平面图形及其位置关系
第四章 平面图形及其位置关系辅导题
第四章 平面图形及其位置关系辅导题典例精讲：例1：如图，∠AOB 是平角，∠AOC=80°，∠COE=50°，OD 平分∠AOC ； 1）求∠DOE 的度数；2）OE 是∠BOC 的平分线吗？为什么？例2：如图9-14，B 、C 两点把线段AD 分成2∶3∶4三部分，M 是AD 的中点，CD=8，求MC 的长. 随堂练习1、 下列说法正确的是（ ） A. 一条直线就是一个平角 B. 射线比直线短C. 过三点可以作一条直线D. 两点间的线段的长度叫两点间的距离2、平面上有任意三点，经过其中两点画一条直线，可以画（ ）直线A 、1条B 、2条C 、3条D 、1条或者3条3、点C 在线段AB 上，不能判断点C 是线段AB 中点的式子是（ ）A 、AB=2ACB 、AC+BC=ABC 、BC=D 、AC=BC 4、按下列线段的长度，点A 、B 、C 一定在同一直线上的是（ ）AB MC D图9-14AB 21A 、AB=2cm ，BC=2cm ，AC=2cmB 、AB=1cm ，BC=1cm ，AC=2cmC 、AB=2cm ，BC=1cm ，AC=2cmD 、AB=3cm ，BC=1cm ，AC=1cm 5、8点30分时，时钟的时针与分针所夹的锐角是（ ）A. 60B. 55C. 75D. 706、 已知AB=6cm ，P 点是到A 、B 两点等距离的点，则PA 的长度为（ ）A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 不能确定7、平面内，有两个角∠AOB=50°，∠AOC=20°，OA 为两角的公共边，则∠BOC 为（ ） A ） 30° B 70° C 30°或70° D 无法确定8、在一段火车路线上有四4个车站，在这段路线中往返行车，需要制几种不同的车票（每种车票都要印出上、下车站） （ ）A ．12种B ．9种C ．6种D ．3种 9、下列四个图中，能用∠1、∠AOB 、∠O 三种方法表示同一个的是（ ）二、填空题1. 如图9-1，AB________AC+BC （填“<”、“>”或“=”），依据是____________.2、如图，∠AOC 与∠BOD 都是直角，如果∠AOB=144°，则∠DOC=3、如果线段AB=5cm ，BC=3cm ，A 、B 、C 三点在同一条直线上，那么A 、C 两点间的距离是__________cm.4、比较20°15′与20.15°的大小关系是5、图中共有________条线段，共有_______条射线，以点C 为端点的射线是____。
七年级数学平面图形及其位置关系
06 空间位置关系初步认识
空间中点、直线、平面位置关系描述
• 中点：连接两点线段的中点，将线段等分为两部分 。
• 直线：由无数个点组成，且任意两点都在该直线上 。直线可以无限延伸，没有端点。
• 平面：由无数个点组成，且任意三点不共线。平面 可以无限延展，没有边界。
• 位置关系描述：点和直线可以有三种位置关系—— 点在直线上、点在直线外、点在直线的延长线上。 两直线可以有三种位置关系——平行、相交、重合 。直线和平面可以有三种位置关系——直线在平面 内、直线与平面相交、直线与平面平行。
空间距离计算方法介绍
直角三角形勾股定理应用
勾股定理
在直角三角形中，两直角边的平 方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满 足a²+b²=c²，那么这个三角形
是直角三角形。
勾股定理的应用
用于求解直角三角形中的未知边 长或角度，以及解决一些实际问
题如最短路径问题等。
三角形全等条件及证明方法
全等三角形的定义
定义法
判定定理
两条直线相交成直角时，这两条直线 互相垂直。
在同一平面内，如果两条直线都垂直 于同一条直线，那么这两条直线互相 垂直。
性质法
利用平行线的性质，若两条直线分别 与第三条直线垂直，则这两条直线互 相垂直。
平行四边形中平行与相交关系
1 2
平行四边形定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
射线
有一个固定端点，另一端 无限延伸。
线段
有两个端点，长度有限， 可以度量。
知识点3
深师教育 83482818 83483108 益田路 3002 号东方雅苑写字楼 1C1 平面图形及其位置关系———三角形和四边形的认识与证明Ⅰ.考点透视一、平面图形及其位置关系1.直线、射线与线段的区别与联系2.角(角的两种定义、角的分类、角的度量以及余角、补角的概念和性质)3.相交线与平行线(1)相交线(对顶角的概念及其性质、垂线的概念及其性质)(2)平行线(平行线的性质与判定) 例1.如图，在正方形网格中，∠α、∠β、∠γ的大小关系是（ ）A.α>β>γB.α=β>γC.α<β=γD.α=β=γ二、三角形的认识与证明1.三角形(三角形的有关概念、三角形的分类、三角形中的重要线段以及三角形的有关性质)2.全等三角形(全等三角形的性质与判定)3.角平分线与线段的垂直平分线(定义、性质与判定)例2.下列说法：①等边三角形有三条对称轴；②在△ABC 中，若a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形；③等腰三角形的一边长为4，另一边长9，则它的周长为17或22；④一个三角形中至少有两个锐角。
其中正确的个数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个三、四边形的认识与证明1.平行四边形(平行四边形的定义、性质与判定)2.特殊的平行四边形(1)矩形(定义、性质与判定)(2)菱形(定义、性质与判定)(3)正方形(定义、性质与判定)3.梯形(等腰梯形的定义、性质与判定)4.多边形(多边形的性质及其正多边形的特征)例3.(1)正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）A.四边都相等B.对角线互相垂直且平分C.对角线相等D.对角线平分一组对角(2)下列命题中假命题的是（ ）A.对角线互相平分的四边形是平行四边形.B.两条对角线相等的四边形是矩形.C.两条对角线互相垂直的矩形是正方形D.两条对角线相等的菱形是正方形(3)检查一个门框是矩形的方法是（ ）A.测量两条对角线是否相等B.测量有三个角是直角C.测量两条对角线是否互相平分D.测量两条对角线是否互相垂直(4)顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（ ）A.矩形B.菱形C.梯形D.正方形(5)菱形的周长等于高的8倍，则其最大内角等于（ ）A.60°B.90°C.120°D.150°(6)矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，E 、F 是AC 的三等分点，则△BEF 的面积是（ ）A.8B.12C.16D.24。
北师大版数学七年级上册第四章平面图形 复习
则AC的长是( C )
A.2
B.8 C.2或8
D.15
．． ． A C1 B
． C
m
数学思想:分类讨论
A.
(2)垂线段的性质
.
B
l
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，
垂线段最短. 简称:垂线段最短
七巧板的构成:
图案设计
1.把一根木条钉牢在墙壁上需要 2 个钉子,
根据是 两点确定一条直线
.
2.如图,军舰从港口沿OB方
向航行,它的方向是( D )
A.东偏南30°
B.南偏东60°
C.南偏西30°
西
1.七巧板游戏 2.图案设计
一.直线、射线、线段的联系以及它们的区别
名称 端点 可向几方 个数 延伸
线 段
2
不可 延伸
射
线1
1
长度是 否
可测量
可以
不行
图形
l
A
B
OM
符号 表示
线段AB 线段l 射线OM
直 线
无
2
不行
l
A
B
直线AB 直线l
1.如图,下列说法正确的有( C )
① 直线AB与直线BA是同一条直线; ② 射线AB与射线BA是同一条射线; ③ 线段AB与线段BA是同一条线段; ④ 图中有两条射线.
4.角的比较 1周角=2平角=4直角
5.角平分线的定义
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角 分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
推理格式:
B
AC 平分BAD
BAC = CAD
C
BAC = 1 BAD ,CAD = 1 BAD
【小升初】数学奥数第15讲：平面图形及其位置关系-教案
（小升初）备课教员：×××第十五讲平面图形及其位置关系一、教学目标： 1. 理解线段、直线、射线等简单的平面图形，了解两点确定一条直线的事实。
2. 了解“两点之间的所有连线中，线段最短”的性质，能借助直尺，圆规等工具比较两条线段的长短。
3. 理解角的有关概念，认识角的表示及度、分、秒，能进行简单的换算。
4. 能掌握锐角、钝角、直角、平角、周角的概念，会比较角的大小。
5. 了解两条直线的平行关系，掌握两条直线平行的符号表示。
6. 了解两条直线的垂直关系，掌握两条直线垂直的符号表示。
7. 能用直尺、三角板、量角器等工具熟练地画垂线、平行线，培养识图与绘图能力。
二、教学重点：综合性几何问题中培养学生养成多角度思考和数形结合的良好习惯。
三、教学难点：提高观察、分析、概括、抽象的能力。
四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分种)师：在我们小学，我们已经学习过一些平面图形，同学们还记得我们学过哪些吗？生：师：是的，这节课我们主要来研究这方面的知识点。
（板书课题：平面图形及其位置关系）师：在小学我们已经学习过线段、射线、直线，现在我们一起来回顾一下这方面的知识点。
也是我们这节课所要学习的东西。
二、星海遨游（43分钟）例题一：（9分钟）如果线段AB=5cm，BC=3cm，那么A、C两点间的距离是（）。
A、8cmB、2㎝C、4cmD、不能确定师：题目中告诉我们AB、BC的两条线段长度，我们先画图表示出线段AB。
生：师：同学们再画出线段BC。
生：师：同学们好像遇到一点麻烦了，我们不知道C点到底画在哪里对吗？生：是的。
师：同学们思考的比较认真，题目中没有告诉我们A、B、C三点是否在同一条直线上，所以C点的位置是没有固定的，所以A、C两点间的距离是不能确定的。
板书：解：D例题二：已知线段AB=20㎝，C为AB中点，D为CB上一点，E为DB的中点，且EB=3㎝，则CD=________cm。
平面与平面的位置关系判定平面与平面的位置关系有哪些平面与平面垂直的性质定理
一、平面与平面的位置关系有且只有两种1、两个平面平行——没有公共点；2、两个平面相交——有一条公共直线。
二、面面垂直性质定理1.如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
2.如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
3.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
4.如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
（判定定理推论1的逆定理）三、平面与平面垂直的性质如果两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。
平面与平面垂直有如下性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一个平面；如果两个平面垂直，那么与一个平面垂直的直线平行于另一个平面或在另一个平面内。
四、面面垂直定义若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。
五、线面垂直定义如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。
是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。
在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”。
六、线面垂直判定定理直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
两个平面的位置关系的符号语言及其图形如下表：。
平面图形及其位置关系
平面图形及其位置关系
1、直线：
将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，它有零个端点。
、
2、射线：
将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，它有一个端点。
3、过两点有且只有一条直线。
4、两点之间所有连线中，线段最短；两点之间线段的长度，叫做这两点之间的
距离。
、
5、角的定义
静态定义：角是具有两条就有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点
动态定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。
6、角平分线的定义：
从角的一个顶点引出一条射线，把这个角平分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
7、两个角的两条边互相平行时，这两个角和为180度或相等。
8、平行：
定义：同一平面内，不相交的两条线叫做平行。
画法：一、靠二、移三、画
性质：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行
9、垂直：
定义：两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直
垂足：互相垂直的两条直线的交点
性质：平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
垂线段最短。
10、直线，线段，射线：。
第四章《平面图形及其位置关系》复习总结
第四章《平⾯图形及其位置关系》复习总结第四章《平⾯图形及其位置关系》复习⼀、线段、射线、直线意义：性质：两点之间，线段最短表⽰：线段AB （或BA ），线段b线段⽐较⼤⼩：度量法，叠合法两点间的距离重要概念线段的中点意义：射线表⽰：射线OA意义：直线表⽰：直线AB （或BA ），直线m性质：两点确定⼀条直线注意：1.表⽰线段，射线，直线时，在字母前要注明“线段”“射线”或“直线”；2.线段，射线都可看作直线的⼀部分；3.射线，直线没有长度，线段有长度；4.⽤两个⼤写字母表⽰线段或直线时，两个字母没有顺序性，但表⽰射线的两个⼤写字母必须把端点字母放在前⾯；5.线段可向两⽅延长：延长线段AB （反向延长线段BA ），延长线段BA （反向延长线段AB ）；6.射线只能反向延长；7.端点相同，延伸⽅向相同的射线是同⼀条射线；8.AM=MB 并不能说明点M 是线段AB 的中点，需添上条件“M 在线段AB 上”；9.“距离”与“线段”、“路程”不同.结论：平⾯内n 条直线，最多．．可有()21-n n 个交点；过平⾯上n 个点中的两个点，最多．．可画()21-n n 条直线；n 个班进⾏单循环⽐赛，共⽐赛()21-n n 场； n 个⼈相互握⼿的总次数为()21-n n 次；D CB A O B A 直线上有n 个点，则⼀共有()21-n n 条线段；有公共端点的n 条射线共可组成()21-n n 个⾓；平⾯内n 条直线最多．．可将平⾯分成222++n n 个部分. 练习：1.分别画出下列图形：⑴直线l 经过点C ，D ；⑵点P 在直线m 上，但在直线n 外；⑶取不在同⼀直线上的三点A ，B ，C ，画直线AB ，线段BC ，射线CA ；⑷取不在同⼀直线上的三点P ，Q ，R ，①连接PQ ，并延长⾄E ，②连接RQ 并反向延长⾄F ，③过点R 画射线PR.2.判断题⑴直线l 上有两个端点；⑵经过A ，B 两点的线段只有⼀条；⑶延长线段AB 到C ，使AC=BC ；⑷反向延长线段BC ⾄A ，使AB=BC ；⑸过两点有且只有⼀条直线；⑹直线上的任意两点都可以表⽰这条直线；⑺两条直线相交，只有⼀个交点；⑻三条直线两两相交，共有三个交点；⑼射线AC 在直线AB 上；⑽直线AB 与直线BA 是指同⼀条直线.3.根据下图，下列说法正确的有⑴点B 在线段AC 上；⑵直线AB 经过点C ；⑶点D 不在直线AC 上；⑷点A 在线段BC 的延长线上.4.观察下图，并判断对错⑴线段OA 与线段AO 是同⼀条线段；⑵线段OA 与线段OB 是同⼀条线段；⑶直线OA 与线段BO 是同⼀条直线；⑷射线OA 与射线AO 是同⼀条射线；DC B A m C B A ⑸射线OA 与射线OB 是同⼀条射线；⑹射线OB 与射线AB 是同⼀条射线.5.点与直线的位置关系有种，分别是和 .6.如图，直线上有四点，则图中有条直线，条射线，条线段.7.如果线段AB=5cm ，BC=3cm ，那么A ，C 两点的距离是（）A.8cmB.2cmC.4cmD.⽆法确定8.两根⽊条，⼀根长60cm ，⼀根长100cm ，将它们的⼀端重合，顺次放在同⼀条直线上，此时两根⽊条的中点间的距离是cm.9.已知线段m ，⽤圆规和直尺作⼀条线段 AB ，使AB=2m.思考题如图所⽰，某单位有三个住宅区A ，B ，C （在⼀条直线上）分别住有职⼯30⼈，25⼈，10⼈，已知AB=100m，BC=200m. 该单位为⽅便职⼯上下班，单位的接送车打算在AC 之间只设⼀个停靠点P ，为使所有的⼈步⾏到停靠点的路程之和最短，那么停靠点P 的位置应设在（） A. A 点 B. B 点C. AB 之间D. BC 之间⼆、⾓静态定义动态相关概念：直⾓，平⾓，周⾓，锐⾓，钝⾓⾓⾓的平分线表⽰法：∠A ，∠AOB ，∠1，∠α度量与计算：1°=60′=3600″，1′=60″⼤⼩⽐较：度量法，叠合法注意：1.构成⾓的两个要素是顶点、两边，两边都是射线，⾓的⼤⼩与两边的长短⽆关，只与两边张开的程度有关；2.在初中阶段，如⽆特别说明，所涉及的⾓均指⼩于平⾓的⾓.C D B AE DC B AO 3.不管⽤哪种⽅法表⽰⾓，⾸先要写上符号“∠”，注意区分“∠”与“＜”；4.⽤⼀个⼤写字母表⽰⾓，只适⽤于顶点处只有⼀个⾓的情形5.⾓的平分线是射线，不是直线、线段6.⽤⼀付三⾓板可以画出15°的整数倍的⾓7.如果⼀个⾓的两边分别平⾏于另⼀个⾓的两边，那么这两个⾓相等或互补.练习；1.判断⑴平⾓是⼀条直线；⑵⼀条射线是⼀个周⾓；⑶两条射线组成的图形叫做⾓；⑷两边成⼀直线的⾓是平⾓；⑸有公共端点的两条线段组成的图形叫做⾓；⑹⼀条射线旋转得到⾓；⑺⼀个钝⾓与⼀个锐⾓的差⼀定是锐⾓；⑻两个锐⾓的和⼀定⼤于90°；⑼若∠AOC=∠BOC ，则OC 是∠AOB 的平分线；⑽若∠AOC=21∠AOB ，则OC 是∠AOB 的平分线. 2.如图所⽰，图中⼩于平⾓的⾓有个.3.灯塔A 在灯塔B 的南偏东70°，A 、B 相距4海⾥，轮船C 在灯塔B 的正东，在灯塔A 的北偏东40°，试画图确定轮船C 的位置.4.如图，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∠BOE=20°，∠AOD=40°，求∠DOE 的度数.5.48.26°= ° ′″ 56°25′12″= °6.⼀条船沿北偏东60°的⽅向航⾏⾄某地，然后依原航线返回，船返回时正确的⽅向是 .7.已知∠1，∠2都是钝⾓，甲，⼄，丙，丁四⼈计算()2161∠+∠的结果依次是28°，48°，88°，60°，其中只有⼀个结果正确，那么正确的结果是（）A.甲B.⼄C.丙D.丁三、位置定义：同⼀平⾯内，不相交的两条直线叫做平⾏线表⽰：AB∥CD，m∥n平⾏画法：三⾓板，量⾓器，直尺圆规，⽅格纸等经过直线外⼀点，有且只有⼀条直线平⾏于已知直线性质：位置平⾏与同⼀直线的两直线互相平⾏定义：相关概念：点到直线的距离垂直表⽰：AB⊥CD，m⊥n画法：三⾓板，量⾓器，直尺圆规，⽅格纸等性质：同⼀平⾯内，过⼀点有且只有⼀条直线垂直于已知直线注意：1.平⾏线是相互的，AB∥CD，也可记作CD∥AB;2.⼀条直线有⽆数条直线与其平⾏，但过直线外⼀点却只有⼀条;3.点到直线的距离是⼀个数量，不是指图形（垂线段），⽽是指垂线段的长度练习：1．判断对错⑴不相交的两条直线是平⾏线；⑵同⼀平⾯内，不相交的两条射线叫做平⾏线；⑶同⼀平⾯内，两条直线不相交就重合；⑷同⼀平⾯内，没有公共点的两条直线是平⾏线；⑸过平⾯内⼀点有且只有⼀条直线与已知直线平⾏；⑹两条线段AB，CD没有交点，那么直线AB与直线CD平⾏；⑺平⾏于同⼀直线的两条直线互相平⾏；⑻同⼀平⾯内，不相交的两条射线互相平⾏；⑼同⼀平⾯内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平⾏两种；⑽同⼀平⾯内，经过⼀个已知点能画⼀条直线和已知直线垂直；⑾⼀条直线的垂线可以有⽆数条；⑿过射线的端点与射线垂直的直线只有⼀条；⒀过直线外⼀点和直线上⼀点这两个已知点，可以画已知直线的垂线.2．对直线a，b，c ，若a∥b，a与c相交，那么b与c是什么位置关系？说明理由. 3．在同⼀平⾯内有三条直线，如果要使其中有且只有两条直线平⾏，那么它们（）A.没有交点 B.只有⼀个交点 C.有两个交点 D.有三个交点D C B A D C B A OP N M B A N M O C B A 4．同⼀平⾯内的四条直线⽆论其位置关系如何，它们的交点个数不可能有（）A.2个B.3个C.4个D.5个5．⼀个三棱柱中有多少对平⾏线？6．在平⾯上有三条直线a ，b ，c ，它们之间有哪⼏种可能的位置关系？请画图说明.7．已知平⾏四边形ABCD 如图，过A 点分别作出BC ，DC 边上的⾼AE ，AF.8．如图所⽰，下⾯结论中正确的有个⑴线段AC 与线段BC 互相垂直；⑵线段CD 与线段BC 互相垂直；⑶点C 到AB 的距离是线段CD ；⑷线段AC 是A 到BC 的距离；⑸线段AC 的长度是点A 到BC 的距离.9．点P 为直线l 外⼀点，点A 、B 、C 为直线l 上三点：PA=4，PB=5，PC=2，则点P 到直线l 的距离为（）A ．4B ．2C ．⼩于2D ．不⼤于210．如图，已知点O 在直线AB 上，OP ⊥MN 于点P ，那么（）A ．线段OP 的长度叫做点O 到直线MN 的距离；B ．线段OP 的长度叫做点P 到直线AB 的距离；C ．线段OP 叫做直线AB 到直线MN 的距离；D ．直线OP 的长度叫做点O 与P 两点间的距离. 11．画⼀条线段的垂线，垂⾜在（）A ．线段上B ．线段的端点C ．线段的延长线上D ．以上都可能12．七巧板通常是由个直⾓三⾓形，个正⽅形和个平⾏四边形组成.13．⽤⼀副七巧板分别拼出⑴⼀个等腰梯形；⑵长⽅形；⑶平⾏四边形，并在图中找出⼀个锐⾓、⼀个直⾓、⼀个钝⾓、⼀对平⾏线段、⼀对互相垂直的线段.14.点M 为线段AB 的三等分点，且AM=6，求AB 的长.15．如图，点O 是直线AB 上⼀点，过O 画射线OC ，OM ，ON ，且OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，那么射线OM ，ON 之间有什么位置关系？说明你的理由.。
图形的位置关系与判定
图形的位置关系与判定图形的位置关系与判定是数学领域中一个重要的概念。
在几何学中，图形的位置关系指的是不同图形之间的相对位置，而图形的判定指的是判断一个图形是否满足某种特定的位置关系。
本文将介绍一些常见的图形位置关系及其判定方法。
一、图形的位置关系1. 平行关系平行关系是最基本的图形位置关系之一。
当两条直线或两个平面上的点、线或面互不相交，并且距离始终相等时，我们称它们为平行关系。
判定方法：对于平面上两条直线的判定，可以使用斜率来判断。
如果两条直线的斜率相等且不相交，则它们是平行的。
对于三维空间中的平行关系，可以利用向量的方法进行判断。
2. 垂直关系垂直关系是指两条直线、线段或两个平面互相垂直的位置关系。
在二维平面中，如果两条直线的斜率相乘等于-1，则可以判定它们垂直。
判定方法：在二维平面上，两条直线垂直的条件是斜率的乘积为-1。
在三维空间中，可以利用向量的方法计算两个平面的法向量，如果两个法向量垂直，则可以判定它们互相垂直。
3. 相交关系相交关系是指两个图形有公共点或线的位置关系。
在二维空间中，两条直线相交于一点，两条线段相交于一个点或线段，两个平面相交于一条直线。
判定方法：判断两条直线是否相交可以比较它们的斜率和截距。
如果斜率相等且截距不相等，则可以判定两条直线相交。
对于线段和平面的相交判定，常用的方法有直接比较坐标和向量运算。
二、图形的判定1. 同位角判定同位角是指两条平行直线被一条截线所切割，形成的对应角。
如果一条截线与两条平行直线的同位角相等，则可以判定这条直线与另一条直线平行。
判定方法：使用同位角定义，通过测量两个角是否相等来判断平行关系。
2. 内角和判定内角和是指一个图形内部的各个角度之和。
例如，正三角形的内角和是180度。
通过计算图形的内角和，可以判断该图形是否是某个特定图形的角。
判定方法：根据各种图形的内角和公式，计算图形的内角和与特定图形的内角和进行比较，如果相等，则可以判定该图形是特定图形的角。
第四章平面图形及其位置关系 线段、射线、直线PPT课件
M
一方有界 射线OM 一方无限 1个 无
直线 A
B l
直线AB 两方无限 直线 l
0个
无
做一做
拿出直尺和铅笔，用直尺来画线段、直线、射线。
在几何里，我们常用字母表示图形， 一个点可以用一个大写字母表示.
线段、射线、直线的表示方法
（1）线段：
◆ 用两个大写字母（既线段的两端点） 表示 。 如：线段AB或BA
将线段向两个方向无限延长形成了直线
★ 直线没有端点
直线上的两点和他们之间的
部分叫做线段.线段有两个端点 将线段向一个方向无限延长就
形成了射线.射线有一个端点. 将线段向两个方向无限延长 就形成了直线.直线没有端点.
名称
图形
表示方 法
界限
端点 长度
线段 A
a
B
线段AB 线段 a
两方有界
2个
有
射线 O
其特点是__没___有___端___点_______ 。 4. 过一点可以画__无___数___条直线,过两点只可以画__一___条直线。
5.将线段向 一个 方向无限延长就形成了射线 ； 将线段向 两个 方向无限延长就形成了直线
读一读：
这些漂亮的图案是由什么组成的？
线段
本节课你收获了什么
（1）线段、射线、直线的表示方法 （2）射线的表示有方向性，端点字母在前，
◆用一个小写字母表示。
如：线段 a
a
●
●
A
B
(2) 射线：
★ 用两个大写字母（既端点和射线另 外一点，端点必须写在前面）示。 如：射线 OA ，但不能记为射 AO.
ι ★用一个小写字母表示。如：射线
ι
●
《平面图形及其位置》重难点突破及预设方案
《平面图形及其位置关系》重难点突破及预设方案教学目标：：1、在丰富的现实情境中提炼出两直线平行的定义，并会用符号表示和读出来。
2、会用三角板、直尺和量角器在白纸或方格纸中画出平行线。
3、在大量操作探究活动中探索并归纳出平行线的有关性质。
教学重点：提炼与归纳有关平行线的性质教学难点：理解和运用有关平行线的性质教学设想：这课时是通过两直线的位置关系来研究问题，变换了问题研究的角度，教学中应提供大量的现实生活情境让学生在素材中归纳出“平行线段”、“平行线”的定义，并通过大量的操作活动让学生经历平行线的性质探索，发展学生的几何直觉和合情推理能力，初步体会研究数学问题的方法。
在课前应让学生准备好田字格纸一张、铅笔，三角板两个或直尺两个。
教学过程：一呈现素材铺垫引入通过情境，引入问题。
多媒体出示图片，即双杠（两横杠或其中的两支柱，一定要指明对象，铁轨也是如此）和两条铁轨的一部分，同时还借用教室中的黑板上下（左右）边沿引导学生把图片中的横杠、黑板边沿和铁轨的两条钢轨等在黑板上模型化为线段，让学生回忆两条线段间有何位置关系。
目的：由于学生在小学四年级已学习平行等内容（但当时未定义），很容易说得出它们是“平行关系”的结论，进而追问“凭什么得到它们是平行关系？”其目的是让学生感受“两线段没有交点”。
这个引入的设计是出于如下考虑：平行线的定义是针对两直线而言的，而直线向两方无限延伸，这样显得较抽象，并且限于平行直线的素材很少的局限，所以首先让学生接触平行线段，让他们直观感受两线段平行的关系，并体会两线段平行没有交点。
以上素材事先都安排在同一平面内，为了突出定义中的“在同一平面内”，先让学生摆弄手头的笔和列举生活中的平行线段，引导学生两根铅笔在异面中，无交点，但它们不平行，从而强调两线段必须在同一平面内。
效果：从学生熟悉的素材出发，避免生硬的定义，依靠学生的生活经验和感受，自然的引入学习的内容——平行。
同时学生也会举出一些的平行例子。
平面图形及其位置关系
平面图形及其位置关系主要概念1．线段、射线、直线（1）线段：绷紧的琴弦、人行道横线都可以近似地看做线段．线段的特点：是直的，它有两个端点．（2）射线：将线段向一方无限延伸就形成了射线．射线的特点：是直的，有一个端点，向一方无限延伸．（3）直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线．直线的特点：是直的，没有端点，向两方无限延伸．2．线段的中点把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点．利用线段的中点定义，可以得到下面的结论：（1）因为AM=BM=1AB，所以M是线段AB的中点．2AB或AB=2AM=2BM．（2）因为M是线段AB的中点，所以AM=BM=123．角由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边．角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角．终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角．4．角平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．5．平行线在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行的关系是相互的，如果AB∥CD，则CD∥AB，其中符号“∥”读作“平行”．6．两条直线垂直当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，其交点叫做垂足，•如直线AB•与直线CD垂直，记作AB⊥CD．7．两点之间的距离两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离．8．点到直线的距离从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．（二）主要性质1．直线的性质经过两点有且只有一条直线，其中“有”表示“存在性”，“只有”表示“惟一性”．2．线段的性质两点之间的所有连线中，线段最短．3．与平行线有关的一些性质（1）平行公理．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（2）平行公理的推论．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．4．垂线性质（1）经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．（关于线）例1：1、①射线与其反向延长线形成一条直线; ②直线a, b相交于点m; ③两直线相交于两点; ④三条直线两两相交, 一定有3个交点.A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个2、直线a, b, c是平面上任意三条不同直线, 交点可能有()A. 1个或2个或3个B. 0个或1个或3个C. 0个或1个或2个D. 0个或1个或2个或3个3、某市汽车站A到火车站F有四条不同的路线, 如图4-2-1所示, 其中路线最短的是()图4-2-1A. 从A经过到FB. 从A经过线段BE到FC. 从A经过折线BCE到FD. 从A经过折线BCDE到F4、(2011湖北黄石, 8, ★★☆) 平面上不重合的两点确定一条直线, 不同的三点最多可确定3条直线, 若平面上不同的n个点最多可确定21条直线, 则n的值为()A. 5B. 6C. 7D. 85、同一平面内有四点，每过两点画一条直线，则直线的条数是（）A．1条B．4条C．6条D．1条或4条或6条例2：1、如图4-2-6, 已知线段AB和CD的公共部分BD=AB=CD, 线段AB、CD的中点E、F之间距离是10 cm, 求AB、CD的长.2、如图所示，B、C两点把线段AD分成2：4：3三部分，M是AD的中点，CD=9，求线段MC的长．练习：1、如图，AB=8㎝,CB=5㎝，D是AC的中点，求DC的长。
平面图形及其位置关系——线段、射线、直线
平面图形及其位置关系——线段、射线、直线一．选择题（共30小题）1．（2013•沈阳一模）2012年12月26日京广高铁全线通车．一列往返于北京和广州的火车，沿途要经过石家庄、郑州、武汉、长沙四站，铁路部门要为这趟列车准备印制（）种车2．（2014•义乌市）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）3．（2013•乐山市中区模拟）如图，一条流水生产线上L1、L2、L3、L4、L5处各有一名工人在工作，现要在流水生产线上设置一个零件供应站P，使五人到供应站P的距离总和最小，这个供应站设置的位置是（）4．（2012•永州）永州境内的潇水河畔有朝阳岩、柳子庙和迴龙塔等三个名胜古迹（如图所示）．其中柳子庙坐落在潇水之西的柳子街上，始建于1056年，是永州人民为纪念唐宋八大家之一的柳宗元而筑建．现有三位游客分别参观这三个景点，为了使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总和最短．那么，旅游车等候这三位游客的最佳地点应在（）5．（2007•厦门）下列语句正确的是（）7．有下列说法：①电线杆可看做射线，②探照灯光线可看做射线，③A地到B地的高速10．一条铁路原有m个车站，为了适应客运的需要新增加了n个（n＞1）车站，则客运车14．下列说法中：①过两点有且只有一条直线，②两点之间线段最短，③到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点，④线段的中点到线段的两个端点的距离相等．其中正确的16．如图，图中共有（）条线段．B18．下列说法错误的是（ ）22．有下列说法：①平角是一条直线；②线段AB 是点A 与点B 的距离；③射线AB与射线BA 表示同一条直线；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤圆柱的侧面是23．阅读相关文字找规律：2条直线相交，只有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；24．如图，已知点M 是线段AB 的中点，N 是线段AM 上的点，且满足AN ：MN=1：2，若AN=2cm ，则线段AB=（ ）25．在同一平面内有不重合的三个点，过每两个点画一条直线，则共能画出（ ）条直线．26．请你数一数，右图中共有（）条线段．27．在同一平面内有四个点，过其中任意两点画直线，仅能画出四条直线，则这四个点的位28．如图，图中的线段和射线分别有（）B30．如图，AB=8cm，AD=BC=5cm，则CD等于（）平面图形及其位置关系——线段、射线、直线参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2013•沈阳一模）2012年12月26日京广高铁全线通车．一列往返于北京和广州的火车，沿途要经过石家庄、郑州、武汉、长沙四站，铁路部门要为这趟列车准备印制（）种车2．（2014•义乌市）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）3．（2013•乐山市中区模拟）如图，一条流水生产线上L1、L2、L3、L4、L5处各有一名工人在工作，现要在流水生产线上设置一个零件供应站P，使五人到供应站P的距离总和最小，这个供应站设置的位置是（）4．（2012•永州）永州境内的潇水河畔有朝阳岩、柳子庙和迴龙塔等三个名胜古迹（如图所示）．其中柳子庙坐落在潇水之西的柳子街上，始建于1056年，是永州人民为纪念唐宋八大家之一的柳宗元而筑建．现有三位游客分别参观这三个景点，为了使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总和最短．那么，旅游车等候这三位游客的最佳地点应在（）7．有下列说法：①电线杆可看做射线，②探照灯光线可看做射线，③A地到B地的高速8．下列条件中，能确定点A、B、C在同一条直线上的是（）10．一条铁路原有m个车站，为了适应客运的需要新增加了n个（n＞1）车站，则客运车14．下列说法中：①过两点有且只有一条直线，②两点之间线段最短，③到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点，④线段的中点到线段的两个端点的距离相等．其中正确的16．如图，图中共有（）条线段．B18．下列说法错误的是（）个点之间有条线段，代入即可求得条线段求解．22．有下列说法：①平角是一条直线；②线段AB是点A与点B的距离；③射线AB与射线BA表示同一条直线；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤圆柱的侧面是23．阅读相关文字找规律：2条直线相交，只有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；==4524．如图，已知点M是线段AB的中点，N是线段AM上的点，且满足AN：MN=1：2，若AN=2cm，则线段AB=（）25．在同一平面内有不重合的三个点，过每两个点画一条直线，则共能画出（）条直线．26．请你数一数，右图中共有（）条线段．27．在同一平面内有四个点，过其中任意两点画直线，仅能画出四条直线，则这四个点的位28．如图，图中的线段和射线分别有（）B30．如图，AB=8cm，AD=BC=5cm，则CD等于（）。
平面图形及其位置关系——角的比较
专题二：平面图形及其位置关系——角【知识点精讲】（一）知识要点：1、角的概念：①静态：角是由两条具有的射线组成的图形（形状）；②动态：角可以看作是由一条射线而成的图形（形成）。
2、角的表示方法：①三个大写字母表示（注意：顶点字母在）；②一个大写字母表示（注意：顶点字母处只有个角时）；③用一个数字表示；④用一个希腊字母表示。
3、角平分线概念：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
用几何语言表述：（1）∵OC平分∠AOB∴∠AOC＝＝12，或∠AOB＝＝（2）∵∠AOC＝＝12，或∠AOB＝＝∴OC平分∠AOB4、平角、周角的概念：（二）方法指导：（1）角的比较方法：①度量法；②重叠法（2）角的分类：小于平角的角按大小分为（3）角的单位的互化：1°＝分，1′＝秒；（4）生活中的一些运用：方位角（如西南方向是指南偏西45°等）、钟面上的夹角问题等；（5）角的和、差、倍、分的计算。
【习题部分】第一部分：基础知识应用1、如图所示：（1）∠AOC＝＋∠AOC＝－（2）∠AOD－∠AOB＝＋（3）∠BOC＝∠AOC－＝－∠COD2、将一张长方形的纸条按图中那样折叠后，若得到∠AOB′＝70°，则∠B′OG＝3、将一长方形的纸片按图中所示方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD＝4、如图所示，已知∠AOB＝∠COD＝90°，则∠AOD＋∠BOC＝5、将两块直角三角板的直角顶点重合，如图所示，若∠AOD＝128°，则∠BOC＝6、如图所示，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合与点O，则∠AOC＋∠DOB的度数为7、如图所示，∠AOB是直角，已知∠AOC：∠COD：∠DOB＝2:1:2，那么∠COB＝8、已知α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算()1+6αβ的结果依次是28°、48°、88°、60°，其中只有一个结果是正确的，那么算得正确结果的是9、如图所示，将一副三角板的直角顶点重合放置于点A处（两块三角板看成在同一平面内），下列结论一定成立的是（）A、∠BAE＜∠DAC B、∠BAE－∠DAC＝45°C、∠BAE＋∠DAC＝180° D、∠BAD≠∠EAC10、在8:30时，估计时钟上的分针与时针之间的夹角为（）A、60°B、70°C、75°D、85°11、两角之比为7:3，之差为72°，则这两个角的度数为（）A、125°，54°B、126°，54°C、110°，78°D、126°，53°12、已知在同一平面内的三条射线OA、OB、OC，能确定OC是∠AOB的角平分线的是（）A、∠AOC＝∠BOC B、∠AOB＝2∠AOC C、∠BOC＝12∠AOB D、∠AOC＝12∠AOBAE13、如图所示，O是直线AB上一点，OD、OE 分别是∠AOC与∠BOC的平分线，求∠DOE 的度数。
第四章《平面图形及其位置关系》水平测试(含答案)
第四章《平面图形及其位置关系》水平测试（满分：120分 时间：100分钟）一、精心选一选（每题3分，共30分） 1.下列说法正确的是( )A 、两点之间，线段最短B 、射线就是直线C 、两条射线组成的图形叫做角D 、小于平角的角可分为锐角和钝角两类 2．两个锐角的和（ ）A.一定是锐角B.一定是直角C.一定是钝角D.可能是钝角、直角或钝角 3．如图，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，若MN=a,BC=b.则线段AD 的长是（ ）A 、2（a －b ）B 、2a －bC 、a+bD 、a －b4．已知∠AOB=30°，∠BOC=80°，∠AOC=50°，那么（ ） A 、射线OB 在∠AOC 内 B 、射线OB 在∠AOC 外C 、线OB 与射线OA 重合D 、射线OB 与射线OC 重合 5．如图所示，∠1=15°，∠AOC=90°，点B 、O 、D 在同一直线上，则∠2的度数为（ ） A 、75° B 、15° C 、105° D 、165°6．在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40°方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ） A 、南偏西50°方向 B 、南偏西40°方向 C 、北偏东50°方向 D 、北偏东40°方向7．按下列线段长度，可以确定点A 、B 、C 不在同一条直线上的是( ) A 、AB=8㎝，BC=19㎝，AC=27㎝； B 、AB=10㎝，BC=9㎝，AC=18㎝ C 、AB=11㎝，BC=21㎝，AC=10㎝；D 、AB=30㎝，BC=12㎝，AC=18㎝8.学校、电影院、公园在平面图上的标点分别是A 、B 、C ，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西25°方向，那么平面图上的∠CAB 等于( ) A 、115° B 、155° C 、25° D 、65° 9.下列说法中正确的是( )A 、在同一平面内，两条不平行的线段必相交B 、在同一平面内，不相交的两条线段是平行线C 、两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行D 、一条直线有可能同时与两条相交直线平行 10.下列结论正确的有( )A 、如果a ⊥b,b ⊥c,那么a ⊥cB 、a ⊥b,b ∥c,那么a ∥cC 、如果a ∥b,b ⊥c, 那么a ∥cD 、如果a ⊥b,b ∥c,那么a ⊥c 二、耐心填一填（每题3分，共30分）11．要整齐地栽一行树，只要确定下两端的树坑的位置 ，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是_________________ 12．上午10点30分,时针与分针成___________度的角。
第22讲 平面图形及其位置关系
性 质 必 须 分 清 和 牢 记 ． Ｐ考 题 型 中 ． 及 该 在 涉 内 各 的 多为 填 空 题 或 选 择 题 ．
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１ 在 平 面 内 ， 条 不 相 交 的 直 线 叫 ． ２ 平行线 的划定 ： ． （ 位 角 同 ， 直线 平 行 ； 两 ③ 内 错 角 ， 两 线 平 行 ； ③ 旁 内 角 ． 直线平 行． 两 ３ 平行线 的性质 ： ． ① 两直线 平｝ ， ② 两 苴线 平 ， ③ 两 线 平 行 ． ４ 荇 两 个 ， 的 和 等 于 ． 『 ｊ ， 称 这 两 个 角 则 则 互 为余 角 ； 两 个 角 的 和 等 于 若 称 这 两 个 角 为 补 角 ； 角 或 等 角 的 余 角 ； 角 或 等 角 的 补 角 ． ５ 若 个 角 有 公 共 顶 点 ， ・一 角 的 两 边 是 ． 且 个 另 ． 、 的 两 边 的 反 向 延 长 线 ， 称 这 两 １ 角 则 个 角 为 ． ６ 同 行 ｒ 一条 Ａ 线 的 两 条 直 线 ． ； 同 垂 予 一 条 直 线 的 两 条 线 ．
七年级上册第四章 平面图形及其 位置关系的知识
七年级上册第四章平面图形及其位置关系一、线段、射线和直线1、知识网络意义：性质：两点之间，线段最短表示：线段AB（或BA），线段b线段比较大小：度量法，叠合法两点间的距离重要概念线段的中点意义：射线表示：射线OA意义：直线表示：直线AB（或BA），直线m性质：两点确定一条直线2、线段、射线、直线的区别和联系直线、射线、线段之间的区别：联系：射线是直线的一部分。
线段是射线的一部分，也是直线的一部分3、线段、射线、直线的表示方法（1）线段的表示方法有两种：一是用两个端点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。
（2）射线的表示方法只有一种：用端点和射线上的另一个点来表示，端点要写在前面。
（3）直线的表示方法有两种：一是用直线上的两个点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。
4、直线公理：过两点有且只有一条直线。
简称两点确定一条直线。
例题：如图，从A地到B地有多条道路，一般地，人们会走中间的直路，而不会走其他的曲折的路，这是因为（ ）A ．两点之间线段最短B ．两直线相交只有一个交点C ．两点确定一条直线D ．垂线段最短A B5、线段公理：“两点之间，线段最短”。
连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。
6、线段的比较（1）叠合比较法：把一条线段移到另一条线段上，使一端对齐，从而进行比较 （2）度量比较法：用刻度尺分别量出两条线段的长度从而进行比较。
例题：作一条线段等于已知线段现在我们来解决这个问题。
作法：（1）作射线AM（2）在AM 上截取AB= a 。
则线段AB 为所求。
练习：应用：已知线段a 、b ，求作线段AB=a+b 。
解：（1）作射线AM ；（2）在AM 上顺次截取AC=a ，CB= b 。
则AB= a+b 为所求。
做一做：作线段AB=a-b 。
7、线段的中点：如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫这条线段的中点。
利用线段的中点定义，可以得到下面的结论：M · · A M B ·· A a bC（1）因为AM=BM=12AB ，所以M 是线段AB 的中点． （2）因为M 是线段AB 的中点，所以AM=BM=12AB 或AB=2AM=2BM ．例题：如图（1），点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与BM ，点M 叫做线段AB 的中点；记作AM=MB 或AM=MB=1/2AB 或2AM=2MB=AB 。
七年级数学第四章《平面图形及其位置关系》专项练习(含答案)
第四章《平面图形及其位置关系》专项练习在本章中，我们不仅能从测量、折纸、画图等活动中学到线段、直线、射线、角等简单的平面图形，以及两直线平行、垂直的位置关系和特征，而且还可以自己创作出新颖、有趣的七巧板拼图，用尺规设计出精美、别致的图案，这样，你自己也会成为一名小小的设计师，更会感受到美就在我们身边．考点一：直线、射线线段 1．考点分析：考查直线、射线、线段的性质以及直线与线段计数问题，线段的计算及简单的语言的认识与应用，多以填空、选择的形式出现2．典例剖析例1．在表示直线时，常常要用到直线上的两个点表示，这条直线为什么不用一个点，三个点或更多的点表示直线？答：因为过一点可作无数条直线，即一点不能确定一条直线，所以不能用一点表示一条直线，而两点确定一直线，用直线上三个点或更多的点表示太繁，一般来说也没必要，因此用两点最简单明了．例2．（1）如图1，从教室门A 到图书馆B ，总有少数同学不走边上的路而横穿草坪，这是为什么？请你用所学的数学知识来说明这个问题．（2）如图2，A 、B 是河流L 两旁的两个村庄，现在要在河边修一个引水站向两村供水，问引水站修在什么地方才能使所需要的管道最短？请在图中表示出点P 的位置，并说明你的理由．（3）你赞同以上的做法吗？你认为应用 科学知识为人民服务应注意什么？分析：利用“两点之间，线段最短”．答：（1利用的是两点之间，线段最短．（2）连接A 、B两点与L 相交，交点就是P 的位置，根据两点之间，线段最短． （3）第一种做法不对，践踏草坪不道德；第二种做法对，节省物质．例3．已知线段AB=8cm ，在直线AB 上画线段BC ，使它等于3cm ，求线段AC 的长． 解：当点C 在线段AB 的延长线时，如图3， AC=AB+BC=8+3=11（cm ） 当点C 在射线BA 上时，如图4，AC=AB-BC=8-3=5（cm ） 所以线段AC 的长为11cm 或5cm ．评注：这是一道读句画图计算题，只要按照题意，正确地画出图形，这里还要注意分类讨论的数学思想，否则容易漏解． 专练一： 1．一般来说，把门安装在门框上需要两个合页，这是为什么呢？2．“已知线段AB ，在BA 的延长线上取一点C ，使CA=3AB ，（1）线段CB 是线段AB 的几倍？（2）线段AC 是线段CB 的几分之几？”3．如图5，平原上有A 、B 、C 、D 四个村庄，为了解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．不考虑其他因素，A L图2·· · A C B 图4 ·· · B A C 图3H B · A · ·C ·D E F ┒ ≈ ≈ ≈≈ ≈ ≈图5请你画图确定蓄水池H 点的位置，使它与四个村庄的距离之和最小． 4． 如图6，在正方体两个相距最远的顶点处有一只苍蝇B 和蜘蛛A ， 蜘蛛可从哪条最短的路径爬到苍蝇处？试说明你的理由．5．在同一平面上，1条直线把一个平面分成22112++=2个部分，2条直线把一个平面最多分成22222++=4个部分，3条直线把一个平面最多分成22332++=7个部分，那么8条直线把一个平面最多分成 部分， n 条直线把一个平面最多分成 部分．6．问题：在直线上有n 个不同点，则此直线上共有多少条线段？考点二：角的度量、表示与比较 1．考点分析：角的度、分、秒的转换与计算，角的计数等内容是中考的热点，多以填空题、选择题的形式出现2．典例剖析例1．下图中有几个角？是哪几个角？分析：由一点引n 条射线所组成的角的个数共有(1)1234(1)2n n n -+++++-=L 个，此题从O 出发有4条射线，n=4，此时(1)62n n -=．解：图中有6个角，分别为∠AOB 、∠AOC 、∠AOD 、∠BOC 、∠BOD 、∠COD ． 例2．如图7，一幅三角板的两个直角顶点重合在一起，（1）比较∠EOM 和∠FON 的大小，并说明为什么？（2）∠EON 与∠FOM 的和是多少度？为什么？解：由三角板可知∠EOM+∠FOM=900，∠FOM+∠FON=900， 所以∠EOM=∠FON ，又因为∠EON=∠EOM+∠FOM+∠FON ， 所以∠EON+∠FOM=∠EOM+∠FOM+∠FON+∠FOM= 900+900=1800．例3．如图8，OA 是表示北偏东300方向的一条射线，仿照这条射线，画出展示下列方向的射线：（1）南偏东250；（2）北偏西600．分析：（1）以正南方向的射线为始边，向东旋转250， 所成的角的终边OB 即为所求的射线．（2）以正北方向的射线为始边，向西旋转600， 所成的角的终边OC 即为所求的射线．解：如图8所示：B图6 O A BCD图6东 O 西 南 北 30A 600东 O 西 南 北 250B C 图8 图9 图7O A B P QR图１专练二： 1．（2006年潍坊市）用A B C ，，分别表示学校、小明家、小红家，已知学校在小明家的南偏东25︒，小红家在小明家正东，小红家在学校北偏东35︒，则ACB ∠等于（ ） A ．35︒ B ．55︒ C ．60︒ D ．65︒ 2．如图10，已知∠AOC =∠BOD =75°，∠BOC =30°，求∠A OD.3．如图11，已知O 是直线AB 上的点，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB 的平分线，求∠DOE 的度数.4．如图12，∠AOB=900，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线， 求∠MON 的大小．考点三：直线与直线的位置关系1．考点分析：直线与直线的位置关系有两种：平行与垂直，有关平行线的定义的辨析题和平行线性质的应用以及垂线、垂线段的概念、性质是中考的主要考点，多以填空题、选择题为主2．典例剖析例1．已知：如图１，∠A0B 的两边 0A 、0B 均为平面反光镜， ∠A0B =40o．在0B 上有一点P,从P 点射出一束光线经0A 上的Q 点反射后,反射光线QR 恰好与0B 平行,则∠QPB 的度数是（ ）A ．60°B ．100 °C ． 80°D ．120°分析：本题考察相交线、平行线的问题，题目非常简单． 答案为C ．评注：本题把考察相交线、平行线的问题，放置在生活中的实际背景中，贴近生活，体现了数学的现实性、实用性，题目灵活，重点考察学生的数学素养．例2．按如图所示的方法将圆柱切开，所得的截面中 有没有互相平行的线段？答案：有．即：AB ∥CD AD ∥BC评注：由于圆柱的上、下底面平行，按照这样截法 阴影部分为平行四边形例3．体育课上，老师是怎样测量同学们的跳远成绩的？ 你能尝试说明其中的理由吗？理由：将尺子拉直与踏板边沿所在的直线垂直，量取最近的脚印与踏板边沿之间的距离. “垂线段最短”．专练三：1．下列说法错误的是（ ）A.直线a ∥b ，若c 与a 相交，则b 与c 也相交BAC M N O图12图10图12G C FMA HED BNB.直线a 与b 相交，c 与a 相交，则b ∥cC.直线a ∥b ，b ∥c ,则a ∥cD.直线AB 与CD 平行，则AB 上所有点都在CD 同侧2．如右图，过C 点作线段AB 的平行线，说法正确的是（ ）A.不能作B.只能作一条C.能作两条D.能作无数条 3．将一张长方形纸对折，使OA 与OB 重合，这时∠AOC 是什么角？为什么？4．如图，哪些线段是互相垂直的，请利用量角器或直尺等工具将它们找出来.5.如图,所示是楼梯台阶的一部分,与面AB-DC 垂直的棱有哪些?6．读下列语句作图（1）任意作一个∠AOB . （2）在角内部取一点P .（3）过P 分别作PQ ∥OA ，PM ∥OB .（4）若∠AOB =30°，猜想∠MPQ 是多少度？考点四：平面图形问题1．考点分析：这部分内容主要是指：有趣的七巧板与图案设计两部分，利用七巧板的原理拼图以及用基本的图形，通过想象，设计一些个性化的图案，多以填空题、选择题为主2．典例剖析例1．如图1，用一块边长为22的正方形ABCD 厚纸板，按照下面的作法，做了一套七巧板：作对角线AC ，分别取AB 、BC 中点E 、F ，连结EF ；作DG ⊥EF 于G ，交AC 于H ；过G 作GL ∥BC ，交AC 于L ，再由E 作EK ∥DG ，交AC 于K ；将正方形ABCD 沿画出的线剪开，现用它拼出一座桥（如图2），这座桥的阴影部分的面积是（ ）A.8B.6C.4D.5分析：本题先将正方形割成七巧板，然后再拼成一座桥，因此不难发现阴影部分是由5个小板构成的，由于拼图前后图形的总面积以及7个小板的面积不变，所以这座桥的阴影部分的面积应是正方形面积的一半，即阴影部分的面积为4，故选C例2．（1）在七巧板中（如图1），找几组平行线或垂直的线段？ （2）在七巧板中（如图），直角、锐角、钝角有哪些？ 分析：根据七巧板中每个图形的特点可以得到： （1）平行线有：AB ∥DC ；EK ∥HG ；LG ∥CF 等； 垂直的线段有：EK ⊥AC ；GH ⊥AC ；EG ⊥HG 等（2）锐角12个：∠BAH ；∠FGL ；∠HGL 等，它们均为450 直角有：∠AHG ；∠HKE ；∠LHG ；∠KEG 等； 钝角有：∠CLG ；∠CFG ，它们均内为1350例3．如图3，将标号为A 、B 、C 、D 的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为P 、Q 、M 、N 的四组图形．试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系，填空：A 、与____对应B 、与____对应C 、与____对应D 、与_____对应分析：根据剪拼前后，小块图形的大小，形状不变的特点，仔细观察每个正方形中的小块图形的特征，以此判断出：A 与M 对应；B 与P 对应；C 与Q 对应；D 与N 对应专练四：1.如图1是利用七巧拼成风的图案,在这个图案中找出二组平行线是_ __.(1)E C FM A HD BG(2)EC FA DBG(3)2.如图2是利用七巧板拼成的山峰的图案, 在这个图案中找出二组互相垂直的线段是___________________.3.如图3是利用七巧板拼成的数字3,这个图案中直角的个数是( ) A.5 B.9 C.7 D.8图3 图2 图14．七巧板是我国祖先创造的一种智力玩具，它来源于勾股法，如图4①整幅七巧板是由正方形ABCD 分割成七小块（其中：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形）组成，如图4②是由七巧板拼成的一个梯形，若正方形ABCD 的边长为12 cm ，则梯形MNGH 的周长是____cm （结果保留根号）.5.用你所制作的七巧板,拼成一个等腰直角三角形与一个梯形,并在纸上画出所拼的图案. 6．今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请你设计三种不同的修筑方案．（只需画简图）7种不同形状的平面图形？请你画出拼成的图形．参考答案专练一：1．答：是因为经过两点有一条直线且只有一条直线．2．若学生不会画图，很难得到其数量关系，但学生只要把图画出来，其数量关系就一目了然．3．解：如图5所示：连结AD 、BC ，交于点H ，则H 为所求蓄水池点． 4．解：分析：我们可以借助正方体的展开图找到解题的办法，由于正方体的 展开有不同的方法，因而从A 到B 可用6种不同的方法选取最短的 路径，但每条路径都通过连接正方体两个顶点的棱的中点．因为蜘蛛只能在正方体的表面爬行，所以只要找到这个正方体的展开图，应用“两点之间，线段最短”就可确定最短路径（如图6）． 5．分析：在同一平面上，1条直线把一个平面分成22112++=2个部分，2条直线把一个平面最多分成22222++=4个部分，3条直线把一个平面最多分成22332++=7个部分，可以猜想：8条直线把一个平面最多分成部分2882372++=部分，那么n 条直线把一个平面图5图6A 图6图4最多分成222n n++部分．6．1+2+3+4+…+n=2)1(-⨯nn条线段，专练二：1．1100；2．120°；3．90°4．450．专练三：1．B；2．B；3．90°4．BC⊥AB BC⊥BE BC⊥AE BC⊥CD5.有棱DF,CE,HN,GM6．如图；30°或150°专练四：1．AB∥DC,HG∥BC；2．AG⊥AB,BC⊥CD ___3．B；4．略；5．如答图所示:(1)(2) 6．答案不唯一（如图7）7．答案不唯一（如图8）图7①②③④⑤图8。
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图（7）
A
E
D
B
F G
C
平面图形及其位置关系 一．选择题
1、下列说法正确的是( )
A 、过一点P 只能作一条直线。
B 、射线AB 和射线BA 表示同一条射线
C 、直线AB 和直线BA 表示同一条直线
D 、射线a 比直线b 短
2.从A 到B 最短的路线是( )
A 、A －G －E －
B B 、A －
C －E －B C 、A －
D －G －
E －B D.、A －
F －E －B
3、同一平面内互不重合的三条直线的公共点的个数是( )
A 、可能是0个，1个，2个
B 、可能是0个，2个，3个
C 、可能是0个，1个，2个或3个
D 、可能是1个或3个
4、 直线a 外有一定点A ，A 到a 的距离是5，P 是直线a 上的任意一点，则( ) A 、AP>5 B 、AP 5 C 、AP=5 D 、AP<5
5、下列说法正确的是( )
A 、连结两点的线段叫做两点的距离
B 、过一点能作已知直线的一条垂线
C 、射线AB 的端点是A 和B
D 、不相交的两条直线叫做平行线 6、一个钝角与一个锐角的差是( )
A 、锐角
B 、直角
C 、钝角
D 、不能确定 7、AB=10，AC=16，那么AB 的中点与AC 的中点的距离为（ ）
A 、13
B 、3或13
C 、3
D 、6 8、 下列说法中正确的是( )
A 、8时45分，时针与分针的夹角是30°
B 、6时30分，时针与分针重合
C 、3时30分，时针与分针的夹角是90°
D 、3时整，时针与分针的夹角是30° 9、如图，四条表示方向的射线中，表示北偏东60°的是( )
13、下列图形中，无端点的是（ ）
A 、角平分线
B 、线段
C 、射线
D 、直线 14、下列说法错误的是( )
10、已知AB=10㎝，在AB 的延长线上取一点C ，使AC=16㎝,那么线段AB 的中点与AC 得中点的距离为（ ）
A 、5㎝
B 、
4㎝ C 、3㎝ D 、2㎝
11、下列说法中，正确的个数有（ ）
①两条不相交的直线叫做平行线;②两条直线相交所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直；③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果直线a ∥b,a ∥c,则b ∥c. A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
12、在同一平面内,有三条直线a ，b ，c ，如果,,c b c a ⊥⊥那么a 与b 的位置关系是（ ） A 、相交 B 、平行 C 、垂直 D 、不能确定
13、用边长为1的正方形纸片剪出一副七巧板，并将其拼成如图 的“小天鹅”，则阴影部分的面积是原正方形面积的（ ）
A. B. C.716 D.916
14、 按下列线段长度，可以确定点A 、B 、C 不在同一条直线上的是( )
A 、AB=8㎝，BC=19㎝，AC=27㎝；
B 、AB=10㎝，BC=9㎝，AC=18㎝
C 、AB=11㎝，BC=21㎝，AC=10㎝；
D 、AB=30㎝，BC=12㎝，AC=18㎝ 15、 下列推理中，错误的是( )
A 、在m 、n 、p 三个量中，如果m=n, n=p ，那么m=p.
B. 在∠A 、∠B 、∠C 、∠D 四个角中，如果∠A=∠B ，∠C=∠D ，∠A=∠D ，那么∠B=∠C ；
C. a 、b 、c 是同一平面内的三条直线，如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；
D. a 、b 、c 是同一平面内的三条直线，如果a 丄b ，b 丄c ，那么a 丄c ；
16、 一个人从A 点出发向北偏东60°的方向走到B 点，再从B 点出发向南偏西15°方向走到C 点，则
∠ABC 的度数是( )
A 、75°
B 、105°
C 、45°
D 、135° 17、下列说法正确的是( )
A 、过一点能作已知直线的一条平行线；
B 、过一点能作已知直线的一条垂线
C 、射线AB 的端点是A 和B ；
D 、点可以用一个大写字母表示，也可用小写字母表示 二．填空题
1、在墙上固定一根木条，至少要钉 枚铁钉，理由是 。
2、将弯曲的河道改直，可以缩短航程，是根据 。
3、若AB ∥CD,HG ∥CD,则有 。
4、如图1，若点C 为线段AB 的中点，则AC= =2
1 。
5、用三种方法表示图2的角： ， ， 。
6、如图3，共有
条线段。
7、0.5周角= 平角= 直角= 度。
8、0.15°= ′= ″，25°12′36″= °。
9、若∠1︰∠2︰∠3=1︰2︰3，且∠1+∠2+∠3=180°，则∠2= 度。
10、钟表在3点30分时，时针与分针所成的锐角是 度。
11、在图4中，小于平角的角有 个。
12、将一张正方形的纸片，按如图所示对折两次， 相邻两条折痕(虚线)间的夹角为_______度。
13、如图1，AB 的长为m ，BC 的长为n ，MN 分别是AB ，BC 的中点，则MN=_____ 14、如图2，用“＞”、“＜”或“＝”连接下列各式，并说明理由．
AB ＋BC_____AC ， AC ＋BC_____AB ， BC_____AB ＋AC ，理由是__________ 15、计算：48°39′+67°41′=_________；90°－78°19′40″=___________ 21°17′×5=_______； 176°52′÷3=_________(精确到分)
16、如图3中，∠AOB=180°，∠AOC=90°，∠DOE=90°，则图中相等的角有＿对，分别为_______________；
两个角的和为90°的角有___________对；两个角的和为180°的角有________对．
三、画一画：
1、 如图，已知∠AOB ，画图并回答：
⑴画∠AOB 的平分线OP ；
⑵在OP 上任取两点C 、D ，过C 、D 分别画OA 、OB 的垂线，交OA 于E ，F ，交OB 于G 、H ， ⑶量出CE ，CG ，DF ，DH 的长，由此可得到的结论是什么？ ⑷过C 作MC ∥OB 交OA 于M
A
O
B
2、如图，污水处理厂要把处理过的水引入排水沟PQ ，应如何铺 设排水管道，才能用料最省？试画出铺设管道的路线，并说明理 由。
3、如图方格纸中有一条直线AB 和一格点P ，请在图中过点P 分别画出与AB 平行的直线PM 与AB 垂直的直线PN ，N 为垂足，并用符号表示它们。
四．解答题
1、在直线l 上任取一点A ，截取AB=16 cm ，再截取AC=40 cm ，求：AB 的中点D 与AC 的中点E 之间的距离.
2、（10分）如图，C 是线段AB 上一点，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点 （1） 若AM=1,BC=4,求MN 的长度。
（2） 若AB=6,求MN 的长度。
3、如图所示，OA 丄OB ，OC 丄OD ，OE 为∠BOD 的平分线，∠BOE=17°18′， 求∠AOC 的度数
4，如图，OE 为∠AOD 的平分线，∠COD=4
1
∠EOC ，∠COD=15°，
求：①∠EOC 的大小； ②∠AOD 的大小
C D
E
O A
5，、如图所示，已知点C 是线段AB 的中点，D 是AC 上任意一点，M 、N 分别是AD 、DB 的中点，若AB=16，
求MN 的长。
6、往返于A 、B 两地的客车，中途停靠C 、D 、E 三个站点，问： （1）有多少种不同的票价？
（2）在这段线路上往返行车，要准备多少种车票？(每种车票都要印出上车站与下车站)
五,探索题
1．如图，线段AB 上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB 上有三个点时，线段总共有3条，如果线段AB 上有4个点时，线段总数有6条，如果线段AB 上有5个点时，线段总数共有10条，……
3=2+1 6=3+2+1 10=4+3+2+1
1、当线段AB 上有6个点时，线段总数共有 条。
2、当线段AB 上有100个点时，线段总数共有多少条？
2，(1)如图，已知∠AOB 是直角，∠BOC=30°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，求∠MON 的度数； (2)若(1)中∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON 的大小； (3) 若(1)中∠BOC=β
，(β
为锐角)，其他条件不变，求∠MON 的大小；
(4) 从(1)、(2)、(3)的结果中，能看出什么规律？
A M D C N B
A C
B A
C
D B A C D
E B。