勒让德(legendre)多项式及其性质
legendre多项式推导
legendre多项式推导
摘要：
1.Legendre 多项式的定义和基本概念
2.Legendre 多项式的性质和应用
3.Legendre 多项式的推导过程
正文：
Legendre 多项式是数学中的一种多项式，它的定义和基本概念如下：Legendre 多项式是指形如P_n(x) = (x - x_1)(x - x_2)...(x - x_n) 的多项式，其中x_1, x_2,..., x_n 是多项式的根。
它也可以写成如下形式：P_n(x) = A_n x^n + A_{n-1} x^{n-1} +...+ A_1 x + A_0
其中A_n, A_{n-1},..., A_1, A_0 是多项式的系数。
Legendre 多项式具有很多重要的性质和应用，比如：
1.Legendre 多项式的根是均匀分布在实数轴上的。
2.Legendre 多项式的系数A_n, A_{n-1},..., A_1, A_0 都可以通过Vieta 定理求出。
3.Legendre 多项式在数值分析和计算机图形学中有广泛应用，比如在求解数值积分和计算曲线积分时，常常使用Legendre 多项式作为基函数。
legendre多项式生成函数
legendre多项式生成函数介绍在数学中，Legendre多项式是以法国数学家阿道夫·雅克·勒让德（Adrien-Marie Legendre）的名字命名的一类多项式。
这些多项式广泛应用于物理学、工程学和应用数学中，具有许多重要的性质。
本文将详细介绍Legendre多项式的生成函数及其相关内容。
生成函数的定义生成函数是一种将数列与函数联系起来的工具，通过将一个数列表示为幂级数形式，可以更方便地进行求解和分析。
Legendre多项式的生成函数是其独特之处，也是引人注目的。
Legendre多项式的定义Legendre多项式可以使用递归关系定义。
设Pn(x)是n次Legendre多项式，则其定义如下：•P0(x) = 1•P1(x) = x•Pn(x) = [(2n-1)xPn-1(x) - (n-1)Pn-2(x)] / n生成函数的定义Legendre多项式的生成函数可以表示为：G(x, t) = 1 / (1 - 2xt + t2)0.5其中，t是一个常数。
生成函数的性质生成函数提供了一种方便的方法来研究Legendre多项式的各种性质。
下面列举了一些生成函数的常见性质。
构造递归关系通过生成函数，我们可以推导出Legendre多项式的递归关系。
根据生成函数的定义，我们可以将G(x, t)展开为幂级数形式：G(x, t) = 1 + 2xt - (t2)x2 + (3t2)x3 - (3t3)x4 + …观察这个幂级数的系数，我们可以得到Legendre多项式的递归关系。
计算Legendre多项式的系数由于生成函数具有幂级数形式，我们可以通过展开生成函数，逐项提取Legendre多项式的系数。
根据生成函数的定义，我们可以得到：G(x, t) = (1 - 2xt + t2)-0.5 = 1 + C1x + C2x^2 + C3x^3 + …通过对比展开式和Legendre多项式的定义，我们可以依次得到C1，C2，C3等系数，从而计算Legendre多项式的值。
第六章 勒让德多项式
y1 ( x ) = ∑ m = 0 a2 m x 2 m ,
∞
y2 ( x ) = a1 x + a3 x 3 + a5 x 5
西安理工大学应用数学系
不妨取n为非负整数，那么对应多项式结构如何？ 不妨取 为非负整数，那么对应多项式结构如何？这时 为非负整数
an+2 = an+4 =⋯= 0 ak ≠ 0, k ≤ n
( n − 1)( n + 2) a3 = − a1 3⋅ 2 ( n − 3)( n + 4) ( n − 1)( n − 3)( n + 2)( n + 4) a5 = − a3 = a1 5⋅4 5!
西安理工大学应用数学系
( n − 3)( n + 4) ( n − 1)( n − 3)( n + 2)( n + 4) a5 = − a3 = a1 5⋅4 5!
y2 ( x ) 中有
西安理工大学应用数学系
( k − n)( k + n + 1) ak + 2 = ak k = 0,1, 2,⋯ ( k + 1)( k + 2) m n( n − 2)⋯ ( n − 2 m + 2)( n + 1)( n + 3)⋯ ( n + 2 m − 1) a2 m = ( −1) a0 (2m )! m ( n − 1)( n − 3)⋯( n − 2m + 1)( n + 2)( n + 4)⋯( n + 2m ) a2 m +1 = ( −1) a1 (2m + 1)!
( k − n)( k + n + 1) ak + 2 = ak ( k + 1)( k + 2) ( k + 1)( k + 2) ak = ak + 2 k ≤ n−2 ( k − n)( k + n + 1) n( n − 1) an − 2 = − an 2(2n − 1) ( n − 2)( n − 3) n( n − 1)( n − 2)( n − 3) an − 4 = − an − 2 = an 4(2n − 3) 2 ⋅ 4(2n − 1)(2n − 3) n( n − 1)( n − 2)⋯( n − 2m + 1) m an − 2 m = ( −1) an 2 ⋅ 4⋯ ⋅ 2m (2n − 1)⋯ (2n − 2m + 1)
数理方程勒让德多项式
35 cos
3
30 cos
)
P6
(x)
1 16
(231x6
315x4
105x 2
5)
1 512
(231cos
6
126 cos
4
105 cos
2
50)
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勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 6.1
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计算 Pl (0) ，这应当等于多项式 Pl (x) 的常数项．
不同阶的勒让德多项式在区间 [1,1] 上满足
1
1 Pn
( x)Pl
(x)dx
N 2 l n,l
(2.2)
其中
n,l
1 0
(n l) (n l)
当
nl
时满足
1
1Pn (x)Pl (x)d，x 0
(2.3)
称为正交性． 相等时可求出其模
Nl
1 1
Pl2
(
x) dx
2 2l 1
(l 0,1,2, )
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(1
x2
)
d2 y dx2
2x
dy dx
l
(l
1)
1
m2 x2
y
0
（1.4）
若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与
无关，则 m 0 ，即有
1
sin
d
d
sin
d
d
l(l
1)
0
（1.5）
称为 l 阶勒让德（legendre）方程．
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同样若记 arc cos x ， y(x) (x)
勒让德多项式
从而得到
1
ห้องสมุดไป่ตู้
Θ
sin θ
d dΘ (sin θ ) + n( n + 1) sin 2 θ = m 2 dθ dθ
( 6. 4 )
( 6. 5 )
1 d 2Φ + m2 = 0 2 Φ dϕ
（2 勒让德多项式的一些性 质； ）
有关的定解问题。 （3 会用勒让德多项式求解 有关的定解问题。 ）
§6.1
勒让德方程的引出
u xx + u yy + uzz = 0
在第四章中， 域内的迪利克雷问题： 在第四章中，我们用格 林函数法解决了球形区 域内的迪利克雷问题：
{
球函数
z
θ
●
拉普拉斯方程 第一类边界条件
数学物理方法
第六章 勒让德多项式 ( Legendre polynomials )
勒让德（ 勒让德（1752～1833） ～ ） Legendre . Adrien-Marie 阿德利昂·玛利 埃 勒让德 公元1752─公元1833 为法国数学家， 勒让德（ 1752─公元1833） 阿德利昂 玛利·埃·勒让德（公元1752─公元1833）为法国数学家，生于 玛利 巴黎，卒于巴黎。 1770年毕业于马扎兰学院 1775年任巴黎军事学院数学 年毕业于马扎兰学院。 巴黎，卒于巴黎。约1770年毕业于马扎兰学院。1775年任巴黎军事学院数学 教授。1782年以 关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金， 年以《 教授。1782年以《关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金，次年当 选为巴黎科学院院士。1787年成为伦敦皇家学会会员 年成为伦敦皇家学会会员。 选为巴黎科学院院士。1787年成为伦敦皇家学会会员。 曾与拉格朗日（ ）、拉普拉斯 拉普拉斯（ 勒让德 (Legendre) 曾与拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯（Laplace） 并列为法国数学界的“ 世纪末19世纪初法国数学的复兴， 并列为法国数学界的“三 L ”，为18世纪末19世纪初法国数学的复兴，做出了 ， 18世纪末19世纪初法国数学的复兴 卓越的贡献。 卓越的贡献。
legendre多项式推导
legendre多项式推导【最新版】目录1.Legendre 多项式的定义和基本概念2.Legendre 多项式的性质和应用3.Legendre 多项式的推导过程4.Legendre 多项式的扩展和推广正文Legendre 多项式是数学中的一种多项式，它的定义和基本概念如下： Legendre 多项式是关于变量 x 的 n 阶多项式，其通项公式为：Pn(x) = (x - x1)(x - x2)...(x - xn)，其中 x1, x2,..., xn 是 n 个不同的实数。
Legendre 多项式具有许多重要的性质和应用，例如：- Legendre 多项式的根为 x1, x2,..., xn，这些根是多项式的解。
- Legendre 多项式的系数具有特殊的性质，可以用来求解其他数学问题。
- Legendre 多项式可以用来表示其他数学函数，例如三角函数、指数函数和对数函数等。
Legendre 多项式的推导过程比较复杂，需要涉及到一些高级的数学概念和方法，例如代数余子式、行列式和递推公式等。
具体的推导过程如下：首先，根据代数余子式的定义，可以得到 Legendre 多项式的余子式表示：Pn(x) = a0x^n + a1x^(n-1) +...+ an-1x + an，其中 a0, a1,..., an-1, an 是多项式的系数。
然后，根据行列式的定义，可以得到 Legendre 多项式的系数行列式表示：Pn(x) = |x-x1| |x-x2|...|x-xn|，其中|x-x1|，|x-x2|，..., |x-xn|是 x-x1, x-x2,..., x-xn 的绝对值。
最后，根据递推公式，可以得到 Legendre 多项式的递推公式表示：Pn(x) = (x - x1)Pn-1(x) - (x - x2)Pn-2(x) +...+ (x - xn-1)P1(x) - (x - xn)P0(x)，其中 Pn-1(x), Pn-2(x),..., P1(x), P0(x) 是 Legendre 多项式的前 n-1 项、前 n-2 项，...，第 1 项和第 0 项。
勒让德多项式的性质
三、正交性 1 §14.2 勒让德多项式的性质用途：可计算含 pl (x 的积分。
2 ∫−1 Pl (x Pk (x dx = 2l + 1 δ kl , k , l = 0,1,2,..., (6 问: ∫ ∫ 1 2 2 P8 (x dx = ? = −1 2 ⋅ 8 + 1 17 1 0 ∫−1 P8 (x P9 (x dx = ? 1 9 2 ∫−1 xP8 (x P9 (x dx = ? = 17 ⋅ 18 + 1 2 −1 1 P 199 ( x P 300 ( x dx = ? 0四、广义傅氏展开f (x = ∑ Cl Pl (x l =0 ∞ §14.2 勒让德多项式的性质 (9 2l + 11 Cl = f ( x Pl ( x dx ∫2 −1 (10 用途： (1在物理中常需将作为表征的物理量展开为级数进行分析。
(2在求解数学物理方程时其解常是某函数的无穷级数，如稳恒电场的解，就是 Legendre级数。
五.小结一、母函数关系式二、递推公式三、正交性1 1− 2x t + t 2 §14.2 勒让德多项式的性质= ∑ Pl (x t l , t < 1 (1 l =0 ∞ 1. (l + 1Pl +1 ( x − (2l + 1x Pl ( x + l Pl−1 ( x = 0 (2 2. (2l + 1Pl (x = Pl′+1 ( x − Pl′−1 (x (3 ∫ 1 −1 Pl ( x Pk (x dx = 2 δ kl , k , l = 0,1,2,..., (6 2l + 1 ∞ 四、广义傅氏展开f ( x = ∑ Cl Pl ( x l =0 (9 2l + 1 1 Cl = f (x Pl ( x dx ∫ − 1 2 (10本节作业一．由勒让的多项式的母函数关系式推出下列递推关系： 1. (l + 1Pl +1 (x − (2l + 1x Pl ( x + l Pl −1 ( x = 0 (2 2. (2l + 1Pl (x = Pl′+1 ( x − Pl′−1 (x (3 二．P280. 2。
勒让德多项式是区间什么的正交函数
勒让德多项式是一类具有重要性质的正交函数，它们在数学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍勒让德多项式的定义、性质、正交关系以及其在实际问题中的应用。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式是勒让德微分方程的解，该微分方程形式如下：\[ (1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0 \]其中n为非负整数。
根据其定义，勒让德多项式可以通过勒让德微分方程的解出来。
勒让德多项式的具体形式可以表示为：\[ P_n(x)= \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n \]其中n为非负整数，P_n(x)表示第n阶的勒让德多项式。
二、勒让德多项式的性质勒让德多项式具有许多重要的性质，例如：1. 勒让德多项式是正交的，即对于不同的n和m，有以下正交性质成立：\[ \int_{-1}^{1}P_n(x)P_m(x)dx=0, \quad(n\neq m) \]2. 勒让德多项式满足勒让德微分方程，这也是它的定义所在。
3. 勒让德多项式具有递推关系，即通过递推关系可以方便地计算高阶的勒让德多项式。
三、勒让德多项式的正交关系及应用勒让德多项式的正交性质在数学和工程领域中有着重要的应用。
在数学分析中，勒让德多项式的正交性质可以用来进行函数的展开和逼近，例如在傅立叶级数、泰勒级数及函数的插值逼近中。
在数值计算和数值分析中，勒让德多项式的正交特性也被广泛应用，例如在数值积分方法中，通过勒让德多项式的正交性质可以得到高效的数值积分算法。
勒让德多项式还具有广泛的物理应用，例如在量子力学中，勒让德多项式常常用来描述原子轨道的形状。
在实际问题中，勒让德多项式的正交性质为我们提供了一种简便而有效的数学工具，通过利用勒让德多项式的正交性质，我们可以更加方便地解决各种数学和工程问题。
勒让德多项式作为一类重要的正交函数，在数学和工程领域中具有着广泛的应用。
通过深入研究勒让德多项式的定义、性质、正交关系及其应用，我们可以更好地理解和运用这一类特殊的函数，从而为解决各种实际问题提供更加有效的数学工具。