理论力学4-5-考虑摩擦的平衡问题
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理论力学试题
三、综合分析题（A）
在图6所示平行四边形机构中，O1A=O2B=O1O2/2=AB/2=l，已知O1A以匀角速度转动，并通过AB上套筒C带动CD杆在铅直槽内平动，如以O1A杆为参考系，在图示位置时O1A，O2B为铅直，AB为水平，CAB之中点，试分析此瞬时套筒上销钉C的运动。（每4分）
17．C点的牵连速度的大小为（）
计算题在图示机构中，杆 以速度 向作匀速运动。求当 时， 杆的角速度。
计算题（20分）已知：平面机构如图，轮 沿水平面纯滚动，滑块 上铰接两直杆 、 ， 穿过作定轴转动的套筒 ， ，图示瞬时， 。求：图示瞬时时， 、 杆的角速度 ；点 的加速度 ； 杆的角加速度
四．计算题（15分）。平面机构如图所示，已知 ， ， 。在图示位置时， 水平， 铅直， 。杆 的角速度为 ，角加速度为 ，求此时滑块 的加速度 和摇杆 的角速度和角加速度。
计算题（16分）。均质圆轮 、 重量均为 ，半径为 。轮 在一矩为 的常力偶的作用下逆时针旋转，使系统由静止开始运动。设绳子不可伸长，绳子与轮之间无相对滑动，且不计质量和轴承摩擦。试求： 轮心 位移为 时的速度和加速度； 两轮间绳子的张力
解（1）运动关系
轮 作定轴转动，轮 作平面运动且其速度瞬心在 ，所以
6．圆轮绕固定轴 转动，某瞬时轮缘上一点的速度 和 如图所示，则。
7．平面四杆机构如图。已知 ，在图示位置时， 杆水平， 杆铅直。且 ，则该位置 杆与 杆的角速度 与 的关系式。
8．曲柄连杆机构中的曲柄 ，连杆 和滑块 的质量均为 ，且曲柄与连杆的长度均为 ，由已知 等于常数，当机构运动到图示位置时，系统的动能为。
解杆平面运动，运动分析如图12-25（a），在断开瞬时
根据平面运动的加速度基点法，有
在图6所示平行四边形机构中，O1A=O2B=O1O2/2=AB/2=l，已知O1A以匀角速度转动，并通过AB上套筒C带动CD杆在铅直槽内平动，如以O1A杆为参考系，在图示位置时O1A，O2B为铅直，AB为水平，CAB之中点，试分析此瞬时套筒上销钉C的运动。（每4分）
17．C点的牵连速度的大小为（）
计算题在图示机构中，杆 以速度 向作匀速运动。求当 时， 杆的角速度。
计算题（20分）已知：平面机构如图，轮 沿水平面纯滚动，滑块 上铰接两直杆 、 ， 穿过作定轴转动的套筒 ， ，图示瞬时， 。求：图示瞬时时， 、 杆的角速度 ；点 的加速度 ； 杆的角加速度
四．计算题（15分）。平面机构如图所示，已知 ， ， 。在图示位置时， 水平， 铅直， 。杆 的角速度为 ，角加速度为 ，求此时滑块 的加速度 和摇杆 的角速度和角加速度。
计算题（16分）。均质圆轮 、 重量均为 ，半径为 。轮 在一矩为 的常力偶的作用下逆时针旋转，使系统由静止开始运动。设绳子不可伸长，绳子与轮之间无相对滑动，且不计质量和轴承摩擦。试求： 轮心 位移为 时的速度和加速度； 两轮间绳子的张力
解（1）运动关系
轮 作定轴转动，轮 作平面运动且其速度瞬心在 ，所以
6．圆轮绕固定轴 转动，某瞬时轮缘上一点的速度 和 如图所示，则。
7．平面四杆机构如图。已知 ，在图示位置时， 杆水平， 杆铅直。且 ，则该位置 杆与 杆的角速度 与 的关系式。
8．曲柄连杆机构中的曲柄 ，连杆 和滑块 的质量均为 ，且曲柄与连杆的长度均为 ，由已知 等于常数，当机构运动到图示位置时，系统的动能为。
解杆平面运动，运动分析如图12-25（a），在断开瞬时
根据平面运动的加速度基点法，有
理论力学第四章摩擦问题
x F2max N1
F2max f N2
Pmax
sin cos
f cos f sin
Q
3、综上得出:要维持物体平衡时,力P的值应满足的条件是
:
sin f cos Q P sin f cos Q
cos f sin
cos f sin
例4-3 杆AB的A端置于光滑水平面上，AB与水平面夹角 为20°，杆重为P=50 KN。B处有摩擦。当杆在此处临界平衡时 ，试求B处摩擦角。
m f 从何而来？分析滚动摩擦，必须考 虑变形的影响。物体接触面上受力情况较复杂。
将这些力系向A点简化，得到一个主矢 FR 和一个主矩 m f ，主矢 FR 分解成支反力N和滑动摩擦力Ff （此处Ff
＜ F max ). 主矩 m f 称为滚动摩擦力偶矩， 简称为滚阻力偶。
N
G
F
O
AB
R
GG
F
OO
AB Ff Ff
解： 以AB为研究对象，画受 力图，N为B处的正压力。
Fx 0
N tgΦm. cosθ=N sinθ
tgΦm = tgθ
∴ Φm =θ=20°
x y
NA
FSmax m N
例4-4 * 已知： b , d , fs ,
不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
求：挺杆不被卡住之a 值。
解：取挺杆为研究对象，设挺杆处于卡住临界 状态。
F 0 X
FAx FBx 0
注意BC杆是二 力杆。
（休止角）沙堆滑塌、山体滑坡现象。
§4-3 考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
仍为平衡问题，平衡方程可用，求解步骤与前面基本相同。 几个新特点 1 、画受力图时，必须考虑摩擦力； 2 、严格区分物体处于临界、非临界状态；
摩擦力与力的平衡
摩擦力与力的平衡引言：在我们日常生活中，摩擦力和力是不可或缺的概念。
无论是走路、开车还是运动，我们都会经常遇到摩擦力的存在。
摩擦力是指物体之间由于相对运动或试图相对运动所施加的一种阻碍力。
而力则是使物体发生形变、速度改变或位置改变的原因。
本篇文章将探讨摩擦力与力的平衡的原理以及在不同情况下的应用。
第一部分：摩擦力的原理及公式1.1 摩擦力的定义摩擦力是指物体之间由于接触而导致的阻碍运动的力。
1.2 摩擦力的分类静摩擦力：当两个物体接触时，并且没有相对滑动时，它们之间施加的力，我们称之为静摩擦力。
动摩擦力：当两个物体相对滑动时，它们之间施加的力称为动摩擦力。
1.3 摩擦力的公式摩擦力的大小与物体之间的接触面积和两个物体间的“粗糙程度”有关。
常见的摩擦力公式为：摩擦力 = 摩擦系数 ×垂直压力其中，垂直压力即垂直于接触面的力。
第二部分：力的平衡及公式2.1力的定义力是物体之间相互作用的结果。
力可以使物体产生形变、速度改变或位置改变。
2.2 力的平衡当物体受到多个力的作用时，如果这些力的合力为零，则称物体处于力的平衡状态。
2.3 力的平衡公式根据牛顿第一定律，力的平衡公式为：合力= 0第三部分：摩擦力与力的平衡应用3.1 摩擦力的应用摩擦力在我们生活中有很多实际应用，例如：- 行走：我们之所以能够站立和行走，是因为地面对我们脚施加了静摩擦力，防止我们滑倒。
- 车辆行驶：汽车行驶时，车胎与地面之间的动摩擦力提供了汽车移动所需的推动力。
- 刹车：刹车时，刹车片和车轮之间的摩擦力将车轮的动能转化为热能，从而减慢车速。
- 乐器演奏：在吹奏或拉弦乐器时，手指与键盘或弦之间的摩擦力调整音高。
3.2 力的平衡的应用力的平衡常用于物体的静力学分析和工程设计中，例如：- 悬挂物体：在建筑物中，用于悬挂吊扇或灯具的物体需要考虑到力的平衡，以确保物体悬挂的安全稳定。
- 台球：打台球时，球杆对球的撞击力要考虑平衡，以保证球杆正确击中球，并使球以预期的路径滚动。
理论力学教程(第四章)
静滑动摩擦力的特点
1 方向：沿接触处的公切线，
与相对滑动趋势反向；
2 大小：
3
（库仑摩擦定律）
④静摩擦系数的测定方法(倾斜法)
两种材料做成物体
和可动平面测沿下面滑
动时的 。
p
F=mgsin =fmgcos
2)、动滑动摩擦
tg f
两物体接触表面有相对运动时,沿接触面产生的切向 阻力称为动滑动摩擦力。
1)、静滑动摩擦
① 定义 两相接触物体虽有相对运动趋势，但仍保持相对静止F时，
给接触面产生的切向阻力，称为静滑动摩擦力或简称静摩 擦力。
满足
0 F Fmax (最大静摩擦力)
当 F Fmax时,则物体处于临界平衡状态
F
P Fmax f N (库仑静摩擦定律)
若物体静止，则 F P
摩擦的现象和概念
在大学物理已经讲到什么是摩擦：当物体与另一物体 沿接触面的切线方向运动或有相对运动的趋势时，在两物 体的接触面之间有阻碍它们相对运动的作用力，这种力叫 摩擦力。接触面之间的这种现象或特性叫“摩擦”。这里 来作更深入的研究，首先来看它的分类：滑动摩擦和滚动 摩擦。
滑动摩擦：相对运动为滑动或具有滑动趋势时的摩擦。
第四章 摩擦
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料群：
引言
前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体 之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下 都存在有摩擦。 [例]
平衡必计摩擦 3
摩擦
☆§4–1 滑动摩擦 ☆§4–2 摩擦角和自锁现象 ☆§4–3 考虑摩擦时物体的平衡问题 ☆§4–4 滚动摩阻的概念
性质：当物体静止在支承面时，支承面的总反力的偏角
理论力学(大学)课件10.2 考虑摩擦的平衡问题(几何法)
2、考虑摩擦的平衡问题 (几何法)
摩擦角及滚动摩阻
利用摩擦角求解临界平衡问题
临界平衡问题中，摩擦力为最大静滑动摩擦力，此时全约束力与法线间的 夹角为摩擦角，利用全约束力以及摩擦角的几何关系，可以方便地求解这 类问题。我们将这种方法称之为几何法。
例1 凸轮挺杆机构滑道尺寸为d，宽度为b，挺杆与滑道间静滑动摩擦系数 为fs，不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量； 求：挺杆不被卡住之尺寸a 值.
Fmax1
1
NA
f
FNA
jf FBA
= P tan(q - jf )
FR1 q - jf
FR1 θ FNA
F
F1
摩擦角及滚动摩阻
设力F大于临界值F2时，楔块A向左运动 取楔块A为研究对象，取临界状态，画受力图 忽略楔块A的大小，三个汇交力平衡，画封闭的力三角形。
Fmax2
FBA jf
F2
FR2
θ
FNA
解：显然a越小越不容易被卡住，取刚好要卡住 还没有卡住的临界状态，分析挺杆受力。
将FNA和FAmax用全约束力FRA代替，它与法 线间的夹角为φf 。同理得到FRB。
FAmax A d FFNRAA
b FNBFRB
jf
jf
B
F
FBmax
由几何关系
b
=
(a极限
+
d 2
)
tan
jf
+
(a极限
-
d 2
) tanjf
M
= 2a极限 tan j f = 2a极限 f S
a极限a e
a极限
=
b 2 fS
故挺杆不被卡住时： a
<
摩擦角及滚动摩阻
利用摩擦角求解临界平衡问题
临界平衡问题中，摩擦力为最大静滑动摩擦力，此时全约束力与法线间的 夹角为摩擦角，利用全约束力以及摩擦角的几何关系，可以方便地求解这 类问题。我们将这种方法称之为几何法。
例1 凸轮挺杆机构滑道尺寸为d，宽度为b，挺杆与滑道间静滑动摩擦系数 为fs，不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量； 求：挺杆不被卡住之尺寸a 值.
Fmax1
1
NA
f
FNA
jf FBA
= P tan(q - jf )
FR1 q - jf
FR1 θ FNA
F
F1
摩擦角及滚动摩阻
设力F大于临界值F2时，楔块A向左运动 取楔块A为研究对象，取临界状态，画受力图 忽略楔块A的大小，三个汇交力平衡，画封闭的力三角形。
Fmax2
FBA jf
F2
FR2
θ
FNA
解：显然a越小越不容易被卡住，取刚好要卡住 还没有卡住的临界状态，分析挺杆受力。
将FNA和FAmax用全约束力FRA代替，它与法 线间的夹角为φf 。同理得到FRB。
FAmax A d FFNRAA
b FNBFRB
jf
jf
B
F
FBmax
由几何关系
b
=
(a极限
+
d 2
)
tan
jf
+
(a极限
-
d 2
) tanjf
M
= 2a极限 tan j f = 2a极限 f S
a极限a e
a极限
=
b 2 fS
故挺杆不被卡住时： a
<
理论力学第4章 摩擦
所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力N, ②加大摩擦系数f
4
3、 特征： 大小：0 F Fmax （平衡范围）满足 X 0
静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反
定律：Fmax f N （ f 只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
二、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）
所以物体运动：此时
F '动 N f '100.11N
（物体已运动）
25
[练习2] 已知A块重500N，轮B重1000N，D轮无摩擦，E 点的摩擦系数fE=0.2，A点的摩擦系数fA=0.5。
求：使物体平衡时块C的重量Q=？ 解：① A不动（即i点不产
生 平移）求Q 由于
T 'F1 f AN1 0.5500250N
14
此力系向 A点简化
d'
滚阻力偶与主动力偶（Q,F）相平衡
①滚阻力偶M随主动力偶（Q , F）的增大而增大;
② 0 M Mmax
有个平衡范围;
滚动 摩擦 ③ M max 与滚子半径无关;
④滚动摩擦定律： M max d N，d 为滚动摩擦系数。
15
滚动摩擦系数 d 的说明：
①有长度量纲，单位一般用mm,cm； ②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。
19
四、例题 [例1] 作出下列各物体
的受力图
20
[例2] 作出下列各物体的受力图
① P 最小维持平衡 ② P 最大维持平衡
状态受力图；
状态受力图
21
[例3] 构件1及2用楔块3联结，已知楔块与构件间的摩擦系数f=0.1,
求能自锁的倾斜角 。
解：研究楔块，受力如图
4
3、 特征： 大小：0 F Fmax （平衡范围）满足 X 0
静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反
定律：Fmax f N （ f 只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
二、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）
所以物体运动：此时
F '动 N f '100.11N
（物体已运动）
25
[练习2] 已知A块重500N，轮B重1000N，D轮无摩擦，E 点的摩擦系数fE=0.2，A点的摩擦系数fA=0.5。
求：使物体平衡时块C的重量Q=？ 解：① A不动（即i点不产
生 平移）求Q 由于
T 'F1 f AN1 0.5500250N
14
此力系向 A点简化
d'
滚阻力偶与主动力偶（Q,F）相平衡
①滚阻力偶M随主动力偶（Q , F）的增大而增大;
② 0 M Mmax
有个平衡范围;
滚动 摩擦 ③ M max 与滚子半径无关;
④滚动摩擦定律： M max d N，d 为滚动摩擦系数。
15
滚动摩擦系数 d 的说明：
①有长度量纲，单位一般用mm,cm； ②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。
19
四、例题 [例1] 作出下列各物体
的受力图
20
[例2] 作出下列各物体的受力图
① P 最小维持平衡 ② P 最大维持平衡
状态受力图；
状态受力图
21
[例3] 构件1及2用楔块3联结，已知楔块与构件间的摩擦系数f=0.1,
求能自锁的倾斜角 。
解：研究楔块，受力如图
理论力学：考虑摩擦时物体的平衡
不滑动的条件 m tan tanm f fmin tan
18
理论力学
三、滚动摩阻
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
刚体假设： 圆盘为刚体 地面为刚体
2020/12/9
F W
F W Fs
FN
19
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
非刚体假设： 圆盘为非刚体 地面为非刚体
F
F
W
W
Fs
FN M f
fs min tan 300
17
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
问题：长轴为 a，短轴为 b ，重为W的非均质椭圆盘，一端铅
垂吊起，另一端放在倾角为 的固定斜面上，圆盘长轴与水 平线的夹角为 ，若圆盘处于平衡，圆盘与斜面的静滑动摩擦
因数最小为多大？
T
F
W
2020/12/9
解：研究椭圆盘，受力分析
M A 0 : M f FR 0 M f FR
不滑动条件： Fs fFN F fW
不滚动条件： M f FN
FW
R
Fmax
min{ fW , W} R
21
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
A
C
DF
W
B
FA
P
A
C
DF
W
B
Fs FB
2020/12/9
例：重为W长为L的均质梯子靠在光滑
2020/12/9
20
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
例： 圆盘为W，半径为R，水平拉力为F，静滑动摩擦因数为 f 滚动摩擦阻力系数为 ，求维持平衡时最大拉力Fmax。
F W
F
18
理论力学
三、滚动摩阻
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
刚体假设： 圆盘为刚体 地面为刚体
2020/12/9
F W
F W Fs
FN
19
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
非刚体假设： 圆盘为非刚体 地面为非刚体
F
F
W
W
Fs
FN M f
fs min tan 300
17
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
问题：长轴为 a，短轴为 b ，重为W的非均质椭圆盘，一端铅
垂吊起，另一端放在倾角为 的固定斜面上，圆盘长轴与水 平线的夹角为 ，若圆盘处于平衡，圆盘与斜面的静滑动摩擦
因数最小为多大？
T
F
W
2020/12/9
解：研究椭圆盘，受力分析
M A 0 : M f FR 0 M f FR
不滑动条件： Fs fFN F fW
不滚动条件： M f FN
FW
R
Fmax
min{ fW , W} R
21
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
A
C
DF
W
B
FA
P
A
C
DF
W
B
Fs FB
2020/12/9
例：重为W长为L的均质梯子靠在光滑
2020/12/9
20
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
例： 圆盘为W，半径为R，水平拉力为F，静滑动摩擦因数为 f 滚动摩擦阻力系数为 ，求维持平衡时最大拉力Fmax。
F W
F
理论力学 摩擦计算习题
F滑 =
f sG = 1876 N cos α + f s sin α
F翻
Ga = = 1 443 N 2 h cos α
保持木箱平衡的最大拉力为
F = F翻=1 443 N
3.６ 摩擦
思考 如果是一个正多棱体更容易翻倒对吗？如果是圆柱体呢？ W W FN FmaxC A a P W FN FA a F FN 纯滚动：连续的滚动过程，而不滑动，摩擦力是静摩擦力。 P FT
摩 擦
例3-21 在生活中，有时拉抽屉一时打不开，抽屉尺寸如图所 示，抽屉与两壁间摩擦系数f，不计抽屉底部摩擦，求抽拉抽 屉不被卡住时，拉力F作用线与抽屉中心线的距离e。 解：1、受力分析 FC 2、平衡方程
b C a
FNC
FA
FNA
A e
∑F ∑F
x y
=0 =0
FNA − FNC = 0
F − F A − FC = 0
Fmax = G tan (α + ϕ m ) G tan (α − ϕ m ) ≤ F ≤ G tan (α + ϕ m )
3.６ 摩擦
本题也可以利用补充不等式直接求出平衡范围，但摩 擦力方向不能假设。
F ≤ f S FN
摩擦力上限和下限计算完全对称。可以直接把摩擦系 数变为负值，得另外一半结果。慎用这种方法
d =0
3.６ 摩擦
F
例3-19图示匀质木箱重G=
a
D
α
5 kN，它与地面间的静摩 擦因数fs = 0.4。图中h = 2a = 2 m， α =30°。（1）问
G
h A
当D处的拉力F = 1 kN时， 木箱是否平衡？（2）求能 保持木箱平衡的最大拉 力。
理论力学教学PPT摩擦教学课件PPT
4
（2）临界平衡状态：
FS
Fmax
Fmax ：最大静摩擦力
静摩 擦力有一个范围：0 Fs Fmax
Fmax
有限约束力
实验表明：Fm
的大小与接触面上法向反力
ax
FN
的大小成正比，方向与物体相对滑动趋势的方向相反.
P
Fmax
A
FN
Fmax = fs FN f s ----- 静摩擦系数
静滑动摩擦定律 T
49.61N m MC 70.39 N m
40
例5-14 已知： 力 P 角 ，不计自重的 A , B 块间的
静摩擦系数为 f s ，其它接触处光滑；
求：使系统保持平衡的力 F的值.
41
解： 取整体 Fy 0 FNA P 0 FNA P
设力 F小于 F1时，楔块 A 向右运动， 取楔块 A ，F1 FNA tan( ) P tan( )
解得 Fs 866 N FN 4500 N d 0.171m
而 Fmax fs FN 1800 N
因 Fs Fmax , 木箱不会滑动；
又 d 0 , 木箱无翻倒趋势.
木箱平衡
（2）设木箱将要滑动时拉力为 F1 Fx 0 Fs F1 cos 0 Fy 0 FN P F1 sin 0
画两杆受力图.
(a)
(b)
38
对图 (a) ， M A 0 FN1 AB M A 0
对图 (b) ， M C 0 M C1 FN1 l sin 60o Fs1 l cos 60o 0 又 Fs1 Fs1 fs FN1 fs FN1
解得 MC1 70.39N m
设 M C M C2 时，系统有顺时针方向转动趋势，
理论力学—摩擦
角jf之内，则无论这个力怎样大，
物块必保持静止。这种现象称为 自锁现象。因为在这种情况下， 主 动 力 的 合 力 FR 与 法 线 间 的 夹
角q < jf，因此， FR和全约束反
力FRA必能满足二力平衡条件，
且q j < jf 。
jf
jf
FR
q
A
j
FRA
jf
4.2.2 自锁现象
(2) 如果全部主动力的合力
线的方位也随之改变；在临界状态下，FR的作用线将 画出一个以接触点A为顶点的锥面，称为摩擦锥。设物 块与支承面间沿任何方向的摩擦系数都相同，即摩擦
角都相等，则摩擦锥将是一个顶角为2jf的圆锥。
4.2.2 自锁现象
物块平衡时，静摩擦力不一定达到最大值，可在
零与最大值Fmax之间变化，所以全约束反力与法线间
同而引起的切向力。
滑动摩擦——由于物体间相对滑动或有相 ② 对滑动趋势引起的摩擦。
滚动摩擦——由于物体间相对滚动或有相 对滚动趋势引起的摩擦。
三、摩擦有害的一面和有利的一面
⑴ 有害的一面：它是机械的多余阻力，使机械发热，引起 零部件的磨损，从而消耗能量，降低效率和使用寿命。
⑵ 有利的一面：可利用其进行传动、制动、调速、联接、 夹卡物体等。另外，人类的生活也时时离不开摩擦。
解2：（几何法）
jm B C
当梯子处于向下滑动的临界平衡 RB
状态时，受力如图，显然 RARB ，
E
于是
P
A amin
aj j j j m RA m i2 n m C A 2 m E A C 2 2 E m
故 a应满足的条件是：
2
a22jm
物块必保持静止。这种现象称为 自锁现象。因为在这种情况下， 主 动 力 的 合 力 FR 与 法 线 间 的 夹
角q < jf，因此， FR和全约束反
力FRA必能满足二力平衡条件，
且q j < jf 。
jf
jf
FR
q
A
j
FRA
jf
4.2.2 自锁现象
(2) 如果全部主动力的合力
线的方位也随之改变；在临界状态下，FR的作用线将 画出一个以接触点A为顶点的锥面，称为摩擦锥。设物 块与支承面间沿任何方向的摩擦系数都相同，即摩擦
角都相等，则摩擦锥将是一个顶角为2jf的圆锥。
4.2.2 自锁现象
物块平衡时，静摩擦力不一定达到最大值，可在
零与最大值Fmax之间变化，所以全约束反力与法线间
同而引起的切向力。
滑动摩擦——由于物体间相对滑动或有相 ② 对滑动趋势引起的摩擦。
滚动摩擦——由于物体间相对滚动或有相 对滚动趋势引起的摩擦。
三、摩擦有害的一面和有利的一面
⑴ 有害的一面：它是机械的多余阻力，使机械发热，引起 零部件的磨损，从而消耗能量，降低效率和使用寿命。
⑵ 有利的一面：可利用其进行传动、制动、调速、联接、 夹卡物体等。另外，人类的生活也时时离不开摩擦。
解2：（几何法）
jm B C
当梯子处于向下滑动的临界平衡 RB
状态时，受力如图，显然 RARB ，
E
于是
P
A amin
aj j j j m RA m i2 n m C A 2 m E A C 2 2 E m
故 a应满足的条件是：
2
a22jm
理论力学复习要点整理
理论⼒学复习要点整理第⼀章静⼒学公理和物体的受⼒分析1.静⼒学是研究物体在⼒系作⽤下的平衡条件的科学。
2.静⼒学公理公理1 ⼆⼒平衡公理：作⽤于刚体上的两个⼒，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个⼒⼤⼩相等、⽅向相反且作⽤于同⼀直线上。
F=-F’⼯程上常遇到只受两个⼒作⽤⽽平衡的构件，称为⼆⼒构件或⼆⼒杆。
公理2 加减平衡⼒系公理：在作⽤于刚体的任意⼒系上添加或取去任意平衡⼒系，不改变原⼒系对刚体的效应。
推论⼒的可传递性原理：作⽤于刚体上某点的⼒，可沿其作⽤线移⾄刚体内任意⼀点，⽽不改变该⼒对刚体的作⽤。
公理3 ⼒的平⾏四边形法则：作⽤于物体上某点的两个⼒的合⼒，也作⽤于同⼀点上，其⼤⼩和⽅向可由这两个⼒所组成的平⾏四边形的对⾓线来表⽰。
推论三⼒平衡汇交定理：作⽤于刚体上三个相互平衡的⼒，若其中两个⼒的作⽤线汇交于⼀点，则此三个⼒必在同⼀平⾯内，且第三个⼒的作⽤线通过汇交点。
公理4 作⽤与反作⽤定律：两物体间相互作⽤的⼒总是同时存在，且其⼤⼩相等、⽅向相反，沿着同⼀直线，分别作⽤在两个物体上。
公理5 钢化原理：变形体在某⼀⼒系作⽤下平衡，若将它钢化成刚体，其平衡状态保持不变。
对处于平衡状态的变形体，总可以把它视为刚体来研究。
3.约束和约束⼒限制⾮⾃由体某些位移的周围物体，称为约束。
约束对⾮⾃由体施加的⼒称为约束⼒。
约束⼒的⽅向与该约束所能阻碍的位移⽅向相反。
１．柔性体约束２．光滑接触⾯约束３．光滑铰链约束4.物体的受⼒分析和受⼒图画物体受⼒图时，⾸先要明确研究对象（即取分离体）。
物体受的⼒分为主动⼒和约束⼒。
要注意分清内⼒与外⼒，在受⼒图上⼀般只画研究对象所受的外⼒；还要注意作⽤⼒和反作⽤⼒之间的相互关系。
常见问题问题⼀画受⼒图时，严格按约束性质画，不要凭主观想象与臆测。
第⼆章平⾯⼒系本章总结1. 平⾯汇交⼒系的合⼒（ 1 ）⼏何法：根据⼒多边形法则，合⼒⽮为合⼒作⽤线通过汇交点。
（ 2 ）解析法：合⼒的解析表达式为2. 平⾯汇交⼒系的平衡条件（ 1 ）平衡的必要和充分条件：（ 2 ）平衡的⼏何条件：平⾯汇交⼒系的⼒多边形⾃⾏封闭。
理论力学第七版第四章摩擦资料
F
施以水平阻力时，可能出现两种情况：
30
• 阻力较小，摩擦力阻止其向下运动 • 阻力较大，摩擦力阻止其向上运动
第一种情况
合力作用线
G
如右图，建立参考基，利用 静力平衡关系
y
Fm i n
Fm
x FN
n
Fix 0
i1
Fmin cos Fm Fg sin 0
m
(a)
n
Fiy 0
i1
第一类 问 题
F F max，,物体处于静止 状态，已知主动力求约束力， 与一般平衡问题无异。
第二类 问 题
平衡问题—临界运动趋势 不平衡问题—滑动或翻倒
F ＝ F max
[ 确定平衡位置； 确定各主动力之间的关系。
考虑摩擦时 的平衡问题
例 题1
已知：三角块和矩 形块的质量分别为20 kg和10kg；各部分之 间的摩擦因数均为f s = 0.4 。
§5-3摩擦平衡问题
一、两种运动趋势与临界运动状态
1、滑动（slip)
WW W WW
FPFPFPFPFP
FmFamxFaxmFaxmFamx ax
FNFNFNFNFFNRFRFRFRFR
2、翻 倒（tip over)
FFFPPPFFP P
WWWWW
FFFFssss
FFFFFNNNNN
二、两类摩擦平衡问题
静止状态
运动状态
45° O
FP
F Fmax Fd
临界状态
静止状态
运动状态
O
FP
静止状态 — F＝FP＜F max
运动状 临态界状态
— F＝Fd — F＝F max = fs FN
一般静摩擦力的值： 0 ≤ F≤Fmax
工程力学理论力学第4章
Fi xi F
平衡的充要条件为 主矢 R =0
主矩MO =0
所以 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO (Fi )0
一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即 X 0 恒成立 ，所以只有两个 独立方程，只能求解两个独立 的未知数。
mA (Fi ) 0 二矩式
RB
qa 2
m a
2P
200.8 2
16 0.8
22012(
kN)
YA PqaRB 20200.81224(kN)
§4-4 物体系统的平衡、静定与超静定问题的概念
一、静定与超静定问题的概念
我们学过：
平面汇交力系 X 0 Y 0
两个独立方程，只能求两个独立 未知数。
例3. 塔式起重机翻转问题
如图所示塔式起重机的简图。已知机身重W，重 心在C处；最大的起吊重量为P。各部分的尺寸如图。 求能保证起重机不致翻转的平衡锤重Q大小。
b
Q
C e
W
a
P
A
B
dd
★ 物体系统的平衡问题
例5. 如图所示，水平梁由AB和BC两部分组成，它们
在B处用铰链相连。梁的A端固定在墙上，在C处受滚 动支座支持，该支座放在倾角为α =30°的光滑斜面 上。已知P=4KN，均布载荷q=2KN/m，尺寸如图。试求 A、B、C处约束反力。
解物系问题的一般方法：
由整体
局部（常用），由局部
整体（用较少）
[例1] 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平时，冲压力为P 时，
求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？ ④冲头给导轨的侧压力？
考虑摩擦时的平衡问题
擦力，简称静摩擦力。若F＝0，则Ff ＝0，即物体没有相对滑动趋 势时，也就没有摩擦力；当F增大时，静摩擦力Ff也随着增大。当F 增大到某一数值时，物块处于将动而未动的临界平衡状态，这时静 摩擦力达到最大值，称为最大静摩擦力，用Ffmax表示。
目录
平面力系\考虑摩擦时的平衡问题 由上可知，静摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反，大
目录
平面力系\考虑摩擦时的平衡问题
1.2 滑动摩擦
1. 静滑动摩擦
将重W的物块放在水平面内，并 施加一水平力F（如图）。当力F较小 时，物块虽有沿水平面滑动的趋势， 但仍保持静止状态，这是因为接触面 间存在一个阻碍物块滑动的力Ff 。它 的大小由平衡方程求得，Ff ＝F ，方 向与相对滑动趋势的方向相反。这个 力就是水平面施加给物体的静滑动摩
目录
平面力系\考虑摩擦时的平衡问题 自锁在工程中有广泛的应用。例如螺旋千斤顶举起重物后不会
自动下落就是一种自锁现象。而在另一些问题中，则要设法避免产 生自锁现象。例如工作台在导轨中要求能顺利滑动，不允许发生卡 死现象（即自锁）。
目录
平面力系\考虑摩擦时的平衡问题
1.4 考虑摩擦时物体平衡问题的解法
方向与物体接触部位相对滑动的方向相反，大小与接触面之间的正 压力（即法向反力）FN成正比，即
Ff ＝ f FN
这就是动滑动摩擦定律，简称动摩擦定律。式中比例常数f称为动摩 擦因数，它的大小除了与接触面的材料性质和物理状态等有关外， 还与物体相对滑动的速度有关。通常不考虑速度变化对f的影响，而 将f看作常量。一般情况下,动摩擦因数f略小于静摩擦因数fs。在精
度要求不高时，可近似认为f≈fs。
目录
平面力系\考虑摩擦时的平衡问题
1.3 摩擦角和自锁
目录
平面力系\考虑摩擦时的平衡问题 由上可知，静摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反，大
目录
平面力系\考虑摩擦时的平衡问题
1.2 滑动摩擦
1. 静滑动摩擦
将重W的物块放在水平面内，并 施加一水平力F（如图）。当力F较小 时，物块虽有沿水平面滑动的趋势， 但仍保持静止状态，这是因为接触面 间存在一个阻碍物块滑动的力Ff 。它 的大小由平衡方程求得，Ff ＝F ，方 向与相对滑动趋势的方向相反。这个 力就是水平面施加给物体的静滑动摩
目录
平面力系\考虑摩擦时的平衡问题 自锁在工程中有广泛的应用。例如螺旋千斤顶举起重物后不会
自动下落就是一种自锁现象。而在另一些问题中，则要设法避免产 生自锁现象。例如工作台在导轨中要求能顺利滑动，不允许发生卡 死现象（即自锁）。
目录
平面力系\考虑摩擦时的平衡问题
1.4 考虑摩擦时物体平衡问题的解法
方向与物体接触部位相对滑动的方向相反，大小与接触面之间的正 压力（即法向反力）FN成正比，即
Ff ＝ f FN
这就是动滑动摩擦定律，简称动摩擦定律。式中比例常数f称为动摩 擦因数，它的大小除了与接触面的材料性质和物理状态等有关外， 还与物体相对滑动的速度有关。通常不考虑速度变化对f的影响，而 将f看作常量。一般情况下,动摩擦因数f略小于静摩擦因数fs。在精
度要求不高时，可近似认为f≈fs。
目录
平面力系\考虑摩擦时的平衡问题
1.3 摩擦角和自锁
理论力学哈工大第八版答案
哈尔滨工业大学理论力学教研室理论力学（I）第8版习题答案《理论力学（1 第8版）/“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材》第1版至第7版受到广大教师和学生的欢迎。
第8版仍保持前7版理论严谨、逻辑清晰、由浅入深、宜于教学的风格体系，对部分内容进行了修改和修正，适当增加了综合性例题，并增删了一定数量的习题。
本书内容包括静力学（含静力学公理和物体的受力分析、平面力系、空间力系、摩擦），运动学（含点的运动学、刚体的简单运动、点的合成运动、刚体的平面运动），动力学（含质点动力学的基本方程、动量定理、动量矩定理、动能定理、达朗贝尔原理、虚位移原理）。
本书可作为高等学校工科机械、土建、水利、航空、航天等专业理论力学课程的教材，也可作为高职高理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室习题答案专、成人高校相应专业的自学和函授教材，亦可供有关工程技术人员参考。
本书配套的有《理论力学学习辅导》、《理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室习题答案理论力学思考题集》、《理论力学解题指导及习题集》（第3版）、《理论力学电子教案》、《理论力学网络课程》、《理论力学习题解答》、《理论力学网上作业与查询系统》等。
理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室课后答案前辅文静力学关注网页底部或者侧栏二维码回复理论力学（I）第8版答案免费获取答案引言第一章静力学公理哈尔滨工业大学理论力学教研室理论力学（I）第8版课后答案理论力学思考题集》、《理论力学解题指导及习题集》（第3版）、《理论力学电子教案》、《理论力学网络课程》、《理论力学习题解答》、《理论力学网上作业与查询系统》等。
理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室课后答案前辅文静力学引言第一章静力学公理和物体的受力分析第二章平面力系第三章空间力系第四章摩擦理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室习题答案§4-4 滚动摩阻的概念运动学引言第五章点的运动学*§5-5 点的速度和加速度在球坐标中的投影思考题习题第六章刚体的简单运动§6-1 刚体的平行移动§6-2 刚体绕定轴的转动§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度§6-4 轮系的传动比§6-5 以矢量表示角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度思考题习题第七章点的合成运动第八章刚体的平面运动动力学引言第九章质点动力学的基本方程第十章动量定理第十一章动量矩定理第十二章动能定理第十三章达朗贝尔原理第十四章虚位移原理参考文献习题答案索引Synopsis哈尔滨工业大学理论力学教研室理论力学（I）第8版课后答案第十四章虚位移原理。
如何分析考虑摩擦时物体的平衡问题
不考虑摩擦力的存在 。但在诸如闸瓦制动 、摩擦轮传动 、螺纹连 接 等 一些 实 际 问题 中 ，摩擦 却 是我 们必 须 要考 虑 的非 常 重要 的 因 素。高等教育出版社出版的中等职业学校新编教材 《 机械工程力
学 》” 就 介 绍 了考 虑 摩擦 时的 平 衡 问题 ，这也 成 为 中职 生 的 一 个
学 术 研 讨
南缸科 技 ２ ０ １ ３ 年第４ 期
０ 年 、１ 年 、２ 年 、３ 年 、４ ｇ五种方案 ，累积产油量与注热水
时 间关 系 曲线 如 图４ 所示 。
改善致密油藏开发效果起到一定作用，但效果不明显。分析原因 认为 ，致密油藏渗透率低 ，热水注不进去，导致温度场波及范围
较 小 如 图６ 所示。
图４ 累积产 油 量与 注热 水 时 间关 系 曲线
由图４ 可 以看 出，随着注热水量的递增 ，累积产油量也是递 增的。当注热水量大于２ 年 时，油量增 加趋于缓慢 。所以最佳注
热 水 量可 选 择 ２ 年 左 右 。分 析 可 知 当注 热 量 较 少 时 ，地 层 热 量 不 能得 到 充 足 的补 充 ，热 水波 及 范 围小 ，达 不到 理 想 的注热 效 果 ， 而注 热 水 量过 多 时 ，注热 效 果提 高 不 明显 。 因此 ，注 热 水 的时长 也有 一 个 最优 值 。
图１
力偶 矩Ｍ 。
学生的解题思路是这样的 ，取物块Ｂ 为研究对 象，画受 力图
如 图２ 所示。
４
这 也 是 一个 临 界 平衡 问题 ，大 多数 学 生 的思 路 是 这 样 的 ： 圆柱 放在 ｖ 形 槽 上 ，转 动 的阻 力 只 有摩 擦 力 ，因此 能转 动 圆 柱 的
(完整版)理论力学---第四章摩擦
sin q cosq
fs cosq fs sinq
P
F
sin q cosq
fs cosq fs sinq
P
F1
22
第四章 摩擦
用几何法求解 解: 物块有向上滑动趋势时
F1max P tan(q )
23
第四章 摩擦
物块有向下滑动趋势时
F1min P tan(q )
P tan(q ) F P tan(q )
力偶矩的大小
A
M O
B
P
25
第四章 摩擦
已知：b , d , fs , 不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
求： 挺杆不被卡住之值. a
26
第四章 摩擦
解： 取挺杆，设挺杆处于刚好卡住位置.
Fx 0 FAN FBN 0
Fy 0 FA FB F 0 M A 0
FN
(a
d 2
)
FBd
利用三角公式与 tan fs ,
P sinq fs cosq F P sinq fs cosq
cosq fs sinq
cosq fs sinq
24
第四章 摩擦
无重杆OA AB.其中OA长度L与水平线的倾角
为q
AB 水平.将重为P的物块放在斜面上，斜面
倾角 大于接触面的摩擦角 f
问若想在OA 杆上加一主动力偶使物块静止 在斜面上,转向?
19
第四章 摩擦
已知： P ,q , fs .
求： 使物块静止，
水平推力
F的大小．
20
第四章 摩擦
解：
使物块有上滑趋势时，推力为
F1
画物块受力图
F 0, x
F1 cosq P sinq Fs1 0
考虑摩擦时物体的平衡问题
摩擦力F的指向可以假定，大小由平衡方程决定。
考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
例1: 小物体A重G =10 N，放在粗糙的水平固定面上，它与固定面之间
的静摩擦因数fs= 0.3。今在小物体A上施加F =4 N的力,α =30°，试求 作用在物体上的摩擦力。
F
解: 1. 取物块A为研究对象，受力分析如图。
A Ff x
FNAFRA
由式（a）和（d）得 FNB ≤
同时满足条件
Ff ≤ fs FNA （d）
由式（b）和（c）得
FNA
l cos a sin
FNB
fs FNA ,
FNB
≤
fs
l cos a sin
FNB 或
a tan ≤
l
fs
（e）
因 0≤a≤l， 当 a=l 时，式（e）左边达到最大值。即就是人爬到梯子的顶端时梯 子不下滑，则人在梯子任何位置上，梯子都不会下滑。所以为了保证人沿梯子爬到顶 端时而梯子不下滑，只需以a = l 代入式（e），得
理论力学
第十讲： 考虑摩擦时物体的平衡问题
主 讲： 王 辉
授课班级：材料成型及控制工程
1
前情回顾
平面简单桁架的内力计算（主要的求解方法）
1.节点法：依次选取各节点为研究对象，运用平面汇交力系的平
衡条件求解的方法。（适用于要求求出桁架全部杆件的内力）
例 如图，求桁架各杆的内力。
F
FE
F/2 C
A 30o 30o
B d
F
FA
x
F
作用于支架的主
A
FNA
h
FB
O B FNB
C 动力F 的作用线距圆 柱中心线至少多远
考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
例1: 小物体A重G =10 N，放在粗糙的水平固定面上，它与固定面之间
的静摩擦因数fs= 0.3。今在小物体A上施加F =4 N的力,α =30°，试求 作用在物体上的摩擦力。
F
解: 1. 取物块A为研究对象，受力分析如图。
A Ff x
FNAFRA
由式（a）和（d）得 FNB ≤
同时满足条件
Ff ≤ fs FNA （d）
由式（b）和（c）得
FNA
l cos a sin
FNB
fs FNA ,
FNB
≤
fs
l cos a sin
FNB 或
a tan ≤
l
fs
（e）
因 0≤a≤l， 当 a=l 时，式（e）左边达到最大值。即就是人爬到梯子的顶端时梯 子不下滑，则人在梯子任何位置上，梯子都不会下滑。所以为了保证人沿梯子爬到顶 端时而梯子不下滑，只需以a = l 代入式（e），得
理论力学
第十讲： 考虑摩擦时物体的平衡问题
主 讲： 王 辉
授课班级：材料成型及控制工程
1
前情回顾
平面简单桁架的内力计算（主要的求解方法）
1.节点法：依次选取各节点为研究对象，运用平面汇交力系的平
衡条件求解的方法。（适用于要求求出桁架全部杆件的内力）
例 如图，求桁架各杆的内力。
F
FE
F/2 C
A 30o 30o
B d
F
FA
x
F
作用于支架的主
A
FNA
h
FB
O B FNB
C 动力F 的作用线距圆 柱中心线至少多远
力学竞赛知识点理论力学
1 .假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。 列平衡方程
Fx 0, F FA FB 0
F
C
P
A
FA
FB x
B
Fy 0, FNA FNB P 0
补充方程
FA fs FNA , FB fs FNB
FNA
FNB
联立求解得柜子开始滑动所需的最小推力
F Fmin1 Pfs
17
理论力学
11
理论力学
力学竞赛知识点介绍
例题5-2
构件A及B用楔块C联结，如图(a)所示，楔块自重不 计，F1 F2 。已知楔块与构件间的摩擦系数 fs= 0.1, 求能
自锁的倾斜角q 。
解：(1) 解析法 研究楔块C，受力如 图(b)，考虑临界平衡
(a) (b)
Fx 0, FN1 cosq Fs1 sin q FN2 0
数为 fs1=0.4。轮半径为r，杆长
为 l，当 q = 60° 时，AC = CB
= 0.5l ，如图所示。如要维持系 统平衡，（1） 若D处静摩擦因 数 fs2 = 0.3，求此时作用于轮心 O处水平推力 F 的最小值;（2） 若fs2=0.15 ,此时F 的最小值又为 多少？
21
理论力学
力学竞赛知识点介绍
(a)
(b)
4
理论力学
力学竞赛知识点介绍
由此可见，支承面对物体的约束力除了法向约束力FN外还 有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向约束力Fs，此力
即静滑动摩擦力，简称静摩擦力。显然有Fs=F，因此静
摩擦力也是约束力，随着F的增大而增大。然而，它并不
能随F的增大而无限地增大。而有一个最大值Fmax，称为 最大静摩擦力，此时物体 处于平衡的临界状态。当主动力
Fx 0, F FA FB 0
F
C
P
A
FA
FB x
B
Fy 0, FNA FNB P 0
补充方程
FA fs FNA , FB fs FNB
FNA
FNB
联立求解得柜子开始滑动所需的最小推力
F Fmin1 Pfs
17
理论力学
11
理论力学
力学竞赛知识点介绍
例题5-2
构件A及B用楔块C联结，如图(a)所示，楔块自重不 计，F1 F2 。已知楔块与构件间的摩擦系数 fs= 0.1, 求能
自锁的倾斜角q 。
解：(1) 解析法 研究楔块C，受力如 图(b)，考虑临界平衡
(a) (b)
Fx 0, FN1 cosq Fs1 sin q FN2 0
数为 fs1=0.4。轮半径为r，杆长
为 l，当 q = 60° 时，AC = CB
= 0.5l ，如图所示。如要维持系 统平衡，（1） 若D处静摩擦因 数 fs2 = 0.3，求此时作用于轮心 O处水平推力 F 的最小值;（2） 若fs2=0.15 ,此时F 的最小值又为 多少？
21
理论力学
力学竞赛知识点介绍
(a)
(b)
4
理论力学
力学竞赛知识点介绍
由此可见，支承面对物体的约束力除了法向约束力FN外还 有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向约束力Fs，此力
即静滑动摩擦力，简称静摩擦力。显然有Fs=F，因此静
摩擦力也是约束力，随着F的增大而增大。然而，它并不
能随F的增大而无限地增大。而有一个最大值Fmax，称为 最大静摩擦力，此时物体 处于平衡的临界状态。当主动力
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1. 工程实例
第 4章
几何静力学
4.5 考虑摩擦的平衡问题
2013年10月22日
2/29
2. 关于摩擦的基本知识
第 4章
3. 摩擦角与摩擦锥
第 4章 当摩擦力达到最大静摩擦力时，全约束反力 R和约束面法向的夹角称为摩擦角，记为m。 以约束面法向为中心轴，以2m为顶角的正圆 锥叫做摩擦锥。
tan m
Fmax
m
P
干摩擦、 湿摩擦、结构内摩擦 静滑动摩擦力、动滑动摩擦力 库仑 (Coulomb) 定律：静摩擦力 F 的方向与 两接触物体相对滑动趋势相反，最大静摩 擦力Fmax的大小与正压力N成正比
3/29
第4章 受力图中多了摩擦力，其方向与相对滑动 趋势相反，不可任意假设 另一方面，除静力学平衡方程外还要补充 方程：F N 所得结果常是一个范围。 可求解不等式；也可在极限情况求解等式， 再根据物理意义确定范围。 临界状态（极限情况）的正确判断非常关 键
28/29
几何静力学
5
FC
O W
NC
几何静力学
如何补充方程？
D点首先达到临界状态 FD = FC = ND 0 （不合题意） cos sin 1 2 arctan
C、D任意一点达到临 界状态时系统即达到 临界状态！
D O
W C
RC ?
A
C
C始终小于D，D
点先达到临界状态
小结
第 4章
而是造成滚动的原因
3. 静滑动摩擦力远小于最大静摩擦力 4. 求解滚动摩阻问题时需加补充方程M f N
摩擦角及摩擦椎(全约束反力的作用线一定位 于摩擦椎内) 摩擦力方向的正确判断是求解的关键，不能 任意假设（假设错误将导致平衡方程和补充 方程不相容） 解析法：平衡方程 + 补充条件 几何法：主动力合力作用线位于摩擦椎内 （摩擦自锁现象） 皮带摩擦 滚动摩阻
例 4-5-5
第 4章
几何法
ND FD
RD
arctan m
2
FD FC
M Az N C AC N D AD W AC 0
2 arctan
O W
FC NC
Ry 0 N D cos FD sin W N C
A
A
D
RD
几何静力学
平衡时有： F N
Q cos P sin ( P cos Q sin )
Q P(sin cos ) P tan( m ) cos sin
Q
平衡时有： F N
Q cos P sin ( P cos Q sin )
研究皮带的平衡，画受力图。列写皮带微元 的平衡方程，并考虑到dβ为小量 d d
Rx (T dT ) cos
24/29
几何静力学
dT T d
ln
T1
T2
dT d 0 T
T1 T2
T1 : T2 e
4
例 4-5-6
第 4章
讨论
第 4章
5. 滚动摩阻
5/29
几何静力学 几何静力学
几何静力学
m
F Fmax
Fmax N
μ — 摩擦系数
摩擦力与主动力有关
S
F
F S sin N
N S cos
4/29
N
R
n
N
全约束反力R的作用线是 否可能位于摩擦锥之外？
求解有摩擦的平衡问题的特点
第 4章
例 4-5-1
设一物块放在粗糙斜面上。斜面与物块间的摩 擦系数为，问平衡时满足什么条件？
N
Q
F
R
N
n
P
S
14/29
例 4-5-3
第 4章 取套钩为研究对象，画受力图。
Rx 0 N B N A
Ry 0 FA FB P
解析法
图示为工人攀登电杆时脚 上所带的套钩。已知套钩 的尺寸b、电杆直径d，摩 b 擦系数 。求套钩不致下 滑时脚踏力 P 距电杆中心 线的距离l。
几何静力学
A NA b FA
d tan m
m m
NB
RA
C
D RB
FB B
d
P
平衡条件与工人体重无关？
18/29
3
例 4-5-4
第 4章
tan 15 0.208 72
R R
解
第 4章
例 4-5-5
长为2l的均质杆AB搁在半径为r的均质圆柱体 上，杆轴与圆柱轴互相垂直，杆轴与圆柱重 心在同一竖直平面内。A点为光滑铰支，其 余接触处的摩擦系数均为。求平衡时杆与 水平面夹角的最大值。
1 (b d tan ) ( d l ) tan m m 2 2 min b b lmin 2 tan m 2
lmin
17/29
几何静力学
例 4-5-3
几何静力学
m
m m
tan( m ) Q tan( m ) P
几何静力学 几何静力学
16/29
几何静力学
M Az 0 N B b FB d P (l d / 2)
l
物理方程：
FA N A , FB N B
l b 2
A b FA
NB
d
NA
B
FB
P
例 4-5-3
几何法
第 4章
例 4-5-4
图示一种夹紧装置，它能卡住绳索使之不能 沿拉力P的方向移动。设绳沿铅垂线，凸轮 圆弧中心为O点，A、B为光滑销钉。在图示 位置时，绳索与凸轮间的静摩擦系数至少应 等于多少才能保证自锁？凸轮自重可忽略。
6/29
几何静力学
P
1
例 4-5-1
第 4章 受力分析 列出沿斜面和垂直斜面方向的平衡方程
N P cos F P sin 又由于平衡时有 F N tan tan m
解
例 4-5-2
第4章 上例中，若 ，则主动力P落在锥外，物 m 体不平衡。需加一个水平力 Q 使物体平衡。 求Q的范围。
RC ( RD W )
22/29
RC
例 4-5-6
已知：、r、、T1 > T2 求：使皮带不致滑动的 T1 : T2 = ? 第 4章
例 4-5-6
解
T cos dF 0 dT dF 2 2 d d Ry dN (T dT ) sin T sin 0 dN Td 2 2 物理条件 dF dN
4. 摩擦自锁现象
m
P
几何静力学
n
F
m R N
S
N S cos F S sin N tan
当 m时
n
F N tan N tan m Fmax
12/29
2
求解有摩擦的平衡问题的几何法
第4章 平衡的充分必要条件是主动力合力的作用线 在摩擦锥内且方向指向接触点—几何法。 第 4章
Q
P (sin cos ) cos sin P tan( m )
Q
F
N
N
Q tan( m ) tan( m ) P
P
10/29
F
P
4. 摩擦自锁现象
当主动力合力的作用线位于摩擦锥以内时，无 论主动力合力多大，约束力都可与之平衡，此 现象称为摩擦自锁。 第 4章
B
tan m tan 0.208
19/29
第 4章
21/29
第 4章
23/29
几何静力学 几何静力学 几何静力学
20/29
几何静力学
D
A
O
C
例 4-5-5
多点接触问题，以圆柱为研究对象
M Oz FD r FC r 0
NC W N D N D
解析法
ND FD
T P O A F N
R
T1 : T2 e
25/29
第 4章
27/29
第 4章
29/29
几何静力学 几何静力学 几何静力学
几何静力学
T1 : T2 的值
摩擦系数0.3
T1 : T2 6.586
43.38
摩擦系数0.2
T1 : T2 3.514
12.35
最大滚动摩阻力偶Mf max与正压力成正比
绳子缠绕1圈 绳子缠绕2圈 绳子缠绕3圈 绳子缠绕4圈Leabharlann M f max N ,
δ — 滚动摩阻系数
滚动 T1 P 滑动 T1 P
r
285.7
1881
43.38
152.4
26/29
使物体滚动远比使 r 其滑动省力！
滚动摩阻讨论
1. 约束反力是有最大限定值的约束力偶 2. 仍然存在静滑动摩擦力，但不阻碍滚动，
例 4-5-2
tan Q P
解法二
n
F
m
S
由几何关系知 S与 N 的夹角为 |。平衡时 这个夹角一定不超过摩擦角，即
13/29
第 4章
15/29
第4章 系统的临界状态： A和B同时达到临界状态 套 钩 在 全 反 力 RA 、 RB 和 主动力 P 三力作用下平衡 ，三力必汇交，其交点必 须位于阴影区中。 由三角形ACD得：
第 4章
几何静力学
4.5 考虑摩擦的平衡问题
2013年10月22日
2/29
2. 关于摩擦的基本知识
第 4章
3. 摩擦角与摩擦锥
第 4章 当摩擦力达到最大静摩擦力时，全约束反力 R和约束面法向的夹角称为摩擦角，记为m。 以约束面法向为中心轴，以2m为顶角的正圆 锥叫做摩擦锥。
tan m
Fmax
m
P
干摩擦、 湿摩擦、结构内摩擦 静滑动摩擦力、动滑动摩擦力 库仑 (Coulomb) 定律：静摩擦力 F 的方向与 两接触物体相对滑动趋势相反，最大静摩 擦力Fmax的大小与正压力N成正比
3/29
第4章 受力图中多了摩擦力，其方向与相对滑动 趋势相反，不可任意假设 另一方面，除静力学平衡方程外还要补充 方程：F N 所得结果常是一个范围。 可求解不等式；也可在极限情况求解等式， 再根据物理意义确定范围。 临界状态（极限情况）的正确判断非常关 键
28/29
几何静力学
5
FC
O W
NC
几何静力学
如何补充方程？
D点首先达到临界状态 FD = FC = ND 0 （不合题意） cos sin 1 2 arctan
C、D任意一点达到临 界状态时系统即达到 临界状态！
D O
W C
RC ?
A
C
C始终小于D，D
点先达到临界状态
小结
第 4章
而是造成滚动的原因
3. 静滑动摩擦力远小于最大静摩擦力 4. 求解滚动摩阻问题时需加补充方程M f N
摩擦角及摩擦椎(全约束反力的作用线一定位 于摩擦椎内) 摩擦力方向的正确判断是求解的关键，不能 任意假设（假设错误将导致平衡方程和补充 方程不相容） 解析法：平衡方程 + 补充条件 几何法：主动力合力作用线位于摩擦椎内 （摩擦自锁现象） 皮带摩擦 滚动摩阻
例 4-5-5
第 4章
几何法
ND FD
RD
arctan m
2
FD FC
M Az N C AC N D AD W AC 0
2 arctan
O W
FC NC
Ry 0 N D cos FD sin W N C
A
A
D
RD
几何静力学
平衡时有： F N
Q cos P sin ( P cos Q sin )
Q P(sin cos ) P tan( m ) cos sin
Q
平衡时有： F N
Q cos P sin ( P cos Q sin )
研究皮带的平衡，画受力图。列写皮带微元 的平衡方程，并考虑到dβ为小量 d d
Rx (T dT ) cos
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几何静力学
dT T d
ln
T1
T2
dT d 0 T
T1 T2
T1 : T2 e
4
例 4-5-6
第 4章
讨论
第 4章
5. 滚动摩阻
5/29
几何静力学 几何静力学
几何静力学
m
F Fmax
Fmax N
μ — 摩擦系数
摩擦力与主动力有关
S
F
F S sin N
N S cos
4/29
N
R
n
N
全约束反力R的作用线是 否可能位于摩擦锥之外？
求解有摩擦的平衡问题的特点
第 4章
例 4-5-1
设一物块放在粗糙斜面上。斜面与物块间的摩 擦系数为，问平衡时满足什么条件？
N
Q
F
R
N
n
P
S
14/29
例 4-5-3
第 4章 取套钩为研究对象，画受力图。
Rx 0 N B N A
Ry 0 FA FB P
解析法
图示为工人攀登电杆时脚 上所带的套钩。已知套钩 的尺寸b、电杆直径d，摩 b 擦系数 。求套钩不致下 滑时脚踏力 P 距电杆中心 线的距离l。
几何静力学
A NA b FA
d tan m
m m
NB
RA
C
D RB
FB B
d
P
平衡条件与工人体重无关？
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3
例 4-5-4
第 4章
tan 15 0.208 72
R R
解
第 4章
例 4-5-5
长为2l的均质杆AB搁在半径为r的均质圆柱体 上，杆轴与圆柱轴互相垂直，杆轴与圆柱重 心在同一竖直平面内。A点为光滑铰支，其 余接触处的摩擦系数均为。求平衡时杆与 水平面夹角的最大值。
1 (b d tan ) ( d l ) tan m m 2 2 min b b lmin 2 tan m 2
lmin
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几何静力学
例 4-5-3
几何静力学
m
m m
tan( m ) Q tan( m ) P
几何静力学 几何静力学
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几何静力学
M Az 0 N B b FB d P (l d / 2)
l
物理方程：
FA N A , FB N B
l b 2
A b FA
NB
d
NA
B
FB
P
例 4-5-3
几何法
第 4章
例 4-5-4
图示一种夹紧装置，它能卡住绳索使之不能 沿拉力P的方向移动。设绳沿铅垂线，凸轮 圆弧中心为O点，A、B为光滑销钉。在图示 位置时，绳索与凸轮间的静摩擦系数至少应 等于多少才能保证自锁？凸轮自重可忽略。
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几何静力学
P
1
例 4-5-1
第 4章 受力分析 列出沿斜面和垂直斜面方向的平衡方程
N P cos F P sin 又由于平衡时有 F N tan tan m
解
例 4-5-2
第4章 上例中，若 ，则主动力P落在锥外，物 m 体不平衡。需加一个水平力 Q 使物体平衡。 求Q的范围。
RC ( RD W )
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RC
例 4-5-6
已知：、r、、T1 > T2 求：使皮带不致滑动的 T1 : T2 = ? 第 4章
例 4-5-6
解
T cos dF 0 dT dF 2 2 d d Ry dN (T dT ) sin T sin 0 dN Td 2 2 物理条件 dF dN
4. 摩擦自锁现象
m
P
几何静力学
n
F
m R N
S
N S cos F S sin N tan
当 m时
n
F N tan N tan m Fmax
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2
求解有摩擦的平衡问题的几何法
第4章 平衡的充分必要条件是主动力合力的作用线 在摩擦锥内且方向指向接触点—几何法。 第 4章
Q
P (sin cos ) cos sin P tan( m )
Q
F
N
N
Q tan( m ) tan( m ) P
P
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F
P
4. 摩擦自锁现象
当主动力合力的作用线位于摩擦锥以内时，无 论主动力合力多大，约束力都可与之平衡，此 现象称为摩擦自锁。 第 4章
B
tan m tan 0.208
19/29
第 4章
21/29
第 4章
23/29
几何静力学 几何静力学 几何静力学
20/29
几何静力学
D
A
O
C
例 4-5-5
多点接触问题，以圆柱为研究对象
M Oz FD r FC r 0
NC W N D N D
解析法
ND FD
T P O A F N
R
T1 : T2 e
25/29
第 4章
27/29
第 4章
29/29
几何静力学 几何静力学 几何静力学
几何静力学
T1 : T2 的值
摩擦系数0.3
T1 : T2 6.586
43.38
摩擦系数0.2
T1 : T2 3.514
12.35
最大滚动摩阻力偶Mf max与正压力成正比
绳子缠绕1圈 绳子缠绕2圈 绳子缠绕3圈 绳子缠绕4圈Leabharlann M f max N ,
δ — 滚动摩阻系数
滚动 T1 P 滑动 T1 P
r
285.7
1881
43.38
152.4
26/29
使物体滚动远比使 r 其滑动省力！
滚动摩阻讨论
1. 约束反力是有最大限定值的约束力偶 2. 仍然存在静滑动摩擦力，但不阻碍滚动，
例 4-5-2
tan Q P
解法二
n
F
m
S
由几何关系知 S与 N 的夹角为 |。平衡时 这个夹角一定不超过摩擦角，即
13/29
第 4章
15/29
第4章 系统的临界状态： A和B同时达到临界状态 套 钩 在 全 反 力 RA 、 RB 和 主动力 P 三力作用下平衡 ，三力必汇交，其交点必 须位于阴影区中。 由三角形ACD得：