第11讲空间中垂直关系的判定与性质

空间中垂直关系的判定与性质

一．基础知识整合

1.直线与平面存垂直

（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫作平面

α的垂线，平面α叫作直线l 的

垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫作垂足．

（2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图

（3）判定定理

文字语言 符号语言 图形语言

如果一条直线和一个平面内的两

条相交直线都垂直，那么该直线与

此平面垂直 ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b a αb αa ∩b ＝P ⇒l ⊥α

）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．

（2）二面角的记法：如图，记作：二面角α－AB －β，也可记作2∠α—AB —β.

（3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱

的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角． 3.平面与平面垂直

（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

（2）判定定理

文字语言

符号语言 图形语言 如果一个平面经过另一个平面的

一条垂线，那么这两个平面互相垂

直

⎭⎪⎬⎪⎫a αa ⊥β⇒α⊥β 4.直线与平面垂直的性质定理

文字语言

图形语言 符号语言 如果两条直线同时垂直于一个平

面，那么这两条直线平行

⎭⎪

⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 5.平面与平面垂直的性质定理

文字语言 图形语言 符号语言 如果两个平面互相垂直，那么在一

个平面内垂直于它们交线的直线

垂直于另一个平面 ⎭

⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l a αa ⊥l ⇒a ⊥β 题型一：线面垂直的判定

例1：如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，且S为所在平面外一点，

满足SA＝SB＝SC.D为AC的中点．求证：SD⊥平面ABC.

证明：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，且D为AC的中点，∴BD＝AD

＝DC.又∵SA＝SB＝SC，SD为公共边，∴△SBD≌△SAD≌△SCD，

∴∠SDB＝∠SDA＝∠SCD＝90°，∴SD⊥AD，SD⊥BD，∵AD∩BD＝

D，∴SD⊥平面ABC.

变式训练1：如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，PA⊥⊙O所在的平面，AF⊥PC于F，求证：BC⊥平面PAC.

证明：因为AB为⊙O的直径，所以BC⊥AC.因为PA⊥平面ABC，BC

平面ABC，所以PA⊥BC.因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.

题型二：面面垂直的判定

例2：已知四面体ABCD的棱长都相等，E，F，G，H分别为AB，

AC，AD，BC的中点．求证：平面EHG⊥平面FHG.

证明：如图，取CD的中点M，连接HM，MG，FM，则四边形MHEG

为平行四边形．连接EM交HG于O，连接FO.在△FHG中，O为HG

的中点，且FH＝FG，所以FO⊥HG.同理可证FO⊥EM.又HG∩EM＝

O，所以FO⊥平面EHMG.又FO平面FHG，所以平面EHG⊥平面

FHG.

变式训练2：如图，在空间四边形ABDC中，AB＝BC，CD＝DA，E、

F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．:求证：平面BEF⊥平面BDG.

证明：∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，

又EF∥AC，∴EF⊥BG，EF⊥DG.∴EF⊥平面BGD.∵EF平面BEF，∴

平面BDG⊥平面BEF.

题型三：垂直关系的综合应用

例3：如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠BCA

＝90°.点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.

(1)求证：BC⊥平面PAC；

(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．

证明：(1)∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.

又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.(2)存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角．由(1)知BC⊥平面PAC，又∵DE∥BC，∴DE⊥平面PAC.又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE ⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．又∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC.∴∠PAC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时，∠AEP＝90°.故存在点E使得二面角A—DE—P是直二面角．

变式训练3：如图所示，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝2，BC＝2，

PB＝6，求二面角P—BC—A的大小．

解：∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC

＝A，∴BC⊥平面PAC.又PC平面PAC，∴BC⊥PC.

又BC⊥AC，∴∠PCA为二面角P—BC—A的平面角．在Rt△PBC中，∵PB＝6，BC＝2，

∴PC＝2.在Rt△ABC中，∵AB＝2，BC＝2，∴AC＝ 2.∴在Rt△PAC中，cos∠PCA＝

2 2

，

∴∠PCA＝45°，即二面角P—BC—A的大小为45°.

题型四：线面垂直性质定理的应用

例4：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在

A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.

证明：如图所示，连接AB1、B1C、BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD.∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1.

∵BD1平面BDD1，∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥B1C.∴BD1⊥平面AB1C.

∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，

∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.

变式训练3：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、

AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.若G是AB的中点，则E在A1D上什么位置时，能使EG⊥