习题解答1

条边
12.试证一整数是另一个整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数。 证：根据第 9 题的结论，
而
,能被(2a1+1)・(2a2+1)・…・(2al+1)个数整除，2ai+1 为奇数(0≤i
≤l)，所以乘积为奇数。 证毕。
ww
13.统计力学需要计算 r 个质点放到 n 个盒子里去,并服从下列假定之一，问有多少种不同的 图象。假设盒子始终是不同的。 (a)Maxwell-Boltzmann 假定：r 个质点是不同的，任何盒子可以放任意数个. (b)Bose-Einstein 假定：r 个质点完全相同，每一个盒子可以放任意数个. (c)Fermi-Dirac 假定：r 个质点都完全相同，每盒不超过一个. 解：(a) 每个质点放入盒子都有 n 种选择，r 个质点共有 rn 种不同的图案。 (b) 可重组合，共有 C(n+r-1,r)种图案。 (c) 一般组合问题，共有 C(n,r)种图案。 14.从 26 个英文字母中取出 6 个字母组成一字，若其中有 2 或 3 个母音，问分别可构成多少 个字(不允许重复)？ 解：其中有 2 个母音可构成 C(21,4)C(5,2)6!个字。 其中有 3 个母音可构成 C(21,3)C(5,3)6!个 字。
证：取 C(n,k)和 C(n,k-1)进行比较。C(n,k)/C(n,k-1)=(n-k+1)/k。 当 k>n/2 时,(n-k+1)/k<1,即 C(n,k)<C(n,k-1) 当 k>n/2 时,(n-k+1)/k>1,即 C(n,k)>C(n,k-1)得到当 k 为最接近 n/2 的数时，C(n,k)取到最大值。
co
证：每个盒子不空，即每个盒子里至少放一个球，因为球完全一样，问题转化为将 n-r 个小 球放入 r 个不同的盒子，每个盒子可以放任意个球，可以有空盒，根据可重组合定理可得共
m
.
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有 C(n-r+r-1,n-r)=C(n-1,n-r)中方案。 根据 C(n,r)=C(n,n-r),可得 C(n-1,n-r)=C(n-1,n-1-(n-r))=C(n-1,r-1)个方案。证毕。 9.设 ,p1、p2、…、pl 是 l 个不同的素数，试求能整除尽数 n 的正整数数目.
ww
组合意义： 等式左边：n 个不同的球，先任取出 1 个，再从余下的 n-1 个中取 r 个； 等式右边：n 个不同球中任意取出 r+1 个，并指定其中任意一个为第一个。 显然两种方案数相同。
3.证
证：设有 n 个不同的小球，A、B 两个盒子,A 盒中恰好放 1 个球,B 盒中可放任意个球。有两种 方法放球：
①先从 n 个球中取 k 个球(k≥1),再从中挑一个放入 A 盒,方案数共为
w.
。
kh
,其余球放
da
, 两边被(j+1)!除,得余数 aj・j!=bj・j!,矛盾.
课
后
答
w.
案 网
co
m
由假设对 n-k!,命题成立，设
，其中 ak≤k-1,
，命题成立。
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入 B 盒。 ②先从 n 个球中任取一球放入 A 盒，剩下 n-1 个球每个有两种可能，要么放入 B 盒，要么 不放，故方案数为 n2n-1 . 显然两种方法方案数应该一样。 4.有 n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第二组的最大数 。 问有 多少种方案？ 解：设取的第一组数有 a 个,第二组有 b 个,而要求第一组数中最小数大于第二组中最大的， 即只要取出一组 m 个数(设 m=a+b),从大到小取 a 个作为第一组,剩余的为第二组。此时方案数 为 C(n,m)。从 m 个数中取第一组数共有 m-1 中取法。
(a)0 出现偶数次的字符串有
w.
(b)
kh
个；
证：(a)设有 2n 个不同球放入 n 个不同的盒子里，每盒两个，这个方案数应该是整数。对 2n 个球进行排列得到方案数为(2n)!。而把 2 个球放入同一个盒子里不计顺序，应该把全排列数 除掉这些重复计算的次数，n 个盒子内部的排列共重复计算了 2 次。得到 2n 个不同球放入 n 个不同的盒子里，每盒两个的方案数(2n)!/2 若有 3n 个不同的球,放入 n 个不同盒子,故同理 得(3n)!/(3!)是整数。 (b)有 n 个不同的球，放入 n 个相同的盒子里，每盒 n 个，求方案数，方案数应该是一个整 数。按前面(a)的方法，应该得到(n2)!/(n!)n 是整数。另外由于 n 个盒子相同，放入不同的盒子是 没有区别的，应该把 n 个盒子的排列数 n!除去。 因此得到(n2)!/(n!)n+1 是整数。
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8.n 个完全一样的球，放到 r 个有标志的盒子,n≥r,要求无一空盒，试证其方案数为
w.
6. 从 1 到 1000000 的整数中，0 出现了多少次？ 解 先将 1 到 999999 的整数都看做 6 位数， 例如 13 就看做 000013 。 这样从 000000 到 999999,0 5 出现的次数为 6×10 次（某一位取 0,其他各位任取） 。 0 出现在最前面的次数应该从中去掉， 000000 到 999999 中最左 1 位的 0 出现了 105 次， 000000 到 099999 中左数第 2 位的 0 出现了 104 次， 000000 到 009999 左数第 3 位的 0 出现了 103 次, 000000 到 000999 左数第 4 位的 0 出现了 102 次, 000000 到 000099 左数第 5 位的 0 出现了 101 次, 000000 到 000009 左数第 6 位的 0 出现了 100 次。 因此不合法的 0 的个数为 105+104+103+102+101+1=111111，从总数中去掉不合法的，再加整 数 1000000 中 的 6 个 0 ， 这 样 ， 从 1 到 1000000 的 整 数 中 0 出 现 的 次 数 为 6 × 5 10 -111111+6=488895。解毕。 注意，这里运用了分类计数的方法，而采用合理的分类标准，尤为重要。
da
，其中
课
后
答
w.
是整数. .
案 网
co
21.对于给定的正整数 n,证明当
时，C(n,k)是最大值。
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证：(a)归纳法：当 n=1 时,0 出现偶数次的字符串有(31+1)/2=2 个(即 1,2),成立。 假设当 n=k 时,0 出现偶数次的字符串有(3k+1)/2 种。总的字符串有 3 种。0 出现奇数次的字符串 有(3k-1)/2 种。 当 n=k+1 时，0 出现偶数次的字符串包括两部分： n=k 时,0 出现偶数次再增加一位不是 0 的，共有 2(3k+1)/2 种，0 出现奇数次再增加一位 0, 共有(3k-1)/2 种。 所以共有 2(3k+1)/2+(3k-1)/2=(3k+1+1)/2 种，证毕。 (b) 等式左边第 m 项是 0 出现 m 次的字符串数，总和就是 0 出现偶数次的字符串数，右边 由(a)得是 0 出现偶数次的字符串数，两边显然相等。 25. 5 台教学机器 m 个学生使用，使用第 1 台和第 2 台的人数相等，有多少种分配方案？ 解：当使用第 1 台机器的学生为 n 个时，使用第 2 台机器的学生也为 n,从 m 个学生中选出 2n 个使用这两台机器，剩余的学生可以任意使用剩下的机器的组合数为 C(m,2n)C(2n,n)(m-2n)3。
总的方案数为
.
7.n 个男 n 个女排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下，又 有多少种不同的方案？ 解：把 n 个男、n 个女分别进行全排列，然后按乘法法则放到一起，而男女分别在前面,应该 再乘 2,即方案数为 2・(n!)2 个. 围成一个圆桌坐下，根据圆排列法则，方案数为 2・(n!)2/(2n)个.
22.(a)用组合方法证明
和
都是整数. (b)证明
ww
23.(a)在 2n 个球中,有 n 个相同,求从这 2n 个球中选取 n 个的方案数。 (b)在 3n+1 个球中，有 n 个相同，求从这 3n+1 个球中选取 n 个的方案数. 解：(a) 相当于从 n 个不同的小球中分别取出 m 个小球(0≤m≤n)，再从 n 个相同的小球中 取出 n-m 个小球。 共有方案： C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)=2n 种。 (b)相当于从 2n+1 个不同的小球中分别取出 m 个小球(0≤m≤n)，再从 n 个相同的小球中取 出 n-m 个小球。 共有方案： C(2n+1,0)+C(2n+1,1)+…+C(2n+1,n)种。 24.证明在由字母表{0,1,2}生成的长度为 n 的字符串中.
再证表示的唯一性：
设
, 不妨设 aj＞bj,令 j=max{i|ai≠bi}
aj・j!+aj-1・(j-1)!+…+a1・1! =bj・j!+bj-1・(j-1)!+…+b1・1!,
另一种证法：令 j=max{i|ai≠bi}
2.证 nC(n-1,r)=(r+1)C(n,r+1).并给出组合意义。
证：
kh
Fra Baidu bibliotekda
课
解：C(n+1,r+1)是指从 n+1 个元素 a1, a2,…,an+1 中任取 r+1 个进行组合的方案数。 左边： 若一定要选 an+1,则方案数为 C(n,r).若不选 an+1,一定要选 an,则方案数为 C(n-1,r).若不选 an+1,an,…ar+2,则方案数为 C(r,r). 所有这些可能性相加就得到了总方案数。
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【思考与练习】
1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式: 证：对 n 用归纳法。 先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。 假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!≤n＜(k+1)!,即 0≤n-k!＜k・k!
,0≤ai≤i,i＝1,2,…。
后
答
16.给出
w.
的组合意义。
案 网
可看作是格路问题：左边第 i 项为从点 C 到点(-1,i)直接经过(0,i)的路径,再到点 B 的所有路 径数。左边所有项的和就是从点 C 到 B 的所有路径数即为右边的意义。
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18.从 n 个人中选 r 个围成一圆圈，问有多少种不同的方案？ 解：圆排列:共有 P(n,r)/r 种不同的方案。 19.分别写出按照字典序由给定排列计算其对应序号的算法及由给定序号计算其对应排列的 算法。(解略) 20.(a)按照第 19 题的要求，写出邻位对换法(排列的生成算法之二)的相应算法。 (b)写出按照邻位对换法由给定排列生成其下一个排列的算法。(解略)
kh
da
课
后
答
w.
案 网
5.六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特定引擎开始点火有 多少种方案。 解：第 1 步从特定引擎对面的 3 个中取 1 个有 C(3,1)种取法，第 2 步从特定引擎一边的 2 个 中取 1 个有 C(2,1)种取法，第 3 步从特定引擎对面的 2 个中取 1 个有 C(2,1)中取法，剩下的 每边 1 个取法固定。所以共有 C(3,1)・C(2,1)・C(2,1)=12 种方案。
解：每个能整除尽数 n 的正整数都可以选取每个素数 pi 从 0 到 ai 次，即每个素数有 ai+1 种 选择，所以能整除 n 的正整数数目为(a1+1)・(a2+1)・…・(al+1)个。 10.试求 n 个完全一样的骰子掷出多少种不同的方案？ 解：相当于把 n 个小球放入 6 个不同的盒子里，为可重组合，即共有 C(n+6-1,n)中方案，即 C(n+5,n)中方案。 11.凸 10 边形的任意三个对角线不共点，试求这凸 10 边形的对角线交于多少个点？又把所 有对角线分割成多少段？ 解：根据题意,每 4 个点可得到两条对角线,1 个对角线交点,从 10 个顶点任取 4 个的方案有 C(10,4)中,即交于 210 个点。 根据图论知识， 每个对角线交点有 4 个度， 每个顶点去掉与相邻两个顶点的连线还有 7 个度， 可以得到
w.
kh
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后
答
课
w.
案 网
, 能被(a1+1)・(a2+1)・…・(al+1)个数整除，
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15.给出 组合意义. 解：如图：
的
17.证明:
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证毕。
w.
证： 组合意义,右边： m 个球,从中取 n 个,放入两个盒子,n 个球中每个球都有两种放法,得到可 能的方案数 。 左边： 第 i 项的意义是一个盒子中放 i 个,另一个盒子放 n-i 个,所有的方案数相加 应该等于右边。