关于主理想整环上有限生成模的自同态环的一个结构定理

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抽象代数名词解释

1，抽象1-1映上的映射（30 ）当映射 f 是单射又是满射，称之为双射或 f 是1-1 映上的。

2，二元运算（50）设S上个非空集合，把S×S到S的映射称之为S上的二元运算，简称为S上运算。

3，二元多项式（329）设R是个有1的交换表达式f(x,y)=a0.0+a1.0x+a0.1y+a2.0x2 +a0.2y2+a1.1xy+…+a n.0x n+a n-1. 1x n-1y+…+a0.n y n, a ij∈R,称为R上关于x,y的二元多项式。

4，子环（222）设（R，+，·）上个环，S是R的一个非空子集，如果+和·也是S的运算，且（S，+，·）也是个环，则说（S，+，·）是（R，+，·）的一个子环。

5，子域（334）设（F，+，·）是个域，F上的子集S称为（F，+，·）的子域。

如果（1）（S，+，·）是（F，+，·）的子环，（2）（S，+，·）本身是个域。

6，子集合（3）设A，B都是集合，说集合A是集合B的子集合。

7，子集族（6）设J是一共非空集合（可以有无限多个元素），每个j ∈J对应集合S的一个字集A j，则通常说｛A j︱A j⊆S，j ∈J｝是S的一个以J标号的字集族，J称为指标集。

8，子集生成的子群（80）设G是个群，S为其一非空字集合，℘为G的所有包含S的子群的族，则称子群℘∈HH为S在G中生成的子群，记为〈S〉。

9，子集生成的理想（236）设R是个环，T⊆R，ΦΦT非空，作R的理想族B={I是R的理想，T ⊆I}得到的理想BII∈称之为R的由子集T生（T）。

10.子群（75）设（G，·）是个群，如果G的子集H对于·也构成群，则说（H，·）是（G，·）的子群。

10.么元（59）单位元，恒等元，中性元设·是集合A上的一个运算，如果元素e∈A对任何a∈A都有a*e=e*a=a，则说e是A对于运算·的一个单位元或恒等元，或么元、中性元。

伪内射模及其同调维数

定理５设是半单环当且仅当每个伪内射模是内射模。证明：若是半单环，任意左一模是内射模，则且任意左一是伪内射模，模囚此每个伪内射模是内射
模。
反之，设是伪内射模，则是内射模，有每个短正合列可裂０一子模，么是半单模，以环是半单环。那所
４２
长
春
大
学
学
报
第２１卷
下面，论左内射整体维数与左伪内射整体维数之间的关系。讨
定理２对于环Ｒ，ｉ尺ｉＲ）ｌＤ（）Ｄ（。ｐ
证明：设为左尺一模，ｐｄ则ｉ
ｐｄＭ，以ｌｉ）Ｄ（。ｉＲ所ｐＤ（ｉＲ）
ｄ。事实上，ｉＲ若ｄＭ，则存在一个内射分解：一一一Ｅ一 … ０
一～，一Ｅ— 由于内射模是伪内射模，因而上述分解也是伪内射分解，从而
关于半单环和左遗传环的左伪内射整体维数，有下述性质：定理３设尺是环，Ｒ是半单环当且仅当ｔＤ（则ｐ尺）：。ｉ０证明：Ｒ是半单环甘每一个左Ｒ一模是伪内射模舒对任意左Ｒ一模，据定理１知ｐｄＭ＝环根ｉ
第２卷１第６期 Nhomakorabea长
春
大
学
学
报
Ｖｏ．Ｎ．Ｉ２ｌｏ６
２１年６月０１
ＪＯＵＲＮＡＬ０ＦＣＨＡＮＧＣＨＵＮＵＮＩＲＳＴＶＥ１Ｙ

主理想环定理

主理想环定理
主理想环定理（Prime Ideal Principle）是一个数论定理，主要
用于证明算术基本定理的推广结果。

定理陈述：设$R$是一个唯一分解环，$N$是其中的非零非可
逆元的集合，如果满足以下两个条件：
1. 每个非零非可逆元在$R$中都有唯一的素因子组成；
2. 对于任意的$r\in R$，如果$r\in N$，则$r$的每个素因子都在$N$中；
那么$R$中的每个非零非可逆元都可以唯一地表示为素因子的
乘积。

主理想环定理的证明思路是通过构造一个方程组来证明。

具体而言，对于任意的$r\in R$，可令$r=p_1p_2\cdots p_k$，其中$p_1,p_2,\cdots,p_k$是$r$的素因子。

则有方程组：
$\begin{cases}
x\equiv a_1 \pmod{p_1}\\
x\equiv a_2 \pmod{p_2}\\
\cdots\\
x\equiv a_k\pmod{p_k}
\end{cases}$
其中$a_1,a_2,\cdots,a_k$是任意给定的数。

根据中国剩余定理，这个方程组必定有解，且解$x$即为$r$的一个可能的唯一分解。

通过对方程组的不同选择，可以得到$r$的所有可能的唯一分
解。

那么根据条件2，$r$的每个素因子都在$N$中，由于$N$中的元素都不能唯一分解，所以$r$也不能唯一分解。

因此，$R$中每个非零非可逆元都可以唯一地表示为素因子的乘积。

数学专业术语

数学专业词汇
数学
量
假设
定理
逆否命题
猜想
验证
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论证
恒等式
公式
小于
不等方程
常数
复合
完全的
肯定的
离散的
周期
族
子集
并
直积集
差集
n元组
值域
逆映射
恒同映射
映入
同构
对称性
超穷基数
幺拟群
连通代数群
代数群的有理表示
左函数平移
代数群的李代数
典范态射
半单元
抽象根系
幂幺根
抛物子群
代数群的外尔群
布吕阿分解
谢瓦莱群
算术子群
拓扑群的直积
左一致结构
局部紧群
零化子的互反性
紧阿贝尔群
紧群的群环
局部单连通
泛覆叠群
可数无穷的
数理逻辑
形式语言
合式的
矢列式
论题
命题演算
联结词
逻辑加法
否定词
析取范式
真值
重言式
谓词变元
个体变元
非标准量词
前束词
闭公式
全域
一阶理论
相容性
可定义性
斯科伦壳
初等等价的
初等子模型
进退构造
原子理论
对象的余积
终对象
自由对象
对偶函子
忠实函子
常数函子
自然等价
泛性质
表示函子
推出

第5章主理想整环与欧氏环(2015)

作业
第三版 5-4第201页 1，2
5.3-5.4
、理想的定义、理想的构造一、主理想整环二、欧氏环
一、主理想整环
——（第五章第三节）
定义设K是一个有单位元的整环，如果K的每个理想都是Байду номын сангаас理想，则称K是一个主理想整环.
例 (1) 整数环是主理想整环. (2) 域F上的多项式环F[x]是主理想整环. (P166 习题3(1)） (3) 整数环Z上的多项式环Z[x]不是主理想整环. (因为 <2,x>不是主理想 ) 故Zn不是主理想整环. （4）当n为合数时，环Zn有零因子，定理 Gauss整环Z[i]={a+bi|a,b∈Z}是主理想整环.
二、欧氏环
——（第五章第四节）
定义设K是一个有单位元的整环.如果（1）有一个从K-{0}到非负整数集的映射存在, 使（2）对于K中任意元素a及b≠0, 存在元素q, r∈K，
a bq r , r 0, 或 ( r ) (b), 则称K关于作成一个欧氏环.
例整数环Z是一个欧氏环. 例域F上的多项式环F[x]是一个欧氏环. 定理欧氏环必是主理想整环.

第四讲：主理想整环上的模及其分解

數學傳播32卷1期,pp.25-47線性代數五講一一第四講主理想整環上的模及其分解龔昇·張德健4.1.環上的模的基本概念A.在第二講及第三講中,我們討論了向量空間及其上線性變換,在這一講及下一講中將從模的觀點來重新認識之,這是本書的主要部份,在這一講中,將介紹模的定義和基本性質,尤其是在主理想整環上的模及其分解。

若V體F上的一個向量空間,T∈L(V)。

對F[x]中任一多項式p(x),對任意 v∈V,可定義p(x) v=p(T)( v),這就是我們要討論作用在V上的線性算子。

顯然對任意r(x),s(x)∈F[x], u, v∈V有r(x)( u+ v)=r(x) u+r(x) v,(r(x)+s(x)) u=r(x) u+s(x) u,(r(x)s(x)) u=r(x)(s(x) u),1 u= u,等等。

但是F[x]不是體而是環,所以F[x]中元素對V作純量乘積,V不能成為一個向量空間。

於是引入了比向量空間更為一般的概念:模。

定義4.1.1:若R是有單位元的交換環,其元素稱為純量(scalar)。

一個R−模(R−module),或R上的一個模(a module over R)是一個非空集合M,有運算加法,記作+,對( u, v)∈M×M,有 u+ v∈M;另一個是R與M的運算是純量乘積,用毗連來表示,對(r, v)∈R×M,有r v∈M,而且有1.M對加法而言是Abel群;2.對所有r,s∈R, u, v∈M有2526數學傳播32卷1期民97年3月a.(分配律):r( u+ v)=r u+r v,(r+s) u=r u+s v;b.(結合律):(r s) u=r(s u),c.1 u= u.顯然當R為體,則模為向量空間,即體上的模就是向量空間。

當R=Z(整數環),則Z−模就是Abel群,故模也是Abel群的概念之擴充。

特別重要的是在第一講開始就說到的R=F[x],若F是體,則由定理1.2.1,F[x]是主理想整環,於是可以定義F[x]−模,這是我們今後要主要討論的對象。

素理想环

正式定义[编辑]∙环R的理想P是素理想，当且仅当它是一个真理想（也就是说，P≠R），且对于R的任何两个理想A和B使得AB⊆P，都有A⊆P或B⊆P。

交换环的素理想[编辑]素理想对交换环有一个较简单的描述：如果R是一个交换环，那么R的理想P是素理想，如果它具有以下两个性质：∙只要a，b是R的两个元素，使得它们的乘积ab位于P内，那么要么a位于P内，要么b位于P内。

∙P不等于整个环R。

这推广了素数的以下性质：如果p是一个素数，且p能整除两个整数的乘积ab，那么p要么能整除a，要么能整除b。

因此，我们可以说：正整数n是素数，当且仅当理想n Z是Z的素理想。

例子[编辑]∙如果R表示复系数二元多项式环C[X, Y]，那么由多项式Y2−X3−X− 1生成的理想是素理想（参见椭圆曲线）。

∙在整系数多项式环Z[X]中，由2和X生成的理想是素理想。

它由所有系数项为偶数的多项式组成。

∙在任何环R中，极大理想是一个理想M，它是R的所有真理想的集合中的极大元，也就是说，M包含在R的正好两个理想内，即M本身和整个环R。

每一个极大理想实际上是素理想；在主理想整环中，每一个非零的素理想都是极大的，但这一般不成立。

∙如果M是光滑流形，R是M上的光滑函数环，而x是M中的一个点，那么所有满足f(x) = 0的光滑函数f形成了R内的一个素理想（甚至是极大理想）。

性质[编辑]∙交换环R中的理想I是素理想，当且仅当商环R/I是整环。

∙环R的理想I是素理想，当且仅当R \ I在乘法运算下封闭。

∙每一个非零的交换环都含有至少一个素理想（实际上它含有至少一个极大理想），这是克鲁尔定理的一个直接结果。

∙一个交换环是整环，当且仅当{0}是一个素理想。

∙一个交换环是域，当且仅当{0}是唯一的素理想，或等价地，当且仅当{0}是一个极大理想。

∙一个素理想在环同态下的原像是素理想。

∙两个素理想的和不一定是素理想。

例如，考虑环，它的素理想为P = (x2 + y2 - 1)和Q = (x)（分别由x2 + y2 - 1和x生成）。

【word】带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群

带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群数学年刊2011,32A(6):665—678带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群冰廖军杨艳刘合国.提要给出了带极大或极小条件的Abel群A的自同构群以及自同态环的相伴Lie环是可解或幂零的充要条件.同时也给出了群A=Q0Q0…0Q的自同构群是可解或幂零的充要条件,以及群A的自同态环的相伴Lie环是可解或幂零的充要条件.关键词自同构群,自同态环,可解,幂零MR(2000)主题分类20K30,20F16,20F18中图法分类O152.2文献标志码A文章编号1000—8314(2011)06—0665—141引言本文采用文f121的术语和符号,一般情况下计算群的自同构群和研究群的自同构群的性质是很困难的,即使对Abel群也是如此.从结合环R出发,自然地可以构造一个Lie环L,方法如下:定义L的加群为_R的加法群(R,+)以及Lie积为[X,Y]=xy—yx,通常记为_R(～,称为的相伴Lie环.Abel群的自同态环EndA是结合环,则可以构造Lie环End(一.因此我们可以研究Abel群的自同态环的相伴Lie 环的可解,幂零性质对群结构的影响.同样地,也可以通过研究Abel群的白同构群AutA的可解,幂零性质来分析群A的结构.本文将对几类带有有限性条件的Abel 群进行讨论,并给出了它们的自同态环的相伴Lie环是可解,幂零以及自同构群是可解,幂零的充要条件.在多数情况下它们具有相似性.其实这也并不偶然,正是由于这些Abel群是由它的自同态环或者自同构群所确定.第2节首先给出了有限AbelP一群的自同构群AutA可解的充要条件,接着利用自同构群的稳定自同构的一个结论(见引理2.3),分别给出了带极大和极小条件的Abel群的自同构群是可解,幂零的充要条件.在定理2.6一定理2.10中,分别给出了有限AbelP一群,带极大条件的Abel群和带极小条件的Abelp-群的自同态环的相伴Lie环是可解,幂零的充要条件.当P≠3时,有限Abelp-群的自同构群AutA可解当且仅当群A的自同态环的相伴Lie环End(一)可解.对于带极大,极小条件的Abel群的自同构群AutA的可解性和群的自同态环的相伴Lie环End(一)的可解性,定理2.2一定理2.3和定理2.8一定理2.9分别相对应,在它们的幂零性的论述中,定理2.4和定理2.10相对应.设A=Q0Q.0…④Q,其中Q={丌pmI?Tti,m∈Z},这里7rk为某pi∈k 些素数的集合.第3节对群A讨论了类似的问题:定理3.1和定理3.2分别给出了A的本文2011年2月25日收到,2011年6月18日收到修改稿.北京大学数学科学学院,北京100871.E—mail:*************.ca0湖北大学数学系,武汉430062.E—mail:******************0通讯作者.湖北大学数学系,武汉430062.E—mail:**************.cn国家自然科学基金(No.10971054)资助的项目.数学年刊32卷A辑自同构群AutA是可解,幂零的充要条件,定理3.4给出了群A的自同态环的相伴Lie环EndA(一)是可解,幂零的充要条件.此时AutA是可解(幂零)的当且仅当EndA㈠是可解(幂零)的.定理3.3表明,A的自同构群AutA可解和B1是一致的.除去P=2的情况,比较定理2.4,定理2.10,定理3.2和定理3.4可以知道,对于我们所讨论的Abel群A,的自同构群AutA和自同态环的相伴Lie环EndA(一)是幂零的当且仅当它们是交换的.而且此时它们都具有相对简单的结构:AutA和EndA【一)是幂零(交换)的,如果A是满足极大条件的Abel群,当且仅当A是循环的;如果是满足极小条件的Abel群,当且仅当A是循环的或者是拟循环群的直和;如果A=Q0Q0…0Q当且仅当每一个Q是全不变的.2带极大或极小条件的Abel群设有限Abelp-群有分解A=(zpn)h0(n.)0…0(nr),其中r,ft是正整数,0<nl<n2<…<n.记群A的自同态环EndA=,群A的自同构群为AutA.下列的事实,见文【3-6】.(a)群A的自同态环=EndA可以表示成r×r矩阵环(岛),其中岛=Hom((nt)”,(n));(b)环有Jaeobson根=(),其中=pCi~;当i≠J时,J=(C)AutA的极大正规子群是△=1+.引理2.1【】除了n=2,IFI=2,3外,GL(F)是不可解的.以下总约定P为素数,z为整数环,Zp为进整数环,n=Z/(pZ)为模P剩余类环或P阶循环群.引理2.2(i)群GL2(Z)以及GL2(Zp)不可解;(ii)当素数P>2时,上的上三角可逆矩阵群()不是幂零的;(iii)当素数P>3时,Aut(m0n)不是幂零的.证记[,Y]=[z,Y,Y,…,],其中Y出现n次.环的满同态:Z一诱导群的满同态GL2(Z)一GL2(),同态像GL2()在P>3时是不可解的,因而GL~(Z)不可解.类似地,GL2(Zp)不可解.GL2(Z2)&,是可解的,而中一5-是平凡的,因此不是幂零的.考虑上的上三角可逆矩阵群(zp),由于[(G0o)]=(.1),当P>2时,取a:2,则[(((.1)组因此()不是幂零的.不妨设m≠佗(否则GL2(n)不可解),Aut(m0n)在Q1(m0n)上的限制同构于(),因此Aut(m0n)不是幂零的.6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群667定理2.1设是有限Abelp-群,且A=(n)”0(n).0…0(n),其中r是正整数,n1<n2<…<礼,ft都是正整数.则(1)当P>3时,AutA可解当且仅当f1:f2=…=0=1;(2)当P=2或3时,Aut可解当且仅当li≤2(1≤i≤r)证(1)当P>3,ll=12=…=f=1时,由文【8]中推论2.9知AutA△(一1),这里△=(AutA)是AutA的极大正规子群,因此是幂零群,则是可解群,(zp一1)是Abel群,即AutA是可解子群△=Op(AutA)被Abel群的扩张,因而是可解的.反之,假设存在某个li>1,则GL2(zpn.)≤AutA,但是GL2(nt)的商群GL2()是不可解的,矛盾.所以?1=f2=…=0=1.(2)当P=2或3时,ct≤2(1≤i≤r),由文[8】中定理1.1和命题2.2知rAutA△×lJGLt(),t=1这里△=(AutA),它是幂零的因而是可解的.由引理 2.1,当2t≤2时,GLl(zp)是可解群,则兀GLt()是可解的.则AutA是可解子群△=Op(AutA)被可解群0=lr兀GLf,()的扩张,因而是可解的.反之,假设存在某个fi>2,则GL3(nt)≤AutA,但是GL3(nt)的商群GL3()是不可解的,矛盾.所以li≤2.事实上,对于有界Abelp-群也有同样的结论,定理2.1的证明也同样适用.另一方面,有限Abel群可以分解为有限Abelp-群的直和,每个分支都是全不变的,则是特征子群,所以有限Abel群的自同构群可以分解为有限Abelp-群自同构群的直积.因此对有限Abel群总可以约化到定理2.1的情形,类似地对有界Abel群也一样.为便于叙述,我们首先给出下面的引理,它是本文计算某些自同构群的基础.引理2.3设是Abel群,B是的特征子群,且A=B0,则AutA=Horn(C,B)(AutB×Aut).证的所有稳定B的自同构构成AutA的一个子群,记为Aut(A)B,即Aut()B={∈AutAIB”=B).由于是A的特征子群,所以AutA=Aut(A)B.由文f9]中定理2.1知Aut(A)8=Der,B)Pair(C,B).由于A是Abel群B与C的直和,即A=B0C,因此平凡地作用在Abel 群B上,则导子就是它们之间的同态,即Der(C,B)=Hom(C,),668数学年刊32卷A辑并且由直接验算Pair(C,B)满足的条件,可知Pair(C,B)=AutB×AutC,因此AutA=Hom(C,B)(AutB×Aut),AutB×AutC在Hom(C,B)上的作用为(,(,))一&.定理2.2设是满足极大条件的Abel群,则AutA可解的充要条件是的挠子群的白同构群是可解的且ro(A)≤1.证若AutA可解,由引理2.2,GL2(Z)不可解,知ro(A)≤1,并且A的挠子群的自同构群是AutA的子群,因此是可解的,必要性已证.下证充分性.注意到的挠子群是A的特征子群,设为,如果TO(A):0,则A是有限群,此时归为定理2.1的情形.不妨设TO(A)=1,则A=T0Z,由引理2.3,可得AutA=Hom(Z,T))日(AutTXAutz),其中Hom(Z,T)T,AutZ=Z2.由假设,有AutT可解,因此AutA可解.类似地,对于满足极小条件的Abel群有下面的定理.定理2.3设4是满足极小条件的Abelp-群,则AutA可解的充要条件是A的既约子群R的自同构群是可解的且的极大可除子群D的秩r(D)≤1.证设A是满足极小条件的Abelp-群,的极大可除子群为D,既约子群为R,则‘A=D0R且D是A的特征子群.由引理2.3,可得AutA=Hom(R,D)>日(AutD×AutR),而Horn(R,D)是Abel群,因此AutA可解的充要条件是AutD,AutR是可解的,引理2.2说明GL2(Zp)不可解,其中z是P一进整数环.因此的极大可除子群D的秩r(D)≤1.若r(D)=1,即D=z..,熟知当P>2时,AutZp..～10zp.当P=2 时,AutZ2..Z20z2,其中z是进整数环.反之,4的既约子群R的自同构群是可解的且的极大可除子群D的秩r(D)≤1时,AutA可解.注意到满足极小条件的Abel群的自同构群是其P一子群自同构群的直积,因此满足极小条件的Abel群的自同构群是可解的充要条件是其所有子群的自同构群都是可解的.于是,结合定理2.1和定理2.3我们可以得到满足极小条件的Abel 群的自同构群是可解的充要条件.由引理2.2和引理2.3可以得到下面的定理.定理2.4(i)有限Abel2’-群A的白同构群AutA幂零的充要条件是rp(A)≤1,当且仅当是循环群;(ii)满足极大条件的Abel群且其挠子群是2一群的自同构群AutA 幂零的充要条件是有限且(A)≤1或A=Z,即为循环群;(iii)满足极小条件的Abel2/_群的自同构群AutA幂零的充要条件是A有限且rv(A)≤l或A=0...6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群669证(i)不妨设是有限AbelP一群,由引理2.2,当P>2时,T2()不是幂零的,因此不含形如m0的子群,即是循环群,rp(A)≤1.反之显然.(ii)假设Z=n0Z,则AutAn(AutnX),计算[(1,(1,1)),(0,(1,))]l其中Oz是z的二阶自同构,注意到它的作用方式把它写成矩阵形式[((呈)]=(.12)这里(一2)≠0是因为是2一群,因此AutA不是幂零的,所以或者有限或者自由循环,当有限时,由(i)知也是循环的.(iii)此时的证明方法同(为了处理P=2的情形,我们需要下面定理,见文『1O].稳定性定理设群G忠实地作用在群上,G稳定的如下长度为2的正规群列1≤W<记Z:=41(W)是的中f1.,它自然地作成一个一模,则G≤Der(v/z),其中Der(Z)是到z的所有导子作成的Abel群.定理2.5(i)设是有限Abel2-群,且A=(Z2n)0(Z2n2).0…0(Z2)L,这里nl<?22<…<几,l是正整数,则AutA幂零的充要条件是l=1.(ii)设是自由Abel群与Abel2-群的直和,则A的自同构群AutA幂零当且仅当A=2r2n0Z2nz0?-?0Z2n0Z,这里礼1<礼2<…<72r.(iii)满足极小条件的Abel2-群A的自同构群AutA幂零当且仅当A=Z2n①Z2nz0…0n0..,这里札1<佗2<-??<竹r.证(i)设是有限Abel2-群,且A=(Z2n)h0(Z2n.)120?-?0(Z2n),这里几1<?22<…<n,ll是正整数.当所有的i,1=1时,群4的自同构群AutA是一个2一群,因此是幂零的.反之假设存在某个ft>1,则GL2(n)≤AutA 且它的一个商群是GL(),由引理2.2是非幂零的,矛盾.(ii)设是自由Abel群与Abel2一群的直和,且自由子群是自由循环群z若Abel2一子群B=Z2n0Z2n①…0Z2(其中?21<礼2<…<礼),它是特征子群,由引理2.3,可得AutA=Hom(Z,B)×(AutB×Autz),其中Horn(Z,B)B,AutB是一个2一群,AutZZ2,则AutA是一个2一群,因此是幂零的.670数学年刊32卷A辑当A=Z2n0Z2n.0…0n0z时,证明其自同构群是幂零的另一个方法是:设C=2”A={2”aIa∈),其中n>n,则C2Z,它是的特征子群,A/Cz2n10Z2n20…0Z2n0zn.考虑G=AutA在0≤C<A上的自然作用.记ca(c)={∈GIc.=c,c∈), Cc(A/C):{∈Gl(a+)=a+C,a+C∈A/C},贝0c/ca(c)≤AutC,C/Ca(A/C)≤Aut(A/C),且c/ca(c)rhCa(A/C)≤c/cc(c)XG/Ca(A/C),又cc(c)nCc(A/C)稳定,0<C<A,故根据稳定性定理知cc(c)nCG(A/C)≤Der(A/C,),A/C是有限的,而C是自由循环群,因此Der(A/C,C):Hom(A/C,C)=0.AutA/C是一个2一群,AutC,则G≤AutC×Aut(A/C)是幂零群.反之若AutA是幂零群,则AutA的子群AutB是幂零的,当且仅当B=Z2n0Z2”0…0…由于GL2(Z)不是幂零的,因此自由子群是自由循环群z,因此A=z2n0Z2n20…0n0Z,其中nl<n2<…<nr.(iii)由(ii)以及引理2.2知条件是必要的,下证充分性.设A=Z2n0Z2n20…0n0..,这里仡1<n2<…<nr,设B:Q2n(A)={0∈Al2ha=0),其中n>n,则Bz2n10z2n20…0n0n,它是A的特征子群.考虑G=AutA在0≤B<A上的自然作用.记Ca(B)=fQ∈G1b.=b,b∈B),Cc(A/B)={∈Gl(a+B)”=a+B,a+B∈A/B},则C/Ca(B)≤AutB,C/CG(A/B)≤Aut(A/B),且C/CG(B)nCc(A/B)≤C/Cc(B)×C/Cc(A/B).又Cc(B)nCc(A/B)稳定,0<B<A,故根据稳定性定理知Cc(B)nCc(A/B)≤Der(A/B,B),A/BZ2o.是可除的,而B有限,因此Der(A/B,B)=Hom(A/B,B)=0.AutA/B(o.)=Z20Z2是Abel群,由(i)知AutB是一个2一群,则C≤AutBXAut(A/B)是幂零群.下面讨论带极大,极小条件的Abel群的自同态环构成的Lie环是可解,幂零的条件,为此需要下面的引理.引理2.4(m)(一)可解,坞()(一)不可解.证直接计算可得[(),()]=(c—brz+-cyd一.6cr一一d).6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群671设L=M2(Z2)(一,则由上面的计算知则则)lm)为了计算,在上式中令d=一a,r=一x,有[),G)]=(2.b…z-cyn名一),{(m).令b=2b1,c:2c1,Y=2yl,=2zl,有),()]一blz…l-cly哪yza-bmlx/,)c∈m)归纳地,知M2(Z2m)(一)可解.记K=M3(Z2)(_.,则K=(e),其中表示(J)位置为1,其它位置全为0的矩由于当i≠J时,,eij1=eij,[eij,eft]=eli—ejj,有K=(eij,eii—eli≠歹).又因n>2,存在k满足k≠i,k≠J,i≠J,则eij=【eik,ekj],eii一jJ=【eij,e所以K=K≠0,因此不可解,即M3(Z2)(一)不可解引理2.5当P>2时,()(一)不可解;相伴Lie环(z)(一)和(zp)(一)不可解.证取L=(el2,e21>,由于(e12,e21】=ell—e22,【611一e22,el2】=2e12,【ell—e22,e21】=一2e21, 则el1一e22,e12,e21∈L,归纳地,对任意的正整数此()(一)不可解.m,有el1一e22,e12,e21∈(,则()≠0,L不可解,因()(一)是(z)(一)和Mn(Zp)(一)在自然同态z一以及zp一下诱导的Lie环同态像,因此(z)(一)和(zp)(一)不可解.定理2.6设P是奇素数,记A=(n)ll④(n.)④…0(),这里扎1<n2<…<n,如是正整数,则End(一)可解的充要条件是如=1672数学年刊32卷A辑证如果End(一)可解,由引理2.5知1=1,否则存在一个子环()(一)不可解,矛盾.另一方面,如果li=1,则A=n10zpn20 0EndA{(aij)laijEHorn(,’))且i<J,Pln巧.记L=End(_.,Cij=∑(aikakj—bikakj),如果cij∈L,则PlCij,i≤J.归纳地, Cij∈(,对任意的i,J,有PI.,且当i<J时,P.l,继续重复上述过程,直到Cij=0,因此可解.也可以用另外一种方法来证明可解:EndA在【21(A)上的限制就是n一诱导的环同态,即对每一位置模P,同态像是上的一个三角矩阵,同态的核是每个位置元素都能被P整除的数,即0Mod(p).由环的同态得到Lie环的一个同态,结合可解Lie环在扩张下封闭的性质得到Lie环L=End(一)是可解的.定理2.7设A=(Z2n)/10(Z2)120…0(Z2),这里n1<Tt2<…<n,f是正整数,则End(一)可解的充要条件是ft≤2证设fi≤2,自然同态z2n.一z2诱导的环同态,End(一)的同态像是一个下对角矩阵,并且对角线上是1阶或2阶可解块,因此同态像可解,同时核满足2Ia同上述定理相同的证明方式,知其可解,得到End(一)可解.反之,由引理2.4,如果End(一)可解,则li≤2.定理2.8设A是满足极大条件的Abel群,则End(一)可解的充要条件是EndA可解且_r0(A)≤1.证设A=0A0Z,0A是A的全不变子群,).(~EndAEndZEndA【H.m(z)J(,z/),又(0EndAp)～0EndA和z(一)都是可解的,按分块矩阵计算知EndA(一)是可解的.反之,End是End(一)的子环显然可解,且()(一)不可解,因此ro()≤1.类似的方法可以得到下面极小条件下的定理.定理2.9设是满足极小条件的Abel群,则End(一)可解的充要条件是EndA可解.End可解当且仅当End磷可解且rank(Dp)≤1,其中Rp和Dp分别是A的既约子群和极大可除子群.的引理2.6(z)(一)不是幂零的,若=n0m,n<m,则EndA(一)不是幂零证注意到对任意的正整数n,[el2,?tc22]=el2≠0由引理2.5和引理2.6,立即可得下面的定理6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群673定理2.10(i)有限Abel群的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是rp(A)≤1;(ii)满足极大条件的Abel群A的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是有限且口(A)≤1或A=z;(iii)满足极小条件的Abel群的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是有限且rp(A)≤1或A=0..;P(iv)满足极大或极小条件的Abel群4的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是的自同态环的相伴Lie环是Abel的.3完全分解的无挠Abel群下面考虑这样一类Abel群,首先介绍符号和一些简单的结论:记丌为某些素数的集合,设Q={兀.mIm,m∈Z}.对群Q有下列简单事Pl∈7r实:(a)Q的元具有无限丌一高,有限丌一高,即任意的P∈7r,P高为0(3,否则为有限.(b)Q的任意一个自同态可以由1的像完全决定.事实上,m=(m?1)妒=m?1;由(pp)=1,知p?(p)=1,因此(p)妒=p1妒,所以(兀m)妒=兀m?1;pp(c)如果71”17I”2,则Horn(Q,Q.)=0,否贝0Horn(Q,Q.)Q.事实上,如果丌17r2,存在P∈丌1一丌2,Q中的任意元具有无限71”1一高,特别地,1具有无限高,若∈Hom(QQ.),则1∈Q.也具有无限p一高,则1=0,因此Horn(Q丌l1Q)=0.如果71”171-2,任意的∈Hom(Q丌¨Q.),由1的像1完全决定,而1∈Q.,因此Horn(Q,Q.)Q..特别地,EndQ=Horn(Q,Q)Q.(d)AutQQ={l=士11p.,Pi∈7r,仃∈z)z2①ZI.特别地,AutQpQ=r,oZ2④Z.这是因为EndQ=Horn(Q,Q)Q,因此AutQQ.若兀m∈Q,则存在p:.兀他∈Q,使1=兀m兀n=兀m佗,贝0mn=1,m=土1.pppp设A:Q0Q.0…0Q此时称是”完全分解”的,首先我们讨论秩为2即=Q0Q.的情形.A=Q0Q的自同态环和自同构群具有下面的矩阵表达形式:EndA竺{I兰三}I∈Itom(p,Q),{,J=1,2},AutA』【【2()可逆,∈H.m(Q,Q)下面按集合71”1和71”2的包含关系分别讨论群A=Q0Q.的白同构群以及自同构群的可解幂零性.(i)当71”171”2,71”271”1时,记71”1=71”2=7r.End[g>(,AutGL2(674数学年刊32卷A辑由于GL2(Z)≤GL2(Q),而GL2(Z)是不可解群,因此GL2(Q)也不可解.GL2(Q)的中5-为CGL2(Q)=)aEQA),铡).易知O.charA,而A=Q0O由引理2.3,知AutAHom(O,O)>日(AutOXAutO)O.(Q.×Q)是可解的,但不是幂零的,事实上,Aut(!)f.∈AutQ.,c∈AutQ~,bEHom(Q,Q:>.若(!)∈~AutA,则()=)=I1c+)=(舌,6=..取是嵌入同态,则.限制在Q等于c,记为..所以()a01),即(~AutA=()I.).若1)∈(~2AutA,则对任意的)∈AutA,有[(6)j(舌tA又(=(.一)一[(),(吾)]=(n0一一ac一-16.)(0一一X--一1)(a..b)(苦Y) =(.1).由于(01)∈<Aut,其中=一a-1bc+X--1yz+a-ix一(6一y)zc=0,对任意的∈Q.,∈Q,Y∈Q成立.若Y=0,即一a-1bc+a-ix_1bzc=0,则b=0,且2C--lyz—a-1-1yzc=0,则a】=c.因此()=()∈(AutA,AutA=(AutA≤AutA,AutA不是幂零群.6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群675当I71-2J<..时,AutA=Q.(AutQ×AutQ.)是有限生成的可解群,但不是多循环的,由于Q.不是有限生成的.而超可解是多循环的,因此它不是超可解的.(iii)当71”171”2,7r27r1时,E..%OZI#ll~.,此时AutA是Abel群.因此若AutA是超可解或多循环的,则AutA是幂零的且是Abel的.当且仅当7rl丌2,7r27r1.一般地,有下面定理.定理3.1设A=Q0Q.0…0Q其中Q:{nm}mi,m∈Z},这里.1rk为某些素数的集合,则AutA可解当且仅当对任意的i≠J,71”i≠7rj.证当7’=2时,由前面的叙述(i)一(iii)知AutA可解当且仅当71”1≠71”2.先证充分性.假设对某个i≠J,7I”i=,当k≠i,时,设A1={∈AutAl使在Q上的限制为1,即lQ:1Q),则1是AutA的子群,且A1GL2(Q.),而GL2(Q)是不可解的,从而1是不可解的,于是AutA不可解,与已知矛盾.再证必要性.如果对任意的i≠J,亿≠,那么存在一个元,不妨记为丌,满足对任意的i≠r,有丌,否则,必有某两个集合相等,与已知矛盾.这样的丌称为集合{『1≤i≤r)的极大元.显然QcharA,则.r一1,,r一1,AutAHorn(0QQ)>日(Aut0Q×AutQ~r)jt=1i=1,r一1,r一1其中Horn(0QQ)0Horn(QQ)与AutQ都是Abel的,对r进行归,i=1=1 r一1纳,知Aut0Q是可解的,因此AutA是可解的.=1定理3.2设A;Q0Q.0…0Q其中Q:{npmIIYt,,m∈Z},这,pt∈丌’里丌为某些素数的集合,则AutA幂零当且仅当对任意的i≠J,死.证当r=2时,由前面的叙述知道AutA幂零当且仅当丌1/1”2,丌2丌1.先证充分性.如果对某个i≠J,7ri7r{,当k≠i,J时,设A1={∈AutAI使在Q上的限制为1,即lQ=1Q),则A1是AutA的子群,当死:时,A1GL~(Q);当时,AutAQ)日(AutQ×AutQ),而aL2(Q)和Q丌j(AutQ×AutQ丌j)都不是幂零群,因此A1不是幂零的,与AutA幂零矛盾.再证必要性.如果对任意的i≠J,7ri,则Horn(QQ)=0.676?数学年刊32卷A辑因此EndAA,AutA(Q)×(Q)×-??×(Q)日≥(z2.z’z’),=1AutA是Abel的,因而是幂零的.推论3.1设A=Q0Q0…0Q其中Q:{兀pmI?gti,m∈Z},这Pl∈.a-k. 里丌为某些素数的集合.则下列条件等价:fa)AutA是多循环的;(b)AutA是超可解的;fC]CAutA是幂零的;(d)AutA是Abel的.注意到群G称为是B的,如果G有一个正规列G=G1>G2>>Gn=1,即G司G,且Gi/Gi+1≤Q或Gi/Gi+l≤Q/z.定理3.3设A=Q0Q0…0Q其中Q={兀pmImt,仇∈z},这Pi∈7rk0里7r为某些素数的集合,则AutA是B1的当且仅当AutA是可解的. 证充分性显然,因为由定义B是可解的.下证必要性.当r=2时,AutAQ>日(AutQ×AutQ.)或AutA=r-oAutQl×AutQ2.若AutAQ:(AutQ×AutQ.),贝40<Q2<QZ2<Q.(Z20Z2)<Q.(Z20Z20Z)<Q>日(Z20Z20Z)<<Q.(Z20Z20Z/】+l.I)=AutA是AutA=Q.(AutQ×AutQ.)的一个正规列,其商因子分别为QZ2,Z2,Z,-? z,而QZ是Q的子群,是O,/Z的子群,因此AutA是B1的.如果AutA=e-,4AutQ1×AutQ2Zg.0Zl10Z20Zl,则AutA是Abel群,且可以分解为和z的直和,因此也是B1的.所以当r=2时,AutA是可解的则是B1的.当r≥3时,由定理3.1,存在一个极大元丌,使QcharA,则AutAHorn((~QQ)×(Al1t0QAutQ).记s=ml7r,1≤i<r)l,有r一1r一1Horn(Q,Q)Horn(Q,Q)Q,6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群677可以得到,r一1,AutAQ(Aut≥Q×AutQ).因Q,AutQ是B1的,由归纳假设Aut0Q是B1的,易知AutA是B1的. 定理3.4设A=Q0Q.0…0Q其中Q={兀pmlmi,m∈Z},这里丌k为某些素数的集合,则(a)EndA(一)可解的充要条件是7i”i≠对任意的i≠J;(b)EndA(一)幂零的充要条件是71”i对任意的i≠J,此时它是Abel的,其中End(一)是由自同态环EndA的加法群以及Lie积Y]=xy—yx构成的相伴Lie环.证先讨论r:2的情形:(i)当71”1=71”2时,EndA=(Q),由于(z)(一)≤(Q)(一)是不可解的,所以M2(Q)(一)不可解;(ii)当丌丌.,7r2丌时,End(Q~l.Q.)(%g),此时它构造的Lie环是可解的不是幂零的,因为[e12,n~22】:e12;(iii)当7r1丌z,7r271”1时,End(Q.Q.)(%.),此时的Lie环是幂零的,并且是交换的.一般地,如果71”i≠对任意的i≠J,则存在一个极大元丌,即7r,设A=B0Q,那么Q是全不变的,Ena(EBH.m),由于EndB(一)是可解的,因此EndA(一)可解.反之,显然有≠霄j对任意的i≠J.这就证明了第一部分.71”i对任意的i≠J,此时EndA0EndQAi是Abel的,因此是幂零的.反之由r=2情形易得对任意的i≠J,7ri参考文献[1]RobinsonDJS.Acourseinthetheoryofgroups[M].2nded.NewY ork:Spri nger—V erlag,1995.【2]KhukhroEI.p-AutomorphismsoffiniteP—groups[M】.Cambridge:Ca 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E—mail:unicornyy~163.corn3Correspondingauthor.DepartmentofMathematics,HubeiUniversity,Wlu han430062,China.E—mail:ghliu~.ca AbstractLetAbeanAbeliangroupwithmaximumorminimumcondition.Th eauthors givenecessaryandsufficientconditionsfortheautomorphismgroup(resp.Li eringasso—ciatedwiththeendomorphismring)beingsolvable(resp.nilpotent).Moreove r,necessary andsufficientconditionsfortheautomorphismgroup(resp.Lieringassociate dwiththeendomorphismring)beingsolvable(resp.nilpotent)forA=Q7r10Q20…0Q 7rarealsogiven.KeywordsAutomorphismgroup,Endomorphismring,Solvable,Nilpotent 2000MRSubjectClassification20K30,20F16,20F18。

环同态及同态基本定理

环同态及同态基本定理定义2.设21:R R →ϕ是一个环同态,那么2R 中零元的完全原象}0)(|{)0(11=∈=-a R a ϕϕ叫作ϕ的模,通常记ϕϕKer =-)0(1.定理1.设R R −→−ϕ是一个环同态满射,令ϕKer I =那么(ⅰ) I R (ⅱ)R I R ≅证明:(ⅰ)对加法而言,ϕ显然是一个加群满同态,由第二章知 I R . (即I 是R 的不变子群).下面只需证明吸收律也成立即可..,R r I k ∈∀∈∀那么.00)()()()(I rk r k r rk ∈⇒===ϕϕϕϕ同理I kr ∈.∴ I R(ⅱ)由第二章知,存在R IR ≅Φ:.作为群同构,其中.][I R a ∈∀ ),(])([a a ϕ=Φ下面只需证明:I R b a ∈∀][],[,])([])([])][([b a b a ΦΦ=Φ但][][)()()(][])][([b a b a ab ab b a ΦΦ===Φ=Φϕϕϕ.∴ R I R →Φ:是环同构.即R IR ≅Φ. 定理 2.设R 是一个环而 I R ,那么必有环同态I R R →:ϕ.使得ϕ是满同态且模I Ker =ϕ.称这样的ϕ为环的自然同态.证明:令IR R →:ϕ,其中][)(a a =ϕ, 显然ϕ是个满射.而且R b a ∈∀,.)()(][][][)(b a b a b a b a ϕϕϕ+=+=+=+)()(]][[][)(b a b a ab ab ϕϕϕ=== ∴I R R ～.至于I Ker =ϕ是显然的.注意:上述定理1和定理2通称为环和同态基本定理.同时表明:环R 的任何商环I R 都是R 的同态象.而环R 的任何同态象实质上只能是R 的一个商环.与群同态类似,我们可以和到一些与第二章中平行的结果.定理3.设R R →:ϕ是环同态映射,那么(ⅰ)若S 是R 的子环)(S ϕ⇒是R 的子环(ⅱ)若I 是R 的理想且ϕ为满射)(I ϕ⇒是R 的理想(ⅲ)若S 是R 的子环)(1S -⇒ϕ是R 的子环(ⅳ)若S 是R 的理想)(1S -⇒ϕ是R 的理想证明: (ⅰ)S b a S b a ∈∃⇒∈∀,)(,ϕ使).(),(b b a a ϕϕ==所以S b a ∈-,于是R S S b a b a b a ≤⇒∈-=-=-)()()()()(ϕϕϕϕϕ.(子群)另外）　（　S ab S ab b a b a ∈∈== )()()()(ϕϕϕϕ ∴)(S ϕ是R 的子环.(ⅱ) I R ,∴I 是R 的子环)()(I i ϕ⇒是R 的子环.须证明吸收律成立. ϕ是满射 ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∈∈⇒=∈∃⇒∈∀=∈⇒∈∀I ai I ia IR a a R a R a i i I i I i ,)(,)()( ϕϕϕ使使 R I I ai i a i a I ia a i a i )()()()()()()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⇒⎪⎭⎪⎬⎫∈==∈== (ⅲ))(,1s b a -∈∀ϕ ∴S b a ∈)(),(ϕϕ, 而知S b a b a ∈-)()(),()(ϕϕϕϕ ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫∈⇒∈=∈-⇒∈-=---)()()()()()()()(11s ab S b a ab s b a S b a b a ϕϕϕϕϕϕϕϕ )(1s -ϕ是R 的一个子环.(ⅳ)R r R r S a s a ∈∴∈∀∈⇒∈∀-)(.,)().(1ϕϕϕ R S ,∴S a r S r a ∈∈)()(,)()(ϕϕϕϕ. 于是)()()()()()()()()(111s s ra S a r ra s ar S r a ar ---⇒⎪⎭⎪⎬⎫∈⇒∈=∈⇒∈=ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 满足吸收律.又由(ⅲ))(1s -⇒ϕ是R 的子环.于是R s )(1-ϕ.注意2.从定理3的证明中可知:除了(ⅱ)需要ϕ是满环同态外,其余情况都不需要ϕ是满射这个条件.极大理想的概念(1) 定义1. 设I 是R 环的一个理想且R I ≠,如果除了R 和I 以外,再也没有能包含I 的其他理想,那么称I 是R 的一个极大理想.∙ 将上定义更“数学化”些,就是:设 I R ，R I ≠,则I 是极大理想⇔不存在 I R 使R J I ⊄⊄∙ 欲判断理想 I R 是极大理想的一般有二步:① 验证 R I ≠ (即R r ∈∃ 但 I r ∉ ) 一般当R l R ∈,证I R ∉1② 设J R 且 J I ⊄,R J =⇒(2) 例子.例1. 设素数Z p ∈,那么由p 生成的理想()p I =必是极大理想.① 因为(){}()p Z n np p ∉⇒∈∀=1 （p 不整除1） ∴ Z p ≠② 设J Z ,且I ⊄J ,那么说明存在J g ∈但()p g ∉换句话说 p 不整除g ,由p 的性质 ()Z t s g p ∈∃⇒=⇒,.1, 使1=+tg sp . J I p ⊄∈,且 Z R J J tg sp J g ==⇒∈+=⇒∈1 例2. 设Q R =有理数环,那么取Q ∈2,则主理想()2=I 必不是极大理想.事实上 ()==2I {}Q g g ∈∀2, 则 Q x Q x ∈⇒∈∀2 I Q I x x =⇒∈⋅=22 ∴ I 不是极大理想. 例3. 设{}R ≠0为任一个环,则R 为单环⇔零理想{}0是极大理想.( ∴ 除环的极大理想只有 {}0 )例4. 设Z R 2=—偶数环,而R Z I 4=,可验证I 是R 的极大理想.事实上,① R ∈2 但I ∉2R I ≠⇒② 设R J I ⊄.须证Z R J 2==.显然只需证明J ∈2即可.J j IJ ∈∃⇒但 I j ∉. 令m j 2= 而12+=k m .∴ ()24122+=+=k k j ,而J j ∈,且J k j J I K ∈-=⇒⊂∈424∴ R J J =⇒∈2极大理想的主要定理.引理1. 设 I R ,那么剩余类环I R为单环I ⇔是R 的极大理想. (这里R I ≠)证明: (⇐) 已知I 是R 的极大理想,须证I R R =只有平凡理想.设(){}J ≠0是R 的一个理想,而→R :πIR R =为自然同态映射, J R . 那么由§8知 ()J J 1-=π也是的理想,即J R .又注意到,I a ∈∀,则 ()[][]0a a =π ()πker =∴I[]J I J a J ⊆⇒∈⇒∈0 ,但 (){}J b J ∈∃⇒≠0 且 [][]J b b ∈⇒≠0 ,使 ()[][]I b b b ∉∴≠=,0π ,这说明 I ⊄J但I 是极大理想R J =⇒,于是利用π是满同态映射()()R R J J ===⇒ππ 即 R J =. ∴ I R R =是个单环.()⇒ 已知 IR R =是单环,(即R 只有平凡理想) 今设J R ,且,J I ⊄ 须证R J = :自然同态: →:πI R R =,且由§8定理3()J J =⇒π R .由J I ⊄J b ∈∃⇒且I b ∉, ∴ ()[][]0≠=b b π ( πker =I ) 而仅且 ()[]⇒∈=J b b π 这说明J 中有非零元[](){}0≠⇒J b ,但R 是单环R J =⇒. ∴ .R r ∈∀ ()[]J j J R r r ∈∃⇒=∈=π 使 ()[]()r r j ππ==∴ ()[]J I j r j r ∈=∈-⇒=-ππker 0∴ (),J j j r r ∈+-= 由 r 的任意性J R =⇒∴ I 是极大理想.引理2. 设{}0≠R ,且R 是可变换幺环,那么R 为域R ⇔为单环.证明: ()⇒ 若R 为域R ⇒必为单环()⇐ 显然需要证明R 是除环即可,也就是说:只要证明∙R 中每个元都可逆. ∈∀a ∙R ∴0≠a , 由a 生成的一个主理想{}()0≠a ,但R 是单环()()a R R a R =∈∴=⇒1, 又 R 为可换幺环(){}ra R a ra a R =⇒∈∀=⇒1∴ a r a ⇒=-1可逆, 由a 的任意性R ⇒是除环即R 是域. 定理1. 设{}R ≠0为可变换的幺环,而R I ,那么I R 为域I ⇔是R 的一个极大理想.证明: ()⇒ I R 为域⇒I R 为单环I 1引理⇒为R 的极大理想.()⇐ I 为R 的极大理想1引理⇒I R 为单环 (1)又 I 为极大理想{} 0≠⇒≠⇒I R R I (2) R 可变换且I R R R ⇒∈1可变换且单位元为[]R 1 (3)由(1),(2),(3) 2引理⇒I R 为域.。

主理想整环有限生成模矩阵论

主理想整环有限生成模矩阵论整环是一种具有加法、乘法和乘法单位元的代数结构，且满足结合律、分配律等基本性质。

一个整环中的理想是一个关于加法和乘法运算封闭的子集。

在整环中，理想起到了重要的作用，它们能够帮助我们更好地理解整环的结构和性质。

一个环可以通过它的生成元来描述，生成元是环中的元素的一个集合，通过这些元素，我们可以通过加法和乘法运算来生成整个环。

在本文中，我们将讨论主理想整环中有限生成模的矩阵论。

在一个整环中，一个模是一个向量空间，其乘法运算也满足一些特定的性质。

一个整环中的模可以通过一组元素的线性组合来生成，这组元素称为模的基。

有限生成模是指可以通过有限个元素的线性组合来生成的模。

在主理想整环中，理想可以通过一个元素来生成，这个元素称为主元素。

主理想整环中的有限生成模可以通过主元素的线性组合来生成。

我们可以将有限生成模的生成元表示为一个矩阵，该矩阵的列向量是模的生成元。

矩阵论是研究矩阵代数性质和矩阵运算的数学分支。

在矩阵论中，矩阵可以表示为一个矩形的数组，其中包含有限个元素。

在主理想整环中，有限生成模的矩阵论可以帮助我们研究模的性质和结构。

在主理想整环中，有限生成模的矩阵可以进行加法和乘法运算。

对于两个模的矩阵，可以将它们的对应元素进行相加或相乘，得到一个新的矩阵。

这些运算满足了封闭性和分配律等性质，使得我们可以对模的矩阵进行类似于矩阵的代数运算。

有限生成模的矩阵论还可以帮助我们研究模的同态和同构。

在主理想整环中，同态是指保持运算结构的映射。

对于两个有限生成模，可以通过一个映射将一个模映射到另一个模，这样的映射称为同态。

而同构是指存在一个双射的同态映射，使得两个模之间的结构完全相同。

通过研究模的矩阵，我们可以找到模之间的同态和同构关系。

有限生成模的矩阵论还涉及到线性方程组的求解。

在主理想整环中，线性方程组可以表示为一个模的矩阵乘以一个向量等于另一个向量的形式。

通过研究模的矩阵，我们可以找到线性方程组的解，从而解决一些实际问题。

主理想整环上的纯子模与有限生成模

主理想整环上的纯子模与有限生成模摘要：本文主要讨论主理想整环上纯子模与有限生成模的性质。

首先介绍主理想整环及其性质，接着给出纯子模与有限生成模的定义和性质，讨论它们之间的关系以及对每种模的分类和描述。

最后给出一些相关的例子和定理的证明。

关键词：主理想整环；纯子模；有限生成模；分类；定理正文：1. 引言主理想整环是一类非常特殊的环，在学习和研究线性代数和抽象代数中起到了很重要的作用。

纯子模和有限生成模是主理想整环上最具代表性的两种模，它们在很多领域应用广泛。

本文将介绍主理想整环、纯子模和有限生成模的定义和性质，以及它们之间的关系。

此外，本文还将对每种模的分类和描述进行讨论，并给出一些相关的例子和定理的证明。

2. 主理想整环和其性质主理想整环是指每个理想都是主理想的整环。

一个整环被称为主理想整环，当且仅当它满足以下条件：（1）它是一个整环。

（2）所有它的理想都是主理想。

（3）它有一个非零元素作为唯一基本域。

主理想整环具有如下性质：（1）每个主理想整环都是唯一分解整环。

（2）每个主理想整环都是域当且仅当它是PID（主理想整环）。

（3）每个有限生成交换整环都是主理想整环。

3. 纯子模和有限生成模3.1 纯子模设M是主理想整环R的一个左模，如果对任意的0 ≠ a∈R和任意非0元素m∈M，存在一个整数n=n(a,m) (n可能是负数)，使得am^n \in M，则称M是R的纯子模。

3.2 有限生成模设M是主理想整环R的一个左模，如果存在一个元素集{m1,m2, ..., mn} \subset M，使得M=\sum Rm_i，则称M是R的有限生成模。

4. 纯子模和有限生成模的分类和描述下面对纯子模和有限生成模根据条件进行分类和描述。

4.1 纯子模的分类和描述对于纯子模M，以下是几个可能的情况：（1）如果M ={0}，则M是零模。

（2）如果M ≠ {0}，但存在一个元素 a∈R，使得am \notin M，对于任意m\in M，则称M是零子模。

主理想整环与欧几里得整环讲解

§4.4 主理想整环与欧几里得整环
一、主理想整环
定义4.4.1
定理4.4.1
例1 例2
定义4.4.2 ---欧几里得整环例4 三、欧几里德整环、主理想整环及惟一分解整环的关系定理4.4.5 例5
定理4.4.2
定理4.4.3 二、欧几里得整环定理4.4.4 ---最大公因子的存在表示定理例3
例 6 设F为域. 则 F [ x ]为欧几里德整环, 因而也是主理想整环及惟一分解整环. 证令
: F [ x] {0} N {0}
f ( x)
设
deg f ( x).
f ( x), g ( x) F [ x], g ( x) . 0 令 { f ( x) g ( x)h( x) | h( x) F [ x]},
a dq, 于是 a d . 由此得 I d . 因而 I d
,
即 I 为 D 的主理想. 注：这个定理的逆是不成立的. 例如, 可以证明整 1 Z[ ] {a b | a, b Z}, (1 19), 环 2 是主理想整环, 但却不是欧几里德整环(参见[1]).
d ak . 另一方面,
ak I d
, 所以
d ak d .
从而
d ak .
由此知, 真因子链(4.4.1)仅有 k项.
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定理4.4.3 设 D为主理想整环, a是 D 的一个非零非单位的元素. 则下列条件等价: (1)a是素元; (2)a是不可约元; (3) a 是极大理想; (4) a 是素理想. 证 (1) (2) 见定理 4.3.3。 (2)(3) 因为 a不是单位, 所以 a 为 D 的真理想.

有限生成模

主理想环上的扭模总是用D 表示一个主理想整环。

定义设M 为D 模，如果对任何M m ∈都存在D r ∈使0=rm ，则称M 为扭模。

对于D 中的元a ，定义}0|{)(=∈=am M m a M 。

对于D 中的素元p ，)(1ii p p M M ∞== 称为M 的p 零化子模。

定理设M 为D 扭模，则p p M M 素元⊕≅。

证：对于任意的M m ∈，ann >=<s r s r p p m 11 ，其中i p 为素元，存在D q i ∈满足,112131212131221=+++--s s s r s r r s r s r r r s r p p p q p p p q p p q 令m p p p p q m s i i r s r i r i r i i 111111+-+-=，则i p i M m ∈，所以s p p s M M m m m ++∈++= 11。

由m 的任意性可知p p M M 素元+=。

若对于素元p ，)(q p q p M M m ≠+∈ ，即存在不同的素元s p p p ,,1，满足0=m p i ，0=k r k m p k ，s m m m ++= 1，所以011=m p p k r k r 。

由于存在D r q ∈,使111=+s r s r i p rp qp ，于是011=+=m p rp m qp m s r s r i 。

这说明0)(=+≠q p q p M M 。

所以p p M M 素元⊕≅。

定义设M 为D 扭模，如果对于D 中的素元p ，p M M =，则称M 为p 模。

定理设M 为p 模，则∞∞=⊕⊕=M M M i i )(1，其中x D M i i p x i Λ∈⊕≅，∞=,,2,1 i ， x D k p 表示由x 生成的循环子模满足D p D x D k p k /≅， ,2,1=k ，x D p ∞表示由},,,{210 x x x x =生成的满足关系1-=i i x px ，,2,1=i 的子模，等价地，x D p ∞为由},/,/,{2 p x p x x （n n x p x =/）生成的M 的子模。

近世代数10套试题

《近世代数》试卷1（时间120分钟）二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）循环群的子群是循环子群。

2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。

3. （）存在一个4阶的非交换群。

4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。

5. （）无零因子环的特征不可能是2001。

6. （）无零因子环的同态象无零因子。

7. （）模97的剩余类环Z97是域。

8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。

9. （）域是唯一分解整环。

10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。

一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。

2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。

3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。

4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。

5. 环Z6的全部零因子是。

6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本。

（共3０分）1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．（１）写出H＝< a>的所有元素．（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。

3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。

四、证明题（共30分）1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。

环的定义与性质

3．无零因子环的充分必要条件.
定理.3 设 R 是环，R 是无零因子环当且仅当 R 中的乘法适合消去律. 即a,b,c∈R，a≠0，有 ab = ac b = c 和 ba = ca b = c
证充分性. 任取 a,b∈R，ab = 0 且 a ≠ 0. 由 ab = 0 = a0 和消去律得 b = 0. 这就证明了 R 是无零因子环. 必要性. 任取 a,b,c∈R，a ≠ 0，由 ab = ac 得 a(bc) = 0，由于 R 是无零因子环，a ≠ 0，必有 bc = 0，即 b = c. 左消去律成立. 同理可证右消去律也成立.
理解左（右）零因子。如果是交换环，则如果 a 是左零因子，那么也是右零因子。请举出 a 仅为左零因子的环的例子。
2．交换环、含幺环、无零因子环、整环的实例（1）整数环 Z、有理数环 Q、实数环 R、复数环 C 都是交换环、含幺环、无零因子环和整环. （2）令 2Z={2z | z∈Z}，则<2Z,+,·>构成交换环和无零因子环. 但不是含幺环和整环. （3）设 nZ, n2, 则 n 阶实矩阵的集合 Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环. （4）<Z6,,>构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子环和整环. 23=32=0，2 和 3 是零因子. 注意：对于一般的 n, Zn 是整环当且仅当 n 是素数.
例如: Z3 和 Z2 是无零因子环, 消去律在 Z3 和 Z2 中都是成立的, 但 Z3×Z2 就不是无零因子环。由<2, 0> ·<0, 1> = <0, 0> = <2, 0> ·<0, 0>，<2, 0> <0, 0>和消去律可得: <0, 1> = <0, 0>, 显然这是错误的。

2008年版博士资格考试大纲

2008年版博士资格考试大纲考试时间：150分钟分析学(100分，三门中选二门)复分析(50分)1.Cauchy积分理论2.Weierstrass级数理论3.解析延拓4.Riemann的几何理论(a)正规族理论(b)Riemann映射定理及边界对应原理5 分式线性变换群和特殊区域的解析自同胚群6 Schwarz引理(a) Schwarz-Pick-Ahlfors定理(b) Poincare度量7 Riemann曲面的基本理论(a) Riemann曲面的概念(b) 亏格和Riemann-Roch定理(c) 紧Riemann曲面的分类实分析(50分)1．Fourier变换(a)1L函数的Fourier变换(b)Schwartz函数与缓增分布(c)Plancherel公式，p L函数的Fourier变换(d)收敛与求和，Poisson核、Gauss核2．Hardy-Littlewood极大函数(a)恒等逼近(b)Marcinkiewicz插值定理(c)Hardy-Littlewood极大函数3．奇异积分(a)Hilbert变换(b)Riesz变换(c)卷积型奇异积分算子(d)一般（非卷积型）Calderon-Zygmund算子4．Hardy空间与BMO空间(a)原子Hardy空间(b)BMO空间5．Littewood-Paley理论与乘子(a)Littewood-Paley理论(b)H?rmander乘子定理泛函分析(50分)1.Banach空间和Hilbert空间的基本理论及典型例子2.Banach空间和Hilbert空间上有界线性泛函和线性算子基本理论3.紧算子(a)Riesz-Fredholm理论(b)紧算子的基本性质, 谱理论(c)对称紧算子(d)有界自伴算子的谱分解(e)闭算子的理论（f）自伴扩张(g) 无界自伴算子的扰动4.算子半群(a)Hille-Yosida定理(b)单参数算子酉群的Stone定理参考书目：【1】Ahlfors: Complex Analysis. McGraw-Hill Book Company【2】伍鸿熙等: 紧Riemann曲面引论科学出版社【3】J. Duoandikoetxea, Fourier analysis, Amer. Math. Soc.;【4】程民德，邓东皋，龙瑞麟编著，实分析，高等教育出版社.【5】张恭庆, 林源渠等: 泛函分析讲义上, 下册【6】Yosida: Functional Analysis Springer-Verlag;)二. 代数学（100分）群1 群, 子群, 正规子群, 商群; 同态与同构, 同态定理与同构定理.2.群例: 循环群, 二面体群, 四元数群, 置换群, 线性群, $A_n$, $S_n$.3.自由群,生成元与定义关系.4.群在集合上的作用; Sylow定理和群.5.Jordan-Holder 定理,直积分解定理.6.可解群.7.算子群.8.特殊射影线性群的单性.9.空间上的型与典型群.10.辛群.环1.环, 子环, 理想, 商环; 同态与同构, 同态定理与同构定理.2.环的直和.3.素理想和极大理想, 幂零根和Jacobson根.4.环的整除性理论, 唯一分解环, 主理想整环, 欧几里得环.5.整环的分式域.6.交换环上的多项式环, Gauss引理.7.形式幂级数环.8.四元数体.域1.有限扩张, 扩张次数乘积公式.2.多项式的分裂域, 正规扩张.3.可分扩张.4.单扩张定理.5.Galois基本定理, 简单的Galois扩张.6.用根式解方程的判别准则.7.有限域.模1.模, 子模, 商模; 模同态与同构, 模同态定理与同构定理.2.模的自同态环.3.模的直和与直积.4.自由模.5.主理想整环上的有限生成模的结构定理.6.Nakayama引理.7.模的张量积.8.同态函子和张量函子9.整性相关.结合代数和有限群的表示论1.代数和模.2.不可约模和完全可约模.3.半单代数的结构.4.群的表示、特征标、正交关系、特征标表.初等数论1. 算术基本定理2. 数论函数3. 孙子定理4. 二次互反律5. 连分数6. Pell方程参考书目【1】聂灵沼，丁石孙，《代数学引论》，高等教育出版社，2000.【2】徐明曜，赵春来，《抽象代数（II）》，，北京大学出版社【3】N.Jacobson: Basic Algebra 1, 2nd Edition W.H. Freeman & Company 1974 【4】柯斯特利金：代数学引论（第一卷）高等教育出版社【5】潘承洞，潘承彪：初等数论，第二版，北京大学出版社，2004三. 几何与拓扑（100分，其中几何与拓扑各50分）1．代数拓扑a) 基本群与覆叠空间b) 曲面的分类c) 同调与上同调的理论、计算、常见例子和应用d) 同伦群及其基本性质2．微分流形a)微分流形的概念b)切丛与向量丛c)横截性理论d)微分形式，Stokes定理，de Rham上同调3．微分几何a)联络和曲率的基本概念b)Riemann几何的基本理论c)紧曲面上的Gauss-Bonnet 公式参考书目：【1】尤承业著，《基础拓扑学讲义》。

主理想整环上的模的性质

主理想整环上的模的性质模式在各个领域中都是一个重要的概念。

它可以被用来描述事物，现象或者过程。

现在，越来越多的人们开始关注模式在理想整环上的性质，这一领域本质上就是通过模式来描述一个理想的情况，并让它被大多数人所接受。

首先，要理解理想整环上的模的性质，需要先理解什么是“整环”概念。

可以从如下几点入手，整环概念指的是一种建立在环境和资源之间的能量有效循环。

它描述了一个系统中许多不同部分之间的各种关系，以及它们如何协同作用以形成一个完整的、有机的、动态的“整体”。

换句话说，理想整环上的模指的是一种让系统完美运行所需的关键环节。

它可以帮助人们更好地理解系统的功能和性能，把不同的部件联系起来，从而有效地利用环境和资源，从而实现有效的、完美的运行。

借助模式，可以更深入地了解理想整环上的模的性质。

从系统的模型上来看，可以把它分为三个层次：首先是系统的框架，它描述了系统的整体结构；第二层是连接层，它描述了系统中组件与组件之间的关系；第三层是控制层，它描述了系统中各种功能之间的协作和联系。

深入理解理想整环上的模的性质，可以说，它是一种建立在环境和资源之间的有效循环的一种体系。

它的特点是：（1）资源的投入和输出是平衡的；（2）系统的输出力能够满足系统的要求；（3）前提是系统得到及时有效的维护和管理。

在实际应用中，理想整环上的模的性质可以被运用到多个领域，例如经济、农业、能源、生态等。

有关各个系统设计和运行整个系统，都必须以理想整环上的模式为基础，以此来保证系统的有效运行。

归纳起来，理想整环上的模的性质可以定义为：一种建立在环境和资源之间的有效循环的一种体系，它的特点是资源的投入和输出是平衡的，系统的输出力能够满足系统的要求，前提是系统得到及时有效的维护和管理。

它可以被用于经济、农业、能源、生态等多个领域，以此来保证系统的有效运行。

理想整环上的模的性质，正在成为一种新的商业模式，它倡导更环保、更节能、更合理的可持续发展理念。

主理想整环上有限生成模结构定理

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主理想整环上的模的自同构

主理想整环上的模的自同构以《主理想整环上的模的自同构》为标题，写一篇3000字的中文文章模的自同构是一个很抽象的概念，它涉及多种理论，最重要的是认识论和数学逻辑，以及对数学模型和认识论中的概念的理解。

模的自同构所探讨的问题，主要是模型如何形成整个认识理论的叙述，如何将理论结构划分为互相独立的模型，以及模型之间是如何相互联系的。

首先，要理解模的自同构，需要从数学逻辑和认识论研究中，如何构建模型和模型之间的互动关系开始，因为模的自同构主要是在数学模型和认识论模式之间发挥作用的。

具体来说，首先要分析各个模型之间的相互关系，将它们划分为互不相交的模型系统，然后再研究它们之间的关联性，这时就可以构建出一个主理想的整体模式。

其次，要理解主理想整环上的模的自同构，必须深入了解各种模型的内涵。

例如，数学模型和认识论模型的概念，应该是完全独立的，从而使得它们能够发挥出不同的作用。

各种模型的理解也会体现出它们在整个系统中扮演的重要角色，从而使得主理想整体模式得以确立。

同时，要完成模的自同构，还需要结合实践，以实现真正的理解。

也就是说，要理解这些模型之间的联系，不仅要深入理解它们的概念，还要将它们应用到实际的案例中去，根据实践的结果不断修正认识论中的理论，从而使得主理想整体模式更加完整。

最后，要完成模的自同构，不仅要了解模型之间的联系，还要研究模型如何影响理论叙述。

主理想整环上的模的自同构，可以使得理论描述更为复杂、深入、完整，而不是局限于特定的模型来描述理论，否则主理想的解释可能会受到模型的局限性的影响。

总的来说，以《主理想整环上的模的自同构》为标题，主要是探讨如何在数学模型和认识论模式之间，通过构建有效的模型系统，以及分析模型之间的关联性，构建出一个主理想的整体模式，以实现模的自同构，更好地理解各个模型在整个系统中的作用，以及模型如何影响理论叙述，使得理论描述更加完整。

因此，研究主理想整环上的模的自同构，对更好理解数学模型和认识论模式，以及模型如何影响理论叙述具有重要意义。