重大电磁场原理习题习题(第2章)

第二章习题答案

2-2 真空中有一长度为l 的细直线，均匀带电，电荷线密度为τ。试计算P 点的电场强度： （1）P 点位于细直线的中垂线上，距离细直线中点l 远处； （2）P 点位于细直线的延长线上，距离细直线中点l 远处。 解：

（1）可以看出，线电荷的场以直线的几何轴线为对称轴，产生的场为轴对称场，因此采用圆柱坐标系，令z 轴与线电荷重合，线电荷外一点的电场与方位角φ无关，这样

z '处取的元电荷

z q 'd d τ＝，它产生的电场与点电荷产生的场相同，为：

R

20e R

4z E πετ'=d d 其两个分量：

θπετρρcos 2

0R

4z e E d dE '

=•=d （1） ()θπετsin 2

0z z R

4e E d dE z d '-=-•=

（2） 又θρθ

ρ

tan ',cos ==

z R

所以：θθρd dz 2

sec '= （3）

式（3）分别代入式（1）（2）得：

θρ

πεθ

τρd 04dE cos =

； θρπεθτd sin 0z 4dE -

= 'sin 'sin cos θρ

πετ

θθρπετθρπεθ

τ

θρ000

004E 22d 2=⎰

∴＝＝‘（4）

又2l 4

2l 2

l +=

'θsin （5）

式（5）代入式（4）得：

l

55E 00πετ

ρπετρ22=

∴

＝

由于对称性，在z 方向 z E 分量互相抵消，故有0=z E

ρρρπετ

e l

5e E e E 0z z 2E =

+=∴

ρ

y

图2-2长直线电荷周围的电场

（2）建立如图所示的坐标系

在x 处取元电荷dx dq τ=则它在P 点产生的电场强度为

R

20e R

4x d E d πετ'=

其在x 方向的分量为：

2

0x R 4x d dE πετ'

=

又x l R -=

2

02

0x x l 4x d R

4x d dE )

-(''

=

'

=

∴

πετπετ

()l 3x l 4x l 4x d E 02

l 2

l 2

l 2

l 020x πετ

πετπετ='-⨯=''

=

--⎰

∴∴

∴////1)-( x 0x x x e l

3e E E

πετ=

=∴ 2-4 真空中的两电荷的量值以及它们的位置是已知的，如题图2-4所示，试写出电位),θϕr （和电

场),(θr E

的表达式。

解：为子午面场，对称轴为极轴，因此选球坐标系，由点电荷产生的电位公式得：

2

021

0121r 4q r 4q p πεπεϕϕϕ+

=

+=)(

又2

1221)cos 2(θrc c r r -+= ， 2

12

22)cos 2(θrd d r r -+=

()()θθθθθθe c e c r e c e c e r c r r r r r 1 sin cos sin cos +-=--=-=

()()θθθθθθe d e d r e d e d e r d r r r r r 2 sin cos sin cos +-=--=-=

2

1

2202

21

2201

2

0210121rc 2c r 4q rc 2c r 4q r 4q r 4q p )cos ()cos (θπεθπεπεπεϕϕϕ-++

-+=

+

=

+=∴)(

3

2

02

2301r 4r q r 4r q p E πεπε

+=11)( o

x

y d x '

P

x '

R

题图2-4

2r

1r

[][]⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++-+-++-=23

22r 22322r 10rd 2d r e d e d r q rc 2c r e c e c r q 4)()()()(1θθθθθθπεθθcos sin cos cos sin cos θθθθθπεθθθθπεe rc 2c r d q rc 2c r c q 41e rd 2d r d r q rc 2c r c r q 4123222232210r 23222232210 ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢⎣⎡-++-++⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎣⎡-+-+-+-=)()

()()()()(cos sin cos sin cos cos cos cos

2-6 半径为b 的无限长圆柱中，有体密度为0ρ的电荷，与它偏轴地放有一半径为a 的无限长圆柱空洞，两者轴线平行且距离为d ，如图2-6所示，求空洞内的电场强度。

解：由于空洞存在，电荷分布不具有对称性，由此产生的场亦无对称性，因此不能用高斯定律求解。这是可把空洞看作也充满0ρ，使圆柱体内无空洞，然后再令空洞中充满-ρ，并单独作用，分

别求出两种场的分布后叠加即可。设空洞内的电场强度为E

。

第一步 0ρ 单独作用，如图（b ）所示，由体密度为0ρ的电荷产生的电场强度为1E

，由高斯定理

l l E q S D 200ρπρπρε=⇒

•⎰

2d 11

S 11

＝

所以：ρερρe 2E 0

01

=

第二步 0ρ-单独作用产生的电场强度为2E

，如图（c ）所示。

x

y

o

b ρ

(b )

ρ

0ρ

x

y

o

o ' y '

ρ' ρ

d

图2-6

(a )

0ρ-