中国古代数学问题
中国古代最著名的数学题
中国古代最著名的数学题
中国古代最著名的数学题有：
1.韩信点兵问题：韩信点兵，原来有1500名士兵，打完战后不知道士兵总数。
只知道士兵若三人一组余两人；五人一组余三人；七人一组余四人。
请问，总共有多少士兵？
2.鸡兔同笼问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
3.物不知数问题：有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二。
问物几何？
4.今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺。
大鼠日自倍，小鼠日自半：有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞。
大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺。
大老鼠每天的打洞进度是前一天的一倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半。
问它们几天可以相逢，相逢时各打了多少。
中国数学古题
04
中国数学家的贡献
刘徽
极限思想
刘徽在《九章算术注》中，提出了“割圆术”，即通过不断将圆切割为更小的 部分来求解圆的面积。这种方法体现了极限的思想，对后来的数学发展产生了 重要影响。
圆周率
刘徽利用“割圆术”求出了圆周率的近似值，为后来的数学家提供了重要的参 考。
李冶
未知数表示
李冶在《测圆海镜》中，提出了用符 号表示未知数的方法，这一方法对后 来的代数发展有着重要的贡献。
中国的数学思想和成果
中国的数学思想如“数形结合”、“方程思想”等也对西方数学的发展产生了影响。此外，中国的《九 章算术》、《孙子算经》等古代数学著作对西方数学的发展也产生了影响。
中西数学融合的挑战与未来发展
挑战
中西数学融合面临着语言、文化、思维 方式等方面的差异，这些差异可能导致 交流和理解上的困难。此外，中西数学 的教育体系和研究方向也存在差异，这 也增加了融合的难度。
主要涉及比例、比例的应用和粟 米的量法。
讲述了如何利用比例解决实际问 题。
粟米章中还讲到了“阳马”和“ 羡除”两个重要概念。
衰分章
主要讲的是分配问题，即如何 将一定数量的物品平均地分配 给一组人或单位。
利用衰分章中的比例知识来解 决实际问题。
衰分章中还涉及了“衰”的概 念，即按照一定比例进行分配 。
总结词
经典概率问题
详细描述
百子图问题是古代中国另一个著名的数学问题，原题为“今有百子图，每行十子，共十行，每列亦十 子，共十列。问：共几种排列方法？”这个问题可以用现代概率论解决，通过计算排列数得出答案。
韩信点兵问题
要点一
总结词
经典数学问题
要点二
详细描述
韩信点兵问题是古代中国另一个著名的数学问题，原题为 “韩信点兵，不知人数，先点一排，每三人站一排，余二 人；然后取下一排，每四人站一排，余三人；然后取下一 排，每五人站一排，余四人。问：这个部队最少有多少人 ？”这个问题可以用现代数学方法解决，通过设立一个未 知数，根据题目中的条件建立方程，然后求解得出人数。
数学中的中国传统文化问题大全
数学中的中国传统文化一、算法问题1．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数为()A．2 B．3C．4 D．5答案 C解析(84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42)，一共做了4次减法．2．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a为()A．4 B．2C．0 D．14答案 B解析由题意输出的a是18,14的最大公约数2，故选B.3．用辗转相除法求459和357的最大公约数，需要做除法的次数是()A．1 B．2C．3 D．4答案 C解析∵459÷357＝1…102，357÷102＝3…51，102÷51＝2，∴459和357的最大公约数是51，需要做除法的次数是3.4．秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，对于求一个n次多项式函数f n(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的具体函数值，运用常规方法计算出结果最多需要n次加法和n(n＋1)2次乘法，而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要n次加法和n次乘法．对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以此算法极大地缩短了CPU运算时间，因此即使在今天该算法仍具有重要意义．运用秦九韶算法计算f(x)＝0.5x6＋4x5－x4＋3x3－5x当x＝3时的值时，最先计算的是()A．－5×3＝－15B．0.5×3＋4＝5.5C．3×33－5×3＝66D．0.5×36＋4×35＝1 336.6答案 B解析f(x)＝0.5x6＋4x5－x4＋3x3－5x＝(((((0.5x＋4)x－1)x＋3)x＋0)x－5)x，然后由内向外计算，最先计算的是0.5×3＋4＝5.5.5．若用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时的值，则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为()A．4,2 B．5,3C．5,2 D．6,2答案 C解析∵f(x)＝((((4x)x)x－1)x)x＋2，∴乘法要运算5次，加减法要运算2次．6．已知函数f(x)＝6x6＋5，当x＝x0时，用秦九韶算法求f(x0)的值，需要进行乘方、乘法、加法的次数分别为()A．21,6,2 B．7,1,2C．0,1,2 D．0,6,1答案 D解析∵f(x)＝6x6＋5，多项式的最高次项的次数是6，∴要进行乘法运算的次数是6.要进行加法运算的次数是1，运算过程中不需要乘方运算．7．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a依次为2,2,5，x，n均为2，则输出的s等于()A．7 B．12C．17 D．34答案 C解析第一次运算，a＝2，s＝2，n＝2，k＝1，不满足k>n；第二次运算，a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2，不满足k>n；第三次运算，a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3，满足k>n，输出s＝17，故选C.8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11的值时，应把f(x)变形为()A．x3－(3x＋2)x－11 B．(x－3)x2＋(2x－11)C．(x－1)(x－2)x－11 D．((x－3)x＋2)x－11答案 D解析f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝((x－3)x＋2)x－119．用秦九韶算法求函数f(x)＝3x5－2x4＋2x3－4x2－7当x＝2的值时，v3的结果是()A．4 B．10C．16 D．33答案 C解析函数f(x)＝3x5－2x4＋2x3－4x2－7＝((((3x－2)x＋2)x－4)x)x－7，当x＝2时，v0＝3，v1＝3×2－2＝4，v2＝4×2＋2＝10，v3＝10×2－4＝16.10．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋0.3x＋2的值，当x＝－2时，v1的值为()A．1 B．7C．－7 D．－5答案 C解析∵f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋0.3x＋2＝(((((x－5)x＋6)x＋0)x＋1)x＋0.3)x＋2，∴v0＝a6＝1, v1＝v0x＋a5＝1×(－2)－5＝－7.11．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝－6x4＋5x3＋2x＋6的值，当x＝3时，v3的值为() A．－486 B．－351C．－115 D．－339答案 C解析f(x)＝－6x4＋5x3＋2x＋6＝(((－6x＋5)x＋0)x＋2)x＋6，∴v0＝a4＝－6，v1＝v0x＋a3＝－6×3＋5＝－13，v2＝v1x＋a2＝－13×3＋0＝－39，v3＝v2x＋a1＝－39×3＋2＝－115.12．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为4,3，则输出v的值为()A．20 B．61C．183 D．548答案 C解析由程序框图知，初始值：n＝4，x＝3，v＝1，i＝3，第一次循环：v＝6，i＝2；第二次循环：v＝20，i＝1；第三次循环：v＝61，i＝0；第四次循环：v＝183，i＝1.结束循环，输出当前v的值183.13．原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生多少天？()A ．1 326B ．510C ．429D ．336答案 B解析 由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73＋3×72＋2×7＋6＝510.14．用秦九韶算法计算多项式f (x )＝5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x ＋1，乘法运算次数为____________．加法运算次数为________．答案 5 5解析 ∵f (x )＝((((5x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ＋1，∴乘法要运算5次，加法要运算5次15．若f (x )＝x 4＋3x 3＋x ＋1，用秦九韶算法计算f (π)时，需要乘法m 次，加法n 次，则m ＋n ＝________.答案 6解析 f (x )＝x 4＋3x 3＋x ＋1＝(((x ＋3)x )x ＋1)x ＋1，用秦九韶算法计算f (π)时，乘法运算与加法运算的次数和等于6.16．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c (a ，b ，c ，d ∈N *)，则b ＋d a ＋c是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.141 59…，若令3110<π<4915，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110<π<165，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为________．答案 22717．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 222…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x .这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝________. 答案 1＋52解析 由题意，可令1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52(x ＝1－52舍)，故1＋11＋11＋…＝1＋52. 18．用辗转相除法求840与1 764的最大公约数．答案 1 764＝840×2＋84,840＝84×10＋0，∴840与1 764的最大公约数是84.19．用更相减损术求440 与556的最大公约数．答案 556－440＝116,440－116＝324,324－116＝208，208－116＝92,116－92＝24,92－24＝68，68－24＝44,44－24＝20,24－20＝4,20－4＝16，16－4＝12,12－4＝8,8－4＝4，∴440与556的最大公约数4.20．用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 当x ＝3时的值．答案 f (x )＝((((((7x ＋6)x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)xv 0＝7，v 1＝7×3＋6＝27，v 2＝27×3＋5＝86，v 3＝86×3＋4＝262，v 4＝262×3＋3＝789，v 5＝789×3＋2＝2 369，v 6＝2 369×3＋1＝7 108，v7＝7 108×3＋0＝21 324，∴f(3)＝21 324，即当x＝3时，函数值是21 324.21．(1)用辗转相除法求840与1 785的最大公约数；(2)用秦九韶算法计算函数f(x)＝2x4＋3x3＋5x－4在x＝2时的函数值．答案(1)1 785＝840×2＋105,840＝105×8＋0，∴840与1 785的最大公约数是105.(2)秦九韶算法如下：f(x)＝2x4＋3x3＋5x－4＝x(2x3＋3x2＋5)－4＝x[x(2x2＋3x)＋5]－4＝x{x[x(2x ＋3)]＋5}－4，故当x＝2时，f(x)＝2×{2×[2×(2×2＋3)]＋5}－4＝62.22．(1)用辗转相除法求779与247的最大公约数；(2)利用秦九韶算法求多项式f(x)＝2x5＋4x4－2x3＋8x2＋7x＋4当x＝3时的值．答案(1)779＝247×3＋38，247＝38×6＋19，38＝19×2.故779与247的最大公约数是19；(2)把多项式改成如下形式：f(x)＝2x5＋4x4－2x3＋8x2＋7x＋4＝((((2x＋4)x－2)x＋8)x＋7)x＋4.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝3时的值：v0＝2，v1＝v0x＋4＝2×3＋4＝10，v2＝v1x－2＝10×3－2＝28，v3＝v2x＋8＝28×3＋8＝92，v4＝v3x＋7＝92×3＋7＝283，v5＝v4x＋4＝283×3＋4＝853.所以当x＝3时，多项式f(x)的值是853.23．(1)用辗转相除法求228与1 995的最大公约数；(2)用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x5＋2x3－8x＋5在x＝2时的值．答案(1)1 995＝228×8＋171，228＝171×1＋57，171＝57×3，因此57是1 995与228的最大公约数．(2)f(x)＝3x5＋2x3－8x＋5＝((((3x＋0)x＋2)x＋0)x－8)x＋5当x＝2时，v0＝3，v1＝3×2＝6，v2＝6×2＋2＝14，v3＝14×2＝28，v4＝28×2－8＝48，v5＝48×2＋5＝101，所以当x＝2时，多项式的值是101.24．(1)用“更相减损术”求72和168的最大公约数；(2)用“辗转相除法”求98和280的最大公约数．答案(1)∵168－72＝96，96－72＝24，72－24＝48，48－24＝24，故72和168的最大公约数是24.(2)∵280＝2×98＋84，98＝1×84＋14，84＝6×14，故98和280的最大公约数是14.25．用秦九韶算法求函数f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1当x＝3时的函数值．答案f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1＝((((x＋0)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，当x＝3时，v0＝1，v1＝v0×3＋0＝3；v2＝v1×3＋1＝10;v3＝v2×3＋1＝31;v4＝v3×3＋1＝94;v5＝v4×3＋1＝283，即x＝3时的函数值为283.二、数列问题1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为()A.54钱 B.43钱C.32钱 D.53钱答案 B解析依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，则由题意可知，a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d，又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，∴a＝1，则a－2d＝a－2×(－a6)＝43a＝43.2．南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．问：每等人比下等人多得几斤？”()A.439 B.778C.776 D.581答案 B解析设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{a n}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得⎩⎨⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 8＋a 9＋a 10＝4，即⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋24d ＝4，解得d ＝778，∴每一等人比下一等人多得778斤金． 3．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织390尺．问：每天多织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，估算出每天多织的布约有( ) A ．0.55尺 B ．0.53尺 C ．0.52尺 D ．0.5尺答案 A解析 设每天多织d 尺，由题意a 1＝5，{a n }是等差数列，公差为d ， ∴S 30＝30×5＋30×292d ＝390， 解得d ≈0.55.4．《张丘建算经》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日，第五日，第八日所织之和为十五尺，问第九日所织尺数为( ) A ．7 B ．9 C ．11 D ．13答案 D解析 设第一天织a 1尺，从第二天起每天比第一天多织d 尺， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋7×62d ＝21，a 1＋d ＋a 1＋4d ＋a 1＋7d ＝15，解得a 1＝－3，d ＝2，∴第九日所织尺数为a 9＝a 1＋8d ＝－3＋8×2＝13.5．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？” 意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为( ) A.23 B.815 C.2031D.35答案 C解析 由题意可得：每天织布的量组成了等比数列{a n }，S 5＝5，公比q ＝2 ，a 1(1－25)1－2＝5，计算可得a 1＝531，所以a 3＝531×22＝2031. 6．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的( ) A ．33% B ．49% C ．62% D ．88%答案 B解析 由题意可得：每日的织布量形成等差数列{a n }， 且a 1＝5，a 30＝1，设公差为d ，则1＝5＋29d ，解得d ＝－429. ∴S 10＝5×10＋10×92×(－429)＝1 27029. S 30＝30×(5＋1)2＝90. ∴该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的1 27029×190≈0.49＝49%. 7．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布( ) A ．30尺 B ．90尺 C ．150尺 D ．180尺答案 B解析 由题意可得，每日的织布量形成等差数列{a n }， 且a 1＝5，a 30＝1， 所以S 30＝30×(5＋1)2＝90. 8．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( ) A ．9日 B ．8日 C ．16日 D ．12日答案 A解析 由题意知，良马每日行的距离成等差数列， 记为{a n }，其中a 1＝103，d ＝13； 驽马每日行的距离成等差数列， 记为{b n }，其中b 1＝97，d ＝－0.5；设第m 天相逢，则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m ＝103m ＋m (m －1)×132＋97m ＋m (m －1)×(－0.5)2＝2×1 125，解得m ＝9(负值舍去)．9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( ) A.176升 B.72升 C.11366升 D.10933升 答案 A解析 自上而下依次设各节容积为a 1，a 2，…a 9，由题意得⎩⎨⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎨⎧2(a 2＋a 3)＝33a 8＝4，得⎩⎨⎧a 2＋a 3＝32，a 8＝43，所以a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176(升)．10．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A ．24里 B ．48里 C ．96里 D ．192里答案 C解析由题意可知此人每天走的步数构成以12为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得a1[1－(12)6]1－12＝378，解得a1＝192，∴第二天此人走了192×12＝96里．11．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为()A．24里B．12里C．6里D．3里答案 C解析记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q＝12的等比数列，由S6＝378，得S6＝a1(1－126)1－12＝378，解得a1＝192，∴a6＝192×125＝6.12．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一段截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为()A．6斤B．9斤C．10斤D．12斤答案 B解析此问题构成一个等差数列{a n}，设首项为2，则a5＝4，∴中间3尺的重量为3a3＝a1＋a52×3＝2＋42×3＝9(斤)，故选B.13．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A．6斤B．9斤C．9.5斤D．12 斤答案 A解析依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，由等差数列性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．14．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”() A．3 B．4C．5 D．6答案 A解析由题意设塔顶有a盏灯，由题意由上往下数第n层就有2n－1·a盏灯，∴共有(1＋2＋4＋8＋16＋32＋64)a＝381盏灯，即1×(1－27)1－2a＝381.解得a＝3.15．我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢．()A．3 B．4C．5 D．6答案 B解析由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n天打洞之和为1－2n1－2＝2n－1，同理，小老鼠前n天打洞之和为1－(12)n1－12＝2－12n－1，∴2n－1＋2－12n－1＝10，解得n∈(3,4)，取n＝4.即两鼠在第4天相逢．16．如图是谢宾斯基(Sierpinsiki)三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，则{a n }的通项公式可以是( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝2n －1C ．a n ＝3nD ．a n ＝2n －1答案 A解析 着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝3×3＝32，a 4＝32×3，因此{a n }的通项公式可以是a n ＝3n －1.17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案6766解析 设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧a 1＋7d ＝43，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766.18．华罗庚数学小组的同学们在图书馆发现一块古代楔形文字泥板的图片，同学们猜测它是一种乘法表的记录，请你根据这个猜测，判定表示________？(如图) 答案395解析图片中记录的是自然数乘以9的运算结果，左列是被乘数，右列是该数乘以9的积数，经过分析可知：其中▽代表1，⊲代表10，代表60.所以表示60×6＋10×3＋5×1＝395.19．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图A 所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)，如图A.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图B.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋1n ＋1，其中n 是行数，r ∈N .请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________．1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1…C 0n C 1n … C r n … C n-1n C nn图A12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15 16 130 160 160 130 16 1C 1n +1C 0n 1C 1n +1C 1n…1C 1n +1C r n…1C 1n +1C n -1n 1C 1n +1C n n图B答案1C 1n +1C r n ＝1C 1n +2C r n +1＋1C 1n +2C r +1n +1 解析 类比观察得，莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C 1n +1，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子C r n ＋C r +1n ＝C r +1n +1，有1C 1n +1C r n ＝1C 1n +2C r n +1＋1C 1n +2C r +1n +1. 20．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面用点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数，将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k -1＝________.(用k 表示) 答案 (1)5 030 (2)5k (5k －1)2解析 由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15， 由上述规律可知：b 2k ＝a 5k ＝5k (5k ＋1)2(k ∈N *)，b 2k -1＝a 5k -1＝(5k －1)(5k －1＋1)2＝5k (5k －1)2，故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030， 即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项．21．请认真阅读下列材料：“杨辉三角”(1261年)是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角”(1653年)早了300多年(如图1)．在“杨辉三角”的基础上德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形(单位分数是分子为1，分母为正整数的分数)，称为莱布尼兹三角形(如图2)11 112 1133 11464 11510105 1……图1111 21 21 316131 4112112141 512013012015……图2请回答下列问题：(1)记S n为图1中第n行各个数字之和，求S4，S7，并归纳出S n；(2)根据图2前5行的规律依次写出第6行的数．答案(1)S4＝8＝23；S7＝64＝26；Sn＝2n－1.(2)图中每个数字都是其两脚的数字和，故第6行为1613016016013016.三、空间几何体1．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是()寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．∵积水深9寸，∴水面半径为12(14＋6)＝10寸，则盆中水的体积为13π×9(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸)．∴平地降雨量等于588ππ×142＝3(寸)．故选C.2．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为：V＝112×(底面的圆周长的平方×高)．则由此可推得圆周率π的取值为(注：1丈＝10尺)()A．3 B．3.14C．3.2 D．3.3答案 A解析由题意，圆柱体底面的圆周长48尺，高11尺，∵圆堡瑽(圆柱体)的体积V＝112×(底面的圆周长的平方×高)，∴V ＝112×(482×11)＝2 112， 设底面圆的半径为R ，∴⎩⎨⎧2πR ＝48，πR 2×11＝2 112，∴π＝3.3．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底圆周长约为( ) A ．1丈3尺 B ．5丈4尺 C ．9丈2尺 D ．48丈6尺答案 B解析 设圆柱形谷仓底面半径为r 尺， 由题意得，谷仓高h ＝403尺． 于是谷仓的体积V ＝πr 2·h ≈2 000×1.62， 解得r ≈9.∴圆柱底圆周长约为2πr ≈54尺＝5丈4尺．4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A.227B.258C.15750D.355113答案 B解析 由题意知275L 2h ≈13πr 2h ⇒275L 2≈13πr 2，而L ＝2πr ，代入得π≈258.5．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为羡除，现有一个羡除如图所示，面ABCD 、面ABFE 、面CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝6，CD ＝8，EF ＝10，EF 到面ABCD 的距离为3，CD 与AB 间的距离为10，则这个羡除的体积是( )A．110 B．116C．118 D．120答案 D解析过A作AP⊥CD，AM⊥EF，过B作BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分别为P，M，Q，N，将一侧的几何体放到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为12×10×3＝15.棱柱的高为8，∴V＝15×8＝120.故选D.6．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4π.后人导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即18V牟＝r3－V方盖差，r为球的半径，也即正方形的棱长均为2r，从而计算出V球＝43πr3.记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正，棱长为2r的正方形的方盖差为V方盖差，则V方盖差V正等于()A.12 B.22C. 2D. 3 答案 C解析由题意，V方盖差＝r3－18V牟＝r3－18×4π×43×π×r3＝13r3，所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正＝13×r×r×r2－(22r)2＝26r3，∴V方盖差V正＝13r326r3＝ 2.7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是()A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d答案 A解析由直观图可知，其正视图与侧视图完全相同，则其只能是圆，这时其俯视图就是正方形加对角线(实线)．故选A.8．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4∶π，即V牟：V球＝4∶π.也导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即18V牟＝r3－V方盖差，从而计算出V球＝43πr3.记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正，则()A．V方盖差＞V正B．V方盖差＝V正C．V方盖差＜V正D．以上三种情况都有可能答案 A解析由题意，V方盖差＝r3－18V牟＝r3－18×4π×43πr3＝13r3，所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正＝13×r×r×r2－(22r)2＝26r3，∴V方盖差＞V正．9．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺(注：1丈等于10尺)()A．29尺B．24尺C．26尺D．30尺答案 C解析由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长24尺，另一条直角边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长242＋102＝26(尺)．10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有()A．14斛B．28斛C．36斛D．66斛答案 B解析设圆锥的底面半径为r，则π2r＝9，解得r＝18π，故米堆的体积为14×13×π×(18π)2×5≈45，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴堆放的米有45÷1.62≈28斛．11．《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为()(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈5 13)A．600立方寸B．610立方寸C．620立方寸D．633立方寸答案 D解析如图，AB＝10(寸)，则AD＝5(寸)，CD＝1(寸)，设圆O的半径为x(寸)，则OD＝(x－1)(寸)，在Rt△ADO中，由勾股定理可得52＋(x－1)2＝x2，解得x＝13(寸)．∴sin∠AOD＝ADAO＝513，即∠AOD≈22.5°，则∠AOB＝45°.则弓形¼ACB的面积S＝12×π4×132－12×10×12≈6.33(平方寸)．则该木材镶嵌在墙中的体积约为V＝6.33×100＝633(立方寸)．故选D.12．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽略不计)答案41π解析由题意，该球形容器的半径的最小值为1236＋4＋1＝412，∴该球形容器的表面积的最小值为4π·414＝41π.13．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计)．(1)如果该沙漏每秒钟漏下0.02 cm 3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到1秒)?(2)细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度(精确到0.1cm)．答案 (1)开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为 H ＝23×8＝163，底面半径为r ＝23×4＝83，V ＝13πr 2H ＝13π×(83)2×163＝39.71，V ÷0.02＝1 986(秒)．所以沙全部漏入下部约需1 986秒．(2)细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为4， 设高为H ′，V ＝13π×42×H ′＝1 02481π，H ′＝6427≈2.4. 锥形沙堆的高度约为2.4 cm.14．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE .(1)证明：PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由．(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．答案 (1)证明 如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，如图所示．。
古代趣味数学
篇一：中国古代的趣味数学中国古代的趣味数学——简析几个典型的古代数学问题夏超（马克思主义教育学院思想政治教育专业学号：1012279）关键词：鸡兔同笼百鸡问题孙子定理数学在中国拥有悠久的历史，在古人的智慧中，我们可以发现数学之美，探寻数学之趣，数学的好玩之处，并不限于数学游戏。
数学中有些极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思，使人惊讶。
中国古代的数学广泛应用于各个领域，对中国古代的农业、天文学等的发展作出了重大贡献。
其中的一些脍炙人口的趣味小问题也让我们在探究中发现数学之美。
1. 鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题是我国古代一道经典的数学趣题。
它记载于大约1500年前的《孙子算经》中，书中是这样描述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这句话的意思是：若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有三十五个头：从下面数，有九十四只脚。
求笼中各有几只鸡和兔？用解法一（假设法）：已知鸡兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，即，将兔子看做两只脚的鸡，鸡兔总的脚数是35×2=70（只），比题中说的94只要少24只。
可知这24只脚是兔子，因此有兔子24÷2=12（只）。
所以有鸡35-12=23（只）。
解：假设全是鸡： 35×2=70（只）比总脚数少：94-70=24（只）它们脚数的差：4-2=2（只）因此有兔子：24÷2=12（只）鸡：35-12=23（只）解法二（方程法）：解：设兔有x只，则鸡有35-x只。
4x+2（35-x）=94 2x=24x=1235-12=23（只）故：有鸡23只，兔12只。
除此之外还有解法3：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数总只数－鸡的只数=兔的只数解法4（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数） =兔的只数总只数－兔的只数=鸡的只数解法5：总脚数÷2—总头数=兔的只数总只数—兔的只数=鸡的只数解法4：鸡的只数=（4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2 兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数6解法7兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2 鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数一个简单的鸡兔同笼问题却能有如此多的解法，是不是很奇妙呢? 通过对一个简单的数学问题的剖析，你是否从中发现了探索的乐趣呢？在探索的过程中你是否体味到数学解题思想的变幻之美呢？2.百鸡问题百鸡问题记载于中国古代约5-6世纪成书的《张丘建算经》中，该问题导致的三元不定方程组开创了“一问多答的先例”这是过去中国古算书书中所没有的，体现了中国数学的发展。
中国古代数学趣题
中国古代数学1. 及时梨果元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱。
问：梨果多少价几何？此题的题意是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个。
问买梨、果各几个，各付多少钱？ 解：梨每个价：11÷9＝911（文） 果每个价：4÷7＝74（文） 果的个数：（911×1000－999）÷（911－74）＝343（个） 梨的个数：1000－343＝657（个）梨的总价：911×657＝803（文） 果的总价：74×343＝196（文）2．两鼠穿墙我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺。
大鼠日自倍，小鼠日自半。
问何日相逢，各穿几何?今意是:有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙。
大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。
问几天后两鼠相遇，各穿几尺?解：第一天，1+1=2尺 还有3尺第二天，2+0.5=2.5尺 还有0.5尺第三天，解：设还需X 天。
(4+0.25)X=0.5 X=172 172天=2小时49分 在第三日凌晨2时49分相逢，相逢时大老鼠穿 3.47尺，小老鼠穿 1.53尺。
3．隔壁分银只闻隔壁客分银，不知人数不知银，四两一份多四两，半斤一份少半斤。
试问各位能算者，多少客人多少银？（注：旧制1斤＝16两，半斤＝8两）此题是民间算题，用方程解比较方便。
解：设客人为x人。
4x＋4＝8x－8x＝34×3＋4＝16（两）答：客人3人，银16两。
4．李白打酒李白街上走，提壶去打酒；遇店加一倍，见花喝一斗；三遇店和花，喝光壶中酒。
中国古代数学趣题
中国古代数学1.及时梨果元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱。
问：梨果多少价几何？此题的题意是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个。
问买梨、果各几个，各付多少钱？解：梨每个价：11÷9＝911（文）果每个价：4÷7＝74（文）果的个数：（911×1000－999）÷（911－74）＝343（个）梨的个数：1000－343＝657（个）梨的总价：911×657＝803（文）果的总价：74×343＝196（文）2．两鼠穿墙我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺。
大鼠日自倍，小鼠日自半。
问何日相逢，各穿几何?今意是:有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙。
大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。
问几天后两鼠相遇，各穿几尺?解：第一天，1+1=2尺还有3尺第二天，2+0.5=2.5尺还有0.5尺第三天，解：设还需X 天。
(4+0.25)X=0.5 X=172172天=2小时49分在第三日凌晨2时49分相逢，相逢时大老鼠穿 3.47尺，小老鼠穿1.53尺。
3．隔壁分银只闻隔壁客分银，不知人数不知银，四两一份多四两，半斤一份少半斤。
试问各位能算者，多少客人多少银？（注：旧制1斤＝16两，半斤＝8两）此题是民间算题，用方程解比较方便。
解：设客人为x 人。
4x ＋4＝8x －8x＝34×3＋4＝16（两）答：客人3人，银16两。
4．李白打酒李白街上走，提壶去打酒；遇店加一倍，见花喝一斗；三遇店和花，喝光壶中酒。
试问酒壶中，原有多少酒？这是一道民间算题。
题意是：李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到酒店将壶中酒加一倍，每次遇到花就喝去一斗（斗是古代容量单位，1斗＝10升），这样遇店见花各3次，把酒喝完。
中国古代经典数学题
中国古代经典数学题
中国古代经典数学题有很多，以下是其中的一些例子：
1. 《孙子算经》中的“百钱买百鸡”问题：一个农夫用100文钱去买100只鸡，其中公鸡5文钱一只，母鸡3文钱一只，小鸡1文钱三只，问该农夫如何购买才能恰好买到100只鸡并且花光所有的钱？
2. 《周髀算经》中的“鸡兔同笼”问题：有若干只鸡和兔子在一个笼子里，数目不知道，但是头数是已知的，若数总共有35个头，脚的总数有94只，求兔子和鸡各有多少只？
3. 《算经十书》中的“海岛问题”：有36个人，他们要穿过一座桥，桥上只能同时容纳两个人，且必须有灯才能够通过。
这36个人中有12个人可以在1分钟内穿过桥，24个人需要2分钟，在桥的这一端还有一盏30秒钟的灯，问这36个人最短需要多长时间才能全部通过桥？
这些问题都具有一定的难度，但又非常有趣，是中国古代数学智慧的体现。
中国古代数学名题
數學名題欣賞中国古代数学名题1、雞兔同籠：今有雞兔同籠，上有35個頭，下有94只腳。
雞兔各幾隻？想：假設把35只全看作雞，每只雞2只腳，共有70只腳。
比已知的總腳數94只少了24只，少的原因是把每只兔的腳少算了2只。
看看24只裏面少算了多少個2只，便可求出兔的只數，進而求出雞的只數。
解決這樣的問題，我國古代有人想出更特殊的假設方法。
假設一聲令下，籠子裏的雞都表演“金雞獨立”，兔子都表演“雙腿拱月”。
那麼雞和兔著地的腳數就是總腳數的一半，而頭數仍是35。
這時雞著地的腳數與頭數相等，每只兔著地的腳數比頭數多1，那麼雞兔著地的腳數與總頭數的差等於兔的頭數。
我國古代名著《孫子算經》對這種解法就有記載：“上署頭，下置足。
半其足，以頭除足，以足除頭，即得。
”具體解法：兔的只數是94÷2-35=12（只），雞的只數是35-12= 23（只）。
2.韓信點兵：今有物，不知其數。
三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。
問物幾何？這是我國古代名著《孫子算經》中的一道題。
意思是：一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2。
求適合這些條件的最小自然數。
想：此題可用枚舉法進行推算。
先順序排出適合其中兩個條件的數，再在其中選擇適合另一個條件的數。
3.三階幻方：把1—9這九個自然數填在九空格裏，使橫、豎和對角線上三個數的和都等於15。
想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。
這每對數的和再加上5都等於15，可確定中心格應填5，這四組數應分別填在橫、豎和對角線的位置上。
先填四個角，若填兩對奇數，那麼因三個奇數的和才可能得奇數，四邊上的格裏已不可再填奇數，不行。
若四個角分別填一對偶數，一對奇數，也行不通。
因此，判定四個角上必須填兩對偶數。
對角線上的數填好後，其餘格裏再填奇數就很容易了。
4.兔子問題：十三世紀，義大利數學家倫納德提出下面一道有趣的問題：如果每對大兔每月生一對小兔，而每對小兔生長一個月就成為大兔，並且所有的兔子全部存活，那麼有人養了初生的一對小兔，一年後共有多少對兔子？想：第一個月初，有1對兔子；第二個月初，仍有一對兔子；第三個月初，有2對兔子；第四個月初，有3對兔子；第五個月初，有5對兔子；第六個月初，有8對兔子……。
数学中的中国传统文化问题大全
数学中的中国传统文化一、算法问题1．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数为( )A．2 B．3C．4 D．5答案C解析(84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42)，一共做了4次减法．2．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名着《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a为( )A．4 B．2C．0 D．14答案B解析由题意输出的a是18,14的最大公约数2，故选B.3．用辗转相除法求459和357的最大公约数，需要做除法的次数是( )A．1 B．2C．3 D．4答案C解析∵459÷357＝1…102，357÷102＝3…51，102÷51＝2，∴459和357的最大公约数是51，需要做除法的次数是3.4．秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，对于求一个n次多项式函数f n(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的具体函数值，运用常规方法计算出结果最多需要n次加法和n?n＋1?2次乘法，而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要n次加法和n次乘法．对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以此算法极大地缩短了CPU运算时间，因此即使在今天该算法仍具有重要意义．运用秦九韶算法计算f(x)＝＋4x5－x4＋3x3－5x当x＝3时的值时，最先计算的是( )A．－5×3＝－15B．×3＋4＝C．3×33－5×3＝66D．×36＋4×35＝1答案B解析f(x)＝＋4x5－x4＋3x3－5x＝((((＋4)x－1)x＋3)x＋0)x－5)x，然后由内向外计算，最先计算的是×3＋4＝.5．若用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时的值，则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为( )A．4,2 B．5,3C．5,2 D．6,2答案C解析∵f(x)＝((((4x)x)x－1)x)x＋2，∴乘法要运算5次，加减法要运算2次．6．已知函数f(x)＝6x6＋5，当x＝x0时，用秦九韶算法求f(x0)的值，需要进行乘方、乘法、加法的次数分别为( )A．21,6,2 B．7,1,2C．0,1,2 D．0,6,1答案D解析∵f(x)＝6x6＋5，多项式的最高次项的次数是6，∴要进行乘法运算的次数是6.要进行加法运算的次数是1，运算过程中不需要乘方运算．7．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a依次为2,2,5，x，n均为2，则输出的s等于( )A．7 B．12C．17 D．34答案C解析第一次运算，a＝2，s＝2，n＝2，k＝1，不满足k>n；第二次运算，a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2，不满足k>n；第三次运算，a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3，满足k>n，输出s＝17，故选C.8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11的值时，应把f(x)变形为( )A．x3－(3x＋2)x－11 B．(x－3)x2＋(2x－11)C．(x－1)(x－2)x－11 D．((x－3)x＋2)x－11答案D解析f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝((x－3)x＋2)x－119．用秦九韶算法求函数f(x)＝3x5－2x4＋2x3－4x2－7当x＝2的值时，v3的结果是( )A．4 B．10C．16 D．33答案C解析函数f(x)＝3x5－2x4＋2x3－4x2－7＝((((3x－2)x＋2)x－4)x)x－7，当x＝2时，v0＝3，v1＝3×2－2＝4，v2＝4×2＋2＝10，v3＝10×2－4＝16.10．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋＋2的值，当x＝－2时，v1的值为( )A．1 B．7C．－7 D．－5答案 C解析∵f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋＋2＝(((((x－5)x＋6)x＋0)x＋1)x＋x＋2，∴v0＝a6＝1, v1＝v0x＋a5＝1×(－2)－5＝－7.11．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝－6x4＋5x3＋2x＋6的值，当x＝3时，v3的值为( )A．－486 B．－351C．－115 D．－339答案C解析f(x)＝－6x4＋5x3＋2x＋6＝(((－6x＋5)x＋0)x＋2)x＋6，∴v0＝a4＝－6，v1＝v0x＋a3＝－6×3＋5＝－13，v2＝v1x＋a2＝－13×3＋0＝－39，v3＝v2x＋a1＝－39×3＋2＝－115.12．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所着的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为4,3，则输出v的值为( )A．20 B．61C．183 D．548答案C解析由程序框图知，初始值：n＝4，x＝3，v＝1，i＝3，第一次循环：v＝6，i＝2；第二次循环：v＝20，i＝1；第三次循环：v＝61，i＝0；第四次循环：v＝183，i＝1.结束循环，输出当前v的值183.13．原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生多少天？( )A．1 326 B．510 C．429 D．336答案B解析由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73＋3×72＋2×7＋6＝510.14．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋1，乘法运算次数为____________．加法运算次数为________．答案 5 5解析∵f(x)＝((((5x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋1，∴乘法要运算5次，加法要运算5次15．若f(x)＝x4＋3x3＋x＋1，用秦九韶算法计算f(π)时，需要乘法m次，加法n次，则m＋n＝________.答案6解析f(x)＝x4＋3x3＋x＋1＝(((x＋3)x)x＋1)x＋1，用秦九韶算法计算f(π)时，乘法运算与加法运算的次数和等于6.16．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为ba和dc(a，b，c，d∈N*)，则b＋da＋c是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝59…，若令3110<π<4915，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110<π<165，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为________．答案22 717．我国古代数学名着《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在222…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x.这可以通过方程2＋x＝x确定x＝2，则1＋11＋11＋…＝________.答案1＋52解析由题意，可令1＋11＋11＋…＝x，即1＋1x＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝1＋52(x＝1－52舍)，故1＋11＋11＋…＝1＋52.18．用辗转相除法求840与1 764的最大公约数．答案 1 764＝840×2＋84,840＝84×10＋0，∴840与1 764的最大公约数是84.19．用更相减损术求440 与556的最大公约数．答案556－440＝116,440－116＝324,324－116＝208，208－116＝92,116－92＝24,92－24＝68，68－24＝44,44－24＝20,24－20＝4,20－4＝16，16－4＝12,12－4＝8,8－4＝4，∴440与556的最大公约数4.20．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．答案f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)xv0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262，v4＝262×3＋3＝789，v5＝789×3＋2＝2 369，v6＝2 369×3＋1＝7 108，v7＝7 108×3＋0＝21 324，∴f(3)＝21 324，即当x＝3时，函数值是21 324.21．(1)用辗转相除法求840与1 785的最大公约数；(2)用秦九韶算法计算函数f(x)＝2x4＋3x3＋5x－4在x＝2时的函数值．答案(1)1 785＝840×2＋105,840＝105×8＋0，∴840与1 785的最大公约数是105.(2)秦九韶算法如下：f(x)＝2x4＋3x3＋5x－4＝x(2x3＋3x2＋5)－4＝x[x(2x2＋3x)＋5]－4＝x{x[x(2x＋3)]＋5}－4，故当x＝2时，f(x)＝2×{2×[2×(2×2＋3)]＋5}－4＝62.22．(1)用辗转相除法求779与247的最大公约数；(2)利用秦九韶算法求多项式f(x)＝2x5＋4x4－2x3＋8x2＋7x＋4当x＝3时的值．答案(1)779＝247×3＋38，247＝38×6＋19，38＝19×2.故779与247的最大公约数是19；(2)把多项式改成如下形式：f(x)＝2x5＋4x4－2x3＋8x2＋7x＋4＝((((2x＋4)x－2)x＋8)x＋7)x＋4.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝3时的值：v0＝2，v1＝v0x＋4＝2×3＋4＝10，v2＝v1x－2＝10×3－2＝28，v3＝v2x＋8＝28×3＋8＝92，v4＝v3x＋7＝92×3＋7＝283，v5＝v4x＋4＝283×3＋4＝853.所以当x＝3时，多项式f(x)的值是853.23．(1)用辗转相除法求228与1 995的最大公约数；(2)用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x5＋2x3－8x＋5在x＝2时的值．答案(1)1 995＝228×8＋171，228＝171×1＋57，171＝57×3，因此57是1 995与228的最大公约数．(2)f(x)＝3x5＋2x3－8x＋5＝((((3x＋0)x＋2)x＋0)x－8)x＋5当x＝2时，v0＝3，v1＝3×2＝6，v2＝6×2＋2＝14，v3＝14×2＝28，v4＝28×2－8＝48，v5＝48×2＋5＝101，所以当x＝2时，多项式的值是101.24．(1)用“更相减损术”求72和168的最大公约数；(2)用“辗转相除法”求98和280的最大公约数．答案(1)∵168－72＝96，96－72＝24，72－24＝48，48－24＝24，故72和168的最大公约数是24.(2)∵280＝2×98＋84，98＝1×84＋14，84＝6×14，故98和280的最大公约数是14.25．用秦九韶算法求函数f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1当x＝3时的函数值．答案f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1＝((((x＋0)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，当x＝3时，v0＝1，v1＝v0×3＋0＝3；v2＝v1×3＋1＝10;v3＝v2×3＋1＝31;v4＝v3×3＋1＝94;v5＝v4×3＋1＝283，即x＝3时的函数值为283.二、数列问题1．《九章算术》是我国古代的数学名着，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( )钱钱钱钱答案B解析依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，则由题意可知，a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d，又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，∴a＝1，则a －2d ＝a －2×(－a 6)＝43a ＝43.2．南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．问：每等人比下等人多得几斤？”( )答案 B解析 设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤， 则数列{a n }构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 8＋a 9＋a 10＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋24d ＝4，解得d ＝778， ∴每一等人比下一等人多得778斤金． 3．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学着作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织390尺．问：每天多织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，估算出每天多织的布约有( ) A ．尺 B ．尺 C ．尺 D ．尺答案 A解析 设每天多织d 尺，由题意a 1＝5，{a n }是等差数列，公差为d ， ∴S 30＝30×5＋30×292d ＝390， 解得d ≈.4．《张丘建算经》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日，第五日，第八日所织之和为十五尺，问第九日所织尺数为( ) A ．7 B ．9 C ．11 D ．13答案 D解析 设第一天织a 1尺，从第二天起每天比第一天多织d 尺， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋7×62d ＝21，a 1＋d ＋a 1＋4d ＋a 1＋7d ＝15，解得a 1＝－3，d ＝2，∴第九日所织尺数为a 9＝a 1＋8d ＝－3＋8×2＝13.5．古代数学着作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？” 意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为( )答案C解析由题意可得：每天织布的量组成了等比数列{a n}，S5＝5，公比q＝2 ，a1?1－25?1－2＝5，计算可得a1＝531，所以a3＝531×22＝2031.6．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的( )A．33% B．49%C．62% D．88%答案B解析由题意可得：每日的织布量形成等差数列{a n}，且a1＝5，a30＝1，设公差为d，则1＝5＋29d，解得d＝－4 29 .∴S10＝5×10＋10×92×(－429)＝1 27029.S30＝30×?5＋1?2＝90.∴该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的1 27029×190≈＝49%.7．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布( )A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺答案B解析由题意可得，每日的织布量形成等差数列{a n}，且a1＝5，a30＝1，所以S30＝30×?5＋1?2＝90.8．在我国古代着名的数学专着《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( )A．9日B．8日C．16日D．12日答案A解析 由题意知，良马每日行的距离成等差数列， 记为{a n }，其中a 1＝103，d ＝13； 驽马每日行的距离成等差数列， 记为{b n }，其中b 1＝97，d ＝－；设第m 天相逢，则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m ＝103m ＋m ?m －1?×132＋97m ＋m ?m －1?×?－?2＝2×1 125，解得m ＝9(负值舍去)．9．《九章算术》是我国古代第一部数学专着，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( ) 升 升 升 升答案 A解析 自上而下依次设各节容积为a 1，a 2，…a 9，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧2?a 2＋a 3?＝33a 8＝4，得⎩⎨⎧a 2＋a 3＝32，a 8＝43，所以a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176(升)．10．中国古代数学着作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A ．24里 B ．48里 C ．96里 D ．192里答案 C解析 由题意可知此人每天走的步数构成以12为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得a 1[1－?12?6]1－12＝378，解得a 1＝192，∴第二天此人走了192×12＝96里．11．中国古代数学着作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( ) A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里答案 C解析 记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比q ＝12的等比数列，由S 6＝378，得S 6＝a 1?1－126?1－12＝378，解得a 1＝192，∴a 6＝192×125＝6.12．我国古代数学着作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一段截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为( ) A ．6斤 B ．9斤 C ．10斤 D ．12斤答案 B解析 此问题构成一个等差数列{a n }，设首项为2，则a 5＝4，∴中间3尺的重量为3a 3＝a 1＋a 52×3＝2＋42×3＝9(斤)， 故选B.13．我国古代数学着作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( ) A ．6斤 B ．9斤 C ．斤 D ．12 斤答案 A解析 依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列， 设首项a 1＝4，则a 5＝2，由等差数列性质得a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝6， 所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．14．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 A解析 由题意设塔顶有a 盏灯，由题意由上往下数第n 层就有2n －1·a 盏灯，∴共有(1＋2＋4＋8＋16＋32＋64)a ＝381盏灯， 即1×?1－27?1－2a ＝381.解得a ＝3.15．我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢．( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 B解析 由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列， 前n 天打洞之和为1－2n1－2＝2n－1，同理，小老鼠前n 天打洞之和为1－?12?n1－12＝2－12n －1，∴2n－1＋2－12n －1＝10，解得n ∈(3,4)，取n ＝4. 即两鼠在第4天相逢．16．如图是谢宾斯基(Sierpinsiki)三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，则{a n }的通项公式可以是( ) A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝2n －1C ．a n ＝3nD ．a n ＝2n －1答案 A解析 着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝3×3＝32，a 4＝32×3，因此{a n }的通项公式可以是a n ＝3n －1.17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案6766解析 设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧a 1＋7d ＝43，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766.18．华罗庚数学小组的同学们在图书馆发现一块古代楔形文字泥板的图片，同学们猜测它是一种乘法表的记录，请你根据这个猜测，判定表示________？(如图)答案395解析图片中记录的是自然数乘以9的运算结果，左列是被乘数，右列是该数乘以9的积数，经过分析可知：其中▽代表1，?代表10，代表60.所以表示60×6＋10×3＋5×1＝395.19．在我国南宋数学家杨辉所着的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图A所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的着作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)，如图世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图 B.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n＋C r＋1n＝C r＋1n＋1，其中n是行数，r∈N.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________．1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1…C0n C1n…C r n…C n-1n C n n图A1 C1n+1C0n1C1n+1C1n…1C1n+1C r n…1C1n+1C n-1n1C1n+1C n n图B答案1C1n+1C r n＝1C1n+2C r n+1＋1C1n+2C r+1n+1解析类比观察得，莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C1n+1，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子C r n＋C r+1n＝C r+1n+1，有1C1n+1C r n＝1C1n+2C r n+1＋1C1n+2C r+1n+1.20．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面用点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数，将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k -1＝________.(用k 表示) 答案 (1)5 030 (2)5k ?5k －1?2解析 由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n ?n ＋1?2，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15， 由上述规律可知：b 2k ＝a 5k ＝5k ?5k ＋1?2(k ∈N *)， b 2k -1＝a 5k -1＝?5k －1??5k －1＋1?2＝5k ?5k －1?2，故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030， 即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项． 21．请认真阅读下列材料：“杨辉三角” (1261年)是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角”(1653年)早了300多年(如图1)．在“杨辉三角”的基础上德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形(单位分数是分子为1，分母为正整数的分数)，称为莱布尼兹三角形(如图2)1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1… … 图1 … … 图2请回答下列问题：(1)记S n 为图1中第n 行各个数字之和，求S 4，S 7，并归纳出S n ； (2)根据图2前5行的规律依次写出第6行的数． 答案 (1)S 4＝8＝23；S 7＝64＝26； Sn ＝2n －1.(2)图中每个数字都是其两脚的数字和， 故第6行为16 130 160 160 130 16.三、空间几何体1．我国古代数学名着《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是( )寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸． ∵积水深9寸，∴水面半径为12(14＋6)＝10寸，则盆中水的体积为13π×9(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸)．∴平地降雨量等于588ππ×142＝3(寸)．故选C.2．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为：V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)．则由此可推得圆周率π的取值为(注：1丈＝10尺)( ) A ．3 B ． C ． D ．答案 A解析 由题意，圆柱体底面的圆周长48尺，高11尺， ∵圆堡瑽(圆柱体)的体积V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)， ∴V ＝112×(482×11)＝2 112，设底面圆的半径为R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2πR ＝48，πR 2×11＝2 112，∴π＝3.3．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈立方尺，π≈3)，则圆柱底圆周长约为( ) A ．1丈3尺 B ．5丈4尺 C ．9丈2尺 D ．48丈6尺答案 B解析 设圆柱形谷仓底面半径为r 尺，由题意得，谷仓高h＝403尺．于是谷仓的体积V＝πr2·h≈2 000×，解得r≈9.∴圆柱底圆周长约为2πr≈54尺＝5丈4尺．4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )答案B解析由题意知275L2h≈13πr2h?275L2≈13πr2，而L＝2πr，代入得π≈258.5．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为羡除，现有一个羡除如图所示，面ABCD、面ABFE、面CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是( )A．110 B．116C．118 D．120答案D解析过A作AP⊥CD，AM⊥EF，过B作BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分别为P，M，Q，N，将一侧的几何体放到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为12×10×3＝15.棱柱的高为8，∴V＝15×8＝120.故选D.6．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4π.后人导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即18V牟＝r3－V方盖差，r为球的半径，也即正方形的棱长均为2r，从而计算出V球＝43πr3.记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正，棱长为2r的正方形的方盖差为V方盖差，则V方盖差V正等于( )答案C解析由题意，V方盖差＝r3－18V牟＝r3－18×4π×43×π×r3＝13r3，所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正＝13×r×r× r2－?22r?2＝26r3，∴V方盖差V正＝13r326r3＝ 2.7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是( )A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d答案A解析由直观图可知，其正视图与侧视图完全相同，则其只能是圆，这时其俯视图就是正方形加对角线(实线)．故选A.8．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4∶π，即V牟：V球＝4∶π.也导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即18V牟＝r3－V方盖差，从而计算出V球＝43πr3.记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正，则( ) A．V方盖差＞V正B．V方盖差＝V正C．V方盖差＜V正D．以上三种情况都有可能答案A解析由题意，V方盖差＝r3－18V牟＝r3－18×4π×43πr3＝13r3，所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正＝13×r×r× r2－?22r?2＝26r3，∴V方盖差＞V正．9．我国古代数学名着《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺(注：1丈等于10尺)( )A．29尺B．24尺C．26尺D．30尺答案C解析 由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长24尺，另一条直角边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长242＋102＝26(尺)．10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( ) A ．14斛 B ．28斛 C ．36斛 D ．66斛答案 B解析 设圆锥的底面半径为r ，则π2r ＝9，解得r ＝18π， 故米堆的体积为14×13×π×(18π)2×5≈45，∵1斛米的体积约为立方， ∴堆放的米有45÷≈28斛．11．《九章算术》是我国古代着名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( ) (注：1丈＝10尺＝100寸，π≈，sin °≈513) A ．600立方寸 B ．610立方寸 C ．620立方寸 D ．633立方寸答案 D 解析 如图，AB ＝10(寸)，则AD ＝5(寸)，CD ＝1(寸)，设圆O 的半径为x (寸)，则OD ＝(x －1)(寸)， 在Rt△ADO 中，由勾股定理可得52＋(x －1)2＝x 2， 解得x ＝13(寸)． ∴sin∠AOD ＝AD AO ＝513， 即∠AOD ≈°，则∠AOB ＝45°.则弓形¼ACB 的面积S ＝12×π4×132－12×10×12 ≈(平方寸)．则该木材镶嵌在墙中的体积约为V ＝×100 ＝633(立方寸)．故选D.12．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽略不计)答案41π解析由题意，该球形容器的半径的最小值为1236＋4＋1＝412，∴该球形容器的表面积的最小值为4π·414＝41π.13．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计)．(1)如果该沙漏每秒钟漏下 cm3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到1秒)?(2)细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度(精确到．答案(1)开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为H＝23×8＝163，底面半径为r＝23×4＝83，V＝13πr2H＝13π×(83)2×163＝，V÷＝1 986(秒)．所以沙全部漏入下部约需1 986秒．(2)细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为4，设高为H′，V＝13π×42×H′＝1 02481π，H′＝6427≈.锥形沙堆的高度约为 cm.14．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.(1)证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由．(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．。
中国古代数学问题
一板凳鏊子问题板凳鏊子三十三，一百条腿都朝天，问几个板凳几个鏊子？板凳和鏊子（烙饼用的，有三条腿；板凳，四条腿）一共三十三个。
问几个板凳几个鏊子？二隔墙分银隔墙听得客分银，不知人数不知银。
七两分之多四两，九两分之少半两。
问多少银子多少人？（古时16 两1 斤）三一百馒头一百僧我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁?译成白话文，其意思是：有100 个和尚分100 只馒头，正好分完。
如果大和尚一人分3只，小和尚3 人分一只，试问大小和尚各有几人?方法一，用方程设大和尚有x 人，则小和尚有（100－x）人，根据题意列得方程：3x+1/3（100 －x）=100解方程得：x=25小和尚：100－25＝75 人方法二，鸡兔同笼法：（1）假设100 人全是大和尚，应吃馒头多少个? 3×100=300（个）．（2）这样多吃了几个呢? 300－100=200（个）．（3）为什么多吃了200 个呢?这是因为把小和尚当成大和尚。
那么把小和尚当成大和尚时，每个小和尚多算了几个馒头?3－1/3=8/3（4）每个小和尚多算了8/3 个馒头，一共多算了200个，所以小和尚有：200÷8/3＝75（人）大和尚：100－75＝25（人）方法三，分组法：由于大和尚一人分3只馒头，小和尚3人分一只馒头。
我们可以把3个小和尚与1 个大和尚编为一组，这样每组4 个和尚刚好分4 个馒头，那么100个和尚总共分为100÷（3+1）=25 组，因为每组有1 个大和尚，所以有25 个大和尚；又因为每组有3个小和尚，所以有25×3＝75 个小和尚这是《直指算法统宗》里的解法，原话是：”置僧一百为实，以三一并得四为法除之，得大僧二十五个。
”所谓“实”便是”“被除数”，“法”便是“除数”。
列式就是：100÷（3+1）=25，100-25=75。
有趣的中国古代数学故事
有趣的中国古代数学故事
以下是一些有趣的中国古代数学故事：
1. 赵爽的猜想：古代数学家赵爽提出了一个有趣的猜想，即两数之积等于两数之和与差的平方差。
这个猜想后来被数学家刘徽证明为正确，成为中国古代数学的重要成果之一。
2. 剪纸问题：古代数学家刘徽提出了一个有关剪纸的问题，即如何用一张正方形的纸剪出一个等边三角形。
这个问题一度困扰了数学家们，直到刘徽发现了一个巧妙的解法，利用了数学中的逼近法和比例关系。
3. 鸡兔同笼问题：这是一个有关代数方程问题的故事。
古代数学家张丘建提出了一个关于鸡兔总数和腿的关系的问题，即知道总腿数和总头数，如何确定鸡和兔的数量。
这个问题成为中国古代数学中的经典问题，也引发了许多数学家的研究和探讨。
4. 割圆问题：古代数学家刘徽提出了一个有关割圆问题的难题，即如何用规定的刀子割出已知长宽比的矩形。
他通过对割圆的问题进行几何变换和代数求解，得到了解决的方法，并且提出了一个著名的定理，即“正方形的对角线相等于边长的根号二倍”。
5. 数学家的雨伞：唐代数学家李冶因为研究数学问题而着迷，甚至连睡觉时都要把雨伞打开放在头顶，以便在有灵感时随时记录下来。
他的这种奇特举动成为了当时的一种笑谈，但也反映了他对数学事业的执着和热情。
这些古代数学故事展示了中国古代数学家们的智慧和创造力，同时也揭示了他们对数学的热爱和追求。
这些故事不仅带给我们乐趣，也让我们对古代数学的发展和成就有了更深刻的了解。
中国古代数学趣题及答案
中国古代数学趣题及答案的主要内容展开写
中国古代数学趣题主要涉及算学、立体几何、比例几何和代数。
这里有一些著名的趣题，其中包括：
1. 同济大学：用什么样的几何结构来构建一座坚固的城堡？
2. 孙子算经：求两个河流的交点。
3. 元素狩猎：找到一个相对容易的方法来计算圆的面积。
4. 烧饼方程：如何使用基本几何运算来解决一个复杂的方程？
5. 求列方程：用几何和代数计算方程的特定解。
以上趣题的答案分别可以是：
1. 七角形城堡是最坚固的形式，由六边形和五边形构成，能够抵御多种攻击。
2. 通过计算每个河流的斜率，然后将两个斜率相等的方程的系数相减来求得交点的坐标。
3. 使用圆周率乘以半径的平方来计算圆的面积。
4. 通过联立矩阵的方式来解方程。
5. 通过画几何图形的方式求出不同变量之间的关系，最后转换成求解系数的代数方程。
中国古代最著名的三道数学题
中国古代最著名的三道数学题比方说著名的勾股定理，这个定理在西方最早是由古希腊哲学家毕达哥拉斯发现的，所以也称为毕达哥拉斯定理，但据说这个定理在中国最早是由西周数学家商高发现的，他发现了“勾三、股四、弦五”的定理，比毕达哥拉斯早五百年。
虽然在近代史上，中国的数学成就远远没有像西方那样对世界进步产生深远影响，但中国古代的数学成就还是值得肯定的。
中国古代的数学著作为我们留下了很多经典讨论，其中有三个最著名的问题，一直到现在经久不衰。
一、鸡兔同笼问题这个数学问题出自南北朝时期的数学著作《孙子算经》。
这本书的作者是谁不知道，但可以确定的是这本书和《孙子兵法》肯定没关系。
《孙子算经》之所以也冠以“孙子“的名号，是因为这本书开篇序言第一句话引用了孙子的话：“孙子曰：夫算者，天地之经纬，群生之园首，五常之本末，阴阳之父母……”这本书里最著名的一个问题就是鸡兔同笼，我记得上小学那会，经常有这种类型的题。
这个问题的原文是这么说的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”就是说，有一群鸡和兔子在一个笼子里，头一共35个，脚一共94个，问有多少只鸡，多少只兔子。
我记得这种题目是以前学二元一次方程的入门题。
设鸡有x只，兔子有y 只，列个方程：x + y = 352x + 4y =94然后算出x=23，y=12，所以鸡有23只，兔子12只。
但是中国古人不懂二元一次方程，他们是怎么算的呢。
古人非常机智，他们的算法比列方程还简单。
鸡有两只脚，兔子有四只脚，他们假设让鸡抬起一只脚，让兔子抬起两只脚，这个时候笼子里的脚就会少一半，就是94/2=47只。
这个时候的笼子里，鸡是一只脚一个头，兔子是两只脚一个头，而头一共是35个，说明多出来的就是兔子的数量，所以47-35=12，兔子就是12只。
二、物不知数问题除了鸡兔同笼问题，《孙子算经》上另一个著名问题就是“物不知数问题”。
原文是这么说的：“有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二。
中国古代方程的有趣故事
中国古代方程的有趣故事引言在中国古代，数学是一门广为人知的学科，古代数学家们为了解决实际生活中的问题，推导出了许多方程式。
这些方程式不仅有着严密的推演过程，还蕴含着许多有趣的故事。
本文将介绍一些古代中国方程的有趣故事，带你领略古代数学家们智慧的光芒。
千里马问题古代中国著名的方程问题之一是千里马问题。
这个问题可以追溯到南北朝时期的数学家祖冲之。
他曾提出如下问题：假设一批白马中有千里马，它们的速度快于普通马，我们如何通过一次竞赛，找出白马中的千里马呢？祖冲之的解决方法非常巧妙，他通过给每匹马标记序号，并安排它们参加一次竞赛，比赛中每匹马只跑一次。
确定冠军后，他观察冠军在比赛中与每匹马的成绩。
如果一匹马的名次都比冠军的名次差，则该匹马是千里马。
这个问题的解决方法在当时备受赞誉，不仅展示了祖冲之的智慧，也启发了后来数学家们对方程问题的探索。
《海岛问题》与《围魏救赵》古代中国的数学家刘徽和张丘建提出了两个极富智慧的方程问题：《海岛问题》和《围魏救赵》。
《海岛问题》《海岛问题》是一个关于数学归纳法的问题。
问题描述如下：某个海域中有若干个岛屿，任意两个岛屿之间都能够通过船只直接抵达。
现在要在这些岛屿之间修建桥梁，使得从任意一个岛屿出发，能够通过桥梁到达其他所有岛屿，但桥梁不能构成闭环。
那么，最少需要修建多少座桥梁才能满足条件？通过数学推理，刘徽给出了最少桥梁数的公式。
这个问题的解决方法非常有启发性，使人们开始关注到了数学归纳法的重要性。
《围魏救赵》《围魏救赵》是中国战国时期的一项军事计算问题。
据传，魏国围困了赵国的都城邯郸，而赵国的救兵需要尽快赶到邯郸解围。
问题是，如何安排途中的接力站点，使得最快的救兵能够在最短时间内到达目的地？张丘建通过方程推导，给出了解决这个问题的方法。
他根据救兵的速度和途中的接力站点，通过方程求解得出了最佳的接力站点位置和交接时间。
这个问题的机智解决展示了古代中国数学家的智慧和实用性思维。
关于中国数学历史的全部问题
关于中国数学历史的全部问题数学是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。
中国古代数学的萌芽原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。
到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了。
西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。
为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。
据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。
商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。
公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。
《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。
春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。
这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。
名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。
中国古代数学名题——三阶换方
我国古代数学名题——三阶换方概述：1. 三阶换方是我国古代数学中的一个重要问题，涉及到代数方程与几何图形的相互关系，充分展示了我国古代数学的丰富内涵和高超智慧。
历史渊源：2. 三阶换方的历史可以追溯到我国古代的《周髀算经》，其中记载了对三阶换方问题的探讨和解法。
在我国古代数学发展的各个阶段，都有学者对三阶换方问题进行了深入研究，为我国古代数学的发展做出了重要贡献。
问题表述与求解方法：3. 三阶换方问题是指如何构造一个边长与底的乘积与高的乘积相等的正方形。
其数学表述为：若边长为a，底为b，高为c，求正方形的边长x，使得ax^2 = bc。
4. 古代学者在研究三阶换方问题时，提出了多种解法，包括几何图形的构造法、变量替换法、勾股定理的运用等。
这些方法既展示了古代学者的数学才华，也为后人探索数学规律提供了宝贵的经验。
数学意义与应用价值：5. 三阶换方问题的研究对于我国古代数学的发展具有重要意义，它不仅拓展了数学领域的研究范围，还促进了数学理论的进一步探索和发展。
6. 三阶换方问题的解法也为古代建筑、农业生产等领域提供了实际的应用价值，为古代社会的发展做出了贡献。
现代研究与传承：7. 虽然三阶换方问题在现代数学中已经被更为先进的理论和方法取代，但其对于数学研究方法的影响仍然存在。
一些现代数学研究者通过对三阶换方问题的再研究，发现了其在抽象代数、几何学等领域的深刻内涵。
8. 我国古代数学宝贵的传统文化资源为我们提供了充足的研究素材，对三阶换方问题的传承和研究有助于继承和发扬中华民族的数学文化遗产。
结语：9. 三阶换方问题是我国古代数学的一颗璀璨明珠，它不仅展示了古代数学家的才华横溢和智慧，也为我国古代数学的发展和丰富传统文化留下了宝贵的遗产。
我们应当珍惜这一宝贵的文化遗产，继承并传承下去，为推动我国数学事业的发展做出积极贡献。
对于我国古代数学而言，三阶换方问题是一个具有代表性的数学难题，其传承和研究对于推动我国古代数学文化的传统，继承和发扬中华民族的数学文化遗产有着重要的意义。
数学中的传统文化问题大全
数学中的传统文化问题大全Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】数学中的中国传统文化一、算法问题1．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数为( )A．2 B．3C．4 D．5答案C解析(84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42)，一共做了4次减法．2．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名着《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a为( )A．4 B．2C．0 D．14答案B解析由题意输出的a是18,14的最大公约数2，故选B.3．用辗转相除法求459和357的最大公约数，需要做除法的次数是( )A．1 B．2C．3 D．4答案C解析∵459÷357＝1…102，357÷102＝3…51，102÷51＝2，∴459和357的最大公约数是51，需要做除法的次数是3.4．秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，对于求一个n次多项式函数f n(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的具体函数值，运用常规方法计算出结果最多需要n次加法和n?n＋1?2次乘法，而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要n次加法和n次乘法．对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以此算法极大地缩短了CPU运算时间，因此即使在今天该算法仍具有重要意义．运用秦九韶算法计算f(x)＝＋4x5－x4＋3x3－5x当x＝3时的值时，最先计算的是( )A．－5×3＝－15B．×3＋4＝C．3×33－5×3＝66D．×36＋4×35＝1答案B解析f(x)＝＋4x5－x4＋3x3－5x＝((((＋4)x－1)x＋3)x＋0)x－5)x，然后由内向外计算，最先计算的是×3＋4＝.5．若用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时的值，则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为( )A．4,2 B．5,3C．5,2 D．6,2答案C解析∵f(x)＝((((4x)x)x－1)x)x＋2，∴乘法要运算5次，加减法要运算2次．6．已知函数f(x)＝6x6＋5，当x＝x0时，用秦九韶算法求f(x0)的值，需要进行乘方、乘法、加法的次数分别为( )A．21,6,2 B．7,1,2C．0,1,2 D．0,6,1答案D解析∵f(x)＝6x6＋5，多项式的最高次项的次数是6，∴要进行乘法运算的次数是6.要进行加法运算的次数是1，运算过程中不需要乘方运算．7．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a依次为2,2,5，x，n均为2，则输出的s等于( )A．7 B．12C．17 D．34答案C解析第一次运算，a＝2，s＝2，n＝2，k＝1，不满足k>n；第二次运算，a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2，不满足k>n；第三次运算，a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3，满足k>n，输出s＝17，故选C.8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11的值时，应把f(x)变形为( )A．x3－(3x＋2)x－11 B．(x－3)x2＋(2x－11)C．(x－1)(x－2)x－11 D．((x－3)x＋2)x－11答案D解析f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝((x－3)x＋2)x－119．用秦九韶算法求函数f(x)＝3x5－2x4＋2x3－4x2－7当x＝2的值时，v3的结果是( )A．4 B．10C．16 D．33答案C解析函数f(x)＝3x5－2x4＋2x3－4x2－7＝((((3x－2)x＋2)x－4)x)x－7，当x＝2时，v0＝3，v1＝3×2－2＝4，v2＝4×2＋2＝10，v3＝10×2－4＝16.10．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋＋2的值，当x＝－2时，v1的值为( ) A．1 B．7C．－7 D．－5答案 C解析∵f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋＋2＝(((((x－5)x＋6)x＋0)x＋1)x＋x＋2，∴v0＝a6＝1, v1＝v0x＋a5＝1×(－2)－5＝－7.11．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝－6x4＋5x3＋2x＋6的值，当x＝3时，v3的值为( ) A．－486 B．－351C．－115 D．－339答案C解析f(x)＝－6x4＋5x3＋2x＋6＝(((－6x＋5)x＋0)x＋2)x＋6，∴v0＝a4＝－6，v1＝v0x＋a3＝－6×3＋5＝－13，v2＝v1x＋a2＝－13×3＋0＝－39，v3＝v2x＋a1＝－39×3＋2＝－115.12．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所着的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为4,3，则输出v的值为( )A．20 B．61C．183 D．548答案C解析由程序框图知，初始值：n＝4，x＝3，v＝1，i＝3，第一次循环：v＝6，i＝2；第二次循环：v＝20，i＝1；第三次循环：v＝61，i＝0；第四次循环：v＝183，i＝1.结束循环，输出当前v的值183.13．原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生多少天( )A．1 326 B．510 C．429 D．336答案B解析由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73＋3×72＋2×7＋6＝510.14．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋1，乘法运算次数为____________．加法运算次数为________．答案 5 5解析∵f(x)＝((((5x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋1，∴乘法要运算5次，加法要运算5次15．若f(x)＝x4＋3x3＋x＋1，用秦九韶算法计算f(π)时，需要乘法m次，加法n次，则m＋n ＝________.答案6解析f(x)＝x4＋3x3＋x＋1＝(((x＋3)x)x＋1)x＋1，用秦九韶算法计算f(π)时，乘法运算与加法运算的次数和等于6.16．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为ba和dc(a，b，c，d∈N*)，则b＋da＋c是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝59…，若令3110<π<4915，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110<π<165，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为________．答案22 717．我国古代数学名着《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在222…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x.这可以通过方程2＋x＝x确定x＝2，则1＋11＋11＋…＝________.答案1＋52解析由题意，可令1＋11＋11＋…＝x，即1＋1x＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝1＋52(x＝1－52舍)，故1＋11＋11＋…＝1＋52.18．用辗转相除法求840与1 764的最大公约数．答案 1 764＝840×2＋84,840＝84×10＋0，∴840与1 764的最大公约数是84.19．用更相减损术求440 与556的最大公约数．答案556－440＝116,440－116＝324,324－116＝208，208－116＝92,116－92＝24,92－24＝68，68－24＝44,44－24＝20,24－20＝4,20－4＝16，16－4＝12,12－4＝8,8－4＝4，∴440与556的最大公约数4.20．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．答案f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)xv0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262，v4＝262×3＋3＝789，v5＝789×3＋2＝2 369，v6＝2 369×3＋1＝7 108，v7＝7 108×3＋0＝21 324，∴f(3)＝21 324，即当x＝3时，函数值是21 324.21．(1)用辗转相除法求840与1 785的最大公约数；(2)用秦九韶算法计算函数f(x)＝2x4＋3x3＋5x－4在x＝2时的函数值．答案(1)1 785＝840×2＋105,840＝105×8＋0，∴840与1 785的最大公约数是105.(2)秦九韶算法如下：f(x)＝2x4＋3x3＋5x－4＝x(2x3＋3x2＋5)－4＝x[x(2x2＋3x)＋5]－4＝x{x[x(2x＋3)]＋5}－4，故当x＝2时，f(x)＝2×{2×[2×(2×2＋3)]＋5}－4＝62. 22．(1)用辗转相除法求779与247的最大公约数；(2)利用秦九韶算法求多项式f(x)＝2x5＋4x4－2x3＋8x2＋7x＋4当x＝3时的值．答案(1)779＝247×3＋38，247＝38×6＋19，38＝19×2.故779与247的最大公约数是19；(2)把多项式改成如下形式：f(x)＝2x5＋4x4－2x3＋8x2＋7x＋4＝((((2x＋4)x－2)x＋8)x＋7)x＋4.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝3时的值：v0＝2，v1＝v0x＋4＝2×3＋4＝10，v2＝v1x－2＝10×3－2＝28，v3＝v2x＋8＝28×3＋8＝92，v4＝v3x＋7＝92×3＋7＝283，v5＝v4x＋4＝283×3＋4＝853.所以当x＝3时，多项式f(x)的值是853.23．(1)用辗转相除法求228与1 995的最大公约数；(2)用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x5＋2x3－8x＋5在x＝2时的值．答案(1)1 995＝228×8＋171，228＝171×1＋57，171＝57×3，因此57是1 995与228的最大公约数．(2)f(x)＝3x5＋2x3－8x＋5＝((((3x＋0)x＋2)x＋0)x－8)x＋5当x＝2时，v0＝3，v1＝3×2＝6，v2＝6×2＋2＝14，v3＝14×2＝28，v4＝28×2－8＝48，v5＝48×2＋5＝101，所以当x＝2时，多项式的值是101.24．(1)用“更相减损术”求72和168的最大公约数；(2)用“辗转相除法”求98和280的最大公约数．答案(1)∵168－72＝96，96－72＝24，72－24＝48，48－24＝24，故72和168的最大公约数是24.(2)∵280＝2×98＋84，98＝1×84＋14，84＝6×14，故98和280的最大公约数是14.25．用秦九韶算法求函数f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1当x＝3时的函数值．答案f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1＝((((x＋0)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，当x＝3时，v0＝1，v1＝v0×3＋0＝3；v2＝v1×3＋1＝10;v3＝v2×3＋1＝31;v4＝v3×3＋1＝94;v5＝v4×3＋1＝283，即x＝3时的函数值为283.二、数列问题1．《九章算术》是我国古代的数学名着，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( ) 钱 钱 钱 钱答案 B解析 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则由题意可知，a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d ， 又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5，∴a ＝1，则a －2d ＝a －2×(－a 6)＝43a ＝43.2．南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．问：每等人比下等人多得几斤”( )答案 B解析 设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤， 则数列{a n }构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 8＋a 9＋a 10＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋24d ＝4，解得d ＝778， ∴每一等人比下一等人多得778斤金． 3．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学着作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织390尺．问：每天多织多少布”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，估算出每天多织的布约有( ) A ．尺 B ．尺 C ．尺 D ．尺答案 A解析 设每天多织d 尺，由题意a 1＝5，{a n }是等差数列，公差为d ， ∴S 30＝30×5＋30×292d ＝390， 解得d ≈.4．《张丘建算经》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日，第五日，第八日所织之和为十五尺，问第九日所织尺数为( ) A ．7 B ．9 C ．11 D ．13答案 D解析 设第一天织a 1尺，从第二天起每天比第一天多织d 尺， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋7×62d ＝21，a 1＋d ＋a 1＋4d ＋a 1＋7d ＝15，解得a 1＝－3，d ＝2，∴第九日所织尺数为a 9＝a 1＋8d ＝－3＋8×2＝13.5．古代数学着作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何” 意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少”根据已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为( ) 答案 C解析 由题意可得：每天织布的量组成了等比数列{a n }，S 5＝5，公比q ＝2 ，a 1?1－25?1－2＝5，计算可得a 1＝531，所以a 3＝531×22＝2031. 6．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的( ) A ．33% B ．49% C ．62% D ．88%答案 B解析 由题意可得：每日的织布量形成等差数列{a n }， 且a 1＝5，a 30＝1，设公差为d ，则1＝5＋29d ，解得d ＝－429. ∴S 10＝5×10＋10×92×(－429)＝1 27029. S 30＝30×?5＋1?2＝90. ∴该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的1 27029×190≈＝49%. 7．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布( ) A ．30尺 B ．90尺 C ．150尺 D ．180尺答案 B解析 由题意可得，每日的织布量形成等差数列{a n }， 且a 1＝5，a 30＝1， 所以S 30＝30×?5＋1?2＝90. 8．在我国古代着名的数学专着《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢( ) A ．9日 B ．8日 C ．16日 D ．12日答案 A解析 由题意知，良马每日行的距离成等差数列， 记为{a n }，其中a 1＝103，d ＝13； 驽马每日行的距离成等差数列， 记为{b n }，其中b 1＝97，d ＝－；设第m 天相逢，则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m ＝103m ＋m ?m －1?×132＋97m ＋m ?m －1?×?－?2＝2×1 125，解得m ＝9(负值舍去)．9．《九章算术》是我国古代第一部数学专着，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( ) 升 升 升 升答案 A解析 自上而下依次设各节容积为a 1，a 2，…a 9，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧2?a 2＋a 3?＝33a 8＝4，得⎩⎨⎧a 2＋a 3＝32，a 8＝43，所以a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176(升)．10．中国古代数学着作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A ．24里 B ．48里 C ．96里 D ．192里答案 C解析 由题意可知此人每天走的步数构成以12为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得a 1[1－?12?6]1－12＝378，解得a 1＝192，∴第二天此人走了192×12＝96里．11．中国古代数学着作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( ) A ．24里 B ．12里 C ．6里 D ．3里答案 C解析 记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比q ＝12的等比数列，由S 6＝378，得S 6＝a 1?1－126?1－12＝378，解得a 1＝192，∴a 6＝192×125＝6.12．我国古代数学着作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一段截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为( )A．6斤B．9斤C．10斤D．12斤答案B解析此问题构成一个等差数列{a n}，设首项为2，则a5＝4，∴中间3尺的重量为3a3＝a1＋a52×3＝2＋42×3＝9(斤)，故选B.13．我国古代数学着作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )A．6斤B．9斤C．斤D．12 斤答案A解析依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，由等差数列性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．14．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯”() A．3 B．4C．5 D．6答案A解析由题意设塔顶有a盏灯，由题意由上往下数第n层就有2n－1·a盏灯，∴共有(1＋2＋4＋8＋16＋32＋64)a＝381盏灯，即1×?1－27?1－2a＝381.解得a＝3.15．我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢”上述问题中，两鼠在第几天相逢．( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列， 前n 天打洞之和为1－2n1－2＝2n－1，同理，小老鼠前n 天打洞之和为1－?12?n1－12＝2－12n －1，∴2n－1＋2－12n －1＝10，解得n ∈(3,4)，取n ＝4. 即两鼠在第4天相逢．16．如图是谢宾斯基(Sierpinsiki)三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，则{a n }的通项公式可以是( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝2n －1C ．a n ＝3nD ．a n ＝2n －1答案 A解析 着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝3×3＝32，a 4＝32×3，因此{a n }的通项公式可以是a n ＝3n －1.17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案6766解析 设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧a 1＋7d ＝43，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766.18．华罗庚数学小组的同学们在图书馆发现一块古代楔形文字泥板的图片，同学们猜测它是一种乘法表的记录，请你根据这个猜测，判定表示________(如图)答案395解析图片中记录的是自然数乘以9的运算结果，左列是被乘数，右列是该数乘以9的积数，经过分析可知：其中▽代表1，?代表10，代表60.所以表示60×6＋10×3＋5×1＝395.19．在我国南宋数学家杨辉所着的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图A所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的着作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)，如图世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图B.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n＋C r＋1n＝C r＋1n＋1，其中n是行数，r∈N.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________．1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1…C0n C1n…C r n…C n-1n C n n图A1 21 21 316131 41121121415 120 130 120 15 16 130 160 160 130 16 1C 1n +1C 0n 1C 1n +1C 1n …1C 1n +1Cr n…1C 1n +1C n -1n 1C 1n +1C n n图B答案1C 1n +1Cr n＝1C 1n +2C r n +1＋1C 1n +2C r +1n +1解析 类比观察得，莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C 1n +1，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子C r n ＋C r +1n ＝C r +1n +1， 有1C 1n +1Cr n＝1C 1n +2C r n +1＋1C 1n +2C r +1n +1. 20．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面用点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数，将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k -1＝________.(用k 表示) 答案 (1)5 030 (2)5k ?5k －1?2解析 由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n ?n ＋1?2，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15， 由上述规律可知：b 2k ＝a 5k ＝5k ?5k ＋1?2(k ∈N *)， b 2k -1＝a 5k -1＝?5k －1??5k －1＋1?2＝5k ?5k －1?2，故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030， 即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项． 21．请认真阅读下列材料：“杨辉三角” (1261年)是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角”(1653年)早了300多年(如图1)．在“杨辉三角”的基础上德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形(单位分数是分子为1，分母为正整数的分数)，称为莱布尼兹三角形(如图2)1 1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1……图1111 21 21 316131 4112112141 512013012015……图2请回答下列问题：(1)记S n为图1中第n行各个数字之和，求S4，S7，并归纳出S n；(2)根据图2前5行的规律依次写出第6行的数．答案(1)S4＝8＝23；S7＝64＝26；Sn＝2n－1.(2)图中每个数字都是其两脚的数字和，故第6行为1613016016013016.三、空间几何体1．我国古代数学名着《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是( )寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)A．1 B．2 C．3 D．4答案C解析如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．∵积水深9寸，∴水面半径为12(14＋6)＝10寸，则盆中水的体积为13π×9(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸)．∴平地降雨量等于588ππ×142＝3(寸)．故选C.2．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为：V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)．则由此可推得圆周率π的取值为(注：1丈＝10尺)( ) A ．3 B ． C ． D ．答案 A解析 由题意，圆柱体底面的圆周长48尺，高11尺， ∵圆堡瑽(圆柱体)的体积V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)， ∴V ＝112×(482×11)＝2 112， 设底面圆的半径为R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2πR ＝48，πR 2×11＝2 112，∴π＝3.3．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈立方尺，π≈3)，则圆柱底圆周长约为( ) A ．1丈3尺 B ．5丈4尺 C ．9丈2尺 D ．48丈6尺答案 B解析 设圆柱形谷仓底面半径为r 尺， 由题意得，谷仓高h ＝403尺．于是谷仓的体积V＝πr2·h≈2 000×，解得r≈9.∴圆柱底圆周长约为2πr≈54尺＝5丈4尺．4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )答案B解析由题意知275L2h≈13πr2h?275L2≈13πr2，而L＝2πr，代入得π≈258.5．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为羡除，现有一个羡除如图所示，面ABCD、面ABFE、面CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是( )A．110 B．116C．118 D．120答案D解析过A作AP⊥CD，AM⊥EF，过B作BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分别为P，M，Q，N，将一侧的几何体放到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为12×10×3＝15.棱柱的高为8，∴V＝15×8＝120.故选D.6．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4π.后人导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即18V牟＝r3－V方盖差，r为球的半径，也即正方形的棱长均为2r，从而计算出V球＝43πr3.记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正，棱长为2r的正方形的方盖差为V方盖差，则V方盖差V正等于( )答案C解析由题意，V方盖差＝r3－18V牟＝r3－18×4π×43×π×r3＝13r3，所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正＝13×r×r× r2－?22r?2＝26r3，∴V方盖差V正＝13r326r3＝ 2.7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是( )A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d答案A解析由直观图可知，其正视图与侧视图完全相同，则其只能是圆，这时其俯视图就是正方形加对角线(实线)．故选A.8．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4∶π，即V牟：V球＝4∶π.也导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即18V牟＝r3－V方盖差，从而计算出V球＝43πr3.记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正，则( )A．V方盖差＞V正B．V方盖差＝V正C．V方盖差＜V正D．以上三种情况都有可能答案A解析由题意，V方盖差＝r3－18V牟＝r3－18×4π×43πr3＝13r3，所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正＝13×r×r× r2－?22r?2＝26r3，∴V方盖差＞V正．9．我国古代数学名着《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺(注：1丈等于10尺)( )A．29尺B．24尺C．26尺D．30尺答案C解析由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长24尺，另一条直角边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长242＋102＝26(尺)．10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( )A．14斛B．28斛C．36斛D．66斛答案B解析设圆锥的底面半径为r，则π2r＝9，解得r＝18π，故米堆的体积为14×13×π×(18π)2×5≈45，∵1斛米的体积约为立方，∴堆放的米有45÷≈28斛．11．《九章算术》是我国古代着名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈，sin °≈5 13)A．600立方寸B．610立方寸C．620立方寸D．633立方寸答案D解析如图，AB ＝10(寸)，则AD ＝5(寸)，CD ＝1(寸)，设圆O 的半径为x (寸)，则OD ＝(x －1)(寸)， 在Rt△ADO 中，由勾股定理可得52＋(x －1)2＝x 2， 解得x ＝13(寸)． ∴sin∠AOD ＝AD AO ＝513， 即∠AOD ≈°，则∠AOB ＝45°.则弓形ACB 的面积S ＝12×π4×132－12×10×12≈(平方寸)．则该木材镶嵌在墙中的体积约为V ＝×100 ＝633(立方寸)． 故选D.12．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组， 经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽略不计)答案 41π解析 由题意，该球形容器的半径的最小值为1236＋4＋1＝412， ∴该球形容器的表面积的最小值为4π·414＝41π. 13．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计)．(1)如果该沙漏每秒钟漏下 cm 3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到1秒)(2)细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度(精确到．答案 (1)开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为H ＝23×8＝163，底面半径为r ＝23×4＝83，V ＝13πr 2H ＝13π×(83)2×163＝， V ÷＝1 986(秒)．所以沙全部漏入下部约需1 986秒．(2)细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为4， 设高为H ′，V ＝13π×42×H ′＝1 02481π， H ′＝6427≈.锥形沙堆的高度约为 cm.14．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE .(1)证明：PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由．(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．。
中国古代数学应用题
中国古代数学应用题中国古代数学是世界历史上数学发展的宝库，其中包含了许多引人入胜的数学应用题。
这些应用题不仅要求运用数学知识解决实际问题，还体现了中国古代智慧和思维方式。
本文将介绍几个中国古代数学应用题，揭示古代数学家们的聪明才智。
1. 田忌赛马问题田忌是中国古代战国时期著名的将领，他与敌方将军齐威王进行了一场赛马比赛。
齐威王拥有数量更多、程度更好的马匹，而田忌的马匹质量较差。
在这样不利的情况下，田忌如何制定策略才能击败齐威王？田忌运用了数学的思维方式，他将马匹分为优、良、劣三个等级，通过合理的安排出战顺序，最大限度地提高了自己的胜出几率。
这个问题不仅考验着数学家的计算能力，还需要运筹帷幄、谋定而后动。
2. 数远算疑难问题在中国古代，数远算被认为是一种实际应用题，用来解决测量地理距离的问题。
古代著名数学家刘徽和张举创造了“矩经”和“圆经”两种方法，通过数学计算来测量物体的高度、宽度、距离等。
数远算涉及到角度、距离、高度等多个要素，因此需要运用三角学和几何学知识进行计算。
通过这些方法，古代人们能够准确测量山峰的高度、江河的宽度等，为地理测量和建筑工程提供了重要的依据。
3. 舍利铁问题舍利铁是一种传说中具有神奇力量的金属，古代人们试图通过各种方法判断舍利铁的真伪。
其中一种方法是采用水称法，即将舍利铁放入水中测量其体积，从而判断其质量。
这个问题既涉及到几何学的测量，又需要运用水位浮沉的原理来计算。
古代数学家们通过仔细观察舍利铁的浮沉情况，结合精确的测量方法，得出了判断舍利铁真伪的结论。
4. 分田问题古代中国农村社会经常面临的问题之一是土地的分配。
为了保证公正和尽量均衡地分配土地，人们需要通过一定的计算方法来进行分田。
这个问题涉及到土地面积的计算、人口数量的统计等多个因素。
通过数学的计算方法，古代人们能够公平合理地分配土地，使每个家庭都能得到自己应得的土地，提高了农业生产的效率和人民的生活水平。
总结：中国古代数学应用题展示了古代数学家们出色的计算能力和智慧。
中国古代分数数学题
中国古代的数学著作中确实包含了许多与分数有关的数学问题。
这些问题不仅涉及分数的四则运算，还包括一些复杂的分数应用题。
以下是一些中国古代分数数学题的例子：
1.《九章算术》中的分数问题：
《九章算术》是中国古代最重要的数学著作之一，其中包含了许多与分数有关的数学问题。
比如，其中有一题是这样的：“今有田广一步半。
求田之亩数。
”这个问题实际上是要求计算一个宽度为一步半（即1.5步）的田地的面积，其中涉及到了分数的运算。
2.《张丘建算经》中的百鸡问题：
这是一个著名的古代数学问题，也涉及到了分数的应用。
问题是这样的：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。
百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”这个问题要求用100钱买100只鸡，其中公鸡、母鸡和小鸡的价格不同，需要用到分数的四则运算来求解。
3.《孙子算经》中的分数问题：
《孙子算经》也是中国古代数学的重要著作之一，其中包含了许多涉及分数的数学问题。
比如，其中有一题是这样的：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？”这个问题实际上是一个同余方程问题，但也可以用分数的思想来求解。
需要注意的是，以上例子中的“步”、“钱”等单位都是古代中国的计量单位，与现代
的标准可能有所不同。
在解答这些问题时，需要了解这些单位的含义和换算关系。
同时，这些数学问题也反映了中国古代数学在分数运算和应用方面的成就和特色。
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一板凳鏊子问题板凳鏊子三十三，一百条腿都朝天，问几个板凳几个鏊子？板凳和鏊子（烙饼用的，有三条腿；板凳，四条腿）一共三十三个。
问几个板凳几个鏊子？二隔墙分银隔墙听得客分银，不知人数不知银。
七两分之多四两，九两分之少半两。
问多少银子多少人？（古时16两1斤）三一百馒头一百僧我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁?译成白话文，其意思是：有100个和尚分100只馒头，正好分完。
如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大小和尚各有几人?方法一，用方程设大和尚有x人，则小和尚有(100－x)人，根据题意列得方程：3x+1/3(100－x)=100解方程得：x=25小和尚：100－25＝75人方法二，鸡兔同笼法：(1)假设100人全是大和尚，应吃馒头多少个?3×100=300(个)．(2)这样多吃了几个呢?300－100=200(个)．(3)为什么多吃了200个呢?这是因为把小和尚当成大和尚。
那么把小和尚当成大和尚时，每个小和尚多算了几个馒头?3－1/3=8/3(4)每个小和尚多算了8/3个馒头，一共多算了200个，所以小和尚有：200÷8/3＝75（人）大和尚：100－75＝25（人）方法三，分组法：由于大和尚一人分3只馒头，小和尚3人分一只馒头。
我们可以把3个小和尚与1个大和尚编为一组，这样每组4个和尚刚好分4个馒头，那么100个和尚总共分为100÷（3+1）=25组，因为每组有1个大和尚，所以有25个大和尚；又因为每组有3个小和尚，所以有25×3＝75个小和尚这是《直指算法统宗》里的解法，原话是：”置僧一百为实，以三一并得四为法除之，得大僧二十五个。
”所谓“实”便是”“被除数”，“法”便是“除数”。
列式就是：100÷（3+1）=25，100-25=75。
我国古代劳动人民的智慧由此可见一斑。
四鸡兔同笼问题鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露。
数清脚共五十双，各有多少鸡和兔？一队强盗一队狗，二队拼作一队走，数头一共三百六，数腿一共八百九，问有多少强盗多少狗？1. 鸡兔同笼，共17个头，42条腿。
问：鸡有几只，兔有几只？2. 小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，价值1。
5元。
问：一角的硬币有几枚，5角的硬币有几枚？3. 用大小卡车往城市运送29吨蔬菜，大卡车每辆每次运5吨，，小卡车每辆每次运3吨，问：大小卡车各用几辆一次能运完?（注意有多解）4. 每校有100名学生参加数学竞赛，平均分是63分，其中男生平均分是60分，女生平均分是70分。
问：男生比女生多几人?5. 学校买回4个篮球和5个排球，一共用了185元，一个篮球比一个排球贵8元。
问：篮球的单价是多少？6. 解放军进行野营拉练。
晴天每天走35千米，雨天每天走28千米，11天一共走350千米。
求这期间晴天共有多少天？7. 小强集邮，他用一元钱买了4分和8分的邮票共20张。
问：小强买了4分邮票几张？8. 一堆2分和5分的硬币共299分，其中2分硬币的个数是5分硬币个数的4倍。
问：5分硬币有几枚？9. 某人领得奖金240元，有2元5元10元三种人民币共50张，其中2元和5元的张数一样多。
问：10元的张数是多少？10.小明买了4分和8分的邮票共花去6元8角钱，已知8分的邮票比4分的多40张。
问：8分的邮票是几张？11. 鸡兔同笼，共200只，鸡的脚比兔的脚少56只。
问：鸡有几只，兔有几只？12. 有一辆货车运送2000只玻璃瓶，运费按到达时完好瓶子计算每只2角，如有破损，则破损一个瓶子要倒赔1元。
结果运费379。
6元。
问：运送中损坏了几只瓶子？13. 某数学测验共20题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做不扣分。
小华得了76分。
问：小华做对几题？14. 鸡兔同笼，共有头100个，足316只。
问：鸡有几只，兔有几只？15. 小明花了34元钱买贺卡和明信片，一共买了14张。
贺卡每张3角5分，明信片每张2角5分。
问：小明买了几张贺卡，几张明信片?16. 潍坊盲童学校举行数学竞赛，共20道试题，做对一题得5分，做错或没有做的题，每题倒扣3分。
刘刚得了60分。
问：他做对了几题？17. 鸡兔同笼，共有脚100只。
若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只，问：鸡有几只，兔有几只？18. 鸡兔共有100只，鸡脚比兔脚多80只，问：鸡兔各有多少？19. 鸡兔同笼，共有30个头，88只脚。
求笼中鸡兔各有多少只？20．小明用10元钱正好买了20分和50分的邮票共35张，求这两种邮票名买了多少张？21．小红用13元6角正好买了50分和80分邮票共计20张，求两种邮票各买了多少张？22．小刚的储蓄罐里共2分和5分硬币70枚，小刚数了一下，一共有194分，求两种硬币各有多少枚？23．三年一班30人共向北京奥运会捐款205元，同学每人了捐了5元或10元，你知道捐5元和10元的同学各有多少人吗？24．松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。
它一连8天共采了112个松籽，这八天有几天晴天几天雨天？25．某校有一批同学参加数学竞赛，平均得63分，总分是3150分。
其中男生平均得60分，女生平均得70分。
求参加竞赛的男女各有多少人？26. 一次数学竞赛共有20道题。
做对一道题得5分，做错一题倒扣3分，刘冬考了52分，你知道刘冬做对了几道题？27. 一次数学竞赛共有20道题。
做对一道题得8分，做错一题倒扣4分，刘冬考了112分，你知道刘冬做对了几道题？28. 52名同学去划船，一共乘坐11只船，其中每只大船坐6人，每只小船坐4人。
求大船和小船各几只？29. 在一个停车场上，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共108个轮子。
求小轿车和摩托车各有多少辆？鸡兔同笼问题——基础学习一解答题3一般鸡兔同笼例1：鸡兔同笼，共17个头，42条腿。
问：鸡有几只，兔有几只？【答案】4只，13只【解题关键点】不加注的都是鸡兔同笼模板，套公式兔：（42-17×2）/2=4只；鸡：17-4=13只【结束】4一般鸡兔同笼例2：笼子里有若干只鸡和兔。
从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡和兔各有几只？【答案】兔有5只，鸡有3只。
【解题关键点】解法1：假设的方法。
如果假设笼子里都是鸡，就有8×2=16只脚，这样就多出26－16=10只脚，一只兔比一只鸡多2只脚，也就是有10÷2=5只兔。
所以笼子里有3只鸡，5只兔。
解法2：如果假设笼子里都是兔，那么也可以列式：鸡：（8×4－26）÷（4－2）=3（只）兔：8－3=5（只）解法3：用方程解的。
解：设兔有x只，那么就有（8－x）只鸡，鸡兔共有26只脚，就是4x＋2（8－x）=262x+16=26x=58－5=3（只）【结束】5另一类，“三者同笼”问题【答案】1：把他们看成一个整体，把3者间的关系，转换成2类物体间谍关系2：三个未知数列三个方程【结束】6另一类鸡兔同笼例1：有蜘蛛，蜻蜓，蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，2对翅膀；蝉6条腿，1对翅膀），三种动物各几只？【答案】蜘蛛是5只，蜻蜓是7只，蝉是6只。
【解题关键点】方程假设蜘蛛为x，蜻蜓为y，蝉为Z那么x+y+z=188x+6y+6z=1182y+z=20由此算出x=5y=7z=6所以蜘蛛是5只，蜻蜓是7只，蝉是6只。
1鸡兔同笼，共17个头，42条腿。
问：鸡有几只，兔有几只？2小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，价值1。
5元。
问：一角的硬币有几枚，5角的硬币有几枚？3用大小卡车往城市运送29吨蔬菜，大卡车每辆每次运5吨，，小卡车每辆每次运3吨，问：大小卡车各用几辆一次能运完?（注意有多解）4每校有100名学生参加数学竞赛，平均分是63分，其中男生平均分是60分，女生平均分是70分。
问：男生比女生多几人?5学校买回4个篮球和5个排球，一共用了185元，一个篮球比一个排球贵8元。
问：篮球的单价是多少？7小强集邮，他用一元钱买了4分和8分的邮票共20张。
问：小强买了4分邮票几张？8一堆2分和5分的硬币共299分，其中2分硬币的个数是5分硬币个数的4倍。
问：5分硬币有几枚？9某人领得奖金240元，有2元5元10元三种人民币共50张，其中2元和5元的张数一样多。
问：10元的张数是多少？10小明买了4分和8分的邮票共花去6元8角钱，已知8分的邮票比4分的多40张。
问：8分的邮票是几张？11鸡兔同笼，共200只，鸡的脚比兔的脚少56只。
问：鸡有几只，兔有几只？12有一辆货车运送2000只玻璃瓶，运费按到达时完好瓶子计算每只2角，如有破损，则破损一个瓶子要倒赔1元。
结果运费379。
6元。
问：运送中损坏了几只瓶子？13某数学测验共20题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做不扣分。
小华得了76分。
问：小华做对几题？14鸡兔同笼，共有头100个，足316只。
问：鸡有几只，兔有几只？15小明花了34元钱买贺卡和明信片，一共买了14张。
贺卡每张3角5分，明信片每张2角5分。
问：小明买了几张贺卡，几张明信片?16东湖小学六年级举行数学竞赛，共20道试题，做对一题得5分，做错或没有做的题，每题倒扣3分。
刘刚得了60分。
问：他做对了几题？17鸡兔同笼，共有脚100只。
若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只，问：鸡有几只，兔有几只？18100个馒头100个和尚吃，大和尚每人吃3个，小和尚三人吃1个，问：大和尚有几个，小和尚有几个？19鸡兔共有100只，鸡脚比兔脚多80只，问：鸡兔各有多少？1．鸡兔同笼，共有30个头，88只脚。
求笼中鸡兔各有多少只？2．鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露。
数清脚共五十双，各有多少鸡和兔？3．小明用10元钱正好买了20分和50分的邮票共35张，求这两种邮票名买了多少张？4．小红用13元6角正好买了50分和80分邮票共计20张，求两种邮票各买了多少张？5．小刚的储蓄罐里共2分和5分硬币70枚，小刚数了一下，一共有194分，求两种硬币各有多少枚？6．三年一班30人共向北京奥运会捐款205元，同学每人了捐了5元或10元，你知道捐5元和10元的同学各有多少人吗？7．松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。
它一连8天共采了112个松籽，这八天有几天晴天几天雨天？8．某校有一批同学参加数学竞赛，平均得63分，总分是3150分。
其中男生平均得60分，女生平均得70分。
求参加竞赛的男女各有多少人？9．一次数学竞赛共有20道题。
做对一道题得5分，做错一题倒扣3分，刘冬考了52分，你知道刘冬做对了几道题？10．一次数学竞赛共有20道题。