单调性奇偶性

函数单调性奇偶性判断证明专题训练

1．已知函数2

()2f x x x =-+．证明：()f x 在[1,)+∞上是减函数；

2

．证明：函数()f x =[1,)+∞上是增函数．

3．判断函数1

()f x x x

=+在(1,0)-上的单调性．

4．已知函数2

()1x

f x x =+，用定义证明()f x 在(1,1)-上是增函数．

5．讨论2

()(0,1ax

f x a a x

=≠+I 为常数）在区间(0,1)上的单调性．

6．设函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的实数x ，y ∈R ，有()()()f x y f x f y +=⋅． （1）求(0)f 的值；（2）证明：()f x 在R 上是减函数．

7．已知函数()f x 对任意x 、y ∈R ，总有()()()f x f y f x y +=+，且当0x >时，()0f x <， 求证：()f x 是R 上的单调递减函数

8．已知函数2()1

x

f x x =

+，求证：函数()f x 是奇函数．

9．判断下列函数的奇偶性：

（1）3

1()f x x x =+；（2）2()f x x x =+；（3）222,0

()0,02,0

x x f x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪--<⎩

．

10．判定并证明下列函数的奇偶性． （1）()22x

x

f x -=+；（2）2

1()log 1x

f x x

-=+，其中(1,1)x ∈-．

11．已知函数()y f x =不恒为0，且对于任意x 、y ∈R ，都有()()()f x f y f x y +=+，求证：()y f x =是奇函数．

12．已知函数()log (1)log (1),0a a f x x x a =+-->且1a ≠. （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明．

13．设4

()f x x x

=+

（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在（0，2]和[2，+∞）的单调性，并用定义证明．

14．设函数14

()2

x

x

f x +=

． （1）判断()f x 的奇偶性．（2）用定义法证明()f x 在（0，+∞）上单调递增．

15．已知函数2

2

()1

px f x x +=

+（其中p 为常数，x ∈[﹣2，2]），若对任意的x ，都有()()f x f x =- （1）求p 的值；（2）用定义证明函数()f x 在（0，2）上是单调减函数；

16．已知函数1()log (0,1

a

mx

f x a x -=>- 且1)a ≠的图象关于原点对称． （1）求m 的值； （2）判断函数()f x 在（1，+∞）上的单调性；

17．已知函数41()2

x x

f x +=和函数()22x x

g x -=- （1）判断()

()()

f x h x

g x =的奇偶性，并判断和证明lg ()y

h x =在定义域上的单调性；

18．设函数()y f x =的定义域为R ，对任意实数x ，y 都有()()()f x f y f x y +=+，当0x >时()0f x <且(3)4f =-．（1）求证：()y f x =为奇函数；（2）在区间[9,9]-上，求()y f x =的最值．

19．已知函数4

2

()lg(1)lg(1)2f x x x x x =-+++-

（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）设1－x 2＝t ，把()f x 表示为关于t 的函数()g t 并求其值域．

20. 已知函数()f x 在(1,1)-上有意义，且对任意,(1,1)x y ∈-满足()()(

)1x y

f x f y f xy

++=+. （Ⅰ）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）若(1,0)x ∈-时，()0f x >，则能否确定()f x 在(1,1)-的单调性？若能，请确定，并证明你的结论，若不能说明理由. 答案：

2．证明如下：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1

x 22－1

－

x 21－1

＝

x 22－x 2

1

x 22－1＋x 21－1

＝

x 2－x 1x 2＋x 1x 22－1＋

x 21－1

.∵1≤x 10，x 2－x 1>0, x 22－1＋x 21－1>0.∴f(x 2)－f(x 1)>0，

即f(x 2)>f(x 1)，故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．

3．解：任取x 1、x 2∈（﹣1，0），且x 1＜x 2；则f （x 1）﹣f （x 2）=（x 1+

）﹣（x 2+

）=

，

∵﹣1＜x 1＜x 2＜0，∴x 1﹣x 2＜0，x 1x 2﹣1＜0，x 1x 2＞0；∴f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＜f （x 2）； ∴f （x ）在（﹣1，0）上是减函数．

4．证明：设﹣1＜x 1＜x 2＜1，则f （x 1）﹣f （x 2）=

﹣

=

，

∵﹣1＜x 1＜x 2＜1，∴1﹣x 1x 2＞0，x 1﹣x 2＜0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，∴f （x 1）＜f （x 2）， ∴f （x ）在（一1，1）上是增函数． 5．解：由于x ∈（0，1），可得

=

∵

≥2

=2，∴当且仅当

=x ，即x=1时

有最小值

2由此可得t=在x=1时有最大值 函数t=在区间（0，1）上是增函数，在区间（1，+∞）上是减函数∴当a

＞0时，函数f （x ）=在区间（0，1）上是增函数；当a ＜0时，函数f （x ）=在区间（0，1）上是减函数

6．【解】 (1)∵x ，y ∈R ，f(x ＋y)＝f(x)·f(y)，当x ＜0时，f(x)＞1，令x ＝－1，y ＝0，则f(－1)＝f(－1)f(0)． ∵f(－1)＞1，∴f(0)＝1.(2)证明：若x ＞0，－x ＜0，∴f(x －x)＝f(0)＝f(x)f(－x)，∴f(x)＝

1

f －x

∈(0,1)，故x ∈R ，f(x)

＞0.任取x 1＜x 2，则f(x 2)＝f(x 1＋x 2－x 1)＝f(x 1)f(x 2－x 1)．∵x 2－x 1＞0，∴0＜f(x 2－x 1)＜1，∴f(x 2)＜f(x 1)．故f(x)在R 上是减函数．

7．证明：设x 1和x 2是任意的两个实数，且x 10，因为x>0时，f(x)<0，所以f(x 2－x 1)<0.又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，所以f(x 2)＝f[(x 2－x 1)＋x 1]＝f(x 2－x 1)＋f(x 1)，所以f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2－x 1)<0，所以f(x 2)

8．解： f （x ）的定义域为R ，关于原点对称，并且f （﹣x ）=

=﹣f （x ），∴函数f （x ）是奇函数．

9．解：（1）因为f （x ）的定义域关于原点对称，又f （x ）=（﹣x ）3+

=﹣（x 3+）=﹣f （x ），所以f （x ）为奇函数；

（2）f （x ）=x 2+x 定义域为R ，f （﹣x ）=（﹣x ）2+（﹣x ）=x 2﹣x≠f （x ），x 2﹣x≠﹣f （x ）；所以f （x ）是非奇非偶的函

数；（3）f （x ）=定义域为R ；x ＞0，﹣x ＜0，f （﹣x ）=﹣（﹣x ）2﹣2=﹣x 2﹣2=﹣（x 2+2）=﹣f （x ）；

x ＜0，则﹣x ＞0，f （﹣x ）=（﹣x ）2+2=x 2+2=﹣（﹣x 2﹣2）=﹣f （x ）；x=0，f （﹣x ）=0=﹣f （x ）；所以f （x ）是奇函数．

10．（1）证明：因为R x ∈，定义域关于原点对称。()22()x x f x f x --=+=所以函数()f x 在R 上是偶函数．（2）

证明：因为(1,1)x ∈-，定义域关于原点对称。

12

22111()log log ()log ()111x x x

f x f x x x x

-+---===-=--++所以函数()f x 在(1,1)-上是奇函数．

11．【证明】 在f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)中，令x ＝y ＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0.

令y ＝－x ，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以y ＝f(x)是奇函数．

12．解：(1)由题得，使解析式有意义的

x 范围是使不等式组⎩⎨

⎧

x ＋1>0，

1－x>0

成立的x 范围，解得－1＜x ＜1，所以函数f(x)

的定义域为{x|－1＜x ＜1}．(2)函数f(x)为奇函数，证明：由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x)＝－log a (1＋x)＋log a (1－x)＝－[log a (1＋x)－log a (1－x)]＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．

13．解：（1）由

知，定义域为{x|x≠0}显然，定义域关于原点对称．

=

=﹣f （x ）所以．f （x ）为奇函数（2）①任取x 1＜x 2且x 1，x 2∈（0，2]