因式分解之十字相乘法专项练习题

十字相乘法进行因式分解

1．二次三项式

多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．

在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．

在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．

2．十字相乘法的依据和具体内容

利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：

（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式

))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++

分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．

（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221， 3．因式分解一般要遵循的步骤

多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试， 分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．

【典型热点考题】

例1 把下列各式分解因式：

（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-． 解：

例2 把下列各式分解因式： （1）3522--x x ；（2）3832-+x x ． 解：

点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．

例3 把下列各式分解因式：

（1）91024+-x x ； （2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；

（3）120)8(22)8(222++++a a a a ．

十字相乘法专项练习题

(1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35；

(3)18x2－21x+5；(4) 20－9y－20y2；

(5)2x2+3x+1；(6)2y2+y－6；

(7)6x2－13x+6；(8)3a2－7a－6；

(9)6x2－11x+3；(10)4m2+8m+3；

(11)10x2－21x+2；(12)8m2－22m+15；(13)4n2+4n－15；(14)6a2+a－35；(15)5x2－8x－13；(16)4x2+15x+9；

(17)15x2+x－2；(18)6y2+19y+10；(19) 2(a+b)2 +(a+b)(a－b)－6(a－b)2；(20)7(x－1)2 +4(x－1)－20；

把下列各式分解因式：

（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；

（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --；

（5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-．

15．把下列各式分解因式：

（1）2224)3(x x --； （2）9)2(22--x x ； ( 3）2222)332()123(++-++x x x x ；

（4）60)(17)(222++-+x x x x ； （5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；

（6）48)2(14)2(2++-+b a b a ．

(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +- (4) 261110y y --

(5)2252310a b ab +- (6)222231710a b abxy x y -+ (7) 22712x xy y -+

(8)42718x x +- (9)22483m mn n ++ (10) 53251520x x y xy --

六、解下列方程

（1）220x x --= (2)2560x x +-= (3)23440a a +-= (4)227150b b +-=