二重积分概念课件
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高等教育出版社
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
采用类似于求曲边梯形面积的方法.
(1) 分割:先用一组平行于坐标轴的直线网 T 把区域
D 分成 n 个小区域 i ( i 1, 2, , n) ( 称 T 为区域 D
的一个分割). 以 i 表示小区域 i 的面积. 这个直 线网也相应地把曲顶柱体分割成 n 个以 i 为底的小 曲顶柱体 Vi ( i 1, 2, , n). (2) 近似求和: 由于 f ( x , y ) 在 D 上连续, 故当每个
数学分析 第二十一章 重积分 二重 积分是 定 积分在 平面上的推广 , 不同之处在 于: 定积分定义在区间上,区 间的 长度容易计算 , 而二重 积分定义在平面区域上 , 其 面积的计算要复杂得多.
§1 二重积分概念
一、平面图形的面积 二、二重积分的定义及其存 在性 三、二重积分的性质
*点击以上标题可直接前往对应内容
f ( i , i ) i 作为 Vi 的
O
z
体积 Vi 的近似值(如 图21-3), 即
Vi f ( i , i ) i .
n n
x
( i ,i )
y
图 21 3
把这些小平顶柱体的体积加起来, 就得到曲顶柱体
体积 V 的近似值 V Vi f ( i , i ) i .
i 的直径都很小时, f ( x , y ) 在 i 上各点的函数值
相差无几, 因而可在 i 上任取一点 ( i , i ),
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
用以 f ( i , i )为高, i 为底 的小平顶柱体的体积
形 R 的面积); 将所有第 (i) 类与第 (iii) 类小矩形的 面积加起来(图 21-1中除青色部分), 记这个和数为
S P (T ), 则有 sP (T ) S P (T ).
数学分析 第二十一章 重积分
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§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
立 i
高等教育出版社
ba
.
数学分析 第二十一章 重积分
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
即若把曲线 K 按 x x0 , x1 , , xn ,分成 n 个小段 则每一小段都能被以 xi 为宽, i 为高的小矩形所 覆盖. 由于这 n 个小矩形面积的总和 n n i x i xi , b a i 1 i 1 因此由定理21.1 的推论即得曲线 K 的面积为零.
i 1
则称 f ( x , y ) 在 D 上可积, 数 J 称为函数 f ( x , y ) 在D 上二重积分, 记作 J f ( x , y )d ,
i
.
称它为函数 f 在 D 上属于分割 T 的一个积分和.
数学分析 第二十一章 重积分
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§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
定义 2
设 f ( x , y ) 是定义在可求面积的有界闭域 D上 的函数. J 是一个确定的实数, 若对任给的正数 , 总存在某个正数 , 使对于 D 的任何分割 T, 当它的细度 || T || 时, 属于 T 的所有积分和都 n 有 f ( i , i ) i J , (4)
i 1 i 1
数学分析 第二十一章 重积分
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§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
(3) 取极限: 当直线网 T 的网眼越来越细密, 即分割
T 的细度 || T || max d i ( d i 为 i 的直径)趋于零时, 就 1 i n 有
数学分析 第二十一章 重积分
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§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
将所有属于第(i) 类小矩形
(图 21-1 中紫色部分)的面 积加起来, 记这个和数为
sP (T ), 则有 sP (T ) R (这
y
P
O
图 21 1
x
里 R 表示包含P 的那个矩
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
平面图形的面积
我们首先定义平面图形的面积. 我们称平面图形 P 是有界的, 如果存在一矩形 R , 使得 P R .
设 P 是一平面有界图形, 用平行于二坐标轴的某一
组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T 的网眼 (小闭矩形) i 可分为三类: (i) i 上的点都是 P 的内点; (ii) i 上的点都是 P 的外点, 即 i P ; (iii) i 上含有 P 的边界点.
, S P (T2 ) I P
.
(3)
可证得
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sP (T1 ) sP (T ), S P (T2 ) S P (T ).
数学分析 第二十一章 重积分
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
于是由(3)可得
sP (T ) I P
2
, S P (T ) I P
定义1
若平面图形 P 满足 I P = I P , 则称 P 为可求面积 的图形, 并把共同值 I P I P I P 作为 P 的面积.
数学分析 第二十一章 重积分
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§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
定理20.1
平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: 对任给的 0 , 总存在直线网 T, 使得 S P (T ) sP (T ) .
2
.
从而对直线网 T 有 S P (T ) sP (T ) . 充分性 设对任给的 0 , 存在某直线网 T, 使得
S P (T ) sP (T ) .
但
sP (T ) I P I P S P (T ),
I P I P S P (T ) s P (T ) . 所以 由 的任意性, 得 I P I P , 因而平面图形 P 可求面积.
D ( x , y ) x , y Q [0,1] .
易知 0 I D I D 1, 因此 D 是不可求面积的.
注2 以下讨论的有界闭区域都是指分段光滑曲线围成 的有界闭区域.
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§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
f ( , )
i 1 i i
n
i
V .
这类问题在物理学与工程技术中也常遇到, 如求非 均匀平面的质量、重心、转动惯量等等. 这些都是
所要讨论的二重积分的实际物理背景.
数学分析 第二十一章 重积分
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§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
上面叙述的问题都可归为以下数学问题. 设 D 为 xy 平面上可求面积的有界闭域, f ( x , y ) 为 定义在 D上的函数. 用任意的曲线网把 D 分成 n 个 可求面积的小区域 1 , 2 , , n .
[ , ] 分成 n 段: t0 t1 t n , x ( t ) (或 y ( t ) ) 存在 使得在每一段 [t i 1 , ti ] 上，
反函数 t 1 ( x ) (或 t 1 ( x ) ), 于是在 [t i 1 , ti ] 上
推论 1
参量方程 x ( t ), y ( t ) ( t ) 所表示的 光滑曲线或按段光滑曲线, 其面积一定为零.
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来自百度文库 §1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
, 均存在且不同时为零. 证 由光滑曲线的定义， 由隐函数存在性定理, t0 [ , ], ( t0 ) 0 (或 ( t0 ) 0 ), 因此 U ( t0 ; ), x ( t ) (或 y ( t ) ) 在 U ( t0 ; ) 上有反函数. 再由有限覆盖定理, 可把区间
以 i 表示小区域 i 的面积, 这些小区域构成 D 的
一个分割 T, 以 d i 表示小区域 i 的直径, 称 || T || max d i
1 i n
为T 的细度. 在每个 i 上任取一点 ( i , i ), 作和式
f ( , )
i 1 i i
n
由确界存在定理可以推得, 对于平面上所有直线网,
数集 { sP (T )} 有上确界, { S P (T )} 有下确界. 记
I P sup{ sP (T )}, I P inf{ S P (T )},
显然有
T T
0 IP IP .
(1)
通常称 I P 为 P 的内面积, I P 为 P 的外面积.
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§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
定理21.2
平面有界图形 P 可求面积的充要条件是:
P 的边界 K 的面积为零. 证 由定理21.1, P 可求面积的充要条件是: 对任给 的 0 , 存在直线网T, 使得 S P (T ) sP (T ) . 由于
有连续的 y ( 1 ( x )) (或 x ( 1 ( y )) ). 所以在
[t i 1 , t i ] 上的曲线面积为零, 从而整个曲线面积为零.
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§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
推论 2
由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面图形 都是可求面积的. 注1 平面中并非所有的点集都是可求面积的. 例如
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§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
推论
平面有界图形 P 的面积为零的充要条件是它 的外面积 I P 0 , 即对任给的 0 , 存在直线网 T, 使得
S P (T ) ,
或对任给的 0 , 平面图形 P 能被有限个面积总和 小于 的小矩形所覆盖.
二重积分的性质
二重积分的定义及其存在性
二重积分的几何背景是 求曲顶柱体的体积. 设
f ( x , y ) 为定义在可求
O
z
z f ( x, y )
面积的有界闭域 D上的
非负连续函数. 求以曲
面 z f ( x , y ) 为顶, D 为
x
y
图 21-2
底的柱体 (图21-2) 的体积 V.
数学分析 第二十一章 重积分
(2)
证 必要性 设有界图形 P 的面积为 I P . 由定义 1, 有 I P I P I P . 0, 由 I P 及 I P 的定义知道, 分别 存在直线网 T1 与 T2 , 使得
sP (T1 ) I P
2 2 记 T 为由 T1 与 T2 这两个直线网合并所成的直线网,
的图象, 则曲线 K 的面积为零. 证 由于 f ( x ) 在闭区间 [a , b] 上连续, 所以它在 [a , b] 上一致连续. 因而, 0, 0 , 当
a x0 x1 xn b ， max{xi xi xi 1 | i 1, 2,, n} 时, 可使 f ( x ) 在每个小区间 [ xi 1 , xi ] 上的振幅都成
S K (T ) S P (T ) sP (T ),
所以也有 S K (T ) . 由上述推论, P 的边界K 的面积
为零.
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§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
定理21.3
若曲线 K 为定义在 [a , b] 上的连续函数 f ( x )
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
采用类似于求曲边梯形面积的方法.
(1) 分割:先用一组平行于坐标轴的直线网 T 把区域
D 分成 n 个小区域 i ( i 1, 2, , n) ( 称 T 为区域 D
的一个分割). 以 i 表示小区域 i 的面积. 这个直 线网也相应地把曲顶柱体分割成 n 个以 i 为底的小 曲顶柱体 Vi ( i 1, 2, , n). (2) 近似求和: 由于 f ( x , y ) 在 D 上连续, 故当每个
数学分析 第二十一章 重积分 二重 积分是 定 积分在 平面上的推广 , 不同之处在 于: 定积分定义在区间上,区 间的 长度容易计算 , 而二重 积分定义在平面区域上 , 其 面积的计算要复杂得多.
§1 二重积分概念
一、平面图形的面积 二、二重积分的定义及其存 在性 三、二重积分的性质
*点击以上标题可直接前往对应内容
f ( i , i ) i 作为 Vi 的
O
z
体积 Vi 的近似值(如 图21-3), 即
Vi f ( i , i ) i .
n n
x
( i ,i )
y
图 21 3
把这些小平顶柱体的体积加起来, 就得到曲顶柱体
体积 V 的近似值 V Vi f ( i , i ) i .
i 的直径都很小时, f ( x , y ) 在 i 上各点的函数值
相差无几, 因而可在 i 上任取一点 ( i , i ),
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§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
用以 f ( i , i )为高, i 为底 的小平顶柱体的体积
形 R 的面积); 将所有第 (i) 类与第 (iii) 类小矩形的 面积加起来(图 21-1中除青色部分), 记这个和数为
S P (T ), 则有 sP (T ) S P (T ).
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二重积分的性质
立 i
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ba
.
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平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
即若把曲线 K 按 x x0 , x1 , , xn ,分成 n 个小段 则每一小段都能被以 xi 为宽, i 为高的小矩形所 覆盖. 由于这 n 个小矩形面积的总和 n n i x i xi , b a i 1 i 1 因此由定理21.1 的推论即得曲线 K 的面积为零.
i 1
则称 f ( x , y ) 在 D 上可积, 数 J 称为函数 f ( x , y ) 在D 上二重积分, 记作 J f ( x , y )d ,
i
.
称它为函数 f 在 D 上属于分割 T 的一个积分和.
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平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
定义 2
设 f ( x , y ) 是定义在可求面积的有界闭域 D上 的函数. J 是一个确定的实数, 若对任给的正数 , 总存在某个正数 , 使对于 D 的任何分割 T, 当它的细度 || T || 时, 属于 T 的所有积分和都 n 有 f ( i , i ) i J , (4)
i 1 i 1
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平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
(3) 取极限: 当直线网 T 的网眼越来越细密, 即分割
T 的细度 || T || max d i ( d i 为 i 的直径)趋于零时, 就 1 i n 有
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平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
将所有属于第(i) 类小矩形
(图 21-1 中紫色部分)的面 积加起来, 记这个和数为
sP (T ), 则有 sP (T ) R (这
y
P
O
图 21 1
x
里 R 表示包含P 的那个矩
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平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
平面图形的面积
我们首先定义平面图形的面积. 我们称平面图形 P 是有界的, 如果存在一矩形 R , 使得 P R .
设 P 是一平面有界图形, 用平行于二坐标轴的某一
组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T 的网眼 (小闭矩形) i 可分为三类: (i) i 上的点都是 P 的内点; (ii) i 上的点都是 P 的外点, 即 i P ; (iii) i 上含有 P 的边界点.
, S P (T2 ) I P
.
(3)
可证得
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sP (T1 ) sP (T ), S P (T2 ) S P (T ).
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平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
于是由(3)可得
sP (T ) I P
2
, S P (T ) I P
定义1
若平面图形 P 满足 I P = I P , 则称 P 为可求面积 的图形, 并把共同值 I P I P I P 作为 P 的面积.
数学分析 第二十一章 重积分
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§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
定理20.1
平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: 对任给的 0 , 总存在直线网 T, 使得 S P (T ) sP (T ) .
2
.
从而对直线网 T 有 S P (T ) sP (T ) . 充分性 设对任给的 0 , 存在某直线网 T, 使得
S P (T ) sP (T ) .
但
sP (T ) I P I P S P (T ),
I P I P S P (T ) s P (T ) . 所以 由 的任意性, 得 I P I P , 因而平面图形 P 可求面积.
D ( x , y ) x , y Q [0,1] .
易知 0 I D I D 1, 因此 D 是不可求面积的.
注2 以下讨论的有界闭区域都是指分段光滑曲线围成 的有界闭区域.
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平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
f ( , )
i 1 i i
n
i
V .
这类问题在物理学与工程技术中也常遇到, 如求非 均匀平面的质量、重心、转动惯量等等. 这些都是
所要讨论的二重积分的实际物理背景.
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平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
上面叙述的问题都可归为以下数学问题. 设 D 为 xy 平面上可求面积的有界闭域, f ( x , y ) 为 定义在 D上的函数. 用任意的曲线网把 D 分成 n 个 可求面积的小区域 1 , 2 , , n .
[ , ] 分成 n 段: t0 t1 t n , x ( t ) (或 y ( t ) ) 存在 使得在每一段 [t i 1 , ti ] 上，
反函数 t 1 ( x ) (或 t 1 ( x ) ), 于是在 [t i 1 , ti ] 上
推论 1
参量方程 x ( t ), y ( t ) ( t ) 所表示的 光滑曲线或按段光滑曲线, 其面积一定为零.
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平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
, 均存在且不同时为零. 证 由光滑曲线的定义， 由隐函数存在性定理, t0 [ , ], ( t0 ) 0 (或 ( t0 ) 0 ), 因此 U ( t0 ; ), x ( t ) (或 y ( t ) ) 在 U ( t0 ; ) 上有反函数. 再由有限覆盖定理, 可把区间
以 i 表示小区域 i 的面积, 这些小区域构成 D 的
一个分割 T, 以 d i 表示小区域 i 的直径, 称 || T || max d i
1 i n
为T 的细度. 在每个 i 上任取一点 ( i , i ), 作和式
f ( , )
i 1 i i
n
由确界存在定理可以推得, 对于平面上所有直线网,
数集 { sP (T )} 有上确界, { S P (T )} 有下确界. 记
I P sup{ sP (T )}, I P inf{ S P (T )},
显然有
T T
0 IP IP .
(1)
通常称 I P 为 P 的内面积, I P 为 P 的外面积.
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平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
定理21.2
平面有界图形 P 可求面积的充要条件是:
P 的边界 K 的面积为零. 证 由定理21.1, P 可求面积的充要条件是: 对任给 的 0 , 存在直线网T, 使得 S P (T ) sP (T ) . 由于
有连续的 y ( 1 ( x )) (或 x ( 1 ( y )) ). 所以在
[t i 1 , t i ] 上的曲线面积为零, 从而整个曲线面积为零.
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平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
推论 2
由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面图形 都是可求面积的. 注1 平面中并非所有的点集都是可求面积的. 例如
数学分析 第二十一章 重积分
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平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
推论
平面有界图形 P 的面积为零的充要条件是它 的外面积 I P 0 , 即对任给的 0 , 存在直线网 T, 使得
S P (T ) ,
或对任给的 0 , 平面图形 P 能被有限个面积总和 小于 的小矩形所覆盖.
二重积分的性质
二重积分的定义及其存在性
二重积分的几何背景是 求曲顶柱体的体积. 设
f ( x , y ) 为定义在可求
O
z
z f ( x, y )
面积的有界闭域 D上的
非负连续函数. 求以曲
面 z f ( x , y ) 为顶, D 为
x
y
图 21-2
底的柱体 (图21-2) 的体积 V.
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(2)
证 必要性 设有界图形 P 的面积为 I P . 由定义 1, 有 I P I P I P . 0, 由 I P 及 I P 的定义知道, 分别 存在直线网 T1 与 T2 , 使得
sP (T1 ) I P
2 2 记 T 为由 T1 与 T2 这两个直线网合并所成的直线网,
的图象, 则曲线 K 的面积为零. 证 由于 f ( x ) 在闭区间 [a , b] 上连续, 所以它在 [a , b] 上一致连续. 因而, 0, 0 , 当
a x0 x1 xn b ， max{xi xi xi 1 | i 1, 2,, n} 时, 可使 f ( x ) 在每个小区间 [ xi 1 , xi ] 上的振幅都成
S K (T ) S P (T ) sP (T ),
所以也有 S K (T ) . 由上述推论, P 的边界K 的面积
为零.
数学分析 第二十一章 重积分
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平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
定理21.3
若曲线 K 为定义在 [a , b] 上的连续函数 f ( x )