九年级下册《圆》知识点总结

圆

1．圆的认识

（1）以点O 为圆心的圆叫作“圆O ”，记为“⊙O ”。 （2）线段OA 、OB 、OC 都是圆的半径，线段AC 为直径。

（3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦。直径是圆中最长的弦。 （4）圆上任意两点间的部分叫做弧。

小于半圆周的圆叫做劣弧。大于半圆周的圆弧叫做优弧。

（5）圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。如∠AOB 、∠AOC 、∠BOC 就是圆心角。 2．圆的对称性

（1）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 3.圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所

对

的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。即：①AOB DOE ∠=∠；②

AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD

上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 4．圆周角

（1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。

（2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。90°的圆周角所对的弦是圆的直径。

（3）同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。 （4）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。

F

E C

B

A

O

O E

D

C

B

O

C

D

A

B

C

A

O

D

C

A

O

B

A

O

（5）若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==

∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

5．点与圆的位置关系

设⊙O 的半径为r ，点圆心O 的距离为d ，则

（1）点在圆外 ⇔ d r > （2）点在圆上 ⇔ d r = （3）点在圆内 ⇔ d r < 6．（1）过一点可以画无数个圆；

过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上； 过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。

（2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。 （3）一个三角形的外接圆是唯一的。 7．直线与圆的位置关系

（1）如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离。

（2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．

（3）如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线．

如上图，设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，从图中可以看出： 若d r > ⇔ 直线l 与⊙O 相离； 若d r = ⇔ 直线l 与⊙O 相切； 若d r < ⇔ 直线l 与⊙O 相交； 8．切线

（1）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端∴MN 是⊙O 的切线

C

B

A

O

r

d

d

C B A

O

N

M

O

证明切线常用的方法：1.连半径，证垂直； 2.作垂直，证半径。 （2）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

（3）切线长：切线上某一点与切点之间的线段的长.

性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =，PO 平分BPA ∠.

（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心。这个三角形叫做这个圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。

9.圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补. 即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形

∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ 10．圆和圆的位置关系

1）两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中（1）又叫做外离，（2）、（3）又叫做内含。（3）中两圆的圆心相同，这两个圆还可以叫做同心圆。

2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如其中（4）又叫做外切，（5）又叫做内切。 3

（1）两圆外离d R r ⇔>+； （2）两圆外切d R r ⇔=+； （3）两圆外离R r d R r ⇔-<<+； （4）两圆外离d R r ⇔=-； （5）两圆外离0d R r ⇔≤<-

B

O

E

D

C

B

A

O

A