河北省衡水中学2023届高三上学期四调数学试卷及答案
【数学】河北省衡水中学高三上学期四调考试试题(文)
河北省衡水中学高三上学期四调考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}2,1,0,1{-=A ，集合},32|{A x x y y B ∈-==，则=B A （ ） A ．}1,0,1{- B ．}1,1{- C ．}2,1,1{- D ．}2,1,0{ 2．已知复数),(R y x yi x z ∈+=，若i y x i )1(1-+=+，则=||z （ ） A ．25 B ．3 C ．27D ．4 3．已知双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，21,F F 为双曲线的左右焦点，P 为渐近线上一点且在第一象限，且满足021=⋅PF PF ，若02130=∠F PF ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．3 4．已知n S 是等比数列}{n a 前n 项的和，若公比2=q ，则=++6531S a a a （ ）A ．31 B ．71 C ．32 D ．73 5．设P 表示一个点，b a ,表示例题直线，βα,表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）①αα⊂⇒∈∈a P a P ,； ②ββ⊂⇒⊂=a b P b a , ； ③αα⊂⇒∈∈⊂b a P b P a b a ,,,// ④b P P P b ∈⇒∈∈=βαβα,, . A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④6．若43tan =x ，则=-++)42tan()42tan(ππx x （ ） A ．2- B ．2 C ．23 D ．23-7．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥ABC P -为鳖臑，⊥PA 平面ABC ，2==AB PA ，22=AC ，三棱锥ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．π12B ．π16C ．π20D ．π248．已知抛物线x y 42=上有三点C B A ,,，CA BC AB ,,的斜率分别为3，6，2-，则ABC ∆的重心坐标为（ ）A ．)1,914(B ．)0,914(C ．)0,2714(D ．)1,2714( 9．已知函数21121)(-+=x x f ，n m ,满足0)2()2(22≥-+-m n f n m f ，则|47|++n m 的取值范围是（ ）A ．]12,2[B ．]22,2[C ．]22,12[D ．]21012,21012[+- 10．函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中2||,0πϕ<>A ）的图象如图所示，为了得到x x g ωcos )(=的图象，则只要将)(x f 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度11．在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆1C ：1222=+y x 和2C ：1422=+y x ，又A 点坐标为)1,3(-，N M ,是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．无数个12．已知函数x x x f a +=log )(，)1(4log )1ln()(>+--=a a x x g x ，若存在实数0x 使得)()(00x g x f =，则=a （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量,夹角为060，且1||=，10|2|=-，则=|| .14．如图为某几何体的三视图，正视图与侧视图是两个全等的直角三角形，直角边长分别为3与1，俯视图为边长为1的正方形，则该几何体最长边长为 .15．已知数列}{n a 满足341=a ，}12{--n n a a 是公比为2的等比数列，则na a a a a a a a a ⋅++++213212111111 = .16．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左，右焦点分别为21,F F ，以O 为圆心，21,F F 为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点P ，且直线OP 的斜率为3，则椭圆的离心率为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知数列}{n a ，}{n b 满足411=a ，)1)(1(,11n n n n n n a ab b b a +-==++.（1）设11-=n n b c ，求数列}{n c 的通项公式； （2）若13221++++=n n n a a a a a a S ，求n S .18.如图，ABC ∆是等边三角形，D 是BC 边上的动点（含端点），记βα=∠=∠ADC BAD ,.（1）求βαcos cos 2-的最大值； （2）若71cos ,1==βBD ，求ABD ∆的面积.19.如图所示，四棱锥ABCD S -中，平面⊥SAD 平面ABCD ，AD SA ⊥，BC AD //，4234====AD AB BC SA .（1）证明：在线段SC 上存在一点E ，使得//ED 平面SAB ； （2）若AC AB =，在（1）的条件下，求三棱锥AED S -的体积.20．如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴长为4，离心率为21，过点)2,0(-的直线l 交椭圆于B A ,两点，点A 关于x 轴的对称点为C ，直线BC 交x 轴于Q 点.（1）求椭圆方程；（2）探究：||||OQ OP ⋅是否为常数？21.设常数2>t ，在平面直角坐标系xOy 中，已知点)0,2(F ，直线l ：t x =，曲线Γ：)0,0(82≥≤≤=y t x x y .l 与x 轴交于点A ，与Γ交于点Q P B ,,分别是曲线Γ与线段AB上的动点.（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设3=t ，2||=FQ ，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP ∆的面积；（3）设8=t ，是否存在以FQ FP ,为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由. 22．设函数)(,)1(ln )(R a x a x x f ∈+-=. （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）当函数)(x f 由最大值且最大值大于13-a 时，求a 的取值范围.【参考答案】1.【答案】B【解析】集合}1,1,3,5{},32|{},2,1,0,1{---=∈-==-=A x x y y B A ，则}1,1{-=B A ，所以B 选项是正确的. 2.【答案】C【解析】由复数相等的充要条件有：⎩⎨⎧=-=111y x ，⎩⎨⎧==21y x ，则521||,2122=+=+=z i z ，故选C. 3.【答案】B【解析】设O 为坐标原点，∵021=⋅PF ，∴三角形21F PF 为直角三角形， 又O 为21F F 的中点， ∴||||2OF OP =， ∵02130=∠F PF ，∴01260=∠F PF ，三角形2POF 为正三角形， ∴直线OP 的倾斜角为060， ∴060tan =ab3= ∴222=+==ab a ac e ，故选B. 4.【答案】A【解析】31111)1()1(614216531=+=--++=++q qq a q q a S a a a ，故选A. 5.【答案】D【解析】当P a =α 时，,,α∈∈P a P 但α⊄a ，∴①错；P a =β 时，②错；如图，∵b P b a ∈,//，∴a P ∉,∴由直线a 与点P 确定唯一平面α，又b a //，由a 与 b 确定唯一平面β，但β经过直线a 与点P ，∴β与α重合，∴α⊂b ，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．故选 D ． 6.【答案】C【解析】23tan 22tan 12tan42tan 112tan 2tan 112tan)42tan()42tan(2==-=+-+-+=-++x x xx x x x x x ππ，故选C. 7.【答案】A【解析】由题意，⊥PA 平面ABC ，2==AB PA ，22=AC ，因为平面ABC 和平面PBC 都是直角三角形，则角ABC 为直角，此时满足BC 垂直于PA ，BC 垂直于AB 进而得到BC 垂直于PB ，此时满足面PBC 为直角三角形，底面外接圆的圆心是斜边AC 的中点，球心在过底面圆心并且和PA 平行的直线上，并且球心到圆心的距离为1，直角三角形外接圆的半径为2=r ，∴122+=r R ，即3=R .∴球O 的表面积24R S π=π12=，故选A. 8.【答案】C【解析】设),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A 则3444212221212121=+=--=--=y y y y y y x x y y k AB ，得3421=+y y ，同理326432==+y y ，22413-=-=+y y ，三式相加得0321=++y y y ，故与前三式联立，得914,34,2,32211321==-==-=y x y y y ，14222==y x ，944233==y x ，则27143321=++x x x .故所求重心的坐标为)0,2714(，故选C.9.【答案】B【解析】由题意，02112121121)()(=-++-+=+--xxx f x f ，可得)(x f 为奇函数，又)(x f 是R 上的减函数，故)2()2(22≥-+-m n f n m f ⇒)2()2()2(222n m f m n f n m f -=--≥-2)1()1(222222≤-+-⇒-≤-⇒n m n m n m ，所以满足条件的),(n m 表示的区域是圆2)1()1(22=-+-y x 的内部（含边界），则点),(n m 到直线047=++y x 的距离]25012,25012[50|47|+-∈++=n m d ，所以|47|++n m 的取值范围是]22,2[，故选B. 10.【答案】A【解析】由函数图象可得1=A ，则31272414ππωπ-=⨯=T ，可得2=ω.再由五点作图法可得πϕπ=+⨯32，可得3πϕ=，故函数的解析式为)32sin()(π+=x x f .由)26cos()32sin()(x x x f -=+=ππ)12(2cos π-=x ，故将函数)(x f 的图象向左平移12π个单位长度可得到x x g ωcos )(=的图象，故选A. 11.【答案】D【解析】如图所示，任取圆2C 上一点Q ，以AQ 为直径画圆，交圆2A 与N M ,两点，则由圆的对称性知，AQ MN =，且090=∠=∠ANQ AMQ ，∴四边形AMQN 是矩形，由作图知，四边形AMQN 能构成无数个矩形. 故选D.12.【答案】A【解析】由已知0x ∃，4log )1ln(log 0000+--=+a x x x x a ，即4)1ln(log log 0000=--++x x a x x a ，而1,10>>a x ，故0log 0>x a ，ax 0log ⇒>=0log 1x a 2log log 00≥+a x x a ，设)1ln()(--=x x x h ，容易求得当2=x 时，)(x h 的最小值为2.∴4)1ln(log log 0000≥--++x x a x x a ， 当“=”成立时,2,1log 00==x x a 故2=a ，选A. 13.【答案】17+【解析】平面向量遇到模想到了平方，遇到了角度想到了数量积公式，两者结合使用即可算出答案已知向量b a ,夹角为060，且1||=a ，10|2|=-b a ， ∴10||||2444)2(2222=+-=+⋅-=-b b b b a a b a 解得71||+=或71-（舍去），∴71||+= 14.【答案】5【解析】由三视图还原几何体如图所示；该几何体还原实物图为三棱锥，BDC ∆为腰长为 1 的等腰三角形， ⊥AB 平面BDC ，DC AD ⊥，则3=AB ，2=AD ，∴最长边为5=AC ，故填5.15.【答案】12121+-+n n【解析】由题知，12--n n a a nn a a 2212111=⋅--=-，则12)22(212221++=++=-nn n n n a ， 所以12212)22(212)22(212)22(211211021+=++++⋅++=+-nn n n n a a a ，故12121211++=n na a a ， 所以113221321211212121212121111++-+=++++=⋅++++n n n n n a a a a a a a a a . 16.【答案】31-【解析】由题可知0260=∠POF ，02101190,30=∠=∠=∠PF F OPF O PF ， 所以c PF c PF c F F 3||,||,2||1221===，由椭圆定义可知a c PF PF 2)13(||||12=+=+所以离心率13132-=+==ace .17.解：（1）∵12111--=-+nn b b ，∴11112111-+-=--=-+n n n n b b b b ，∵41111-=-=b c ，∴数列}{n c 是以4-为首项，1-为公差的等差数列， ∴3)1)(1(4--=--+-=n n c n . （2）由（1）知，311--=-=n b c n n ，∴32++=n n b n ， 从而311+=-=n b a n n ， 13221++++=n n n a a a a a a S 4141)4)(3(1651541+-=++++⨯+⨯=n n n )4(4+=n n.18.解：（1）由ABC ∆是等边三角形，得3παβ+=，30πα≤≤，故βαcos cos 2-)3sin(3)3cos(cos 2παπαα+=+-=，故当6πα=时，即D 为BC中点时，原式取得最大值3.（2）由71cos =β，得734sin =β，故14333sin cos 3cos sin )3sin(sin =-=-=πβπβπβα，由正弦定理得BAD BDADB AB ∠=∠sin sin ，故3811433734sin sin =⨯==BD AB αβ，故3322313821sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=∆B BD AB S ABD . 19.（1）证明： 如图，取SB 中点M ，SC 中点E ，连接DE ME AM ,,，∴ME 是BCS ∆的中位线， ∴BC ME //，BC ME 21=，由题得，BC AD 21//，BC AD 21=，则有ME AD ME AD =,//，∴四边形AMED 为平行四边形， ∴AM ED //∵⊄ED 平面SAB ，⊂AM 平面SAB ， ∴//ED 平面SAB .（2）解：∵平面⊥SAD 平面ABCD ，平面 SAD 平面AD ABCD =，⊂⊥SA AD SA ,平面SAD ，故⊥SA 平面ABCD∵E 是SC 中点，∴E 到平面ABCD 的距离等于S 到平面ABCD 距离的一半， 且⊥SA 平面ABCD ，4=SA ，∴三棱锥ACD E -的高为2 ，AED S ACD E V V --=，在等腰ABC ∆中，3==AB AC ，4=BC ，BC 边上的高为52322=-，AD BC //，∴C 到AD 的距离为5，∴55221=⨯⨯=∆ADC S ， ∴3522531=⨯⨯=-AED S V . 20.解：（1）由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===2222142c b a a c a 解得1,3,2===c b a所以椭圆方程为13422=+y x 直线l 方程为2-=kx y ，则P 的坐标为)0,2(k设),(11y x A ，),(22y x B ，则),(11y x C -， 直线BC 方程为121121x x x x y y y y --=++，令0=y ，得Q 的横坐标为4)()(22212121211221-+-=++=x x k x x x kx y y y x y x x ①又⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134222y x kx y 得0416)43(22=+-+kx x k ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+2212214344316k x x k k x x 代入①得k kk k k k x 21224)43(416162822=--=+-⋅-=得422||||||=⋅=⋅=⋅k kx x OQ OP Q P∴||||OQ OP ⋅为常数4.21. 解：（1）由题意可知，设)22,(t t B ，由抛物线的性质可知，22||+=+=t pt BF ，∴2||+=t BF ；（2）)0,2(F ，2||=FQ ，3=t ，则1||=FA ，∴3||=AQ ，∴)2,3(Q ，设OQ 的中点D ，)22,23(D ， 3223023-=--=QFk ，则直线PF 方程：)2(3--=x y ，联立得0122032=+-x x ， 解得32=x ，6=x （舍去）， ∴AQP ∆的面积637321⨯⨯=S （3）存在，设),8(),,8(22m m E y y P ，则1682822-=-=y y y y k PF ，y y k QF 8162-=，直线QF 方程为)2(8162--=x yy y ，∴yy y y y Q 4348)28(81622-=--=，)4348,8(2y y Q -，根据=+，则)448,68(22yy y E ++， ∴)68(8)448(22+=+y y y ，解得5162=y ∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上，且)554,52(P .22.解：（1）函数)(x f 的定义域为),0(+∞，xxa a x x f )1(1)1(1)(+-=+-=①当01≤+a ，即1-≤a 时，0)('>x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增； ②当01>+a 时，即1->a 时，令0)('=x f ，解得11+=a xi ）当110+<<a x 时，0)('>x f ，函数单调递增， ii ）当11+>a x 时，0)('<x f ，函数单调递减，综上所述，当1-≤a 时，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增，当1->a 时，在)11,0(+a 上，函数单调递增，在),11(+∞+a 上，函数单调递减 （2）由（1）可知当1-≤a 时，0)('>x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增，无最大值，不满足题意，当1->a 时，在)11,0(+a 上，函数单调递增，在),11(+∞+a 上，函数单调递减，所以)11()(max +=a f x f 111ln-+=a ，由题意可知13111ln->-+a a ，即03)1ln(<++a a ， 令a a a g 3)1ln()(++=，所以0)0(=g ，且)(a g 在),1(+∞-上单调递增，所以0)0()(=<g a g 在),1(+∞-上恒成立，所以01<<-a ，故a 的取值范围为)0,1(-.。
河北省衡水中学高三数学上学期四调考试试题 文(含解析)
数学（文）试题【试卷综述】突出考查数学主干知识试卷长度、题型比例配置与《考试说明》一致，全卷重点考查中学数学主干知识和方法；侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。
全面考查了考试说明中要求的内容，在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间为120分钟。
第I卷（选择题共60分）【题文】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1．设集合的范围是【知识点】集合 A1a≤，故选B【答案】【解析】B 解析：由子集的概念可知1【思路点拨】根据子集的概念可知集合中元素的取值范围.【题文】2．已知空间直线L不在平面a内，则“直线L上有两个点到平面口的距离相等”是的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【知识点】充分条件与必要条件 A2【答案】【解析】B解析：直线不在平面内分为直线与平面平行与相交两种情况，有两个点到lα，必要不充分条件.B为正确选平面的距离相等，则直线与平面也是平行或相交，所是是//项.【思路点拨】根据条件与结论之间的关系可知正确结果.【题文】3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为C．200 D． 240【知识点】三视图 G2 【答案】【解析】C 解析：由三视图可知几何体为底面是等腰梯形的四棱柱，所以它的体积为()1284102002V Sh ==+⋅⋅=，所以正确选项为C.【思路点拨】由三视图可知几何体的形状，再根据几何体的直观图求出体积. 【题文】4．已知函数，则下列结论中正确的是A ．函数的最小正周期为B ．函数的最大值为1C ．将函数的图像向右平移的图像D ．将函数的图像向左平移的图像【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 C4 【答案】【解析】C 解析：∵，∴f（x ）=cosx ，g （x ）=sinx∴f（x ）g （x ）=sinxcosx=sin2x ，T=，排除A ，，排除B ；将f （x ）的图象向左平移个单位后得到y=cos （x+）=﹣sinx≠g（x ），排除D ；将f （x ）的图象向右平移个单位后得到y=cos （x ﹣）=sinx=g （x ），故选C ．【思路点拨】先将函数f （x ），g （x ）根据诱导公式进行化简，再求出f （x ）g （x ）的解析式，进而得到f （x ）g （x ）的最小正周期和最大值可排除A ，B ；再依据三角函数平移变换法则对C ，D 进行验证即可． 【题文】5．直线分割成的两段圆弧长之比为A ．1：1B ．1：2C ．1：3D ．1：4【知识点】直线与圆 H4【答案】【解析】B 解析：因为圆心到直线的距离为12d =，所以劣弧所对的圆心角为120︒，优弧所对的圆心角为240︒，所以两段的弧长之比与圆心角之比相等为1:2，所以B 正确. 【思路点拨】根据直线与圆的位置关系可求出圆心角的大小. 【题文】6．已知的最小值是A ．4B ．3C ．2D ．1【知识点】基本不等式 E6【答案】【解析】A 解析：因为由对数的运算可知3lg2lg8lg2lg231 x y x y x y++==∴+=，所以()11113324 333y xx yx y x y xy⎛⎫+=++=++≥⎪⎝⎭，33y xx y+=能取等号，所以A 正确. 【思路点拨】根据对数的运算求出x,y的关系，再根据基本不等式求出最小值.【题文】7．椭圆的一个焦点为F1若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF，相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质 H5【答案】【解析】D 解析：设线段PF的中点为M ，另一个焦点F′，由题意知，OM=b，又OM 是△FPF′的中位线，∴OM=PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知 PF=2a﹣PF′=2a﹣2b，又 MF=PF=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF=c，直角三角形OMF中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得离心率 e==，故选：D．【思路点拨】设线段PF 的中点为M ，另一个焦点F′，利用OM是△FPF′的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF的三边之长，使用勾股定理求离心率【题文】8．已知等差数列项和为时为递增数列，则实数λ的取值范围为【知识点】数列的函数特性 D1【答案】【解析】D 解析：∵an=2n+λ，∴a1=2+λ，∴Sn===n2+（λ+1）n，又因为n∈N由二次函数的性质和n∈N可知＜7.5即可满足数列{Sn}为递增数列，解不等式可得λ＞﹣16故选：D【思路点拨】Sn==n2+（λ+1）n，利用函数的单调性，列不等式即可求解．【题文】9．已知双曲线的一条渐近线与函数的图像相切，则双曲线的离心率等于【知识点】双曲线的简单性质 H6【答案】【解析】D 解析：设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，∵y=1+lnx+ln2，∴y′=，∴=，∴n=1，m=，∴=2，∴e===．故选：D．【思路点拨】设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，求导数，利用渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，求出=2，即可求出双曲线Γ的离心率．【题文】10．已知实数x、y满足不等式组的取值范围是【知识点】简单的线性规则 E5【答案】【解析】B 解析：作出不等式组对应的可行域如图，为三角形AOB及其内部．其中B（1，0），A（0，2）作直线：ax+by=0∵a＞0，b＞0，∴直线ax+by=0经过2，4象限，那么z=ax+by最优解为B（1，0）或A（0，2）∵ax+by≤1∴将B（1，0）代入，a≤1，即A（0，2）代入得2b≤1，b≤∴0＜a+b≤,即a+b的取值范围是（0，]，故选：B．【思路点拨】画出不等式组表示的平面区域，判断出区域的形状，求出a，b的范围，进一步求出a+b的范围．【题文】11．抛物线的焦点为F，M足抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为的值为A．2 B．4 C．6 D．8【知识点】抛物线的简单性质 H7【答案】【解析】D 解析：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．【思路点拨】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值【题文】12．定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x，()f x'是它的导函数，且恒有()()tanf x f x x'<成立，则【知识点】导数的运算 B11【答案】【解析】A 解析：因为x∈（0，），所以sinx＞0，cosx＞0．由f（x）＜()f x'tanx，得f（x）cosx＜()f x'sinx．即()f x'sinx﹣f（x）cosx＞0．令g（x）=x∈（0，），则．所以函数g（x）=在x∈（0，）上为增函数，则，即，所以，即．故选A．【思路点拨】把给出的等式变形得到f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g （x ）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则，整理后即可得到答案．第Ⅱ卷（非选择题共90分）【题文】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 【题文】13．函数的所有零点之和为____．【知识点】函数的零点 B9【答案】【解析】4 解析： 由题意可知函数的零点就是1sin 1x x π=-的根，由图像可知y sin x π=是周期为2的函数，与1y 1x =-交点有四个，根据周期性可知四个根的和为4.【思路点拨】根据函数的图象可得到交点的性质.【题文】14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0．6180339887．人们称该数列为“斐波那契数列”，若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列，在数列中第2014项的值是 。
2021届河北省衡水中学高三上学期新高考四调考试数学(理)试题及答案
绝密★启用前衡水中学2020－2021学年度高三年级上学期四调考试数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2og 1{|l }A x x =<，集合{|B y y ==，则A B ⋃=（ ）A ．()0,+∞B ．[)0,2C ．()0,2D ．[)0,+∞2．已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．若双曲线()2210mx ny m +=>，则mn=（ ） A ．14B ．14-C ．4D ．－44．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．以腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（ ）A ．3B ．4C ．2D5．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC △中，BC AC =．根据这些信息，可得sin1674︒=（ ）A B ．C ．D ．6．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，(log a f =，31log 2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()ln3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>7．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为（ ）A B C ．2D ．8．已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<，对于x R ∈恒成立，则下列不等关系正确的是（ ） A ．()()10f ef >，()20202020f e < B ．()()10f ef >，()()211f e f >-C ．()()10f ef <，()()211f e f <-D ．()()10f ef >，()()202020200f e f >二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知椭圆C ：22148x y +=内一点()1,2M ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．椭圆的焦点坐标为()2,0、()2,0-B ．椭圆C 的长轴长为C ．直线l 的方程为30x y +-=D ．||AB =10．设0a >，0b >，且24a b +=，则下列结论正确的是（ ）A ．11a b+ B ．21a b+的最小值为2 C ．12a b +的最小值为94D ．111b a a b +≥++ 11．已知函数()sin cos |sin cos |f x x x x x =++-，下列结论不正确的是（ ）A ．函数图像关于4x π=对称B ．函数在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．若()()124f x f x +=，则122()2x x k k Z ππ+=+∈D ．函数()f x 的最小值为－212．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，如图，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α、下面说法正确的是（ ）A ．直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为⎣⎦B ．点M 与点1C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C ．点M 为1CC ；的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的中点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设,a b 为单位向量，且|1rra b -=，则|2|a b -=__________．14．已知数列{}n a 满足21,1log (3),2,*n n n a n n n N +=⎧=⎨+≥∈⎩，定义使123)(*a a a k N ⋅⋅∈为整数的k 叫做“幸福数”，则区间[]1,2020内所有“幸福数”的和为__________． 15．关于x 的方程ln 1xkx x--=在(]0,e 上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围__________． 16．设双曲线222116x y b -=的左右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线上任意一点，过1F 的直线与12F PF ∠的平分线垂直，垂足为Q ，则点Q 的轨迹曲线E 的方程__________；M 在曲线E 上，点()8,0A ，()5,6B ，则1||||2AM BM +的最小值__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，4n n a S +=，设2log n n b a =（1）判断数列{}n b 是否为等差数列，并说明理由． （2）求数列21211n n b b -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．18．在①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，②2cos222CC -+=③()sin sin sin a A B c C -+=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，sin sin A B =，2c =，__________，求角C 及ABC △的面积S ．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，PA AB BC CD ===，PA PD ⊥，60PAD ∠=︒，Q 为PD 的中点．（1）证明：//CQ 平面PAB ； （2）求二面角P AQ C --的余弦值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点(F ，椭圆的两顶点分别为(),0A a -，(),0B a ，M 为椭圆上除A ，B 之外的任意一点，直线MA ，BM 的斜率之积为14-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若P 为椭圆C 短轴的上顶点，斜率为k 的直线不经过P 点且与椭圆C 交于E ，F 两点，设直线PE ，PF 的斜率分别为1k ，2k ，且121k k +=-，试问直线l 是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由．21．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，且过点F 的直线l 被抛物线C 所截得的弦长MN 为8． （1）求直线l 的方程；（2）当直线l 的斜率大于零时，求过点M ，N 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．22．已知函数()ln x f x ae x =，（其中 2.71828e =…是自然对数的底数），()2ln g x x x a =+，0a >．（1）讨论函数()f x 的单调性（2）设函数()()()h x g x f x =-，若()0h x >对任意的()0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．答案详解1．D解：∵{}2log 1A x x =<{}02x x =<<，{B y y =={}0y y =≥，∴[0,)AB =+∞，故选：D ．2．D依题意可知直线过圆心(1,2)-，即34110a +-=，2a =．故(),1,122a a ⎛⎫-=-⎪⎝⎭． 圆方程配方得22(1)(2)5x y -++=，(1,1)-与圆心距离为1，故弦长为4=．故选D ．本题考查直线与圆的位置关系，利用中点弦三角形解弦长，属于基础题。
【100所名校】河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学(理)试题(解析版)
名校精编卷 第1页（共6页） 名校精编卷 第2页（共6页） 河北省衡水中学 高三年级上学期四调考试数学（理）试题 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．下列命题正确的个数为 ①梯形一定是平面图形； ②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8=4S 4，则a 4= A．52 B ．3 C ．72 D ．4 3．已知双曲线my 2−x 2=1(m ∈R)与抛物线x 2=8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 A ．y =±√3x B ．y =±3x C ．y =±13x D ．y =±√33x 4．如图，一只蚂蚁从点A 出发沿着水平面的线条爬行到点C ，再由点C 沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B ，则它可以爬行的不同的最短路径有A ．40条B ．60条C ．80条D ．120条 5．函数f(x)=x 2−2|x|的图象大致是 A ． B ． C ． D ． 6．若tan(x 2+π4)+tan(x 2−π4)=32，则tanx = A ．−2 B ．2 C ．34 D ．−34 7．某县教育局招聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到A,B 两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为 A ．72 B ．56 C ．57 D ．63 8．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．96π+36 B ．72π+48 C ．48π+96 D ．24π+48 9．已知函数f(x)=cosxsin2x ，下列结论不正确的是 A ．y =f(x)的图象关于点(π,0)中心对称 B ．y =f(x)既是奇函数，又是周期函数 C ．y =f(x)的图象关于直线x =π2对称 D ．y =f(x)的最大值为√32 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号名校精编卷 第3页（共6页）名校精编卷 第4页（共6页） 10．如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为A ．2000π9B ．4000π27C ．81πD ．128π11．已知y 2=4x 的准线交x 轴于点Q ，焦点为F ，过Q 且斜率大于0的直线交y 2=4x 于A,B ，∠AFB =600，则|AB|=A ．4√76B ．4√73C ．4D ．312．已知f (x )={x 2,x ≤0−x (e 1−x +ax 2−a),x >0 是减函数，且f (x )+bx 有三个零点，则b 的取值范围为A ．(0,ln22)∪[e −1,+∞)B ．(0,ln22)C ．[e −1,+∞)D ．{ln22}∪[e −1,+∞)二、解答题13．数列{a n }满足a 1=6，a n+1=6a n −9a n （n ∈N ∗）.（1）求证：数列{1a n −3}是等差数列；（2）求数列{lga n }的前999项和.14．在四棱锥P −ABCD ，AB//CD ，∠ABC =900,BC =CD =PD =2，AB =4,PA ⊥BD ，平面PBC ⊥平面PCD ，M,N 分别是AD,PB 中点.（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）求MN 与平面PDA 所成角的正弦值. 15．在ΔABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=accosC +c 2cosA . （1）求角A 的大小； （2）若ΔABC 的面积S ΔABC =25√34，且a =5，求sinB +sinC . 16．如图，直线AQ ⊥平面α，直线AQ ⊥平行四边形，四棱锥的顶点P 在平面α上，AB =√7，AD =√3，AD ⊥DB ，AC ∩BD =O,OP//AQ,AQ =2，M,N 分别是AQ 与CD 的中点. （1）求证：MN//平面QBC ； （2）求二面角M −CB −Q 的余弦值. 17．如图，椭圆C 1：x 2a +y 2b =1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2，离心率为√32，过抛物线C 2：x 2=4by 焦点F 的直线交抛物线于M,N 两点，当|MF|=74时，M 点在x 轴上的射影为F 1，连接NO,MO)并延长分别交C 1于A,B 两点，连接AB ，ΔOMN 与ΔOAB 的面积分别记为S ΔOMN ，S ΔOAB ，设λ= S ΔOMN S ΔOAB . （1）求椭圆C 1和抛物线C 2的方程； （2）求λ的取值范围. 18．已知函数f(x)=ax 32−lnx −23的图象的一条切线为x 轴.（1）求实数a的值；（2）令g(x)=|f(x)+f′(x)|，若存在不相等的两个实数x1,x2满足g(x1)=g(x2)，求证：x1x2<1.三、填空题19．已知向量m⃑⃑ ,n⃑夹角为600，且|m⃑⃑ |=1，|2m⃑⃑ +n⃑ |=√10，则|n⃑ |=_______.20．已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=1200,AB=2,BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_______.21．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有______种.22．三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，ΔABC为正三角形，外接球表面积为12π，则三棱锥P−ABC的体积V P−ABC的最大值为______.名校精编卷第5页（共6页）名校精编卷第6页（共6页）名校精编卷答案 第1页（共16页）名校精编卷答案 第2页（共16页） 河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（理）试题数学 答 案参考答案1．C【解析】分析：逐一判断每个命题的真假，得到正确命题的个数.详解：对于①，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，所以该命题是真命题；对于②，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，所以该命题是假命题；对于③，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，是真命题；对于④，如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，所以该命题是假命题.故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查空间直线平面的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象能力.(2)对于类似这种空间直线平面位置关系的命题的判断，一般可以利用举反例的方法和直接证明法,大家要灵活选择方法判断.2．C【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，代入S 8=4S 4即可求出a 1=12，再利用等差数列通项公式就能算出a 4.【详解】∵{a n }是公差为1的等差数列，S 8=4S 4，∴8a 1+8×7×12=4×(4a 1+4×3×12)解得a 1=12，则a 4=12+3×1=72，故选C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及其前n 项和公式的运用，是基础题。
河北省衡水中学高三数学上学期四调考试试题 理(含解析)
数学（理）试题【试卷综述】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，破除了试卷的八股模式，以全新的面貌来诠释新课改的理念，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面，都进行了大胆的改革和有益的探索，应当说是一份很有特色的试题.【题文】一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的） 【题文】1．已知向量=【知识点】平面向量的数量积；向量模的运算. F3 【答案】【解析】C 解析：∵222()2()50a b a a b b +=+⋅+=，又(2,1),10a a b =⋅=，∴()250520255b b =--=⇒=，故选C. 【思路点拨】把向量的模转化为数量积运算. 【题文】2．已知的共轭复数，复数A ．B ．c．1 D ．2【知识点】复数的基本概念与运算. L4【答案】【解析】A解析：∵114i z i-====+，∴144z i =--，∴221144z z ⎛⎛⎫⋅=+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.【思路点拨】化简复数z ，根据共轭复数的定义得z ，进而求得结论.【题文】3．某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有 A ．80种 B ．90种 C ．120种 D ．150种 【知识点】排列与组合. J2 【答案】【解析】 D 解析：有二类情况：（1）其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有335360C A =种，（2）其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有 213453902C C A =种，∴共有150种.故选D. 【思路点拨】先根据分到各学校的教师人数分类，再根据去各学校教师人数将教师分成三组，然后将这三组教师全排列即可. 【题文】4．曲线处的切线方程为 A ．B ．C ．D ．【知识点】导数的几何意义. B11【答案】【解析】A 解析：∵22222(2)(2)x x x y y x x x +-'=⇒==+++，∴曲线在点（-1，-1）处切线的斜率为2，∴所求切线方程为21y x =+，故选A.【思路点拨】根据导数的几何意义，得曲线在点（-1，-1）处切线的斜率，然后由点斜式得所求切线方程. 【题文】5．等比数列A ．62B ． 92 C ．152 D ．122【知识点】等比数列；积得导数公式. D3 B11 【答案】【解析】D 解析：因为182,4a a ==，又()()()()()()128128()f x x a x a x a x x a x a x a ''=---+---⎡⎤⎣⎦所以()441212818(0)82f a a a a a '====，故选D.【思路点拨】根据积得导数公式求解. 【题文】6．经过双曲线：的右焦点的直线与双曲线交于两点A,B ，若AB=4，则这样的直线有几条A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 【知识点】直线与双曲线. H6 H8 【答案】【解析】B 解析：因为AB=4而双曲线的实轴长是4，所以直线AB 为x 轴时成立，即端点在双曲线两支上的线段AB 只有一条，另外端点在双曲线右支上的线段AB 还有两条，所以满足条件得直线有三条.【思路点拨】设出过焦点的直线方程，代入双曲线方程，由弦长公式求得满足条件得直线条数.【题文】7．设函数，则A ．在单调递增B ．在单调递减 C ．在单调递增 D ．在单调递增【知识点】两角和与差的三角函数；函数的周期性；奇偶性；单调性. C5 C4【答案】【解析】D解析：())4f x x πωϕ=+-，因为T π=，所以2ω=，又因为()(),2f x f x πϕ-=<，所以4πϕ=，所以()f x x =，经检验在单调递增，故选 D.【思路点拨】根据已知条件求得函数()f x x =，然后逐项检验各选项的正误. 【题文】8．某产品的广告费用x 与销售额y的统计数据如下表：根据下表可得回归方程中的b =10．6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为A ． 112．1万元B ．113．1万元C ．111．9万元D ．113．9万元 【知识点】变量的相关性；回归直线方程的性质与应用. I4【答案】【解析】C 解析：把样本中心点（7,432）代入回归方程得 5.9a =，所以广告费用为10万元时销售额为10.610 5.9111.9⨯+=（万元），故选C.【思路点拨】根据回归方程过样本中心点得a 值，从而求得广告费用为10万元时销售额. 【题文】9．椭圆C 的两个焦点分别是F1，F2若C 上的点P 满足，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是【知识点】椭圆的性质. H5【答案】【解析】C 解析：∵12233,2PF F F c ==∴223PF a c=-，由三角形中，两边之和大于第三边得232311223342c c a c c c a c c a +≥-⎧⇒≤≤⎨+-≥⎩，故选C.【思路点拨】利用椭圆定义，三角形的三边关系，椭圆离心率计算公式求得结论. 【题文】10．已知直三棱柱，的各顶点都在球O 的球面上，且，若球O 的体积为，则这个直三棱柱的体积等于【知识点】几何体的结构；球的体积公式；柱体的体积公式. G1【答案】【解析】B 解析：由球的体积公式得球的半径AB=AC=1，ABC是顶角是120°的等腰三角形，其外接圆半径r=1，所以球心到三棱柱底面的距离为2，所以此三棱柱的体积为111sin12042⨯⨯⨯⨯=B.【思路点拨】本题重点是求三棱锥的高，而此高是球心到三棱柱底面距离h的二倍，根据此组合体的结构，球半径R，△ABC的外接圆半径r及h构成直角三角形，由此求得结果.【题文】11．在棱长为1的正方体中，着点P是棱上一点，则满足的点P的个数为A．4 B．6 C．8 D．12【知识点】几何体中的距离求法. G11【答案】【解析】 B解析：若点P在棱AD上，设AP=x，则()222212 CP PD DC x=+=-+，所以2x=，解得12x=，同理点P可以是棱,,,,AB AA C C C B C D''''''的中点，显然点P不能在另外六条棱上，故选B.【思路点拨】构建方程，通过方程的解求得点P 的个数.【题文】12．定义在实数集R 上的函数的图像是连续不断的，若对任意实数x ，存在实常数t使得恒成立，则称是一个“关于￡函数”．有下列“关于t函数”的结论：①()0f x=是常数函数中唯一一个“关于t函数”；②“关于12函数”至少有一个零点；③2()f x x=是一个“关于t函数”.其中正确结论的个数是A．1 B．2 C．3 D．0【知识点】函数中的新概念问题；函数的性质及应用. B1【答案】【解析】A 解析：①不正确，()0f x c=≠，取t= -1则f(x-1)-f(x)=c-c=0,即()0f x c=≠是一个“关于-1函数”；②正确，若f(x)是“关于12函数”，则11()()022f x f x ++=，取x=0，则1()(0)02f f +=，若1(),(0)2f f 任意一个为0，则函数f(x)有零点，若1(),(0)2f f 均不为0，则1(),(0)2f f 异号，由零点存在性定理知在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在零点；③不正确，若2()f x x =是一个“关于t 函数”，则22()x t tx +=-()22120t x tx t ⇒+++=恒成立，则210200t t t ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩所以t 不存在. 故选A.【思路点拨】举例说明①不正确；由函数零点存在性定理及新定义说明②正确；把2()f x x =代入新定义得t 不存在，所以③不正确.【典例剖析】本小题是新概念问题，解决这类题的关键是准确理解新概念的定义，并正确利用新概念分析问题.【题文】第Ⅱ卷（非选择题共90分）【题文】二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分。
2024届河北省衡水中学高三上学期四调考试数学试题及答案
2023-2024学年度上学期高三年级四调考试数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{11},02A xx B x x =-<<=∣∣ ，则A B ⋂=（）A.[)0,1 B.(]1,2- C.(]1,2 D.()0,12.已知直线1:30l ax y +-=和直线2:3230l x y -+=垂直，则a =（）A.32-B.32C.23-D.233.已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为（）A.4πB.12πC.16πD.π34.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x 时，()()1f x x x =+，则()1f -=（）A.-1B.-2C.2D.05.已知α是第一象限角，cos 5α=，则cos cos2sin ααα-=（）A.135-B.75-C.135 D.1106.记n S 为等比数列{}()0n n a a >的前n 项和，且131233116,,,42a a S S S =成等差数列，则6S =（）A.126B.128C.254D.2567.已知直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是（）A.[]2,6 B.[]4,8 C. D.⎡⎣8.设2ln0.99,ln0.98,1a b c ===，则（）A.a b c <<B.b c a <<C.b a c<< D.c b a<<二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知27n S n n =-+，则下列说法正确的是（）A.{}n a 是递增数列B.1014a =-C.当4n >时，0n a < D.当3n =或4时，n S 取得最大值10.已知函数()()2e xf x x =-，则下列说法错误的是（）A.()f x 的图象在2x =处的切线斜率大于0B.()f x 的最大值为eC.()f x 在区间()1,∞+上单调递增D.若()f x a =有两个零点，则e a <11.已知()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，()()sin g x x ωϕ=+，则下列结论正确的是（）A.π6ϕ=B.若()g x 的最小正周期为3π，则23ω=C.若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为710,33⎛⎤⎥⎝⎦D.若π342g ⎛⎫=⎪⎝⎭，则ω的最小值为212.如图，在ABC 中，π,12B AB BC ∠===，过AC 中点M 的直线l 与线段AB 交于点N .将AMN 沿直线l 翻折至A MN ' ，且点A '在平面BCMN 内的射影H 在线段BC 上，连接AH 交l 于点,O D 是直线l 上异于O 的任意一点，则（）A.A DH A DC ∠∠''B.A DH A OH ∠∠''C.点O 的轨迹的长度为π6D.直线A O '与平面BCMN所成角的余弦值的最小值为13-第II 卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()52,1,,2a b k ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，若a∥b ，则k =__________.14.写出一个圆心在y x =上，且与直线y x =-和圆22(3)(3)2x y -+-=都相切的圆的方程__________.15.已知表面积为100π的球面上有,,,S A B C 四点，ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -体积的最大值为__________.16.若数列{}n a 满足()2*114,13n n n a a a a n +==-+∈N ，则122017111a a a +++ 的整数部分是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin 2A Cc b C +=.（1）求B ；（2）若BD 是AC边上的高，且1,BD b ==，求ABC 的周长.18.（12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60,ADC AC ∠= 与BD 交于点O ，EC ⊥底面,ABCD F 为BE 的中点，AB CE =.（1）证明：DE ∥平面ACF ；（2）求AF 与平面EBD 所成角的正弦值.19.（12分）已知数列{}n a 是各项都为正整数的等比数列，13a =，且3a 是2a 与434a 的等差中项，数列{}nb 满足111,21n n b b b +==+.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若582242n n b k a n k +⋅-+- 对任意*n ∈N 恒成立，求实数k 的取值范围.20.（12分）已知点P 到()2,0A -的距离是点P 到()1,0B 的距离的2倍.（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 与点Q 关于点B 对称，过B 的直线与点Q 的轨迹Γ交于,E F 两点，则BE BF ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21.（12分）已知函数()()e sin 1xf x a x a =--∈R .（1）当1a =时，讨论函数()()e xf xg x =在区间π3π,22⎛⎫-⎪⎝⎭上的单调性；（2）当3a =-时，证明：对()0,x ∞∀∈+，都有()2e 12e xxf x x -<++-.22.（12分）如图①，在ABC 中，4,,13BC AB B E D ===分别为,BC AC 的中点，以DE 为折痕，将DCE 折起，使点C 到1C 的位置，且12BC =，如图②.（1）设平面1C AD ⋂平面1BEC l =，证明：l ⊥平面1ABC ；（2）若P 是棱1C D 上一点（不含端点），过,,P B E 三点作该四棱锥的截面与平面1BEC 所成的锐二面角的正切值为2，求该截面将四棱锥分成上下两部分的体积之比.参考答案及解析2023-2024学年度上学期高三年级四调考试•数学一､选择题1.A【解析】因为集合{}{11},02A xx B x x =-<<=∣∣ ，所以{01}A B xx ⋂=<∣ .2.D【解析】由于直线1:30l ax y +-=和直线2l ：3230x y -+=垂直，故320a -=，解得23a =.3.B 【解析】已知圆锥的底面半径2r =，高h =则母线长6l ===.圆锥的侧面展开图为扇形，且扇形的弧长为圆锥底面圆周长2πr ，扇形的半径为圆锥的母线长为l ，所以圆锥的侧面积12ππ26π12π2S rl rl =⨯==⨯=.4.B 【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，当x 0时，()()1f x x x =+，所以()()112f f -=-=-.5.B 【解析】因为α是第一象限角，25cos 5α=，所以sin 5α=，所以2225cos cos 75cos22cos 121sin sin 555αααααα⎛⎫-=--=⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭.6.A【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则10,a q >>0，由题意可得213213216,13,22a a a S S S ⎧==⎪⎨+=⎪⎩即()()21123124,1322a a a a a a a =⎧⎪⎨+++=+⎪⎩整理得2324,28,a a a =⎧⎨==⎩则1214,8,a q a q =⎧⎨=⎩解得12,2,a q =⎧⎨=⎩所以()6621212612S ⨯-==-.7.A 【解析】因为直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，所以令0x =，得2y =-，令0y =，得2x =-，所以()()2,0,0,2,A B AB --=.点P 到直线20x y ++=的距离为ABP 的高h ，圆22(2)2x y -+=的圆心为()2,0，半径为，圆心到直线的距离为d ==P 到直线的距离h的最大值为+=最小值为=，则ABP 的面积为12S AB h =⨯⨯，最大值为162⨯=，最小值为122⨯=.所以ABP 面积的取值范围为[]2,6.8.D【解析】令0.01x =，则())()22ln 1ln(12,ln 12a x x xb x =-=-+=-，显然a b >.令0x =.02，则()ln 1,1b x c =-=，令()f x b c =-，则()()()1ln 11,2f x x x f x ⎛⎫'=--+<= ⎪⎝⎭.因为22(1)1212x x x x -=-+>-，所以()0f x '>，所以()()00f x f >=，即b c >，综上，a b c >>.二､多选题9.CD 【解析】当2n 时，128n n n a S S n -=-=-+，又116a S ==适合上式，所以28n a n =-+，则{}n a 是递减数列，故Λ错误；1012a =-，故B 错误；当4n >时，820n a n =-<，故C 正确；因为27n S n n=-+的对称轴为72n =，开口向下，而n 是正整数，且3n =或4距离对称轴一样远，所以当3n =或4时，n S 取得最大值，故D 正确.10.ACD 【解析】由题得()()()e 2e 1e x x x f x x x =-+-=-'，则()22e 0f =-<'，故A 错误；当1x <时，()()0,f x f x '>在区间(),1∞-上单调递增；当1x >时，()()0,f x f x '<在区间()1,∞+上单调递减，所以()f x 的极大值即最大值为()1e f =，故B 正确，C 错误；令()()g x f x a =-，则()()1e x g x x =-'，由B知()g x 在区间(),1∞-上单调递增，在区间()1,∞+上单调递减，所以()g x 的极大值为()1e g a =-，且当x 趋向于∞-时，()g x 趋向于a -，当x 趋向于∞+时，()g x 趋向于∞-，所以若()f x a =有两个零点，则e 00a a ->⎧⎨-<⎩，即0e a <<，故D 错误.11.ABC 【解析】若()πsin (03f x x ωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，π)2ϕ<为偶函数，则πππ,32k k ϕ+=+∈Z ，π2ϕ<，所以π6ϕ=，A 选项正确；若()g x 的最小正周期为3π，则2π3πT ω==，所以2,B 3ω=选项正确；由()0,πx ∈，得πππ,π666x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭.若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则5π2<π7ππ62ω+ ，得71033ω< ，C 选项正确；因为()πsin 6g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若πππsin 4462g ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πππ2π463k ω+=+或ππ2π2π463k ω+=+，得283k ω=+或28,k k ω=+∈Z ，又0ω>，所以ω的最小值为23，D 选项错误.12.BCD 【解析】依题意，将AMN 沿直线l 翻折至A MN ' ，连接AA '.由翻折的性质可知，关于所沿轴对称的两点连线被该轴垂直平分，故AA MN '⊥，又A '在平面BCMN 内的射影H 在线段BC 上，所以A H '⊥平面,BCMN MN ⊂平面BCMN ，所以,,A H MN AA A H A AA '⊂'⋂=''⊥'平面A AH '，A H '⊂平面A AH '，所以MN ⊥平面A AH '，所以,,AO MN A O MN A H MN ''⊥⊥⊥，所以90AOM ∠= ，且A OH ∠'即为二面角A MN B '--的平面角.对于A 选项，由题意可知，A DH ∠'为A D '与平面BCMN 所成的线面角，故由线面角最小可知A DH A DC ∠∠'' ，故A 错误；对于B 选项，因为A OH ∠'即为二面角A MN B '--的平面角，故由二面角最大可知A DH A OH ∠∠'' ，故B 正确；对于C 选项，因为MN AO ⊥恒成立，故O 的轨迹以AM 为直径的圆弧夹在ABC 内的部分，易知其长度为1ππ236⨯=，故C 正确；对于D 选项，如图所示，设ππ,32AMN ∠θ⎛⎫=∈⎪⎝⎭，在AOM 中，因为90AOM ∠= ，所以sin sin AO AM θθ==，在ABH中，π,π2cos cos 3ABB AH BAH∠∠θ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以sin πcos 3OH AH AO θθ=-=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线A O '与平面BCMN 所成的角为α，则sin πcos 33cos 111813πsin π33sin cos 3322OH AO θθαθθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-==⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当ππ232θ-=，即5π12θ=时取等号，故D 正确.三､填空题13.5-【解析】因为a∥b ，所以5122k -⨯=⨯，故k =5-.14.22(1)(1)2x y -+-=或22(2)(2)8x y -+-=（答案不唯一）【解析】设圆心为(),m m，则半径r ==；假设与圆22(3)(3)2x y -+-==+，所以31m m -=+，故226921m m m m -+=++，则34m m +=，若0m >，则44m =，得1m =，则圆心为()1,1，半径为r =22(1)(1)2x y -+-=；若0m <，则24m =，得2m =，不满足前提.假设与圆22(3)(3)2x y -+-=内切，又点()3,3与y x =-的距离为=>，此时圆22(3)(3)2x y -+-=内切于所求圆，则m =31m m -=-，故226921m m m m -+=-+，则34m m -=，若0m >，则24m =，得2m =，则圆心为()2,2，半径为r =22(2)(2)8x y -+-=；若0m <，则44m =，得1m =，不满足前提.综上，所求圆的方程为22(1)(1)2x y -+-=或22(2)(2)8x y -+-=.15.12+【解析】如图，因为球的表面积为100π，所以球的半径为5.设ABC 的中心为O '，则OO '=3，所以4CO '=，所以ABC的边长为，所以ABC的面积为.欲使三棱锥S ABC -的体积最大，则S 到平面ABC 的距离最大.又平面SAB ⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影为线段AB 的中点D .因为5SO =，所以33SD ==S ABC -的体积最大为(13123V =⨯+=.16.2【解析】因为()2*114,13n n n a a a a n +==-+∈N ，所以()2110n n n a a a +-=->，即1n n a a +>，所以数列{}n a 单调递增，所以()1110n n n a a a +-=->，所以()11111111n n n n na a a a a +==----，所以111111n n n a a a +=---，所以1212231111111111111111111111n n n n n S a a a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+++-=- ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .所以20173m S ==-201811a -，因为143a =，所以222234441313131331331331,1,12,33999818181a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+==-+==-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则201820172016201542a a a a a >>>>>> ，故201811a ->，所以20181011a <<-，所以201812331a <-<-.因此m 的整数部分是2.四､解答题17.解：因为sin sin 2A C c b C +=，所以πsin sin sin sin 22BC B C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,π,sin 0C C ∈≠，所以cos sin 2B B =，即cos 2sin cos 222B B B =.因为π0,,cos 0222B B ⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭，所以1sin 22B =，故π26B =，解得π3B =.（2）因为π,3B b ==，所以111222ABC S b BD =⋅=⨯⨯ .又由1πsin 234ABC S ac ==，可得42ac =，所以2ac =.由余弦定理222π2cos 3b ac ac =+-，可得223a c ac =+-，即2()33a c ac +=+，即2()369a c +=+=，所以3a c +=，所以ABC的周长为318.（1）证明：如图，连接OF ，因为底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，可得O 为BD 的中点，又F 为BE 的中点，所以OF 为BDE 的中位线，所以OF∥DE .又OF ⊂平面,ACF DE ⊂⊂平面ACF ，所以DE ∥平面ACF.（2）解：以C 为坐标原点，,CB CE 所在直线为,y z 轴，过C 作CB 的垂线所在的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为ABCD 是菱形，60ADC ∠= ，所以ADC 为等边三角形.不妨设2AB CE ==，则)()1,0,0,2,0D B -，())()0,0,2,,0,1,1E A F，可得()(),0,2,2DB BE ==- ，设平面EBD 的一个法向量为(),,n x y z = ，可得30,220,DB n y BE n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 不妨取1y =，则1x z ==，可得)n = .又()AF = ，所以AF 与平面EBD所成角的正弦值为5||||n AF n AF ⋅= 19.解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则*q ∈N ，因为3a 是2a 与434a 的等差中项，所以324324a a a =+，所以23214q q =+，解得2q =或23q =（舍去），所以132n n a -=⨯因为121n n b b +=+，所以()1121n n b b ++=+，又112b +=，所以数列{}1n b +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12n n b +=，所以21n n b =-.（2）由582242n n b k a n k +⋅-+- ，整理得可得()()112232832n n k n k --+-⨯-+ ，即()()13283n k n --⋅- ，所以33162n k n -- 对任意*n ∈N 恒成立.令()32n n f n -=，则()()()()11122323412222n n n n n n n n n f n f n +++------+-=-==，所以当4n 时，()()1f n f n + ，当5n 时，(f n +1）()f n <，所以当4n =或5时，()f n 取得最大值，所以()max 1()416f n f ==.所以311616k - ，解得4k .故实数k 的取值范围是[)4,∞+.20.解：（1）设点(),P x y ，由题意可得2PA PB =，=，化简可得22(2)4x y -+=.（2）设点()00,Q x y ，由（1）知点P 满足方程（222)4x y -+=，则0021,0,x x y y +=⨯⎧⎨+=⎩代入上式整理可得22004x y +=，即点Q 的轨迹方程为224x y +=，如图所示，当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则直线l 的方程为()1y k x =-，由()224,1x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y ，得)2222(1240k x k x k +-+-=，显然Δ0>，设()()1122,,,E x y F x y ，则212221k x x k +=+，212241k x x k-=+，又()()11221,,1,BE x y BF x y =-=- ，则()()()()()2212121212121211111BE BF x x x x y y x x x x k x x k ⋅=-+++=-+++--=+ .()()()()()()22222222221212224211111421311k k x x k x x k k k k k k k k k --++++=+⋅-+++=--++=-++.当直线l的斜率不存在时，((,1,E F ，3BE BF ⋅=- .故BE BF ⋅ 是定值，3BE BF ⋅=-.21.（1）解：当1a =时，()e sin 1sin 11e ex x x x x g x --+==-，()π1cos sin 14e e x xx x x g x ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭=-=-'，当π02x -<<时，()()ππππ,cos(0,44442x x g x g x ⎫-<+<+>⎪⎭'<单调递减；当3π02x <<时，()()ππ7ππ,cos 0,44442x x g x g x ⎛⎫<+<+'<> ⎪⎝⎭单调递增.所以()g x 在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间(0，3π2⎫⎪⎭上单调递增.（2）证明：当3a =-时，要证()2e 12ex x f x x -<++-，只要证23sin 22e x x x ---<-，即证()2e 3sin 22x x x --<-.令()()2e 3sin 2x F x x x =--，则()()2e 6sin 23cos 5x F x x x x =-+-'.当0x >时，令()()sin ,1cos 0h x x x h x x =-=-' ，所以()h x 在区间()0,∞+上单调递增，所以()()00h x h >=，即sin x x >，所以22sin x x -<-.所以()()()()222e 6sin 23cos 5e 6sin 2sin 3cos 5e 4sin 3cos 5x x x F x x x x x x x x x '=-+-<-+-=+-()2e 5sin 50x x ϕ⎡⎤=+-⎣⎦ ，其中ϕ为辅助角，且满足34sin ,cos 55ϕϕ==.所以()F x 在区间()0,∞+上单调递减，即()()02F x F <=-.故()2e 12e x x f x x -<++-.22.（1）证明：如图，连接1CC ，因为,E D 分别为,BC AC 的中点，所以11,CE C E EB CD C D DA ====，所以11,ACC BCC 分别为以,AC BC 为斜边的直角三角形，即1111,CC AC CC BC ⊥⊥，又111AC BC C ⋂=，1BC ⊂平面11,ABC AC ⊂平面1ABC ，所以1CC ⊥平面1ABC ，因为平面1C AD ⋂平面11BEC l CC ==，所以l ⊥平面1ABC.（2）解：如图，过1C 作1C H BE ⊥，连接CP 并延长，交1AC 于点Q ，连接,EP BQ ，因为11C E C B =，所以H 为EB 的中点，所以1BH =，连接AH，因为13BH AB B AB ===，所以AH EB ⊥，又1,AH C H H AH ⋂=⊂平面11,AHC C H ⊂平面1AHC ，所以BE ⊥平面1AHC ，连接HQ ，则1C HQ ∠是截面EPQB 与平面1BEC 所成二面角的平面角，即1tan 2C HQ ∠=.在Rt 1BCC 中，12,4BC BC ==，所以1CC =，又在ABC中，由余弦定理可得2222cos 1316242113AC AB BC AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯，所以在Rt 1ACC 中，2221121129AC AC CC =-=-=，所以13AC =，所以22211AH AC HC =+，所以11;HC AC ⊥因为1113tan 2C Q C HQ HC ∠===，所以132C Q =，即Q 为1AC 中点.又D 是AC 中点，所以P 是1ACC 的重心，所以1122,33C P CD CP CQ ==，所以211323CPE CQB S S =⨯= ，所以11CPE 24C BQPE C CDPE V V V --==四棱锥三棱锥三棱锥，又1C AQB C BQC V V --=三棱锥三棱锥，所以ABEDQP C ABQ C DPE V V V --=-=几何体三棱锥三棱锥15C BQC C DPE C DPE V V V ----=三棱锥三棱锥三棱锥，所以145C BQPEABEDQP V V -=四棱锥几何体.。
精品解析：【全国百强校首发】河北省衡水中学2023届高三上学期第四次调研考试理数试题解析(原卷版)
河北省衡水中学2016届高三上学期四调考试理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1.已知全集{}U 08x x =∈Z <<,{}2,3,5M =,{}28120x x x N =-+=,则集合{}1,4,7为（ ）A ．()U M N ðB ．()U M N ðC ．()U M N ðD ．()U M Nð2.下列命题中正确地是（ ）A ．若p q ∨为真命题,则p q ∧为真命题B ．"0a >,0b >"是"2b aa b+≥"地充分必要条件C ．命题"若2320x x -+=,则1x =或2x ="地逆否命题为"若1x ≠或2x ≠,则2320x x -+≠"D ．命题:p 0R x ∃∈,使得20010x x +-<,则:p ⌝R x ∀∈,使得210x x +-≥3.函数cos tan y x x =（22x ππ-<<）地大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4.已知等差数列{}n a 地公差0d ≠,且1a ,3a ,13a 成等比数列,若11a =,n S 为数列{}n a 地前n 项和,则2163n n S a ++地最小值为（ ）A ．4B ．3C．2D ．925.如图1,已知正方体1111CD C D AB -A B 地棱长为a ,动点M 、N 、Q 分别在线段1D A ,1C B ,11C D 上．当三棱锥Q -BMN 地俯视图如图2所示时,三棱锥Q -BMN 地正视图面积等于（ ）A ．212a B ．214a C2D26.设x ,y 满足约束条件3200x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数2m z x y =+（0m >）地最大值为2,则sin 3y mx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭地图象向右平移6π后地表达式为（ ）A ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin 2y x =D ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭7.已知A ,B ,C ,D 是函数()sin y x ωϕ=+（0ω>,02πϕ<<）一个周期内地图象上地四个点,如下图所示,,06π⎛⎫A -⎪⎝⎭,B 为y 轴上地点,C 为图象上地最低点,E 为该函数图象地一个对称中心,B 与D 关于点E 对称,CD 在x 轴上地投影为12π,则ω,ϕ地值为（ ）A ．2ω=,3πϕ=B ．2ω=,6πϕ=C ．12ω=,3πϕ= D ．12ω=,6πϕ=8.已知不等式422xx ay y +-≤+对任意实数x ,y 都成立,则常数a 地最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49.如图,正方体1111CD C D AB -A B 地棱线长为1,线段11D B 上有两个动点E ,F ,且F E =,则下列结论中错误地是（ ）A ．C A ⊥BEB ．F//E 平面CDAB C ．三棱锥F A -BE 地体积为定值D ．异面直线AE ,F B 所成地角为定值10.已知三棱锥C A -B O ,OA ,OB ,C O 两两垂直且长度均为6,长为2地线段MN 地一个端点M 在棱OA 上运动,另一个端点N 在C ∆B O 内运动（含边界）,则MN 地中点P 地轨迹与三棱锥地面所围成地几何体地体积为（）A ．6πB ．6π或366π+C ．366π-D ．6π或366π-11.设过曲线()xf x e x =--（e 为自然对数地底数）上任意一点处地切线为1l ,总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处地切线2l ,使得12l l ⊥,则实数a 地取值范围为（ ）A ．[]1,2-B ．()1,2-C ．[]2,1-D ．()2,1-12.设函数()f x 满足()()22x e x f x xf x x '+=,()228e f =,则0x >时()f x （ ）A ．有极大值,无极小值B ．有极小值,无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分,满分20分,将解析填在答题纸上）13.已知数列{}n a 对于任意p ,q *∈N ,有p q p q a a a ++=,若119a =,则36a = ．14.利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥CD P -AB ,其中底面四边形CD AB 是边长为1地正方形,1PA =,且PA ⊥平面CD AB ,则球体毛坯体积地最小值应为．15.若C ∆AB 地内角A ,B 满足()sin 2cos sin B=A +B A,则当B 取最大值时,角C 大小为 ．16.定义函数()y f x =,x ∈I ,若存在常数M ,对于任意1x ∈I ,存在唯一地2x ∈I ,使得()()122f x f x +=M ,则称函数()f x 在I 上地"均值"为M ,已知()2log f x x =,20141,2x ⎡⎤∈⎣⎦,则函数()2log f x x =在20141,2⎡⎤⎣⎦上地"均值"为．三、解答题 （本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在C ∆AB 中,角A ,B ,C 所对地边为a ,b ,c ,且满足cos 2cos 22cos cos 66ππ⎛⎫⎛⎫A -B =-A +A ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求角B 地值；（2）若b =且b a ≤,求12a c -地取值范围．18.（本小题满分12分）已知四棱锥CD P -AB 地底面是菱形,CD 60∠B =,D 2AB =PB =P =,C P =,C A 与D B 交于O 点,E ,H 分别为PA ,C O 地中点．（1）求证:PH ⊥平面CD AB ；（2）求直线C E 与平面PAB 所成角地正弦值．19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 地公差为1-,前n 项和为n S ,且27126a a a ++=-．（1）求数列{}n a 地通项公式n a 与前n 项和n S ；（2）将数列{}n a 地前四项抽取其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 地前三项,记数列{}n n a b 地前n 项和为n T ,若存在m *∈N ,使得对任意n *∈N ,总有n m S λ<T +成立,求实数λ地取值范围．20.（本题小满分12分）如图,在直角梯形CD AB 中,D//C A B ,DC 90∠A = ,AE ⊥平面CD AB ,F//CD E ,1C CD F D 12B ==AE =E =A =．（1）求证:C //E 平面F AB ；（2）在直线C B 上是否存在点M ,使二面角DE -M -A 地大小为6π？若存在,求出C M 地长；若不存在,说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数()32f x x x b =-++,()lng x a x =．（1）若()f x 在1,12x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭上地最大值为38,求实数b 地值；（2）若对任意[]1,x e ∈,都有()()22g x x a x ≥-++恒成立,求实数a 地取值范围；（3）在（1）地条件下,设()()(),1F ,1f x x xg x x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩,对任意给定地正实数a ,曲线()F y x =上是否存在两点P 、Q ,使得Q ∆PO 是以O （O 为坐标原点）为直角顶点地直角三角形,且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题计分．22.（本小题满分10分）如图,已知圆O 是C ∆AB 地外接圆,C AB =B ,D A 是C B 边上地高,AE 是圆O 地直径．过点C 作圆O 地切线交BA 地延长线于点F ．（1）求证:C C D A ⋅B =A ⋅AE；（2）若F 2A =,CF =求AE 地长．23.（本小题满分10分）已知函数()21f x x =-,()1g x a x =-．（1）若关于x 地方程()()f x g x =只有一个实数解,求实数a 地取值范围；（2）若当R x ∈时,不等式()()f x g x ≥恒成立,求实数a 地取值范围．。
河北省衡水中学2020届高三数学上学期四调考试试题文(含解析)
河北省衡水中学2020届高三数学上学期四调考试试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．设集合M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，则实数a的值为（）A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．22．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（）A．2 B．C．D．3．已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，那么a3+a5的值等于（）A．5 B．10 C．15 D．204．与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（﹣3，）的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）A．8 B．4 C．2 D．15．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足＝2，＝2+，则下列结论正确的是（）A．||＝1 B．⊥C．•＝1 D．（4+）⊥6．存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）＝sin x B．f（sin2x）＝x2+xC．f（x2+1）＝|x+1| D．f（x2+2x）＝|x+1|7．已知双﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别曲线为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2﹣|PF2|2＝4，则△PF1F2的周长为（）A．2B．2+2 C．2+4 D．2+48．已知函数f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且f（x）＝，在△ABC中，f（A）＝f'（B）＝1，则△ABC的形状为（）A．等腰锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰钝角三角形9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）A．B．C．D．10．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．11．已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B．过F，B，C作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）．当m+n＞0时，椭圆离心率的取值范围为（）A．B．C．D．12．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（）A．B．C．+1 D．+1二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得斤金．（不作近似计算）14．已知直线l经过抛物线C：y＝的焦点F，与抛物线交于A，B，且x A+x B＝8，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为．15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB ＝．16．已知△ABC的三边分别为a，b，c，所对的角分别为A，B，C，且满足，且△ABC的外接圆的面积为3π，则f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1的最大值的取值范围为三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5+a7＝26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．（1）求cos A﹣cos C的值；（2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1，S2，求S12+S22的最大值．19．已知抛物线C的方程y2＝2px（p＞0），焦点为F，已知点P在C上，且点P到点F的距离比它到y轴的距离大1．（1）试求出抛物线C的方程；（2）若抛物线C上存在两动点M，N（M，N在对称轴两侧），满足OM⊥ON（O为坐标原点），过点F作直线交C于A，B两点，若AB∥MN，线段MN上是否存在定点E，使得＝4恒成立？若存在，请求出E的坐标，若不存在，请说明理由．20．椭圆的离心率是，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．22．已知函数．（1）讨论f（x）的单调性．（2）试问是否存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．设集合M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，则实数a的值为（）A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：∵M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，∴a+2＝3，或a2+2＝3，解得a＝1或﹣1，a＝1时不满足集合元素的互异性，a＝1舍去，∴a＝﹣1．故选：B．2．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（）A．2 B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义可知|AB|＝x1+x2+p＝x1+x2+1＝4，∴＝，故选：C．3．已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，那么a3+a5的值等于（）A．5 B．10 C．15 D．20【解答】解：由等比数列的性质得：a2•a4＝a32，a4•a6＝a52∴a2a4+2a3a5+a4a6＝25可化为（a3+a5）2＝25又∵a n＞0∴a3+a5＝5故选：A．4．与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（﹣3，）的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）A．8 B．4 C．2 D．1【解答】解：∵与双曲线有共同的渐近线，∴设双曲线方程为，将点代入双曲线方程，解得，⇒从而所求双曲线方程的焦点坐标为（，0），一条渐近线方程为，所以焦点到一条渐近线的距离是＝2，故选：C．5．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足＝2，＝2+，则下列结论正确的是（）A．||＝1 B．⊥C．•＝1 D．（4+）⊥【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足＝2，＝2+，又，∴的方向应该为的方向．所以，，所以＝2，＝1×2×cos120°＝﹣1，4＝4×1×2×cos120°＝﹣4，＝4，所以＝0，即（4）＝0，即＝0，所以；故选：D．6．存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）＝sin x B．f（sin2x）＝x2+xC．f（x2+1）＝|x+1| D．f（x2+2x）＝|x+1|【解答】解：A．取x＝0，则sin2x＝0，∴f（0）＝0；取x＝，则sin2x＝0，∴f（0）＝1；∴f（0）＝0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）＝sin x；B．取x＝0，则f（0）＝0；取x＝π，则f（0）＝π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x＝1，则f（2）＝2，取x＝﹣1，则f（2）＝0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1＝t，则f（x2+2x）＝|x+1|，化为f（t2﹣1）＝|t|；令t2﹣1＝x，则t＝±；∴；即存在函数f（x）＝，对任意x∈R，都有f（x2+2x）＝|x+1|；∴该选项正确．故选：D．7．已知双﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别曲线为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2﹣|PF2|2＝4，则△PF1F2的周长为（）A．2B．2+2 C．2+4 D．2+4【解答】解：由题意可得b＝1，c＝，即有e＝＝，可得a＝，c＝2，P为双曲线右支上一点，可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，又|PF1|2﹣|PF2|2＝4，可得|PF1|+|PF2|＝2，则△PF1F2的周长为2+2c＝4+2，故选：C．8．已知函数f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且f（x）＝，在△ABC中，f（A）＝f'（B）＝1，则△ABC的形状为（）A．等腰锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰钝角三角形【解答】解：函数的导数f′（x）＝f′（）cos x﹣sin x，则f′（）＝f′（）cos﹣sin＝×f′（）﹣＝f′（）﹣，则f′（）＝，则f′（）＝1，则f′（x）＝cos x﹣sin x＝2cos（x+），f（x）＝sin x+cos x＝2cos（x﹣），∵f（A）＝f'（B）＝1，∴f′（B）＝2cos（B+）＝1，即cos（B+）＝，则B+＝，得B＝，f（A）＝2cos（A﹣）＝1，即cos（A﹣）＝，则A﹣＝，则A＝，则C＝π﹣﹣＝，则B＝C，即△ABC是等腰钝角三角形，故选：D．9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P﹣ABC所示：顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，故该锥体的正视图是：故选：A．10．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意f（x）＝sin2019x cos+cos2019x sin+cos2019x cos+sin2019x sin＝sin2019x+cos2019x＝2sin（2019x+），∴A＝2，T＝，∴|x1﹣x2|min＝＝，∴A|x1﹣x2|的最小值为，故选：C．11．已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B．过F，B，C作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）．当m+n＞0时，椭圆离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，线段FC的垂直平分线为：x＝，线段BC的中点（，）．∵k BC＝﹣b，∴线段BC的垂直平分线的斜率k＝．∴线段BC的垂直平分线方程为：y﹣＝（x﹣），把x＝＝m代入上述方程可得：y＝＝n．∵m+n＞0，∴＞0．化为：b＞，又0＜b＜1，解得＜b＜1．∴e＝＝c＝∈（0，）．故选：A．12．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（）A．B．C．+1 D．+1【解答】解：由题意可得a≥0，D＝+a+2，由表示两点C（x，e x）与点A（a，2）的距离，而A在抛物线y2＝4x（x≥0）上，抛物线的焦点F（1，0），准线为x＝﹣1，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和再加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和A与F的距离的和再加上1，由图象可得当F，A，C三点共线，且QF为曲线y＝e x的法线，D取得最小值，即Q为切点，设为（m，e m），由•e m＝﹣1，可得m+e2m＝1，设g（m）＝m+e2m，则g（m）递增，且g（0）＝1，可得切点Q（0，1），即有|FQ|＝＝，则D的最小值为+1．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得斤金．（不作近似计算）【解答】解：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{a n}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得，即，解得d＝，所以每一等人比下一等人多得斤金．14．已知直线l经过抛物线C：y＝的焦点F，与抛物线交于A，B，且x A+x B＝8，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5 ．【解答】解：抛物线的标准方程为x2＝4y，抛物线的焦点坐标为F（0，1），直线AB的斜率k＝＝＝（x A+x B）＝＝2，则l的方程为y＝2x+1，即2x﹣y+1＝0，点D到直线l距离最大时，圆D的面积最大，令y′＝＝2，解得x＝4，此时y＝4，即D（4，4）到直线l距离最大，此时d＝＝＝，所以所求圆的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5，故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5．15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB ＝．【解答】解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD⊥平面A'BD，取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，所以A'和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R＝，∴A'F＝＝＝2，所以，BF＝2，所以四边形A'DBF为菱形，又知OD＝R，三角形ODE为直角三角形，∴OE＝＝＝2，∴三角形A'DF为等边三角形，∴∠A'DF＝，故∠A'DB＝，故填：．16．已知△ABC的三边分别为a，b，c，所对的角分别为A，B，C，且满足，且△ABC的外接圆的面积为3π，则f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1的最大值的取值范围为（12，24]【解答】解：由，可得：＝，可得a2+2b2+c2+2ac+3ab+3bc＝3ab+3b2+3ac+3bc，即a2+c2﹣b2＝ac，那么2ac•cos B＝ac，即cos B＝∵0＜B＜π，∴B＝．∵△ABC的外接圆的面积为3π，∴△ABC的外接圆的半径为R＝，∴，a+c＝2R（sin A+sin c）＝6sin（A+）．∵A，∴a+c∈（3，6]，f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1＝﹣2sin2x++4（a+c）sin x+2令g（t）＝﹣2t2+4（a+c）t+2，t∈[﹣1，1]，g（t）在[﹣1，1]单调递增，∴g（t）max＝g（1）＝4（a+c）∈（12，24]则f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1的最大值的取值范围为（12，24]'故答案为：（12，24]．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5+a7＝26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；S n＝＝n2+2n．（Ⅱ）＝＝＝，∴T n＝＝＝．18．如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．（1）求cos A﹣cos C的值；（2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1，S2，求S12+S22的最大值．【解答】解：（1）在△ABD中，BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•cos A＝12﹣8cos A，在△BDC中，BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos C，所以12﹣8cos A＝8﹣8cos C，整理得．（2）由题意知：＝8sin2A，，所以＝8sin2A+4sin2C＝＝＝，由于，所以，故，解得．当cos A＝时，．19．已知抛物线C的方程y2＝2px（p＞0），焦点为F，已知点P在C上，且点P到点F的距离比它到y轴的距离大1．（1）试求出抛物线C的方程；（2）若抛物线C上存在两动点M，N（M，N在对称轴两侧），满足OM⊥ON（O为坐标原点），过点F作直线交C于A，B两点，若AB∥MN，线段MN上是否存在定点E，使得＝4恒成立？若存在，请求出E的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意和抛物线定义可得＝1，即p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，（2）由题意可知，k MN≠0，设M（y12，y1），N（y22，y2），（y2＞y1），由OM⊥ON，∴y12y22+y1y2＝0，即y1y2＝﹣16，直线MN的斜率k＝＝，∴直线MN的方程为y﹣y1＝（x﹣），即y＝（x﹣4），直线AB，①斜率存在，设斜率为k，则y＝k（x﹣1），与C联立可得ky2﹣4y﹣4k＝0，∴|AB|＝•＝4（1+），设点E存在，并设为E（x0，y0），则|EM|•|EN|＝（y0﹣y1）（y2﹣y0）＝（1+）[﹣y1y2﹣y02+（y1+y2）y0]＝（1+）（16﹣y02+），∵＝4，∴16﹣y02+＝16，解得y0＝0，y0＝（不是定点，舍去），则点E（4，0），经检验，此点满足y2＜4x，所以在线段MN上，②若斜率不存在，则|AB|＝4，|EM|•|EN|＝4×4＝16，此时点E（4，0）满足题意，综上所述，定点为（4，0）20．椭圆的离心率是，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知椭圆过点，可得，解得a2＝9，b2＝4所以椭圆的E方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0）由消去y得（4+9k2）x2+18kx﹣27＝0，所以．当k≠0时，设过点C且与l垂直的直线方程，将M（m，0）代入得：，若k＞0，则，若k＜0，则所以或，当k＝0时，m＝0综上所述，存在点M满足条件，m取值范围是．21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．【解答】解：（1）由x＝3可得y＝±，可得2＝6，解得p＝；（2）A是点F（，0）关于顶点O的对称点，可得A（﹣，0），设过A的直线为y＝k（x+），k＝tanα，联立抛物线方程可得k2x2+（k2p﹣2p）x+＝0，由直线和抛物线相切可得△＝（k2p﹣2p）2﹣k4p2＝0，解得k＝±1，可取k＝1，可得切线的倾斜角为45°，由抛物线的定义可得＝＝，而α的最小值为45°，的最大值为；（3）由y2＝4x，可得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），设l1：y＝k（x﹣1），联立抛物线y2＝4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，即有x1+x2＝2+，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k＝，由两直线垂直的条件，可将k换为﹣，可得x3+x4＝2+4k2，y3+y4＝﹣4k，点G满足4＝+++，可得4（x，y）＝（x1+x2+x3+x4﹣4，y1+y2+y3+y4），即为4x＝x1+x2+x3+x4﹣4＝4k2+，4y＝y1+y2+y3+y4＝﹣4k+，可得y2＝（k﹣）2＝k2+﹣2＝x﹣2，则G的轨迹方程为y2＝x﹣2．22．已知函数．（1）讨论f（x）的单调性．（2）试问是否存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）f′（x）＝xlnx﹣alnx+a﹣x＝（x﹣a）（lnx﹣1），x∈（0，+∞），①当a≤0时，由f′（x）＞0，解得x＞e，由f′（x）＜0，解得0＜x＜e，∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，②0＜a＜e时，令f′（x）＝0，解得x＝a，或x＝e，由f′（x）＞0，解得0＜x＜a，或x＞e，由f′（x）＜0，解得a＜x＜e，∴f（x）在（a，e）上单调递减，在（0，a），（e，+∞）上单调递增，③当a＝e时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，④当a＞e时，由f′（x）＞0，解得0＜x＜e，或x＞a，由f′（x）＜0，解得e＜x＜a，∴f（x）在（e，a）上单调递减，在（0，e），（a，+∞）上单调递增．（2）假设存在a∈（﹣∞，e]，使得f（x）＞3+sin对x∈[1，+∞）恒成立，则f（1）＝2a﹣＞3+sin，即8a﹣sin﹣15＞0，设g（x）＝8x﹣sin﹣15，则g′（x）＝8﹣cos＞0，则g（x）单调递增，∵g（2）＝0，∴a＞2，当a＝e时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（1），∴a＞2，从而a＝e满足题意，当2＜a＜e时，f（x）在（a，e）上单调递减，在[1，a），（e，+∞）上单调递增，∴，∴，（*），设h（x）＝4ex﹣sin﹣e2﹣12，则h′（x）＝4e﹣cos＞0，则h（x）单调递增，∵h（2）＝8e﹣e2﹣13＞0，∴h（x）的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为（2，+∞），∴2＜a＜e，综上，存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立，且a 的取值范围为（2，e]．。
2021届河北省衡水中学高三上学期四调考试文科数学试题Word版含答案
2021届河北省衡水中学高三上学期四调考试文科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数32iz i i-=-+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.设 A B ，是全集{}1 2 3 4I =，，，的子集，{}1 2A ＝，，则满足A B ⊆的B 的个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 3.抛物线23y x =的焦点坐标是（ ）A ．3 04⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．30 4⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．10 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1 012⎛⎫⎪⎝⎭，4.设向量()()1 2 1m =-=a b ，，，，若向量2+a b 与2-a b 平行，则m =（ ） A ．72- B ．12- C.32 D ．525.圆221x y +=与直线3y kx =-有公共点的充分不必要条件是（ ）A ．22k ≤-或22k ≥B ．22k ≤- C.2k ≥ D ．22k ≤-或2k > 6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33a =，且201620170a a +=，则101S 等于（ ） A ．3 B ．303 C.3- D ．303-7.阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为（ ）A ．18-B ．18 C.116 D ．1328.函数()2xf x x a=+的图象可能是（ ）A ．（1）（3）B ．（1）（2）（4） C.（2）（3）（4） D ．（1）（2）（3）（4） 9.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，则过E ，F ，H 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面面积为（ ）A ．26B ．46 C.56 D ．2346+10.设1F ，2F 是椭圆E 的两个焦点，P 为椭圆E 上的点，以1PF 为直径的圆经过2F ，若1225tan 15PF F ∠=，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．56 B ．55 C.54 D ．5311.四棱锥P ABCD -的三视图如下图所示，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为（ ）A ．12πB ．24π C.36π D ．48π12.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，定点()0 2A ，，若射线FA 与抛物线C 交于点M ，与抛物线C 的准线交于点N ，则:MN FN 的值是（ ） A ．)525-．25(515+ D ．1:25第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知直线()1:12220l m x y m +++-=，()2:2220l x m y +-+=，若直线12l l ∥，则m = ． 14.在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为 a b c ，，，且3 6A C c ==，，()2cos cos 0a c B b C --=，则ABC △的面积是 ．15.若不等式组1026x y x y x y a≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是 ．16.已知函数()()x x af x e a R e=+∈在区间[]0 1，上单调递增，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22 n S n n n N =+∈，，数列{}n b 满足24log 3 n n a b n N =+∈，. （1）求 n n a b ，；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 18.（本小题满分12分）设()4sin 233f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 在0 2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值；（2）把()y f x =的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移23π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调减区间. 19.（本小题满分12分）如图所示的几何体QPABCD 为一简单组合体，在底面ABCD 中，60DAB ∠=︒，AD DC ⊥，AB BC ⊥，QD ABCD ⊥平面，PA QD ∥，1PA =，2AD AB QD ===.（1）求证：平面PAB QBC ⊥平面； （2）求该组合体QPABCD 的体积. 20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的短轴长为2，6直线l 过点()1 0-，交椭圆E 于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）求椭圆E 的方程； （2）求OAB △面积的最大值. 21.（本小题满分12分）已知函数()22ln f x x a x ax a R =-+∈，，且0a ≠.（1）若函数()f x 在区间[1 )+∞，上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）设函数()()()2231g x a x a a x =+-+，当1x >时，()()f x g x <恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的倾斜角和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B两点，设点0 P ⎛ ⎝，求PA PB +. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x =+--. （1）求不等式()2f x >的解集； （2）若x R ∀∈，()2112f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围.2021届河北省衡水中学高三上学期四调考试文科数学试题参考答案一、选择题1-5:BBCBB 6-10:AACCD 11、12：AC 二、填空题13.2- 14. 15.()3 5，16.[]1 1-， 三、解答题17.解析：（1）由22n S n n =+可得，当1n =时，113a S ==, 当2n ≥时，()()221221141n n n a S S n n n n n -=-=+----=-， 而1n =，1413a =-=适合上式， 故41n a n =-，又∵24log 341n n a b n =+=-， ∴12n n b -=.（2）由（1）知()1412n n n a b n -=-， ()013272412n n T n -=⨯+⨯++-⋅…，()()2123272452412n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+-⋅…，∴()()2141234222n n n T n -⎡⎤=-⋅-++++⎣⎦…()()12124123412n nn -⎡⎤-⎢⎥=-⋅-+⋅-⎢⎥⎣⎦()()()41234224525n n nn n ⎡⎤=-⋅-+-=-⋅+⎣⎦.18.（1）()f x 的最大值是4+，最小值是（2）单调减区间是()72 266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，.解析：（1）()f x 的最大值是4+，最小值是（2）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到由37222223266k x k k x k πππππππππ+≤+≤++≤≤+⇒. ∴()g x 的单调减区间是()72 266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，.19.解析：（1）证明：∵OD ABCD ⊥平面，PA QD ∥，∴PA ABCD ⊥平面， 又∵BC ABCD ⊂平面，∴PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PA PAB ⊂平面，AB PAB ⊂平面，PA AB A =，∴BC PAB ⊥平面，又∵BC QBC ⊂平面， ∴平面PAB QBC ⊥平面.（2）连接BD ，过B 作BO AD ⊥于O ， ∵PA ⊥平面ABCD ，BO ABCD ⊂平面， ∴PA BO ⊥，又BO AD ⊥，AD PADQ ⊂平面，PA PADQ ⊂平面，PA AD A =，∴BO PADQ ⊥平面，∵2AD AB ==，60DAB ∠=︒，∴ABD △是等邊三角形，∴3BO =∴()11112233332B PADQ PADQ V S BO -=⋅=⨯⨯+⨯=梯形∵90ADC ABC ∠=∠=︒，∴30CBD CDB ∠=∠=︒，又2BD AB ==， ∴23BC CD ==，∴12332sin 302BCD S =⨯︒=△. ∵QD ABCD ⊥平面，∴11323233Q BCD BCD V S QD -=⋅==△∴该组合体的体积113B PADQ Q BCD V V V --=+=20.（1）2213x y +=；（26试题解析：（1）由题意得1b =，由221c a a c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩. ∴椭圆E 的方程为2213x y +=；（2）依题意设直线l 的方程为1x my =-，由22131x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()223220m y my +--=， ()224830m m ∆=++>，设()()1122 A x y B x y ，，，，则1221222323m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，12112OABS y y =⨯⨯-==△设()233m t t +=≥，则OABS ===△. ∵3t ≥，∴1103t <≤，∴当113t =，即3t =时，OAB △0m =.21.（1）1( ][1 )2-∞-+∞，，；（2）[ 1 0)-，. 解：（1）∵函数()f x 在区间[1 )+∞，上是减函数，则()21'20f x a x a x=-+≤， 即()()()22212110F x a x ax ax ax =--=+-≥在[1 )+∞，上恒成立，当0a ≠时，令()0F x =，得12x a=-或1x a =，①若0a >，则11a ≤，解得1a ≥；②若0a <，则112a -≤，解得12a ≤-. 综上，实数a 的取值范围是1( ][1 )2-∞-+∞，，.（2）令()()()h x f x g x =-，则()()221ln h x ax a x x =-++，根据题意，当()1 x ∈+∞，时，()0h x <恒成立，所以()()()()1211'221x ax h x ax a x x--=-++=. ①当102a <<时，1 2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()'0h x >恒成立，所以()h x 在1 2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数，且()1 2h x h a ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，所以不符题意.②当12a ≥时，()1 x ∈+∞，时，()'0h x >恒成立，所以()h x 在()1 +∞，上是增函数，且()()()1 h x h ∈+∞，所以不符题意.③当0a <时，()1 x ∈+∞，时，恒有()'0h x <，故()h x 在()1 +∞，上是减函数，于是“()0h x <对任意()1 x ∈+∞，都成立”的充要条件是()10h ≤，即()210a a -+≤，解得1a ≥-，故10a -≤<，综上，a 的取值范围是[ 1 0)-，. 22.（1）3π，221x y ⎛⎛+= ⎝⎝；（2）PA PB +=. 解析：（1）直线l 倾斜角为3π，曲线C的直角坐标方程为221x y ⎛⎛-+-= ⎝⎝， （2）容易判断点0 P ⎛ ⎝在直线l 上且在圆C 内部，所以PA PB AB +=， 直线l的直角坐标方程为y =所以圆心到直线l的距离d，所以AB =，即PA PB +=. 23.（1）{}15x x x ><-或；（2）1 52⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.解析：（1）由题意得()13 213 1 223 2x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=--≤<⎨⎪+≥⎪⎪⎩，，，，当12x <-时，不等式化为32x -->，解得5x <-，∴5x <-，当122x -≤<时，不等式化为312x ->，解得1x >，∴12x <<，当2x ≥时，不等式化为32x +>，解得1x >-，∴2x ≥，综上，不等式的解集为{}15x x x ><-或.（2）由（1）得()2min 51122f x t t =-≥-，解得152t ≤≤，综上，t 的取值范围为1 52⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.。
2020届河北省衡水中学高三上学期四调考试数学(理)试题(解析版)
2020届河北省衡水中学高三上学期四调考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =I ，则实数a的取值范围为（ ） A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】A【解析】分别求出集合A 集合B 范围，根据A B A =I 得到A 是B 子集，根据范围大小得到答案.【详解】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤ (){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a <故答案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.2．已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( )A ．2B ．32C ．12D ．52【答案】B【解析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标.【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=， 因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=，所以123x x +=，故120322x x x +==. 故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3．如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．3 B ．5 C ．30 D ．6 【答案】D【解析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,5,BH HE AH ===所以6,AE =连接,6,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中6cos ,226EAD ∠==⨯⨯ 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4．已知α、β都为锐角，且217sin α=、2114cos β=，则α﹣β＝（ ）A ．3π-B ．3πC ．6π-D ．6π【答案】C【解析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解.【详解】因为α、β都为锐角，且21sin α=、21cos β=，所以27cos 7α=，57sin 14β= ，由()21212757491sin sin cos cos sin 982αβαβαβ-=-=⋅-⋅=-=-， 且α、β都为锐角， 所以6παβ-=-故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题.5．设，.若对任意实数x 都有，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（ ）.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】试题分析：，，又，，注意到，只有这两组．故选B ．【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.6．已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ）A ．32B ．52C ．72D ．92【答案】B【解析】设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又453OP OF ==+=，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =， 即053y =， 0115532232OPF S OF y ∆∴==⨯⨯=g ， 故选B ．【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅。
河北衡水中学第一学期第四次调研考试高三数学试题
高三数学试题本试卷共 150分, 考试时间 120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：此题共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分。
在每个小题的四个选项中，只有一项是切合题目要求的。
1．会合 My y 2 x , Py yx 1，则M P（）A ． y y 1B ． y y 1C ． y yD ． y y2．化简2 cos 21等于（）2 tan() sin 2 ()44A ． cosB ．sinC ．－ 1D ． 13．已知 a =2， b =3， a b = 7 , 则向量 a 与向量 b 的夹角是（ ）A ．6 B ．4C ．3 D ．24．已知直线 mx4 y2 0 与 2x 5 y n 0 相互垂直，垂足为 p 1, p ，则 m n p 的值是（）A ． 24B ． 20C ． 0D ．－ 45．在等差数列 { a n } 中， 2(a 1a 4 a 7 ) 3(a 9a 11 ) =24，则此数列的前13 项之和等于（）A ． 13B ． 26C ． 52D ． 1566．若11 0 ，则以下不等式： ① | a | | b |；② a b ab ；③ ba 2 ；④ a 22a baba bb中，正确的不等式有（）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个7．函数y x 1 2 x 1 的反函数的图象是（）y y yy 4 4443 332 2 2 32 1 1 11o 1 2 3 4 x o x o x1234 o 1 2 3 4 x1234A B CD8．已知三角形ABC 三个极点为A(1,1),B(1 3,0), C (13,0) ，则角A的内角均分线所3在的直线方程为（）A．x y 0 B．y 3x 1 3 2 2C．x y 0或x y 2 0 D．x y 2 09．已知函数y f ( x) 的定义域为R，它的反函数为y f 1 (x) ，假如 y f 1 (x a) 与y f ( x a) 互为反函数且 f (a) a （ a 为非零常数），则 f (2a) 的值为（）A． a B． 0 C．a D ． 2a10．已知双曲线x2 y2 1 ( a 0, b 0) ，被方向向量为k (6,6) 的直线截得的弦的中点a 2 b2为（ 4， 1），则该双曲线离心率的值是（）5B．6 10D． 2A．2 C．3211．设 F1、F2为椭圆x2 y 2 1的左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P、 Q 4 3两点，当四边形PF QF 面积最大时，PF1 PF2的值等于（）1 2A． 0 B． 1 C． 2 D． 412．对于函数 f ( x) x 22x, 在使 f (x) M 建立的全部常数M中，我们把 M的最大值M= 12 2叫做 f ( x)x22x 的下确界，则对于 a, bR, 且a,b 不全为 0, 则ab 的下确界( a b) 2为（）A ．1B ． 2C ．1D ． 442第Ⅱ卷（非选择题，共90 分）二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13．函数 ya sin x bcos x( ab0) 的图像的一条对称轴为 x，则以 a (a, b) 为方向4向量的直线的倾斜角为.x y 1 014．不等式组 xy 0 表示的平面地区的面积是.y15．若直线 2axby 2 0(ab 0 ） 一直均分圆 x 2 y 22x 4 y 1 0的周长 , 则1 1的最小值是.a b16 ．椭圆x 2 y 21(a b 0) 的 两个焦点为F 1 、 F 2 ，点 P 为椭圆上的点，则能使a 2b 2F 1PF 2的点 P 的个数可能有个.（把全部的状况填全）2三、解答题（共 70 分） 17．（本小题满分 10 分）已知向量 a (cos x, sin x), b ( 2,2 ), 若 a b8,且x,542求 sin 2x(1 tan x) 的值 . 1tan x18．（本小题满分 12 分）已知曲线C 的方程为： kx 2 (4 k ) y 2 k 1(k R)（ 1）若曲线 C 是椭圆，求 K 的取值范围；（ 2）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角为，求此双曲线的方程.32 100 ，定点A（3,0），M为圆C上19．（本小题满分 12 分）如下图，已知圆x 3y2一动点，点P 在 AM上，点 N 在 CM上，且知足AM 2 AP, NP AM 0，点N的轨迹为曲线 E。
河北省衡水中学2023届高三第四次综合素养测评数学试题(含解析)
河北省衡水中学2023届高三第四次综合素养测评数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．点P B．点Q6．垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济和生态等多方面的效益．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动．高一、高二、高三年级分别有2名、学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（A．49.25 mC．56.74 mf x满足8．已知定义在R上的函数()二、多选题9．热搜是指网站从搜索引擎带来最多流量的几个或者是几十个关键词及其内容，热搜分为短期热搜关键词和长期热搜关键词两类.“搜索指数”是网友通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.如图是2021年9月到2022年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图（纵轴单位：人次）. Array根据该走势图，下列结论不正确的是（）A．网友对该关键词相关的信息关注度不断减弱B．网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化，有规律可循三、填空题四、双空题16．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角ABC 外接圆的半径为2，且三条圆弧沿ABC 三边翻折后交于点P .若3AB =，则sin PAC ∠=___________；若::6:5:4AC ABBC =，则PA PB PC ++的值为___________.五、解答题(1)证明：BD PC ⊥；(2)若23BD =，7CD AP ==19．已知{}n a 是首项为1的等差数列，公差4283,a b a b ==．参考答案：对于选项A：由题意知P对于选项B：由R Qð是R Pð确.15．4【分析】由递推关系结合基本不等式的性质，得由,,AD AB CD BC AC AC ===，可得ABC ACD △≌△，所以BAC ∠又AO AO =，所以AOB AOD △≌△所以BO OD =，即O 为BD 中点，在等腰PBD △中，可得BD OP ⊥可得(3,0,0),(2,0,0),(0,3,0),A C D --。
2023届河北省衡水中学高三年级上册学期四调数学试题【含答案】
2023届河北省衡水中学高三上学期四调数学试题一、单选题1．已知，则在复平面内对应的点位于（ ）i(3i)2i z -=+z A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一、三象限的角平分线上D ．第二、四象限的角平分线上【答案】C【分析】根据复数的四则运算得出，然后在利用复数的几何意义即可求解.1i z =+【详解】因为，i(3i)(13i)(2i)55i1i 2i (2i)(2i)5z -+-+====+++-所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第一、三象限的角平分线上．z ()11，故选：.C 2．已知向量，满足，，在向量上的投影向量的坐标为a b 2a = (1,1)= b a+ ab （ ）A ．B ．C ．D ．()11，()1，1--⎛ ⎝【答案】B 【分析】根据，再根据投影向量的计算公式即可求解.a +2ab = 【详解】由，则(1,1)=b =a += 即，则，42210a b ++= 2a b =所以向量在向量上的投影向量的坐标为.a b ()(1,1)a b b b b b==故选：.B 3．在直角三角形中，，则（ ）ABC 90,60,2A B AB ===AB BC ⋅= A ．B ．4C ．D ．84-8-【答案】A【分析】根据数量积的定义即可求得结果.【详解】因为为直角三角形，且，所以,ABC 60,2B AB ==4BC =且,,120AB BC =︒所以.1cos1202442AB BC AB BC ⎛⎫=⨯︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭ 故选:A.4．设，，为平面内任意三点，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ）A B C AB AC AB AC BC+< A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】设与的夹角为，，利用利用数量积的运算性质及余弦定AB AC θ,,AB c AC b BC a===理，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】设与的夹角为（），，AB AC θ[]0,θπ∈,,AB c AC b BC a ===当与的夹角为钝角时，AB ACcos 0θ<因为AB +==BC a ==所以，AB AC BC+< 当时，AB AC BC+<22AB AC BC +< 所以，2222AB AC AB AC BC ++⋅< 所以，22222cos 2cos c b bc b c bc θθ++<+-所以，所以为钝角或，cos 0θ<θθπ=所以“与的夹角为钝角”是“”的充分不必要条件，AB AC AB AC BC +<故选：B5．2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是0.618≈我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，BF ⊥AC ，DH ⊥AC ，AE ⊥BD ，CG ⊥BD ，，则（ ）BE = BF =A B +C D BA BG + 【答案】D【分析】由黄金分割比可得，结合矩形的特征可用表示出，再利用向量加减EO = BG BO 法法则及数乘向量运算法则即可作答.【详解】在矩形ABCD 中，由已知条件得O 是线段EG 中点，，||||,||||AO BO AF BE ==因，由黄金分割比可得，BE BO = 2EO BO ===于是得，即有，BG BO OG BO EO BO=+=+=BO =同理有，而，即，AF AO = AO BO BA =- )AF BA =- =从而有，BF BA AF BA BG =+==所以.BF BG=+ 故选：D6．已知复数z 满足，则实数a 的取值范围为（ ）4i 5i z z z a =++⋅A ．B ．C ．D ．[4,4]-[6,6]-[8,8]-[12,12]-【答案】D【分析】设，由复数相等，得出的关系式，消去得到关于的一元二次方i,,R z x y x y =+∈,,x y a x y 程有实数解，利用，求解即可得出答案.0∆≥【详解】设，则，i,,R z x y x y =+∈()22+4i i 5+i x y x y a +-=整理得：,2244i 5i x y y x a +++=+所以，消去得,22454x y y x a ⎧++=⎨=⎩x 22+45016a y y -+=因为方程有解，所以，解得：.21645016a ⎛⎫∆=--≥ ⎪⎝⎭1212a -≤≤故选：D.7．已知点P 是△ABC 所在平面内点，有下列四个等式：甲：； 乙：；0PA PB PC ++=()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅- 丙：； 丁：．PA PB PC==PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【分析】先根据向量等式推导出甲中P 为△ABC 的重心，乙中△ABC 为直角三角形，丙中P 为△ABC 的外心，丁中P 为△ABC 的垂心，故得到当△ABC 为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.【详解】甲：，则，故P 为△ABC 的重心；0PA PB PC ++= PA PB PC +=-乙：，则，故，即△ABC 为直角()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅-()0PA PB CA BA CA -⋅=⋅= AB AC ⊥三角形；丙：点P 到三角形三个顶点距离相等，故P 为△ABC 的外心；丁：，则，同理可得：，即P 为△PA PB PB PC ⋅=⋅ ()PA PC PB CA PB -⋅=⋅=0BA PC CB PA ⋅=⋅= ABC 的垂心，当△ABC 为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个均不一定成立.故选：B ．8．对于给定的正整数，设集合，，且∅．记为集合中的最n {}123n X n = ，，，，n A X ⊆A ≠()I A A大元素，当取遍的所有非空子集时，对应的所有的和记为，则（ ）A n X ()I A ()S n ()2023S =A ．B ．2023202321⨯+2022202321⨯+C ．D ．2022202221⨯+2023202221⨯+【答案】D 【分析】根据的定义，推出的表达式，再计算即可.()I A ()S n 【详解】根据题意知A 为集合的非空子集，满足的集合只有1个，即；n X ()1I A ={}1满足的集合有2个，即{2}，{1，2}；()2I A =满足的集合有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；……；()3I A =满足的集合有个，所以，()I A n=12n -()21122322n S n n -=+⨯+⨯++⋅ 则，()()2312122232122n nS n n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ 两式相减得，所以，所以()21122...22212n n n nS n n n --=++++-⋅=--⋅()()121n S n n =-+ ；()20232023202221S =⨯+故选：D.二、多选题9．设非零向量的夹角为 为任意非零向量，定义运算，则下列结论正确的,a b c θ ，sin a b a b θ*= 是（ ）A ．若，则B ．0a b *=//a b ()a b c a b a c*+=*+*C ．D ．若，则的最大值为1()()222sin 2a b a b a b θ*= 1a b == a b * 【答案】ACD【分析】根据 的定义，以及向量运算规则逐项分析.a b *【详解】对于A ，因为，并且，所以，解得或，sin a b a b θ*=0,0a b ≠≠ sin 0θ=0θ=θπ=所以，故选项A 正确；//a b对于B ，不妨取，设 与 的夹角， 与的夹角为，()()()1,0,0,1,0,1a b c ===-a b 2πθ=a b c + α与的夹角为 ，则 ，a c β2π=()sin 10sin 0a b c a b c αα*+=+=⨯⨯= ，此时，故选项B 错误；sin sin 2a b a c a b a c θβ*+*=+=()a b c a b a c *+≠*+* 对于C ，，故选项C 正确；()()()()222222sin cos 2sin cos sin 2a b a b a b a b a b a b θθθθθ*=== 对于D ，当时，，当且仅当时取等号，所以，1a b ==sin sin 1a b a b θθ*==≤2πθ=()max1a b*= 故选项D 正确；故选：ACD.10．已知复数满足，则下列结论正确的是（ ）12z z ，12||0z z ⋅≠A ．若，则B ．12z z =12z z =±1212z z z z +≤+C ．若，则D ．12z z =2212z z =1212z z z z =⋅【答案】BD【分析】根据复数的几何意义以及复数计算的规则逐项分析.【详解】设则，121z i z =+=，，())22221212122z z z i i z ===+===-不满足，也不满足，故选项AC 错误；12=±z z 2212z z =对于B ，设在复平面内对应的向量分别为，且，12z z ，12OZ OZ ，120OZ OZ ≠，由向量加法的几何意义知，故，故选项B 正确；1212OZ OZ OZ OZ +≤+1212z z z z +≤+对于D ，设，则12z a bi z c di a b c d R =+=+∈，，，，，，()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i=++=-++所以，12z z ==，故选项D 正确；1212z z z z ⋅===故选：BD.11．如图放置的边长为1的正方形的顶点，分别在轴的正半轴、轴的非负半轴上滑ABCD A D x y 动，则的值可能是（ ）OB OC ⋅A ．B ．C ．D ．11-22-【答案】AC【分析】设，由边长为1的正方形的顶点，分别在轴的正半轴、轴的非OAD θ∠=ABCD A D x y 负半轴上滑动，可得出的坐标，由此可表示出两个向量，算出它们的内积即可.,B C 【详解】设，因为，所以，π(02OAD θθ∠=≤<1AD =cos OA θ=，，sin OD θ=π2BAx θ∠=-故，，πcos cos()cos sin 2B x θθθθ=+-=+πsin()cos 2B y θθ=-=所以．(cos sin ,cos )OB θθθ=+同理可得，所以，(sin ,cos sin )C θθθ+(sin ,cos sin )OC θθθ=+所以．()()·cos sin ,cos ·sin ,cos sin 1sin 2OB OC θθθθθθθ=++=+因为，所以，则，故的值可能是，2．02πθ≤<0sin 21θ≤≤12OB OC ≤≤OB OC ⋅ 1故选：AC 12．已知函数及其导函数的定义域均为R ，对任意的，，恒有()f x ()f x 'x R y ∈，则下列说法正确的有（ ）()()()()2f x y f x y f x f y ++-=⋅A ．B ．必为奇函数()01f =()f x 'C ．D ．若，则()()00f x f +≥()112f =()2023112n f n ==∑【答案】BCD 【分析】赋值法求的值，判断A ；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B ；赋值法()0f 结合换元法判断C;利用赋值法求得的值有周期性，即可求得的值，判断D.(),N f n n *∈()20231n f n =∑【详解】对于A ，令，则由可得，0x y ==()()()()2f x y f x y f x f y ++-=⋅()()22020f f =故或，故A 错误；(0)0f =()01f =对于B,当时，令，则，则 ，(0)0f =0y =()()()()200f x f x f x f +=⋅=()0f x =故，函数既是奇函数又是偶函数；()0f x '=()f x¢当时，令，则，所以，()01f =0x =()()()2f y f y f y +-=()()-=f y f y 为偶函数，则为奇函数；()f x ()f x ¢综合以上可知必为奇函数，B 正确；()f x ¢对于C ，令 ，则，故。
河北省衡水中学高三上学期四调考试数学(理)试题(扫描版)
四调参考答案一、选择题1．C2．C 3．A 4,B 5.B 6.C 7.A 8.D 9.D 10.B 11.B 12.A二、填空题13．14.15.120 16.三、解答题17．〔1〕数列满足：，〔〕，所以，，即，数列是以为首项，为公差的等差数列；〔2〕由〔1〕得，解之得：；所以，于是，18．解析：①取中点为，那么由平面与平面.连接，易求得：与可得：平面与式得：平面.法2：以为原点，方向分别为轴，轴，轴正方向建立如图空间直角坐标系，那么.平面的法向量为，故所求线面角的正弦等于：.19.〔Ⅰ〕因为，所以由，即，由正弦定理得，即，∵，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴.〔Ⅱ〕∵，∴，∵，，∴，即，∴.20．〔1〕连接，底面为平行四边形，是的中点，是的中点，，是的中点，是的中点，，，，平面平面，平面，平面；〔2〕由平面，平行四边形，平面底面，，，四边形为矩形，且底面，，过作，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系〔如图〕，由，，，知，、、、、、，、、，设平面的法向量为，那么,取，，，即，设平面的法向量为那么,取，，，即，二面角的平面角的余弦.∴，即①又由，得，将上式代入①，得解得∴，所以曲线的方程为，曲线的方程为——————4分〔Ⅱ〕设直线的方程为，由消去y整理得，设，.那么，设，，那么，所以，②设直线的方程为，由，解得，所以，由②可知，用代替，可得，由，解得，所以，用代替，可得所以，当且仅当时等号成立。
所以的取值范围为.——————————————————12分22．试题解析：〔1〕，，设切点坐标为，由题意得，解得：.〔2〕，令，那么，当时，，，又可以写成，当时，，，因此在上大于0，在上单调递增，又，因此在上小于0，在上大于0，且在上单调递减，在上单调递增，，当时，，记，，所以，所以，而，，有单调性知，即.。
2020届河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学(文)试题(解析版)
2020届河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（文）试题一、单选题1．设集合}{1,2,3M =-，{}22,2N a a =++，且}{3M N ⋂=，则实数a 的值为( )A ．1或-1B ．-1C ．1D ．2【答案】B【解析】由A 与B 的交集，得到元素3属于A ，且属于B ，列出关于a 的方程，求出方程的解得到a 的值，经检验即可得到满足题意a 值． 【详解】 ∵A ∩B ＝{3}， ∴3∈A 且3∈B ， ∴a +2＝3或a 2+2＝3， 解得：a ＝1或a ＝﹣1，当a ＝1时，a +2＝3，a 2+2＝3，与集合元素互异性矛盾，舍去； 则a ＝﹣1． 故选：B 【点睛】此题考查了交集及其运算，以及集合元素的互异性，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( )A ．2B ．32C ．12D ．52【答案】B【解析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标. 【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=， 因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=，所以123x x +=，故120322x x x +==.本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3．已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a =＋＋，那么35a a ＋的值等于（ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．20【答案】A【解析】试题分析：由于{}n a 是等比数列，，()2465a a a =，()224354635225,a a a a a a a a ∴++=+=又0n a >35+5a a ∴=.故选A. 【考点】等比中项.4．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线,且经过点(3,23)-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 ( ) A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】B【解析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离. 【详解】设双曲线方程为22916x y λ-=，将点(3,23)-代入双曲线方程，解得2214,1494x y λ=⇒-=.从而所求双曲线方程的焦点坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭,一条渐近线方程为43y x =，即4x -3y =0，2916=+，本题主要考查共焦点双曲线方程的求解，双曲线的焦点坐标、渐近线方程的求解，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：,,．由题意知．．．故D 正确．【考点】1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．6．存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ） A ．(sin 2)sin f x x = B ．2(sin 2)f x x x =+ C ．2(1)1f x x +=+ D ．2(2)1f x x x +=+【答案】D 【解析】【详解】 A ：取，可知，即，再取，可知，即，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取，可知，再取，可知，矛盾，∴C 错误，D ：令，∴，符合题意，故选D.【考点】函数的概念 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，，可得，，①，② 由①②得，的周长为，故选C. 8．函数为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且()3sin cos 6f x f x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为 A ．等腰锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰钝角三角形 【答案】D【解析】求函数的导数，先求出'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后利用辅助角公式进行化简，求出A ，B 的大小即可判断三角形的形状． 【详解】函数的导数()'3'cos sin 6f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则3131'3'cos sin 3''666662262f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11'262f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则()'3cos sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，()3sin cos 2cos 3f x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()'1f A f B ==，()'2cos 16f B B π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即1cos 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则63B ππ+=，得6B π=，()2cos 13f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1cos 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33A ππ-=，则23A π=， 则2366C ππππ=--=， 则B C =，即ABC V 是等腰钝角三角形， 故选D ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()f x 和()'f x 的解析式是解决本题的关键．9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该三棱锥的主视图可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：由已知中锥体的侧视图和俯视图， 可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P-ABC 所示：顶点P 在以BA 和BC 为邻边的平行四边形ABCD 上的射影为CD 的中点O ， 故该锥体的正视图是：A 【考点】三视图10．已知()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，若存在实数1x 、2x ，使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A ．2019πB ．42019π C ．22019πD ．4038π【答案】C【解析】先化简()2sin 20193f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得2A =，根据题意即求半个周期的A 倍． 【详解】 解：依题意()sin2019coscos2019sincos2019cossin2019sin6633f x x x x x ππππ=+++3sin2019cos2019x x =+,2sin 20196x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2A ∴=，22019T π=， 12||22019min T x x π∴-==，12A x x ∴-的最小值为22019π，故选：C ． 【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题．11．已知椭圆()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A C ，，上顶点为B ．过F BC ，，作圆P ，其中圆心P 的坐标为()m n ，．当0m n +>时，椭圆离心率的取值范围为（ ）A ．202⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， B ．102⎛⎫⎪⎝⎭，C ．30⎛ ⎝⎭，D ．60⎛ ⎝⎭， 【答案】A【解析】分别求出线段F A 与AB 的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P ，利用m +n ＞0，与离心率计算公式即可得出．【详解】 如图所示，线段FC 的垂直平分线为：211bx --=，线段BC 的中点122b ⎛⎫⎪⎝⎭，．∵BC k b =-，∴线段BC 的垂直平分线的斜率1k b=． ∴线段BC 的垂直平分线方程为：1122b y x b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=， 把211b x m --==代入上述方程可得：221b b y n --==．∵0m n +>，2221110b b b ----．化为：21b b -01b <<， 解得212b <． ∴22102c e c b a ⎛- ⎝⎭==，． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单几何性质、线段的垂直平分线方程、三角形外心性质，离心率，考查了推理能力与计算能力，属于中档. 12．设()()22D 22x x a e aa =-+-+,其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为( )A ．2B ．3C ．21+D ．31+【答案】C【解析】分析：由2()(2)x x a e a -+-表示两点(,)x C x e 与点(,2)A a a 的距离，而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-，则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，画出图象，当,,F A C 三点共线时，可求得最小值. 详解：由题意0a ≥，2()(2)2x D x a e a a =-+-++，由2()(2)x x a e a -+-表示两点(,)x C x e 与点(,2)A a a 的距离， 而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-， 则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1， 由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，由图象可知,,F A C 三点共线时，且QF 为曲线xy e =的垂线，此时D 取得最小值， 即Q 为切点，设(,)m m e ，由011m m e e m -⋅=--，可得21m m e +=，设()2mg m m e=+，则()g m 递增，且(0)1g =，可得切点(0,1)Q ，即有112FQ =+=，则D 的最小值为21+，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得________斤金．（不作近似计算） 【答案】778【解析】根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d ，根据题意和等差数列的前n 项和公式列出方程组，求出公差d 即可得到答案． 【详解】设第十等人得金1a 斤，第九等人得金2a 斤，以此类推，第一等人得金10a 斤， 则数列{}n a 构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得8910123443a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩，即113244463a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得778d =， 所以每一等人比下一等人多得斤金778． 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、前n 项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于中档题．14．已知直线l 经过抛物线2:4x C y =的焦点F ，与抛物线交于A 、B ，且8A B x x +=，点D 是弧AOB （O 为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为_____． 【答案】()()22445x y -+-=【解析】作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线AB 的斜率，可得出直线l 的方程，再利用当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，由此求出点D 的坐标，并计算出点D 到直线l 的距离，作为圆D 的半径，由此可得出圆D 的标准方程. 【详解】抛物线的标准方程为24x y =，抛物线的焦点坐标为()0,1F ，直线AB的斜率()221424A BA B A B A B A B x x y y x x k x x x x --+====--，所以，直线l 的方程为21y x =+，即210x y -+=.当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，如下图所示：设点2,4t D t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，Q 点D 在直线l 的下方，则22102tt -+>，点D 到直线l 的距离为()22121544455t t t d -+--==，当4t =时，d 5 此时，点D 的坐标为()4,4，因此，圆D 的标准方程为()()22445x y -+-=.故答案为：()()22445x y -+-=. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-的外接球的半径为5A DB '∠=_________.图（1） 图（2）【答案】23π 【解析】5和角度关系，分析即可解决． 【详解】解：球是三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球，所以球心O 到各顶点的距离相等，如图． 根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ， 因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ， 所以A '和B 关于平面CDG 对称，在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ， 则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1， 因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ， 即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R 5=∴A 'F 2251R OF -=-=2，所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形， ∴OE 2251R DE =--=2，∴三角形A 'DF 为等边三角形， ∴∠A 'DF 3π=，故∠A 'DB 23π=，故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题． 16．已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，所对的角分别为A ，B ，C ，且满足113a b b c a b c+=++++，且ABC ∆的外接圆的面积为3π，则()()cos24sin 1f x x a c x =+++的最大值的取值范围为__________．【答案】(]12,24【解析】由ABC ∆的三边分别为a ，b ，c 可得：113a b b c a b c +=++++，3a b c a b c a b b c+++++=++ 1c a a b b c∴+=++ 可知：()()()()c b c a a b a b b c +++=++222ac a c b =+-2221cos 22a cb B ac +-∴==，3B π=23R ππ=Q ，3R =2sin sin sin a b cR A B C∴=== 23a A ∴=，3c C =)233 23sin sin 23sin sin 23sin cos 322a c A C A A A A π⎤⎛⎫⎫+=+=+-=+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦6sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭203A π<<Q 5666A πππ∴<+<36sin 66A π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭可知3? 6a c <+≤()()()222sin 22f x x a c a c ⎡⎤=--++++⎣⎦1sin 1x Q -≤≤可知当sin 1x =时，()()4max f x a c =+()12424a c ∴<+≤则()()241f x cos x a c sinx =+++的最大值的取值范围为(]1224，点睛：本题主要考查了三角函数与解三角形综合题目，需要学生有一定计算能力，并能熟练运用公式进行化简求值，在解答此类题目时往往将边的范围转化为求角的范围问题，利用辅助角公式进行化简，本题还是有一定难度。
河北省衡水中学2023届高三第四次综合素养测评数学试题(2)
一、单选题1.已知函数的部分图象如图所示，是正三角形，为了得到的图象，只需将的图象（）A．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度2.函数的图象大致是（ ）A．B．C．D．3. 某三棱锥的三视图如图所示，此三棱锥的体积为，则三棱锥的所有棱中，最长棱的长度为A．B．C．D．4. 椭圆C：的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，，则离心率的取值范围为（ ）A．B．C．D．5. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则复数的虚部是（ ）A ．1B．C．D ．i6. 已知函数，则下列结论中错误的是（ ）河北省衡水中学2023届高三第四次综合素养测评数学试题(2)河北省衡水中学2023届高三第四次综合素养测评数学试题(2)二、多选题三、填空题四、解答题A．为偶函数B．最大值为C．在区间上单调递增D ．的最小正周期为7. 已知奇函数满足，且当时，，则A．B．C．D．8. 已知，m为常数，若，则（ ）A．B．C ．3D ．79. 已知圆，直线，则下列结论正确的是（ ）A ．存在实数k ，使得直线l 与圆C 相切B ．若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则的最大值为4C ．当时，圆C 上存在4个点到直线l的距离为D．当时，对任意，曲线恒过直线与圆C 的交点10. 已知，，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．11. 已知函数，则使的x 是（ ）A ．4B ．1C．D．12.已知圆，圆，下列说法正确的是（ ）A ．若（O 为坐标原点）的面积为2，则圆的面积为B ．若，则圆与圆外离C ．若，则是圆与圆的一条公切线D ．若，则圆与圆上两点间距离的最大值为613.在中，、、分别为角的对边，且满足，则角A 的大小是______.14. 已知向量，若，则__________.15. 求值:______．16. 已知椭圆C ：的右焦点为F ，离心率为，点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点（2，0）且斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，过点F 且与x 轴垂直的直线与直线l 相交于点M .证明：17. 某学校组织“学习党的二十大”知识竞赛，某班要从甲、乙两名同学中选出一人参赛，选拔方案如下：甲、乙两名同学各自从给定的个问题中随机抽取个问题作答，在这个问题中，已知甲能正确作答其中个，乙能正确作答每个问题的概率都是，甲、乙两名同学作答问题相互独立.记甲答对题的个数为，乙答对题的个数为.(1)求甲、乙恰好答对个问题的概率；(2)若让你投票选择一名发挥较稳定的同学参赛，你会选择哪名同学？请说明理由.18. 已知正项数列满足，且，设（1）求证：；（2）求证：；（3）设为数列的前项和，求证：.19. 已知等差数列的各项均为正数.若分别从下表的第一､二､三列中各取一个数，依次作为，且中任何两个数都不在同一行.第一列第二列第三列第一行4511第二行3109第三行876(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为.求证：.20. 在数列，中，已知，且.(Ⅰ)求数列和的通项公式；(Ⅱ)求数列的前项和.21. 已知（）．(1)讨论的单调性；(2)若，（）是的两根，求的取值范围．。
河北省衡水中学2023届高三第四次综合素养测评数学试题
一、单选题二、多选题1. 若函数为偶函数，对任意，且，都有，则有A．B．C．D．2.，是双曲线：（，）的左、右焦点，是双曲线的右顶点，以，为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率是A．B．C．D．3.已知等比数列的前项和为，则（ ）A ．2B ．4C ．8D ．134. 在中，为上一点，且，，若，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，5.已知，对恒成立，则（）A．B．C．D．6. 曲线的准线方程是（ ）A．B．C．D．7. 甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站A 查到共有840人参与评价，其中好评率为，乙在网站B 查到共有1260人参与评价，其中好评率为．综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（ ）A．B．C．D．8. 命题“，都有”的否定是A．，使得B ．，使得C ．，都有D ．，都有9. 近几年随着AI 技术的发展，虚拟人的智能化水平得到极大的提升，虚拟主播逐步走向商用，如图为2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数（较上一年增加的数量）条形图，根据该图，下列说法正确的是（）A ．2014～2022年中国虚拟主播企业注册数量逐年增加B ．2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为410C ．2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为915D ．从图中9年企业注册增加数字中任取2个数字，这两个数字的平均数大于110的概率河北省衡水中学2023届高三第四次综合素养测评数学试题河北省衡水中学2023届高三第四次综合素养测评数学试题三、填空题四、解答题10. 下列说法其中正确的是（ ）A ．对于回归分析，相关系数r 的绝对值越小，说明拟合效果越好；B ．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c ，k 的值分别是和0.3；C．已知随机变量，若，则的值为；D ．通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势．11.数列中，，则下列结论中正确的是（ ）A．B ．是等比数列C．D．12. 中华人民共和国第十四届全国运动会于2021年9月15日在陕西西安开幕.某射击运动员为了在全运会上取得优异成绩，积极训练备战，在某次训练中，该运动员连续射击10次的成绩（单位：环）依次为7，8，8，，6，10，7，9，8，9，因记录员工作失误，有一个数被污染了，但记录员记得这组数据的平均数为8.在去掉其中的一个最高成绩和一个最低成绩后，以下结论正确的是（ ）A ．众数不变B ．中位数不变C ．极差不变D ．平均数不变13.已知数列满足，，则的前100项和为_________.14.已知，给出下列结论：①是奇函数；②是周期函数；③的图象是轴对称图形；④的值域是，其中正确结论的序号为___________.15. 若a 为实数，且为纯虚数，设是虚数单位，则___________.16. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名同学在次数学测试中的成绩（单位：分）．已知甲、乙两名同学这次测试的平均成绩相等．（1）求的值；（2）求甲同学成绩的标准差．17. 已知椭圆：，直线不过原点且不平行于坐标轴，与椭圆交于、两点，线段的中点为．(1)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；(2)若直线的方程为，延长线段与椭圆交于点，四边形为平行四边形，求椭圆的方程．18.函数，其中.(1)求函数的单调区间；(2)已知当（其中是自然对数）时，在上至少存在一点，使成立，求的取值范围；(3)求证：当时，对任意，，有.19. 如图，四边形ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD.，点F 在棱PA 上.(1)求证：；(2)若BF与平面PCE所成角的正弦值为，求AF的长.20. 杭州亚运会开幕式于2023年9月23日在杭州奥体中心体育场举行.为了解某高校大一学生对亚运会开幕式的关注程度，从该校大一学生中随机抽取了200名学生进行调查，调查对象中有60名女生.下图是根据调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注亚运会开幕式的部分）.(1)完成下面的列联表，并计算回答是否有的把握认为“对亚运会开幕式的关注与性别有关”.关注没关注总计男生女生总计(2)从上述关注亚运会开幕式的学生中，按分层抽样的方法抽出18人，然后从这18人中随机选出3人赠送开幕式门票，记被抽取的3人中获得“赠送亚运会开幕式门票”的女生人数为随机变量，求的分布列及数学期望.附：，其中.0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87921. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面.（1）证明：平面；（2）若为的中点，求三棱锥的体积.。
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河北省衡水中学2023届高三上学期四调数学试题一、单选题 1．已知i(3i)2iz -=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一、三象限的角平分线上D ．第二、四象限的角平分线上2．已知向量a ，b 满足2a =，(1,1)=b ，10a b +=，则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标为（ ）A ．⎝⎭B ．()11，C ．()1，1-- D ．⎛ ⎝⎭3．在直角三角形ABC 中，90,60,2A B AB ===，则AB BC ⋅=（ ） A ．4-B ．4C ．8-D ．84．设A ，B ，C 为平面内任意三点，则“AB 与AC 的夹角为钝角”是“AB AC BC +<”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，0.618≈．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，BF ⊥AC ，DH ⊥AC ，AE ⊥BD ，CG ⊥BD ，512BE BO -=，则BF =（ ）A 5510BG ++ B 5510BG -+C 5510BA BG -+ D 55BG + 6．已知复数z 满足4i 5i z z z a =++⋅，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[4,4]-B ．[6,6]-C ．[8,8]-D ．[12,12]-7．已知点P 是△ABC 所在平面内点，有下列四个等式：甲：0PA PB PC ++=； 乙：()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅-； 丙：PA PB PC ==； 丁：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅． 如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．对于给定的正整数n ，设集合{}123n X n =，，，，，n A X ⊆，且A ≠∅．记()I A 为集合A 中的最大元素，当A 取遍n X 的所有非空子集时，对应的所有()I A 的和记为()S n ，则()2023S =（ ） A ．2023202321⨯+ B ．2022202321⨯+ C ．2022202221⨯+ D ．2023202221⨯+二、多选题9．设非零向量,a b 的夹角为c θ， 为任意非零向量，定义运算sin a b a b θ*=，则下列结论正确的是（ ）A ．若0a b *=，则//a bB ．()a b c a b a c *+=*+*C ．()()222sin 2a b a b a b θ*=D ．若1a b ==，则a b *的最大值为1 10．已知复数12z z ，满足12||0z z ⋅≠，则下列结论正确的是（ ） A ．若12z z =，则12z z =±B ．1212z z z z +≤+C ．若12z z =，则2212z z =D ．1212z z z z =⋅11．如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴的正半轴、y 轴的非负半轴上滑动，则OB OC ⋅的值可能是（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-12．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，对任意的x ，R y ∈，恒有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=⋅，则下列说法正确的有（ ） A ．()01f =B ．()f x '必为奇函数C ．()()00f x f +≥D ．若()112f =，则()2023112n f n ==∑三、填空题 13．已知21i 1z z-=+，则z 的虚部是_______． 14．若函数()sin cos f x a x x =+的图像关于直线6x π=对称，则=a ___________.15．在ABC 中，AB AC AB AC ==-，P 是线段BC 上的动点，有下列三个结论： ①23AP AB ≥；②··AB AC AP AC ≥；③··AB AP AC AP ≥．则所有正确结论的序号是__________．16．已知向量,,a b c ，满足1a =，2b a =-，2c b c a -=-，则向量c b -与a 的夹角的最大值是_______． 四、解答题17．设复数11i z =-，2cos isin z θθ=+，其中[]0,θπ∈. (1)若复数12z z z =⋅为实数，求θ的值； (2)求12z z +的取值范围．18．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b，c ．已知ABC的外接圆半径R tan tan B C +=．(1)求B 和b 的值； (2)求ABC 面积的最大值．19．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，3AD =，3BAD π∠=，E 为CD 中点，AF AD λ=，()01λ≤≤．(1)若AE BF ⊥，求实数λ的值； (2)求BF FE ⋅的取值范围．20．若函数()323f x ax bx x c =+-+为奇函数，且在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若过点()()1,2A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．21．治理垃圾是S 市改善环境的重要举措．去年S 市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%．(1)写出S 市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数()*n n N ∈的表达式；(2)设n A 为从今年开始n 年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由． 22．已知函数()ln(1)1,f x x =+-(1)求证：(1)3f x -≤；(2)设函数21()(1)()12=+-+g x x f x ax ，若()g x 在(0,)+∞上存在最大值，求实数a 的取值范围．参考答案：1．C【分析】根据复数的四则运算得出1i z =+，然后在利用复数的几何意义即可求解. 【详解】因为i(3i)(13i)(2i)55i1i 2i (2i)(2i)5z -+-+====+++-， 所以z 在复平面内对应的点的坐标为()11，，位于第一、三象限的角平分线上． 故选：C . 2．B【分析】根据10a b +=及相关公式求出2a b =，再根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】由(1,1)=b ，得11b =+=，则22210a b a a b b +=++=， 即42210a b ++=，则2a b =，所以向量a 在向量b 上的投影向量的坐标为()(1,1)a b bb b b==. 故选：B . 3．A【分析】根据数量积的定义即可求得结果.【详解】因为ABC 为直角三角形，且60,2B AB ==，所以4BC =, 且,120AB BC =︒,所以1cos1202442AB BC AB BC ⎛⎫=⨯︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故选:A. 4．B【分析】设AB 与AC 的夹角为θ，,,AB c AC b BC a ===，利用利用数量积的运算性质及余弦定理，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】设AB 与AC 的夹角为θ（[]0,θπ∈），,,AB c AC b BC a ===， 当AB 与AC 的夹角为钝角时，cos 0θ<因为222()2AB AC AB AC AB AC AB AC +=+=++⋅ 222cos AB AC AB AC θ=++BC a ==所以AB AC BC +<，当AB AC BC +<时，22AB AC BC +< 所以2222AB AC AB AC BC ++⋅<， 所以22222cos 2cos c b bc b c bc θθ++<+-， 所以cos 0θ<，所以θ为钝角或θπ=，所以“AB 与AC 的夹角为钝角”是“AB AC BC +<”的充分不必要条件， 故选：B 5．D【分析】由黄金分割比可得512EO BE -=，结合矩形的特征可用BG 表示出BO ，再利用向量加减法法则及数乘向量运算法则即可作答.【详解】在矩形ABCD 中，由已知条件得O 是线段EG 中点，||||,||||AO BO AF BE ==， 因512BE BO -=，由黄金分割比可得2515135()222EO BE BO BO ---===， 于是得552BG BO OG BO EO BO -=+=+=，即有5510BO BG +=，同理有512AF AO -=，而AO BO BA =-，即5155210()AF BG BA -+=-512BG BA --， 从而有5135255255BA BA BF BA AF BA BG BG +---=+==+， 所以35525BF BA BG -=+. 故选：D 6．D【分析】设i,,R z x y x y =+∈，由复数相等，得出,,x y a 的关系式，消去x 得到关于y 的一元二次方程有实数解，利用0∆≥，求解即可得出答案.【详解】设i,,R z x y x y =+∈，则()22+4i i 5+i x y x y a +-=，整理得：2244i 5i xy y x a +++=+,所以22454x y y x a ⎧++=⎨=⎩，消去x 得22+45016a y y -+=,因为方程有解，所以21645016a ⎛⎫∆=--≥ ⎪⎝⎭，解得：1212a -≤≤.故选：D. 7．B【分析】先根据向量等式推导出甲中P 为△ABC 的重心，乙中△ABC 为直角三角形，丙中P 为△ABC 的外心，丁中P 为△ABC 的垂心，故得到当△ABC 为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.【详解】甲：0PA PB PC ++=，则PA PB PC +=-，故P 为△ABC 的重心；乙：()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅-，则()0PA PB CA BA CA -⋅=⋅=，故AB AC ⊥，即△ABC 为直角三角形；丙：点P 到三角形三个顶点距离相等，故P 为△ABC 的外心；丁：PA PB PB PC ⋅=⋅，则()0PA PC PB CA PB -⋅=⋅=，同理可得：0BA PC CB PA ⋅=⋅=，即P 为△ABC 的垂心，当△ABC 为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个均不一定成立. 故选：B ． 8．D【分析】根据()I A 的定义，推出()S n 的表达式，再计算即可.【详解】根据题意知A 为集合n X 的非空子集，满足()1I A =的集合只有1个，即{}1； 满足()2I A =的集合有2个，即{2}，{1，2}；满足()3I A =的集合有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；……；满足()I A n =的集合有12n -个，所以()21122322n S n n -=+⨯+⨯++⋅，则()()2312122232122n n S n n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，两式相减得()21122...22212n n n n S n n n --=++++-⋅=--⋅，所以()()121nS n n =-+ ，所以()20232023202221S =⨯+；故选：D. 9．ACD【分析】根据a b * 的定义，以及向量运算规则逐项分析.【详解】对于A ，因为sin a b a b θ*=，并且0,0a b ≠≠ ，所以sin 0θ=，解得0θ=或θπ=，所以//a b ，故选项A 正确；对于B ，不妨取()()()1,0,0,1,0,1a b c ===-，设a 与b 的夹角2πθ= ，a 与b c +的夹角为α，a与c 的夹角为β2π=，则()sin 10sin 0a b c a b c αα*+=+=⨯⨯= ，sin sin 2a b a c a b a c θβ*+*=+= ，此时()a b c a b a c *+≠*+*，故选项B 错误；对于C ，()()()()222222sin cos 2sin cos sin 2a b a b a b a b a b a b θθθθθ*===，故选项C 正确；对于D ，当1a b ==时，sin sin 1a b a b θθ*==≤，当且仅当2πθ=时取等号，所以()max1a b*=，故选项D 正确； 故选：ACD. 10．BD【分析】根据复数的几何意义以及复数计算的规则逐项分析.【详解】设121z i z =+，则())22221212122z z z i i z ===+===-，，不满足12=±z z ，也不满足2212z z =，故选项AC 错误；对于B ，设12z z ，在复平面内对应的向量分别为12OZ OZ ，，且120OZ OZ ≠，，由向量加法的几何意义知1212OZ OZ OZ OZ +≤+，故1212z z z z +≤+，故选项B 正确； 对于D ，设12z a bi z c di a b c d R =+=+∈，，，，，，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，所以12z z ==221212z z c d z z ⋅=+= ，故选项D 正确；故选：BD. 11．AC【分析】设OAD θ∠=，由边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴的正半轴、y 轴的非负半轴上滑动，可得出,B C 的坐标，由此可表示出两个向量，算出它们的内积即可. 【详解】设π(0)2OAD θθ∠=≤<，因为1AD =，所以cos OA θ=，sin OD θ=，π2BAx θ∠=-， 故πcos cos()cos sin 2B x θθθθ=+-=+，πsin()cos 2B y θθ=-=，所以(cos sin ,cos )OB θθθ=+．同理可得(sin ,cos sin )C θθθ+，所以(sin ,cos sin )OC θθθ=+，所以()()·cos sin ,cos ?sin ,cos sin 1sin 2OB OC θθθθθθθ=++=+． 因为02πθ≤<，所以0sin21θ≤≤，则12OB OC ≤≤，故OB OC ⋅的值可能是1，2．故选：AC 12．BCD【分析】赋值法求()0f 的值，判断A ；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B ；赋值法结合换元法判断C;利用赋值法求得(),N f n n *∈的值有周期性，即可求得()20231n f n =∑的值，判断D.【详解】对于A ，令0x y ==，则由()()()()2f x y f x y f x f y ++-=⋅可得()()22020f f =，故(0)0f =或()01f =，故A 错误；对于B,当(0)0f =时，令0y =，则()()()()200f x f x f x f +=⋅=，则()0f x = ， 故()0f x '=，函数fx 既是奇函数又是偶函数；当()01f =时，令0x =，则()()()2f y f y f y +-=，所以()()-=f y f y ，()f x 为偶函数，则f x 为奇函数；综合以上可知fx 必为奇函数，B 正确；对于C ，令x y = ，则()()()2202f x f f x +=，故()()200f x f +≥。