留数定理在计算实积分中的应用(2)
§5.2-利用留数定理计算实变函数的积分
eiz z dz 0 C
由图可得：
Cr
2 iz dz e 1 dz 1 iz z z 2! Cr dz i2 i z dz z Cr 2! Cr iz
由图可得： lim
r 0
3、实轴上存在奇点的情形 例6、计算
0
sin xdx x
。
解：取r及R，使得R>r>0，我们有：
R
r
ix ix R e e sin xdx dx r x 2ix
ix r e 1 R eix dx dx r R x 2i x
如图所示构造辅助线，则：
R
R
f ( z )dz
R
f ( z )dz 2 i
Im
k
Res f ( z )
z k
0
用上述引理考察圆弧段积分：
am z m a0 P( z ) zf ( z ) z z Q( z ) bn z n b0
a0 a m z m 1 m z n b0 z bn n z 很显然，当nm+1有： R m 1 am lim zf ( z ) lim 0 R R R n bn
r 所以，若当z时f(z) 0，则： f ( z )eiz dz 0 CR
sin xdx 1 eiz eiz 最后有： lim 0 x 2i R C z dz lim C z dz r R r
2
定理4：设函数 f(z)满足：(1)在Im(z)>0内，存在有限个孤立奇 点；(2)在实数轴上存在有限个孤立一阶极点；(3)在上半空 间当z时，f(z)0，则：
6.2 用留数定理计算实积分
sin x cos x x2 x dx, e dx, 1 x 2 dx,
或者即使可以求出原函数，但往往计算比较复杂，例如
1 (1 x 2 )2 dx.
利用留数方法计算这些实积分，只须算出有关函数的留数， 也就基本解决了.该方法不是普遍适用的方法，也不是解 决所有实积分的计算方法，而是考虑几类特殊类型的实积 分的计算，并且着重讨论实积分化为围线积分的方法.
×
二、形如
P( x) dx 的积分 Q( x )
SR
R
2
引理6.1 设f(z)沿圆弧
SR : z Rei (1 2 , R充分大)
1
x
0
上连续，且 lim zf ( z ) 于SR上
R
一致成立(即与1 2 中的 无关), 则
R
π
1 z 1 dz m 2 4 i | z | 1 z 5 z 2 z 2
2m
1 z 2m 1 dz m 4i |z|1 z 2 z 1 z 2
1 2 πi Res f ( z ) Res f ( z ) 1 z 0 4i z 2 ( m ) 1 1 m 2πi lim z f ( z ) lim z f ( z ) 1 z 0 4i 2 z 2
l 于是(6.10)式不超过 2 1 R
R R0 时,有不等式 | zf ( z) | , z S . R 2 1
(其中 l 为SR的
长度,即
l R(2 1 ) ).
P (z) 为有理分式,其中 定理6.7 设 f ( z ) Q( z )
高等数学课件-复变函数与积分变换 第五章 留数 §5.2 用留数定理计算实积分
引言
在实际问题中，往往会遇到求一些实 积分的值，计算比较复杂。但是，如果把 它们化为复变函数的积分，运用留数定理 计算可能要简捷的多。
首先，被积函数必须要与某个解析函 数密切相关。
其次，定积分的积分域是区间，而用 留数来计算要牵涉到把问题化为沿闭曲线 的积分。
一、形如
积分限化为从 到 ，又显然 lim f z 0 z
于是积分属于上述类型，可由（2.4）式计算
f z 可写成
f z
1 z2 a2
2
z
ia
1
2
z
ia
2
易见，f z 在上半平面只有一个二级极点
z ia，计算 f zeipz在 z ia 点的留数
Re s f
z eipz ,ia
Re s
f
z eiz , 2i
lim z
z2i
2i
f
z eiz
zeiz
1
lim
z2i z 2i
z2 1
6e2
Re
s
f
z eiz ,i
lim z
zi
i
f
z eiz
lim
zeiz
1
zi z2 4 z i 6e
将所得留数代入（2.5）式得：
I
xsin x dx
(x2 4)(x2 1)
奇点？在实轴上是否无奇点？
c．等式 lim zf z 0 是否成立？ z
（2）计算 f z在上半平面奇点处的留数，
然后代入上述公式就得结果。显然结果必然
是实数，如果是复数，说明计算有误。
例2.3计算积分
x2
I
x2 1 2 dx
应用留数定理计算实变函数定积分
应用留数定理计算物理学中实变函数定积分1问题在物理学中，研究阻尼振动时计算积分0sin xdx x∞⎰，研究光的衍射时计算菲涅耳积分20sin()x dx ∞⎰，在热学中遇到积分cos (0,ax e bxdx b a ∞->⎰为任意实数)如果用实函数分析中的方法计算这些积分几乎不可能。
而在复变函数的积分计算中，依据留数定理，我们可以将实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来。
2应用留数定理求解实变函数定积分的类型将实变函数定积分联系于复变函数回路积分的要点如下： 1）利用自变数变换把1l 变换为某个新的复数平面上的回路； 2）另外补上一段曲线2l ，使1l 和2l 合成回路l ，l 包围着区域B ，则1l 上的()f x 延拓为B 上的()f z ，并将它沿l 积分，有12()()()ll l f z dz f x dx f z dz =+⎰⎰⎰Ñ；3）()l f z dz ⎰Ñ可以应用留数定理，1()l f x dx ⎰就是所求的定积分。
如果2()l f z dz ⎰较易求出（往往是证明为零）或可用第一个积分表示出，问题就解决了.类型一20(cos ,sin )R x x dx π⎰.被积函数是三角函数的有理式；积分区间为[0,2π].求解方法：因为被积函数是以正弦和余弦函数为自变量，积分上下限之差为2π，可以当作定积分x 从0变到2π，对应的复变函数积分正好沿比曲线绕行一周，实变积分化为复变回路积分就可以应用留数定理.可以设ixz e =,则dz izdx =∴dz dx iz=而11cos ()22ix ix e e x z z --+==+，11sin ()22ix ix e e x z z i i ---==- 则原积分化为111(,)2()22k z kz z z z dzI R i Resf z i iz π--=+-==∑⎰Ñ 类型二-()f x dx ∞∞⎰.积分区间为（-∞,+∞）；复变函数()f z 在实轴上有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面及实轴上→∞时,()zf z 一致地→0.求解方法：如果f(x)是有理分式()/()x x ϕψ，上述条件意味着()x ψ没有实的零点，()x ψ的次数至少高于()x ϕ两次. 如图2，计算积分lim()RRR I f x dx -→∞=⎰图1()()()RRlRC f z dz f x dx f z dz -=+⎰⎰⎰Ñ根据留数定理，2{()}=()()RRRC i f z l f x dx f z dz π-+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和令R →∞，有2{()}=()()RC i f z l f x dx f z dz π∞-∞+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和而()()()max ()max ()0RRRC C C dz dzRf z dz zf z zf z zf z zf z zzRππ=≤≤=⋅→⎰⎰⎰所以()=2{()}f x dx i f z l π∞-∞⎰在所围半圆内各奇点的留数之和类型三()cos F x mxdx ∞⎰,0()sin G x mxdx ∞⎰.积分区间是[0,+∞];偶函数()F x 和奇函数()G x 在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面或实轴上→∞时，()F x 及()G x 一致地→0.约当引理 如m 为正数，R C 是以原点为圆心而位于上半平面的半圆周，又设当z 在上半平面及实轴上→∞时()F x 一致地→0，则lim ()0Rimz C R F z e dz →∞=⎰求解方法：000111()cos ()()()()222imx imx imx imx F x mxdx F x e e dx F x e dx F x e dx ∞∞∞∞--=+=+⎰⎰⎰⎰经自变量代换，上式变为000111()cos ()()()222imx imximx F x mxdx F x e dx F x e dx F x e dx ∞∞∞-∞-∞=+=⎰⎰⎰⎰同理1()sin ()2imxG x mxdx G x e dx i∞∞-∞=⎰⎰ 由类型二可知2{()}=()()Rimx imz C i f z l F x e dx F z e dz π∞-∞+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和由约当定理2{()}=()imx imx i F x e l F x e dx π∞-∞⎰在所围半圆内各奇点的留数之和同理2{()}=()imx imx i G x e l G x e dx π∞-∞⎰在所围半圆内各奇点的留数之和所以()cos {()}imz F x mxdx i F z e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和()sin {()}imx G x mxdx G x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和实轴上有单极点的情形 考虑积分-()f x dx ∞∞⎰，被积函数()f x 在实轴上有单极点z α=，除此之外，()f x 满足类型二或类型三的条件.求解方法：由于存在这个奇点，我们以z α=为圆心，以充分小的正数ε为半径作半圆弧绕过奇点α构成如图3所示积分回路. 于是()()()()()RRlRC C f z dz f x dx f x dx f z dz f z dz εαεαε--+=+++⎰⎰⎰⎰⎰Ñ取极限R →∞，0ε→，上式左边积分值等于2()iResf z π∑上半平面.右边第一、第二项之和即为所求积分.按类型二或类型三的条件，第三项为零. 对于第四项，计算如下：将()f z 在z α=的领域展为洛朗级数，有()1()a f z P z z αα-=+-- 其中()P z α-为级数的解析部分，它在C ε上连续且有界，因此()()()max max C C P z dz P z dz P z εεααπεα-≤-=⋅-⎰⎰所以()0lim 0C P z dz εεα→-=⎰而()()01111i i C C a a a dz d z e id ia iResf z z e εεϕϕπαεϕππαααε----=-==-=---⎰⎰⎰ 于是()-()2()f x dx iResf z iResf ππα∞∞=+∑⎰上半平面若实轴上有有限个单极点，则()-()2()f x dx i Resf z iResf z ππ∞∞=+∑∑⎰上半平面实轴上3应用留数定理求解物理学中实变函数的定积分（1）计算阻尼振动的狄利克雷型积分0sin xdx x∞⎰ 解：由类型三，将原积分改写sin 12ixx e dx dx x i x∞∞-∞=⎰⎰这个积分的被积函数ixe x除了在实轴上有单极点0x =外，满足类型三的条件.由于被积函数在上半平面无奇点，有图310=1=2222ix ix e e dx z i x x πππ∞-∞⎧⎫==⋅⎨⎬⎩⎭⎰被积函数在单极点的留数 即sin =2x dx x π∞⎰推论：对于正的m ，0sin sin ()2mx mx dx d mx x mx π∞∞==⎰⎰ (m ＞0)对于负的m ，0sin sin 2m x mx dx dx x x π∞∞=-=-⎰⎰ (m ＜0)（2）计算在研究光的衍射时菲涅耳积分20sin()x dx ∞⎰和20cos()x dx ∞⎰解：∵2222sin()Im ,cos()Re ix ix x e x e ==∴2210ix I iI e dx ∞+=⎰取图4所示回路l .由于2ix e 没有有限远奇点，所以根据留数定理得20izle dz =⎰Ñ 即22/42()/40()0i RRix iz i ei C Re dx e dz e d e πρπρ++=⎰⎰⎰令R →∞.222()/4/4/40lim lim()i i i i i RRR R e e d e e d e e d ρππρπρρρρ∞--→∞→∞=-=-⎰⎰⎰/4(1)28i e i πππ=-=-+/4222222i RRiz Reiz izC C z Redz e dz e iziz π==+⎰⎰2Riz C e dz ⎰而222/4102222R iR R i e e e iRe iR R R π---≤+→ （于R →∞）2222sin 2cos 2sin 22222222R RRiz R iR R i i C C C eeedz Re id Rd iz iR eRϕϕϕϕϕϕϕ-+-=≤⎰⎰⎰2sin 221max 02424R e R R ϕππ-⎛⎫≤=→⎪ ⎪⎝⎭（于R →∞） 图4所以21(1)08I iI iπ+-+=即18Iπ=，28Iπ=（3）计算求解热传导问题的偏微分方程时遇到的积分2co0)s(,axe bx bdx a∞->⎰为任意实数解：由类型三，将原积分改写221cos2ax ax ibxe bxdx e e dx∞∞---∞=⎰⎰取如图所示回路，由于矩形区域内函数2ax ibxe-+无奇点，所以根据留数定理得20az ibzle dz-+=⎰Ñ即2222234N ax ibx az ibz az ibz az ibzN l l le dx e dz e dz e dz-+-+-+-+-+++=⎰⎰⎰⎰当N→∞时，2222234ax ibx az ibz az ibz az ibzl l le dx e dz e dz e dz∞-+-+-+-+-∞=---⎰⎰⎰⎰只要求出上式等号右边的三个积分就可以计算出2ax ibxe dx∞-+-∞⎰所以，2cosaxe bxdx∞-⎰就可以求出.四、结语留数定理是复变函数论具体应用于积分计算中的一个非常有力的工具，把难以求解的定积分和反常积分转化为留数的计算问题，且能推广留数定理在阻尼振动、菲涅耳衍射及热传导等具体物理问题所遇到的反常积分的求解上，简化了计算过程。
第2节--用留数计算实积分
于是就有 g(z) , z R
g(z)eimzdz g(Rei )eimRei Rei id
R
0
R emRsin d , (6.13) 0
由于 g(Rei ) , Rei i R,以及
e e e . imRei
mRsin imR cos
mR sin
于是由Jordan不等式 2 sin (0 ),
形如 2π 0
R(cos
,
sin
)d
的积分
令 z ei
dz iei d d dz ,
iz
sin 1 (ei ei ) z2 1,
2i
2iz
3
cos 1 (ei ei ) z2 1,
2
2z
当 经历变程 [0,2π ] 时,
z 沿单位圆周 z 1的正方向绕行一周.
n
2π
0
R(cos ,sin )d
f
z 1
(z)dz
2 i
k 1
Re s
z ak
f
( z ).
z的有理函数 , 且在单位圆周上分 包围在单位圆周 母不为零 , 满足留数定理的条 内的诸孤立奇点. 注件:关.键是引进代换z ei , R(sin,cos )在[0, 2 ]上连续可
不必检验,只要看变换后被积函数在 z 1是否有奇点.
为互质函数,且合条件(1)n m 2, (2)在实轴上Q(z) 0, 于是有
f (x)dx 2πi Re s f (z). (6.11)
Im ak 0 zak
17
证明 由条件(1),(2)及数学分析的结论,知
f (x)dx存在,且等于它的主值
lim R f (x)dx. 记为P.V . f (x)dx.
《复变函数与积分变换》 用留数定理计算实积分
在上半平面的所有奇点 .
Re s [ f ( z ) , ai ] = lim ( z − ai ) R ( z ) =
z → ai
∫
R
−R
R( x ) dx + ∫ R( z ) dz = 2π i
CR
∑
Res R( z ) , z k
Re s [ f ( z ) , bi ] = lim ( z − bi ) R ( z ) =
Im zk > 0
∑
iaz Res R( z ) e , zk
解：首先计算 I 1 = ∫−∞
=∫
x ei x dx x2 + a2
+∞ x cos x x sin x dx + i ∫ dx −∞ x2 + a2 x2 + a2
其中 R ( x ) = 注：
x + a1 x + L + a n , m−n≥1, x m + b1 x m −1 + L + bm R ( x ) e i a x dx
×
O a
z1
× znbx Nhomakorabea故 I =Ñ ∫ z =1
1+ z4 dθ 2iz 2 ( z − p )(1 − pz )
奇点为 0 , p , ,
1 p
若要计算
f (z)
∫
b
a
f ( x ) dx , 在复平面上增加若干条辅助线 Γ ,
使得 C = [a, b] + Γ 是一条简单闭曲线 , 设其内部为 D , 在 D 内只有有限个孤立奇点 , 则
z → ai
两边对 R 取极限：
留数理论及其在计算实积分中的应用
指导教师：论文题目：留数理论及其在计算实积分中的应用学院：专业：班级：学号：姓名：留数理论及其在计算实积分中的应用摘要：留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物。
留数定理为某些类型积分的计算，提供了极为有效的方法。
在此主要探讨留数定理对实积分的计算。
把求实变函数的积分化为复变函数沿围线的积分，然后应用留数定理，使沿围线的积分计算，归结为留数计算。
本文主要介绍留数定义、留数定理定义、留数计算方法、利用留数定理计算实积分的方法。
关键词：留数，留数定理，实积分。
引言：留数的一个很重要的应用是计算一些特殊类型的实积分。
如，在研究阻尼振动时计算积分dx x x sin 0⎰∞；在研究光的衍射时，需要计算菲涅尔积分dx 2sinx 0⎰∞；在热学中需要计算积分⎰∞-0cos e bxdx ax （a>0，b 为任意实数）等。
如果用实函数分析中的方法来计算这些积分几乎是不可能的，即便能计算某些积分，过程也很繁琐且易出错。
因此，利用留数定理将实变函数的积分化为复变函数沿围线的积分来进行计算，就相对简单多了。
要使用留数计算，需要两个条件：一是被积函数与某个解析函数有关；其次，实积分可化为某个沿闭路的积分。
下面主要介绍留数及留数定理的定义和计算，还有利用留数定理计算类型为⎰πθθ20)sin ,(cos R ，dx e x Q x P dx x i a -)()(,Q(x )P(x )⎰⎰+∞∞-+∞∞（a>0）的实积分和积分路径上有奇点的积分。
另外还会介绍利用留数定理计算物理学中常用的实积分。
一、留数 1.1留数定义设0z 是解析函数f(z)的孤立奇点，我们把f(z)在0z 处的洛朗展开式中负一次幂项的系数1-C 称为f(z)在0z 处的留数。
记作Res[f(z),0z ],即 Res[f(z),0z ]=1-C 。
显然，留数1-C 就是积分⎰c dz z f )(i21π 的值，其中C 为解析函数f(z)在0z 的去心邻域内绕0z 的闭曲线。
教学课件第二节(应用留数定理计算实变函数定积分)
需要注意的问题和难点
03
在应用留数定理计算实变函数的定积分时，需要注意定积分的
定义域、奇偶性、极点等问题，以及留数的计算和判断。
留数定理在实变函数中的进一步应用
留数定理在解决更复杂定积分问题中的应用
除了简单的定积分计算，留数定理还可以应用于解决一些更复杂的定积分问题，例如与 微分方程、积分方程等相关的定积分计算。
选择一个简单的积分路径， 使得计算留数变得容易。
避免奇点
避免积分路径经过函数的 奇点，以免影响留数的计 算。
考虑对称性
根据函数的对称性，选择 适当的积分路径以简化计 算。
计算被积函数的留数
确定奇点
确定被积函数在积分路径 内部的奇点。
计算留数
根据留数定理，计算被积 函数在奇点的留数。
处理无穷大
如果被积函数在奇点处无 穷大，需要特别处理以正 确计算留数。
留数定理的重要性
留数定理在实变函数中的应用，使得原本难以计算的定积分变得简单易行，提高 了计算的效率和准确性。
留数定理不仅在数学领域有广泛的应用，还在物理学、工程学等领域发挥了重要 的作用，为解决实际问题提供了重要的数学工具。
02
留数定理的原理
留数的定义与性质
留数
对于在闭曲线上的奇异点附近的 积分，通过将函数在奇异点的左 右极限值相减，得到的值即为留 数。
导。
积分路径的可去性
积分路径可以是任意的简单或 复合闭曲线，但必须保证不经 过奇异点。
留数的可求性
在奇异点附近，被积函数必须 能够解析或通过其他方法求得 留数。
唯一性
对于同一个奇异点，其留数是 唯一的，不依赖于积分路径的
选取。
03
计算实变函数定积分的步骤
留数定理计算积分
sinxd x, sinx2 d x, e a xc o sb x d x,
0x 0
0
数学分析计算这些积分麻烦,无统一方法;用
留数计算,较简捷.
这 种 方 法 的 基 本 思 路 是 ,先 取 辅 助 函 数 g(z)(在 [a,b]上 g(z)的 实
部 或 虚 部 为 f(x))在 有 限 区 间 [a,b]上 的 定 积 分 ,再 引 入 辅 助 曲 线 ,
4(a 2 1) 2
2020/12/1
9
由留数定理
2π 0
(a
1
cos)2
d
4 i z1(z2
z
dz
2az1)2
4 i
2iRes f (z) 8 z 2π dx
a
3
4(a 2 1)2
2 a 3.
(a 2 1) 2
例3
计算 I
0
. 1cos2 x
解 令 z eix ,
I
2 1
0
z2 2 a z 1 0 的 二 相 异 实 根 ,
由 1 ,且 显 然 ,故 必 有 1 , 1 ;
于 是 f(z)(z)2z(z)2在 z1上 无 奇 点 ,
在z1内 只 有 一 个 二 阶 极 点 z,由 推 论 6.4得
Rzesf(z)[(zz)2]' |z
(
)3
a
3
0 R (sin ,c o s)d 1 2 R (sin ,c o s)d .
例4 计算积分Iπ cosm xdx (m 为 正 整 数 ) .
054cosx
解I 1 π cosmx dx1Re π eimx dx
2 54cosx 2 54cosx
4-2应用留数定理计算实变函数定积分
f ( x)dx f ( z)dz
CR
lim f ( z )dz 0 只需证明 R C
R
R C R
lim
dz f ( z )dz lim zf ( z ) R C R z | dz | lim | zf ( z ) | R C R |z| R lim max | zf ( z ) | R R lim[ max | zf ( z ) |] 0
所求积分通常理解为下列极限：
I f ( x)dx lim
R2
R1 R1 R2
f ( x)dx
的值。 f ( x ) dx 而当R1=R2→∞时极限存在的话，该极限称为积分 若上述极限存在，这一极限便称为
f ( x)dx 的主值，记为：
P
解：令z=eix，则
( z )(1 z ) 1 2 cos x z 1 dz I i | z|1 ( z )(1 z ) 在|z|=1内，
1 f ( z) ，以z=ε为一阶极点 ( z )(1 z )
1 1 Re sf ( ) 2 1 z z 1 1 1 2 I 2i 2 i 1 1 2 2 d 例4：求 I 的值 0 2 cos
§4.2 应用留数定理 计算实变函数定积分
在自然科学中常常需要计算一些实积分，特别是计 算一些在无穷区间上的积分。例如：光学问题中需 2 2 要计算菲涅尔积分 cos(x )dx ， sin( x )dx ；热传导问 0 0 题中需要计算 e ax cos(bx)dx；阻尼振动问题中需要 0 计算积分 (sin x) / xdx 等。我们在高等数学中已经知 0 道这些实变函数的积分需要特殊的技巧才能计算， 有的很难，甚至不能计算。原因在于被积函数往往 不能用初等函数的有限形式表示，因而就不能用牛 顿—莱布尼兹公式计算。
第二节(应用留数定理计算实变函数定积分)
点的一条正向简单闭曲线, 则
n
包括无限远点和
f (z) d z 2 π i Res f (bj ). 有限远的奇点
l f (z)dz 2l if z在所有j有 1 限远点的留数之和
0 2if z在所有各点的留数之和
lim ( z
zz0
z0 )
f
(z) =
2
2z
4
例1 计算
2
I
dx ••(0 1)
0 1 cosx
解 由公式得
I
dz / iz
|z|1
1
z2
1
2 i
dz
|z|1 z2 2z
2z
dx dz iz
cos x 1 eix eix 2 z2 1 2z
而由上节例题可知
z2
|z|1
dz 2z
•
2i Re sf
(z0 )
2i
2
1
1 2
i 1 2
故可得结果为
2 i
2
I
i 12 12
5
例2
计算
I
2 0
1
2
dx c os x
2
••(0
1)
解 由公式得
dz / iz
i
I
|z|11 (z z 1) 2
1
1 z2 (z i)( z i)
具有单极点士i,其中+i在
上半平面,并且有
Re sf (i) limz i f z lim 1 1
4.2留用留数定理计算实变函数定积分
解析延拓246224611...(||1)1()1...(||1)||1()b z z z z zf z z z z z z f z -+-+=<+=-+-+<<↓是幂级数，在单位圆内部收敛，其和是解析函数，但在单位圆外级数发散而没有意义。
在一较小的区域上为解析函数21()1b B F z z i =+±↓在除去z=的全平面上是解析函数。
在含区域的一个较大的区域上是解析函数22|z|<1b 1F(z)f(z)1z +...(|z|<1)1z两者在较小的区域（）上等同称＝是＝－的＋解析延拓b ()F(z)Bb ().f z f z ⇒解析延拓：已给某个区域上的解析函数找出另一函数，在含有区域b 的一个较大区域上为解析函数，且在区域上等同于即解析函数定义域的扩大bB4.2 利用留数定理计算实变函数定积分留数定理的一个重要应用是计算某些实变函数的定积分。
实变函数的定义域在实轴上，而运用留数定理时需要寻找一个回路，显然在计算此类积分时需要构造一些回路。
教学重点：介绍三类实变函数定积分的计算().baf x dx a b l →⎰1积分区间[,],可看作复平面上的实轴上的一段xyo l 2121212(1)(2)B ()B (z)()()()ll l l l l l l l l f x f f z dz f x dx f z dz→−−−−→=+⎰⎰⎰ 解析延拓构造回路方法：利用自变数变换将复平面上某个新的回路补一段曲线，使＋＝回路，包围区域，则上的闭上的↓↓↓利用留数待求积分较易算出的积分定理计算 一般为0或用待求 积分表示bal 1B20(co i ,s ,s n )R x x dx ππ⎰类型一：特点：被积函数为三角函数的有理式积分区间[0,2],:0~2,11()ix ix ixixz e x z e z z dz dz d e ie dx dx izπ===−−−−−→===∴=绕原点一周回到方法：作变数代换：令则从xyo2πl 11111||11111cos (),sin ()2222I=(,)2Re (),221()(,)22ix ix ix ixk z e e e e x z z x z z i iz z z z dzR i sf z i iz z z z z f z R iz iπ------=--+-==+==-→+-=+-=⎰ 则实变函数定积分复变函数回路积分则原积分2012||1||1I=(01)1cos ,/()2212ixz z dx x dz z e dx iz dz iz dzI z z i z z πεεεεε-==<<+==∴==++++⎰⎰⎰ 例1：解：令则1122122221,21121122||122(1)()()244111112()111Res '()2222212222Re ()21z z z z z z z z z z z z z z z z f z z z z dz I i sf z i z z i εεεεεεεεεεεεϕψεεεππεεε===++++=---±--±-==-±-=∴===++-∴===++-⎰ 令＝在|z|=1内只有一个奇点，且为单极点()=2212221111|1(1)(1)111111|1z z εεεεεεεεεεεε-+---==---<=---+-==>>且||2022022222002I=(0)cos 2(01)1cos 11122()cos (1cos )1dxa a x dx x dx dx a x a a a x a aππππεεπεεεππεεεε>>+=<<+-∴===+-+-⎰⎰⎰⎰例：解：由可作为公式来用20220222023322222222233220022222I=(1)cos (01)1cos 2cos 1222(cos )2()()221(cos )1cos ()(1)dxa a x dx x dx a a x a dx aa a x a a dxadxa a x x a ππππππεεπεεππεεεππεεεε>+<<+=+--=-=-+--===++--⎰⎰⎰⎰⎰⎰例：例：（）解：在基础上两端对求微分再令，（）2201122||1||1||12||1||11I=(01)12cos 1,,cos ()22/()()122,()(1)()(1),ix ixixz z z z z dxx dz e e z e dx x z z iz dz iz idz idzI z z z z z z z z idz idzz z z z z πεεεεεεεεεεεεεεεε---=====<<-++====+--∴===+--+----+-==----∴=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例：计算解：令则211212||11||1Res ()lim()()(1)12I=2Res ()()(1)1z z z z z i if z z z z idz i f z z z εεεεεεεεππεεε→====∴==----==---⎰ 是被积函数的两个单极点，但在内只有一个极点。
留数的应用—用留数定理计算实积分
cos x dx a b sin x
2 2
2
a b sin x a b dx 2 2 0 b b 2 2 2 a b 2 a I 2 b b
2
2
0
1 dx a b sin x
I
2
0
1 dx a b sin x
1
| z| 1
2 dz 2 | z| 1 bz 2iaz b
例5 计算积分I 0
dx . 2 2 (1 x )
1 . 解 作辅助复函数f ( z ) 2 2 (1 z )
它在上半平面仅有一个二阶极点z i, 且
1 Re s( f , i) 2 ( i z )
Cr : {z reit ;0 t }.
包围在单位圆周 内的诸孤立奇点.
思想与方法： 把定积分化为一个复变函数沿 某条封闭路线的积分 .
两个重要工作: 1) 积分区域的转化 2) 被积函数的转化
例1 计算积分 I 0
ix
2
2
dx 3 cos x
2
解 ： z 沿正向圆周 z 1 绕行一周， 当 x 从0 到 2 时， 因此，
z z
z
z3
2
1
2
1 lim 0 z z
计算 f z 在上半平面奇点处的留数
z 2 Re s 2 2 f z ,i z i z i z i
2
z i
2z 2z2 2 3 z i z i
2
i
1 i z 1 i cos e e 2 2z
5.4利用留数计算实积分
2) 积分路径的转化
2
2π
0 R(cos ,sin )d
令 z ei
dz iei d
sin 1 (ei ei ) z2 1 ,
2i
2iz
d dz ,
iz
cos 1 (ei ei ) z2 1,
2
2z
当 历经变程 [0,2π ] 时,
e ix
( x2 1)( x2 9) dx
2 i{Res[ f (z)eiz ,i] Res[ f (z)eiz ,3i]}
14
2
)( z 2
9)
lim
z3i
(z2
e iz 1)( z
3i)
2 i
e 1 16i
e 3 48i
24e 3
3e2 1 .
z 1 3z2
2 10iz
dz 3
2 3
z 1 ( z
i
1 )( z
3i)
dz
3
5
I
2 3
z 1
(z
i
1 )( z
3i)
dz
3
记
f (z)
(z
1 i )(z 3i)
，则
3
I
2 3
2πiRes
f
( z ),
i 3
2 2i( 3i )
3
82
6
R(x)dx
其中R(x)是有理函数，其分母至少比分子高两次,
a2 b2
. ab
11
R( x) eaixdx (a 0)
积分存在要求: R(x) 是 x 的有理函数，且分母的
6.2用留数定理计算实积分
因令此r rl im ， 就r (1得d到zz2)2(10,dxx2)2
.
2
从而
I12 (1dx2x)2
.
4
注解：
注解1、我们计算所得的值这个广义积分的柯西
主值，但由于此积分收敛，所以积分值等于主
值。
注解2、应用同样得方法，我们可以计算一般形
注解2、f(z)及g(z)选择的原则是，f(z)在内的零点 个数好计算。
例1:
例1、 求方程 z85z52z 10 ,
在|z|<1内根的个数。
解：令 f(z ) 5 z 5 1 ,g (z ) z 8 2 z ,
由于当|z|=1时，我们有
|f(z)| | 5z5| 14 ,
2 z2 2iaz1
在|z|<1内极点处的留数，就可求出I。 上面的被积函数有两个极点：
z1iai a21 z2iai a21 显然 |z1|1,|z2|1
例1、
因此被积函数在|z|<1内只有一个极点z1，而它在
这点的留数是：
R(e f,zs1)2z1 22ia i
1. a21
而
|g(z)| |z8||2z|3 ,
已给方程在|z|<1内根的个数与-z5+1在|z|<1内根 的个数相同，即5个。
例2: 例2、 如果a>e，求证方程 ez azn
单位圆内有n个根。
证明：令 g(z) ez,f(z)an,z 由于当 |z||ei|1时，
|g ( z ) | | e z | e co e , s |f( z ) | |a n | a z e ,
第六章 留数理论及应用
第6.2节 用留数定计算实积分
第二节(应用留数定理计算实变函数定积分)
∫
同理有
∞
0
1 ∞ F ( x) cos mxdx = ∫ F ( x ) e imx dx 2 −∞
∫
∞
0
1 ∞ G ( x) sin mxdx = ∫ G ( x)e imx dx 2i −∞
由此我们把类型三化为类型二来处理! 由此我们把类型三化为类型二来处理! 类型三化为类型二 在类型二中,要求z 在类型二中,要求z在上半平面或实轴上→ ∞ 时，zF(z)eimz 和 imz一致地 → 0 ， 但我们希望条件可以放宽一些,由此 但我们希望条件可以放宽一些, zG(z)e 我们引入约当引理 约当引理, 我们引入约当引理,此时我们可以把条件放宽为 F(z)和G(z)一致地 F(z)和G(z)一致地 → 0
∫ f ( z ) dz = 2π i{ f (z )在所有有限远点的留数
l j= 1
l
∫ f (z)dz = 2πi∑Res f (b ).
j
n
包括无限远点和 有限远的奇点
之和 }
0 = 2πi{ f ( z )在所有各点的留数之和}
z → z0
z→z0
lim ( z − z 0 ) f ( z ) = 非零有限值
b a
dz ix 作变换 z = e , Q dz = e idx, ∴ dx = iz 1 ix −ix z − z −1 z 2 − 1 sin x = e −e = = 2i 2i 2iz 1 ix − ix z2 + 1 z + z −1 cos x = ( e + e ) = = 2 2z 2
10
然后应用公式可求得结果
∫ (
−∞
∞
例5
解 这里积分区间为 [0,+∞ ) 不符合条件,不能直接应用公式! 不符合条件,不能直接应用公式!
大学物理-利用留数定理计算实积分
闭合回路 L 的构成：原积分路线上增加半圆 CR (R→ )
则
其中 bk 为 F (z) 在上半平面的孤立奇点。
在以上推导中，还需
。
(实际上是求在引入曲线 CR 上的积分) 约当引理：
若 z 在上半平面及实轴上趋于 时，f (z) 一致地趋于 零，则
其中 m > 0，CR 是以 z = 0 为圆心、R 为半径的位于上半 平面的半圆。
证明：1. 令
，因为在
所以
设 则
而
这说明 – tan 单调递减，且由于 G(0) = 0，故
从而
所以 g ( ) 在 (0, / 2] 是递减函数，则
因此 即
函数
与函数
的曲线图
2. 令 z = Re i ，则 dz = Re i i (半圆上)，于是 而 |d|=d ， ：实数，且 d > 0 (逆时针) ，对于积分
式中已经变换了求和指标，并利用了
ln 2 (1)k 1 1 1 1 1
k 1
k
234
三、
型积分 (常见于傅里叶变换中)
因为
故求上式中等号右边的两个积分归结于求左边的积分。
注：
理解为它的积分主值。
对 f (z) 有以下假设： 1. f (z) 在上半平面中除了有限个孤立奇点外解析，在实轴
1 , 2 0 c1
x c 1,2 0 c1
它一般不为零。但由于右边的被积函数是奇函数，如果
1 = 2，则在 1= 2 = 趋于零之前，积分就已经是零。
因此，当 c 为 f (x) 的一阶极点时，有
c
lim f (x)dx 0
留数定理在实积分中的应用研究
留数定理在实积分中的应用研究伯努利（Bernoulli）的留数定理及其应用伯努利（Bernoulli）的留数定理是17世纪欧洲数学家伯努利通过提出的一种微分数学理论，它是当时实积分学的一种很重要的重要创新。
伯努利留数定理可以有效地解决实积分问题，使得实积分在解决各种实际问题时更加有效。
下文将对伯努利的留数定理及其实际的应用进行深入的研究和讨论。
伯努利（Bernoulli）的留数定理表述为：如果函数f(x)与变量x的极限当x趋近无穷时存在，那么极限的值将就是函数的实积分的常数。
留数定理可用来表达实积分的结果，并分析函数的性质，它是对可导函数的极限的一般研究，并将极限应用于实积分，从而判断函数的积分结果。
伯努利（Bernoulli）的留数定理在实际应用中十分广泛，它可用于机器学习、控制系统、物理建模、计算机图形学等各个领域的研究和应用中。
在机器学习领域中，伯努利（Bernoulli）的留数定理可用于数据分析，对各种确定和非确定误差进行建模，基于伯努利（Bernoulli）的留数定理可以简化建模步骤，减少模型不准确的情况发生。
此外，在物理学建模和研究中，伯努利（Bernoulli）的留数定理也有着不可替代的作用，它可以用来解决流体力学、分析力学、电磁场研究和热力学，以及动力学等相关问题。
它的原理是将具体的多项式、指数函数或者其他复杂的函数分解为无限多次的积分运算，从而推导出物理模型的性能和变化，以便研究物理模型的活动，有助于研究信号变换和流体动力学等问题，因此它在实际工程中有着不可缺少的作用。
从上述讨论可以看出，伯努利（Bernoulli）的留数定理及其应用，在实用数学研究中具有重要的意义，在理论基础上它将实积分更加有效地应用到多种实际问题中，并可以提供可靠的解决方案，受到研究领域的广泛重视。
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第五章 留数及其应用
5.4 留数在计算实积分中的应用(2)
数学与统计学院
数学学院
定理1 设 R(cos , sin ) 分母不为零；则
2π
0
R(cos
, sin
)d
f (z)dz
z 1
n
2π i Res f (z), zk .
k 1
其中：f
(z)
R
z2 1 ,
2z
z2 1
2iz
zk
x
lim f (z)ei zdz 0,
R
R o
R
CR
f ( x)ei xdx 2 i
n
Re s[ f ( z)e i z , zk ].
k 1
f ( x)[cos x i sin x]dx 2 i
n
Re s[ f ( z)e imz , zk ].
k 1
数学学院
例1.计算积分
且在 C 上无零点，则
1
2
i
C
f (z) dz N , f (z)
其中 N 表示 f (z) 在 C 的内部零点的总数 (约定k级零
点按k个零点计算).
证明 f (z) 在 C 的内部只有有限个零点, 记为
z1 , z2 ,
, zn , 它们的重数分别是 1 , 2 ,
1
2 i
C
f (z) dz f (z)
( x2
cos x 1)( x 2
dx 9)
24e 3
3e2 1 .
数学学院
例3. 计算积分 I
x sin x 0 x 2 a 2 dx
(a 0).
z
解 记 f (z) z2 a2 , 则 z0 ai 是上半平面的奇点
1 x sin x
I 2
x 2 a 2 dx
y
CR
(z)
解析，且当 z R0 时, f (z) M
z
, lim M(r ) 0, r
R R0为半径的逆时针方向上半圆周 CR ,都有
CR
lim f (z)ei zdz 0.
R CR
y (z) x
R o
R
数学学院
证明 f (z)ei zdz
f ( z )e i ( xiy )dz
CR
同学们辛苦了
CR
(z)
x
R o
R
y y 2 sin
o
2
数学学院
定理2
设
f (z)
P(z) Q(z)
是有理函数, Q(z) 在
实轴上没有零点，多项式 Q(z)的次数至少比P(z) 的
次数高1次，z1 , z2 , , zn 是 f (z) 在上半平面内的所有
孤立奇点，则对任何实数 ,0
f ( x)ei xdx 2 i
1 iz
注：1.被积函数的转化
2.积分区域的转化
| zk | 1
y (z)
zk x
o | z | 1
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二. 有理函数的无穷积分
定理2 设函数 f (z) 在实轴上处处解析,在上 半平面Im z 0 内,除有限个孤立奇点 z1 , z2 , , zn，
处处解析,且存在常数 R0 0, M 0, 0, 使得当
z
R0 , 时，f ( z)
M z 1 ,
则
n
f ( x)dx 2 i
Re s[ f ( z), zk ].
k 1
y
CR
(z)
zk
x
Im zk 0
R o
R
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三.有理函数与三角函数乘积的积分
考虑积分 f ( x)cos xdx,
f ( x)sin xdx.
Jordan引理 设 f (z)在区域 z R0 , Im z 0 上
cos x x2 1
dx
.
解
e
ix
x2
dx 1
2
i
Re s[ 1
1 z2
eiz , i]
2
e iz
i
lim
zi
2
z
2
iLeabharlann e 1 2ie.
cos x x2 1
dx
e
.
sin x
x2
dx 1
0.
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例2.计算积分
cos x
( x2
1)( x 2
dx. 9)
解
1 2
Im
xe ix
x2
a2
dx
ai x
R o
R
1 Im 2
2 i Re s f ( z)eiz , ai
ea.
2
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例4 设z z0是解析函数 f (z) 的m 级零点，则
z z0 是
f (z) 的1级极点，则
f (z)
Res
f (z) , f (z)
z0 m.
e ix
( x2
1)( x2
dx 9)
2 i{Res[ f (z)eiz , i] Res[ f (z)eiz , 3i]}
2
i
lim
zi
(z
e iz i )( z 2
9)
lim
z3i
(z2
e iz 1)( z
3i
)
2
i
e 1 16i
e 3 48i
24e 3
3e2 1 .
证明 因为z z0 是 f (z) 的 m 级零点，则在z z0 f (z) (z z0 )m (z), (z0 ) 0,
f (z) m (z)
.
f (z) z z0 (z)
f (z)
Res
, f (z)
z0 m.
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例5 设函数 f (z) 在分段光滑曲线 C 及其内部解析，
n
Re s[ f ( z)e i z , zk ].
k 1
y
f ( x)cos xdx 实部
CR
(z)
f ( x)sin xdx 虚部
zk
x
R o
R
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证明
R f ( x)ei xdx
R
f (z)ei zdz
y
CR
CR
(z)
n
2 i Re s[ f ( z)ei z , zk ]. k 1
CR
f ( z) e yds M ( R) e Rsin Rd
0
CR
2RM ( R) 2 e Rsin d . 0
2 R
2RM ( R) 2 e d 0
M ( R)
2 R
e
2
M ( R) (1 e R ),
0
lim f (z)ei zdz 0.
R CR
y
n
k
k 1
N.
, n.
数学学院
本章内容总结 孤立奇点
可去奇点 极点
本性奇点
函数的零点与 极点的关系
留数
计算方法 留数定理
计算 f (z)dz C
零 点
留数在定积分
的 分
计算中的应用
布
1. 2 R(sin , cos )d 0
2.
f ( x )dx
3. R( x )e imxdx
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