§3 二倍角的三角函数(一)

3 5
，那么顶角
C
解 : co s A
3 5
， sin A
4 5
.
wenku.baidu.com
sin C sin [ - ( A + B )] sin ( A + B ) sin 2 A sin ( A + A ) sin A co s A + co s A sin A
A
B
2 sin A co s A 2
2


2 tan a tan 2a
4.注意公式的逆用：
sin a cos a 2tan a 1 - tan a
2
1 2
sin 2a a - sin a cos 2a cos
2 2
tan 2a a tan 2a 1 - tan a 2tan
2


例2
求下列各式的值：
(1) sin 1 5 co s 1 5 ; 2 ta n 2 2 .5
tan 2a = tan(a + a)
2 tan a 1 - tan 2 a
tan a + tan a 1 - tan a tan a
利用 sin2a + cos2a = 1，cos2a 还可变为
cos 2a =
cos 2a =
cos2a – ( 1 - cos2a ) ( 1- sin2a ) - sin2a
2
1 + cos 2a
sin a
2
2 1 - cos 2a
降幂升角公式
2
例 4 利 用 三 角 公 式 化 简 sin 5 0 (1 +
解 ： 原 式 sin 5 0 (1 + sin 5 0 (

3 ta n 1 0 ) .
3

sin 1 0 co s 1 0

)

co s 1 0 +
思考5
1＋sin2α可化为什么？
1＋sin 2a＝(sin a＋cos a )
根据二倍角的余弦公式，
2
sin a ， s a 与 co s 2 a 的 关 系 分 别 如 何 ？ co
sin a =
2
1 - cos 2a 2 1 + cos 2a
2
cos a =
2
思 考 6 ta n a 与 sin 2 a ， o s 2a 之 间 是 否 存 在 某 种 关 系 ？ c
建立三角函数模型.
3.解模：运用三角函数的有关公式进行推理、运算，使 问题得到解决. 4.回归实际问题：应用问题不是单纯的数学问题，既要 符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出的
结果要代入原问题中进行检验、评判.
例7
证明： tan 2 2 co s 2 + 2 sin + co s
a
2
作为
a
4
的2倍.
将 3a 作为
3a 2
的2倍等情况.
3.注意公式的各种变化，如：
2cos a 1 + cos 2a 2sin a 1 - cos 2a
2 2
cos a
2
1 + cos 2a 2
2
， a sin
2
1 - cos 2a 2
tan 2a 1 - tan a 2 tan a 1 - tan a
2
( 2 ) co s
2

8
- sin
2
2

8
;
(3)
(1) 解： 原 式
1 - ta n 2 2 .5
1 2

; ( 4 )1 - 2 sin 7 5 .


( 2 sin 1 5 co s 1 5 )
1 2
sin 3 0


1 4
( 2 ) 原 式 co s

4


2 2
关于公式的几个说明：
1.公式S2a和C2b对任意角均成立，对于公式T2a
a
2 + k , a

4
+
k 2
( k Z ).
2.等式中的 “二倍角”的意义是相对的，如： 倍角公式不仅可运用于将 2a 作为a的2倍的情况，还可以 运用于诸如将4a 作为2a的2倍. 将a 作为
a
2
的2倍.将
A R a O
B
R sin a 2 R co s a
2 2
2 R sin a co s a R sin 2 a . 当 sin 2 a 取 最 大 值 ， 即 sin 2 a 1时 ， 截 面 面 积 最 大 . 不难推出，a

4
2
时，长方形截面面积最大，最大
tan a =
2
2 sin co s + sin 2 ( co s - sin ) + 2 sin + co s
2 2 2
sin 2 + sin
证明：左边

sin (2 co s + 1 ) co s (2 co s + 1 )
tan
=右边.
二倍角公式的变通
思考4
§3 二倍角的三角函数（一）
1.知识目标：
（1）能够导出二倍角的正弦、余弦、正切公式；
（2）掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； （3）能灵活运用公式进行简单三角函数的化简、求值和 证明.
2.能力目标：能利用各类公式及化归的思想、等价转换的 思想、方程和分类讨论的思想方法，解决一些综合问题.
3.情感目标：体会公式所蕴含的和谐美、对称美.
B
C D
例 6 要 把 半 径 为 R的 半 圆 形 木 料 截 成 长 方 形 如 图 ， 应怎样截取，才能使长方形面积最大？
解 : 如 图 ， 设 圆 心 为 O , 长 方 形 面 积 为 S， A O B a ， 则 A B R sin a ， O B R co s a ， S
4.教学重点：二倍角公式与和差角公式的内在联系，二倍
角的正弦、余弦、正切公式及其变形；
5.教学难点：灵活运用公式进行简单三角函数的化简、求 值和证明.
复 习
两角和与差的正弦和余弦公式
cos(a - b ) = cos a cos b + sin a sin b cos(a + b ) = cos a cos b - sin a sin b
2 2
ta n 2 a
sin 2 a co s 2 a

24 7
.
练习：已知 cos a -
12 13
,a (

2
, )
求sin2α , cos2α , tan2α 的值.
解： 因为 cos a 12 13
2
,a (

2
, )
1 - (12 13
12 13
所以 sin a 1 - cos a 于是
解 : 作 A D B C 于 D ， 设 B A D ， 那 么 A 2 . 因 为 BD 1 2 所以 sin BD AB BC 1 4 1 4 . A B，
A

2 ，
因 为 0 2 ， 所 以 0 于 是 co s 15 4 故 sin A sin 2 15 8 . ，
以上两个公式中， 和b 可取使两边都有意义的任意角. a
思考1

是特殊角， 和 是倍半关系，利用上述公式 4 4 8


不 可 以 求 的 三 角 函 数 值 .如 果 能 推 导 一 组 反 映 倍 半 关 系 的三角函数公式，将是很有实际意义的.
思 考 2 等 腰 三 角 形 ABC的 底 角 的 余 弦 值 是 的 正 弦 值 是 多 少 ？如 图 ) (
1.利用平方关系求三角函数值时，一定注意角的取值 范围. 2.求正切值时，常常采用商数关系，可以避免讨论符 号问题.
引申：公式变形：
1 sin 2a (sin a cos a )
2
1 + cos 2a 2 cos a
2
1 - cos 2a 2 sin a
2

升幂降角公式
cos a
4 5

3 5

24 25
.
思 考 3 两 角 和 的 正 弦 、 余 弦 和 正 切 公 式 都 是 恒 等 式 ， 特 别 地 ， 当 b＝ a时 ， 这 三 个 公 式 分 别 变 为 什 么 形 式 ？
二倍角公式的推导 sin 2a = sin(a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2sin a cos a cos 2a = cos(a + a) = cos a cos a – sin a sin a = cos2a – sin2a
截面面积等于R .
技巧方法：
三角函数应用题的基本步骤可分为四步： 1.审题：是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘 等，通过阅读，真正理解用文字语言表述的实际问题的 类型,注意挖掘一些隐含条件. 2.建立数学模型：引进数学符号，将试题中的非数学语 言转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系——
2
ta n 2 a
2 ta n a 1 - ta n a
2
T2 α
例 1 已 知 ta n a
1 2
， 求 ta n 2 a 的 值 .
分析：直接代入二倍角的正切公式.
解 2α tan
2tan α
2
1 - tan α 1 2 2
1 1- 2 4 . 3
sin(a - b ) = sin a cos b - cos a sin b
sin(a + b ) = sin a cos b + cos a sin b 以上公式中a和b可以取任意角.
两角和的正切公式
tan(a + b ) tan(a - b ) tan a +tan b 1 - tan a tan b tan a -tan b 1 + tan a tan b
( 3 ) 原 式 ta n 4 5
1

( 4 ) 原 式 co s 1 5 0 co s(1 8 0 - 3 0 ) - co s 3 0 -

3 2
点评：直接运用公式将已知角转化为特殊角求值.
例 3 设 a 是 第 二 象 限 角 ， 已 知 co s a -0 .6， 求 sin 2 a ， co s 2a 和 t a n 2a 的 值 .
解 : 因 为 a 是 第 二 象 限 角 ， 所 以 sin a 0， n a 0 . ta 由 于 co s a - 0 .6， 故 sin a 1 - co s a 0 .8，
2
可 得 sin 2 a 2 sin a co s a 2 0 .8 - 0 .6 - 0 .9 6； co s 2 a 2 co s a - 1 2 - 0 .6 - 1 - 0 .2 8；
3 sin 1 0

)

co s 1 0
2( sin 5 0

1 2
co s 1 0 +

3
sin 1 0 )
2 co s 1 0


2 sin 5 0 co s 4 0 co s 1 0


2 co s 4 0 co s 1 0

2


1 + co s 8 0 co s 1 0


2
公式的作用：
1.二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二
倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数 之间的互化问题； 2.二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角 相等时推导出来的，记忆时可联想相应角的公式.
公式的特征与记忆
（1）左边角是右边角的二倍； （2）左边是 2a的三角函数的一次式，右边是a 二次式. 由左到右：升幂缩角；由右到左：降幂扩角； （3）二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式， 正切是分式.
sin 2a 2sin a cos a
2
)
2

5 13
.
2
5 13
(2
)-
120 169
cos 2a 1 - 2 sin a 1 - 2 (
tan 2a sin 2a cos 2a
120 169 169 119
5 13
)

119 169
-
120 119
.
技巧方法：

1 + sin10 cos10



1 cos10

+ tan10 .

技巧方法：
1.“切化弦”； 2.“异角化同角”； 3.注意逆用公式及公式的变形应用； 4.拼凑公式的形式，必要时利用诱导公式.
例 5 在 A B C中 ， 已 知 A B A C 2 B C 如 图 ， 求 角 A的 正 弦 值 .
= 2cos2a - 1
= 1 - 2sin2a .
二倍角公式
sin 2 a 2 sin a co s a S 2 α co s 2 a co s a - sin a
2 2
C 2α
co s 2 a 2 co s a - 1
2
co s 2 a 1 - 2 sin a