独立增量过程

令N(s,t)=N(t)－N(s),0≤s<t,给出泊松过程的另一定义:
定义3. 称计数过程{N(t),t≥0}为具有参数>0的泊松过程,
若它满足下列条件 (1) N(0)=0；零初值性 (2) N(t)是独立增量过程； (3) N(t)满足: PN (t , t t ) 1 t t
X(tn) =Y1+ Y2 + …+ Yn，即X(tn) 是Y1 ，…Yn的线性函数，
推广结果： Y1,Y2, …,Yn的联合分布确定了{X(t)}的有限维分布函数。
(2)独立增量过程{X(t),t≧0}在X(0)=0的条件下,{X(t)}的协
方差函数为
C X ( s, t ) DX (min(s, t )).
例如：若用N1(t)表示某电话交换台在[0,t]内接到的电话
呼唤次数；
若用N2(t)表示[0,t]这段时间内到达某商场的顾客数； 若用N3(t)表示时间[0,t]内某放射性物质放射出的粒子数；
若用N4(t)表示在时间[0,t]内某地段出现的交通事故次数等,这些 Ni(t)均为计数过程。
为了建模方便，我们把“事件A”发生一次说成质点出现 一个，于是计数过程N(t)看作在时间轴上区间[0,t]内质点 出现的个数。
E[Y ( s) Y (0)]E[Y (t ) Y ( s)] E[Y 2 ( s)]
DX ( s)
同理，当0t＜s时，有 C X ( s, t ) DX (t )
于是可知对于任意的s,t≧0,协方差函数可表示为： C X ( s, t ) DX (min( s, t )).
二、泊松类重要的随机过程。
在通信工程、服务行业、生物学、物理学、公
用事业等领域的许多问题都可以用泊松过程来
描述。如：商店接待的顾客流，数字通信中已
编码信号的误码流等
随机质点流：质点（或事件）陆续地随机到达（或随
机发生），则形成一个随机质点流． 例如：商店接待的顾客流、 等车的乘客流、 数字通信中已编码信号的误码流、
Cov( X ( s L) X ( s ), X (t L) X (t ))
Cov( X ( s L), X ( t L)) Cov( X ( s ), X ( t L)) Cov( X ( s L), X ( t )) Cov( X ( s ), X ( t ))
(1)独立增量过程{X(t),t≧0}在X(0)=0的条件下,{X(t)}的有限维分 布函数可以由增量X(t)－X(s)， 0s＜t 的分布确定.
证：令Yk= X(tk )- X(tk-1 ), k=1,2, …,n. t0=0. 由条件，增量的分布已知，且具有独立增量，则
Y1,Y2, …,Yn的联合分布即可确定， 而 X(t1)=Y1， X(t2) =Y1+ Y2， ……
证明: 记Y(t )=X(t)-X(t),当X(t)具有独立增量时， Y(t )也具有独立增量；且Y(0)=0,E[Y(t )]=0,
DY(t)= E[Y2(t )]=DX(t) .所以，当0s＜t 时，有
C X ( s, t ) E[Y ( s)Y (t )] E [Y ( s) Y (0)][(Y (t ) Y ( s)) Y ( s)]
P Wn t PN (t ) n e t
j n
( t ) j j!
上式对t求导，得Wn的概率密度是
t t n1 e f Wn ( t ) n 1! 0 t0 t0
定理2.设{Wn , n=1,2,…}是与泊松过程{N(t),t≥0}
s L, t L mins, t L mins L, t mins, t min
| s L t | | s t L | | s t | 2
s t 2L | s t | s t L | s t L | s t L | s L t | 2 2 2 s t | s t | 2
随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一 时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程.
计数过程的一个典型的样本函数如图 N(t)
t
计数过程N(t)是独立增量过程 如果计数过程在不相重叠的时间间隔内，事件A发生的次 数是相互独立的。
计数过程N(t)是平稳增量过程 若计数过程N(t)在(t,t+s]内（S>0），事件A发生的次 数N(t+s)-N(t)仅与时间差s有关，而与t无关。
三、维纳过程 又称布朗运动
引言 维纳过程是布朗运动的数学模型. 英国植物 学家布朗在显微镜下, 观察漂浮在平静的液面上 的微小粒子, 发现它们不断地进行着杂乱无章的 运动, 这种现象后来称为布朗运动. 以W(t)表示运动中一微粒从时刻t=0到时刻t>0 的位移的横坐标(同样也可以讨论纵坐标), 且设 W(0)=0, 根据爱因斯坦1905年提出的理论, 微粒 的这种运动是由于受到大量随机的相互独立的分 子的碰撞的结果. 于是, 粒子在时段(s,t]上的位 移可以看作是许多微小位移的代数和. 则W(t)W(s)服从正态分布.
T1
T2
Tk
0
W1
W2
Wk-1 Wk
t
通常称 Wn为第n个质点出现的等待时间,Tn为第n个时 间间隔,它们都是随机变量。
定理1. 设{N(t)，t≥0}是具有参数的泊松过程,
{Tn,n≥1,2,...}是对应的时间间隔序列,则随机变量序列
Tn,n=1,2,...为独立的且均服从参数为的指数分布。
若对于任意的实数s, t 和0s+h＜t+h, X(t+h)－X(s+h)与X(t)－X(s)
具有相同的分布,则称增量具有平稳性,并称相应的独立增量过程为齐 次的或时齐的。
即：增量X(t)－X(s)的分布函数实际上只依赖于时间差ts，而不依赖于t与s本身,即与观察的起始时刻无关。
2．独立增量过程的性质
第十章 随机过程及统计描述
一、独立增量过程
二、泊松过程
三、维纳过程
四、高斯过程（正态过程）
一、独立增量过程
1．定义
设{X(t),t0}为一随机过程,对于0s<t,称随机变量
X(t)-X(s)为随机过程在区间[s,t]上的增量.
若对于任意的正整数n及任意的0t0<t1<t2<…<tn,n个增 量 X(t1)-X(t0)，X(t2)-X(t1)，…，X(tn)-X(tn-1) 相互独立，称{X(t),t0}为独立增量过程。
实际上假设了在足够小的时间间隔内出现一个质点的 概率与时间间隔成正比，而出现质点数不少于2的概率是关 于时间间隔的高阶无穷小——这一般是与实际情况相吻合 的。
2．泊松过程数字特征
3．泊松过程的一些定理
设{N(t),t≥0}为泊松过程，N(t)表示到t时刻时质点出
现的个数,W1，W2，...分别表示第一个，第二个，…质点 出现的时间,Tn(n≥1)表示从第n－1个质点出现到第n个质 点出现的时间间隔.
例.设{X(t)}是强度为的泊松过程，定义Y(t)=X(t+L)X(t),其中L>0为常数，求Y(t),RY(s,t).
解： Y(t)=E[Y(t)]=E[X(t+L)-X(t)]=(t+L)-t=L；
RY(s,t)=CY(s,t)+Y(s)Y(t), 对任意0≤s<t，有
CY ( s, t ) Cov(Y ( s),Y (t ))
对应的一等待时间序列，则Wn服从参数为n与的
分布，其概率密度为
t t n1 e t0 f Wn ( t ) n 1! 0 t0
定理3. 如果相继出现的两个质点的时间间隔是相互独
立，且服从同一指数分布，则质点流构成了强度为的
泊松过程。
该定理告诉我们确定一个过程是不是泊松过程只要用 统计方法检验点间间距是否独立且服从同一指数分布。 注：泊松过程或泊松流是研究排队理论的工具，在技术领 域内它又是构造一类重要噪声(散粒噪声)的基础。
| L | s t || | L | s t || | s t | 2
( L | s t |) 0 | s t | L | s t | L
2 L2 L | s t | | s t | L 所 以 R X ( s, t ) 2 2 | s t | L L
定义2: 称计数过程{N(t),t≧0}为具有参数>0的泊松过程， 若它满足下列条件 (1) N(0)=0；零初值性 (2) N(t)是(平稳)独立增量过程； (3) 对于任意的s,t≥0, N(t+s)-N(s)服从参数为t的泊松 k 分布 t e t PN ( t s ) N ( s ) k , k 1,2, , k! 从条件(3)：泊松过程的均值函数为 N (t ) t E[ N (t )] ,表示单位时间内质点出现的平均个数,故称 t 为此过程的强度。
PN (t , t t ) 2 t
定理: 定义2与定义3是等价的。
例：设为N(t)为[0,t)时段内某电话交换台收到的呼
叫次数，t>=0， N(t)的状态空间为{0,1,2,…}， 具有如下性质： (4)在足够小的时间间隔△t内
Pt时间间隔内无呼叫 P{N (t )=0}=1- t t Pt时间间隔内有一次呼叫 P{N (t )=1}= t t Pt时间间隔内有两次以上呼叫 P{N (t )>1}= t
经过中国上空的流星流、
放射性物质所放射出的粒子流、 要求在机场降落的飞机流，等等。
随机质点流的强度：通常称单位时间内平均出现的