应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇习题解答课件
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应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答) (2).ppt
4 3
u1u2
1
2
exp[
1 2
(2u12
u22
2u1u2 )]du1du2
1
2
u12
u1e 2
1
2
u2e
1 2
(
u2
u1
)
2
du2
du1
1
2
u12
u1e 2
1
2
(u2
u1
)e
1 2
(u2
u1
)
2
du2
u1
e
1 2
(
u2
u1
)
2
du2
du1
1
2
u e
2
u12 2
2
x12
22
x1
65
x12
14
x1
49)
1 2
(
x2
x1
7)2
e e dx2
2
1 e
1 2
(
x12
8
x1
16)
2
1
2
e dx
1 2
(
x2
x1
7
)
2
2
1 e
1 2
(
x1
4
)
2
2
X1 ~ N(4,1).
类似地有
f2 (x2 ) f (x1, x2 )dx1
1
e
1 4
(
x2
3)2
X
X X
(1) (2)
~
N
2
p
(1) (2)
,
1 2
2 1
,
其中μ(i) (i＝1，2)为p维向量,Σi (i＝1，2)为p阶矩阵，
应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇部分习题解答
2
x12
22
x1
65
x12
14
x1
49)
1 2
(
x2
x1
7)2
e e dx2
2
1 e
1 2
(
x12
8
x1
16)
2
1
2
e dx
1 2
(
x2
x1
7
)
2
2
1 e
1 2
(
x1
4
)
2
2
X1 ~ N(4,1).
类似地有
f2 (x2 ) f (x1, x2 )dx1
1
e
1 4
(
x2
3)2
因2x12
2x1x2
x22
(x1,
x2
)
2 1
11
x1 x2
,
而
2 1
11 11
1011
10 BB,
令y
y1 y2
11
1 0
x1 x2
x1
x2 x1
,
则2
x12
2x1x2
x22
y12
y22
(2)第二次配方.由于
xx12
y2 y1
y2
14
第二章 多元正态分布及参数的估计
2x12 x22 2x1x2 22x1 14x2 65
x22
2x1x2
22x1
14x2
65)
1 2 1 2
1
2
exp
1
212
2 2
(1
2
)
[
2 2
(
x1
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X1
1
18
第二章 多元正态分布及参数的估计
P{Y 0} P{X1 1或X1 1} P{X1 1} P{X1 1} (X1 ~ N(0,1)) 2(1) 0.3174 0
若(X1 , X2 ) 是二元正态分布,则由性质4可知,
它的任意线性组合必为一元正态. 但Y= X1-X2 不是正态分布,故(X1 , X2 ) 不是二元正态分布.
]
g( y1, y2 )
设函数 g( y1, y2 ) 是随机向量Y的密度函数.
15
第二章 多元正态分布及参数的估计
(3) 随机向量
Y
YY12
~
N2
7 4
,
I2
(4) 由于
X
X X
1 2
0 1
11
Y1 Y2
CY
0 1
11 74
34
,
0 1
11I
2
0 1
11
1 1
21
19
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-17 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,X的密度函数记为 f(x;μ,Σ).(1)任给a＞0,试证明概率密度等高面
f(x;μ,Σ)= a
是一个椭球面.
(2)
当p=2且
2
1
1
(ρ>0)时，
概率密度等高面就是平面上的一个椭圆，试求该椭圆
的方程式，长轴和短轴.
证明(1):任给a＞0,记
y12 y22 22y2 14( y1 y2 ) 65
y12 14y1 49 y22 8y2 16
( y1 7)2 ( y2 4)2
2即1 e 21 e
1 2
(
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则
W X X X X ( ( 1 2 ) ) X X ( ( 1 1 ) ) X X ( ( 1 2 ) ) X X ( (2 2 ) ) W W 1 21 1 W W 1 2 2 2 , 即
W 1 1 X ( 1 ) X ( 1 )W ,2 2 X ( 2 ) X ( 2 )
性质4 分块Wishart矩阵的分布:设X(α) ～ Np(0,Σ) (α
＝1,…,n)相互独立，其中
又已知随机矩阵
1211
12 r 22pr
W n 1X ()X ( ) W W 1 21 1W W 1 2 2 2p r r~ W p(n , )
因 X H ~ 0 下 N p(0 ,1 n 0 ),n (X 0 )H ~ 0 下 N p(0 , 0 )
所以由§3“一﹑2.的结论1”可知
2ln~2(p).
20
第三章 多元正态总体参数的检验
3-6 (均值向量各分量间结构关系的检验) 设总体
X～Np(μ ,Σ )(Σ ＞0),X(α) (α ＝1,…,n)(n＞p)为 来自p维正态总体X的样本，记μ ＝(μ 1,…,μ p)′.C 为k×p常数(k<p),rank(C)=k,r为已知k维向量.试给出 检验H0:Cμ ＝r的检验统计量及分布.
6
第三章 多元正态总体参数的检验
证明 记rk(A)=r.
若r=n,由AB＝O,知B＝ On×n,于是 X′AX与X′BX
若r=0时,则A＝0,则两个二次型也是独 立的. 以下设0＜r＜n.因A为n阶对称阵,存在正 交阵Γ,使得
7
第三章 多元正态总体参数的检验
其中λi≠0为A的特征值(i=1,…,r).于是
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇部分习题解答(00004)市公开课金奖市赛课一等奖课件
2( 2 )2
[(
y1
aˆ0
)2
]
0
可得
ˆ
2
1 3
( y1
aˆ0 )2
( y2
aˆ0 )2
( y3
3aˆ0 )2
drf
ˆ
2 0
似然比统计量分子为
L(aˆ0
, ˆ 0 2
)
(2
)
3 2
(ˆ 0 2
)
3 2
exp[
3 2
].
第5页
5
第四章 回归分析
似然比统计量为
L(aˆ0 ,ˆ02 ) L(aˆ,bˆ,ˆ 2 )
第18页 18
第四章 回归分析
第19页 19
第四章 回归分析
等号成立 C(ˆ ) 0 (CC)1C • C(ˆ ) 0 ˆ.
第20页 20
第四章 回归分析
第21页 21
第四章 回归分析
第22页 22
第四章 回归分析
见附录P394定理7.2(7.5)式
第23页 23
第四章 回归分析
证实:(1)预计向量为 Yˆ Cˆ C(CC)1CY HY
yˆ
1 n
n i 1
yˆi
1 n
1n
Yˆ
1 n
1n
HY
1 n
(H1n )Y
1 n
1n
Y
y.
(因1n C张成的空间,这里有H1n 1n )
(2) 因 n ( yi y)( yˆi yˆ ) n ( yi yˆi yˆi y)( yˆi y)
0
ln
L
2
n
2
2
1
2( 2 )2
(Y
[(
y1
aˆ0
)2
]
0
可得
ˆ
2
1 3
( y1
aˆ0 )2
( y2
aˆ0 )2
( y3
3aˆ0 )2
drf
ˆ
2 0
似然比统计量分子为
L(aˆ0
, ˆ 0 2
)
(2
)
3 2
(ˆ 0 2
)
3 2
exp[
3 2
].
第5页
5
第四章 回归分析
似然比统计量为
L(aˆ0 ,ˆ02 ) L(aˆ,bˆ,ˆ 2 )
第18页 18
第四章 回归分析
第19页 19
第四章 回归分析
等号成立 C(ˆ ) 0 (CC)1C • C(ˆ ) 0 ˆ.
第20页 20
第四章 回归分析
第21页 21
第四章 回归分析
第22页 22
第四章 回归分析
见附录P394定理7.2(7.5)式
第23页 23
第四章 回归分析
证实:(1)预计向量为 Yˆ Cˆ C(CC)1CY HY
yˆ
1 n
n i 1
yˆi
1 n
1n
Yˆ
1 n
1n
HY
1 n
(H1n )Y
1 n
1n
Y
y.
(因1n C张成的空间,这里有H1n 1n )
(2) 因 n ( yi y)( yˆi yˆ ) n ( yi yˆi yˆi y)( yˆi y)
0
ln
L
2
n
2
2
1
2( 2 )2
(Y
应用多元统计分析课后习题答案北大高惠璇第六章习题解答文稿演示
d
(1) kj
d (2) ik
d
(2) kj
dik dkj , 对一切i, k, j.
(2) 设d是距离,a >0为正常数.令d*=ad,显然有
①
d
* ij
cdij
0,且仅当X (i)
X ( j)时di*j
0;
②
d
* ij
cdij
cd ji
d
* ji
, 对一切i,
j;
第六章 聚类分析
③ di*j cdij c(dik dkj ) cdik cdkj
di*k dk*j , 对一切i, k, j.
故d*=ad是一个距离.
(3) 设d为一个距离,c>0为常数,显然有
①
d
* ij
dij dij c
0,且仅当X (i)
X ( j)时di*j
0;
②
d
* ij
dij dij
c
d
d ji ji
c
d
* ji
,
对一切i,
j;
第六章 聚类分析
③
d
* ij
当X (i)
0,
X( j)
1,
X (k )
0.5时,
d
* ij
1,
d
* ik
1 4
,
d
* kj
1. 4
显然不满足di*j
di*k
d
* kj
.
第六章 聚类分析
6-2 试证明二值变量的相关系数为(6.2.2)式，夹角余
弦为(6.2.3)式.
证明：设变量Xi和Xj是二值变量，它们的n次观测值记 为xti, xtj (t=1,…,n). xti, xtj 的值或为0，或为1.由二值变 量的列联表（表6.5）可知：变量Xi取值1的观测次数 为a+b,取值0的观测次数为c+d;变量Xi和Xj取值均为1的 观测次数为a,取值均为0的观测次数为d 等等。利用两 定量变量相关系数的公式：
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇三部分习题解答公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
(n＞p)为来自p维正态总体X样本.似然比统计量为
max
0
L(0,0 )
max
L(
,
0
)
分子
|
1
20
|n/ 2
exp
1 2
n
( X ( )
1
0 )01( X ( )
0 )
|
1
20
|n/ 2
exp
1 2
n
tr[01
1
( X ( )
0 )( X ( )
0 )]
第17页 17
第三章 多元正态总体参数检查
Yr1
X BX
Y Γ BΓΓ
Y HY
(Yr
1
,,
Yn
)
H
22
Yn
由于Y1, …,Yr ,Yr+1 ,…,Yn互相独立,
故X′AX与X′BX互相独立.
第9页
9
第三章 多元正态总体参数检查
3-3 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A和B为p阶对称阵, 试证实 (X-μ)′A(X-μ)与(X-μ)′B(X-μ)互相独立
Np(μ,Σ)随机样本, X和Ax分别表示正态总体X样 本均值向量和离差阵,则由性质1有
Tx2 n(n 1)( X ) Ax1( X )
~ T 2 ( p, n 1).
令 Y(i) CX (i) d (i 1,..., n)
其中C是p p非退化常数矩阵, d是p 1常向量。
则 Y(i) ~ N p (C d,CC) (i 1,2,..., n)
max L(
, 0 )
max L(, ) ,
分子当ˆ X达最大,且最大值
L( X
, 0 )
max
0
L(0,0 )
max
L(
,
0
)
分子
|
1
20
|n/ 2
exp
1 2
n
( X ( )
1
0 )01( X ( )
0 )
|
1
20
|n/ 2
exp
1 2
n
tr[01
1
( X ( )
0 )( X ( )
0 )]
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第三章 多元正态总体参数检查
Yr1
X BX
Y Γ BΓΓ
Y HY
(Yr
1
,,
Yn
)
H
22
Yn
由于Y1, …,Yr ,Yr+1 ,…,Yn互相独立,
故X′AX与X′BX互相独立.
第9页
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第三章 多元正态总体参数检查
3-3 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A和B为p阶对称阵, 试证实 (X-μ)′A(X-μ)与(X-μ)′B(X-μ)互相独立
Np(μ,Σ)随机样本, X和Ax分别表示正态总体X样 本均值向量和离差阵,则由性质1有
Tx2 n(n 1)( X ) Ax1( X )
~ T 2 ( p, n 1).
令 Y(i) CX (i) d (i 1,..., n)
其中C是p p非退化常数矩阵, d是p 1常向量。
则 Y(i) ~ N p (C d,CC) (i 1,2,..., n)
max L(
, 0 )
max L(, ) ,
分子当ˆ X达最大,且最大值
L( X
, 0 )
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X2~N(0,1).
(2) 考虑随机变量Y= X1-X2 ,显然有
YX 1X2 0 X 1X 1,当 估计
P{Y0}P{X11或 X11} P{X11}P{X11} (X1~N(0,1)) 2(1)0.317 04
若(X1 , X2 ) 是二元正态分布,则由性质4可知,
31
第三章 多元正态总体参数的检验
证明 记rk(A)=r.
若r=n,由AB＝O,知B＝ On×n,于是 X′AX与X′BX
若r=0时,则A＝0,则两个二次型也是独 立的.
以下设0＜r＜n.因A为n阶对称阵,存在正 交阵Γ,使得
32
第三章 多元正态总体参数的检验
其中λi≠0为A的特征值(i=1,…,r).于是
P { X 2 x } P { X 1 x } ( x )
当x≥1时, P{X2x}
P{X2 1}P{1X2 1}P{1X2 x}
P{X11}P{1X11}P{1X1x}
P{X1x}(x) 17
第二章 多元正态分布及参数的估计
当-1≤x≤1时,
P{X2 x}P{X2 1}P{1X2 x} P{X1 1}P{xX1 1} P{X1 1}P{1X1 x} P{X1 x}(x)
它的任意线性组合必为一元正态. 但Y= X1-X2 不是正态分布,故(X1 , X2 ) 不是二元正态分布.
19
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-17 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,X的密度函数记为 f(x;μ,Σ).(1)任给a＞0,试证明概率密度等高面
f(x;μ,Σ)= a
是一个椭球面. (2) 当p=2且
比较上下式相应的系数,可得:
1
2 2
2
1 2
(2) 考虑随机变量Y= X1-X2 ,显然有
YX 1X2 0 X 1X 1,当 估计
P{Y0}P{X11或 X11} P{X11}P{X11} (X1~N(0,1)) 2(1)0.317 04
若(X1 , X2 ) 是二元正态分布,则由性质4可知,
31
第三章 多元正态总体参数的检验
证明 记rk(A)=r.
若r=n,由AB＝O,知B＝ On×n,于是 X′AX与X′BX
若r=0时,则A＝0,则两个二次型也是独 立的.
以下设0＜r＜n.因A为n阶对称阵,存在正 交阵Γ,使得
32
第三章 多元正态总体参数的检验
其中λi≠0为A的特征值(i=1,…,r).于是
P { X 2 x } P { X 1 x } ( x )
当x≥1时, P{X2x}
P{X2 1}P{1X2 1}P{1X2 x}
P{X11}P{1X11}P{1X1x}
P{X1x}(x) 17
第二章 多元正态分布及参数的估计
当-1≤x≤1时,
P{X2 x}P{X2 1}P{1X2 x} P{X1 1}P{xX1 1} P{X1 1}P{1X1 x} P{X1 x}(x)
它的任意线性组合必为一元正态. 但Y= X1-X2 不是正态分布,故(X1 , X2 ) 不是二元正态分布.
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第二章 多元正态分布及参数的估计
2-17 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,X的密度函数记为 f(x;μ,Σ).(1)任给a＞0,试证明概率密度等高面
f(x;μ,Σ)= a
是一个椭球面. (2) 当p=2且
比较上下式相应的系数,可得:
1
2 2
2
1 2
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②
di*j
cdij
cd ji
d
* ji
, 对一切i,
j;
3
第六章 聚类分析
③ di*j cdij c(dik dkj ) cdik cdkj
di*k
d
* kj
,
对一切i,
k
,
j.
故d*=ad是一个距离.
(3) 设d为一个距离,c>0为常数,显然有
①
d
* ij
dij dij c
dik dkj c dik dkj c dik dkj c
dik dkj dik c dkj c
(因dik 0, dkj 0)
di*k
d
* kj
对一切i, k, j.
故d*是一个距离.
5
第六章 聚类分析
(4) 设d (1)和d (2)是距离, 令d * d (1) d (2).
n
xti xtj
cosij
t 1 n
n
其中
xt2i
xt2j
t 1
t 1
n
n
n
xti xtj a, xt2iab, xt2jac
t 1
t1
t1
故有 cij(9)co ijs(ab a )a (c) (6.2.3)
10
第六章 聚类分析
6-3 下面是5个样品两两间的距离阵
应用多元统计分析课后习题答 案详解北大高惠璇(习题解答)
第六章 聚类分析
6-1 证明下列结论:
(1) 两个距离的和所组成的函数仍是距离;
(2) 一个正常数乘上一个距离所组成的函数
仍是距离;
(3)设d为一个距离,c>0为常数,则 d * d
仍是一个距离;
d c
(4) 两个距离的乘积所组成的函数不一定是
0
X (5) CL4
11
第六章 聚类分析
② 合并{X(2),X(5)}=CL3,并类距离 D2=3.
D(3) 100 9
0 8
0CCXL(L334)
③ 合并{CL3,CL4}=CL2,并类距离 D3=8.
D(4) 100 0CX(3L2)
④ 所有样品合并为一类CL1,并类距离 D4=10.
12
第六章 聚类分析
最长距离法的谱系聚类图如下:
Name of Observation or Cluster
X1
X4
X2
X5
X3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Maximum Distance Between Clusters
13
第六章 聚类分析
用类平均法:
D(0)
D(1)
0 4 6
0 9
n
(xti xi)(xtj xj )
rij
t1 n
n
(xti xi)2
(xtj xj )2
t1
t1
7
第六章 聚类分析
n
(xti xi)(xtj
t1
n
xj) xtixtj
t1
nxixj
anabac nn
1[an(ab)(ac)]1[a(abcd)(ab)(ac)]
0
D(0) D(1) 64
0 9
0
16
7 3
10 5
0 8
0
试用最长距离法、类平均法作系统聚类，并画出谱系
聚类图.
解:用最长距离法:
① 合并{X(1),X(4)}=CL4,
并类距离 D1=1.
D(2)
0 9 3 7
0 5 10
0 8
X (2) X (3)
(ac)[n(ac)]1(ac)n
Cij(7)
(xtixi)x(tjxj)
t1
a dbc
n
n
(xtixi)2 (xtjxj)2
(ab)c(d) (ac)b(d)
t1
t1
(6.2.2)
9
第六章 聚类分析
利用两定量变量夹角余弦的公式：
d *虽满足前2个条件,但不一定满足三角不等式.
下面用反例来说明d *不一定是距离.
设di(j1)
d (2) ij
X (i) X ( j) (m 1), 则di*j
X (i) X ( j)
2
.
当X (i)
0,
X( j)
1,
X (k )
0.5时, di*j
1,
d
* ik
d
(2) ji
d ji, 对一切i,
j;
③
dij
d (1) ij
d
(2) ij
d (1) ik
d
(1) kj
d (2) ik
d (2) kj
dik dkj , 对一切i, k, j.
(2) 设d是距离,a >0为正常数.令d*=ad,显然有
① di*j cdij 0,且仅当X (i) X ( j)时di*j 0;
1 4
,
d
* kj
1. 4
显然不满足d
* ij
di*k
d
* kj
.
6
第六章 聚类分析
6-2 试证明二值变量的相关系数为(6.2.2)式，夹角余
弦为(6.2.3)式.
证明：设变量Xi和Xj是二值变量，它们的n次观测值记 为xti, xtj (t=1,…,n). xti, xtj 的值或为0，或为1.由二值变 量的列联表（表6.5）可知：变量Xi取值1的观测次数 为a+b,取值0的观测次数为c+d;变量Xi和Xj取值均为1的 观测次数为a,取值均为0的观测次数为d 等等。利用两 定量变量相关系数的公式：
n
n
adbc n
n
(xti
t1
xi)2
n
t1
xt2i
nxi2
abnab2 n
(ab)[n(ab)]1(ab)(cd)
n
n
8
第六章 聚类分析
n (xtj
t1
xj)2
n
t1
xt2j
nx2j
acnac2 n
0,且仅当X (i)
X ( j)时di*j
0;
②
d
* ij
dij dij
c
d
d ji ji
c
d
* ji
,
对一切i,
j;
4
第六章 聚类分析
③
d
* ij
dij dij c
1 1 c / dij
1
1 c /(dik
dkj )
dik dkj
dik
d kj
距离;
证明: (1)设d (1)和d (2)为距离, 令d d (1) d (2).
以下来验证d满足作为距离所要求的3个条件.
2
第六章 聚类分析
①
dij
d (1) ij
d
(2) ij
0,且仅当X (i)
X ( j)时dij
0;
②
dij
d (1) ij
d
(2) ij
d (1) ji
0