2.4等比数列(优质课一等奖

注意：若a，b异号则无等比中项, 若a，b同号则有两个等比中项.
练习：
（1）求45与80的等比中项
60
（2）已知b是a与c的等比中项，且 abc 27,求b
b3
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2、等比数列的通项公式：
• 法一：归纳法
等 a2 a1 d
差 数
a3 a1 2d 类比
列 a4 a1 3d
……
等 比 数 列
a2 a1
q a2
a1q
a3 a2
q a3
a2q
a1q2
a4 a3
q
a4
a3q a1q3
……
由此归纳等差数列
的通项公式可得：
由此归纳等比数列的通项公式可得：
an a1 (n 1)d
an a1q n1
a 0 时,既是等差数列，又是等比数列;
a 0 时,只是等差数列，而不是等比数列.
思考：
如果在a与b的中间插入一个数G，使a, G, b 成等比数列，那么G应该满足什么条件？
分析： 由a, G, b成等比数列得：
G b G2 ab G ab aG
反之，若 G2 ab, (ab>0)
3
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练习： 求下列各等比数列的通项公式： (1) a1＝5, 且2an＋1＝－3an .
(2) a3 1 , a5 9
课堂小结
等比数列
名称
等差数列
从第2项起,每一项与它前
从第2项起,每一项与它前
一项的比等于同一个常数 概念 一项的差等于同一个常数
公比(q )
公差(d )
则
G b, aG
即a,G,b成等比数列. 2
∴a, G, b成等比数列 G ab (ab>0)
3.等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a, G， b成等比数列，那么称这个数G为a与 b的等比中项.
即： G是a、b的等比中项
G2 ab (ab 0)
G ab (ab 0)
探究
对于例４中的等比数列 a n 与bn ，数
是 列

an bn

也一定是等比数列吗？
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等比数列的性质
a．若{an}{bn}是项数相同的等比数列，
则{anbn}和
{an bn
}
都是等比数列
b．若{an}是等比数列，c是不等于0的常数， 那么{can}也是等比数列
2.4 等比数列
问题情境:
情境一:折纸
如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对折，
再对折，再对折‥‥‥依次对折50次，你相
信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间 建一座桥？
对折 纸的
n
次数
对 折 一 次
对 折 二 次
对 折 三 次
对
对
折 四 次
…...
折
n
次
…...
纸的
2
层数
48
16 …...
情境二:《庄子·天下篇》中写到： “一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
等于64，和等于14，求此三个数？
注意：等比数列中若三个数成等比数列，可以设为
a, aq, aq2或
a q , a, aq
练习：已知三个数成等比数列，它们的积为27， 它们的立方和为81，求这三个数。
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例、有四个数，若其中前三个数成等比数列，
它们的积等于216，后三个数成等差数列，它们
例、一个等比数列的第3项与第4项分别是 12与18,求它的第1项与第2项.
a 解：设这个等比数列的第1项是 ,公比是q ，那么 1 a q2 12 1
a q3 18 1
解得，
q3 2
16
，
a 1
3
因此 a a q 16 3 8
2
1
32
16
答：这个数列的第1项与第2项分别是 与 8.
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结论：如果an bn是项数相同的等
比数列，那么an bn也是等比数列．
证明：设数列an的公比为p，bn 的公比为
q，那么数列an bn 的第n项与第n+1项分
别与为a1ba11(ppnq1)n．b1qn1 与 a1pn b1qn ，即 a1b1(pq)n1
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2、等比数列的通项公式：
• 法二：累加法
等 差 数
a2 a1 d
a3 a2 d
列 a4 a3 d
……
累乘法
等
比
类比
数 列
a2 q a1
a3 q a2
a4 q
…a3 …
+）an an1 d
×） an q
an1
共n – 1 项
2 4 8 16
(3) 5， 5， 5， 5，…
是
a1

1 2
，q 1 2
是 a1=5, q=1
(4) 1，-1，1，-1，… 是 a1=1, q= -1
(5) 1，0，1，0，…
不是
(6) 0，0，0，0，… (7) 1, a, a2, a3 , … (8) x0, x, x2, x3 , … (9) 1，2，6，18，…
因为
a b n1 n1 a b1 1(pq)n pq,
an bn
a b1 1 (pq)n1
它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq
为公比的等比数列．
特别地，如果是a n 等比数列，c是不等 于０的常数，那么数列 c a n 也是等比数列．
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③
-2, 2, -2, 2, ….
④
共同特点：从第二项起，每一项与前一项 的比都等于同一个常数．
讲授新课
1. 等比数列的定义: 一般地，若一个数列从第二项起，每一
项与它的前一项的比等于同一个常数，这个 数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的 公比，用字母q (q≠0) 表示.
2.等比数列定义的符号语言:
an am

a1q n1 a1q m1
qnm
可得
an amqnm
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等比数列 注意： （1）等比数列的首项不为0； （2）等比数列的每一项都不为0，即 an 0 （3） q=1时，{an}为常数列；
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4.等比数列的通项公式：
以a1为首项，q为公比的等比数列{an}的通
特殊地: (an )2 an1 an1(n 2)
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7.三个数成等比的设法：a/q,a,aq；四个数 成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什 么？) 8.等比数列{an}的任意等距离的项构成的 数列仍为等比数列。
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的和等于12，求此四个数？
注意：等比数列中若四个数成等比数列，不能设为
a q3
,
a q
,
aq,
aq3
因为这种设法表示公比大于零！
可以设这四个数为a,b,c,d
练习：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三 个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。
15,9,3,1或0,4,8,16
不是 不是 是 a1=x0, q=x 不是
小结：判断一个数列是不是等比数列， 主要是由定义进行判断：
看 an1 是不是同一个常数？ an
注意：
(1) 等比数列｛an｝中, an≠0； (2)公比q一定是由后项比前项所得，而不
能用前项比后项来求，且q≠0； (3)若q＝1，则该数列为常数列．
(4)常数列 a, a , a , a , …
9.{an}为等差数列，则 can (c>0)是等比数列。
10.{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c ≠ 1) 是等差数列。
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典型例题：
例1、数列{an}为等比数列，a5 a1 15, a4 a2 6, 求a3
解： an a1 q n1 a1 （q 4 - 1） 15 a1 (q 3 q) 6
项公式为：an a1 qn1(a1, q 0；n N *)
5.等比数列通项公式的推广：
an am qnm (am , q 0；m, n N*)
6.等比数列的公比公式：
q an1 ，qn1 an ，qnm an
an
a1
am
7.等比数列通项公式的应用：知三求一
第
第
第
第
第
一 天 取
二 天 取
三 天 取
四 天 取
n
......
天 取
设
半
半
半
半
半
木
棰
长
度 为
1
......
木棰
1
1
1
1
长度
2
4
8
16
......
观察上述情境中得到的这几个数列，看有
何共同特点?
2, 4, 8, 16, …;
①
111
1, , , ;
②
248
1, 20, 202, 203, … ；
除 得：q2 1 5 解得q 1 或q 2
当q

1 2
q
时，
a
1

2
-16，a 3
2
-4
当q 2时，a1 1，a 3 4
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典型例题： 变式、在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成 等比数列
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典型例题：
q可正、可负、不可零 常数 d 可正、可负、可零
an

(q
a1q0n，1 n

N
*
)
通项 公式1
an

a1

(n 1)d
(n N*)
an(qam0q，nnm, m N *)
通项 公式2
an

am
(n m)d
(n, m N *)
G是a、b的等比中项 中项 A是a、b的等差中项
G2 ab (ab 0)
2A a b
练习．在等比数列{an}中，
a1 an 66,a2 an1 128, 且q=2，求a1和n.
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判断等比数列的方法:
1、定义法 2、等差中项法
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例、有三个数成等比数列，若它们的积
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等比数列的性质
性质 : 在等比数列an 中， q为公比，
若 m, n, p, q N *且 m n p q 那么：anam apaq
推论: 在等比数列an 中，d 为公比，
若 m, n, p N * 且 m n 2 p
那么：anam ap2
an1 q (q为常数，且q≠0 ；n∈N*) an
[或 an q (q为常数，且q≠0 ；n≥2且n∈N*) ] an1
练习
判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪
些不是？如果是，写出首项a1和公比q, 如 果不是，说明理由。
(1) 1，3，9，27，… 是 a1=1, q=3
(2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
an a1 (n 1)d
an q n1 a1
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拓展：
等差数列 an a1 (n 1)d am a1 (m 1)d 类比
an am (n m)d
可得
an am (n m)d
等比数列
an a1q n1
am a1qm1
变式、在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成 等比数列
解：设a1 160, a6 5
a6 q5 1 则q 1
a1
32
2
a 2 80，a3 40，a 4 20，a5 10
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