二次根式

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二次根式

设计者:胡雄

一、教学目标

1.了解二次根式的意义;

2. 掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题;

3. 掌握二次根式的性质,并能灵活应用;

4.通过二次根式的计算培养学生的逻辑思维能力;

二、教学重点和难点

重点:(1)二次根的意义;(2)二次根式中字母的取值范围.

难点:确定二次根式中字母的取值范围.

三、教学方法

启发式、讲练结合.

四、教学过程:

原设计者的活动使用者意见(一)复习提问

1.什么叫平方根、算术平方根?

2.说出下列各式的意义,并计算:

,,,,,,,

通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念.

(二)引入新课

我们已遇到的,,,这样的式子是我们这节课研究的内容,引

出:

新课:二次根式

定义:式子叫做二次根式.

对于请同学们讨论论应注意的问题,引导学生总结:

(1)式子只有在条件a≥0时才叫二次根式,是二次根式吗?呢?

若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零,因此字母范围的限制也是根式的一部分.

(2)是二次根式,而,提问学生:2是二次根式吗?显然不是,因此二次

根式指的是某种式子的“外在形态”.请学生举出几个二次根式的例子,并说明为什么是二次根式.下面例题根据二次根式定义,由学生分析、回答.

例1 x是怎样的实数时,式子在实数范围有意义?

解:略.

说明:这个问题实质上是在x是什么数时,x-3是非负数,式子有意义.例2 下列各式是二次根式,求式子中的字母所满足的条件:

(1);(2);(3);(4)

分析:这个例题根据二次根式定义,让学生分析式子中字母应满足的条件,进一步巩固二次根式的定义,.即:只有在条件a≥0时才叫二次根式,本题已知各式都为二次根式,故要求各式中的被开方数都大于等于零.

解:(1)由2a+3≥0,得 .

(2)由,得3a-1>0,解得 .

(3)由于x取任何实数时都有|x|≥0,因此,|x|+0.1>0,于是,式子是二次根式. 所以所求字母x的取值范围是全体实数.

(4)由-b2≥0得b2≤0,只有当b=0时,才有b2=0,因此,字母b所满足的条件是:b=0.

(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)

1.式子叫做二次根式,实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式.

2.式子中,被开方数(式)必须大于等于零.

(四)练习和作业

练习:

1.判断下列各式是否是二次根式

分析:(2)中,,是二次根式;(5)是二次根式. 因为x 是实数时,x、x+1不能保证是非负数,即x、x+1可以是负数(如x<0时,又如当x <-1时=,因此(1)(3)(4)不是二次根式,(6)无意义.

2.a是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?

五、作业

六、板书设计

七、教学反思

二次根式的化简

设计者:胡雄

一、教学目标

1.掌握二次根式的性质

2.能够利用二次根式的性质化简二次根式

二、教学设计

对比、归纳、总结

三、重点和难点

1.重点:理解并掌握二次根式的性质

2.难点:理解式子中的可以取任意实数,并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式.

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、多媒体

六、师生互动活动设计

复习对比,归纳整理,应用提高,以学生活动为主

七、教学过程

原设计者意图使用者意见一、导入新课

我们知道,式子()表示非负数的算术平方根.

问:式子的意义是什么?被开方数中的表示的是什么数?

答:式子表示非负数的算术平方根,即,且,从而可

以取任意实数.

二、新课

计算下列各题,并回答以下问题:

(1);(2);(3);

(4);(5);(6)

1.各小题中被开方数的幂的底数都是什么数?

2.各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系?

3.用字母表示被开方数的幂的底数,将有怎样的结论?并用语言叙述你的结论.

答:(1);(2);(3);(4);(5);(6)

1.(1),(2),(3)各题中的被开方数的幂的底数都是正数;(4),(5),(6)题中的被开方数的幂的底数都是负数;

2.(1),(2),(3)各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数都分别相等;(4),(5),(6)各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数分别互为相反数.

3.用字母表示(1),(2),(3)各题中被开方数的幂的底数,有

(),

用字母表示(4),(5),(6),(7)各题中被开方数的幂的底数,有

().

一个非负数的平方的算术平方根,等于这个非负数本身;一个负数的平方的算术

平方根,等于这个负数的相反数.

问:请把上述讨论结论,用一个式子表示.(注意表示条件和结论)

答:

请同学回忆实数的绝对值的代数意义,它和上述二次根式的性质有什么联系?

答:

填空:

1.当_________时,;

2.当时,,当时,;

3.若,则________;

4.当时,.

答:

1.当时,;

2.当时,,

当时,;

3.若,则;

例2 化简().

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