(学生版)第14讲 最值问题--基础班

第14讲最值问题
知识点1 几何问题最值
【典例】
例1（2020秋•天心区月考）如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP=√3，则弦BC的最大值为（）
A．2√3B．3C．√6D．3√2
例2（2020秋•太原期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4、AD＝8，点E是AB的中点，延
长CB到点F，使BF=1
2BC，连接EF．连接点D与线段EF的中点G．如果将△BEF绕
点B顺时针旋转，那么在旋转的过程中，线段DG长的最大值是（）
A．5√5B．6√5C．3√17D．8√5
例3（2020秋•高新区期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以原点O为圆心，半径为3的⊙O上，连接OC，过点O作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C，O，D按逆时针方向排列），连接AB．
（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为；
（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC面积的最大值．
（3）连接AD，当OC∥AD，点C位于第二象限时，
①求出点C的坐标；
②直线BC是否为⊙O的切线？并说明理由．
例4（2020春•越秀区校级月考）如图所示，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥AD，AD＝2，BD＝4，点E为线段BD上一动点，以AE为边向上作△AEF，AE＝EF，∠AEF＝90°，EF与CD交于点G．
（1）求线段AB的长；
（2）若点G为CD的中点，求DE•BE的长；
（3）连接DF，试求DF的最小值．
【随堂练习】
1．（2020秋•灌云县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（）
A．14B．7C．9D．6
2．（2020秋•思明区校级期中）点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）
A．2√2+1B．2√2+2C．4√2+1D．4√2−2
3．（2020秋•东海县期中）【问题情境】如图1，C，D是∠AOB的边OA上两点，在边OB 上找一点P，使得∠CPD最大．
【问题解决】小明在解决这个问题时认为：如图2，同时过C、D两点的圆与OB边相切于点P，当且仅当取此切点时，∠CPD才最大．
（1）小明证明自己结论的思路是：在射线OB上任取另一点P1（不同于切点P），证明∠CDD＞∠CP1D即可请完成小明的证明；
【结论应用】请和小明一起，利用“问题情境”的结论解决下列问题：
（2）如图3，一幢楼BC上有一高为2m的信号塔AB，当观测点E在水平地面CD上，且满足CE＝6√10时，看信号塔AB的视角（即∠AEB）最大，求楼高BC；
（3）如图4，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠BCD＝60°，BC＝9，对角线AC平分∠BCD．点E是BC上一点，请问当BE的长满足什么条件时，在线段AD上恰好只存在一点P，使得∠BPE＝60°？（直接写出结果，不必写出解答过程）
4．（2020•越秀区校级二模）如图所示，四边形ABCD为菱形，AD＝5，sin B=24
25，点E为
边AB上一动点（不与端点重合），△DEF与△DEA关于DE对称．
（1）试求菱形ABCD的面积；
（2）若点D、B、F共线，求AE的长；
（3）点G为边CD上一点，且CG＝1，连接GF、BF，试求BF+2GF的最小值．
知识点2 代数问题最值
几种常见问题
1、利用一次函数表达式在定义域内的增减性来求最值。

2、利用二次函数表达式在定义域内的增减性来求最值。

3、利用完全平方公式的非负性来求最值。

4、利用绝对值表示的几何意义来求最值。

【典例】
例1（2020春•兴城市期末）已知一次函数y＝﹣x+2．当﹣3≤x≤﹣1时，y的最小值是．
例2（2020秋•番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．
例3（2020秋•本溪期末）某商品在商场的售价为每件60元，每星期可卖出300件，甲、乙两位网红主播在直播间为商场售货．甲主播每件商品每涨价1元，每星期少卖出10件；
改为乙时，每降价1元，每星期可多卖出18件．已知商品的进价为每件40元，通过计算你认为甲、乙每星期谁能使利润最大？
【随堂练习】
1．（2020秋•海淀区月考）函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象如图，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象，若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是．
2．（2020春•洪山区月考）在平面直角坐标系中，函数y＝|x﹣a|（其中a为常量），当自变量﹣3≤x≤1时，它的最小值为a+4，则满足条件的a的值为（）
A．−1
7B．−
2
7C．−
7
2D．−
1
7或−
7
2
3．（2020秋•金安区校级期中）某电脑经销商，今年二，三月份A型和B型电脑的销售情况，如下表所示：
（1）直接写出每台A型电脑和B型电脑的销售利润分别为；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y与x的关系式；
②该商店购进A型、B型各多少台，才能使销售利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜80）元，且限定商店最多购进A型电脑60台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
综合运用
1．（2020秋•韩城市期末）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为8，则GE+FH的最大值为．
2．（2020•越秀区一模）如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AD＝13，AB＝25，∠DAB
＝α，且cosα=5
13，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线
段EF，连接CF．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）当点C、B、F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；（3）求线段CF的长度的最小值．
3．（2020秋•福州期中）如图1，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，以BC所在直线为x轴，边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，将△ABC绕P点（0，﹣1）顺时针旋转．
（1）填空：当点B旋转到y轴正半轴时，则旋转后点A坐标为；
（2）如图2，若边AB与y轴交点为E，边AC与直线y＝x﹣1的交点为F，求证：△AEF 的周长为定值；
（3）在（2）的条件下，求△AEF内切圆半径的最大值．
4．（2020秋•海珠区校级期中）如图，AB为⊙O直径，半径为2，点D为弧AB的中点，点C在⊙O上由点A顺时针向点B运动（点C不与点A，点B重合），连接AC，BC，CD，AD，BD．
（1）求证：CD是∠ACB的角平分线；
（2）求CD的长x的取值范围（直接写出答案）．
（3）四边形ADBC的面积S是线段CD的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式，并求出S的最大值，如果不是，请说明理由．
5．（2020春•林州市期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC为锐角，以边AB为直径作⊙O，⊙O与边BC交点为E，EF是⊙O的切线，且EF⊥对角线AC于点F．（1）求证：AC＝CD；
（2）填空：若AB＝4cm，则：
①当∠B的度数＝时，▱ABCD是菱形；
②△ACD面积的最大值是．
6．（2020•天宁区校级一模）问题探究：
如图，在矩形ABCD中，AB＝10，cos∠ABD=5
13，P为BD上一点，B'是点B以P为对
称中心的对称点，点B'也在BD上（可以是端点），E为PD的中点，以点E为圆，EB'为半径在BD下方作半圆．
（1）BP＝时，AP⊥BD时，此时半径是；
（2）当半圆与矩形的边相切时，求BP的长；
拓展延伸：
（3）如图，AB＝6，AC=√3，以BC为底边在BC上方作等腰△BCD，其中∠CDB＝120°，直接写出AD的最大值．。