二次根式
数学二次根式
数学二次根式
数学二次根式
数学二次根式是一种非常重要的数学公式，用于解决一元二次方程的根。
它是一个完全平方式，其形式如下：ax2+bx+c=0，其中a，b，c
是实数。
该公式可以用于计算一元二次方程的两个解。
数学二次根式也可以用于解决多项式的根。
如果多项式的系数a不等
于0，则可以使用数学二次根式来解决多项式的根。
事实上，任何一元二次方程的解都可以使用数学二次根式来解决。
数学二次根式也可以用于解决一元二次不等式的根。
如果一元二次不
等式的系数a不等于零，则可以使用数学二次根式来解决该不等式的根。
数学二次根式也可以用于解决其他复杂的数学问题，如三角形的面积、圆的面积等。
它可以帮助我们解决许多数学问题，因此在数学中非常
重要。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是数学中的一种常见的根式表达式，它可以表示为$\sqrt{a}$ 的形式，其中 $a$ 是一个非负实数。
在学习二次根式时，常常会涉及到以下几个方面的知识点。
一、二次根式的性质：1. 非负性：对于任何非负实数 $a$，二次根式 $\sqrt{a}$ 都是非负实数。
2. 平方性：相对应的，对于任何非负实数 $a$，二次根式$\sqrt{a}$ 的平方等于 $a$，即 $(\sqrt{a})^2=a$。
3. 两个二次根式可以相等：如果两个二次根式 $\sqrt{a}$ 和$\sqrt{b}$ 相等，那么 $a$ 和 $b$ 必须相等，即$\sqrt{a}=\sqrt{b}$ 可推出 $a=b$。
二、二次根式的运算：1. 加减运算：两个二次根式可以进行加减运算，只要它们的被开方数相同即可。
即 $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}=\sqrt{a \pm b}$。
2. 乘法运算：两个二次根式相乘，可以将它们的被开方数相乘并开方。
即 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$。
3. 除法运算：两个二次根式相除，可以将它们的被开方数相除并开方。
即 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$。
4. 有理化分母：当二次根式的分母不含二次根式时，可以通过有理化分母的方法将其转化为含有二次根式的形式。
有理化分母的基本方法是将分母有理化，即乘以一个适当的形式为 $\sqrt{x}$ 的分子与分母相等的有理数，从而使得分母成为没有二次根式的有理数。
三、二次根式的化简：1.合并同类项：当二次根式相加或相减时，可以合并同类项，即将其中具有相同被开方数的二次根式相加或相减，并保持其他二次根式不变。
2.分解因式：当一个二次根式的被开方数可以分解成互质因子的乘积时，可以利用分解因式的方法进行化简。
3.化简根式：当二次根式的被开方数可以开方时，可以进行化简，即将其转化为整数、分数或者更简单的二次根式的形式。
二次根式最简定义
二次根式最简定义二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
二次根式也可以表示为a的平方根，它是数学中一个重要的概念。
我们来了解一下什么是根式。
根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
√a读作“根号a”，表示a的非负平方根。
根式在数学中经常出现，它可以简化复杂的运算，并且在解决实际问题中也具有重要的作用。
而二次根式就是根式的一种特殊形式。
它的底数a是一个非负实数，指数是2，表示对a进行平方根运算。
二次根式可以简化为√a，其中a是一个非负实数。
二次根式有一些特殊的性质和运算规律。
首先，二次根式的结果总是非负的，即结果大于等于0。
这是因为二次根式是对非负实数进行平方根运算，所以结果必然是非负的。
二次根式具有乘法和除法的运算规律。
对于两个非负实数a和b，有以下运算规律：1. 乘法规律：√(a*b) = √a * √b。
这意味着两个二次根式的乘积等于它们的底数的乘积的二次根式。
2. 除法规律：√(a/b) = √a / √b。
这意味着一个二次根式除以另一个二次根式等于它们的底数的商的二次根式。
除了乘法和除法规律，二次根式还可以进行加法和减法运算。
对于两个非负实数a和b，有以下运算规律：1. 加法规律：√a + √b 不能再进行简化。
2. 减法规律：√a - √b 也不能再进行简化。
需要注意的是，二次根式的运算结果不一定是二次根式。
例如，√2 + √3 就不能再进行简化，但它不是一个二次根式。
在实际问题中，二次根式经常出现。
例如，在几何学中，勾股定理就涉及到二次根式。
勾股定理表达了直角三角形的边长之间的关系，其中就包括二次根式。
又如，在物理学中，速度、加速度等概念的计算中，也经常会使用到二次根式。
二次根式是数学中一个重要的概念，它可以简化复杂的运算，并在解决实际问题中发挥重要作用。
我们需要熟练掌握二次根式的性质和运算规律，才能更好地应用于实际问题的求解中。
二次根式的公式
二次根式的公式
二次函数的求根公式：x=［—b±√（b2—4ac）]/（2a）。
二次根式计算方法：
1、确定运算顺序。
2、灵活运用运算定律。
3、正确使用乘法公式。
4、大多数分母有理化要及时。
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化（但最后结
果必须是分母有理化的）。
6、字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。
7、提公因式时
可以考虑提带根号的公因式。
一般地，形如Va的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。
当a≥0时，Va表示a的算术平方根；当a小于0时，Va的值为纯虚
数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共
轭虚根）。
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
最简二次根式举例
最简二次根式举例
二次根式是一种数学表达式，它由一个二次项和一个常数项组成，可以用来描述一个二次函数的行为。
二次根式的一般形式为：ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，x是未知数。
二次根式的最简形式是把二次项的系数a变为1，即ax²+bx+c=0变为
x²+bx+c=0。
例如，2x²+5x+3=0的最简形式是x²+5x+3=0。
二次根式的最简形式有助于我们更好地理解二次函数的行为，并且可以更容易地求解二次根式的根。
例如，x²+5x+3=0的根可以用公式x=-b±√b²-4ac/2a来求解，其中a=1，b=5，c=3，因此x=-5±√25-4×1×3/2×1= -5±√7/2，即x=-
5±√7/2或x=-2.5±√7/2。
二次根式的最简形式也可以用来求解复杂的二次函数。
例如，4x²+7x+3=0的最简形式是x²+7x+3=0，其解为x=-7±√49-4×1×3/2×1= -7±√7/2，即x=-
7±√7/2或x=-3.5±√7/2。
从上面的例子可以看出，二次根式的最简形式可以帮助我们更容易地求解二次根式的根，从而更好地理解二次函数的行为。
二次根式计算法则
二次根式计算法则
一、二次根式的定义
形如√(a)(a≥0)的式子叫做二次根式。
其中，a叫做被开方数。
二、二次根式的性质
1. (√(a))^2=a(a≥0)
- 例如(√(3))^2=3。
2. √(a^2)=| a|=cases(a(a≥0) -a(a < 0))
- 当a = 5时，√(5^2)=|5| = 5；当a=-3时，√((-3)^2)=| - 3|=3。
三、二次根式的乘法法则
√(a)·√(b)=√(ab)(a≥0,b≥0)
例如：√(2)×√(3)=√(2×3)=√(6)
四、二次根式的除法法则
dfrac{√(a)}{√(b)}=√(dfrac{a){b}}(a≥0,b > 0)
例如：dfrac{√(8)}{√(2)}=√(dfrac{8){2}}=√(4) = 2
五、二次根式的加减法则
1. 先将二次根式化为最简二次根式。
最简二次根式需要满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
- 例如√(12)=√(4×3)=2√(3)（这里2√(3)就是最简二次根式）。
2. 然后合并同类二次根式。
同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
- 例如3√(2)+5√(2)=(3 + 5)√(2)=8√(2)。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在中学阶段学习的数学知识之一、学好二次根式的知识，不仅可以提高我们的数学实力，还能够帮助我们更好地理解和应用数学。
下面是对二次根式的知识点进行归纳总结。
一、二次根式的定义与性质1.二次根式的定义：如果一个数x的平方等于一个有理数a，那么称x是a的二次根，记作√a=x。
其中，a是被开方数，x是二次根。
2.二次根式的性质：二次根式具有以下基本性质：-非负性：对于所有的a≥0，√a≥0。
-唯一性：对于任意一个正数a，二次根√a是唯一确定的。
-传递性：对于任意的a≥0和b≥0，如果√a=√b，那么a=b。
-加减性：对于任意的a≥0和b≥0，有√a±√b=√(a±b)。
-乘除性：对于任意的a≥0和b≥0，有√(a×b)=√a×√b，√(a/b)=√a/√b（其中，b不为零）。
二、二次根式的化简1.因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用乘除性质化简。
2.合并同类项法：将二次根式中相同的根号项合并，然后根据加减性质化简。
三、二次根式的比较大小1.当被开方数相同时，二次根式相等，即√a=√b，当且仅当a=b。
2.当被开方数不同时，可以通过平方的方式来比较大小。
即对于a≥b≥0，有√a≥√b。
四、二次根式的运算1.加减运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的加减运算。
-加法：√a+√b=√(a+b)。
-减法：√a-√b=√(a-b)（需要满足a≥b）。
2.乘法运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的乘法运算。
-乘法：√a×√b=√(a×b)。
3.除法运算：对于任意的a≥0和b>0，可以进行二次根式的除法运算。
-除法：√a/√b=√(a/b)（需要满足b≠0）。
五、二次根式的应用二次根式在实际问题中的应用非常广泛1.几何问题：二次根式可以用来表示长度、面积、体积等物理量，例如计算一个正方形的对角线长度、一个圆的半径等等。
二次根式概念
二次根式概念一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。
即：若，则叫做a的平方根，记作x= 。
其中a叫被开方数。
其中正的平方根被称为算术平方根。
注意事项：被开方数可以是数，也可以是代数式。
被开方数为正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。
[1]最简二次根式最简二次根式条件：被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
二次根式化简一般步骤：把带分数或小数化成假分数；把开方数分解成质因数或分解因式；把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；化去根号内的分母，或化去分母中的根号；约分。
算术平方根非负数的平方根统称为算术平方根，用（a≥0）来表示。
负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。
[1]二次根式的应用主要体现在两个方面：利用从特殊到一般，再由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。
这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。
[1]性质编辑播报任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣；最简形式中被开方数不能有分母存在。
零的平方根是零，即；负数的平方根也有两个，它们是共轭的。
如负数a的平方根是。
有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。
二次根式定义
二次根式定义
二次根式是数学中用来描述平方关系的相关性，它与一次根式不同，仅用一个方程可以描述x和y之间的函数关系，例如：y=ax2 + bx + c。
这里，a、b和c之间有一个关系，该关系可以表示为“c = -
a*x2 + b*x”，也就是二次根式的定义。
二次根式是一种非常有用的方法，主要用于通过一对输入值（x，y）用一个公式来描述它们之间的关系，从而求解一对未知数（a，b，c）的值，也就是二次根式的可解性。
在计算机科学领域，它可以用来模拟许多物理系统。
二次根式还可以用来表达运动物体的轨迹，因为它可以用来表示速度，加速度和外力之间的关系，从而计算物体运动的轨迹。
因此，我们可以看到，二次根式在日常生活和科学研究中都有着重要的作用。
它可以帮助我们更好地理解和分析物理现象，从而更快地解决实际问题。
二次根式
二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
满足两个条件：一、有二次根号；二、被开方数是非负实数 2.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a23.二次根式的四则运算：（1）乘法：a ·b =ab （a ≥0，b ≥0） （2）除法：ba b a=（a ≥0，b ≥0） 若除得的商的被开方数中含有完全平方数（式），应对其进行化简成最简二次根式，即1、被开方数中不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（3）加减：先将二次根式化成最简二次根式，对被开方数相同的的二次根式进行相加减（合并同类项）4、常见考点：求平方根、立方根；二次根式的定义；二次根式的性质；二次根式的运算法则；二次根式的化简；二次根式的运算考点1： 平方根、立方根 相关知识：1．任何非负数都有平方根：正数有两个平方根，它们互为相反数，正数a 的平方根表示为a ±；0的平方根为0；负数没有平方根.2．非负数a 的非负平方根叫做算术平方根，表示为a .3．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根为0. 任何数a 的立方根表示为3a .相关试题1. （2011内蒙古乌兰察布，1，3分）4 的平方根是（ ） A . 2 B . 16 C. ±2 D .±16 【答案】C2 .（2011湖南怀化，1，3分）49的平方根为A ．7 B.－7 C.±7 D.±7 【答案】Ca （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；3 （2011山东日照，1，3分）(－2)2的算术平方根是（ ）（A ）2 （B ） ±2 （C ）－2 （D ）2 【答案】A4. （2011江苏泰州，9，3分）16的算术平方根是 ． 【答案】45. （2011江苏盐城，9，3分）27的立方根为 ▲ ． 【答案】36. (2011江苏南京，1，2分)9的值等于A ．3B ．－3C ．±3D ．3【答案】A7 .（2011江苏南通，3，3分）计算327的结果是 A ．±33 B. 33 C. ±3 D. 3【答案】D.8. （2011江苏无锡，11，2分）计算：38 = ____________． 【答案】29 .（2011浙江杭州，1，3）下列各式中，正确的是（ ）A ． 2(3)3-=-B ．233-=-C ．2(3)3±=±D ．233=± 【答案】B10. （2011广东茂名，12，3分）已知：一个正数的两个平方根分别是22-a 和4-a ，则a 的值是 ．【答案】2考点2： 二次根式的定义相关知识：一般地，形如a （a ≥0）的代数式叫做二次根式。
二次根式
3、二次根式的双重非负性
例7 已知实数 x、y、a 满足：
x y 8 8 x y 3x y a x 2 y a 3
x、y、a .问：
以 为三边长的线段能否组成一个三角形？如果能，请 求出三角形的周长；如果不能，请说明理由.
3、二次根式的双重非负性
1 x 2 x
的图像上，
变式：如果代数式 m
有意义，那么在平面直角坐
象限.
x2 6 x m
标系中，点 P m, n 的位置在第 例4 无论x取任何实数，代数式 取值范围为 .
都有意义，则m的
2、二次根式有意义的条件
例5 设 a 8 x , b 3x 4, c x .2 a、b、c 都有意义？ （1）当x取什么实数时， （2）若a、b、c 为Rt△ABC的三边长，求x的值.
a a a 0, b 0 b b
n
3、二次根式的加减： 先化简，再求值 4、根式运算法则： a b ab ,
n n n
a na n b b
最简二次根式：
0.2 x ,
12 x 12 y ,
x2 y2 ,
5ab 2
同类二次根式：
在
ab b 1 b , , , 3 中，与 a3b是同类二次根式的是 2 a ab a
a、b、c ，且 a、b、c 例8 已知△ABC的三边长分别为 满足a 2 6a 9 a b 1 c 2 5 0 .试判断△ABC的形 状.
几个非负数的和为0，则每个非负数都为0. 初中常见的三大非负数： （1）绝对值； （2）偶次方； （3）算术平方根.
变式1：若 a b+1 与 a 2b 4 互为相反数
二次根式的知识点汇总
二次根式的知识点汇总二次根式是指含有平方根（开方）的代数式。
学习和掌握二次根式的知识点，对于进一步理解和应用高等数学和物理学等学科内容至关重要。
以下是二次根式的知识点汇总：一、基本概念与性质：1.平方根与二次根式的概念：平方根的定义及其在代数中的性质，二次根式的定义与示例。
2.约分与化简：二次根式的约分、化简及约分规则。
3. 同类二次根式的合并与分解：同类二次根式的合并与分解法则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm\sqrt{b})^2}$。
二、四则运算：1. 加减法：同类二次根式的加减法规则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm \sqrt{b})^2}$。
2. 乘法：二次根式的乘法规则，如$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。
3. 除法：二次根式的除法规则，如$\frac{a+b}{c+d}=\frac{(a+b)(c-d)}{(c+d)(c-d)}$。
4.有理化方法：如分子、分母都有二次根式时的有理化方法，分别是乘以共轭式和有理化因式。
三、二次根式的化简与证明：1.合并同类项：在二次根式的化简中，将同类项合并为一个二次根式。
2.分解因式：在二次根式的化简中，将二次根式分解为若干个二次根式相乘的形式。
3.公因式提取：在二次根式的化简中，提取公因式使其化简为整数或其他形式。
四、二次根式的应用：1.代数方程的解：使用二次根式求解一元二次方程。
2.几何意义：二次根式在几何中的应用，例如计算三角形的边长、面积等。
3.物理问题：通过建立代数模型和运用二次根式，解决物理问题，如自由落体、速度、力等。
五、常见的二次根式：1. $\sqrt{a^2}=，a，$，其中$a$表示任意实数。
2. $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，其中$a$和$b$分别表示任意非负实数。
二次根式的概念和性质
【答案】
2 ，9 5
【解析】
2a 2b c 2a 2b c 4 2 5b c 5a 5b c 5a 25 5
3
，
3 12 3 3 3 12 9 36 3 6 9
12、 （2013 初二上期末大兴区）若最简二次根式
a _________
1 1 5 1 5； 16 4 16 4
4
2
4， ；
7、估计 88 的大小应( ) A．在 9.1～9.2 之间 B．在 9.2～9.3 之间 C．在 9.3～9.4 之间 D．在 9.4～9.5 之间 【答案】 C 【解析】 设 88 9 x( x是小数部分) ；则有： 9 x 88 ，即： x2 18x 7 ，得 18x 7 ， x 0.38 ，
二次根式比较大小的方法 （1） a b 0 a b （2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比 较． （3）估算法 （4）分子有理化 （5）倒数法 七、二次根式的乘除 二次根式的乘除法
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二次根式
二次根式的乘法法则： a b ab （ a 0 ， b 0 ） ． 二次根式的除法法则：
3 2 2 a 4与 6a 2 1 是同类二次根式，则 2 3
【答案】 1 【解析】 该题考查的是二次根式． 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据题意可列： a2 4 6a2 1 解得： a 1
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是代数中常见的一种形式，它包括了平方根和其他次方根。
在数学中，我们经常需要对二次根式进行各种运算。
本文将介绍二次根式的基本运算方法和相关概念。
一、二次根式的定义二次根式可以表示为√a的形式，其中a为非负实数。
根号下的数称为被开方数，它代表了一个数的平方根。
二次根式也可以写为指数形式，如a的1/2次方或a的1/3次方。
二、二次根式的基本运算1. 二次根式的加减法对于同类项的二次根式，可以对它们的被开方数进行加减运算。
例如，√2 + √3可以简化为√(2 + 3)，即√5。
2. 二次根式的乘法二次根式的乘法运算需要注意求根的法则。
例如，√2 × √3可以化简为√(2 × 3)，即√6。
3. 二次根式的除法同理，对于二次根式的除法运算，我们需要将除数和被除数的根号下的数相除，并合并同类项。
例如，√6 ÷ √2 可以化简为√(6 ÷ 2)，即√3。
三、二次根式的化简有时候，我们需要将二次根式进行进一步的化简。
以下是几种常见的化简方式：1. 化简平方根如果一个二次根式的被开方数可以被完全平方数整除，那么我们可以化简为一个整数。
例如，√4可以化简为2。
2. 合并同类项对于具有相同根号下数的二次根式，我们可以合并它们，得到一个更简洁的表达式。
例如，√2 + √2可以合并为2√2。
3. 有理化分母当二次根式出现在分母中时，我们通常需要对分母进行有理化。
有理化的目的是将分母化为有理数，方便进行运算。
例如，将1/√3有理化分母，可以得到√3/3。
四、二次根式的应用二次根式在代数中有着广泛的应用。
它常出现在几何学、物理学等领域的计算中。
在几何学中，二次根式可以表示线段长度、面积以及体积等。
例如，计算某个多边形的面积时，可能需要计算边长的二次根式。
在物理学中，二次根式可以表示物理量的大小。
例如，物体的质量、速度等都可以用二次根式来表示。
总结：二次根式是代数中常见的一种形式，它包括平方根和其他次方根。
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二次根式设计者：胡雄一、教学目标1．了解二次根式的意义；2. 掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题；3. 掌握二次根式的性质，并能灵活应用；4．通过二次根式的计算培养学生的逻辑思维能力；二、教学重点和难点重点：(1)二次根的意义；(2)二次根式中字母的取值范围．难点：确定二次根式中字母的取值范围．三、教学方法启发式、讲练结合．四、教学过程：原设计者的活动使用者意见(一)复习提问1．什么叫平方根、算术平方根？2．说出下列各式的意义，并计算：，，，，，，，通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念．(二)引入新课我们已遇到的，，，这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：新课：二次根式定义：式子叫做二次根式.对于请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：（1）式子只有在条件a≥0时才叫二次根式，是二次根式吗？呢？若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分.（2）是二次根式，而，提问学生：2是二次根式吗？显然不是，因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”．请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式．下面例题根据二次根式定义，由学生分析、回答．例1 x是怎样的实数时，式子在实数范围有意义？解：略．说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子有意义．例2 下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：（1）；（2）；（3）；（4）分析：这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固二次根式的定义，.即：只有在条件a≥0时才叫二次根式，本题已知各式都为二次根式，故要求各式中的被开方数都大于等于零．解：（1）由2a+3≥0，得 .（2）由，得3a-1＞0，解得 .（3）由于x取任何实数时都有|x|≥0，因此，|x|+0.1＞0，于是，式子是二次根式. 所以所求字母x的取值范围是全体实数．(4)由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0．(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)1．式子叫做二次根式，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式．2．式子中，被开方数(式)必须大于等于零．(四)练习和作业练习：1．判断下列各式是否是二次根式分析：（2）中，，是二次根式；（5）是二次根式. 因为x 是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数（如x＜0时，又如当x ＜-1时＝，因此（1）（3）（4）不是二次根式，（6）无意义.2．a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？五、作业六、板书设计七、教学反思二次根式的化简设计者：胡雄一、教学目标1.掌握二次根式的性质2.能够利用二次根式的性质化简二次根式二、教学设计对比、归纳、总结三、重点和难点1.重点：理解并掌握二次根式的性质2.难点：理解式子中的可以取任意实数，并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、多媒体六、师生互动活动设计复习对比，归纳整理，应用提高，以学生活动为主七、教学过程原设计者意图使用者意见一、导入新课我们知道，式子（）表示非负数的算术平方根．问：式子的意义是什么？被开方数中的表示的是什么数？答：式子表示非负数的算术平方根，即，且，从而可以取任意实数．二、新课计算下列各题，并回答以下问题：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）1．各小题中被开方数的幂的底数都是什么数？2．各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系？3．用字母表示被开方数的幂的底数，将有怎样的结论？并用语言叙述你的结论．答：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）1．（1），（2），（3）各题中的被开方数的幂的底数都是正数；（4），（5），（6）题中的被开方数的幂的底数都是负数；2．（1），（2），（3）各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数都分别相等；（4），（5），（6）各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数分别互为相反数．3．用字母表示（1），（2），（3）各题中被开方数的幂的底数，有（），用字母表示（4），（5），（6），（7）各题中被开方数的幂的底数，有（）．一个非负数的平方的算术平方根，等于这个非负数本身；一个负数的平方的算术平方根，等于这个负数的相反数．问：请把上述讨论结论，用一个式子表示．（注意表示条件和结论）答：请同学回忆实数的绝对值的代数意义，它和上述二次根式的性质有什么联系？答：填空：1．当_________时，；2．当时，，当时，；3．若，则________；4．当时，．答：1．当时，；2．当时，，当时，；3．若，则；例2 化简（）．分析：根据二次根式的性质，当时，．解．例3 化简：（1）（）；（2）（）．分析：根据二次根式的性质，当时，．解（1）．（2）．注意：（1）题中的被开方数，因为，所以．（2）题中的被开方数，因为，所以．这里的取值范围，在已知条件中没有直接给出，但可以由已知条件分析而得出．例4 化简．分析：根据二次根式的性质，有．所以要比较与3及1与的大小以确定及的符号，然后再进行化简．解因为，，所以，．所以．三、课堂练习1．求下列各式的值：（1）；（2）．2．化简：（1）；（2）；（3）（）；（4）（）．3．化简：（1）；（2）；（3）；（4）；四、小结1．二次根式的意义是，所以，因此，其中可以取任意实数．2．化简形如的二次根式，首先可把写成的形式，再根据已知条件中字母的取值范围，确定其结果．五、作业1．化简：（1）；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）；（6）（，）；2．化简：（1）；（2）（）；（3）（，）．板书设计教学反思二次根式的乘法设计者：胡雄一、教学目标1．使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．2．会进行简单的二次根式的乘法运算．二、教学重点和难点1．重点：会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行简单的二次根式的乘法运算．2．难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用．三、教学方法从特殊到一般总结归纳的方法，类比的方法，讲授与练习结合法．四、教学手段利用投影仪．五、教学过程原设计者意图使用者意见(一)引入新课观察下面的例子：于是可得到：又如：类似地可以得到：(二)新课由前面所举特殊的例子，引导学生总结出：一般地，有(a≥0，b≥0)．积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．例1 化简：（1）（2）（3）（4）分析：本题需要用积的算术平方根公式进行化简，题目中的被开方数都是具体数字，学生便于理解，在讲完例2后可以总结化简的方法．解：（1）（2）（3）（4）说明：①(a≥0，b≥0)可以推广为(a≥0，b≥0，c≥0)．②这个小题与本章章头图与章序言的内容有联系，解答了章序言中提出的一个问题③(4)小题要首先用平方差公式分解成积的形式，才可以用积的算术平方根公式进行化简．④通过例2可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简．(三)小结1．本节课讲了积的算术平方根的性质(a≥0，b≥0)．通过分式的应用，让学生进一步总结，为什么必须有a≥0、b≥0这个条件，而没有这个条件上述性质不成立．2．利用积的算术平方根的性质，化简二次根式的方法．(四)练习1．化简：（1）；（2）；（3）；（4）；2．计算：（1）；（2）；（3）；（4）六、作业七、板书设计教学反思二次根式的除法设计者：胡雄一、教学目标1．掌握商的算术平方根的性质，能利用性质进行二次根式的化简与运算；2．会进行简单的二次根式的除法运算;3．使学生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解决二次根式的化简及近似计算问题；二、教学重点和难点1．重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算，还要使学生掌握二次根式的除法采用分母有理化的方法进行．2．难点：二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用．三、教学方法从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，在学习了二次根式乘法的基础上本小节内容可引导学生自学，进行总结对比．四、教学手段利用投影仪．五、教学过程原设计者意图使用使用者意见(一) 引入新课学生回忆及得算数平方根和性质：（a≥0，b≥0）是用什么样的方法引出的？(上述积的算术平方根的性质是由具体例子引出的．)学生观察下面的例子，并计算：由学生总结上面两个式的关系得：类似地，每个同学再举一个例子，然后由这些特殊的例子，得出：(二)新课商的算术平方根．一般地，有（a≥0，b＞0）商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．让学生讨论这个式子成立的条件是什么？a≥0，b＞0，对于为什么b＞0，要使学生通过讨论明确，因为b＝0时分母为0，没有意义．引导学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a除以正数b求商，再开方求商的算术平方根，等号右边是先分别求被除数、除数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的商，根据商的算术平方根的性质可以进行简单的二次根式的化简与运算．例1 化简：（1）；（2）；解∶（1）（2）说明：如果被开方数是带分数，在运算时，一般先化成假分数；本节根号下的字母均为正数.例2 化简：（1）；(2)；解：（1）（2）让学生观察例题中分母的特点，然后提出，的问题怎样解决？再总结：这一小节开始讲的二次根式的化简，只限于所得结果的式子中分母可以完全开的尽方的情况，的问题，我们将在今后的学习中解决.学生讨论本节课所学内容，并进行小结．(三)小结1．商的算术平方根的性质．(注意公式成立的条件)2．会利用商的算术平方根的性质进行简单的二次根式的化简．(四)练习1．化简：（1）；（2）；（3） .2．化简：（1）；（2）；(3)六、作业七、板书设计教学反思二次根式的加减法设计者：胡雄一、素质教育目标1．使学生了解最简二次根式的概念和同类二次根式的概念．2．能判断二次根式中的同类二次根式．3．会用同类二次根式进行二次根式的加减．二．教学重点二次根式的加减法运算．三．教学难点二次根式的化简．四、课时安排2课时五、教具学具准备投影片第一课时（－）教学过程原设计者意图使用者意见【复习引入】什么样的二次根式叫做最简二次根式？（由学生回答）的形式与实质是什么？可以化简为．继续提问：，可以化简吗？，可以化简吗？【讲解新课】1．复习整式的加减运算计算：（1）；（2）；（3）．小结：整式的加减法，实质上就是去括号和合并同类项的运算．2．例题（1）计算．解：．（2）计算．解：．小结：（1）如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算．（2）如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再进行加减运算．定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．3．例题例1 下列各式中，哪些是同类二次根式？，，，，，，．解：略．例2 计算．解：．例3 计算．解：．二次根式加减法的法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（可对比整式的加减法则）例4 计算：（1）．解：．（2）．解：．（二）随堂练习计算：（1）；（2）；（3）．（三）总结、扩展同类二次根式的定义．二次根式的加减法与整式的加减法进行比较，强调注意的问题．（四）布置作业（五）板书设计标题1．复习题5．例题（1）、（2）、2．整式的加减例题（3）、（4）3．例题（1）、（2）6．练习题4．同类二次根式7．小结教学反思二次根式的加减法（第二课时）设计者：胡雄原设计者意图使用者意见【复习提问】1．同类二次根式的定义．2．二次根式加减法的法则．3．加减运算中注意的问题．【例题】例1 判断：（1）；（）（2）；（）（3）；（）（4）．（）（要求学生找出错误的原因，能进行加减运算的，要加以改正．）例2计算：（1）．解：．（2）．解：．（3）．解：．（4）．解：．小结：二次根式加减运算的步骤：（1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号．（2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简．（3）合并同类二次根式．例3 当，时，求代数式的值．解：．当时，时，原式．例4 已知，求下列各式的近似值（精确到0.01）：。