝ OD DE DE DC ∴＝，＝又DF DF DEF DCF ∴＝，≌ 90EDF CDF ADF ∴∠∠∴∠︒＝，＝ AOD ADF ∴∠∠＝又OAD DAF AOD ADF ∠∠∴＝，∽AO AD AD AF ∴=，2AD AF AO∴＝0680A C （，），（，），D 是OC 的中点2226844652AO BC AB OC OD AD ∴＝＝，＝＝，＝，＝＋＝522663AF ∴==，103BF == 108633FC BC BF ∴--=＝＝883F ∴（，）（2）6810BC OC OB ∴=＝，＝，设BM x ＝①当点B 为圆心时，则BM BN ＝1021023ON MB x x x ∴-∴＝，＝，＝1014833AM ∴-=＝ 1463M ∴（，） ②当点M 为圆心时，则MB MN ＝过N 作NG AB ⊥于G则BGN BAO ∽，GN BG BNAO BA BO ∴==1026810GN BG x-∴==36(102)655GN x x ∴=--＝，48(102)855BG x x =--＝8138855GM x x x =--=-2221368655x x x ⎛⎫⎛⎫∴=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得15x ＝（舍去），2259x ＝2547899AM ∴=-=4769M ∴（，） ③当点N 为圆心时，则MN BN ＝12BG BM ∴=，81852x x ∴-=解得8021x=808882121AM ∴-=＝ 88621M ∴（，）综上所述，M点坐标为1447886663921M（，），（，），（，）41 / 41。

初三中考一轮复习(23)翻折图形的折叠题型分类含答案(全面非常好)

处．则 BC：AB 的值为
。
【答案】 3 。
【分析】连接 CC′，∵将△ABE 沿 AE 折
叠，使点 B 落在
AC 上的点 B′处，又将△CEF 沿 EF 折叠，
使点 C 落在 EB′
与 AD 的交点 C′处,
∴EC=EC′，∴∠EC′C=∠ECC′，
∵∠DC′C=∠ECC′
，
∴∠EC′C=∠DC′C.
∴CC′是∠EC'D 的平分线。
∵∠CB′C′=∠D=90°，C′C=C′C，∴△CB′C′≌△CDC′（AAS）。∴CB′=CD。
又∵AB′=AB，∴B′是对角线 AC 中点，即 AC=2AB。∴∠ACB=30°。
∴tan∠ACB=tan30°= AB 1 。∴BC：AB= 3 。
BC 3
3. 如图，将正方形 ABCD 沿 BE 对折，使点 A 落在对角线 BD 上的 A′处，连接 A′C，
而求出即可：
连接 BO，
∵AB＝AC，AO 是∠BAC 的平分线，∴AO
是 BC 的中垂
线。
∴BO＝CO。
∵∠BAC＝50°，∠BAC 的平分线与 AB 的中
垂线交于点
O，
∴∠OAB＝∠OAC＝25°。
∵等腰△ABC 中， AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°。
∴∠OBC＝65°－25°＝40°。∴∠OBC＝∠OCB＝40°。
AD x
CD y
AD CD
又∵∠EDA′=∠A′DC=450，∴△EDA′∽△A′DC。∴∠DA′C=∠DEA′=67.50
＋450=112.50。
∴∠BA′C=1800－112.50=67.50。
4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，沿 AD 折叠，使点 B 落在斜边 AC 上，若 AB=3，

中考数学复习：专题4-14 例谈勾股定理在图形翻折问题中的应用

专题14 例谈勾股定理在图形翻折问题中的应用【专题综述】翻折问题是近年来各地中考中的常见题型，它主要考察学生的逻辑推理能力、空间想象能力，以及所学有关知识的灵活应用能力．一般翻折问题中，图形中往往会出现直角三角形，此时，若灵活运用勾股定理，可能使问题迎刃而解，本文通过几道中考题来说明这一解题技巧。

【方法解读】一、直接解题例1 如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm.【举一反三】（2015•牡丹江）矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B 与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为．二、间接解题例2 如图，把一个矩形纸片O ABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置上．若OB=5,12BCOC,则点A′的坐标．【举一反三】如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．（1）求证：AG＝C′G；（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕E N，EN交AD于点M，求EM的长．【来源】江苏省徐州市2017年中考信息卷数学试题【强化训练】1.（2017•昌乐县模拟）如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，现将纸片折叠压平，使点A与点C重合，折痕为EF，如果sin∠BAE=，那么重叠部分△AEF的面积为（）A．B．C．D．2.（2017•枣庄）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（）A．2 B．C．D．13.（2015•本溪一模）如图，在等边三角形纸片△ABC中，将纸片折叠，点A落在BC边上的点D处，MN为折痕，当DN⊥NC时，CN=1，则A、D两点之间的距离为．4.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，E是AB边上一点，AE=2，F是直线CD上一动点，将△AEF 沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E，A′，C三点在一条直线上时，DF的长为．5.（2015秋•宁德校级期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC 上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（5，4），则点E的坐标为．6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC所在的直线的解析式为y=﹣x+3，把△AOC沿对角线AC折叠，使O点至D点，且AD交BC于F，求△ACF的面积．7.（2014•潮阳区模拟）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE．且点G在矩形ABCD内部．如果将BG延长交DC于点F．（1）则FG FD（用“＞”、“=”、“＜”填空）（2）若BC=12cm，CF比DF长1cm，试求线段AB的长．8.（2017春•鄂州期末）把长方形AB′CD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，已知∠BAO=30°，（1）求∠AOC和∠BAC的度数；（2）若AD=3，OD=，求CD的长．9.（2010•张家港市模拟）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A 与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF、C E和EF，设EF与AC的交点为O．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若，△ABF的为面积12cm2，求△ABF的周长．10.（2015•路南区二模）操作：已知矩形ABCD中，AB=5cm，AD=2cm．作如下折叠操作：如图①和图②所示，在边AB上取点M，在边AD或边DC上取点P，连结MP，将△AMP或四边形AMPD沿着直线MP折叠得到△A′MP或四边形A′MPD′，点A的落点为点A′，点D的落点为点D′．探究：（1）如图①，若AM=4cm，点P在AD上，点A′落在DC上，求∠MA′C的度数；（2）如图②，若AM=2.5cm．①点P在DC上，点A′落在DC上，求线段DP的长；②若点P由A开始，沿A→D→C方向，在AD、DC边上运动．设点P的运动速度为1cm/s，运动时间为ts，当边MA′与线段DC有交点时，直接写出t的取值范围 1.25≤t≤3.5．发现：（3）若点M在线段AB上移动，点P为线段AD或DC边上的任意点，随着点M位置的不同，按操作要求折叠后，点A的落点A′的位置会出现以下三种不同的情况：①不会落在线段DC上；②只有一次落在线段DC上；③会有两次落在线段DC上．求：在②③的情况下，AM的取值范围．。

专题33 中考几何折叠翻折类问题(解析版)

专题33 中考几何折叠翻折类问题1.轴对称（折痕）的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题（1）求角度大小；（2）求线段长度；（3）求面积；（4）其他综合问题。

3.解决折叠问题的思维方法（1）折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。

（2）折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。

（3）折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。

这对解决问题有很大帮助。

（4）折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。

（5）折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。

一般试题考查点圆最值问题。

（6）折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。

【例题1】（2020•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°。

中考复习9——翻折中的全等及相似

中考复习9——翻折中的全等及相似一、正方形中的翻折例1、已知边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G.（1）求CG的长；（2）求tan∠DEF的值.例2、如图，将正方形ABCD折叠，使点A落在DC边上的G点处，折痕为EF，已知BF=1，AE=2，AG与EF相交于点H.（1）①直接写出正方形ABCD的边长；②如图1，求证：EF=AG；（2）求证：BH=AB.（3）直接写出tan∠BHE的值.归纳：翻折中常见的模型有：.二、矩形的翻折例3、在矩形ABCD 中，AB BC =k E 是AB 上一点，将矩形沿DE 折叠，使点A 落在点P 处.（1）如图1，若点P 恰好在BC 边上，连AP .①求AP DE 的值（用k 表示）； ②若tan ∠BAP=12，求tan∠ADP 的值；（2）如图2，AB=8，AD=12，若点E 是AB 边的中点，EP 的延长线交BC 于点F.求BF 的长.图1 图2例4、(1)证明推断：如图(1)，在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC ，AB 上，DQ ⊥AE 于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF ⊥AE ．①求证：DQ =AE ； ②推断：GF AE 的值为____；(2)类比探究：如图(2)，在矩形ABCD 中，BC AB =k(k 为常数).将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O.试探究GF 与AE 之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用：在(2)的条件下，连接CP ，当k =23时，若tan∠CGP =34，GF =2√10，求CP 的长．例5.已知矩形ABCD，F为DC边上一点，连接AF，把△ADF沿AF折叠，使点D恰好落在BC上的点E 处.，求tan∠EAF的值；（1）如图1，若tan∠AEB=12（2）如图2，在AD边上取点G，使DG=CE，连接GF与BD交于点H，求证：GF⊥BD.图1 图2例6、如图，折叠矩形ABCD，使点D落在边AB的M点处，折痕为EF，AB=1，AD=2.（1）设AM的长为t，试用含有t的式子表示四边形CDEF的面积.（2）若DM和EF交于点P，Q是MN的中点，求PM+PQ的最小值.三角形中的翻折例7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，D是边AB上一点．连接CD，将△ACD沿直线CD折叠，点A落在E处，当点E在△ABC的内部（不含边界）时，AD长度的取值范围是____________．例8、如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在边AB上，以CD为折痕将△CBD 折叠得到△CFD，CF与边AB交于点E，当DF⊥AB时，BD的长是.例9、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，M，N分别是AC，BC上两个动点.将△MNC沿MN折叠得到对应的△MNP.（1）当点P在斜边AB上时.①如图1，若M是AC的中点，则BPAP的值是；②如图2，若P是AB的中点，求MCNC的值.（2）如图3，若MP⊥AB，MCAC =14，求CNBC的值.图1 图2 图3。

31.中考数学专题翻折变换数学母题题源系列(解析版)

【母题原题一】【2019·广东深圳】如图在正方形ABCD 中，1BE =，将BC 沿CE 翻折，使点B 对应点刚好落在对角线AC 上，将AD 沿AF 翻折，使点D 对应点落在对角线AC 上，求EF =__________.【解析】作FM AB ⊥于点M ，由折叠可知：1EXEB AX ===，AE =1AM DF YF ===，∴正方形边长1,1AB FM EM ===，∴EF ===.【名师点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．【母题原题二】【2019·江苏淮安】如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，H 是AB 的中点，将CBH∆专题06 翻折变换沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ，则tan HAP ∠=__________．【答案】43【解析】如图，连接PB ，交CH 于E ，由折叠可得，CH 垂直平分BP ，BH PH =，又∵H 为AB 的中点，∴AH BH =，∴AH PH BH ==， ∴HAP HPA ∠=∠，HBP HPB ∠=∠，又∵180HAP HPA HBP HPB ︒∠+∠∠+∠=+， ∴90APB ︒∠=，∴90APB HEB ︒∠=∠=， ∴AP HE ∥，∴BAP BHE ∠=∠，又∵Rt BCH △中，4tan 3BC BHC BH ∠==， ∴4tan 3HAP ∠=，故答案为：43．【名师点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．【母题原题三】【2019·江苏扬州】将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC =26°，则∠ACD = __________．【答案】128°. 【解析】如图，延长DC 到F ，∵矩形纸条折叠，∴∠ACB=∠BCF，∵AB∥CD，∴∠BCF=∠ABC=26°，∴∠ACF=52°，∵∠ACF+∠ACD=180°，∴∠ACD=128°，故答案为：128°.【名师点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.【母题原题四】【2019·山西】综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，展开铺平.在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上.此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一直线上，折痕分别为CE，CF.如图2.第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3.第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图5，图中的虚线为折痕.问题解决：（1）在图5中，∠BEC的度数是__________，AEBE的值是__________；（2）在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；（3）在不增加字母的条件下，请你以图5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形：__________．【答案】（1）67.5°；（2）四边形EMGF是矩形，理由见解析；（3）菱形FGCH或菱形EMCH(一个即可).【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B =90°，∠ACB =12∠BCD =45°，∠BAC =12∠BAD =45°， ∵折叠，∴∠BCE =12∠BCA =22.5°，BE =EN ，∠ENC =∠B =90°， ∴∠BEC =90°-22.5°=67.5°，∠ANE =90°，在Rt △AEN 中，sin ∠EAN =ENAE，∴2EN AE =，∴AE EN ，∴AE AE BE EN ==故答案为：67.5°（2）四边形EMGF 是矩形，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =∠BCD =∠D =90°，由折叠可知：∠1=∠2=∠3=∠4=22.5°，CM =CG ， ∠BEC =∠NEC =∠NFC =∠DFC =67.5°，由折叠可知：MH 、GH 分别垂直平分EC ，FC ，∴MC =ME ，GC =GF ，∴∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°，∴∠MEF =∠GFE =90°， ∵∠MCG =90°，CM =CG ，∴∠CMG =45°，又∵∠BME =∠1+∠5=45°，∴∠EMG =180°-∠CMG -∠BME =90°， ∴四边形EMGF 是矩形；（3）如图所示，四边形EMCH 是菱形，理由如下：由（2）∠BME =45°=∠BCA ，∴EM ∥AC ，∵折叠，∴CM =CH ，EM =CM ，∴EM =CH ，∴EM =CH ， ∴四边形EMCH 是平行四边形，又CM =EM ，∴平行四边形EMCH 是菱形.(同理四边形FGCH 是菱形，如图所示：).【名师点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定，菱形的判定，解直角三角形等，正确把握相关知识是解题的关键.【母题原题五】【2019·江苏徐州】如图，将平行四边形纸片ABCD 沿一条直线折叠，使点A 与点C 重合，点D 落在点G 处，折痕为EF ．求证：（1）ECB FCG ∠=∠；（2）EBC FGC △≌△．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A BCD =∠，由折叠可得，A ECG ∠=∠， ∴BCD ECG ∠=∠，∴BCD ECF ECG ECF ∠-∠=∠-∠， ∴ECB FCG ∠=∠；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴D B ∠=∠，AD BC =，由折叠可得，D G ∠=∠，AD CG =， ∴B G ∠=∠，BC CG =，又ECB FCG ∠=∠，∴(ASA)EBC FGC △≌△．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质以及折叠的性质是解题的关键.【母题原题六】【2019·江苏常州】如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在点C '处，BC '与AD 相交于点E ．（1）连接AC '，则AC '与BD 的位置关系是__________；（2）EB 与ED 相等吗？证明你的结论．【答案】（1）AC BD '∥；（2）EB 与ED 相等，见解析. 【解析】（1）连接AC '，在平行四边形ABCD 中，AD BC =，ADB CBD ∠=∠，∵把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在点C '处， ∴'AD BC =，CBD C'BD ∠=∠， ∴'ADB C BD ∠=∠，∴ED EB =，∴AE C E '=，∴EAC'EC A EBD EDB '∠=∠=∠=∠， ∴AC BD '∥，故答案为：AC BD '∥；（2）EB 与ED 相等．由折叠可得，CBD C BD '∠=∠， ∵AD BC ∥，∴ADB CBD ∠=∠， ∴EDB EBD ∠=∠，∴BE DE =．【名师点睛】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【命题意图】这类试题主要考查几何图形中与折叠有关的问题，涉及三角形全等，勾股定理，平行四边形的判定及性质等．【方法总结】翻折问题的解决通常需要借助轴对称的相关知识，要弄清翻折前后的边、角的对应情况，将待求线段或角与已知线段、角归结到一起，对问题进行分析处理．1．【浙江省临海市2019届九年级中考3月模拟数学试题】如图，△ABC纸片中，AB=BC>AC，点D是AB 边的中点，点E在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．则下列结论成立的个数有①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位线；④BF+CE=DF+DE．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】①根据折叠知AD=DF，所以BD=DF，即△BDF一定是等腰三角形．因为∠B不一定等于45°，所以①错误；②连接AF，交DE于G，根据折叠知DE垂直平分AF，又点D是AB边的中点，在△ABF中，根据三角形的中位线定理，得DG∥BF．进一步得E是AC的中点．由折叠知AE=EF，则EF=EC，得∠C= ∠CFE．又∠DFE=∠A=∠C，所以∠DFE=∠CFE，正确；③在②中已证明正确；④根据折叠以及中位线定理得右边=AB，要和左边相等，则需CE=CF，则△CEF应是等边三角形，显然不一定，错误．故选B．【名师点睛】考查了三角形中位线定理，正确利用折叠所得对应线段之间的关系以及三角形的中位线定理是解题的关键．2．【黑龙江省哈尔滨市十七中2018–2019学年九年级下学期二模数学试题】如图，在ABCD 中，E 为边CD 上一点，将ADE △沿AE 折叠至AD'E △处，'AD 与CE 交于点F ，若52B ∠=︒，20DAE ∠=︒，则'FED ∠的大小为A ．20°B ．30°C ．36°D ．40°【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴52D B ∠=∠=︒，由折叠的性质得：52D'D ∠=∠=︒，20EAD'DAE ∠=∠=︒，∴522072AEF D DAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，180108AED'EAD'D'∠=︒-∠-∠=︒， ∴1087236FED'∠=︒-︒=︒；故选C ．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF 和∠AED ′是解决问题的关键．3．【山东省济南市历城区中考数学模拟试题】如图（1），在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，将△ADE 沿线段DE 向下折叠，得到图（2）．下列关于图（2）的四个结论中，不一定成立的是A ．点A 落在BC 边的中点B ．∠B +∠1+∠C =180° C ．△DBA 是等腰三角形D ．DE ∥BC【答案】A【解析】根据题意可知DE是三角形ABC的中位线，所以DE∥BC；∠B+∠1+∠C=180°；∵BD=AD，∴△DBA是等腰三角形．故只有A错，BA≠C A．故选A．【名师点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．还涉及到翻折变换以及中位线定理的运用．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．4．【山东省淄博市张店区2018届3月份九年级中考模拟试卷】有一张平行四边形纸片ABCD，已知∠B=70°，按如图所示的方法折叠两次，则∠BCF的度数等于A．55°B．50°C．45°D．40°【答案】B【解析】由折叠可得，∠CED=90°=∠BCE，又∵∠D=∠B=70°，∴∠DCE=20°，由折叠可得，∠DCF=3×20°=60°，∴∠BCF=50°，故选B．【名师点睛】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．5．【甘肃省民勤县第六中学2019届九年级下学期第三次诊断考试数学试题】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，M为AD上一点，将△ABM沿BM翻折至△EBM，ME和BE分别与CD相交于O，F两点，且OE=OD，则AM的长为__________．【答案】4.8 【解析】如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =∠A =∠C =90°，AD =BC =6，CD =AB =8，根据题意得：△ABP ≌△EBP ， ∴EP =AP ，∠E =∠A =90°，BE =AB =8，在△ODP 和△OEG 中，D EOD OE DOP EOG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ODP ≌△OEG （ASA ）， ∴OP =OG ，PD =GE ，∴DG =EP ，设AP =EP =x ，则PD =GE =6–x ，DG =x ， ∴CG =8–x ，BG =8–（6–x ）=2+x ，根据勾股定理得：BC 2+CG 2=BG 2，即62+（8–x ）2=（x +2）2，解得x =4.8，∴AP =4.8；故答案为：4.8．6．【河南省平顶山市2019届九年级中考数学三模试题】在菱形ABCD 中，AB =2，∠BAD =120°，点E ，F 分别是边AB ，BC 边上的动点，沿EF 折叠△BEF ，使点B 的对应点B ′始终落在边CD 上，则A 、E 两点之间的最大距离为__________．【答案】2【解析】如图，作AH⊥CD于H．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB∥CD，∴∠D+∠BAD=180°，∴∠D=60°，∵AD=AB=2，∴AH=AD•sin60°=∵B，B′关于EF对称，∴BE=EB′，当BE的值最小时，AE的值最大，==BE的值最小，根据垂线段最短可知，当EB'AH∴AE的最大值=2，故答案为2【名师点睛】本题考查翻折变换，菱形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．7．【2019年山东省聊城市莘县中考数学三模试卷】如图，在矩形ABCD中，BC=4，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿直线BE折叠，点A对应点为点A'，延长BA'，交边DC于点F．若点F是DC的三等分点，则CD的长为__________．或【解析】如图，连接EF，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠A =∠D =90°，∵点E 是AD 中点，∴AE =DE ，∵将矩形ABCD 沿直线BE 折叠，∴AB =A 'B ，∠BA 'E =∠A =90°，AE =A 'E ，∴A 'E =DE ，EF =EF ，∴Rt △A 'EF ≌Rt △DEF （HL ），∴DF =A 'F ，设AB =CD =3x =A 'B ，若DF =x ，∴A 'F =x ，CF =2x ，∴BF =4x ，在Rt △BCF 中，BF 2=CF 2+BC 2，∴16x 2=4x 2+16，∴x =3，∴CD =3x若DF =2x ，则CF =x ，同理可得：CD ，或【名师点睛】考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，利用分类思想解决问题是本题的关键． 8．【河北省张家口市桥西区2019届九年级中考6月模拟数学试题】如图，在平行四边形ABCD 中，AD DB ⊥，垂足为点D ，将平行四边形ABCD 折叠，使点B 落在点D 的位置，点C 落在点G 的位置，折痕为EF ．（1）求证：ADE GDF △≌△；（2）若AE BD =，求CFG ∠的度数；（3）连接CG ，求证：四边形BCGD 是矩形．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）见解析.【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AD =BC ，AD ∥BC ，∠A =∠C ，由折叠可知，BC =DG ，CF =FG ，∠G =∠C ，EF 垂直平分BD ，∴∠A =∠G ，AD =DG ，又∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴点E、F分别平分AB、CD，∴AE=BE=12AB=12CD=CF=DF，∴AE=FG，∴△ADE≌△GDF；（2）∵AE=BD，AE=BE=12AB，∴BD=12AB，∴sin A=12BDAB，∴∠A=30°，∵DF=CF=FG，∴∠FDG=∠DGF=∠A=30°，∴∠CFG=∠FDG+∠DGF=60°；（3）如图，连接CG．由折叠可知，BC=DG，BC∥DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，AD∥BC，∴BC⊥BD，∴∠CBD=90°，∴四边形BCGD是矩形．【名师点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质，平行四边形的判定以及矩形的判定，解题时注意：有一个角为直角的平行四边形是矩形．9．【2019年江苏省连云港市灌南县、海州区、连云区中考数学二模试卷】如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N 处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当∠BAE为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠BAE=30°时，四边形AECF是菱形．【解析】（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DCA．由翻折的性质可知：∠EAB=12∠BAC，∠DCF=12∠DCA．∴∠EAB=∠DCF．在△ABE和△CDF中B DAB CDEAB DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴DF=BE，∴AF=EC，又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形；（2）当∠BAE=30°时，四边形AECF是菱形，理由：由折叠可知，∠BAE=∠CAE=30°，∵∠B=90°，∴∠ACE=90°–30°=60°，即∠CAE=∠ACE，∴EA=EC，∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形．【名师点睛】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．10．【2019年广东省汕头市澄海区中考数学一模试卷】如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连接CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE=BD，求∠EDF的度数．【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）∠EDF=120°．【解析】（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC ∥AD ，即BC ∥DG ，由折叠可知，BC =DG ，∴四边形BCGD 是平行四边形，∵AD ⊥BD ，∴∠CBD =90°，∴四边形BCGD 是矩形；（2）由折叠可知：EF 垂直平分BD ，∴BD ⊥EF ，DP =BP ，∵AD ⊥BD ，∴EF ∥AD ∥BC ，∴1AE PD BE BP==，∴AE =BE ， ∴DE 是Rt △ADB 斜边上的中线，∴DE =AE =BE ，∵AE =BD ，∴DE =BD =BE ，∴△DBE 是等边三角形，∴∠EDB =∠DBE =60°，∵AB ∥DC ，∴∠DBC =∠DBE =60°，∴∠EDF =120°．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．。

直角三角形翻折模型(解析版)-中考数学满分突破

直角三角形翻折模型已知在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，AC =5模型一：沿过点A 的直线翻折使得点B 的对应点B '落在斜边AC 上，折痕为AD ，求线段AD ，DC ，B 'C 长度。

解法一(勾股定理思路)：由已知条件可知，AB =AB '，BD =B 'D∵∠ABC =90°，AB =3，AC =5∴∠AB 'D =90°，AB '=3，B 'C =2设BD =x ，则B 'D =x ，DC =4-x在Rt △DB 'C 中，由勾股定理可得DB '2+B 'C 2=DC 2即x 2+22=(4-x )2解得x =1.5∴B 'D =1.5, DC =2.5同理AD =32√5解法二(相似三角形思路)：由已知条件易证△ABC ∽△DB 'C 则AB BC =DB 'B 'C 则B 'D =1.5 再由勾股定理求解线段AD 长【模型变形】已知在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，AD 为∠BAC 的角平分线，求DC 长解法(思路)：过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E则△ABD ≌△AED (AAS )(证明过程略)∴∠ABD =∠AED ，BD =DE ，AB =AE剩余步骤参照模型一解法一模型二：沿过点C 的直线翻折使得点B 的对应点B '落在斜边AC 上，折痕为CD ，求线段AD ，DC ，AB '长度。

解法一(勾股定理思路)：由已知条件可知，BD =B 'D ，BC =B 'C∵∠ABC =90°， BC =4，AC =5∴∠CB 'D =90°， B 'C =4，AB '=1设BD =x ，则B 'D =x ，AD =3-x在Rt △ADB '中，由勾股定理可得DB '2+AB '2=AD 2即x 2+12=(3-x )2解得x =43∴B 'D =43, AD =53在Rt △DCB '中，由勾股定理可Q 求得CD 长解法二(相似三角形思路)：由已知条件易证△ABC ∽△AB 'D 则AB BC=AB 'B 'D 则B 'D =43 再由勾股定理求解线段CD 长模型三：沿MN 翻折使得点A 与点C 重合，求线段AN ，BM ，MN 长度。

中考翻折问题复习资料解析

中考专题--翻折专题3(含详细解析)

中考数学复习：专题7-2 中考折叠问题的归类解析

中考数学专题复习翻转折叠问题

初中几何翻折问题总结

中考数学翻折问题考点类型

中考翻折问题复习资料解析

中考18题翻折类探究

专题01 翻折问题(解析版)

中考数学几何问题综合专题复习6.翻折问题

初三中考一轮复习(23)翻折 图形的折叠 题型分类 含答案(全面 非常好)

中考数学复习：专题4-14 例谈勾股定理在图形翻折问题中的应用

专题33 中考几何折叠翻折类问题(解析版)

中考复习9——翻折中的全等及相似

31.中考数学专题 翻折变换数学母题题源系列(解析版)

直角三角形翻折模型(解析版)-中考数学满分突破

初三中考一轮复习(23)翻折图形的折叠题型分类含答案(全面非常好)

31.中考数学专题翻折变换数学母题题源系列(解析版)