第五章例题
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l =-∞
试求电子在 这些状态的 ∞ ) 波矢。 (3)ψk ( x) = ∑ f ( x - la) ( f是某个确定的函数。 波矢。
ˆ 解： Tψk ( x) = eika k ( x) ψk ( x＋ ) ψ ＝ a
x+a x ika (1)ψk ( x + a) = sin π = e sin π a a x x ika ika - sin π = e sin π ⇒ e = -1 = cos ka + i sinka a a
均值;(3)第一、第二禁带宽度。 第一、第二禁带宽度。 均值 第一
[
]
第一个周期。 解：(1)n=0, 第一个周期。-a+b到b。 到
1 mω2 b2 - x2 V( x) = 2 0
[
]
当- b ≤ x ≤ b 当- a + b ≤ x ≤ -b
1 = mω2b2 2
11
x = ±b时，(± b) = 0, x = 0时，(0) = Vmax V V
2π : 解： (1)k空间分布面积 a
2
(2)状态数目 :
N
(3)每个状态 所占的面积 k :
(2π / a)
N
2
4π 2π = = 2 Na L
2
2
3
(4)单位面积内的状态数目 :
2π L 1 = L 2π
15
解：
ℏ 1 E′(k) = sinka - sin2ka = 0 ma 4
2
1 sinka1- sinka cos ka = 0 2
sinka = 0
ka = nπ
2ℏ2 k = ⇒ E = a a ma 2
2
k = 0 ⇒ E(0) = 0
π
π
2π 3π 2π 3π 2ℏ k= ⇒ E = 0 k = ⇒ E = a a a a ma 2
16
2ℏ 2 ma
2
E
o
(1)能带宽度 能带宽度
π
a
2π a
3π a
2
4π a
k
(2)电子速度 电子速度 1 dE 1 ℏ2 1 v(k) = a sinka - × 2a sin2ka = × 2 ℏ dk k ℏ ma 8
=
m=- ∞
f ( x - ma) = eika k ( x) ψ ∑
∞
m = l -1
eika = 1 ⇒ k = 0
10
28 电子在周期场中的势能
1 2 2 2 当na - b ≤ x ≤ na + b mω b - ( x - na) V( x) = 2 0 ( 当n - 1)a + b ≤ x ≤ na - b 是常数。 试画出势能曲线 试画出势能曲线;(2)求此势能的平 且a=4b，ω是常数。(1)试画出势能曲线 求此势能的平 ， 是常数
2b
(
)
-i
2π 2x a
mω b dx = 2π 2
2 2
Eg2 = 2V2 =
mω2b2
π2
14
30 已知一维晶体的电子能带可写成
ℏ 7 1 E(k) = －cos ka + cos 2ka 2 ma 8 8
2
式中a是晶格常数。试求： 式中 是晶格常数。试求： 是晶格常数 (1)能带宽度； 能带宽度； 能带宽度 (2)电子在波矢 的状态时的速度； 电子在波矢k的状态时的速度 电子在波矢 的状态时的速度； (3)能带底部和能带顶部电子的有效质量。 能带底部和能带顶部电子的有效质量。 能带底部和能带顶部电子的有效质量
3Vℏ 6π N 3 9 9 vp ⋅ ωm = Nℏωm = NkΘD (10)E0 = 2 3 × 16π vp V 8 8
2
限制在边长为L的正方形中 23 限制在边长为 的正方形中 ℏ2 2 (kx + ky2 ) E(kx ,ky ) = 个自由电子， 的N个自由电子，电子能量为： 个自由电子 电子能量为： 2m (1)求能量 到E＋dE之间的状态数； 求能量E到 ＋ 之间的状态数 之间的状态数； 求能量 (2)求此二维系统在绝对零度的费米能量。 求此二维系统在绝对零度的费米能量。 求此二维系统在绝对零度的费米能量
2ℏ 2ℏ ∆E = 2 ma
ℏ2 1 sinka - sin2ka = 2 ma 4
17
(3)有效质量 有效质量
•-1 底
1 d E 1 1 m = 2 = cos ka - cos 2ka 2 ℏ dk m 2
∗-1 2
1 1 1 m = cos 0 - cos 0 = m 2 2m
y
试画出此晶 体的第一、 体的第一、 第二、 第二、第三 布里渊区。 布里渊区。
O
a2
a1
x
22
解： 原胞体积
设a3 = ak
3 3 a Ω = a1 ⋅ (a2 × a3 ) = 2
a 2π [a2 × a3 ] 8π 3a b1 = j ×ak = × i + － 2 Ω 3 3 2 a 2 4π 3 1 i + j = 2 3a 2
12π 4 R -3 b = 2.57×10 = ⇒ΘD = 91K 3 5ΘD
8
一维周期场中电子的波函数ψ 应当满足布罗赫定 26 一维周期场中电子的波函数 k(x)应当满足布罗赫定 理。若晶格常数是a，电子的波函数为： 若晶格常数是 ，电子的波函数为：
x 3x (1)ψk ( x) = sin π ; (2)ψk ( x) = i cos π a a
C = 2.08T + 2.57T
(
3
) mJ/mol ⋅ K
若一摩尔的钾有N＝ × 个电子， 若一摩尔的钾有 ＝ 6×1023 个电子 ， 试求钾的费米 温度和德拜温度。 温度和德拜温度。 7
解：
e a CV = CV + CV = γT + bT
Zπ 2R Zπ 2R e CV = T = γT ⇒γ = 0 0 2TF 2TF
12
1 mω2b2 2
- a- a＋b - b 0 b
(2)由于势能的周期性，只对一个周期求平均即可。 由于势能的周期性，只对一个周期求平均即可。 由于势能的周期性 1 b 1 b1 1 2 2 2 V0 = ∫ V ( x)dx = ∫ mω b - x dx = mω2b2 a - a+b 4b 4b -b 2 6
(
)
(3)
1 Vn = ∫ V( x)e a 0
a
-i
2π nx a
1 dx = ∫ V( x)e 4b - 2b
2b
-i
2π nx a
dx
2
1 1 V1 = ∫ mω2 b2 - x2 e 4b -2b 2
2b
(
)
3
-i
2π nx a
dx =
4mω
Eg1 = 2V1 =
8mω2b2
π3
b2
13
π
1 1 V2 = ∫ mω2 b2 - x2 e 4b - 2b 2
a1 = ai 1 3 a2 = ai + aj 2 2
a2 a1
设a3 = ak
a
19
3 3 3 a ×a = a Ω = a× 2 2
2π [a2 × a3 ] 4π 3 1 b1 = i - j = 2 Ω 3a 2
2π [a3 ×a1 ] 4π b2 = j = Ω 3a
N
3
8π 8π ; = = 3 Na V
3 3
qy
qx
V 1 (4)单位体积内的状态数目 ⇒ 3 = 3； 8π 8π V V (5)分布在 → q + dq内的状态数⇒ 3 × 4πq2dq q 8π
1
V (6)分布在 → q + dq内的角频率数⇒ 3 × 3 × 4πq2dq； q 8π
ω (7)分布在 →ω + dω内的角频率数目 ∵ω = q ⋅ vp ⇒
2 L
dZ mL D( E) = = 2 dE πℏ
2m D( E) = 4πVC 2 h
32
2
ky
k
E
O
dk
kx
5
(8)T＝0K时的费密能量 ＝ 时的费密能量
N=∫
0 EF
0
dZ = ∫
0 EF
0
mL mL 0 dE = 2 EF 2 πℏ πℏ
2
2
dZ mL2 D( E) = = 2 dE πℏ
E =
0 F
πℏ2
mL2
N=
πℏ2
m
nபைடு நூலகம்
ky
n: 电子面密度。 电子面密度。
O
k
dk
kx
ℏ E = 3nπ 2m
0 F
2
(
2 2 3
6
)
金属锂是体心立方晶格，晶格常数为a=3.5Å。试 。 24 金属锂是体心立方晶格，晶格常数为 计算绝对零度时锂的电子气的费米能量E 表示)。 计算绝对零度时锂的电子气的费米能量 F(eV表示 。 表示 解： n = 2 , ℏ = 1.05 ×10- 34 J⋅ S，m = 9.1×10- 31 kg, a3
4π 3 1 2π 同理： b k 同理： 2 = － i + j , b3 = 2 a 3a 2
23
Kn = n1b1 + n2b2
第一布里渊区
①n1 = 1, n2 = 0; ②n1 = 0, n2 = 1; ③n1 = 1, n2 = 1; ④n1 = -1, n2 = 0; ⑥n1 = 0, n2 = -1;
3V ω2 ∴ 2 × 3 dω = ρ(ω)dω 2π vp
(8)E0 = ∫0
ωm
1 3V ω 3Vℏ 3 ℏω × 2 × 3 dω = ωm ⋅ ωm 2 2π vp 16π 2v3 p
2
(9) 3N = ∫0
ωm
ρ(ω)dω = ∫
2
ωm
0
3V ω2 6π 2N 3 3 vp × 3 dω ⇒ωm = 2 vp V 2π
m = 2m
1 1 3 m = cosπ - cos 2π =－ m 2 2m 2 • m顶 =－ m 3
•-1 顶
• 底
18
31 平面正三角形晶格，相邻原子间距为a，试求： 平面正三角形晶格，相邻原子间距为 ，试求： (1)正格子基矢和倒格子基矢； 正格子基矢和倒格子基矢； 正格子基矢和倒格子基矢 (2)画出第一部里渊区，并求此区域的内接圆的半径。 画出第一部里渊区，并求此区域的内接圆的半径。 画出第一部里渊区 解： (1)如图所示，选取正格子基矢 如图所示， 如图所示
ka = π ⇒ k =
π
a
9
3( x + a) 3x π = i cos π ⋅ eika (2)ψk (x + a) = i cos a a
eika = -1 = cos ka + i sinka
ka = π ⇒ k =
∞ ∞ l =- ∞ l =-∞
π
a
(3)ψk (x + a) = ∑ f (x - la + a＝∑ f [x - (l - 1)a] )
2π [a1 × a2 ] 2π b3 = k = a Ω
20
(2)
j
b2
-b1
b1 + b2
o
i
1 2π R = b2 = 2 3a
- b1 - b2
b1 -b2
21
平面正六方形晶格，六角形两个对边的间距为a， 32 平面正六方形晶格，六角形两个对边的间距为 ，基矢
a 3a a 3a a1 = i + j, a2 = - i + j, 2 2 2 2
12π NkB T a = bT 3; CV = Θ 5 D
4
3
12π 4R b= 3 5ΘD
比较可得： 比较可得： = 2.08T + 2.57T 3 m ol ⋅ K C J/m
(
)
Zπ 2R 0 γ = 2.08 ×10-3 = ⇒TF = 1.97 ×104 K 0 2TF
设晶体每个振子的零点振动能是0.5hν。试用德拜 21 设晶体每个振子的零点振动能是 模型求晶体的零点振动能。 模型求晶体的零点振动能。 q
z
2π ⇒ 解： (1)q空间分布体积 a (2)状态数目 N； ⇒
(3)每个状态 所占的体积 q q所占的体积
3
q
O
dq
(2π / a)
2 2
(5)分布在 → k + dk内的状态数: k
L × 2πkdk 2π
2
(6)k → k + dk可容纳的电子数 :
2 L L dZ = 2× × 2πkdk = kdk π 2π 2
4
(7)E → E + dE可容纳的电子数为 :
2mE 2m 1 mL2 dZ = × dE = 2 dE × × π ℏ ℏ πℏ 2E
ℏ E = 3nπ 2m
0 F 2
(
2 2 3
(1.05 ×10 ) ) = 2 × 9.1×10
- 34 2
= 7.5 ×10-19 (J) = 4.7(ev)
2 2 ×3× ×π 3 - 31 3.5 ×10-10
(
)
25 在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成 在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成:
试求电子在 这些状态的 ∞ ) 波矢。 (3)ψk ( x) = ∑ f ( x - la) ( f是某个确定的函数。 波矢。
ˆ 解： Tψk ( x) = eika k ( x) ψk ( x＋ ) ψ ＝ a
x+a x ika (1)ψk ( x + a) = sin π = e sin π a a x x ika ika - sin π = e sin π ⇒ e = -1 = cos ka + i sinka a a
均值;(3)第一、第二禁带宽度。 第一、第二禁带宽度。 均值 第一
[
]
第一个周期。 解：(1)n=0, 第一个周期。-a+b到b。 到
1 mω2 b2 - x2 V( x) = 2 0
[
]
当- b ≤ x ≤ b 当- a + b ≤ x ≤ -b
1 = mω2b2 2
11
x = ±b时，(± b) = 0, x = 0时，(0) = Vmax V V
2π : 解： (1)k空间分布面积 a
2
(2)状态数目 :
N
(3)每个状态 所占的面积 k :
(2π / a)
N
2
4π 2π = = 2 Na L
2
2
3
(4)单位面积内的状态数目 :
2π L 1 = L 2π
15
解：
ℏ 1 E′(k) = sinka - sin2ka = 0 ma 4
2
1 sinka1- sinka cos ka = 0 2
sinka = 0
ka = nπ
2ℏ2 k = ⇒ E = a a ma 2
2
k = 0 ⇒ E(0) = 0
π
π
2π 3π 2π 3π 2ℏ k= ⇒ E = 0 k = ⇒ E = a a a a ma 2
16
2ℏ 2 ma
2
E
o
(1)能带宽度 能带宽度
π
a
2π a
3π a
2
4π a
k
(2)电子速度 电子速度 1 dE 1 ℏ2 1 v(k) = a sinka - × 2a sin2ka = × 2 ℏ dk k ℏ ma 8
=
m=- ∞
f ( x - ma) = eika k ( x) ψ ∑
∞
m = l -1
eika = 1 ⇒ k = 0
10
28 电子在周期场中的势能
1 2 2 2 当na - b ≤ x ≤ na + b mω b - ( x - na) V( x) = 2 0 ( 当n - 1)a + b ≤ x ≤ na - b 是常数。 试画出势能曲线 试画出势能曲线;(2)求此势能的平 且a=4b，ω是常数。(1)试画出势能曲线 求此势能的平 ， 是常数
2b
(
)
-i
2π 2x a
mω b dx = 2π 2
2 2
Eg2 = 2V2 =
mω2b2
π2
14
30 已知一维晶体的电子能带可写成
ℏ 7 1 E(k) = －cos ka + cos 2ka 2 ma 8 8
2
式中a是晶格常数。试求： 式中 是晶格常数。试求： 是晶格常数 (1)能带宽度； 能带宽度； 能带宽度 (2)电子在波矢 的状态时的速度； 电子在波矢k的状态时的速度 电子在波矢 的状态时的速度； (3)能带底部和能带顶部电子的有效质量。 能带底部和能带顶部电子的有效质量。 能带底部和能带顶部电子的有效质量
3Vℏ 6π N 3 9 9 vp ⋅ ωm = Nℏωm = NkΘD (10)E0 = 2 3 × 16π vp V 8 8
2
限制在边长为L的正方形中 23 限制在边长为 的正方形中 ℏ2 2 (kx + ky2 ) E(kx ,ky ) = 个自由电子， 的N个自由电子，电子能量为： 个自由电子 电子能量为： 2m (1)求能量 到E＋dE之间的状态数； 求能量E到 ＋ 之间的状态数 之间的状态数； 求能量 (2)求此二维系统在绝对零度的费米能量。 求此二维系统在绝对零度的费米能量。 求此二维系统在绝对零度的费米能量
2ℏ 2ℏ ∆E = 2 ma
ℏ2 1 sinka - sin2ka = 2 ma 4
17
(3)有效质量 有效质量
•-1 底
1 d E 1 1 m = 2 = cos ka - cos 2ka 2 ℏ dk m 2
∗-1 2
1 1 1 m = cos 0 - cos 0 = m 2 2m
y
试画出此晶 体的第一、 体的第一、 第二、 第二、第三 布里渊区。 布里渊区。
O
a2
a1
x
22
解： 原胞体积
设a3 = ak
3 3 a Ω = a1 ⋅ (a2 × a3 ) = 2
a 2π [a2 × a3 ] 8π 3a b1 = j ×ak = × i + － 2 Ω 3 3 2 a 2 4π 3 1 i + j = 2 3a 2
12π 4 R -3 b = 2.57×10 = ⇒ΘD = 91K 3 5ΘD
8
一维周期场中电子的波函数ψ 应当满足布罗赫定 26 一维周期场中电子的波函数 k(x)应当满足布罗赫定 理。若晶格常数是a，电子的波函数为： 若晶格常数是 ，电子的波函数为：
x 3x (1)ψk ( x) = sin π ; (2)ψk ( x) = i cos π a a
C = 2.08T + 2.57T
(
3
) mJ/mol ⋅ K
若一摩尔的钾有N＝ × 个电子， 若一摩尔的钾有 ＝ 6×1023 个电子 ， 试求钾的费米 温度和德拜温度。 温度和德拜温度。 7
解：
e a CV = CV + CV = γT + bT
Zπ 2R Zπ 2R e CV = T = γT ⇒γ = 0 0 2TF 2TF
12
1 mω2b2 2
- a- a＋b - b 0 b
(2)由于势能的周期性，只对一个周期求平均即可。 由于势能的周期性，只对一个周期求平均即可。 由于势能的周期性 1 b 1 b1 1 2 2 2 V0 = ∫ V ( x)dx = ∫ mω b - x dx = mω2b2 a - a+b 4b 4b -b 2 6
(
)
(3)
1 Vn = ∫ V( x)e a 0
a
-i
2π nx a
1 dx = ∫ V( x)e 4b - 2b
2b
-i
2π nx a
dx
2
1 1 V1 = ∫ mω2 b2 - x2 e 4b -2b 2
2b
(
)
3
-i
2π nx a
dx =
4mω
Eg1 = 2V1 =
8mω2b2
π3
b2
13
π
1 1 V2 = ∫ mω2 b2 - x2 e 4b - 2b 2
a1 = ai 1 3 a2 = ai + aj 2 2
a2 a1
设a3 = ak
a
19
3 3 3 a ×a = a Ω = a× 2 2
2π [a2 × a3 ] 4π 3 1 b1 = i - j = 2 Ω 3a 2
2π [a3 ×a1 ] 4π b2 = j = Ω 3a
N
3
8π 8π ; = = 3 Na V
3 3
qy
qx
V 1 (4)单位体积内的状态数目 ⇒ 3 = 3； 8π 8π V V (5)分布在 → q + dq内的状态数⇒ 3 × 4πq2dq q 8π
1
V (6)分布在 → q + dq内的角频率数⇒ 3 × 3 × 4πq2dq； q 8π
ω (7)分布在 →ω + dω内的角频率数目 ∵ω = q ⋅ vp ⇒
2 L
dZ mL D( E) = = 2 dE πℏ
2m D( E) = 4πVC 2 h
32
2
ky
k
E
O
dk
kx
5
(8)T＝0K时的费密能量 ＝ 时的费密能量
N=∫
0 EF
0
dZ = ∫
0 EF
0
mL mL 0 dE = 2 EF 2 πℏ πℏ
2
2
dZ mL2 D( E) = = 2 dE πℏ
E =
0 F
πℏ2
mL2
N=
πℏ2
m
nபைடு நூலகம்
ky
n: 电子面密度。 电子面密度。
O
k
dk
kx
ℏ E = 3nπ 2m
0 F
2
(
2 2 3
6
)
金属锂是体心立方晶格，晶格常数为a=3.5Å。试 。 24 金属锂是体心立方晶格，晶格常数为 计算绝对零度时锂的电子气的费米能量E 表示)。 计算绝对零度时锂的电子气的费米能量 F(eV表示 。 表示 解： n = 2 , ℏ = 1.05 ×10- 34 J⋅ S，m = 9.1×10- 31 kg, a3
4π 3 1 2π 同理： b k 同理： 2 = － i + j , b3 = 2 a 3a 2
23
Kn = n1b1 + n2b2
第一布里渊区
①n1 = 1, n2 = 0; ②n1 = 0, n2 = 1; ③n1 = 1, n2 = 1; ④n1 = -1, n2 = 0; ⑥n1 = 0, n2 = -1;
3V ω2 ∴ 2 × 3 dω = ρ(ω)dω 2π vp
(8)E0 = ∫0
ωm
1 3V ω 3Vℏ 3 ℏω × 2 × 3 dω = ωm ⋅ ωm 2 2π vp 16π 2v3 p
2
(9) 3N = ∫0
ωm
ρ(ω)dω = ∫
2
ωm
0
3V ω2 6π 2N 3 3 vp × 3 dω ⇒ωm = 2 vp V 2π
m = 2m
1 1 3 m = cosπ - cos 2π =－ m 2 2m 2 • m顶 =－ m 3
•-1 顶
• 底
18
31 平面正三角形晶格，相邻原子间距为a，试求： 平面正三角形晶格，相邻原子间距为 ，试求： (1)正格子基矢和倒格子基矢； 正格子基矢和倒格子基矢； 正格子基矢和倒格子基矢 (2)画出第一部里渊区，并求此区域的内接圆的半径。 画出第一部里渊区，并求此区域的内接圆的半径。 画出第一部里渊区 解： (1)如图所示，选取正格子基矢 如图所示， 如图所示
ka = π ⇒ k =
π
a
9
3( x + a) 3x π = i cos π ⋅ eika (2)ψk (x + a) = i cos a a
eika = -1 = cos ka + i sinka
ka = π ⇒ k =
∞ ∞ l =- ∞ l =-∞
π
a
(3)ψk (x + a) = ∑ f (x - la + a＝∑ f [x - (l - 1)a] )
2π [a1 × a2 ] 2π b3 = k = a Ω
20
(2)
j
b2
-b1
b1 + b2
o
i
1 2π R = b2 = 2 3a
- b1 - b2
b1 -b2
21
平面正六方形晶格，六角形两个对边的间距为a， 32 平面正六方形晶格，六角形两个对边的间距为 ，基矢
a 3a a 3a a1 = i + j, a2 = - i + j, 2 2 2 2
12π NkB T a = bT 3; CV = Θ 5 D
4
3
12π 4R b= 3 5ΘD
比较可得： 比较可得： = 2.08T + 2.57T 3 m ol ⋅ K C J/m
(
)
Zπ 2R 0 γ = 2.08 ×10-3 = ⇒TF = 1.97 ×104 K 0 2TF
设晶体每个振子的零点振动能是0.5hν。试用德拜 21 设晶体每个振子的零点振动能是 模型求晶体的零点振动能。 模型求晶体的零点振动能。 q
z
2π ⇒ 解： (1)q空间分布体积 a (2)状态数目 N； ⇒
(3)每个状态 所占的体积 q q所占的体积
3
q
O
dq
(2π / a)
2 2
(5)分布在 → k + dk内的状态数: k
L × 2πkdk 2π
2
(6)k → k + dk可容纳的电子数 :
2 L L dZ = 2× × 2πkdk = kdk π 2π 2
4
(7)E → E + dE可容纳的电子数为 :
2mE 2m 1 mL2 dZ = × dE = 2 dE × × π ℏ ℏ πℏ 2E
ℏ E = 3nπ 2m
0 F 2
(
2 2 3
(1.05 ×10 ) ) = 2 × 9.1×10
- 34 2
= 7.5 ×10-19 (J) = 4.7(ev)
2 2 ×3× ×π 3 - 31 3.5 ×10-10
(
)
25 在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成 在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成: