初中数学竞赛模拟题(含答案)

1．横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数1

236-+=x x y 的图象上整点的个数

是【 B 】

A ．3个

B ．4个

C ．6个

D ．8个

2. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ）

A ．1.

B ．2.

C ．3.

D ．4.

解：因为,,a b c 均为整数，所以a b -和a c -均为整数，从而由1010()()1a b a c -+-=可得

||1,||0

a b a c -=⎧⎨-=⎩或||0,|| 1.a b a c -=⎧⎨-=⎩若||1,

||0,a b a c -=⎧⎨-=⎩则a c =， 从而||||||a b b c c a -+-+-=||||||2||2a b b a a a a b -+-+-=-=.

若||0,

||1,a b a c -=⎧⎨-=⎩

则a b =，

从而||||||a b b c c a -+-+-=||||||2||2a a a c c a a c -+-+-=-=. 因此，||||||a b b c c a -+-+-=2. 3.

若

b

a ,是两个正数，且

,0111=+-+

-a b b a 则

（ C ）

A ．103

a b <+≤. B ．

113

a b <+≤. C ．413

a b <+≤

. D ．423

a b <+≤.

解：由

1110a b b

a

--++=可得b a b ab a +=++2

2

，

则2

()()()(1)ab a b a b a b a b =+-+=++- ① 由于b a ,是两个正数，所以,0>ab 0a b +>，所以10a b +->，从而.1>+b a

另一方面，由22

()()44a b a b ab ab +=-+≥可得4

)

(2

b a ab +≤

，结合①式可得

14

a b a b +≥+-，所以.3

4≤+b a 因此，413

a b <+≤.

4. 将1,2,3,4,5,6,7,8这八个数分别填写于一个圆周八等分点上，使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数， 如果圆周旋转后能重合的算作相同填法，那么不同的填法有（ B ）．

()A 4种； ()B 8种； ()C 12种； ()D 16种．

5. 已知实数,x y 满足方程组3319,

1,

x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += 13 .

解：由3319x y +=得2()[()3]19x y x y xy ++-=，把1x y +=代入，可得6xy =-.

因此，,x y 是一元二次方程2

60t t --=的两个实数根，

易求得这两个实数根分别为3和2-，所以22223(2)13x y +=+-=.

6.若两个实数a,b,使得,2a b +与2a b +都是有理数，称数对(a,b )是和谐的。试找出一对无理数

11

(,),22

a b =- ，使得(a ，b )是和谐的；

7.圆内接四边形A B C D 的四条边长顺次为：2,7,6,9AB BC CD DA ====，则四边形的面积为 30 .

解：由于2222768592+==+，即2222BC CD DA AB +=+，所以B C D ∆与D AB ∆都是直角三角形，因此，四边形面积1(7692)302

B C D D A B S S =+=

⋅⨯+⨯=.

8.在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA

PC ＝5，则PB ＝

__．

解 作P E ⊥AB ，交AB 于点E ，作P F ⊥BC ，交BC 于点F ，设,PE m PF n ==，

分别在△PAE 、△PCF 中利用勾股定理，得 2

2

(5)5m n +-=

① 22

(5)25m n -+= ②

②－①，得10()20n m -=，所以2m n =-，

代入①中，得2

7120n n +-=，解得13n =，24n =.

当3n =时，21m n =-=，在Rt △PAE 中，由勾股定理可得PB ==

当4n =时，22m n =-=，此时P E A E >，所以点P 在△ABC 的外面，不符合题意，舍去.因此PB =

9. 边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程2

(2)40x k x k -++=的两根，求k 的值并确定直角三角形三边之长．

解：设直角边为,a b ，（a b <）则2,4a b k ab k +=+=，因方程的根为整数，故其判别式

C

为平方数，设()()22(2)166613221648k k n k n k n +-=⇒-+--=⨯=⨯=⨯，

66,k n k n -+>--

63261k n k n -+=⎧∴⎨

--=⎩或61662k n k n -+=⎧⎨--=⎩或632

61k n k n -+=⎧⎨--=⎩

解得1452

k =

(不是整数，舍去)，2315,12k k ==

215k =时，17,605,12,13a b ab a b c +==⇒=== 312k =时，14,486,8,10a b ab a b c +==⇒===

由12333()a a a ++，得12333(33333)a d d ++，

所以1333a ，111a ，即1a ≥11. …………（15分）

1

33

n n a a d -=

≤

201011

6133

-<，

故n d ≤60. 所以，n ≤61.

综上所述，n 的最大值为61. …………（20分）

10.已知实数,x y 满足22230x y y -++=，则22x y +的最小值为 ；

解：由2223031x y y y =--≥≥≤-得y 或，则2

22217223222x y y y y ⎛

⎫+=--=-- ⎪⎝

⎭

当1y =-时，22x y +有最小值1.

11.设a 为的小数部分，设b 为的小数部分，则()a

a b b

-的整数部分

是 ；

解：因1,1a b ==-，则

()()14,5a

a b b

=

=+

-

12.已知2

)

(z y x ++

≥)(zx yz xy n ++，n 能取的最大值为