考研概率论讲义
考研数学概率统计讲义
设售出一台设备的净赢利为
a( X
)
100, 200,
X 1, 0 X 1.
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概率论与数理统计
故售出一台设备的净赢利的数学期望为
E[a(X )] a(x) f (x)dx
1
(200)
1 4
e
x 4
dx
100
1 4
e
x 4
dx
0
1
200e
x 4
|10
100e
x 4
|1
Z X 2 Y 2 的数学期望.
解 E(Z ) x2 y2 f (x, y)dxdy
x2 y2
1
x2 y2
e 2 dxdy
2
2
0
0
r
1
2
r2
e2
rdr d
2
例6 五个独立元件,寿命分别为X1, X 2, , X5,
都服从参数为 的指数分布，若将它们
(1) 串联； (2) 并联 成整机，求整机寿命的均值.
求E(X)。 0,
其它.
分段函
〖解〗这是连续型随机数变的量积。由数学期望定义得：
分
1500
3000
E(X ) xf (x)dx
x2 15002
dx
dx x (3000 x ) 15002
0
1500
1500 (分□)
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概率论与数理统计
例4 X ~ N ( , 2 ), 求 E ( X ) .
2
k pk .
k 0
这表明:随着试验次数增大,随机变量X的观察值的算
术平均 2 k ak 接近于
k0 N
清华大学 概率考研复习讲义-2
=
(λt)k e−λt , k!
Poisson 定理中的λ称为强度.
k = 0, 1,...
2). Poission 流产生离散型的 P(λ)分布
3) Poisson 流产生的连续型分布：Ex(λ)
误差问题产生的分布：U(a,b)与N(μ, σ 2)
2.2.2 重要分布间的关系和性质 1. 重要分布间的关系 2. 重要分布的性质 性质 1 重要离散型分布的最可能值 设 X ~ B(n, p), 则 X 的最可能值是 [(n+1)p] . 如 (n+1)p 是整数， 则[(n+1)p]−1＝np-q 也是最可能值. 这里 [⋅]为取整函数. 设 X ~ Ge( p), 则 X 的最可能值是 1. 设 X ~ P(λ), 则 X 的最可能值在[λ]；如λ＝[λ]，即λ是正整数时， 则λ−1 也是最可能值. 性质 2 B(n, p)的 Poisson 逼近. 定理 2.3.1 (Poisson 逼近) 设 X n ∼B(n, pn )，即对固定的 n 次试验 中，每次试验成功的概率是 pn . 又设存在极限 limn→∞ npn =λ > 0， 则对任意非负整数 k, 有
例 2.1.3 将 3 个球逐个随机放入 4 个分别编号为 1、2、3 和 4
的盒子.令 X 是“有球盒子的最小号码”，求 X 的分布列.
【
⎜⎜⎝⎛
37
1 /
64
2 19 / 64
3 7 / 64
4 1/ 64
⎟⎟⎠⎞
】
例 2.1.4 设 rvX 的 pdf 为
⎧1/ 3 f (x) = ⎪⎨2 / 9
⎧0
【
FX
(x)
=
⎪x ⎪⎨b ⎩
考研概率论讲义
白云霄
第一章 随机事件及其概率
1、随机事件、样本空间、概率的定义
例1. 写出下列试验的样本空间与事件A的样本点 1． 同时掷两颗骰子，记录其点数之和；A：点数之和为偶数 2． 相继掷两次硬币。A：第一次出现正面 3． 研究甲、乙两件产品的销售状况（畅销、滞销） 4． 经过三个十字路口遇到红灯的个数
例12 设随机变量X的概率密度为，若k使, 则k的取值范围是
例13 随机变量X的密度函数为，且，是X的分布函数。则对于任意实数
a，有（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
例14已知随机变量的分布函数则_________，_________， 密度函 数为 例15设随机变量的概率密度为：。 试求：（1）系数，（2）求；（3）的分布函数。 例16使用了小时的电子元件在以后小时内损坏的概率等于球电子元件
（C） （D） 例11．设0<p(A)<1 ,0<p(B)<1, ,则有( )
（A） 事件A与B互不相容 （B） 事件A与B 相互对立 （C） 事件A与B 不独立 （D） 事件A与B 相互独立
3．条件概率 例1 一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取2个，每次抽取一个，抽
取后不再放回，则第一次为正品，第二次抽取的也是正品的概率。
例5设随机变量的概率密度为，求及 例6设，，且与相互独立。
求（1）的联合概率密度；
（2）； （3）。
例7已知，的分布律如下，且与相互独立，
-1 0 1
1/4 1/2 1/4 -1 0 1
1/4 1/2 1/4
（1）求和的联合分布表； （2）EX，EY，COV（X，Y） 例8设二维随机变量的概率密度函数为， 求（1）常数；（2）判断是否独立，为什么？（3）。
2021年《概率论与数理统计》考研复习笔记与辅导讲义
2021年《概率论与数理统计》考研复习笔记与辅导讲义第1章随机事件和概率一、考研辅导讲义1．随机现象与样本空间（1）随机现象在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象．（2）样本空间随机现象的一切可能的基本结果，组成的集合，称是由基本结果构成的样本空间，记作，又称样本点．（3）随机事件样本空间的子集称为随机事件，简称事件，常用大写字母A，B，C等表示．注：①随机事件是由样本空间中的样本点组成，由一个样本点组成的子集是最简单件，称为基本事件．②随机事件既然由样本点组成，因此，随机事件是由基本事件组成．③如果一次试验的结果为某一基本事件出现，就称该基本事件出现或发生．如果组成事件A的一个基本事件出现或发生，也称事件A出现或发生．④把Ω看成一事件，则每次试验必有Ω中某一基本事件（即样本点）发生，也就是每次试验Ω必然发生，称Ω为必然事件．⑤把不包含任何样本点的空集看成一个事件，称为不可能事件．（4）随机变量表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母X，Y，Z，或者ξ，η等表示．2．事件间的关系（1）包含关系如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B，记为或．（2）事件相等若与同时成立，则称事件A与事件B相等，记作A＝B．（3）互斥事件（互不相容事件）若事件A与事件B满足关系，即A与B同时发生是不可能事件，则称事件A和事件B为互斥或互不相容，即两互斥事件没有公共样本点．注：事件的互斥可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：①若n个事件中任意两个事件均互斥，即，i≠j，i，j ＝1，2，…，n，则称这n个事件是两两互斥或两两互不相容．②如果可数无穷多个事件…中任意两个事件均互斥，即，i≠j，i，j＝1，2，…，n，…，则称这可数无穷个事件是两两互斥或两两互不相容．【例】对任意两个互不相容的事件A与B，必有（）．A．如果P（A）＝0，则P（B）＝0B．如果P（A）＝0，则P（B）＝1C．如果P（A）＝1，则P（B）＝0D．如果P（A）＝1，则P（B）＝1【答案】C查看答案【解析】．（4）对立事件如果事件A与事件B有且仅有一个发生，则称事件A与事件B为对立事件或互逆事件，记为或．注：①如果A与B为对立事件，则A，B不能同时发生，且必有一个发生，即A、B满足A∪B＝Ω且．②在样本空间中，集合是由所有不属于事件A的样本点构成的集合．【例】设随机事件A和B满足条件，则（）．A．B．C．D．【答案】A查看答案【解析】，所以即而，故，也就有即A∪B＝Ω．3．事件间的运算（1）事件的交（积）如果事件A与事件B同时发生，则称这样的一个事件为事件A与事件B的交或积，记为A∩B或AB，即集合A∩B是由同时属于A与B的所有公共样本点构成．注：事件的交可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：（2）事件的并如果事件A与事件B至少有一个发生，则称这样一个事件为事件A与事件B的并或和，记为A∪B，即集合A ∪B是由属于A与B的所有样本点构成．注：事件的并可推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形：（3）完备事件组如果有限个事件满，且，则称为Ω的一个完备事件组或完全事件组．注：可以推广完备事件组到可数无穷多个事件的情形：且．（4）事件的差事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差，记为A－B．即在样本空间中集合A－B是由属于事件A而不属于事件B的所有样本点构成的集合．显然．（5）事件的运算规律交换律结合律分配律对偶律【例】A，B，C为任意三随机事件，则事件（A－B）∪（B－C）等于事件（）．A．A－CB．A∪（B－C）C．（A∪B）－CD．（A∪B）－BC【答案】D查看答案【解析】因，故．而图1-14．概率的概念及基本性质（1）概率的公理化定义设为一个样本空间，F为的某些子集组成的一个事件域．如果对任一事件F,定义在F上的一个实值函数满足：①非负性公理：若F,则，②正则性公理：③可列可加性公理：若互不相容，则，则称为事件A的概率，称三元素F为概率空间．（2）概率性质①；②若两两互斥，则有③；④，则P（A）≤P（B）；⑤0≤P（A）≤1【例】若A，B为任意两个随机事件，则（）．【2015数一、数三】A．B．C．D．【答案】C查看答案【解析】由于，按概率的基本性质，有且，从而．（3）事件独立性设A，B两事件满足等式P（AB）＝P（A）P（B），则称A与B相互独立．注：对n个事件，如果对任意k（1＜k≤n），任意满足等式则称为相互独立的事件．事实上，n个事件相互独立需要个等式成立．（4）相互独立的性质①A与B相互独立A与或与B或与相互独立．将相互独立的n个事件中任何几个事件换成它们相应的对立事件，则新组成的n个事件也相互独立．【例】设，，为三个随机事件，且与相互独立，与相互独立，则与相互独立的充分必要条件是（）．[数三2017研]A．与相互独立B．与互不相容C．与相互独立 D．与互不相容【答案】C查看答案【考点】相互独立【解析】由，得．【例】已知随机事件A，B，C中，满足P（AB）＝1．则事件（）．A．相互独立B．两两独立，但不一定相互独立C．不一定两两独立D．一定不两两独立【答案】A查看答案【解析】讨论事件的独立性，可等价的考虑A，B，C的独立性．因为P（AB）＝1．可知P（A）＝P（B）＝1，而概率等于1的事件与所有的事件相互独立．所以成立：P（AB）＝P（A）P（B）；P（AC）＝P（A）P（C）；P （BC）＝P（B）P（C）．又因P（AB）＝1．所以事件AB与C也相互独立，P（ABC）＝P（AB）P（C）＝P（A）P（B）P（C）．总之A，B，C相互独立．②当0＜P（A）＜1时，A与B独立P（B|A）＝P（B）或成立．③若相互独立，则必两两独立，反之，若两两独立，则不一定相互独立．④当相互独立时，它们的部分事件也是相互独立的．【例】设随机事件A与B相互独立，且，则（）．A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4【答案】B查看答案【解析】因为事件A，B相互独立，则．故于是，则．（5）概率的运算公式①加法公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）；P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）－P（AB）－P（BC）－P（AC）＋P （ABC）．②减法公式P（A－B）＝P（A）－P（AB）；③乘法公式当P（A）＞0时，P（AB）＝P（A）P（B|A）；当＞0时，有④全概率公式设为Ω的概率均不为零的一个完备事件组，则对任意事件A，有【例】甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中一半白球一半黑球．现从甲袋中任取2球与从乙袋中任取一球混合后，再从中任取一球为白球的概率为（）．A．B．C．D．【答案】C查看答案【解析】设事件A为最后取出的球为白球，事件B为球来自甲袋，显然，为球来自乙袋．且B，构成一个Ω的完备事件组，由全概率公式，因为最后三个球中二个球是从甲袋中来．所以取出的球来自甲袋概率为，当然．，这是因为已知取出的球来自甲袋的条件下，取出的为白球的概率，就相当于从甲中取出一白球的概率，甲中5个球2个为白，故，同理．因为乙中半白半黑，总之⑤贝叶斯公式设为Ω的概率均不为零的一个完备事件组，则对任意事件A，且P （A）＞0有【例】设A、B为随机概率，若，则的充分必要条件是（）．[数一2017研]A．B．C．D．【答案】A查看答案【考点】概率公式计算【解析】因为，得，化简得．A项，，因为，所以．5．古典概型、几何概型、条件概率及伯努利试验（1）古典型概率当试验结果为有限n个样本点，且每个样本点的发生具有相等的可能性，称这种有限等可能试验为古典概型．此时如果事件A由个样本点组成，则事件A的概率称P（A）为事件A的古典型概率．【例】袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球．以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数．求P｛X ＝1︱Z＝0｝；解：由于本题是有放回地取球，则基本事件总数为．（2）几何型概率当试验的样本空间是某区域（该区域可以是一维，二维或三维等等），以L（Ω）表示样本空间Ω的几何度量（长度、面积、体积等等）．L（Ω）为有限，且试验结果出现在Ω中任何区域的可能性只与该区域几何度量成正比．称这种拓广至几何度量上有限等可能试验为几何概型．此时如果事件A的样本点表示的区域为，则事件A的概率称这种P（A）为事件A的几何型概率．【例】在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为______．【答案】【解析】本题是几何型概率．不妨假定随机地取出两个数分别为X和Y．显然X与Y是两个相互独立的随机变量．如果把（X，Y）看成平面上的一个点的坐标，则由于0＜X＜1，0＜Y＜1，所以（X，Y）为平面上正方形0＜X＜1，0＜Y＜1中的一个点．而X与Y两个数之差的绝对值小于的点（X，Y）对应于正方形中的区域．图1-2在区间（0，1）中随机选取的所有可能的两个数X和Y．这些（X，Y）点刚好是图1-3单位正方形中满足的点的区域，就是图中阴影标出的区域D．根据几何型概率（3）条件概率设A，B为两事件，且P（A）＞0，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．【例】设A、B为两个随机事件，且0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，如果P（A|B）＝1，则（）．【2016数三】【答案】A查看答案【解析】根据条件得P（AB）＝P（B），则【例】设A，B，C是随机事件，A与C互不相容，P（AB）＝，P＝，则P（AB|）＝______．【答案】【解析】由条件概率的定义知，P（AB︱）＝，其中P（）＝1－P （C）＝1－＝，P（AB）＝P（AB）－P（ABC）＝－P（ABC），由于A，C互不相容，即AC＝Ø，ABC AC，得P（ABC）＝0，代入得P（AB）＝，故将P（）＝和P（AB）＝，代入公式，得P（AB）＝＝．（4）伯努利试验如果试验E只有两个可能的结果：A及，并且P（A）＝p，（其中0＜p＜1），把E独立地重复n次的试验就构成了一个试验，这个试验称作n重伯努利试验，又称n次独立重复试验，并记作B．一个伯努利试验的结果可以记作ω＝（ω1，ω2，…，ωn）其中的ωi（1≤i≤n）的全体就是这个伯努利试验的样本空间Ω，对于ω＝（ω1，ω2，…，ωn）∈Ω，如果ωi（1≤i≤n）中有k个为A，则必有n－k个为，于是由独立性即得如果要求“n重伯努利试验中事件B出现k次”这一事件的概率为【例】设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为4的概率为．【2016数三】【答案】【解析】根据题意，取球次数恰好为4，则前三次恰好取到三种颜色中的两种，第四次取到剩下一种颜色的球．故前三次中取到的两种颜色取到的次数分别为1次和2次．综上，取球次数恰好为4的概率为【例】在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，则在第n次成功之前恰失败了m次的概率为______．图1-3【答案】【解析】为了分析试验的结构，可以作图形分析：“第n次成功之前失败了m次”这事件意味着第n次成功前有（n－1）次成功和m次失败．总共做了（n ＋m）次试验．最后一次是成功，前n＋m－1次试验中有m次失败和（n－1）次成功，故事件的概率应为。
历年考研数学概率论零基础讲义
2016考研数学概率论零基础入门讲目录第一讲随机事件与概率 (1)第二讲一维随机变量及其概率分布 (7)第三讲随机变量的数字特征 (12)【注】（1）数二的考生不需要学习这部分内容。
（2）老师没有完全按照讲义的顺序讲课，而是打乱了顺序，重新整合授课体系，但是老师所讲的内容多数是包含在讲义中的，讲义中没有的内容需要同学们自己做笔记.第一讲随机事件与概率一、从古典概型讲起1.随机试验与随机事件称一个试验为随机试验，如果满足：（1）同条件下可重复（2）所有试验结果明确可知且不止一个（3）试验前不知哪个结果会发生【注】①在一次试验中可能出现，也可能不出现的结果称为随机事件，简称为事件，并用大写字母A, B, C 等表示，为讨论需要，将每次试验一定发生的事件称为必然事件，记为Ω．每次试验一定不发生的事件称为不可能事件，记为φ．②随机试验每一最简单、最基本的结果称为基本事件或样本点，记为ωi .2.古典概率称随机试验(随机现象)的概率模型为古典概型，如果其基本事件空间(样本空间)满足:(1)只有有限个基本事件(样本点)；(2)每个基本事件(样本点)发生的可能性都一样．【注】①等可能：对于可能结果: ω1,ω2 , ,ωn ，我们找不到任何理由认为其中某一结果ωi 更易发生，则只好（客观）认为所有结果在试验中发生的可能性一样.②如果古典概型的基本事件总数为n ，事件A 包含k 个基本事件，即有利于A 的基本事件k 个．则A 的概率定义为P( A) =k=事件A所含基本事件的个数n由上式计算的概率称为A 的古典概率．3.计数方法基本事件总数1n （1）穷举法：样本点总数不大时 （2）集合对方法：①加法原理：完成一件事，有n 类方法，第一类方法中有m 1 种方法，第二类方法中有m 2种方法，……，第n 类方法中有m n 种方法，则完成此事共有m 1 + m 2 + + m n 种办法.②乘法原理：完成一件事，有 n 个步骤，第一步中有 m 1 种方法，第二步中有 m 2 种方法，……，第n 步中有m n 种方法，则完成此事共有m 1 ⋅ m 2 m n 种办法.③排列：从 n 个不同元素中取出 m (m ≤ n ) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫排列.所有排列的个数叫做排列数，记作 P m= n (n -1) (n - m +1) =n !(n - m )!.当m = n 时，P m = P n = n !，称为全排列.nn④组合：从n 个不同元素中取出m(m ≤ n ) 个元素并成一组，叫组合.所有组合的个数mP m m m 叫做组合数，记作C n = n，也有 P n m != C n ⋅ m !.（3）用对立事件思想 4.例题分析【例 1】从 0 到 9 这十个数字中任取 3 个不同的数字，求 （1）三个数中不含 0 和 5 的概率 （2）三个数中不含 0 或 5 的概率 （3）三个数中含 0，但不含 5 的概率【例 2】假设袋中有 5 个球，3 白球 2 黑球，求 （1）先后有放回取 2 球，至少有一白球的概率； （2）先后无放回取 2 球，至少有一白球的概率； （3）任取 2 球，至少有一白球的概率.【例 3】假设袋中有 100 个球，40 个白球，60 个黑球（1）先后无放回取 20 个，求取到 15 个白球 5 个黑球的概率； （2）先后无放回取 20 个，求第 20 次取到白球的概率； （3）先后有放回取 20 个，求取到 15 个白球 5 个黑球的概率；2∑ ∏ （4）先后有放回取 20 个，求第 20 次取到白球的概率. 二、几何概型 1.引例 天上掉馅饼 2.几何概型的定义如果(1)样本空间(基本事件空间)Ω 是一个可度量的几何区域；(2)每个样本点(基本事件) 发生的可能性都一样，即样本点落入 Ω 的某一可度量的子区域 A 的可能性大小与 A 的几何度量成正比，而与 A 的位置及形状无关，我们就称这样的随机试验的概率模型为几何概型，在几何概型随机试验中，如果 S A 是样本空间 Ω 一个可度量的子区域，则事件 A ＝“样本点落入区域 S A ”的概率定义为P ( A ) =S A 的几何测度 Ω的几何测度由上式计算的概率称为 A 的几何概率【评注】 基本事件有限、等可能的随机试验为古典概型；基本事件无限、等可能的随机试验为几何概型． 3.例题分析【例 1】君子有约，上午 9:00-10:00 到新东方大厦门口见面，先到者等 20 分钟即离开，求甲、乙两人相遇的概率.【例 2】在区间(0,1) 中随机取两个数，则两数之和小于 6的概率为 .5三、重要公式求概率1.重要公式总结(1)求逆公式 P ( A ) = 1- P ( A ).(2)减法公式 P (A －B )＝P (A ) －P (AB )． (3)加法公式 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )P (A ∪B ∪ C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )P (AB )P (AC )P (BC )＋P (ABC )．【注】①设 A 1，A 2，…，A n 是两两互不相容的事件，则 P ( n nA i ) = P ( A i )i =1i =1②若 A 1，A 2，…，A n 相互独立，则 P ( n nA i ) = 1 - [1 - P ( A i )]i =1i =1（4）条件概率公式 设 A 、B 为任意两个事件，若 P (A )＞0，我们称在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率为条件概率，记为 P (B ｜A )，并定义3nP (B | A ) = P ( AB )P ( A )(P (A )＞0).【注】(1)条件概率 P (·｜A )是概率，概率的一切性质和重要结果对条件概率都适用，例如：P (B | A ) = 1- P (B | A ),P (B - C | A ) = 1- P (B | A ) - P (BC | A ) > 0 ，等等．(2)条件概率就是附加一定的条件之下所计算的概率．当说到“条件概率”时，总是指另外附加的条件，其形式可归结为“已知某事件发生了”． （5）乘法公式如果 P (A )＞0，则 P (AB )＝P (A )P (B ｜A )．一般地，如果 P (A 1…A n －1)＞0，则P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2｜A 1)P (A 3｜A 1A 2)…P (A n ｜A 1…A n －1) 【注】A i 先于 A i ＋1 发生时用此公式． （6）全概率公式（全集分解思想）n如果A i= Ω, A iAj= φ(i =/ i -1 j ), P ( A i ) > 0 ，则对任一事件 B ，有nnB =A iB , P (B ) = ∑P ( A i)P (B | A i).i -1i -1（7）贝叶斯(Bayes )公式(逆概公式)n如果A i= Ω, A iAj= φ(i =/ i =1j ), P ( A i ) > 0 ，则对任一件事 B ，只要 P (B )＞0，有P ( A i | B ) =P ( A i )P (B | A i )(i = 1,2, , n )∑P ( A i)(B | A i)i =1【注】①要注意 P (AB )与 P (B ｜A )的区别：P (AB )是在样本空间为 Ω 时，A 与 B 同时发生的可能性，而 P (B ｜A )则是表示在 A 已经发生的条件下，B 发生的可能性，此时样本空间已由 Ω 缩减为 A ，只要题目中有前提条件： “在 A 发生的条件下”或“已知 A 发生”等等，均要考虑条件概率．②全概率公式是用于计算某个“结果”B 发生的可能性大小．如果一个结果 B 的发生总是与某些前提条件(或原因、因素或前一阶段结果)A i 相联系，那么在计算 P (B )时，我们总是将 B 对 A i 作分解：B =A iB ，应用全概率公式计算 P (B )．如果在 B 发生的条件下探求导致这i4一结果的各种“原因”A i发生的可能性大小P(A i｜B)，则要应用Bayes 公式．2.随机事件相互独立与独立试验序列概型(1)独立性定义描述性定义(直观性定义)设A、B 为两个事件，如果其中任何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响，则称事件A 与B 相互独立．设A1，A2，…，A n是n 个事件，如果其中任何一个或几个事件发生的概率都不受其余的某一个或某几个事件发生与否的影响，则称事件A1，A2，…，A n相互独立．数学定义设A、B 为事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A 与B 相互独立，简称为A 与B 独立．设A1，A2，…，A n为n 个事件，如果对其中任意有限个事件A i1，A i2，…，A ik(k≥2)，有P(A i1A i2…A ik)＝P(A i1)P(A i2)…P(A ik)，则称n 个事件A1，A2，…，A n相互独立．(2)独立性的判定1°直观性判定：若试验独立其结果必相互独立．例如：甲、乙各自试验结果相互独立；袋中有返回取球其结果相互独立等．2°充要条件．k k〈1〉A1…A n相互独立⇔任意k≥2；P( A ij ) =∏P( A ij ).j =1 j =1特别地A、B 独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)．若0＜P(A)＜1，则A、B 独立⇔P(B | A) =P(B | A) =P(B).〈2〉n 个事件相互独立的充要条件是，它们中任意一部分事件换成各自的对立事件所得到的n 个事件相互独立．3°必要条件．〈1〉n 个事件相互独立必两两独立，反之不然．〈2〉n 个事件相互独立，则不含相同事件的事件组经某种运算后所得的事件是相互独立的．例如，A、B、C、D 相互独立，则AB 与C ∪D 相互独立，A 与BC－ D 相互独立，等等．4°一定独立与一定不独立的判定．概率为1 或零的事件与任何事件都相互独立．如果0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，A 与B 互5不相容或存在包含关系，则 A 与B 不相互独立．【评注】在现实生活中，难于想像两两独立而不相互独立的情况，可以这样想：独立性毕竟是一个数学概念，是现实世界中通常理解的那种“独立性”的一种数学抽象，它难免会有些不尽人意的地方．3.例题分析【例1】假设有10 份报名表，3 份女生报名表，7 份男生报名表。
考研数学基础班概率统计讲义
考研数学基础班概率统计讲义第一章随机事件与概率一、随机试验与随机事件（一）基本概念1、随机试验—具备如下三个条件的试验：（1）相同条件下可重复。
（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。
（3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E 。
2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。
3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。
（二）事件的运算1、事件的积—事件A 与事件B 同时发生的事件，称为事件A, B 的积，记为AB 。
2、事件的和—事件A 或者事件B 发生,称为事件A, B 的和事件，记为A + B 。
3、事件的差—事件A 发生而事件B 不发生,称事件A, B 的差事件，记为A - B 。
（三）事件的关系1、包含—若事件A 发生则事件B 一定发生，称A 包含于B ，记为A ⊂ B 。
若A ⊂ B 且B ⊂ A ，称两事件相等，记A = B 。
2、互斥（不相容）事件—若A 与B 不能同时发生，即AB = φ ，称事件A, B 不相容或互斥。
3、对立事件—若AB = φ 且A + B = ∧ 称事件A, B 为对立事件。
【注解】（1）A = ( A- B) + AB ，且A - B 与AB 互斥。
（2）A + B = ( A - B) + (B - A) + AB ，且A - B, B - A, AB 两两互斥。
（四）事件运算的性质1、（1）AB ⊂ A(或B) ⊂ A + B ；（2）AB = BA, A + B = B + A ；2、（1）A ⋃ A = A, A ⋂ A = A ；（2）A ⋂ (B ⋃ C) = ( A⋂ B) ⋃ ( A⋂ C), A ⋃ (B ⋂ C) = ( A ⋃ B) ⋂ ( A⋃ C) ；3、（1）A = ( A- B) ⋃ A ；（2）( A- B) ⋂ A = A - B ；（3）A + B = ( A - B) ⋃ AB ⋃ (B - A) 。
考研数学一概率统计讲义参考书目
《考研数学一概率统计讲义参考书目》一、引言在考研数学一科目中，概率统计是一个重要的部分。
掌握好概率统计知识对于考研数学一的学习至关重要。
为了更好地学习概率统计，参考一些优质的讲义和参考书目是必不可少的。
在本文中，我将为大家推荐一些值得参考的概率统计讲义和书目，并对它们进行全面评估，以便帮助大家更好地理解和掌握概率统计知识。
二、深度和广度的要求在选择讲义和书目时，我们不仅要考虑内容的深度，还要考虑其广度。
因为概率统计这一科目涉及的知识非常广泛，深度和广度并重才能更好地帮助我们学习和掌握这一领域的知识。
三、推荐的参考书目1.《概率论与数理统计》（第四版）王金喜2.《概率论与数理统计教程》（第三版）吴喜丰、刘燕华3.《数理统计学》（第二版）苏镇宇4.《概率论与数理统计》（第五版）郝成秋、顾孟迪四、全面评估（1）《概率论与数理统计》（第四版）王金喜这本讲义从概率论和数理统计的基本概念开始，逐步深入，结构清晰，适合初学者。
但在部分内容的深度方面可能不够，建议结合其他书目进行学习。
（2）《概率论与数理统计教程》（第三版）吴喜丰、刘燕华该教程内容广泛，深度适中，适合广大学生参考。
但在一些难度较大的问题上可能需要额外的拓展和讨论。
（3）《数理统计学》（第二版）苏镇宇这本书在数理统计方面的内容比较突出，但概率论方面的内容可能有所欠缺。
建议结合其他书目进行学习，以便全面掌握概率统计知识。
（4）《概率论与数理统计》（第五版）郝成秋、顾孟迪该书深入浅出，内容全面，适合学习者从简到繁地掌握概率统计知识。
在内容上对概率统计的深度和广度都有较好的覆盖，是一本值得推荐的参考书目。
五、总结和回顾通过对以上书目的评估，我们可以看出每本书都有其优点和不足之处。
在学习概率统计这一科目时，我们应该多方参考，结合自身情况选择适合自己的学习材料。
要注重概率统计知识的深度和广度，从简到繁地逐步学习，以便更好地掌握这一领域的知识。
六、个人观点和理解对于概率统计这一科目，我个人认为要注重理论与实践相结合。
考研数学概率论浙大内部课件(盛骤)
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。 等可能概型(或古典概型) 等可能概型
22
例1：一袋中有8个球，编号为1－8，其中1－3 号为红球，4－8号为黄球，设摸到每一 球的可能性相等，从中随机摸一球， 记A={ 摸到红球 }，求P(A)． 解： S={1,2,…,8} A={1,2,3}
⇒ P ( A) = 3 8
i =1 i =1 k k
称P(A)为事件A的概率 概率。 概率
20
P( A) = 0不能 ⇒ A = ∅；
性质：
1 P ( A) = 1 − P ( A )
P( A) = 1不能 ⇒ A = S；
∵ A ∪ A = S ⇒ P( A) + P( A) = 1 ⇒ P(∅) = 0
2 若A ⊂ B，则有 P ( B − A) = P ( B ) − P ( A) ⇒ P ( B ) ≥ P ( A)
⇒B⊃ A
13
事件的运算
A与B的和事件，记为 A ∪ B
A ∪ B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B }：A与B至少有一发生。
S A B
A与B的积事件，记为 A ∩ B , A ⋅ B , AB A ∩ B = { x | x ∈ A 且 x ∈ B }：A与B同时发生。
n
S A B
∪
i =1 n
又 ∵ B ⊃ AB，由2。 知P ( B − AB ) = P ( B ) − P ( AB )
⇒ P ( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( AB)
#3 的推广：
。
P(∪ Ai ) = ∑ P( Ai ) −
i =1 i =1
n
n
1≤i < j ≤ n
(完整版)《概率论与数理统计》讲义
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
考研概率论与数理统计第一讲
3
全概率公式
如果事件B1,B2,...,Bn是样本空间的一个划分，那 么对于任意事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。
随机变量及其分布
随机变量
一个变量在每次试验中都有不同的可能取值，并且取各个值都有确定的概率。
离散型随机变量
随机变量只取有限个或可数个值。
连续型随机变量
随机变量的取值范围是某个区间，并且取该区间内任一值的概率都是非零的。
特征和传播规律，为预防和控制措施提供科学依据。
03
诊断和预后分析
医生利用概率论与数理统计的知识，对患者的诊断和预后进行分析，以
提高诊断的准确性和治疗效果。
在社会学领域的应用
调查研究
在社会学研究中，概率论与数理统计被用于调查研究的设计、数据收集和分析，以了解社 会现象和社会问题的本质和规律。
人口普查
根据个人情况，合理安排每天的复习时间，确保有足 够的时间来复习所有知识点。
制定复习计划
将整个复习过程划分为不同的阶段，每个阶段有具体 的复习目标和任务，确保按计划进行。
调整复习计划
根据复习进度和效果，适时调整复习计划，以适应实 际情况。
掌握重点与难点
梳理知识点
全面梳理概率论与数理统计的知识点，了解每个知识点的地位和 作用。
贝叶斯估计
利用先验信息结合样本数据进行参数估计。
假设检验
显著性检验
根据样本数据判断总体参数是否显著地不等于 某个值。
置信区间检验
通过比较置信区间和假设值来判断假设是否成 立。
比例检验
用于比较两个比例或比率是否相等。
方差分析
单因素方差分析
比较多个组内的均值是否相等。
双因素方差分析
考研数学概率论辅导讲义
考研数学概率论辅导讲义主讲：马超第二章 随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图⎭⎬⎫⎩⎨⎧-→⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<→⎭⎬⎫⎩⎨⎧)()()()(a F b F A P b X a A X 随机事件随机变量基本事件ωω→≤=)()(x X P x F 分布函数： 函数分布正态分布指数分布均匀分布连续型几何分布超几何分布泊松分布二项分布分布离散型八大分布→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-102、重要公式和结论例2．1：4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“取白球的数”，求X 的分布律。
例2．2：给出随机变量X 的取值及其对应的概率如下：,31,,31,31,,,2,1|2k k PX ， 判断它是否为随机变量X 的分布律。
例2．3：设离散随机变量X 的分布列为214181812,1,0,1，，，-P X ，求X 的分布函数，并求)21(≤X P ，)231(≤<X P ，)231(≤≤X P 。
例2．4： )()(21x f x f +是概率密度函数的充分条件是： （1）)(),(21x f x f 均为概率密度函数 （2）1)()(021≤+≤x f x f例2．5：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中先后取a+b 个球（放回），试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。
例2．6：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。
例2．7：设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为0.05，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率约为多少？例2．8：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b 个球，试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。
考研数学_概率论与数理统计（09考研数学_概率论与数理统计（基础班）讲义
考研数学基础班概率论与数理统计电子教材主讲：费允杰第一章 随机事件和概率第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程x x x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ³n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ³n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A ．120种B ．140种C ．160种D ．180种(4)一些常见排列①特殊排列相邻彼此隔开顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？②重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？③对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？④顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序）例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序）例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
《概率论讲义》PPT课件
(3) 可加性：对互斥事件A, B，有 Fn (A B) Fn (A) Fn (B)
推广 有限可加性： 若A1，A2，, Ak 两两 互不相容, 则
k
F n( Ai ) Fn ( A1) Fn ( A2 ) Fn ( Ak ). i 1
E2:将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况. 2={HHH, THH，
HTH, HHT,HTT,THT,TTH,TTT }
E3:掷一颗骰子,观察点数.则 3={1,2,3,4,5,6}
1=1 2=2 6=6
E4:电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.
4={0，1，2， }
1=0, 2=1, 3=2
0.5069
皮尔逊 12000
6019
0.5016
皮尔逊 24000
12012
0.5005
(二) 概 率
1 统计定义： 频率的稳定值P(A)反映了事件A在一次试 验中发生的可能性大小，称P(A)为事件A 的概率。
2 公理化定义：设为样本空间，A为事件， 对每一事件A赋予一实数P(A)，如果P(A)满 足如下三条公理：
故有
P(i )
1 n
(n 1,2,, n)
若A {i1,i2 ,,ik }, 则有
P( A)
P(i1 )
P(i2 )
P(ik
)
k n
于是，P
( A)
k n
A包含的样本点数 样本点总数
例１. 设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只,
现从中任取3只,试求:
n1
且Ai Aj . 由概率的可列可加性得
考研数学之概率讲义分析
考研数学之概率讲义分析概率统计第一讲随机事件和概率考试要求：数学一、三、四要求一致。
了解：样本空间的概念理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算会计算：古典概率和几何型概率。
§1随机事件与样本空间一、随机试验：E（1）可重复（2）知道所有可能结果（3）无法预知二、样本空间试验的每一可能结果——样本点ω所有样本点全体——样本空间Ω三、随机事件样本空间的子集——随机事件A B C样本点——基本事件，随机事件由基本事件组成。
如果一次试验结果，某一基本事件ω出现——ω发生，ω出现如果组成事件A的基本事件出现——A发生，A出现Ω——必然事件Φ——不可能事件§2事件间的关系与运算一．事件间关系包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立 二．事件间的运算：并，交，差运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律 概率定义，集合定义，记号，称法，图 三．事件的文字叙述与符号表示例2 从一批产品中每次一件抽取三次，用(1,2,3)i A i =表示事件：“第i 次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件： （1）122313A A A A A A U U ； （2）123A A A ；（3）123A A A U U ； （4）123123123A A A A A A A A A U U ； 再用123,,A A A 表示下列事件：(5)都取到正品； (6)至少有一件次品； (7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。
§3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式一．公理化定义 ,,A P Ω(1)()0P A ≥ (2)()1P Ω=(3)1212()()()()n n P A A A P A P A P A =++++U UL U UL L L ,i j A A i j =∅≠ 二．性质(1)()0P ∅=（2）1212()()()()n n P A A A P A P A P A =++++U UL U UL L L ,i j A A i j =∅≠ (3)()1()P A P A =-(4),()()A B P A P B ⊂≤ (5)0()1P A ≤≤三．条件概率与事件独立性(1)()()0,(),()P AB P A P B A P A >=事件A 发生条件下事件B 发生的条件概率； (2)()()(),P AB P A P B =事件,A B 独立，,A B 独立,A B €独立,A B €独立,A B €独立；()0P A >时,,A B 独立()()P B A P B =€；(3)121212(,,,)()()()1kki i i i i i k P A A A P A P A P A i i i n =≤<<<≤L L L称12,,n A A A L 相互独立,(2321n n n n n C C C n +++=--L 个等式)相互独立⨯垐?噲?两两独立。
考研数学《概率统计》讲义第四讲
多维随机变量之间存在一定的关 联程度，通过相关系数进行度量。
描述多维随机变量之间相关性的 矩阵，其中元素为各分量之间的 协方差。
04
数字特征与特征函数
数学期望定义及性质
数学期望的定义
对于离散型随机变量，数学期望是所有可能 取值与其对应概率的乘积之和；对于连续型 随机变量，数学期望是概率密度函数与自变 量的乘积在全体实数范围内的积分。
通过多维随机变量的联合分布，计算函数的期望和方 差。
变换后的多维随机变量分布
通过变换得到新的多维随机变量，并求其分布情况。
卷积公式
求解两个独立随机变量之和的分布情况。
独立性、相关性和协方差矩阵
01
独立性
多维随机变量中各个分量相互独 立，即一个分量的取值不影响其 他分量的取值。
相关性
02
03
协方差矩阵
考研数学《概率统计》讲义第 四讲
目
CONTENCT
录
• 概率空间与事件概率 • 一维随机变量及其分布 • 多维随机变量及其分布 • 数字特征与特征函数 • 大数定律与中心极限定理 • 参数估计与假设检验
01
概率空间与事件概率
概率空间定义及性质
概率空间定义
由样本空间、事件域和概率测度三部分构成，用于描述随机试验 所有可能结果及其概率的数学模型。
依概率收敛和依分布收敛
依概率收敛
设随机变量序列 {Xn} 和随机变量 X 分布在同一概率空间 上，如果对于任意正数 ε，都有 lim(n→∞) P(|Xn - X| ≥ ε) = 0 成立，则称 {Xn} 依概率收敛于 X。
依分布收敛
设随机变量序列 {Xn} 和随机变量 X 的分布函数分别为 Fn(x) 和 F(x)，如果对于 F(x) 的每一个连续点 x，都有 lim(n→∞) Fn(x) = F(x) 成立，则称 {Xn} 依分布收敛于 X。依分布收敛是描述随机变量序列分布函数收敛到某个 特定分布的一种弱收敛形式。
第12讲1研究生 概率论与数理统计 资料与讲义
马氏链的马尔可夫性通常用条件概率分布 或条件分布律来刻画，即对任意的正整数 n, r 或条件分布律来刻画， 和 0≤t1<t2 < …<tr<m；m, n ∈ T1，有 ；
P{ X m + n = a j X t1 = a i1 , X t 2 = a i2 , L , X t r = a ir , X m = a i } = P{ X m + n = a j X m = a i }, (1.2)
若以X 表示时刻n时 的位置 的位置， 若以 n表示时刻 时Q的位置，不同的位置就 的不同状态，那么{ … 是一随机 是Xn的不同状态，那么 Xn , n=0,1,2…}是一随机 过程，状态空间就是I，而且X 为已知时， 过程，状态空间就是 ，而且 n=i, i ∈I为已知时， 为已知时 Xn+1所处的状态的概率分布只与 n= i 有关，而与 所处的状态的概率分布只与X 有关，而与Q 在时刻n以前如何达到 是完全无关的，所以{ 以前如何达到i是完全无关的 在时刻 以前如何达到 是完全无关的，所以 Xn , n=0,1,2…}是一马氏链，而且还是齐次的，它的一 是一马氏链， … 是一马氏链 而且还是齐次的， 步转移概率和一步转移概率矩阵分别为
设随机过程{X(t), t ∈T}的状态空间为 。如 的状态空间为I。 设随机过程 的状态空间为 任意n个 果对时间 t 的任意 个取值 t1<t2< …<tn, n≥3, ti ∈T，在条件 i)=xi, xi∈I, i=1,2, …, n-1下, ，在条件X(t - 下 X(tn)的条件分布函数等于在条件 n-1)=xn-1下 的条件分布函数等于在条件X(t 的条件分布函数等于在条件 X(tn)的条件分布函数，即 的条件分布函数， 的条件分布函数Leabharlann ∑Pj =1∞
考研数学李林概率讲义
出现的情况，则样本和反面次，观察正面）将一枚硬币抛掷：（例，）对偶律：）（）（）（）（）（）（）（）（）分配律：）（）（）（）（）结合律：，）交换律：合的运算律相似）、事件的运算律（与集的一个划分。
或为样本空间事件组（完全事件组）则称这个事件组为完备或（发生，即仅有一个事件且在每次试验中必有一个时，两个互不相容（即当，，，或可列无限多个事件，，限个事件、完备事件组：如果有。
，，即有的对立事件记作，为对立事件（或互逆）与发生，称事件一个必有一个发生，且仅有和事件，如果事件、对立：在每次试验中为互不相容事件。
、，称不能同时发生，即与若事件、互不相容（互斥）：不发生。
发生而表示的差：与、事件同时发生，，表示一般：同时发生与表示事件或之交：与、事件至少有一个发生，，表示一般：至少有一个发生。
与表示事件之和（并）：与、事件相等，记做与，称且、相等：若。
或的样本点，则有中至少有一个不属于且。
若或，记作包含发生，称发生必然导致事件、包含：若事件、、，随机事件为的样本空间为设随机试验算：二、事件的关系及其运的事件。
每次试验中一定不发生事件事件，不可能每次试验中一定发生的：必然事件事件。
两种特殊的事件单子集，称基本；由一个样本点组成的，，，记作事件，简称为事件，称为随机中满足某些条件的子集的样本空间、随机事件：随机试验记作素点样本空间的元素称为元作记的集合称为样本空间，的所有可能结果所组成、样本空间：随机试验。
有的结果是明确可知的一个结果会发生，但所）试验之前不能确定哪一个；）每次试验的结果不止复进行；）可在相同的条件下重机试验，记作三个条件的试验称为随、随机试验：满足以下件：一、随机试验与随机事内容提要及有关公式随机事件及其概率第一章概率论与数理统计T H A A A A BA B A B A B A A A A A C A B A C B A C A B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A AB B A A B B A A A j i A A A A A j i A A A A A A A B B A A A B A B A B A B A B A B A B A B A A A A A A A A B A AB B A B A A A A A A A A B A B A B A B A B A A B B A B A A B A B A B B A A B A B B A i A B A EC B A E E ii i i i i i i i i i i i i i ni j i i j i n n i i i i i i i i i 311,43219),),8765.)(4.3.21),2,1(.3.,,2321.11111111121211212112121∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞==∞=∞==============ΩΩ=Ω=≠==≠===-===⊆⊆⊂⊃⊇⊆⊇=Ω--ΩΩΩφφφφω，则有是两两互不相容的事件，，，设特别地：有限可加性，（有，一般地：对任意事件）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（有、、件）加法公式：对任意事（）（）（）且（）（）（时，特别：当）（）（）（，有和个事件）减法公式，对任意两（）（）（）（、概率的性质：（，则为两两互不相容的事件，，、）可列可加性设（）（，对于必然事件）规范性（）（，对于任意事件）非负性（）为概率：（事件集合上的函数，则称满足下列条件的的样本空间为试验、概率的定义：设随机质三、事件的概率及其性示事件。
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概率论与数理统计考研辅导讲义白云霄第一章 随机事件及其概率1、随机事件、样本空间、概率的定义例1. 写出下列试验的样本空间与事件A 的样本点1． 同时掷两颗骰子，记录其点数之和；A ：点数之和为偶数 2． 相继掷两次硬币。
A ：第一次出现正面3． 研究甲、乙两件产品的销售状况（畅销、滞销） 4． 经过三个十字路口遇到红灯的个数2、事件的关系及其运算例2设A,B 是任意两个随机事件，则()()()(){}______=++++B A B A B A B A P 例3设,,A B C 为三个事件，试将下列事件用,,A B C 表示出来： （1） A 发生，B 与C 不发生 （2） A ，B ，C 至少有一个发生 （3） A ，B ，C 恰好有一个发生 （4） A ，B ，C 至少有一个不发生 （5） A ，B ，C 最多有一个不发生（6）A 不发生，B ，C 中至少有一个发生3、概率的计算方法有：古典概率、加法公式、乘法公式、 条件概率、全概公式及逆概公式、二项公式 1． 古典概型 I 取次品例1一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取4个，求：（1） 只有一件次品的概率；（2）至多一个次品的概率；（3）至少一个次品的概率。
例2袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今有两个人依次随机的从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是? II 排数字例3从1，2，3，4中任意选出三个不同的数字形成三位数，求此三位数大于300的概率。
例4一个三位数由1，2，3，4中的三个数字形成（个、十、百位可以相同），求此三位数大于300的概率。
例5 把10本书任意地放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率 III 质点入盒例6将3个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率各是多少？例7设将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随意地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为?IV 配鞋子例8从5双不同大小的鞋中取出4只，求： （1） 刚好是两双的概率；（2）不配队的概率 V 几何概型例9设,x y 在[0，1]随机取值，求 （1）(1)P x y +<；（2）1()4P xy <例10某码头上只能容一只船，现预知某日将独立来到两只船，且在24小时内随机到达， 如他们需要停靠的时间为3小时，求一船要在江中等待的概率。
2 利用公式例1 设p(A)=0.4 ,p(AB)=0.7,若事件A,B 互斥，则p(B)=______若事件A,B 独立，则p(B)=______例20.4 ,0.3 0.6A B AUB 设随机事件，及其和事件的概率分别为 和 事件。
那么()________P AB =例3设p(A)=0.7 ,p(A-B)=0.3，则()P AB =例4P(A)05P()0.8A B AUB =设随机事件，独立,=.,，则P(AB)= P(AB)= 例5已知p(A)=p(B)=p(C)=11,()0,()(),416p AB p AC p BC ===则事件A,B,C 全不发生的概率为_______例6设两两相互独立的事件A,B,C 满足条件1,()()(),2ABC p A p B p C =Φ==<且9()16p AB C =,求p(A)=?例7设两个相互独立的事件A ，B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则p(A)=?例8设三台机器相互独立地运转着，第一、第二、第三台机器不发生故障的概率依次为0.9、0.8、0.7，求这三台机器全不发生故障的概率以及它们中至少有一台发生故障的概率。
例9甲乙轮流投骰子，求加先投出6的概率例10．设A,B 是任意两个概率不为0的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是( )（A ）A B 与不相容 （B ）A B 与相容 （C ）p(AB)=p(A)p(B) （D ）()()p A B p A -= 例11．设0<p(A)<1 ,0<p(B)<1, ()()1p A B p A B +=,则有( )（A ） 事件A 与B 互不相容 （B ） 事件A 与B 相互对立 （C ） 事件A 与B 不独立 （D ） 事件A 与B 相互独立3．条件概率例1 一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取2个，每次抽取一个，抽取后不再放回，则第一次为正品，第二次抽取的也是正品的概率。
例2连投两次骰子，设第一、二次出现的点数为12,x x ，12121212{(,)10},{(,)},A x x x x B x x x x =+==>求：()P B A例3某动物活到20岁的概率0.8，活到25岁的概率0.4，问现在20岁的动物能活到25岁的概率4．全概公式，贝叶斯公式例1 设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别是1% 和2% ，现在从由A 和B 的产品分别占60% 和40% 的一批产品中随机抽取一件，发现是次品则该次品属于A 生产的概率是 ？例2三个箱子，第一个箱子中有黑球4个， 白球1个。
第一个箱子中有黑球3个， 白球3个。
第三个箱子中有黑球3个，白球5个。
现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为______已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为__________.例3三人同时向一架飞机射击，设他们射中的概率分别为0.5，0.6，0.7．又设无人射中，飞机不会坠毁；只有一人击中飞机坠毁的概率为0.2；两人击中飞机坠毁的概率为0.6；三人射中飞机一定坠毁．求三人同时向飞机射击一次飞机坠毁的概率．例4.现有8个乒乓球，4新4旧，甲取一个用完放回，乙再从中取一个为新球的概率。
5． 伯努利概型例1设一个均匀陀螺的圆周上均匀的刻上了区间[2,5]上的诸数值，将这陀螺重复旋转5次，计算这5次中恰好有3次停下来时接触桌面的点的刻度在区间[3.5,4.5]上的概率。
例2 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于1927，则事件A 在一次试验中出现的概率为? 例3 设一次试验中，事件 A 发生的概率为P,现进行 n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 ______,而事件A 至多发生一次的概率为______________. 例4在（1，4）内取三个数，求大于2的数少于两个的概率例5区域1D 由,0,1y x y x ===围成，区域2D 由2,y x y x ==围成，向1D 中投10个点，有至少2个点落在2D 中的概率第二章 随机变量及其分布一、一维离散型随机变量1．求分布律例1 从装有2白3红的球袋中每次取一个球，直到取到白球为止，求取球次数的分布率。
1） 不放回抽去，2）放回抽去例2假设从某大学到火车站途中有6个交通岗，各交通岗出现什么颜色的灯相互独立。
红绿灯显示的时间比为1:2，（1）设X 为途中遇到的红灯的次数，求X 的分布率和分布函数；（2）令Y 表示汽车行使过程中在停止前所经过的路口数，求Y 的分布律。
例3在伯努利试验中 (),P A p =实验进行到,A A 都发生为止，求试验次数的分布率。
例4 随机变量X 的分布函数:(){}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=≤=3,131 ,8.011 ,4.01,0x x x x x X p x F 则X 的分布律为2． 常见的离散型随机变量的分布3． 离散型随机变量函数的分布 例5．已知随机变量X 的分布律为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-25.013.02.005.037.073101 ， （1） 求2Y X =-的分布律； （2）求23Y X =+的分布律和分布函数。
例6设()2,1,2,3kP X k k -===，求sin2xY π=得分布率二、一维连续型随机变量1．分布函数；2。
概率密度；3。
常见的连续型分布；4。
随机变量函数的分布 例7已知随机变量X 的概率密度函数1(),()2xf x e x -=-∞<<+∞ 则X 的分布函数F(x)＝?例8如下四个函数中，哪一个不能作为随机变量X 的分布函数 （ ）（A ） 0,01,013()1,1221,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩（B ） 0,0()ln(1),01x F x x x x <⎧⎪=+⎨≥⎪+⎩（C ） 20,01(),0241,2x F x x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩ （D ）1,0()0,0x e x F x x -⎧-≥=⎨<⎩例9()cos x x ϕ=是随机变量X 的概率密度函数x 的区间是： （A ）[0.]2π；（B ）[,]2ππ；C [0,]π；D 37[,]24ππ例10 设1()F x 与2()F x 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数。
设12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数。
在下列给定的各组数值中应取（ ） （A ）32,55a b ==- （B ）22,33a b == （C ）13,22a b =-= （D ）13,22a b ==- 例11 设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为12(),()f x f x ，分布函数分别为12(),()F x F x , 则 （ ）（A ）12()()f x f x +必为某一随机变量的概率密度 （B ）()()x f x f 21⋅必为某一随机变量的概率密度 （C ）12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数 （D ）()()x F x F 21⋅必为某一随机变量的分布函数例12 设随机变量X 的概率密度为1,[0,1]32(),[3,6]90,x f x x ⎧∈⎪⎪⎪=∈⎨⎪⎪⎪⎩其它，若k 使2{}3p X k ≥=, 则k 的取值范围是例13 随机变量X 的密度函数为()x ϕ，且()()x xϕϕ-=，()F x 是X 的分布函数。
则对于任意实数a ，有（ ） （A ）0()1()aF a x dx ϕ-=-⎰（B ）()()⎰-=-a dx x a F 021ϕ （C ）()()F a F a -= （D ）()2()1F a F a -=-例14已知随机变量X 的分布函数()arctan ,F X A B x =+则A =_________，B =_________，(11)P X -<<= 密度函数为例15设随机变量X的概率密度为：|1()0,||1x f x x <=≥⎩。
试求：（1）系数A ，（2）求1(||)2P X <；（3）X 的分布函数()F x 。