圆锥曲线讲义
圆锥曲线实用讲义
圆锥曲线实用讲义
一、什么是圆锥曲线
圆锥曲线是一种曲线，它是由一个圆锥和一个圆组成的，它的特点是曲线的弧线部分是圆弧，而曲线的直线部分是直线。
二、圆锥曲线的应用
1、圆锥曲线可以用来描述物体的运动轨迹，如汽车的行驶轨迹，飞机的飞行轨迹等。
2、圆锥曲线也可以用来描述物体的形状，如汽车的车身，飞机的机翼等。
3、圆锥曲线还可以用来描述物体的变形，如汽车的车身变形，飞机的机翼变形等。
4、圆锥曲线还可以用来描述物体的变化，如汽车的车身变化，飞机的机翼变化等。
三、圆锥曲线的计算
圆锥曲线的计算是一个复杂的过程，需要使用数学方法来计算。
一般来说，需要使用椭圆方程、双曲线方程、圆锥方程等来计算圆锥曲线。
第三章 圆锥曲线复习讲义(精心整理、好用、经典)
圆锥曲线复习讲义－学生版【基础知识】 一.椭圆与双曲线椭 圆双 曲 线定义 1212||||2(2||)PF PF a a F F +=>1212||||||2(2||)PF PF a a F F -=<方程22221x y a b += 22221x y b a+= 22221x y a b -= 22221y x a b -= 图形焦点 (,0)F c ± (0,)F c ±(,0)F c ± (0,)F c ±焦距 C F F 221=对称轴关于x .y 轴对称，关于原点成中心对称顶点长轴：(-a ,0),(a ,0) 短轴：(0,-b ),(0,b )长轴：(-b ,0),(b ,0) 短轴：(0,-a ),(0,a )实轴：(-a ,0),(a ,0) 虚轴：(0,-b ),(0,b )实轴：(-b ,0),(b ,0)虚轴：(0,-a ),(0,a )轴 长轴长2a ，短轴长2b实轴长2a ，虚轴长2b离心率 22222221(01)c c a b b e e a a a a-====-<< 22222221(1)c c a b be e a a a a+====+>渐进线无xab y ±= x ba y ±= a ,b ,c 2220c b a b a +=>>，2220b a c a c +=>>，M MPK K 1A A 2F F O yx二．抛物线的性质标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =->22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 图形焦点坐标 (,0)2p(,0)2p-(0,)2p (0,)2p -准线方程 2p x =-2p x = 2p y =-2p y =范围 0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤离心率1e = 1e = 1e = 1e = 三、弦长公式： ||14)(1||1||2212212212A k x x x x k x x k AB ∆⋅+=-+⋅+=-+= 其中,∆,A 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于x 的一元二次方程 的判别式和2x 的系数求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x 的一元二次方程,02=++C Bx Ax 设),(11y x A ，),(22y x B ，由韦达定理求出AB x x -=+21，ACx x =21；（3）代入弦长公式计算。
圆锥曲线讲义
6.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
7.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，当A·B＜0时为双曲线.
1)单点的轨迹问题——直接法＋待定系数法；
2)双动点的轨迹问题——相关点法；
3)多动点的轨迹问题——参数法＋交轨法.
4.利用参数法求动点轨迹时要注意：(1)参数的选择要合理；(2)消参的方法灵活多样；(3)对于所选的参数，要注意取值范围，并注意参数范围对x，y的取值范围的制约.
5.曲线关于点中心对称、关于直线轴对称问题，通常是转化为点的中心对称或轴对称，一般结论如下：
2.直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决.设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一.
3.椭圆中几个常用的结论：
(1)焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝，r2＝.
①＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
练习：(1)()已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程.
(2)设圆C与两圆C1：(x＋)2＋y2＝4，C2：(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切，则圆C的圆心轨迹L的方程为____________.
圆锥曲线复习讲义全
圆锥曲线复习讲义一、椭圆方程1、已知椭圆2212516x y +=，12,F F 是椭圆的左右焦点，p 是椭圆上一点。
（1）a = ； b = ； c = ； e = ； （2）长轴长= ； 短轴长= ； 焦距= ；12||||PF PF += ; 12F PF ∆的周长= ；12F PF S ∆= = ； 2、已知椭圆方程是192522=+y x 的M 点到椭圆的左焦点为1F 距离为6，则M 点到2F 的距离是3、已知椭圆方程是192522=+y x ，过左焦点为1F 的直线交椭圆于A,B 两点，请问2ABF ∆的 周长是 ；4 ．（2012年高考（春））已知椭圆222212:1,:1,124168x y x y C C +=+=则 （ ） A ．顶点相同 B ．长轴长相同. C ．离心率相同. D ．焦距相等. 5、 (2007)椭圆1422=+y x 的离心率为（ ）（A ）23 （B ）43（C ）22（D ）32 6．（2005）若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ）A ．3B ．23 C ．38D ．327.【2102高考】已知椭圆C ：22x a +22y b=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为2，则椭圆C 的方程：8、【2012高考】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上，则椭圆1C 的方程；9、【2012高考】在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2+y 2-4x+2=0的圆心，椭圆E 的方程；10．（2004理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）（A ）32 （B ）33 （C ）22 （D ）2311．（2006理）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2 倍，则该椭圆的标准方程是 ．12、经过)2-,3-(16B A ），，（两点的椭圆方程是 13、动点M 与定点），（04F 的距离和它到定直线425:=x l 的比是常数54，则动点M 的轨迹方程是：14．（2012年高考）椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为（ ）A ．2211612x y += B ．221168x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 15．（2012年高考（理））椭圆22143x y +=的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,当FAB ∆的周长最大时,FAB ∆的面积是____________.16．（2012年高考（理））椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.17．（2012年高考）在平面直角坐标系xoy 中,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，,2(0)F c ，.已知(1)e ，和32e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，都在椭圆上,其中e 为椭圆的离心率，则椭圆的方程 ;18．（2012年高考理）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :221x y a b+=(0a b >>)的离心率23e =且椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3，则椭圆C 的方程 ; 19．（2012年高考理）椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为1F ,右焦点为2F ,离心率12e =.过1F 的直线交椭圆于,A B 两点,且2ABF ∆的周长为8，椭圆E 的方程 . 20．（2012年高考（理））已知曲线C: 22(5)(2)8()m x m y m R -+-=∈，若曲线C 是焦点在x轴的椭圆,则m 的取值围是 ;22．（2012年高考（理））已知椭圆221:14x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率，则椭圆2C 的方程 ; 23、如果点M ()y x ，在运动过程中，总满足：()()10332222=-++++y x y x试问点M 的轨迹是 ；写出它的方程 。
(完整word版)高中数学圆锥曲线重要结论讲义
圆锥曲线重要结论椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=.7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b-=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
左老师讲义(高中数学圆锥曲线)
第一章：规定动作1.规定动作之联消判韦（2013天津卷改编）已知,A B 是椭圆22132x y +=的左、右顶点，F 为该椭圆的左焦点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于,C D 两点。
若8AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值.2. 联消判韦之速算判别式（2018全国3卷改编）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 中点D 的横坐标为1，求证:1||2k >.（2015江苏卷改编）已知椭圆2212x y +=的右焦点为F ，直线l 的方程为2x =-，过点F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ,若2PC AB =,求直线AB 的方程。
4.联消判韦之直线的设法: x 型还是y 型（2012北京文改编）已知椭圆22142x y +=的右顶点为A ，直线()1y k x =-与椭圆交于不同的两点,M N .当三角形AMN 的面积为3时，求k 的值.（2013陕西文改编）已知椭圆22:143x y C +=，过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若A 是PB 的中点，求直线l 的斜率.6.传说中的点乘双根式（2012重庆理改编）已知椭圆221204x y +=，12(2,0),(2,0)B B -，过1B 的直线l 交椭圆于,P Q 两点，且22PB QB ⊥，求直线l 的方程.7.不对称处理第0招:假的不对称，整体就对称已知椭圆22:33C x y +=.过点()1,0D 且不过()2,1E 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，直线AE 与直线3.x M =交于点试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.8.不对称处理第1招:硬凑韦达（2011四川理改编）椭圆有两顶点()()1,0,1,0,A B -过其焦点()0,1F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，并与x 轴交于点P 。
高二圆锥曲线讲义
高二圆锥曲线讲义圆锥曲线一、定义 1 第一定义2 第二定义（抛物线是重点）二几何性质 1 标准方程 2 离心率 3 弦长问题4 点在曲线上、曲线内、曲线外5 焦点三角形6 焦半径7 准线三典型题1 动点的轨迹问题（直接法、定义法、相关点法、参数法）2 中点弦问题（点差法、韦达定理）3 面积问题（焦点三角形、弦长公式）4 定点、定值及最值问题（直线过定点、点在直线上、直线与曲线相切）5 取值范围（第一种是不等式求解 ; 第二种是函数的值域求解法)① 直曲联立判别式大于零；② 点在曲线内部或外部；③ 曲线本身a x a ≤≤-,b y b ≤≤-；④ 三角形俩边之和大于第三遍，俩边之差小于第三边；⑤ 向量钝角向量点积小于零，锐角大于零；中点弦问题例1已知椭圆E 经过点()2,3A ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上，离心率12e =. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；(Ⅲ)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.变式1 过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。
变式2 过椭圆1366422=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。
变式3 求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。
变式4 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l 与此椭圆相交于A 、B 两点，且AB 中点M 为(-2，1)，34=AB ，求直线l 的方程和椭圆方程。
动点的轨迹方程例1 已知椭圆方程为2214y x +=，过定点(0,1)M 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，O 为坐标原点，()2OA OB OP +=, 求点P 的轨迹方程变式1 （2011 安徽）设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足BQ =QA λ，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M,点P 满足QM =MP λ,求点P 轨迹方程变式2（2011天津理）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知12F PF ?为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ?=-，求点M 的轨迹方程．变式3、（1）)2 , 4(P 是⊙0362824:22=---+y x y x C 内的一个定点，圆上的动点A 、B 满足?=∠90APB ，求弦AB 中点Q 的轨迹方程；（2）已知定点)2 , 0(A 及⊙4:22=+y x O ．过A 作直线MA 切⊙O 于A ，M 为切线上一个动点，MQ 切⊙O 于Q 点（如图），求MAQ ?的垂心H 的轨迹方程．变式4、（江苏）如图圆1O 与圆2O 的半径都等于1，421=O O ．过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=．试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．变式5 P 是椭圆22221x y a b+=上的任意一点，12,F F 是它的两焦点，O 为坐标原点，12OQ PF PF =+，则动点Q 的轨迹方程是 .变式4 动点P 到点A （0，8）的距离比到直线:7l y =-的距离大1，求动点P 的轨迹方程。
圆锥曲线讲义
高考数学（圆锥曲线）复习讲义整理人：沈兴灿一、直线与圆锥曲线相交解答题的一般步骤：设线、设点， 联立、消元， 韦达、代入、化简。
第一步：设直线方程：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b ；斜率不存在时，通常单独考虑或计算；第二步：设圆锥曲线方程并求出方程第三步：设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x 1,y 1)B(x 2,y 2); 第四步：联立方程组⎩⎨⎧=+=0)y ,x (f bkx y ，消去y 得关于x 的一元二次方程；第五步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件⎩⎨⎧>∆0二次系数不为零，⎩⎨⎧=⋅=+2121x x x x第六步：把所要解决的问题转化为x 1+x 2 、x 1x 2 ，然后代入、化简。
二、本章常用公式：1、直线的点斜式方程：y-y 0=k(x-x 0)2、中点坐标公式：1212,y 22x x y yx ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。
3、弦长公式：y kx b =+与曲线交于两点1122(,),(,)A x y B x y ，则AB =或者AB =4、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v ⋅=5、y kx b =+与曲线交于两点1122(,),(,)A x y B x y ，若12120OA OB OA OB x x y y ⊥⋅+=，则，得 6、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b cx x x x a a+=-=。
7、点（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离d =三．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；注意： 0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
圆锥曲线(课堂讲义和例题)
专题1 焦长与焦比体系】过椭圆的一个焦点的弦与另一个焦点围成的三角形的周长是 ．【例2】 过椭圆的一个焦点F 作弦AB ，若，，则 的数值为（ ） A ． B ．C ．D ．与、斜率有关【例3】设直线与椭圆相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点F .（1）证明：；（2）若F 是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程．【例4】设椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点，离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）若椭圆左焦点为，右焦点，过且斜率为1的直线交椭圆于，求的面积.秒杀秘籍：椭圆焦长以及焦比问题体:过椭圆的左焦点F 1的弦与右焦点F 2围成的三角形的周长是4a ；焦长公式：A 是椭圆上一点，、是左、右焦点，为，过，c 是椭圆半焦距，则（1）；（2）；（3）．体面积：，． 证明：（1）如图所示，，故； （2）设由余弦定理得 ；整理得 ；整理得则过焦点的弦长.（焦长公式）焦比定理：过椭圆的左焦点F 1的弦，，令，即，代入弦长公式可得．yO F 2AB xF 1【例5】已知椭圆C：的左右顶点为A，B，点P为椭圆C上不同于A，B，的一点，且直线P A，PB的斜率之积为；（1）求椭圆的离心率；（2）设为椭圆C的左焦点，直线l过点F与椭圆C交与不同的两点M，N，且求直线l的斜率．【例6】（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若，轴，则椭圆E的方程为．【例7】（2011•浙江）设F1，F2分别为椭圆的焦点，点A，B在椭圆上，若,则点A的坐标是．【例8】（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，．（1）若，的周长为16，求；（2）若，求椭圆E的离心率．_________.【例10】过双曲线的左焦点F 1作倾斜角为的直线交双曲线于A 、B 两点，则=________.【例11】已知双曲线的左、右焦点分别为，．过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若，若是以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ． B ．C ．D ．注意：关于这类型焦比双曲线求离心率的题目很多，通常需要利用双曲线的几何性质把拥有焦比的较长的那段用关于的式子表示出来，再利用（交一支）或者（交两支）得出离心率.证明：1． ；同理. 2．．3．设O 到AB 的距离为,则 ，故． 4．，． 5．；；；．关于抛物线的焦长公式及定理（A 为直线与抛物线右交点，B 为左交点，为AB 倾斜角） 1．；2． 3．；4．设，则； 5．设AB 交准线于点P ，．【例12】已知抛物线C ：的焦点为F ，直线与C 交于A ，B （A 在x 轴上方）两点，若，则m 的值为（ ） A ．B ．C ．D ．【例13】已知抛物线的方程为，过其焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且，O 为坐标原点，则的面积和的面积之比为（ ） A ． B ． C ． D ．【例14】过抛物线的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若，且则此抛物线的方程为（ ）若交于两支时，，代入弦长公式可得．秒杀秘籍：抛物线焦长公式及性质 1．．2．．3．．4．设,则．5．设AB 交准线于点P ，则；．秒杀秘籍：过焦点的弦与其中垂线的性质 1.设椭圆焦点弦的中垂线与长轴的交点为，则与之比是离心率的一半（如图）。
圆锥曲线讲义一
定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点 的连线段，叫做双曲线的焦半径
焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：
焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：
（其中 分别是双曲线的下上焦点）
18．双曲线的焦点弦：
定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦
焦点弦公式：
当双曲线焦点在x轴上时，
过左焦点与左支交于两点时：
（1）位置关系：
相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）
将 代入 ，消去y，得到
关于x的二次方程 （*）
若 ，相交； ，相切； ，相离
综上，得：
联立 ，得关于x的方程
当 （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）
当 ，则
若 ，两个公共点（交点）
，一个公共点（切点）
，无公共点（相离）
焦点在 轴上时：
常数 的关系
， ，
最大，
，
最大，可以
渐近线
焦点在 轴上时：
焦点在 轴上时：
抛物线：
图形
方程
焦点
准线
二、章节知识点回顾：
椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质
1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹
12．等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率
13．共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为 ，那么此双曲线方程就一定是： 或写成
14．共轭双曲线
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANⅠ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。
（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。
二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。
圆锥曲线培优讲义
一 原点三角形面积公式1. 已知椭圆的离心率为，且过点．若点M （x 0，y 0）在椭圆C 上，则点称为点M 的一个“椭点”．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y=kx +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB 的面积．2. 己知椭圆，过原点的两条直线 和 分别与椭圆交于点 ，和 ，．记 的面积为 ．（1）设，．用 ， 的坐标表示点 到直线 的距离，并证明 ；（2）设，，，求 的值．（3）设 与 的斜率之积为，求的值，使得无论 与 如何变动，面积 保持不变．3. 已知椭圆()0,01:2222>>=+b by x C αα的左、右两焦点分别为()()0,1,0,121F F -,椭圆上有一点A 与两焦点的连线构成的21F AF ∆中，满足.127,121221ππ=∠=∠F AF F AF （1）求椭圆C 的方程；（2）设点D C B ,,是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称，设直线OC OB CD BC ,,,的斜率分别为4321,,,k k k k ，且4321k k k k ⋅=⋅，求22OC OB +的值.4. 在平面直角坐标系xoy 内，动点(,)M x y 与两定点(2,0),(2,0)-，连线的斜率之积为14- (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设点1122(,),(,)A x y B x y 是轨迹C 上相异的两点．(I)过点A ，B 分别作抛物线2y =的切线1l 、2l ，1l 与2l 两条切线相交于点(,)N t ，证明：0NA NB =；(Ⅱ)若直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，证明：AOB S ∆为定值，并求出这个定值·5. 已知 、 分别是 轴和 轴上的两个动点，满足，点 在线段 上，且（ 是不为 的常数），设点 的轨迹方程为．（1）求点 的轨迹方程 ；（2）若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，试求实数 的取值范围；（3）若，点， 是曲线 上关于原点对称的两个动点，点 的坐标为，求的面积 的最大值．6. 已知椭圆的焦点在 轴上，中心在坐标原点；抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点．在 ， 上各取两个点，将其坐标记录于表格中：（1）求 ， 的标准方程；（2）已知定点， 为抛物线上一动点，过点 作抛物线的切线交椭圆于 ， 两点，求面积的最大值．7. 已知抛物线的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 ， 两点．（1）若 ，求直线 的斜率；（2）设点在线段上运动，原点 关于点的对称点为 ，求四边形面积的最小值．8. 设椭圆：的左、右焦点分别是、，下顶点为 ，线段 的中点为 （ 为坐标原点），如图．若抛物线：与 轴的交点为 ，且经过，点．（1）求椭圆 的方程；（2）设， 为抛物线上的一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于 、 两点，求 面积的最大值．二 定点定值问题9. 动点P 在圆E ：22(1)16x y ++=上运动，定点(1,0)F ，线段PF 的垂直平分线与直线PE 的交点为Q ． （Ⅰ）求Q 的轨迹T 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线1l ，2l 分别交轨迹E 于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥．证明：过AB 和CD 中点的直线过定点．10. 在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是双曲线D 抛物线C 的焦点与双曲线D 的焦点相同． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若点(,1)P t (0)t >为抛物线C 上的定点，A ，B 为抛物线C 上两个动点．且PA⊥PB ，问直线AB 是否经过定点若是，求出该定点，若不是，说明理由．11. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆 的离心率为，直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于两点．当直线 垂直于 轴且点 为椭圆 的右焦点时，弦 的长为．（1）求椭圆 的方程；（2）若点 的坐标为，点 在第一象限且横坐标为 ，连接点与原点 的直线交椭圆 于另一点 ，求 的面积；（3）是否存在点 ，使得为定值?若存在，请指出点 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．12. 已知椭圆的左焦点为F ，不垂直于x 轴且不过F 点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．（1）如果直线FA ，FB 的斜率之和为0，则动直线l 是否一定经过一定点若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． （2）如果FA ⊥FB ，原点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围．13. 如图，已知直线:1(0)l y kx k =+>关于直线1y x =+对称的直线为1l ，直线1,l l 与椭圆22:14x E y +=分别交于点A 、M 和A 、N，记直线l的斜率为k .（Ⅰ）求1k k ⋅的值；（Ⅱ）当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点恒过定点，请说明理由.14.如图，椭圆（）的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于 ， 两点．当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆 的方程； （2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点 ，使得恒成立? 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．15.已知动圆过定点，且与直线相切，其中．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设、 是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．16. 已知抛物线的准线与 轴交于点，过点 做圆的两条切线，切点为，，．（1）求抛物线 的方程；（2）设， 是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（ 其中为坐标原点）．①求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标；②过点作的垂线与抛物线交于， 两点，求四边形面积的最小值．17.18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点M(x0，y0)是椭圆C ：2212x y +=上一点，从原点O 向圆M:22002()()3x x y y -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点P 、Q ，直线OP 、OQ 的斜率分别记为k1，k2 (1)求证：k1k2为定值;(2)求四边形OPMQ 面积的最大值.19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆()()2200:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q .（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程；（2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12 k k ，的值； （3）试问22OP OQ +是否为定值若是，求出该值；若不是，说明理由. 三 中点弦问题20. 椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为P 为椭圆C 上异于顶点的一个动点，O 为坐标原点，2A 为椭圆C 的右顶点，点M 为线段2PA 的中点，且直线2PA 与直线OM 的斜率之积为12-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C的左焦点1F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于两点,A B，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，N点的横坐标的取值范围是1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭，求线段AB的长的取值范围.21.在平面直角坐标系xoy中，过椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>右焦点的直线x y+-=交椭圆C于,M N两点，P为,M N的中点，且直线OP的斜率为13．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设另一直线l与椭圆C交于,A B两点，原点O到直线l的距离为2，求AOB∆面积的最大值．22.如图，椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>左右顶点为A、B，左右焦点为1212,,4,F F AB F F==(0)y kx m k=+>交椭圆E于点C、D两点，与线段12F F椭圆短轴分别交于M、N两点（M、N不重合），且CM DN=.（1）求椭圆E的方程；（2）设直线,AD BC的斜率分别为12,k k，求12kk的取值范围.23.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：)0(12222>>=+babyax的离心率21=e，左顶点为)0,4(-A，过点A作斜率为)0(≠kk的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的)0(≠kk都有EQOP⊥，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由;（Ⅲ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求||||||OM AE AD +的最小值.24. 已知椭圆过点，且离心率．（1）求椭圆的方程； （2）若椭圆上存在点关于直线对称，求的所有取值构成的集合，并证明对于， 的中点恒在一条定直线上．25. 如图，在直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为．点是上的定点，， 是上的两动点，且线段被直线平分．（1）求， 的值； （2）求面积的最大值．26. 已知抛物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点， 和点，，线段，的中点分别记为，．（1）求面积的最小值； （2）求线段的中点满足的方程．27. 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率是，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是E 上动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．四 定比分点28. 已知点)0,2(-E ，点P 是椭圆F ：36)2(22=+-y x 上任意一点，线段EP 的垂直平分线FP 交于点M ，点M 的轨迹记为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过F 的直线交曲线C 于不同的A ，B 两点,交y 轴于点N ，已知m =，BF n NB =，求n m +的值.29. 在直角坐标系xOy 上取两个定点12(A A 再取两个动点1(0 , )N m ，2(0 , )N n ，且2mn =．（Ⅰ）求直线11A N 与22A N 交点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过(3 , 0)R 的直线与轨迹C 交于P ,Q ，过P 作PN x ⊥轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若(1)RP RQ λλ=>，求证：NF FQ λ=.30. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=()0a b ＞＞的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设11PF FQ λ=． （1）若点P 的坐标为3(1,)2，且2PQF △的周长为8，求椭圆C 的方程；（2）若2PF 垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率1,2e ∈⎡⎢⎣，求实数λ的取值范围．五 结论31. 已知椭圆 20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点(2 且离心率等于2，点 A B ，分别为椭圆C 的左右顶点，点P 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2） M N ，是椭圆C 上非顶点的两点，满足 OM AP ON BP ∥，∥，求证：三角形MON 的面积是定值.32. 过点 ，离心率为 ．过椭圆右顶点 的两条斜率乘积为 的直线分别交椭圆 于 ， 两点．（1）求椭圆 的标准方程；（2）直线 是否过定点 ?若过定点 ，求出点 的坐标，若不过点 ，请说明理由．33. 已知椭圆的两个焦点为()1F ，)2F ，M 是椭圆上一点，若120MF MF ⋅=，128MF MF ⋅=．34. （1）求椭圆的方程；35. （2）点P 是椭圆上任意一点，12A A 、分别是椭圆的左、右顶点，直线12PA PA ，与直线2x =分别交于,E F 两点，试证：以EF 为直径的圆交x 轴于定点，并求该定点的坐标.36. 已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，直线4x =与x 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q,且5.4QF PQ =（1）求抛物线的方程；（2）如图所示，过F 的直线l 与抛物线相交于A,D 两点，与圆()2211x y +-=相交于B,C 两点（A ，B 两点相邻），过A,D 两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M,求ABM ∆与CDM ∆的面积之积的最小值.37. 已知椭圆 ，其右准线 与轴交于点 ，椭圆的上顶点为 ，过它的右焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于点 ，直线 恰经过线段的中点 ．（1）求椭圆的离心率；（2）设椭圆的左、右顶点分别是、，且，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，设 是椭圆右准线 上异于 的任意一点，直线，与椭圆的另一个交点分别为、 ，求证：直线与 轴交于定点．38. 已知点(1,0)A -，(1,0)B ，直线AM 与直线BM 相交于点M ，直线AM 与直线BM的斜率分别记为AM k 与BM k ，且2AM BM k k ⋅=-． （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过定点(0,1)F 作直线PQ 与曲线C 交于,P Q 两点，OPQ ∆的面积是否存在最大值若存在，求出OPQ ∆面积的最大值；若不存在，请说明理由．39. 已知一个动圆与两个定圆41)2(22=+-y x 和449)2(22=++y x 均相切,其圆心的轨迹为曲线C. (1) 求曲线C 的方程；(2) 过点F （0,2)做两条可相垂直的直线21,l l ，设1l 与曲线C 交于A,B 两点, 2l 与曲线 C 交于C,D 两点，线段AC ，BD 分别与直线2=x 交于M ，M,N 两点。
胡杰·圆锥曲线·讲义·
第01讲 圆锥曲线论之韦达定理速解【题型1直线与有心圆锥曲线交点个数问题】例1. （1）已知直线:l 2y x m =+与22143x y +=，有两个不同的交点，求m 的取值范围； （2）已知直线:l 2y x m =+与22143x y -=，有两个不同的交点，求m 的取值范围； （3）已知直线:l 2y x m =+与22134x y +=，有两个不同的交点，求m 的取值范围； （4）已知直线:l 2y x m =+与224x y +=，有两个不同的交点，求m 的取值范围.【题型2韦达定理（12x x +，12y y +）的应用】例2. 已知椭圆:C 22221x y a b +=（0a b >>）过点()2,0，且椭圆C 的离心率为12， （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过点()0,1-交椭圆于A ，B 两点，椭圆上存在一点P ，使得四边形OAPB 为平行四边形，求直线l 的方程．【题型3韦达定理（12x x +，12y y +）的应用】例3. 已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率e =，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点（1）求椭圆的标准方程；（2）设点(),0M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围；【题型4韦达定理（12x x ，12y y ）的应用】例4. 已知1m >，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，12F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （1）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F ，12BF F 的重心分别为,G H ，若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．【题型5韦达定理（12x x +，12x x ，12y y ）的应用】例5. （2015年福建）已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）过点(，且离心率为2． （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线1x my =-交椭圆E 于A ，B 两点，判断点9,04G ⎛⎫- ⎪⎝⎭与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【题型6韦达定理（12x x +，12x x ，12y y ）的应用】例6. （2012年重庆）如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右焦点分别为12,F F ，线段1OF ，2OF 的中点分别为12,B B ，且△12AB B 是面积为4的直角三角形（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过1B 做直线l 交椭圆于P ，Q .两点，使22PB QB ⊥，求直线l 的方程；【题型7韦达定理（12x x +，12x x ，12y y +，12y y ）的应用】例7. 已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为()1,0F ，离心率为2，分别过O 、F 的两条弦AB 和CD 相交于点E （异于A 、C 两点），且OE EF =（1）求椭圆的方程；（2）设直线AC 与BD 的斜率分别为1k 、2k ，求12k k +的值；例8. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C经过⎛ ⎝⎭，离心率为，点A 为其右顶点，过点()1,0B 做直线l 与椭圆相交于,E F 两点，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于点M ，N（1）求椭圆C 的方程；（2）求EM FN ⋅的取值范围；例9. 已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>(2,0)M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且12MB MB ⊥.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.例10. 已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的两个焦点分别为()1F，)2F ，点()1,0M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点N 的坐标为()3,2，过点M 任作直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求证：AN BN k k +为定值．例11. （2013江西）如图，已知椭圆方程2222:1x y C a b +=（0a b >>）经过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率12e =，直线l 的方程为=4x ，（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,k k k ．问：是否存在常数λ，使得123+=k k k λ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．第02讲 圆锥曲线论之中点问题速解【题型1中点弦所在的直线方程】例1. （1）已知直线l 与圆229x y +=交于,A B 两点,且AB 的中点为()1,1P ,求直线l 的方程；（2）已知直线l 与椭圆22143x y +=交于,A B 两点,且AB 的中点为()1,1P ,求直线l 的方程；（3）已知直线l 与双曲线2212y x -=,交于,A B 两点,且AB 的中点为()2,1P ，求直线l 的方程；（4）已知直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点,且AB 的中点为()1,1P ，求直线l 的方程；【题型2有心圆锥曲线垂径定理（1）】例2. （2015全国II 文）已知椭圆C ：(222210x y a b a b +=>>（1）求C 的方程；（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；【题型3有心圆锥曲线垂径定理（1）】例3. （2015全国II 理20）已知椭圆()222:90C x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M ，（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边行？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由；【题型4有心圆锥曲线垂径定理（1）】例4. （2013北京）已知A ，B ，C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点，（1）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（2）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．例5.已知椭圆方程为2212xy+=，左焦点为F（1）求过点O、F，且与2x=-相切的圆的方程；（2）若过左焦点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x 轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．【题型6有心圆锥曲线垂径定理解决中垂线问题】例6.已知椭圆:C22221(0)x ya ba b+=>>的一个焦点是()1,0F，且离心率为12，（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点F的直线交椭圆C于,M N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P，求P的纵坐标取值范围．例7. （2015浙江理）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y kx =+对称，（1）求实数k 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．例8. （2010年安徽）已知椭圆E 经过点()2,3A ，对称轴为坐标轴，焦点1F ，2F 在x 轴上，离心率12e =（1）求椭圆E 的方程；（2）求21AF F ∠的角平分线所在直线l 的方程；（3）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由；例9. （2010北京）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点()1,1A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点M 、N ，问是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．例10. （2011年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，,M N 分别是椭圆22142x y +=的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于,P A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ， （1）当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； （2）当2k =时，求点P 到直线AB 的距离； （3）对任意0k >，求证：PA PB ⊥；【题型11点差法的唯一缺憾】例11. （1）已知椭圆22143x y +=，过点()15,5P 能否作直线l ，使l 与所给椭圆交于Q 1，Q 2两点，且点1P 是弦Q 1Q 2的中点？直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由；（2）已知双曲线2212y x -=，过点()11,1P 能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1，Q 2两点，且点1P 是弦Q 1Q 2的中点？直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由；第03讲 圆锥曲线论之弦长问题速解例1. （1）已知椭圆22:162x y C +=，过椭圆C l 与椭圆交于A 、B ，求弦AB 的长度；（2）已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>，过左焦点()2,0F -且倾斜角为60的直线l 与椭圆交于A 、B ，若154AB =，求椭圆C 的方程．例2. （2011年北京）已知椭圆G ：2214x y +=，过点(),0m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B两点．（1）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（2）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．例3. （2009年山东）设椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b+=>>过点()2,0M ，)N两点，O 为坐标原点，（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥，若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围，若不存在说明理由．例4. （2014东城区二模）已知椭圆22221x y a b +=的一个焦点为()2,0F（1）求椭圆方程；（2）斜率为k 的直线l 过点F ，且与椭圆交于,A B 两点，P 为直线3x =上的一点，若△ABP 为等边三角形，求直线l 的方程．例5. （2016全国2理）已知椭圆22:13x y E t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（1）当4t =，AM AN =时，求AMN △的面积； （2）当2AM AN =时，求k 的取值范围．例6. （2015江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>，且右焦点F 到直线2:al x c=-（其中c 3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．例7. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，短轴的端点分别为1B ，2B ，且12FB FB a ⋅=-（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为k （0k ≠）的直线l 交椭圆于M ，N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D ，弦MN 的中点为P ，试求DPMN的取值范围．例8. （2015陕西）已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b +=>>的半焦距为C ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（1）求椭圆E 的离心率；（2）如图，AB 是圆()()225:212M x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的方程．例9. （2014陕西）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>经过点(，离心率为12，左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c（1）求椭圆的方程；（21:2l y x m =-+与椭圆交于A ，B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D 两点，且满足AB CD l 的方程.例10. 已知圆M ：(222x y r +=（0r >）.若椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的右顶点为圆M 的，（1）求椭圆C 的方程；（2）若存在直线:l y kx =，使得直线l 与椭圆C分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H 两点，点G 在线段AB 上，且AG BH =，求圆M 半径r 的取值范围．例11. （2013湖南）已知1F ，2F 分别是椭圆22:15x E y +=的左、右焦点1F ，2F 关于直线20x y +-=的对称点是圆C 的一条直径的两个端点（1）求圆C 的方程；（2）设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b ，当ab 最大时，求直线l 的方程.第04讲 圆锥曲线论之面积问题速解例1. 已知椭圆方程为22143x y +=，直线y x m =+与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点， （1）当1m =时，求△AOB 的面积；（2）求△AOB 的面积的最大值；例2. （2014新课标1）已知点(A 椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>F 是椭圆E的右焦点，直线AF O 为坐标原点.（1）求E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求l 的方程.例3. （1）已知椭圆方程为22143x y +=，过()0,3的直线与椭圆交于,M N ，O 为坐标原点，求△MON 的面积的最大值．（2）已知椭圆22143x y +=，动直线l 与椭圆交于,B C 两点（点B 在第一象限），若点B 坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，求OBC S △面积的最大值；（3）已知椭圆C :22221x y a b +==1（0a b >>）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l △AOB 面积的最大值；例4. （1）已知椭圆2222:1x y C a b +=，且点12⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，若直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，线段PQ 的中点为H ，O 为坐标原点，且1OH =，求POQ S △面积的最大值；（2）已知椭圆22143x y +=，动直线l 与椭圆交于,B C 两点（点B 在第一象限），设点()11,B x y ，()22,C x y ，且1230y y +=，求当OBC S △面积的最大时直线l 的方程；（3）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称，求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．例5. （1）已知椭圆22162x y +=，直线y m =+与椭圆交于A ，B 两点，C 的坐标)，当ABC ∆的面积最大时，求直线AB 的方程．（2）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为()11,0F -，P 为椭圆G 的上顶点，且145PFO ∠=︒.已知直线1l ：1y kx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆G 交于C ，D 两点，且AB CD =， ①证明：120m m +=；②求四边形ABCD 的面积S 的最大值．（3）已知椭圆E 的两个焦点分别为()1,0-和()1,0,离心率e =，设直线:l y x m =+（0m ≠）与椭圆E 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当m 变化时,求△TAB 面积的最大值．例6. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，由4个点(),M a b -，(),N a b ，2F 和1F .（1）求椭圆的方程；（2）过点1F 的直线和椭圆交于两点A 、B ，求2F AB ∆面积的最大值； 取不到等号例7. （2015年山东）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，左、右焦点分别是12F F ，，以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A B，两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．①求OQ OP的值；②求△ABQ 面积的最大值． 取不到等号例8. 已知直线l 与椭圆22:132x y C +=交于()11,P x y ，()22,Q x y 两不同点，且OPQ △的面积OPQ S =△其中O 为坐标原点．（1）证明2212x x +和2212y y +均为定值；（2）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ⋅的最大值；（3）椭圆C 上是否存在点D ，E ，G ，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆==？若存在，判断DEG ∆的形状；若不存在，请说明理由．例9. 若椭圆22+14x y =，A 、B 是椭圆上的两动点，且OA 、OB 的斜率分别为12,k k ，当12k k λ⋅=时，AOB S △为定值，求λ的值．例10. 已知椭圆2222:1x y C a b+=（0y ≥），直线:1l y kx =+与曲线C 交于A ，D 两点，A ，D 两点在x 轴上的射影分别为B ，C 两点，（1）当点B 坐标为()1,0-时，求k 的值；（2的面积为1S ，四边形ABCD 的面积为2S ，①若1S ，求AD 的值；②求证：1212S S ≥；例11.（2015湖北理21）一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且1DN ON==，3MN=．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动．．N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C的方程；（2）设动直线l与两定直线1:20l x y-=和2:20l x y+=分别交于P、Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：OPQ△的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．第05讲 圆锥曲线论之范围最值速解例1. （2013全国）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆()2222:1>>0x y M a b a b+=右焦点的直线0x y +交M 于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，（1）求M 的方程；（2）C 、D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形的最大值.例2. （2016全国1理）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()1,0B 且与轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． （1）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．例3. （2014湖南理21）如图所示，O 为坐标原点，椭圆1:C ()222210x y a b a b +=>>12,F F ，离心率为1e ；双曲线2:C 22221x y a b -=的左右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ，已知12e e =，且241F F =.（1）求1C ，2C 的方程；（2）过1F 点作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值例4. （2013浙江理21）如图，点()0,1P -是椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点，1C 的长轴是圆222:4C x y +=的直径.12,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于两点，2l 交椭圆1C 于另一点D（1）求椭圆1C 的方程；（2）求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.例5. （2016山东）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点，（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ， （i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标；例6. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的四个顶点组成的四边形的面积为⎛ ⎝⎭（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的下顶点为P ，如图所示，点M 为直线2x =上的一个动点，过椭圆C 的右焦点F 的直线l 垂直于OM ，且与C 交于,A B 两点，与OM 交于点N ，四边形AMBO 和ONP ∆的面积分别为12,S S ．求12S S 的最大值．例7. （2016年天津）设椭圆22213x y a +=（a >的右焦点为..，右顶点为A ，已知113||||||e OF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率，（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围；例8. （2015天津理19）已知椭圆()2222+=10x y a b a b >>的左焦点为(),0F c -点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4b x y =截得的线段的长为c ，FM（1）求直线FM 的斜率；（2）求椭圆的方程；（3）设动点P 在椭圆上，若直线FP OP （O 为原点）的斜率的取值范围例9. （2014四川理）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点,P Q （i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（ii ）当TFPQ最小时，求点T 的坐标例10. （2016浙江）如图所示，设椭圆2221x y a+=()1a >，（1）求直线1y kx =+被椭圆截得的线段长（用a ，k 表示）；（2）若任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围；例11. （2017山东理）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b +=()0a b >>，焦距为2，（1）求椭圆E 的方程；（2l ：1y k x =E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，OS ，OT 是M 的两条切线，切点分别为S ，T ，求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时，直线l 的斜率；第06讲 圆锥曲线论之切线问题速解【题型1圆锥曲线的切线方程】例1. （1）过点()4,3作曲线22:25C x y +=的切线，切线方程为__________________；（2）过点作曲线22:184x y C +=的切线，切线方程为__________________；（3）过点()4,2作曲线22:184x yC -=的切线，切线方程为__________________；（4）过点()1,2-作曲线2:4C y x =的切线，切线方程为__________________；例2. （2012年安徽）如图，()()12,0,,0F c F c -分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点，过点1F 作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点P ，过点2F 作直线2PF 的垂线交直线2a x c=于点Q ； （1）若点Q 的坐标为()4,4，求椭圆C 的方程；（2）证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点.例3. （2013安徽文）已知椭圆()2222:1>>0x y C a b a b+=的焦距为4，且过点p（1）求椭圆C 的方程；（2）设()()0a a a a Q x y x y ≠，，为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点(A Q ，连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点C 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QC ，问这样作出的直线QC 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由；例4. （2013山东理22）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接1PF ，2PF ，设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(),0M m ，求m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线1PF ，2PF 人斜率分别为1k ，2k ，若0k ≠，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值.例5. 点P 是椭圆22143x y +=外的任意一点，过点P 的直线PA 、PB 分别与椭圆相切于A 、B 两点．（1）若点P 的坐标为()1,2，求直线AB 的方程．（2）设椭圆的左焦点为F ，请问：当点P 运动时，PFA ∠与PFB ∠是否总是相等？若是，请给出证明．（3）设椭圆的左右焦点为1F ，2F ，求证：12APF BPF ∠=∠．例6. 已知点A ，B ，C 是椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）上的三点，其中()A 是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC ⋅=，2BC AC =，（1）求点C 的坐标及椭圆E 的方程；（2）若椭圆E 上存在两点P ，Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线x PQ 的斜率．例7. 已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的离心率为12，直线l 过点()4,0A ，()0,2B ，且与椭圆C 相切与点P ，（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点()4,0A 的直线m 与椭圆相交于不同的两点，,M N ，使得23635AP AM AN = 若存在，试求出直线m 的方程，若不存在，请说明理由．例8. （2016四川理20）已知椭圆E 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T（1）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（2）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得2PT PA PB λ=⋅，并求λ的值【题型2圆锥曲线的切点弦方程】例9. （1）过点()8,6P 作曲线22:25C x y +=的切线，切点分别为A 、B ，则AB 所在直线的方程为__________________；（2）过点()5,3M 作曲线22:184x y C +=的切线，切点分别为A 、B ，则AB 所在直线的方程为__________________；（3）过点()1,2M --作曲线22:184x y C -=的切线，切点分别为A 、B ，则AB 所在直线的方程为__________________；（4）过点()1,2M --作曲线2:4C y x =的切线，切点分别为A 、B ，则AB 所在直线的方程为 __________________；例10. 已知以原点O 为中心，)F为右焦点的双曲线C 的离心率e =（1）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y （21x x >）的直线 222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交于G 、H 两点．求△OGH 的面积．例11. 已知椭圆22143x y +=和圆O ：223x y +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：2243ON OM+为定值．第07讲 圆锥曲线论之极点极线速解【结论3圆锥曲线的以弦的端点为切点的两条切线的交点的轨迹方程】例1. （1）过点()1,2P 作曲线22:25C x y +=的一条弦，与曲线交于A ，B 两点，过A 点作曲线的切线1l ，过点B 作曲线的切线2l ，则1l 与2l 的交点轨迹方程为__________________；（2）过点()1,2M 作曲线22:184x y C +=的一条弦，与曲线交于A ，B 两点，过A 点作曲线的切线1l ，过点B 作曲线的切线2l ，则1l 与2l 的交点轨迹方程为__________________；（3）过点13,2M ⎛⎫⎪⎝⎭作曲线22:184x y C -=的一条弦，与曲线交于A ，B 两点，过A 点作曲线的切线1l ，过点B 作曲线的切线2l ，则1l 与2l 的交点轨迹方程为__________________；（4）过点(M 作曲线2:4C y x =的一条弦，与曲线交于A ，B 两点，过A 点作曲线的切线1l ，过点B 点曲线的切线2l ，则1l 与2l 的交点轨迹方程为__________________.【题型1极线过定点】例2. （2010年江苏卷）已知椭圆22195x y +=的左右顶点为A ，B ，设过点(),T t m 的直线TA ，TB 与椭圆分别交于()11,M x y ，()22,N x y ，其中0m >，10y >，20y <，（1）设动点P 满足224PF PB -=，求点P 的轨迹；（2）12x =，213x =，求点T 的坐标；（3）设9t =，求证直线MN 必过x 轴上的定点（其坐标与m 无关）．例3. （2012年北京高考改）已知曲线C ：()()22528m x m y -+-=（m R ∈）．（1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（2）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ，N ，连接AM ，BN 交于点G ，求证：G 点纵坐标为定值；例4. 如图，已知椭圆C 的离心率e =，长轴的左右端点分别为()12,0A -，()22,0A （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1x my =+与椭圆C 交于,P Q 两点，直线1A P 与2A P 交于点S ，试问当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，证明你的结论；若不是，请说明理由；例5. （2011年四川卷理）椭圆有两顶点()1,0A -、()1,0B ,过其焦点()0,1F 的直线l 与椭圆交于C 、D两点,并与xP .直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当CD 求直线l 的方程；(2)当点P 异于A 、B 两点时,求证:OP OQ ⋅u u u r u u u r为定值.例6. 如图，椭圆22:14y C x +=短轴的左右两个端点分别为,A B ，直线:1l y kx =+与x 轴、y 轴分别交于两点,E F ，与椭圆交于两点,C D ，(1)若CE FD =u u u r u u u r，求直线l 的方程；(2)设直线AD ，CB 的斜率分别为12,k k ，若12:2:1k k=，求k 的值.例7. （2012年福建）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8，(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相较于点Q ，试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；例8. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是12，其左、右顶点分别为1A ，2A ，B 为短轴的端点，△12A BA 的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）2F 为椭圆C 的右焦点，若点P 是椭圆C 上异于1A ，2A 的任意一点，直线1A P ，2A P 与直线4x =分别交于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于点2F ．例9. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线()1(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点，直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．类焦点(),0t ，类准线2a x t =，以MN 为直径的圆过x 轴上定点2a t ⎛⎫ ⎪⎝⎭例10. （2011年山东文）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=.如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点()3,D m -， （1）求22m k +的最小值； （2）若2OG OD OE =⋅； （i ）求证：直线l 过定点；（ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时ABG V 的外接圆方程；若不能，请说明理由例11.已知椭圆22:143x yE+=，过点()2,1P的直线l交椭圆E于()11,M x y，()22,N x y两点，过点N作斜率为32-的直线交椭圆E与另一点Q，求证：直线MQ过定点．第08讲例1.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,,过椭圆C上一点()2,1P作x轴的垂线,垂足为Q，（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q的直线l交椭圆C于点,A B,且3AQ QB=，求直线l的方程.例2.已知椭圆C的中点在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为12，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点()0,P m的直线l与椭圆C交于不同的两点,A B，且3AP PB=，求实数m的取值范围.例3. 已知椭圆22:143x y E +=，过左焦点1F 的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线l 与y 轴交于点P ，1PM MF λ=，1PN NF μ=，证明：λμ+为定值．例4. 已知椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）的离心率为2，右焦点为F ，点()0,1P 在椭圆E 上，（1）求椭圆E 的方程；（2）过点F 的直线交椭圆E 于,M N 两点，交直线2x =于点P ，设PM MF λ=，PN NF μ=，证明：λμ+为定值．例5. 已知椭圆22:143x y E +=，左右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，过点1F ，2F 的弦分别与椭圆E 为PS ，PT ，设11PF F S λ=，22PF F T μ=，证明：λμ+为定值．例6. 已知椭圆2222:1x y C a b +=经过点()2,0M ，离心率为12，A ，B 是椭圆上两点，且34OA OB k k =-，O为坐标原点，（1）求椭圆C 的方程；（2）若射线OA 上点P 满足3PO OA =，且PB 与椭圆交于点Q ，求BP BQ的值.例7. 已知1F 、2F 分别为椭圆1C :22221(0)y x a b a b +=>>的上、下焦点,其中1F 也是抛物线22:4C x y =的焦点,点M 是1C 与2C 在第二象限的交点,且153MF =（1）求椭圆1C 的方程.（2）已知点()1,3P 和圆O :222x y b +=,过点P 的动直线l 与圆O 相交于不同的两点,A B ,在线段AB 上取一点Q ,满足:AP PB λ=-,AQ QB λ=,(0λ≠且1λ≠±).求证:点Q 总在某定直线上.例8. （2008年安徽高考）设椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点)M，且焦点为()1F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点()4,1P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同点A 、B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某条定直线上．。
圆锥曲线方程讲义
④经过定点 A（0，b）的直线都可以用方程 y=kx+b 表示其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 4.（2006 北京 11）若三点 A(2, 2), B(a,0), C (0, b)(ab 0) 共线，则
1 1 的值等于______. a b
5．过点 A(2,1),且在 x,y 轴上截距相等的直线方程是 6． 已知直线 l1： x－2y+3=0， 那么直线 l1 的方向向量 a1 为____________ （注： 只需写出一个正确答案即可） ； l2 过点（1，1） ，l2 的方向向量 a2,且 a1²a2=0，则 l2 的方程为____________. 7.直线 x－2y+2k=0 与两坐标轴所围成的三角形面积不大于 1，那么 k 的范围是 A.k≥－1 B.k≤1 C.－1≤k≤1 且 k≠0 D.k≤－1 或 k≥1
题型 2 斜率公式及应用
x y 2 0 y 例 3． （05 年江西高考）设实数 x，y 满足 x 2 y 4 0 ，则 的最大值是_________。 x 2 y 3 0
1 cos2 x 8 sin 2 x 例 4． （05 年全国高考）当 0 x 时，函数 f ( x) 的最小值是（ ） 2 sin 2 x
第六十八讲
一．知识点精讲
直线的方程
1．倾斜角：一条直线 L 向上的方向与 X 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为 0, 。 2．斜率： 当直线的倾斜角不是 900 时，则称其正切值为该直线的斜率，即 k=tan ; 当直线的倾斜角等于 900 时，直线的斜率不存在。 3.过两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k=tan
(完整)高中数学讲义圆锥曲线
高中数学讲义圆锥曲线【知识图解】定义标准方程椭圆几何性质定义标准方程圆锥双曲线圆锥曲线应用曲线几何性质定义标准方程抛物线几何性质【方法点拨】分析几何是高中数学的重要内容之一，也是连接初等数学和高等数学的纽带。
而圆锥曲线是分析几何的重要内容，因此成为高考观察的要点。
研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特色。
它的方程形式拥有代数的特征，而它的图像拥有典型的几何特征，所以，它是代数与几何的完满联合。
高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包含三类：椭圆、双曲线和抛物线。
圆锥曲线问题的基本特色是解题思路比较简单清楚，解题方法的规律性比较强，可是运算过程常常比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形联合能力及综合运用各样数学知识和方法的能力要求较高。
1.一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形联合，既娴熟掌握方程组理论，又关注图形的几何性质 .2.着力抓好运算关，提升运算与变形的能力，分析几何问题一般波及的变量多，计算量大，解决问题的思路剖析出来此后，常常因为运算可是关致使功亏一篑，所以要追求合理的运算方案，研究简化运算的基本门路与方法，并在战胜困难的过程中，加强解决复杂问题的信心，提升运算能力 .3.突出主体内容，重要紧环绕分析几何的两大任务来学习：一是依据已知条件求曲线方程，此中待定系数法是重要方法，二是经过方程研究圆锥曲线的性质，常常经过数形联合来表现，应惹起重视 .4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形联合思想的概括提炼，达到优化解题思想、简化解题过程第 1 课椭圆 A【考点导读】1. 掌握椭圆的第必定义和几何图形 , 掌握椭圆的标准方程 , 会求椭圆的标准方程 , 掌握椭圆简单的几何性质 ;2. 认识运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法； 能运用椭圆的标准方程和几何性质办理一些简单的实质问题 .【基础练习】1．已知△ ABC 的极点 B 、C 在椭圆x 2 y2 1上，极点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另3外一个焦点在 BC 边上，则△ ABC 的周长是 ______2. 椭圆 x 24y 21的离心率为 ______3. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－ 2 3 ，0），且长轴长是短轴长的2 倍，则该椭圆的标准方程是 ______4. 已知椭圆x 2 y 21 的离心率 e 1 ，则 k 的值为 ______8 92k【典范导析】例 1. （ 1）求经过点 (3 , 5 ) ，且 9 x 24 y 2 45 与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
圆锥曲线讲义 圆锥曲线知识总结 抛物线,椭圆,双曲线对比图表
3.几何性质： 1）范围 2）对称性 3）顶点 4）渐近线 5）离心率 6）通径
x∈(-∞,-a]∪[a,+∞) ，y∈R 关于 x 轴，y 轴，原点对称 (a,0),(-a,0)，实轴长为 2a,虚轴长为 2b y=(b/a)x，双曲线与渐近线无限接近，但永远不会相交 双曲线的焦距与实轴长的比 e=c/a 叫做双曲线的离心率,e>1 过焦点并垂直于坐标轴的弦称为通径。双曲线的通径长为（2b^2)/a
2.标准方程：
x a
2 2
)
(
y2 b2
)
1
，a>b>0
焦点是 F1 （-c,0)， F2 (c,0)，且 c2 a2 b2 。
3.几何性质：
1）范围
x∈[-a,a] ，y∈[-b,b]
2）对称性
关于 x 轴，y 轴，原点对称
3）顶点
(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)，长轴长为 2a,短轴长为 2b
1.定义：平面内与两个顶点 F1 ，F2 ,的距离的差的绝对值等于常数（小于| F1 F2 |且不等于零）
的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
2.标准方程：
x a
2 2
)
(
y b
2 2
)
1
，a>0，b>0
焦点是 F1 （-c,0)， F2 (c,0)，且 c2 a2 b2 。
2.标准方程： y2 2 px ，(p>0)
F( p ,0) 焦点是 2
3.几何性质： 1）范围 2）对称性 3）顶点 4）离心率 5）通径
x∈[0,+∞) ,y∈R 关于 x 轴对称。抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。 (0,0) 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比 e=c/a 叫做抛物线的离心率,e=1 过焦点并垂直于轴的弦称为通径。抛物线的通径长为 2p
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e 1
e 1
圆锥曲线的第三定义：
K MA K MB 1
K MA K MB
b2 2 a
K MA K MB
b2 a2
椭圆简易篇
一．椭圆的三个形式：
x2 y2 1, ( a b 0) ，注意多解情况； a 2 b2
1.标准式：中心在原点，焦点在对称轴上
2 2
（2） S PF1F2 b tan
2
（5） t
4a 2 2； b2
（6）
1 1 2 ； PF1 F1M ep sin sin sin
（7） e
椭圆简易篇
（主要证明： PF1
ep ep ; MF1 ;） 1 e cos 1 e cos b2 2 a
2.一般式： A x B y 1 ， （ A 0, B 0 ， A B ）注重突出形式; 3.参数式：
x a cos ， 为参数， y b sin
说明：1.性质：范，对，顶，离； 2.主要考查方程组思想； Exe1.已知
x2 y2 1； 4
椭圆简易
5.已知 P ( x0 , y0 ) 为椭圆上的任意一点，且 PA PB , AB 两点均在椭圆上， 则直线 AB 恒过定点 (
c 2 x0 c 2 y0 , ) a 2 b2 a 2 b2 y2 x2 1(a b 0) ， a 2 b2
注意：若椭圆的方程为
PM 1 PF ， PN 2 PF
，则 1 2
2a 2 b2
4.过 M ( m,0) 作椭圆的割线，交椭圆于 PQ 两点，P 点关于 x 的对称点为 N 点，则直线 NQ 恒过定点 (
a2 ,0 ) m
其中当 P (
a2 ,0) 时，直线 NQ 恒过定点 (c,0) c
（1） PF1 a ex0 ， PF2 a ex0 ；找到长度与坐标的关系；
c y 0 ，找到找到夹角与坐标的关系； 2 2ep （3） PM ，找到夹角与长度的关系； 2 1 e cos 2 1 e cos （4） ，找到比例，倾斜角，离心率三者之的关系； 1 e cos
注意推广：若 K AB K CD m ， （ m 1） ， S四边形ABCD
4a 2b 2 (1 m) m (ma 2 b 2 ) 2
7.以下为椭圆的性质： （1）P 为椭圆上的任意一点，在 P 点处的切 线为焦点三角形 PF1F2 的外角平分线 （2） F2 在外角平分线（就是切线）的上投影 H 的轨迹方程为 x y a
主要呈现方程组思想；结合数形结合，回归到三个定义；利用正余弦定理，还有角平分线定 理，中线定理等等；
S； PF1F2
b tan c y 0 2
2
S PF1F2
tan 2
b2
c y0
找到找到夹角与坐标的关系
2.探讨焦半径的坐标与极坐标表示：
双曲线简易篇
ep AF1 e cos 1 ep BF 1 e cos 1 1 1 2 AF1 BF1 ep 2ep AB 2 e cos 2 1
双曲线===三个定义+三个 +四线+六点+一圆+性质（范，对，顶，离，渐）
双曲线的三式：
x2 y2 1.标准式： 2 2 1 ， （ a 0, b 0 ） a b
2.一般式： Ax By 1 ，Leabharlann （ AB 0 ） 3.参数式：
2 2
x a sec ， 为参数； y b tan
第三定义
K PA K PB
中点弦
K AB K OP
b2 a2
切线问题
K l K OP
b2 2 a
K PB K PA 0
K AB K OP
b2 a2
总结：这里有内切圆，旁切圆，角平分线定理，正弦定理，余弦定理的应用的综合应用。 3 如图所示：直线 MN 经过 F 点与 y 轴交于 P 点，
2 2
（1）求 z x y 的取值范围； （2）求 z x y 2x 的取值范围； （3）求 z 2 x y 1 + x y 的取值范围；
Exe2.已知椭圆方程为
x2 y2 1, ( a b 0) a 2 b2
F1 PF2 , PF1 F2 , F1 F2 P ，点 P ( x0 , y0 ) ， PF1 F1M ， PF2 t F2Q 则有：
2 2 2
（3）焦点 PF1 F2 的旁心必过椭圆的对应的顶点。 （4）以 PF2 为直径的圆与 x y a 相内切。
2 2 2
（5）以焦点弦 AB 为直径的圆与其对应的准线相离。 （6）直线 AB 与椭圆相切， 切点为 A， 若 AF FB ，FH AB ， 则 B 在其对应的准线上， 且 OH a （7）焦点弦 PQ， A 为椭圆的一个顶点， PA 与 QA 分别与其准线相交于 MN 两则 MF NF （8）焦点弦 AB，分别作对应准线的垂线，垂足分别为 MN，则 AN，BM， x 轴交于一点， 而且为焦点 F 与准线之间的中点。 双曲线简易篇
P ( x0 , y0 ) 为椭圆上的任意一点，且 PA PB ,AB 两点均在椭圆上，
则直线 AB 恒过定点 (
c 2 x0 c 2 y0 , ) a 2 b2 a 2 b2
6.过椭圆右焦点 F 的直线 AB，CD 且 AB CD ，则 S四边形ABCD [
8a 2 b 2 ,2b 2 ] 2 2 2 (a b )
高考必备
合肥一六八中学 马文政
追求卓越
椭圆简易篇 椭圆===三个定义+三个方程+范对顶离+两个三角形+一个圆
圆锥曲线的第一定义：
PF1 PF2 , 0 1
定义本身就是一个分类讨论的过程； 圆锥曲线的第二定义：
PF1 PF2 2a
PF1 PF2 2a
PF d
e
e (0,1)