欧拉和的新证明
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2 4 6 2 4 6
1-
x P 2
2 2
1+ ]
x 2 3P 2 1-
2
1-
x 2 5P 2
2
@ ,@
1] 2
x2 2 n- 1 P 2 2
2
@ ,=
n= 1
F
x2 , Px I R. 2n - 1 P 2 2
( 4)
由于
n= 1
E
x 2n - 1 P 2 1 = 2!
绝对收敛 , 故这个无穷乘积是绝对收敛的. 比较 ( 4) 式两边 x 2 的系数, 有 1 + 2 3P 2 1 + 2 5P 2 1 2n + 1
. 特别地 , 将 x = co s t 代入 ( 5) 式 , 有
]
P - t - cos t = 2 每一项在闭区间 [ -
n= 1
Eຫໍສະໝຸດ Baidu
2 n+ 1 !! 2 n!!
1 2n + 1
2
cos
2n+ 1
t,
t I [ - P, P] . 2 2
P P , ] 上连续 , 由维尔斯特拉斯 ( Kar l Weierst rass, 1815 - 1897) M 判别法可知 , 任给 2 2
n= 1
2
= P. 而 8
2 n= 1
E
]
1 = 2 n
E
]
1 2n - 1
2
+
n= 1
E
]
1 2n
2
2 = P+ 1 8 4
n= 1
E
]
1. 2 n
于是得到
n= 1
E
]
2 1 P . 2 = n 6
3
所以
三角级数法
将函数 f ( x ) = x 在 - P , P 上展开成傅里叶( F ourier J, 1768- 1830) 余弦级数, 由于 f ( x ) 是偶函数,
4
复分析法
引理 对于三角级数
n= 1
E
]
sin nP, 任给 x I n
0, 2 P , 恒有下式成立 : ( 6)
n= 1
E
]
sin nx = P- x . n 2
# 242 #
内蒙古师范大学学报 ( 自然科学汉文版 )
第 40 卷
证明
在级数 ln ( 1 - x ) =
n= 1
E
]
- x 中 , 令 x = e i t , 则有 n 1 - co s t
P 2
1 2n + 1
2n+ 1
2
Q cos
0
P 2
2n+ 1
td t,
即 由于[ 6] 所以
2 P = 1+ 8
E
]
2 n+ 1 ! ! 1 2 n !! 2n + 1 2n !! , 2n + 1 !!
2
Q cos
0
t dt .
Q cos
0 ]
P 2
2n+ 1
td t =
n= 1
E
1 2n - 1
n= 0
P P t I [, ] , 函数项级数 2 2 取积分, 有
E
]
2n + 1 !! 1 2n !! 2n + 1
2
cos
2n+ 1
t 在闭区间 [ -
P P , ] 上一致收敛于函数, 逐项 2 2
Q
0
P 2
P- t - cos t d t = 2
n= 1
n= 1
E
]
2n + 1 !! 2n!!
# 240 #
内蒙古师范大学学报 ( 自然科学汉文版 )
第 40 卷
前 287- 前 212) 球表面积公式的获得 , 牛顿( N ew t on I, 1642- 1727) 一般有理数指数情形的二项式定理的发 现, 就是这种思维方法的两个典型例子 . 对有限次代数方程 a0 + a 1 x + a2 x + , + anx = 0 , a 0 X 0,
是书中所论素数倒数求和问题中的一个特殊情形 . 在发表于 1689 年的论文/ 具有有限和的无穷级数的算术 命题0 中, 瑞士著名数学家雅各 # 伯努利 ( Jacob Bernoulli, 1654- 1705) 部分重复了蒙哥利的无穷级数工作, 在论文最后, 伯努利称, 尽管级数 1+ 13+ 16+ 110+ 115+ ,的求和问题易如反掌, 但奇怪的是, ( 1) 式的和 却难以求出. 他说: / 如果有谁解决了这个迄今让我们束手无策的难题, 并告知我们, 我们将十分感激他. 0 实 际上 , 当时欧洲的一流数学家 , 如约翰 # 伯努利 ( Bernoulli J, 1667- 1748) 及其子丹尼尔 # 伯努利( Bernoulli D, 1700- 1782) 、 哥德巴 赫 ( Goldbach C, 1690- 1764) 、 莱 布尼茨 ( L eibniz G W, 1646 - 1716) 、 棣 莫佛 ( M oivre A De, 1667- 1754) 、 斯特林( St irling J, 1692- 1770) 等都未能成功地解决这一难题 . 其中哥德巴赫 在与丹尼尔的通信( 1729) 中给出和的上、 下限为 1. 644 和 1. 645; 斯特林在其5微分法6 ( M et hodus dif f eren t ialis, 1730) 中给出的近似值为 1. 644 934 066. 1734 年 , 一位师从约翰 - 伯努利的青年数学家欧拉 ( Euler L, 1707- 1783) 一举解决了当时与费尔马 ( Ferm at P, 1601- 1665) 大定理齐名的困扰数学家百年之久的问题平方倒数求和, 完成了其导师伯努利的心 愿. 1737 年, Euler 在一篇题为5对无穷级数的若干观察6 的论文中提出并证明了 Euler 乘积公式 : 对任意复数 s, 若 Re ( s) > 1, 则
2 n
如果有 n 个不同的根 K 1,K 2, K 3 , ,, K n , 则上式左边的多项式能够表示为 n 个线性因子乘积 , 即 a0 + a 1 x + a2 x 2 + , + anx n = 1- x K 1 1- x K 2 1 - x , 1- x . K 3 K n
比较这个恒等式两边 x 同次幂的系数, 就得到根与系数的关系. 特别地 , 如果是偶次方程 b0 - b 1 x 2 + b2 x 4 + ,+ (- 1) b nx
欧拉和亦即平方倒数求和 , 最早出现于 17 世纪意大利数学家蒙哥利 ( Mengoli P, 1626- 1686) 的5算术 求和新法6 ( Nov ae quadraturae arit hm et icae, 1650) . 无穷级数 F ( 2) =
n= 1
E
]
2 1 P 2 = n 6
( 1)
n 2n
= 0, 有 2n 个不同的根 N 1, - N 1, N 2, - N 2, , ,N n, - N n, 则
2 4 n 2n
b0 - b 1 x + b2 x + , + (- 1 ) b nx 比较 ( 2) 式的二次项系数有 b 1 = b0
= b0 1 -
x2 2 N 1
1-
x2 2 N 2
2
an = 1 P 而 a0
Q = 1 x PQ
- P P -P
P
x 2 cos nx dx = 2 x 2 sin nx P n
2 2 dx = 2 P , 3
P 0
- 4 P
Q
0
P
sin nx x dx = 4 cos nx x 2 n P n
P 0
- 4 P
Q
0
P
co s nx x dx = 4(- 1) n . 2 2 n n
第3期
黄
炜 : 欧拉和的新证明
# 241 #
对等式两边从 0 到 x 积分 , 注意到幂级数的逐项可积性和 P - arcco s x = 2 P- arccos x = 2 由 Abel 第二 定 理 P = 2
n= 0 [ 1]
Q
x 0
1 dx , 有 2 1- x
2
n= 0
E
]
2 n+ 1 !! 2 n!!
n= 1
E
]
1 2n - 1
+
n= 1
E
]
2
n= 1
E
]
1, n2
于是得到
n= 1
E
]
2 1 = P . 2 n 6
2
无穷幂级数积分法
x I 0, 1 时, 1 [ 2] 的幂级数展开式 为 2 1- x
1 1 2 1# 3 4 1 #3# 5 6 ( 2n - 1) ! ! 2n = 1+ x + x + x + ,+ x + , 2 2 2 # 4 2 # 4 # 6 ( 2 n) !! 1- x
黄 炜1, 2
( 1. 西安铁路职业技术学院 基础部 , 陕西 西安 710016; 2. 宝鸡职业技术学院 基础 部 , 陕西 宝鸡 721013) 摘 要 : 借助类比的数学思想 , 利用根与系数的关系及函数 项级数一致收敛的概念 , 给出 欧拉和的 几种新的
证明方法 . 关键词 : 欧拉和 ; 根与系数关系 ; 函数项级数 ; 一致收敛 中图分类号 : O 156. 0 文献标志码 : A 文章编号 : 1001 - 8735( 2011) 03 - 0239 - 04
En
n
-s
=
F
n
1 - p- s
-1
,
其中 n 为自然数, p 为素数 . Euler 乘积公式将一个对自然数的倒数求和表达式与一个对素数的连乘积表达 式联系在一起, 蕴涵着有关素数分布的重要信息. 欧拉
[ 1]
提出了两种方法、 4 个证明 , 个个奇巧、 美丽、 深刻. 近现代学者也给出一些更严格的新证明, 其中
1 2n + 1
2n+ 1 = x+ 2x
n= 1
E
]
2n + 1 ! ! 1 2 n!! 2 n+ 1
x 2n+ 1 .
( 5)
, ( 5) 式 对 一 切 x I 1 2n + 1
2
0, 1 皆 成 立 . 取 x = 1, 得 到 关 于 P 的 一 个 级 数 表 达 式
E
]
2n + 1 !! 2n !!
2
1 P 2
2
+
1 + ,+ 2 7P 2 + ,=
2 P .而 8 2 = P+ 1 8 4 2 P , 8
1 2 + , 2n + 1 P 2
从而得到 1 1 1 1 + + + ,+ 1 9 25 49 即为自然奇数倒数平方和公式
n= 1 2
E
]
1 2 n- 1
2
= 1 2n
n= 1
E
]
1 = n2
收稿日期 : 2010 -08 -03 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 10671155) ; 陕西省自然科学基金资助项目 ( SJ 08A 28) 作者简介 : 黄 炜 ( 1961- ) , 男 , 陕西岐山人 , 西安铁路职业技术学院教授 , 主要从事数论及数学应用研究, E - mail: wphuangwei@ 163. com.
1-
x2 x2 , 1- 2 , 2 N 3 N n
( 2)
1 + 1 + , + 1 . 考察无穷多项方程 2 2 2 1 2 n N N N ( 3)
2 4 6 1 - x + x - x + , = 0, 2! 4! 6!
及幂级数展开式 cos x = 1 - x + x - x + , 2! 4 ! 6! 由于方程 cos x = 0 的根为 ? P, ? 3P, ? 5 P , ? 7P , ? 9P , , 故方程 ( 3) 左边可表示为 2 2 2 2 2 1- x + x - x + , = 2 ! 4! 6!
f (x) ~
2 令x = P ,有 1P + 3 ]
a0 + 2
n= 0
n= 0 n
E
]
an cos nx =
1 2 P+ 3
n= 0
E
]
4(- 1) n 2 cos nx = x , n2
x I
- P ,P.
E
4 - 1 2 n
2 cos nP= P , 于是得到
n= 0
E
]
2 1 = 1 @ 2P 2 = P. 2 n 4 3 6
第 40 卷 第 3 期 2011 年 5 月
内蒙古师范大学学报 ( 自然科学汉文版 ) Journal o f Inner M ongo lia N o rmal U niversit y ( Natura l Science Editio n)
V ol. 40 N o. 3 M ay 2011
欧拉和的新证明
文献 [ 2 - 5] 证明比较简捷. 本文借助类比的数学思想 , 利用根与系数的关系及函数项级数一致收敛的概念, 给出欧拉和的几种新的证明方法.
1
有限次代数方程根与系数的关系类比到无限次方程法
类比是人们把解决个别问题所得的经验用来解决其他类似问题的一种类似联想的思维方法, 类比这一
重要的数学方法 , 曾被 17 世纪德国著名数学家和天文学家开普勒 ( Kepler J, 1571- 1630) 视为/ 知道大自然 一切秘密0 的/ 导师0 , 被波利亚 ( Geo rge P oly a, 1887- 1985) 称为科学发现的/ 伟大的引路人 0. 翻开数学历史 的画卷, 我们往往 能看到 数学家在 做出数学 发现时 , 类比思 维所起的 关键作用 . 阿 基米德 ( Archimedes,
2
n
ln ( 1 - x ) = ln 1 - cos t - i sin t = ln
1-
x P 2
2 2
1+ ]
x 2 3P 2 1-
2
1-
x 2 5P 2
2
@ ,@
1] 2
x2 2 n- 1 P 2 2
2
@ ,=
n= 1
F
x2 , Px I R. 2n - 1 P 2 2
( 4)
由于
n= 1
E
x 2n - 1 P 2 1 = 2!
绝对收敛 , 故这个无穷乘积是绝对收敛的. 比较 ( 4) 式两边 x 2 的系数, 有 1 + 2 3P 2 1 + 2 5P 2 1 2n + 1
. 特别地 , 将 x = co s t 代入 ( 5) 式 , 有
]
P - t - cos t = 2 每一项在闭区间 [ -
n= 1
Eຫໍສະໝຸດ Baidu
2 n+ 1 !! 2 n!!
1 2n + 1
2
cos
2n+ 1
t,
t I [ - P, P] . 2 2
P P , ] 上连续 , 由维尔斯特拉斯 ( Kar l Weierst rass, 1815 - 1897) M 判别法可知 , 任给 2 2
n= 1
2
= P. 而 8
2 n= 1
E
]
1 = 2 n
E
]
1 2n - 1
2
+
n= 1
E
]
1 2n
2
2 = P+ 1 8 4
n= 1
E
]
1. 2 n
于是得到
n= 1
E
]
2 1 P . 2 = n 6
3
所以
三角级数法
将函数 f ( x ) = x 在 - P , P 上展开成傅里叶( F ourier J, 1768- 1830) 余弦级数, 由于 f ( x ) 是偶函数,
4
复分析法
引理 对于三角级数
n= 1
E
]
sin nP, 任给 x I n
0, 2 P , 恒有下式成立 : ( 6)
n= 1
E
]
sin nx = P- x . n 2
# 242 #
内蒙古师范大学学报 ( 自然科学汉文版 )
第 40 卷
证明
在级数 ln ( 1 - x ) =
n= 1
E
]
- x 中 , 令 x = e i t , 则有 n 1 - co s t
P 2
1 2n + 1
2n+ 1
2
Q cos
0
P 2
2n+ 1
td t,
即 由于[ 6] 所以
2 P = 1+ 8
E
]
2 n+ 1 ! ! 1 2 n !! 2n + 1 2n !! , 2n + 1 !!
2
Q cos
0
t dt .
Q cos
0 ]
P 2
2n+ 1
td t =
n= 1
E
1 2n - 1
n= 0
P P t I [, ] , 函数项级数 2 2 取积分, 有
E
]
2n + 1 !! 1 2n !! 2n + 1
2
cos
2n+ 1
t 在闭区间 [ -
P P , ] 上一致收敛于函数, 逐项 2 2
Q
0
P 2
P- t - cos t d t = 2
n= 1
n= 1
E
]
2n + 1 !! 2n!!
# 240 #
内蒙古师范大学学报 ( 自然科学汉文版 )
第 40 卷
前 287- 前 212) 球表面积公式的获得 , 牛顿( N ew t on I, 1642- 1727) 一般有理数指数情形的二项式定理的发 现, 就是这种思维方法的两个典型例子 . 对有限次代数方程 a0 + a 1 x + a2 x + , + anx = 0 , a 0 X 0,
是书中所论素数倒数求和问题中的一个特殊情形 . 在发表于 1689 年的论文/ 具有有限和的无穷级数的算术 命题0 中, 瑞士著名数学家雅各 # 伯努利 ( Jacob Bernoulli, 1654- 1705) 部分重复了蒙哥利的无穷级数工作, 在论文最后, 伯努利称, 尽管级数 1+ 13+ 16+ 110+ 115+ ,的求和问题易如反掌, 但奇怪的是, ( 1) 式的和 却难以求出. 他说: / 如果有谁解决了这个迄今让我们束手无策的难题, 并告知我们, 我们将十分感激他. 0 实 际上 , 当时欧洲的一流数学家 , 如约翰 # 伯努利 ( Bernoulli J, 1667- 1748) 及其子丹尼尔 # 伯努利( Bernoulli D, 1700- 1782) 、 哥德巴 赫 ( Goldbach C, 1690- 1764) 、 莱 布尼茨 ( L eibniz G W, 1646 - 1716) 、 棣 莫佛 ( M oivre A De, 1667- 1754) 、 斯特林( St irling J, 1692- 1770) 等都未能成功地解决这一难题 . 其中哥德巴赫 在与丹尼尔的通信( 1729) 中给出和的上、 下限为 1. 644 和 1. 645; 斯特林在其5微分法6 ( M et hodus dif f eren t ialis, 1730) 中给出的近似值为 1. 644 934 066. 1734 年 , 一位师从约翰 - 伯努利的青年数学家欧拉 ( Euler L, 1707- 1783) 一举解决了当时与费尔马 ( Ferm at P, 1601- 1665) 大定理齐名的困扰数学家百年之久的问题平方倒数求和, 完成了其导师伯努利的心 愿. 1737 年, Euler 在一篇题为5对无穷级数的若干观察6 的论文中提出并证明了 Euler 乘积公式 : 对任意复数 s, 若 Re ( s) > 1, 则
2 n
如果有 n 个不同的根 K 1,K 2, K 3 , ,, K n , 则上式左边的多项式能够表示为 n 个线性因子乘积 , 即 a0 + a 1 x + a2 x 2 + , + anx n = 1- x K 1 1- x K 2 1 - x , 1- x . K 3 K n
比较这个恒等式两边 x 同次幂的系数, 就得到根与系数的关系. 特别地 , 如果是偶次方程 b0 - b 1 x 2 + b2 x 4 + ,+ (- 1) b nx
欧拉和亦即平方倒数求和 , 最早出现于 17 世纪意大利数学家蒙哥利 ( Mengoli P, 1626- 1686) 的5算术 求和新法6 ( Nov ae quadraturae arit hm et icae, 1650) . 无穷级数 F ( 2) =
n= 1
E
]
2 1 P 2 = n 6
( 1)
n 2n
= 0, 有 2n 个不同的根 N 1, - N 1, N 2, - N 2, , ,N n, - N n, 则
2 4 n 2n
b0 - b 1 x + b2 x + , + (- 1 ) b nx 比较 ( 2) 式的二次项系数有 b 1 = b0
= b0 1 -
x2 2 N 1
1-
x2 2 N 2
2
an = 1 P 而 a0
Q = 1 x PQ
- P P -P
P
x 2 cos nx dx = 2 x 2 sin nx P n
2 2 dx = 2 P , 3
P 0
- 4 P
Q
0
P
sin nx x dx = 4 cos nx x 2 n P n
P 0
- 4 P
Q
0
P
co s nx x dx = 4(- 1) n . 2 2 n n
第3期
黄
炜 : 欧拉和的新证明
# 241 #
对等式两边从 0 到 x 积分 , 注意到幂级数的逐项可积性和 P - arcco s x = 2 P- arccos x = 2 由 Abel 第二 定 理 P = 2
n= 0 [ 1]
Q
x 0
1 dx , 有 2 1- x
2
n= 0
E
]
2 n+ 1 !! 2 n!!
n= 1
E
]
1 2n - 1
+
n= 1
E
]
2
n= 1
E
]
1, n2
于是得到
n= 1
E
]
2 1 = P . 2 n 6
2
无穷幂级数积分法
x I 0, 1 时, 1 [ 2] 的幂级数展开式 为 2 1- x
1 1 2 1# 3 4 1 #3# 5 6 ( 2n - 1) ! ! 2n = 1+ x + x + x + ,+ x + , 2 2 2 # 4 2 # 4 # 6 ( 2 n) !! 1- x
黄 炜1, 2
( 1. 西安铁路职业技术学院 基础部 , 陕西 西安 710016; 2. 宝鸡职业技术学院 基础 部 , 陕西 宝鸡 721013) 摘 要 : 借助类比的数学思想 , 利用根与系数的关系及函数 项级数一致收敛的概念 , 给出 欧拉和的 几种新的
证明方法 . 关键词 : 欧拉和 ; 根与系数关系 ; 函数项级数 ; 一致收敛 中图分类号 : O 156. 0 文献标志码 : A 文章编号 : 1001 - 8735( 2011) 03 - 0239 - 04
En
n
-s
=
F
n
1 - p- s
-1
,
其中 n 为自然数, p 为素数 . Euler 乘积公式将一个对自然数的倒数求和表达式与一个对素数的连乘积表达 式联系在一起, 蕴涵着有关素数分布的重要信息. 欧拉
[ 1]
提出了两种方法、 4 个证明 , 个个奇巧、 美丽、 深刻. 近现代学者也给出一些更严格的新证明, 其中
1 2n + 1
2n+ 1 = x+ 2x
n= 1
E
]
2n + 1 ! ! 1 2 n!! 2 n+ 1
x 2n+ 1 .
( 5)
, ( 5) 式 对 一 切 x I 1 2n + 1
2
0, 1 皆 成 立 . 取 x = 1, 得 到 关 于 P 的 一 个 级 数 表 达 式
E
]
2n + 1 !! 2n !!
2
1 P 2
2
+
1 + ,+ 2 7P 2 + ,=
2 P .而 8 2 = P+ 1 8 4 2 P , 8
1 2 + , 2n + 1 P 2
从而得到 1 1 1 1 + + + ,+ 1 9 25 49 即为自然奇数倒数平方和公式
n= 1 2
E
]
1 2 n- 1
2
= 1 2n
n= 1
E
]
1 = n2
收稿日期 : 2010 -08 -03 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 10671155) ; 陕西省自然科学基金资助项目 ( SJ 08A 28) 作者简介 : 黄 炜 ( 1961- ) , 男 , 陕西岐山人 , 西安铁路职业技术学院教授 , 主要从事数论及数学应用研究, E - mail: wphuangwei@ 163. com.
1-
x2 x2 , 1- 2 , 2 N 3 N n
( 2)
1 + 1 + , + 1 . 考察无穷多项方程 2 2 2 1 2 n N N N ( 3)
2 4 6 1 - x + x - x + , = 0, 2! 4! 6!
及幂级数展开式 cos x = 1 - x + x - x + , 2! 4 ! 6! 由于方程 cos x = 0 的根为 ? P, ? 3P, ? 5 P , ? 7P , ? 9P , , 故方程 ( 3) 左边可表示为 2 2 2 2 2 1- x + x - x + , = 2 ! 4! 6!
f (x) ~
2 令x = P ,有 1P + 3 ]
a0 + 2
n= 0
n= 0 n
E
]
an cos nx =
1 2 P+ 3
n= 0
E
]
4(- 1) n 2 cos nx = x , n2
x I
- P ,P.
E
4 - 1 2 n
2 cos nP= P , 于是得到
n= 0
E
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2 1 = 1 @ 2P 2 = P. 2 n 4 3 6
第 40 卷 第 3 期 2011 年 5 月
内蒙古师范大学学报 ( 自然科学汉文版 ) Journal o f Inner M ongo lia N o rmal U niversit y ( Natura l Science Editio n)
V ol. 40 N o. 3 M ay 2011
欧拉和的新证明
文献 [ 2 - 5] 证明比较简捷. 本文借助类比的数学思想 , 利用根与系数的关系及函数项级数一致收敛的概念, 给出欧拉和的几种新的证明方法.
1
有限次代数方程根与系数的关系类比到无限次方程法
类比是人们把解决个别问题所得的经验用来解决其他类似问题的一种类似联想的思维方法, 类比这一
重要的数学方法 , 曾被 17 世纪德国著名数学家和天文学家开普勒 ( Kepler J, 1571- 1630) 视为/ 知道大自然 一切秘密0 的/ 导师0 , 被波利亚 ( Geo rge P oly a, 1887- 1985) 称为科学发现的/ 伟大的引路人 0. 翻开数学历史 的画卷, 我们往往 能看到 数学家在 做出数学 发现时 , 类比思 维所起的 关键作用 . 阿 基米德 ( Archimedes,
2
n
ln ( 1 - x ) = ln 1 - cos t - i sin t = ln