高二数学第二学期期末试卷(含答案)

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高二年级下学期期末考试数学试题与答案解析(共三套)

高二年级下学期期末考试数学试题（一）注意事项：1．本试卷共22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6为（）A．36 B．32 C．28 D．242.的展开式中的常数项为（）A．﹣60 B．240 C．﹣80 D．1803.设曲线在处的切线与直线y＝ax+1平行，则实数a等于（）A．﹣1 B．C．﹣2 D．24.在2022年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X～N（86，σ2），若已知P（80＜X≤86）＝0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（）A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.145.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m﹣1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．m≤2 B．m≥4 C．1＜m≤2 D．0＜m≤36.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K2＝4.236．P（K2≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0）k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828参照附表，可得正确的结论是（）A．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”B．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”C．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”D．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”7.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种B．24种C．25种D．27种8.若两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足，则的值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

西城区2023-2024学年第二学期期末高二数学试题及答案

北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第1页（共5页）北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学2024.7本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在等差数列{}n a 中，13a =，35a =，则10a =（A ）8（B ）10（C ）12（D ）14（2）设函数()sin f x x =的导函数为()g x ，则()g x 为（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）既是奇函数又是偶函数（D ）非奇非偶函数（3）袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（A ）110（B ）310（C ）15（D ）35（4）在等比数列{}n a 中，若11a =，44a =，则23a a =（A ）4（B ）6（C ）2（D ）6±（5）投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X ，则方差()D X =（A ）518（B ）13（C ）53（D ）536北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第2页（共5页）（6）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =-，1053231S S =，则6a =（A ）132-（B ）164-（C ）132（D ）164（7）设函数()ln f x x =的导函数为()f x '，则（A ）(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<-（B ）(3)(3)(2)(2)f f f f ''<-<（C ）(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<-（D ）(2)(3)(2)(3)f f f f ''<-<（8）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）如果()e x f x ax =-在区间(1,0)-上是单调函数，那么实数a 的取值范围为（A ）1(,][1,)e -∞+∞ （B ）1[,1]e（C ）1(,]e-∞（D ）[1,)+∞（10）在数列{}n a 中，12a =，若存在常数(0)c c ≠，使得对于任意的正整数,m n 等式m n m n a a ca +=+成立，则（A ）符合条件的数列{}n a 有无数个（B ）存在符合条件的递减数列{}n a （C ）存在符合条件的等比数列{}n a （D ）存在正整数N ，当n N >时，2024n a >北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第3页（共5页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末数学试卷(含答案)

北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷本试卷共6页，共两部分。

19道题，共100分。

考试时长90分钟。

试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，请将答题卡交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.5(1)x -的展开式中，所有二项式的系数和为A.0B.52C.1D.622.已知函数sin (),cos xf x x=则(0)f '的值为A.0B.1C.1- D.π3.若等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则公比q =A.12B.12-C.2D.2-4.下列函数中，在区间[]1,0-上的平均变化率最大的时A.2y x = B.3y x = C.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.2xy =5.将分别写有2,0,2,4的四章卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为A.9B.12C.18D.246.小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次的2分，没投中得0分，总得分为X ，则A.() 2.4E X = B.() 4.8E X = C.()0.48D X = D.()0.96D X =7.已知一批产品中，A 项指标合格的比例为80%，B 项指标合格的比例为90%，A 、B 两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A 项指标合格，则该产品的B 项指标也合格的概率是A.37B.23C.34D.568.已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，若10a <、则“n S 有最大值”是“公差0d <”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设函数()()ln 1sin f x x a x =-+.若()()0f x f ≤在()1,1-上恒成立，则A.0a =B.1a ≥C.01a <≤ D.1a =10.在经济学中，将产品销量为x 件时的总收益称为收益函数，记为()R x ，相应地把()R x '称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平.假设一个企业的边际收益函数()1000R x x '=-(注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析).给出下列三个结论:①当销量为1000件时，总收益最大;②若销量为800件时，总收益为T ，则当销量增加400件时，总收益仍为T ;③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500.其中正确结论的个数为A.0B.1C.2D.3第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

2023-2024学年重庆市高二(下)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年重庆市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=e xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么( )A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d ，若系数b ，c ，d 可以发生改变，则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )A. bB. cC. dD. b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高ycm 与其父亲身高xcm 的经验回归方程为y =1417x +29，当地人小王16岁时身高167cm ，他父亲身高170cm ，则小王身高的残差为( )A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3cm5.若函数f(x)=(x 2+bx +1)e x ，在x =−1时有极大值6e −1，则f(x)的极小值为( )A. 0B. −e −3C. −eD. −2e 36.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有( )A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品(单位：件)均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.88.若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，A 3满足P(A 1)=P(A 1|A 3)=14,P(A 2)=23,P(−A 2|A 3)=25,P(−A 2|−A 3)=16，则P(A 1−A 3)=( )A. 114B. 17C. 27D. 528二、多选题：本题共3小题，共18分。

高二下学期期末数学考试试卷含答案(共5套)

i A. > B. > 1 C. a 2 > b 2 D. ab < a + b - 18、已知 x > 0 ， y > 0 ，若 2 y + > m 2 + 2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）高二年级下学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、不等式 2x - 3 < 5 的解集为（）A. (-1,4)B. (1,4)C. (1,-4)D. (-1,-4)2、设复数 z 满足 (1 + i) z = 2 （ i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数在复平面中对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、某市对公共场合禁烟进行网上调查，在参与调查的 2500 名男性市民中有 1000 名持支持态度，2500 名女性市民中有 2000 人持支持态度，在运用数据说明市民对在公共场合禁烟是否支持与性别有关系时，用什么方法最有说明力（） A. 平均数与方差 B. 回归直线方程 C. 独立性检验 D. 概率4、若函数 f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c 满足 f '(1) = 2 ，则 f '(-1) 等于（）A. - 1B. - 2C. 2D. 05 、函数 y = f ( x ) 的图象过原点，且它的导函数y = f '( x ) 的图象是如图所示的一条直线，y = f ( x ) 的图象的顶点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6、在一组样本数据 ( x , y ) ， ( x , y ) ，……， ( x , y ) (n ≥ 2, x , x ⋅ ⋅ ⋅ x 不全相等）的散点图中， 1 122nn12n若所有样本点 ( x , y ) (i = 1,2 ⋅ ⋅ ⋅ n) 都在直线 y = i i （）1 2x + 1上，则这组样本数据的样本相关系数为A. - 1B. 0C. 12D. 17、若 a < 1 ， b > 1 那么下列命题正确的是（）1 1 b a b a8xx yA. m ≥ 4 或 m ≤ -2B. m ≥ 2 或 m ≤ -4C. - 4 < m < 2D. - 2 < m < 49、某同学为了了解某家庭人均用电量（ y 度）与气温（ x o C ）的关系，曾由下表数据计算回归直线方程 y = - x + 50 ，现表中有一个数据被污损，则被污损的数据为（）+ 的取值范围A. ⎢ ,+∞ ⎪B. - ∞, ⎥C. ⎢ ,+∞ ⎪D. - ∞,- ⎥气温 30 2010 0 人均用电量20 30*50A. 35B. 40C. 45D. 4810、已知函数 f ( x ) 的导函数 f '( x ) = a( x + 1)( x - a) ，若 f ( x ) 在 x = a 处取得极大值，则a 的取值范围是（）A. (-∞,1)B. (-1,0)C. (0,1)D. (0,+∞ )11、已知函数 f ( x ) = x 3 - 2ax 2 - bx 在 x = 1 处切线的斜率为 1 ，若 ab > 0 ，则 1 1a b（）⎡ 9 ⎫ ⎛ 9 ⎤ ⎡ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎤ ⎣ 2 ⎭⎝ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎭ ⎝2 ⎦12、已知 a > b > c > 1 ，设 M = a - cN = a - bP = 2( a + b- ab ) 则 M 、 N 、 P 的大小2关系为（）A. P > N > MB. N > M > PC. M > N > P二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、下列的一段推理过程中，推理错误的步骤是_______ ∵ a < b∴ a + a < b + a 即 2a < b + a ……①∴ 2a - 2b < b + a - 2b 即 2(a - b ) < a - b ……②∴ 2(a - b )(a - b ) < (a - b )(a - b ) 即 2(a - b )2 < (a - b )2 ……③∵ (a - b )2 > 0∴ 可证得 2 < 1 ……④D. P > M > N14、已知曲线 y = x 2 4- 3ln x 在点（ x , f ( x ) 处的切线与直线 2 x + y - 1 = 0 垂直，则 x 的值为0 0 0________15、 f ( x ) = x +1( x > 2) 在 x = a 年取得最小值，则 a =________x - 216、设 a 、 b ∈ R ， a - b > 2 ，则关于实数 x 的不等式 x - a + x - b > 2 的解集是_______三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。

高二下学期期末考试数学试卷和答案

高二下学期期末考试数学试卷和答案一、选择题：(每题4分，共48分) 将答案填图在答题卡上.1．复数31ii--等于（） A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i - 2．=-⎰π20)sin (dx x （）A ．0 C.－23．若复数i i z -=1，则=|z |( )A ．21B ．22C ．1D ．24．从0，1，2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标，能够确定不在x 轴上的点的个数是（）A ．100 B ．90 C ．81 D ．725.若函数3()33f x x bx b =-+在（0，1）内有极小值，则（） A ．01b <<B ．1b <C ．0b >D ．12b <6．在二项式5)1(xx -的展开式中，含x 3的项的系数是（）7．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（）.A ．B ．C ．D ．8．若圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x （θ为参数），直线的方程为⎩⎨⎧-=-=1612t y t x （t 为参数），则直线与圆的位置关系是（）。

A. 相交过圆心B.相交而不过圆心C.相切D.相离9．有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中7个球标有字母A 、3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一号盒子中任取一球，若取得标有字母A 的球，则在第二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三号盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，那么试验成功的概率为（） A ． B ． C ． D ．y y y10．设31(3)n x x+的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P +S =272，则n 为（）A ．4B ．5C ．6D ．811．设一随机试验的结果只有A 和A ，()P A p =，令随机变量10A X A =⎧⎨⎩，出现，，不出现，，则X 的方差为（）Ａ．p Ｂ．2(1)p p -Ｃ．(1)p p -- Ｄ．(1)p p -天津市大港一中08—09学年高二下学期期末考试（数学理）12.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==1112t t y t x （t 为参数）所表示的曲线是（）。

高二下学期期末数学试卷及答案

高二下学期期末数学试卷一、单项选择1、设，若直线与线段相交，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．2、已知点A （2，-3），B （-3，-2），直线l 方程为kx+y-k-1=0，且与线段AB 相交，求直线l的斜率k 的取值范围为（）A或 B C D 3、直线与曲线有两个不同的交点，则实数的k 的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．4、已知圆，直线l ：，若圆上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，则b 的取值范围为 A ．B ．C ．D ．5、若直线被圆截得弦长为，则） A ． B ． C6、设△ABC 的一个顶点是A （3，-1），∠B，∠C 的平分线方程分别是x=0，y=x ，则直线BC 的方程是（） A ．B ．C ．D ．7、已知圆：，则过点（1，2）作该圆的切线方程为（）A ．x+4y-4=0B ．2x+y-5=0C ．x=2D ．x+y-3=0 8、阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A 、B 间4k ≤-220(0,0)ax by a b -+=>>222410x y x y ++-+=494(0,1)k k k >≠的距离为,动点P、A、B不共线时，三角形PAB面积的最大值是（）ABD9、若圆上有个点到直线的距离为1，则等于（）A．2 B．1 C．4 D．310、圆的一条切线与圆相交于，两点，为坐标原点，则（）AB．C．2 D11、已知直线与圆相交，则的取值范围是（）A． B． C．D．12、古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点、的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为（）.A．B．C．D．13、已知直线l1：（k-3）x+（4-k）y+1=0与l2：2（k-3）x-2y+3=0平行，则k的值是（）A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或214、我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上面的已知条件可求得该女子第4天所织布的尺数为( )A．B C D15、在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（）A．B．C．D．16、设数列满足,记数列的前项之积为，则2P22:(5)(1)4C x y-++=n4320x y+-=n 221x y+=224x y+=()11,A x y()22,B x y O1212x x y y+=2-:cos sin1()l x yααα+=∈R222:(0)C x y r r+=>r 01r<≤01r<<1r≥1r>)0(>>ba{}na21=a n n S{}1na+nS 122n+-3n2n31n-（） A ．B ．C ．D ．17、已知公比不为的等比数列满足，若，则（）A ．9B ．10C ．11D ．12 18、设等差数列的前项和为，已知，，则（）A ．B ．C ．D ．19、在等差数列中，若，是方程的两根，则的前11项的和为（）A ．22B ．-33C ．-11D ．1120、已知数列满足，数列前项和为，则( )ABCD21、已知数列满足，，是数列的前项和，则（）A ．B ．C ．数列是等差数列 D ．数列是等比数列22、已知等数差数列中，是它的前项和，若且,则当最大时的值为（）A ．9B ．10 C ．11 D ．1823、已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n =16a 12 ）1{}n a 15514620a a a a +=210m a =m ={}n a nnS ()()201920212017201720171201912000a a a -++-=()()20192021202020202020-1+201912038a a a +-=4036S =2019202020214036{}n a 2*1222...2()n n a a a n n N +++=∈n nS 12310...S S S S ⋅⋅⋅⋅={}n a n S n 180S >190S <n S nABCD ．不存在24、的内角，，所对的边分别是，，.已知，则的最小值为（） A ． B ．C ．D ．25、已知，，为的三个内角，，的对边，向量，，若，且，则角( )A ．B ．C ．D ．二、填空题26、点到直线的距离的最大值为________.27、已知点和圆，过点作圆的切线有两条，则实数的取值范围是______28、已知直线l ：x+y-6=0，过直线上一点P 作圆x 2+y 2=4的切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAOB 面积的最小值为______，此时四边形PAOB 外接圆的方程为______． 29、已知实数满足，则的取值范围为________.30、已知实数x ，y 满足6x+8y-1=0，则的最小值为______．31、等比数列的前n 项和为32、若等差数列满足，则数列的前项和取得最大值时_________ 33、已知数列满足，则数列的最大值为________.34、已知数列中，，是数列的前项和，且对任意的，都有，则=_____35、已知首项与公比相等的等比数列中，若，，满足，则()1,2P 222:20C x y kx y k ++++=P C k {}n a n S {}n a 7897100,a a a a a ++>+<{}n a n n S =n {}n a 11a =n S {}n a n *,r t N ∈n a的最小值为_____．36、在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是_______．37、在锐角中，角，，所对应的边分别为，，.则________；若，则的最小值为________. 38、若△ABC 的内角，则的最小值是． 39、已知分别是的内角的对边，，，则周长的最小值为_____。

高二下学期数学期末考试试卷及答案

高二下学期数学期末考试试卷及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 若已知函数$f(x) = x^2 - 4x + 3$，则下列选项中$f(x)$的图像是正确的是：- A. 开口向上的抛物线- B. 开口向下的抛物线- C. 与x轴有两个交点- D. 与x轴有三个交点答案：D2. 已知等差数列的前5项和为25，则第10项是：- A. 5- B. 10- C. 15- D. 20答案：B3. 设函数$g(x) = \sqrt{1+x^2}$，则下列选项中$g(x)$的性质正确的是：- A. 在$x=0$处取得最小值- B. 在$x=0$处取得最大值- C. 为奇函数- D. 为偶函数答案：A4. 若$a$，$b$是方程$x^2 - 2ax + a^2 + 1 = 0$的两个根，则下列选项正确的是：- A. $a=0$- B. $b=0$- C. $a+b=2$- D. $a^2+b^2=2$答案：C5. 已知复数$z=3+4i$，则$|z|$的值是：- A. 5- B. 7- C. 9- D. 25答案：A二、填空题（每题5分，共25分）1. 若函数$h(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）的图像开口向上且顶点在y轴上，则满足的条件是______。

答案：$a > 0$，$b = 0$2. 已知数列$\{a_n\}$是等比数列，且$a_1 = 2$，$a_3 = 8$，则公比$q$是______。

答案：23. 函数$i(x) = \ln(x^2 + 1)$的定义域是______。

答案：$x \in \mathbb{R}$4. 若矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，则$A$的行列式值是______。

答案：-25. 已知点$P(2, -1)$在直线$y=3x+1$上，则直线的斜率是______。

高二数学下学期期末考试试卷含答案(共3套)

高二年级下学期期末考试数学试卷(考试时间：120分钟；满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设103iZ i=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i -2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．243．已知(1,21,0),(2,,),a t t b t t b a =--=-则的最小值是( )A B C D4．已知正三棱锥P ABC -的外接球O 的半径为1，且满足0,OA OB OC ++=则正三棱锥的体积为( )A ．4 B ．34C ．2D ．4 5．已知函数(),1,x xf x a b e=-<<且则( ) A ．()()f a f b = B ．()()f a f b <C ．()()f a f b >D ．()()f a f b ，大小关系不能确定 6．若随机变量~(,),X B n p 且()6,()3,(1)E X D X P X ===则的值为( ) A ．232-• B ．42- C ．1032-• D ．82-7．已知10件产品有2件是次品．为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为( )A ．6B ．7C ．8D ．98．若2211S x dx =⎰，2211S dx x =⎰，231x S e dx =⎰，则123,,S S S 的大小关系为( )A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<9．平面内有n 条直线，最多可将平面分成()f n 个区域，则()f n 的表达式为( )A ．1n +B ．2nC ．222n n ++ D ．21n n ++10．设m 为正整数，2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =，则m =( )A ．5B ．6C ．7D ．811．已知一系列样本点(,)i i x y (1,2,3,i =…,)n 的回归直线方程为ˆ2,yx a =+若样本点(,1)(1,)r s 与的残差相同，则有( )A ．r s =B ．2s r =C ．23s r =-+D ．21s r =+12．设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线(2)y ln x =上，则PQ 的最小值为( )A ．12ln - B2)ln - C ．12ln + D2)ln + 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知复数5()12iz i i =+是虚数单位，则z =__________；14．直线21cos ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为__________； 15．二项式822x y 的展开式中，的系数为__________； 16．已知11()123f n =+++…*15(),(4)2,(8),(16)32n N f f f n +∈>>>经计算得，7(32),2f >则有__________(填上合情推理得到的式子)．三、解答题（本大题共6小题，17小题10分， 18-22题每小题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知曲线C 的极坐标方程是2()3cos πρθ=+，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是1,()2x t t y =--⎧⎪⎨=+⎪⎩是参数，设点(1,2)P -． (Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的参数方程化为普通方程； (Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求PM PN •的值．18．我校为了解学生喜欢通用技术课程“机器人制作”是否与学生性别有关，采用简单随机抽列联表：已知从该班随机抽取1人为喜欢的概率是3．(Ⅰ)请完成上面的22⨯列联表；(Ⅱ)根据列联表的数据，若按90%的可靠性要求，能否认为“喜欢与否和学生性别有关”？请说明理由．22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++（参考公式：其中）19．在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设123,,a a a 分别表示甲，乙，丙3个盒中的球数． (Ⅰ)求1232,1,0a a a ===的概率；(Ⅱ)记12,a a ξ=+求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．20．已知数列1111{},,21n n nx x x x +==+满足其中n N *∈ . （Ⅰ）写出数列{}n x 的前6项；（Ⅱ）猜想数列2{}n x 的单调性，并证明你的结论.21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，,AD BC >090BAD ∠=，,,PA ABCD PA AB ⊥=底面点E PB 是的中点． (Ⅰ)证明：PC AE ⊥；(Ⅱ)若1,3,AB AD PA ==且与平面PCD 所成角的大小为045，求二面角A PD C --的正弦值．22．已知函数(),()()ln xg x f x g x ax x==-. （Ⅰ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在()1,a +∞上是减函数，求实数的最小值；（Ⅲ）若21212,[,],()()(0)x x e e f x f x a a '∃∈≤+>使成立，求实数a 的取值范围.下学期高二年级期末考试数学参考答案一、选择题二、填空题13．14． 15．70 16．*2(2)(2,)2n n f n n N +>≥∈ 三、解答题17．解：(Ⅰ) 曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为：22x y x +=- ，即221()(122xy -++= ；直线l 20y ++= ．(Ⅱ) 直线l 的参数方程化为标准形式为11,2()22x m m y m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数，①将①式代入22x y x +=，得：23)60m m +++= ，②由题意得方程②有两个不同的根，设12,m m 是方程②的两个根，由直线参数方程的几何意义知：12PM PN m m •=•=6+． (Ⅱ)根据列联表数据，得到2260(1422618) 3.348 2.706,32282040K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 所以有90%的可靠性认为“喜欢与否和学生性别有关”．19．解：由题意知，每次抛掷骰子，球依次放入甲,乙,丙盒中的概率分别为111,,632．(Ⅰ) 由题意知，满足条件的情况为两次掷出1点，一次掷出2点或3点，121233111(2,1,0)()()6336p p a a a C ====== ．(Ⅱ) 由题意知，ξ可能的取值是0，1，2，3 ．1231(0)(0,0,3),8p p a a a ξ======12121231233311113(1)(0,1,2)(1,0,2)()()()()32628p p a a a p a a a C C ξ=====+====+=123123123(2)(2,0,1)(1,1,1)(0,2,1)p p a a a p a a a p a a a ξ=====+===+===1231233311111113()()()()()()()62632328C A C =++=123123123(3)(0,3,0)(1,2,0)(2,1,0)p p a a a p a a a p a a a ξ=====+===+===+1231(3,0,0)8p a a a ====．故ξ的分布列为：期望()012388882E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ．20．解：（Ⅰ）由121112,213x x x ===+得；由232213,315x x x ===+得；由343315,518x x x ===+得；由454518,8113x x x ===+得；由5658113,13121x x x ===+得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知246,x x x >>猜想：数列2{}n x 是递减数列. 下面用数学归纳法证明：①当1n =时，已证命题成立；②假设当n k =时命题成立，即222k k x x +>. 易知20k x >，当1n k =+时，2224k k x x ++- 21231111k k x x ++=-++23212123(1)(1)k k k k x x x x ++++-=++22222122230(1)(1)(1)(1)k k k k k k x x x x x x ++++-=>++++即2(1)2(1)2k k x x +++>.也就是说，当1n k =+时命题也成立.根据①②可知，猜想对任何正整数n 都成立.21．解：解法一（向量法）：建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示．根据题设，可设(,0,0),(0,,0),(0,0,),(,,0)D a B b P b C c b ，（Ⅰ）证明：0,,22b b AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(,,)PC c b b =-，所以0()022bb AE PCc b b ⋅=⨯+⋅+⋅-=，所以AE PC ⊥，所以PC AE ⊥．（Ⅱ）解：由已知，平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)AB =．设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =，由0,0,m PC m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,00,cx y z y z +-=⎧⎪+⋅-=令1z =，得11m ⎫=⎪⎭．而(0,0,1)AP =，依题意PA 与平面PCD 所成角的大小为45︒，所以||sin 45||||m AP m AP ⋅︒==，即=，解得32BC c =（32BC c ==去），所以2133m ⎛⎫=⎪⎪⎭．设二面角A PD C --的大小为θ，则233cos ||||12133m ABm AB θ⋅===++，所以6sin θ，所以二面角A PD C --的正弦值为6．解法二（几何法）：（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PA ⊥．又由ABCD 是梯形，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，知BC AB ⊥，而AB AP A =，AB ⊂平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ．因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．又PA AB =，点E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．因为PB BC B =，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ．因为PC ⊂平面PBC ，所以AE PC ⊥．（Ⅱ）解：如图4所示，过A 作AF CD ⊥于F ，连接PF ，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD PA ⊥，则CD ⊥平面PAF ，于是平面PAF ⊥平面PCD ，它们的交线是PF ．过A 作AG PF ⊥于G ，则AG ⊥平面PCD ，即PA 在平面PCD 上的射影是PG ，所以PA 与平面PCD 所成的角是APF ∠．由题意，45APF ∠=︒．在直角三角形APF 中，1PA AF ==，于是2AG PG FG ===．在直角三角形ADF 中，3AD ，所以2DF = 方法一：设二面角A PD C --的大小为θ，则2232cos 13PDG APDS PG DF S PA AD θ⋅===⋅⨯△△，所以sin θ，所以二面角A PD C --方法二：过G 作GH PD ⊥于H ，连接AH ，由三垂线定理，得AH PD ⊥，所以AHG ∠为二面角A PD C --的平面角，在直角三角形APD中，2PD =，PA AD AH PD ⋅===．在直角三角形AGH中，sin AG AHG AH ∠===，所以二面角A PD C --22．解：由已知，函数()g x ，()f x 的定义域为(0,1)(1,),+∞ 且()ln xf x ax x=-. （Ⅰ）函数221ln ln 1()(ln )(ln )x x x x g x x x -⋅-'==，当01()0x e x g x '<<≠<且时，；当()0x e g x '>>时，.所以函数()g x 的单调减区间是(0,1),(1,),()e e +∞增区间是，. （Ⅱ）因()f x 在(1,)+∞上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立. 所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤. 又222ln 111111()()(),(ln )ln ln ln 24x f x a a a x x x x -'=-=-+-=--+- 故当11,ln 2x =即2x e =时，max 1()4f x a '=-. 所以1110,,444a a a -≤≥于是故的最小值为.（Ⅲ）命题“若21212,[,],()()x x e e f x f x a '∃∈≤+使成立”等价于 “当2min max [,],()()x e e f x f x a '∈≤+时有” . 由（Ⅱ）知，当2max max 11[,],(),()44x e e f x a f x a ''∈=-∴+=时有.问题等价于：“2min 1[,],()4x e e f x ∈≤当时有” .① 当14a ≥时，由（Ⅱ）知，2()[,]f x e e 在上为减函数，则222min2111()(),2424e f x f e ae a e==-≤≥-故 .②当104a <<时，由于2111()()ln 24f x a x '=--+-在2[,]e e 上为增函数，故21()(),(),4f x f e f e a a '''的值域为[],即[--] .由()f x '的单调性和值域知，200,,()0x e e f x '∃∈=唯一()使，且满足：当0,,()0,()x e x f x f x '∈<()时为减函数；当20,,()0,()x x e f x f x '∈>()时为增函数；所以，20min 00001()(),(,)ln 4x f x f x ax x e e x ==-≤∈ . 所以，2001111111,ln 4ln 4244a x x e e ≥->->-= 与104a <<矛盾，不合题意. 综上，得21124a e ≥-.高二年级第二学期期末考试数学试题一、选择题（每小题5分，共50分）1.已知集合{}322+<=x x x M ，{}2<=x x N ，则=⋂N M ( )A ．(-1，2)B ．(-3，2)C ．(-3，1)D ．(1，2)2.欧拉公式x i x e ix sin cos +=（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天骄”。

山西省运城市20232024学年高二下学期期末考试数学含答案(可编辑)

运城市２０２３－２０２４学年第二学期期末调研测试高二数学试题２０２４７本试题满分１５０分，考试时间１２０分钟。

答案一律写在答题卡上。

注意事项：１答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

２答题时使用０５毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

３请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

４保持卡面清洁，不折叠，不破损。

一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．１．设全集Ｕ＝Ｒ，集合Ａ＝｛ｘ│ｙ＝２槡－ｘ｝，Ｂ＝｛ｙ│ｙ＝２ｘ，ｘ∈Ａ｝，则Ａ∩Ｂ＝Ａ．（－∞，２］Ｂ．［２，＋∞）Ｃ．（０，２］Ｄ．［２，４］２．函数ｆ（ｘ）＝│ｘ│（ｘ－１）的单调递减区间是Ａ．（－∞，０）Ｂ．（０，１２）Ｃ．（１２，１）Ｄ．（１，＋∞）３．函数ｙ＝ｓｉｎｘｅｘ＋ｅ－ｘ（ｘ∈［－２，２］）的图象大致为４．已知ｐ：３ｘ＋２＞１，ｑ：－２≤ｘ＜１，则ｐ是ｑ的（）条件．Ａ．充分不必要Ｂ．必要不充分Ｃ．充要Ｄ．既不充分也不必要５．已知函数ｆ（ｘ）＝（１３）ｘ，ｘ＞１１ｘ，０＜ｘ＜{１，则ｆ（ｆ（ｌｏｇ槡３２））＝Ａ．１４Ｂ．４Ｃ．１２Ｄ．２６．若（ｘ＋ｍｘ）（ｘ－１ｘ）５的展开式中常数项是２０，则ｍ＝Ａ．－２Ｂ．－３Ｃ．２Ｄ．３７．根据气象灾害风险提示，５月１２日～１４日某市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和地质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至３６处．已知有包括甲乙在内的５个排水施工队前往３个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同一个易涝路口，则不同的安排方法有Ａ．８６Ｂ．１００Ｃ．１１４Ｄ．１３６８．已知函数ｆ（ｘ）＝│ｌｎｘ│，ｘ＞０－ｘ２－４ｘ＋１，ｘ≤{０若关于ｘ的方程［ｆ（ｘ）］２－２ａｆ（ｘ）＋ａ２－１＝０有ｋ（ｋ∈Ｎ）个不等的实根ｘ１，ｘ２，…ｘｋ，且ｘ１＜ｘ２＜…＜ｘｋ，则下列结论正确的是Ａ．当ａ＝０时，ｋ＝４Ｂ．当ｋ＝２时，ａ的取值范围为ａ＜１Ｃ．当ｋ＝８时，ｘ１＋ｘ４＋ｘ６ｘ７＝－３Ｄ．当ｋ＝７时，ａ的取值范围为（１，２）二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分．９．已知全集Ｕ＝｛ｘ│ｘ＜１０，ｘ∈Ｎ｝，ＡＵ，ＢＵ，Ａ∩（瓓ＵＢ）＝｛１，９｝，Ａ∩Ｂ＝｛３｝，（瓓ＵＡ）∩（瓓ＵＢ）＝｛４，６，７｝，则下列选项正确的为Ａ．２∈ＢＢ．Ａ的不同子集的个数为８Ｃ．｛１｝ＡＤ．６瓓Ｕ（Ａ∪Ｂ）１０．已知由样本数据（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，２，３，…，１０）组成的一个样本，得到经验回归方程为＾ｙ＝２ｘ－０．４，且ｘ＝２，去除两个样本点（－２，１）和（２，－１）后，得到新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ＋ｂ＾．在余下的８个样本数据和新的经验回归方程中Ａ．相关变量ｘ，ｙ具有正相关关系Ｂ．新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ－３Ｃ．随着自变量ｘ值增加，因变量ｙ值增加速度变小Ｄ．样本（４，８９）的残差为０．１１１．已知ｆ（ｘ）是定义在实数集Ｒ上的偶函数，当ｘ≥０时，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１．则下列结论正确的是Ａ．对于ｘ∈Ｒ，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１Ｂ．ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上为减函数Ｃ．ｆ（ｘ）的值域为（－∞，１２］Ｄ．ｆ（０．３０．４）＞ｆ（－０．４０．３）＞ｆ（ｌｏｇ２３７）三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分．１２．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｓｉｎｘ（ａｘ－１）（３ｘ＋２）为奇函数，则实数ａ的值为．１３．一个袋子中有ｎ（ｎ∈Ｎ）个红球和５个白球，每次从袋子中随机摸出２个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为ｐ（ｎ），则ｐ（ｎ）的最大值为．１４．已知函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的定义域均为Ｒ，ｆ（ｘ）为奇函数，ｇ（ｘ＋１）为偶函数，ｆ（－１）＝２，ｇ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ）＝１，则∑６１ｉ＝１ｇ（ｉ）＝．四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．１５．已知集合Ａ＝｛ｘ│ｘ２－５ｘ－６＜０｝，集合Ｂ＝｛ｘ│［ｘ－（１－ａ）］［ｘ－（１＋ａ）］＞０｝，其中ａ＞０．（１）若ａ＝２，求Ａ∩（瓓ＲＢ）；（２）设命题ｐ：ｘ∈Ａ，命题ｑ：ｘ∈Ｂ，若ｐ是瓙ｑ的必要而不充分条件，求实数ａ的取值范围．１６．已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（４ｘ＋ａ·２ｘ＋１６），其中ａ∈Ｒ．（１）若ａ＝－１０，求函数ｆ（ｘ）的定义域；（２）当ｘ∈［１，＋∞）时，ｆ（ｘ）＞ｘ恒成立，求实数ａ的取值范围．１７．某疾病可分为Ａ，Ｂ两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了１８００名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的１２，男性患Ａ型疾病的人数为男性患者人数的２３，女性患Ａ型疾病的人数是女性患者人数的３４．（１）根据所给信息完成下列２×２列联表：性别疾病类型Ａ型Ｂ型合计男女合计（２）基于（１）中完成的２×２列联表，依据小概率值α＝０．００１的２独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关？（３）某团队进行预防Ａ型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排２个周期接种疫苗，每人每个周期接种３次，每次接种费用为９元．该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为２３，如果第一个周期内至少２次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中１人用于接种疫苗的费用为ξ，求Ｅ（ξ）．附：２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ），ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄα０．１０００．０５００．０１００．００５０．００１α２．７０６３．８４１６．６３５７．８７９１０．８２８１８．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．２０２２年报考该试点高校的学生的笔试成绩Ｘ近似服从正态分布Ｎ（μ，σ２）．其中，μ近似为样本平均数，σ２近似为样本方差ｓ２．已知μ的近似值为７６．５，ｓ的近似值为５．５，以样本估计总体．（１）假设有８４．１３５％的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？（２）若笔试成绩高于７６．５分进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取１０人，设其中进入面试学生数为ξ，求随机变量ξ的期望．（３）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为１３、１３、１２、１２．设这４名学生中通过面试的人数为Ｘ，求随机变量Ｘ的分布列和数学期望．参考数据：若Ｘ～Ｎ（μ，σ２），则：Ｐ（μ－σ＜Ｘ≤μ＋σ）≈０．６８２７；Ｐ（μ－２σ＜Ｘ≤μ＋２σ）≈０．９５４５；Ｐ（μ－３σ＜Ｘ≤μ＋３σ）≈０．９９７３．１９．定义一种新的运算“ ”：ｘ，ｙ∈Ｒ，都有ｘｙ＝ｌｇ（１０ｘ＋１０ｙ）．（１）对于任意实数ａ，ｂ，ｃ，试判断（ａｂ）－ｃ与（ａ－ｃ）（ｂ－ｃ）的大小关系；（２）若关于ｘ的不等式（ｘ－１）２＞［（ａ２ｘ２）（ａ２ｘ２）］－ｌｇ２的解集中的整数恰有２个，求实数ａ的取值范围；（３）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋４－２ｘ＋槡３），ｇ（ｘ）＝（１ｘ）（－ｘ），若对任意的ｘ１∈Ｒ，总存在ｘ２∈［－３２，＋∞），使得ｇ（ｘ１）＝ｌｇ│３ｍ－２│＋ｆ（ｘ２），求实数ｍ的取值范围．命题人：康杰中学　张阳朋运城中学　吕莹高二数学期末答案一、1-8 C B BA B DCC 二、9.ABC 10．AB 11.ABD 三、12.3213.59 14.63四、15.（1）15.2{|650}{|16}A x x x x x =+->=-<<， …………1分 ){{|[(1)][(1]0}|1x x a B x x a x a =---+<>=-或1}x a >+． ………… 2分若2a =，则{|1B x x =<-或3}x >，{}31|≤≤-=x x B C R ， ………… 4分{}31|)(≤<-=∴x x B C A R ………… 6分（2）若的必要而不充分条件是q p ⌝，{}a x a x B C A B C U U +≤≤-=⊆∴11 ， ………… 8分∴01116a a a >⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解得02a <<． ………… 12分 a ∴的取值范围是(0,2)． ………… 13分16.（1）当10a =-时，()()2log 410216xxf x =-⨯+，由4102160x x -⨯+>得()()22028xx-->， ………… 2分故22x <或28x >，得1x <或3x >， ………… 4分故函数()()2log 410216xxf x =-⨯+的定义域为()(),13,-∞⋃+∞，………… 6分(2)解一：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分22116122 9所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即为()()2116g t t a t =+-⋅+在[)+∞∈,2t 上最小值大于0， ………… 10分函数()()2116g t t a t =+-⋅+的对称轴为12at -=，当221<-a即3->a 时，函数()g t 在[)+∞,2上单调递增，此时0218)2(>+=a g ，得9->a ，a <-∴3 ………… 12分当221≥-a，即3-≤a 时，函数()g t 在对称轴取得最小值，此时()21112211602g a a a a ⎪⎛⎫=⎝---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭+-+ ⎭>⎪⎭⎝，得79a -<<，37-≤<-∴a ………… 14分故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分解二：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分设2x t =，因[)+∞∈,1x ，故22≥=x t ， ………… 9分所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即）（21)16(162≥++-=-+->t tt t t t a ………… 11分令1)16()(++-=t t t g 则”成立时“当且仅当==-≤++-=4,71)16()(t tt t g ………… 14分故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 17. （1）设男性患者人数为m ，则女性患者人数为12m ，由118002m m +=12001200600 2 21200800336004504322⨯列联表如下：疾病类型性别A 型B 型合计男 800 400 1200 女 450 150 600 合计12505501800………… 5分（2）零假设0H ：所患疾病的类型与性别无关， ………… 6分根据列联表中的数据，经计算得到()2218008001504504001441200600125055011χ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，…… 8分由于20.00114413.09110.82811χχ=≈>=， ………… 9分依据小概率值0.001α=的2χ独立性检验，可以认为所患疾病的类型与性别有关.… 10分（3）接种疫苗的费用ξ可能的取值为27，54， ………… 11分223322220(27)C ()(1()33327P ξ==-+=， ………… 12分207(54)12727P ξ==-=， ………… 13分则ξ的分布列为ξ27 54P2027 727期望为()2072754342727E ξ=⨯+⨯= .………… 15分 18．解：（1）由()()0.50.841352P X P X μσμσμσ-<≤+>-=+=，………2分76.5 5.576.5 5.571 4（2）由76.5μ=得，()176.52P ξ>=，即从所有参加笔试的学生中随机抽取1名学生，该生笔试成绩76.5以上的概率为12…5分所以随机变量ξ服从二项分布110,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ………6分所以()11052E ξ=⨯=． ………8分（3）X 的可能取值为0，1，2，3，4． ………9分()220022111011329P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………10分 ()22100122221111111111113323223P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯⨯-+⨯-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,…11分()22201122221111112111323322P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭220222111313236C C ⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………12分 6121311312112131)3(2221212222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯==C C C C X p ， ……13分()22222211143236P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………14分 X 0 1 2 3 4()P X19 13 1336 16 136………15分 ∴()11131150123493366363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………17分 19. （1） ,x y ∀∈R ，()lg 1010xyx y ⊕=+∴()()lg 1010a b a b c c ⊕-=+-， ………2分10101010101010 45（2）()()()()222222222222lg 1010lg 210lg 2a x a xa xa x a x a x⊕=+=⨯=+∴原不等式可化为：()2221x a x ->，即()221210a x x --+>， ………6分满足题意，必有210a -<，即1a <-或1a >① ………7分令()()22121h x axx =--+，由于()010h =>，()21h a =-，结合①可得：()10h <， ………8分∴()h x 的一个零点在区间()0,1，另一个零点在区间[)1,2--， ………9分从而⎩⎨⎧>-≤-0)1(0)2(h h ，即⎩⎨⎧>+-⨯--⨯-≤+-⨯--⨯-01)1(2)1(101)2(2)2(12222）（）（a a ② ………10分由①②可得：223232<≤-≤<-a a 或 ………11分（3）()(lg 4f x x =+，()()lg 101010xxg x -=++ ………12分设4t x =+3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭r =，[)0,r ∈+∞，则()2132x r =-， ∴()()2221151*********t r r r r r =-+-=-+=-+≥， ………14分∴()lg 2f x ≥，()1()lg 32g x m f x =-+的值域为)lg 32lg 2,A m ⎡=-++∞⎣ ………15分1010101012x x -++≥=，∴()lg12g x ≥()g x 的值域为[)lg12,B =+∞ ………16分根据题意可知：B A ⊆，∴lg 32lg 2lg12m -+≤解之得：4833m -≤≤且23m ≠ ………17分为。

高二下学期数学期末考试试卷含答案(共3套)

第二学期期末考试试卷高二数学试题注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。

2．答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上。

3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰。

超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 1.设集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}2,3,4A =，{3,4,5}B =，则U A B =U ð A .{}2 B .{}0,1 C .{}0,1,2,3,4 D .{}0,1,3,4,52.命题“320,0x x x ∀>+>”的否定是A .320000,0x x x ∃>+≤B .320000,0x x x ∃≤+≤C.320,0x x x ∀>+≤ D .320,0x x x ∀≤+≤3.已知,a b ∈R ，则“a b >”是“2()0a a b ->”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.若函数2log 3,0()20xx x x f x x -+->⎧=⎨<⎩，，则((3))f f = A .13B .32C .52D .35.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古学家发现一批鱼化石，经检测其碳14含量约为原始含量的3.1%，则该生物生存的年代距今约A .1.7万年B .2.3万年C .2.9万年D .3.5万年6.若幂函数的图象经过点1(2,)4，则其解析式为A .1()2xy = B .2x y = C .2y x -= D .2y x =7.已知偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，则不等式(21)(3)f x f ->的解集为 A .()2,1-B .()1,2-C .(,2)(1,)U -∞-+∞D .(,1)(2,)-∞-+∞U8.若直线1=y 是曲线x x ay ln +=的一条切线，则实数a 的值为 A .1B .2C .3D .49.已知定义在R 上的函数()f x 在(2,)+∞上单调递增且(0)0f =，若(2)f x +为奇函数，则不等式()0f x <的解集为A .(,2)(0,4)-∞-UB .0,4()C .(,2(02-∞-U ），）D .(,0)(2,4)-∞U 10.若函数()ln f x x =与2()(4)24()g x x a x a a R =-+-+-∈图象上存在关于点(1,0)M 对称的点，则实数a 的取值范围是A .[0,.[1,)+∞ D .[e,)+∞11.1)2+（0a >且1a ≠）的图象可能是12.A .函数f B .函数()f x 既存在极大值又存在极小值C .当e 0k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D .若[,)x t ∈+∞时，max 25()ef x =，则t 的最小值为2 13. 对于定义域为D 的函数()f x ，若存在区间[,]m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在[,]m n 上是单调的；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称[,]m n 为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是A .3()f x x = B .2()3f x x=-C .()e 1xf x =- D .()ln 2f x x =+ 二、填空题：本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.14.函数21()log (1)f x x =+的定义域为（结果用区间表示）15.已知函数()|lg |f x x =，实数,a b ()a b ≠满足()()f a f b =，则ab 的值为 16.若“[2,8]x $?，2log 4log 2x m x?”为真命题，则实数m 的最大值为17.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)3()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，32()f x x x =-.（1）当(0,1]x ∈时，()f x 的最小值为；（2）若对任意(,]x m ∈-∞，都有 27()8f x ≥-成立，则实数m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6个小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（13分）已知二次函数()f x 的图象过原点，满足(2)()()f x f x x R -=-∈，其导函数的图象经过点(0,2)-.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）设函数()5(01)xg x a a a a =+->≠且，若存在1[3,0]x ∈-，使得对任意2[1,2]x ∈，都有12()()f x g x ≥，求实数a 的取值范围.19.（13分）已知函数2()log ()+1nf x m x =+为奇函数，其中,,0m n m ?R .（1）求,m n 的值；（2）求使不等式()1f x ³成立的x 的取值范围.20.（13分）已知:p 实数m 使得函数21()ln (2)2f x x m x x =---在定义域内为增函数；:q 实数m 使得函数2()(1)5g x mx m x =++-在R 上存在两个零点12,x x ，且121x x <<. （1）分别求出条件,p q 中的实数m 的取值范围；（2）甲同学认为“p 是q 的充分条件”，乙同学认为“p 是q 的必要条件”，请判断两位同学的说法是否正确，并说明理由.21.（13分）已知函数()(1)e xf x x a =--()a ∈R .（1）当0a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）当[0,1]x Î时，求函数()f x 的最大值.22.（15分）中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t （单位：分钟）满足525t ＃，t *∈N .经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t 相关：当2025t＃时高铁为满载状态，载客量为1000人；当520t?时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与2(20)t -成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车间隔为t 分钟时，高铁载客量为()P t . （1）求()P t 的表达式；（2）若该线路发车时间间隔为t 分钟时的净收益2()()4065020004tQ t P t t t =-+-（元），当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益tt Q )(最大？ 23.（15分）已知函数()ln (2)e xf x a x x =--，a ∈R .（1）当0a ³时，讨论)(x f 的导函数)(x f '在区间),1(+∞上零点的个数；（2）当1-=a ，(0,1]x ∈时，函数()f x 的图象恒在y x m =-+图象上方，求正整数m 的最大值.第二学期期末学业水平诊断高二数学试题参考答案一、选择题1.C2.A3.B4.A5.C6.C7.B8.A9.D 10.C 11.AC 12.ABC 13.ABD 二、填空题14.(1,0)- 15.1 16.517.427- , 7(,]2-∞（可写为72m ≤）三、解答题18.解：（1）设2()f x ax bx =+，∵(2)()f x f x -=-，所以()f x 的对称轴方程为12bx a=-=-， ……………………………………2分又()2f x ax b ¢=+，则(0)2f b ¢==-， ……………………………………4分两式联立，解得1-=a ，2b =-.所以2()2f x x x =--. ……………………………………5分（2）由已知max max ()()f x g x ≥. ……………………………………6分因为2()2f x x x =--，[]3,0x ∈-所以()f x 在(3,1)--单增，(1,0)-单减，当1x =-时，max ()1f x =…………8分法一：当01a <<时， ()5xg x a a =+-在[]2,1上为减函数，max ()(1)25g x g a ==-，此时125a ?，解得01a <<. ………………10分当1a >时， ()5xg x a a =+-在[]2,1上为增函数，2max ()(2)5g x g a a ==+-，此时215aa ?-，解得12a <?. ……………………………………12分综上，实数a 的取值范围是{|01a a <<或}12a <?.……………………………13分（法二：因为0a >且1a ≠，所以()5xg x a a =+-为单调函数，所以{}max ()max (1),(2)g x g g =，又(1)25g a =-，2(2)5g a a =+-， ……………10分于是由212515a a a ≥-⎧⎨≥+-⎩，解得32a -≤≤. ……………………………………12分又0a >且1a ≠，所以实数a 的取值范围是{|01a a <<或}12a <?.………13分） 19. 解：（1）因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x -+=对定义域内任意的x 恒成立.即22log ()log ()0+1+1n nm m x x +++=-， ……………………………………2分化简得 2222()1m x m n x -+=-， ……………………………………4分故21m =，2()1m n +=，解得1m =-，2n =. ……………………………7分（2）由（1）知，21()log 1xf x x-=+，……………………………………………………9分由21()log 11x f x x -=?+，得121xx-³+， ………………………………………11分解得113x -<?，综上，满足题意的x 的取值范围是 1(1,]3--. …………………………………13分20.解：（1）()f x 的定义域为(0,)+?，1()(2)1f x m x x '=---，…………………2分因为()f x 在定义域内为增函数，所以对0x ∀>，恒有()0f x '≥，整理得 22111172()24m x x x ≤-+=-+恒成立，于是74m ≤. 因此满足条件p 的实数m 的取值范围是7(,]4-?. ………………………6分因为()g x 的存在两个零点且121x x <<，所以(1)0m g ?. ………………………8分即(24)0m m -<，解得02m <<.因此满足条件q 的实数m 的取值范围是(0,2). ………………………10分（2）甲、乙两同学的判断均不正确， ………………………………………………11分因为p q ⇒/，所以p 不是q 的充分条件, ………………………………………12分因为q p ⇒/，所以p 不是q 的必要条件. ………………………………………13分21.解：（1）当0a =时，(1)0f =，(1)e f ¢=， ……………………………………2分所以切线方程为0e(1)y x -=-，即e e 0x y --=.……………………………4分（2）()()e x f x x a ¢=-，当0a £时，当[0,1]x Î，()0f x ¢³，()f x 单调递增，此时max ()(1)e f x f a ==-，………………………………………………………6分当01a <<时，当(0,)x a Î，()0f x ¢<，()f x 单调递减，当(,1)x a Î，()0f x ¢>，()f x 单调递增，此时{}max ()max (0),(1)f x f f =, ………………………8分又(1)(0)(e 1)+1f f a -=--，所以当10e 1a <?-时，max ()(1)e f x f a ==- 当11e 1a <<-时，max ()(0)1f x f a ==--. ………………………10分当1a ³时，当[0,1]x Î，()0f x ¢£，()f x 单调递减，此时max ()(0)1f x f a ==--………………………………………………………12分综上，当1e 1a £-时，max ()(1)e f x f a ==-，当1e 1a >-时，max ()(0)1f x f a ==--. ………………………………13分 22.解：（1）当520t?时，不妨设2()1000(20)P t k t =--，因为(5)100P =，所以解得4k =. ………………………………3分因此 2**10004(20),520,,()1000,2025,t t t P t t t ìï--??ï=íï＃?ïîN N . ……………………5分（2）① 当520t?时，23()()40650200050020004tQ t P t t t t t =-+-=-+- 因此2()2000()500Q t y t t t t==--+，520t ?. ……………………7分因为()y t ¢=32220002(1000)2t t t t ---+=，当510t?时，()0y t ¢>，()y t 单增；当1020t <<时，()0y t ¢<，()y t 单减.所以max ()(10)200y t y ==.…………10分 ② 当2025t＃时，2()409002000Q t t t =-+-因此()50()90040()Q t y t t t t==-+，2025t ＃. ……………………12分因为()y t ¢=2240(50)0t t --<，此时()y t 单减.所以max ()(20)0y t y ==，…14分综上，发车时间间隔为10分钟时，tt Q )(最大. ……………………15分 23.解：（1）()()e (1)e (1)e x x x a af x x x x x¢=-+-=--. ……………………1分令()(1)e xa g x x x=--，[1,)x ∈+∞，则322e ()e x x a a x g x x x x +¢=--=-,…2分 ①当0a =时，当(1,)x ∈+∞，()0g x ¢<， ()g x 单调递减，又(1)0g a ==，所以对"1x >时，()(1)0g x g <=，此时()g x 在(1,)+?不存在零点. ………………4分②当0a >时，当(1,)x ∈+∞，()0g x ¢<， ()g x 单调递减. 又因为(1)0g a =>，取}0max x a =，则02000000()(1)e (1)(1)20x a ag x x x x x x a=--<--+=-?，即0()0g x <. 根据零点存在定理，此时()g x 在(1,+∞）存在唯一零点. ………………6分综上，当0a >时，()f x ¢在(1,)+∞存在唯一零点；当0a =时， ()f x ¢在(1,)+∞没有零点. ………………………………………………7分（2）由已知得ln (2)e xm x x x <---在(]1,0上恒成立. ………………………………8分设()ln (2)e xh x x x x =---，(0,1]x ∈，则1()(1)(e )xh x x x'=--……………9分因为01x <<时，所以10x ->，设1()e xu x x =-，21()e 0x u x x¢=+>，所以)(x u 在(0,1) 上单调递增，………10分又1()202u =<，(1)e 10u =->，由零点存在定理)1,21(0∈∃x ，使得0)(0=x u ，即001e x x =, 00ln x x =-， ………………………………………………12分且当),0(0x x ∈时，()0u x <，()0h x '<，()h x 单调递减；当(]1,0x x ∈时，()0u x >，()0h x '>，)(x h 单调递增.所以0min 0000002()()ln (2)e 21xh x h x x x x x x ==---=-+，…………………14分又x x y 221++-=在)1,0(上单调递减，而)1,21(0∈x ，所以)4,3()(0∈x h ，因此，正整数m 的最大值为3.………………………………………………………15分高二第二学期期末考试数学试题试卷说明：（1）命题范围：人教版选修1-2，必修1 （2）试卷共两卷（3）时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果{}5,4,3,2,1=S ，{}3,2,1=M ，{}5,3,2=N ，那么()()N C M C S S I 等于（）. A.φ B.{}3,1 C.{}4 D.{}5,2 2.下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）.A.xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21 B.x y 1= C.)(log 3x y -= D.3x y -=3．若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则A ．a=2,b=2B ．a = 2 ,b=2C ．a=2,b=1D ．a= 2 ,b= 2 4．对于10<<a ，给出下列四个不等式 ①)11(log )1(log aa a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③aaaa111++<④aaaa111++>其中成立的是A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④5、若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x、三、四象限，则一定有 A ．010><<b a 且 B ．01>>b a 且C ．010<<<b a 且D ．01<>b a 且6、已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg )(a f a f x x x f 则若A ．21 B ．－21 C ．2D ．－27．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a=A.42 B.22 C.41 D.218、函数11(1)y x x =-+≥的反函数是A ．)1(222<+-=x x x y B ．)1(222≥+-=x x x yC ．)1(22<-=x x x yD ．)1(22≥-=x x x y9．在映射:f A B →中，(){},|,A B x y x y R ==∈，且()():,,f x y x y x y →-+，则与A 中的元素()1,2-对应的B 中的元素为（）A ．()3.1-B ．()1,3C ．()1,3--D ．()3,110．设复数2121),(2,1z z R b bi z i z 若∈+=+=为实数，则b = ( )A.2B.1C.－1D.－211．函数34x y =的图象是（）A ．B ．C ．D ．12、在复平面内，复数1i i+＋(1＋3i )2对应的点位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题纸中对应横线上. 13.已知复数122,13z i z i =-=-，则复数215z i z + =14．lg25＋32lg8＋lg5·lg20＋lg 22= 15.若关于x 的方程04)73(32=+-+x t tx 的两实根21,x x ，满足21021<<<<x x ，则实数t 的取值范围是 16.函数2()ln()f x x x =-的单调递增区间为三、解答题：本大题共6小题，共74分.前五题各12分，最后一题14分. 17.（本小题12分）计算 ()20251002i 1i 1i 1i i 21⎪⎭⎫⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++18．（本小题12分）在数列{a n }中，)(22,111++∈+==N n a a a a nnn ，试猜想这个数列的通项公式。

安徽省蚌埠市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学含答案

蚌埠市2023—2024学年度第二学期期末学业水平监测高二数学（答案在最后）本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“n ∀∈Z ，n ∈Q ”的否定为（）A.n ∀∈Z ，n ∉QB.n ∀∈Q ，n ∈ZC.n ∃∈Z ，n ∈QD.n ∃∈Z ，n ∉Q2.若lg πa =，ln πb =，lg e c =，其中e 是自然对数的底数，则（）A.a b c>> B.b a c>> C.a c b>> D.c a b >>3.已知向量()1,2a =r ，()4,3b = ，则向量b 在a上的投影向量的坐标是（）A.()2,4B.(C.24,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D.,55⎛⎫⎪⎝⎭4.已知函数()1221,0,,0,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩若()3f m =，则m 的值为（）A.B.2C.9D.2或95.在()521x -的展开式中，3x 的系数是（）A.80- B.40- C.20 D.806.ABC 中，“A B >”是“cos2cos2A B <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数()tan sin 2f x x =，则函数()f x 的解析式为（）A.()22ππ,12x f x x k k x ⎛⎫=≠+∈ ⎪-⎝⎭Z B.()221xf x x =-C.()22ππ,12x f x x k k x ⎛⎫=≠+∈ ⎪+⎝⎭Z D.()221x f x x =+8.已知事件A ，B ，()13P B =，()34P B A =，()12P B A =，则()P A =（）A.14B.13C.23D.34二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知由样本数据点集合(){,|1,2,,}i i x y i n = ，求得的回归直线方程为 1.5.5ˆ0yx =+，且3x =，现发现两个数据点()1.3,2.1和()4.7,7.9误差较大，剔除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则（）A.变量x 与y 具有负相关关系B.剔除后y 不变C.剔除后的回归方程为 1.2.4ˆ1yx =+ D.剔除后相应于样本点()2,3.75的残差为0.0510.函数()()(]ππ0,2,,22f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+∈∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.()()πf x f x +=B.π4x =-是曲线()y f x =的一条对称轴C.函数3π8f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是奇函数D.若方程()1f x =在()0,m 上有且仅有6个解，则5π13π,24m ⎛⎤∈⎥⎝⎦11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ．若函数()23f x -的图象关于点(2,1)对称，()()3310f x f x ++-=且()02f =-，则（）A.()f x 的图象关于点(1,1)对称B.()()4f x f x +=）C.()()10262f f ''= D.()5012501i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合(){}2log 1M x x a =-<，若2M ∉，写出一个满足题意的实数a 的值：__________.13.安排甲、乙、丙、丁共4名志愿者完成6项服务工作，每人至少完成1项工作，每项工作由1人完成，甲不能完成其中的A 项工作，则不同的安排方式有______种（用数字作答）.14.函数()e xf x x =在0x =处的切线方程为_________；若()()ln 2g x f x x x a =--+-有两个零点，则实数a 的取值范围是_________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()32212f x x ax x b =-++在2x =处取得极小值5.（1）求实数a ，b 的值；（2）当[]0,3x ∈时，求函数()f x 的最大值.16.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），223.8σ=．（1）试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）；（2）若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y ，求随机变量Y 的分布列，数学期望与方差．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则(),0.6827P μσμσ-+≈，()2,20.9545P μσμσ-+≈，()3,30.9973P μσμσ-+≈．17.我国为了鼓励新能源汽车的发展，推行了许多购车优惠政策，包括：国家财政补贴、地方财政补贴、免征车辆购置税、充电设施奖补、车船税减免、放宽汽车消费信贷等．为了了解群众对新能源车和传统燃油车的偏好是否与年龄有关，调查组对400名不同年龄段（19岁以上）的车主进行了问卷调查，其中有200名车主偏好新能源汽车，这200名车主中各年龄段所占百分比见下图：在所有被调查车主中随机抽取1人，抽到偏好传统燃油车且在19~35岁年龄段的概率为316．（1）请将下列2×2列联表直接补充完整．偏好新能源汽车偏好燃油车合计19~35岁35岁以上合计并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关？（2）将上述调查中的频率视为概率，按照分层随机抽样方法，从偏好新能源汽车的车主中选取5人，再从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人在19-35岁年龄段的概率．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.1000.0500.0100.0050.001αχ2.7063.8416.6357.87910.82818.定义函数()sin cos f x m x n x =+的“伴随向量”为(),a m n = ，向量(),a m n =的“伴随函数”为()sin cos f x m x n x =+．（1）若向量(),a m n = 的“伴随函数”()f x 满足π7π9tan 11π918f f ⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，求n m的值；（2）已知2a b == ，设()0,0OP a b λμλμ=+>> ，且OP的“伴随函数”为()g x ，其最大值为t ，求()()2t λμ-+的最小值，并判断此时向量a ，b的关系．19.若非空集合A 与B ，存在对应关系f ，使A 中的每一个元素a ，B 中总有唯一的元素b 与它对应，则称这种对应为从A 到B 的映射，记作f ：A →B ．设集合{}5,3,1,1,3,5A =---，{}12,,,n B b b b = （*n ∈N ，6n ≤），且B A ⊆．设有序四元数集合()1234{,,,,i P X X x x x x x A ==∈且1,2,3,4}i =，(){}1234,,,Q Y Y y y y y ==．对于给定的集合B ，定义映射f ：P →Q ，记为()Y f X =，按映射f ，若i x B ∈（1,2,3,4i =），则1i i y x =+；若i x B ∉（1,2,3,4i =），则i i y x =．记()41B ii S Y y ==∑．（1）若{}5,1B =-，()1,3,3,5X =--，写出Y ，并求()B S Y ；（2）若{}123,,B b b b =，()1,3,3,5X =--，求所有()B S Y 的总和；（3）对于给定的()1234,,,X x x x x =，记41ii xm ==∑，求所有()B S Y 的总和（用含m 的式子表示）．蚌埠市2023—2024学年度第二学期期末学业水平监测高二数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“n ∀∈Z ，n ∈Q ”的否定为（）A.n ∀∈Z ，n ∉QB.n ∀∈Q ，n ∈ZC.n ∃∈Z ，n ∈QD.n ∃∈Z ，n ∉Q【答案】D 【解析】【分析】直接根据全称命题的否定求解即可.【详解】命题“n ∀∈Z ，n ∈Q ”的否定为“n ∃∈Z ，n ∉Q ”.故选：D.2.若lg πa =，ln πb =，lg e c =，其中e 是自然对数的底数，则（）A.a b c >>B.b a c>> C.a c b>> D.c a b>>【答案】B 【解析】【分析】应用对数函数单调性判断大小即可.【详解】因为lg y x =单调递增，又πe >,所以lgπlge >,可得a c >;又因为πlog y x =单调递增，又10e >,所以ππlog 10log e>0>,所以ππ11,lgπlnπlog 10log e<<,可得a b <,所以b a c >>.故选：B.3.已知向量()1,2a =r ，()4,3b = ，则向量b 在a上的投影向量的坐标是（）A.()2,4B.(C.24,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D.,55⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据坐标计算,a a b ⋅，然后由投影向量公式可得.【详解】因为142310a a b ==⋅=⨯+⨯= ，所以向量b 在a上的投影向量为()()21021,22,45a b a a a⋅===.故选：A4.已知函数()1221,0,,0,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩若()3f m =，则m 的值为（）A.B.2C.9D.2或9【答案】C 【解析】【分析】由题可得2130mm ⎧-=⎨≤⎩或123m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩，即求.【详解】∵函数()1221,0,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，()3f m =，∴2130mm ⎧-=⎨≤⎩或123m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩，解得9m =.故选：C.5.在()521x -的展开式中，3x 的系数是（）A.80-B.40- C.20D.80【答案】D 【解析】【分析】先求出5(21)x -展开式中的通项，再求出k 值即可．【详解】5(21)x -展开式中的通项公式为：555155C (2)(1)C (1)2k k k kk k k k T x x ---+=-=-，令53k -=，则2k =，5(21)x ∴-展开式中3x 的系数为2235C (1)280-=，故选：D ．6.ABC 中，“A B >”是“cos2cos2A B <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】cos2cos2A B <等价于sin sin A B >，由正弦定理以及充分必要条件的定义判断即可.【详解】在三角形中，因为cos2cos2A B <，所以2212sin 12sin A B -<-，即sin sin A B >若A B >，则a b >，即2sin 2sin R A R B >，sin sin A B >若sin sin A B >，由正弦定理sin sin a b A B=，得a b >，根据大边对大角，可知A B >所以“A B >”是“cos2cos2A B <”的充要条件故选：C7.已知函数()tan sin 2f x x =，则函数()f x 的解析式为（）A.()22ππ,12x f x x k k x ⎛⎫=≠+∈ ⎪-⎝⎭Z B.()221xf x x =-C.()22ππ,12x f x x k k x ⎛⎫=≠+∈ ⎪+⎝⎭Z D.()221x f x x =+【答案】D 【解析】【分析】由二倍角公式以及平方关系、商数关系即可得解.【详解】()()2222sin cos 2tan tan sin 2,tan R sin cos tan 1x x xf x x x x x x ===∈++，所以()221xf x x =+.故选：D.8.已知事件A ，B ，()13P B =，()34P B A =，()12P B A =，则()P A =（）A.14B.13C.23D.34【答案】C 【解析】【分析】应用条件概率公式及全概率公式计算即可.【详解】因为()()()()()()31,42P BA P B A P B A P B A P A P A====,所以()()11,42P B A P B A ==,所以()()()()()()()()1111423P B P A P B A P A P B A P A P A =+=⨯+-⨯=,所以()23P A =.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知由样本数据点集合(){,|1,2,,}i i x y i n = ，求得的回归直线方程为 1.5.5ˆ0yx =+，且3x =，现发现两个数据点()1.3,2.1和()4.7,7.9误差较大，剔除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则（）A.变量x 与y 具有负相关关系B.剔除后y 不变C.剔除后的回归方程为 1.2.4ˆ1yx =+ D.剔除后相应于样本点()2,3.75的残差为0.05【答案】BC 【解析】【分析】根据给定条件，利用回归直线方程的性质、残差的基本概念等进行解题.【详解】对于A ，由剔除前回归直线的斜率为1.5，剔除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，两者均大于0，则变量x 与y 具有正相关关系，A 错误；对于B ，剔除前 1.50.55y x =+=，而剔除的两个数据点1.3 4.732x +==，2.17.952y +==，因此剔除后y 不变，B 正确；对于C ，剔除后3x =，5y=，而回归直线l 的斜率为1.2，则回归直线方程为ˆ 1.2 1.4yx =+，C 正确；对于D ，剔除后的回归直线方程为ˆ 1.2 1.4yx =+，当2x =时，ˆ 3.8=y ，则残差为3.75 3.80.05-=-，D 错误.故选：BC10.函数()()(]ππ0,2,,22f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+∈∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.()()πf x f x +=B.π4x =-是曲线()y f x =的一条对称轴C.函数3π8f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是奇函数D.若方程()1f x =在()0,m 上有且仅有6个解，则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】ACD 【解析】【分析】由(0)1f ϕ==-及π()08f =，可求得π())4f x x =-，从而判断A ，B ，C ；解出()1f x =的6个正根，再求出第7个正根，即可得m 的范围，从而判断D ．【详解】解：对于A ．(0)1f ϕ==-，即sin 2ϕ=-，又因为ππ[,]22ϕ∈-，所以4πϕ=-，所以π())4f x x ω=-，又因为π()08f =，ππsin()084ω-=，所以ππ84k ωπ-=，k ∈Z ，解得82k ω=+，k ∈Z ，又因为(0,2]ω∈，所以0k =，2ω=，所以π())4f x x =-，所以2ππ2T ==，所以(π)()f x f x +=，故A 正确；对于B ．因为π())4f x x =-，所以π3π()144f -=-=-≠所以π4x =-不是函数的对称轴，故B 错误；对于C ．因为3π(π)28f x x x -=-=，易知此时函数为奇函数，故C 正确；对于D．πππ()1)1sin(2)22π44244f x x x x k π=⇔-=⇔-=⇔-=+，k ∈Z或()π3π22π,44x k k -=+∈Z ，即π()1π4f x x k =⇔=+，k ∈Z 或()π,2x k k π=+∈Z ，若方程()1f x =在(0,)m 上有且只有6个根，则将它们从小到大排列为：π4，π2，5π4，3π2，9π4，5π2，由规律可知，大于5π2且离5π2最近的使得()1f x =的x 为13π4，所以5π13π(,24m ∈，故D 正确．故选：ACD ．11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ．若函数()23f x -的图象关于点(2,1)对称，()()3310f x f x ++-=且()02f =-，则（）A.()f x 的图象关于点(1,1)对称B.()()4f x f x +=）C.()()10262f f ''=D.()5012501i f i ==∑【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的图象变换及其对称性，可判断A ；结合()(2)2f x f x +-=和(3)(3)10f x f x ++-=，化简得到()(4)8f x f x =+-，可判断B ；对(3)(3)10f x f x ++-=和()(2)2f x f x +-=，两边同时求导，得()(4)f x f x ''=+，从而得()f x '是以4为周期的周期函数，即可判断C ；令()()2g x f x x =-，可得()g x 的周期为4，且令()()2f x g x x =+，用赋值法求得(1)1g =-，(2)0=g ，(3)1g =-，(4)2g =-，根据501()(1)(2)(50)(1)(2)(50)2(12350)i f i f f f g g g ==++=+++++++∑ 求解即可．【详解】解：A ．设函数()y f x =的图象关于(,)a b 对称，则(3)y f x =-关于(3,)a b +对称，可得(23)f y x =-关于3(,)2a b +对称，因为函数(23)f x -的图像关于点(2,1)对称，可得322a +=，1b =，解得1a =，1b =，所以函数()y f x =的图象关于(1,1)对称，所以A 正确；B ．由函数()y f x =的图象关于(1,1)对称，可得()(2)2f x f x +-=，因为(3)(3)10f x f x ++-=，可得(4)(2)10f x f x ++-=，两式相减得(4)()8f x f x +-=，即(4)()8f x f x +=+，所以B 不正确；C ．由(3)(3)10f x f x ++-=，可得(3)(3)0f x f x ''+--=，即(3)(3)f x f x ''+=-，所以(6)()f x f x ''+=-，在()(2)2f x f x +-=中，两边求导得：()(2)0f x f x ''--=，即()(2)f x f x '=-，(2)()f x f x ''+=-，所以(2)(6)f x f x ''+=+，即()(4)f x f x ''=+，所以()y f x '=的周期为4，所以(1026)(2)f f ''=，故C 正确；D ．令()()2g x f x x =-，可得(4)(4)2(4)(4)28g x f x x f x x +=+-+=+--，因为()(4)8f x f x =+-，所以(4)(4)28()2()g x f x x f x x g x +=+--=-=，所以()(4)g x g x =+，所以函数()g x 是以4为周期的周期函数，因为(0)2f =-，且函数()f x 关于(1,1)对称，可得f （1）1=，f （2）2(0)4f =-=，又因为(3)(3)10f x f x ++-=，令0x =，可得2(3)10f =，所以(3)5f =，再令1x =，可得(4)(2)10f f +=，所以(4)6f =，由()()2g x f x x =-，可得(1)1g =-，(2)0=g ，(3)1g =-，(4)2g =-，可得(1)(2)(3)(4)4g g g g +++=-，又由函数()()2g x f x x =-是以4为周期的周期函数，且()()2f x g x x =+，所以501()(1)(2)(50)(1)(2)(50)2(12350)i f i f f f g g g ==++=+++++++∑ 12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)2(1250)g g g g g g =++++++++ 50(150)12(4)10225012+=⨯--++⨯=，所以D 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是求出函数的周期以及一个周期内函数值的和，最后求和即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合(){}2log 1M x x a =-<，若2M ∉，写出一个满足题意的实数a 的值：__________.【答案】2（本题答案不唯一，只要所写数值满足(][),02,a ∈-∞⋃+∞即可）【解析】【分析】解对数不等式求出集合M ，然后根据2M ∉可得a 的范围，即可得答案.【详解】由()2log 1x a -<得02x a <-<，即2a x a <<+，所以(),2M a a =+，因为2M ∉，所以2a ≥或22a +≤，得(][),02,a ∞∞∈-⋃+.故答案为：2（答案不唯一）13.安排甲、乙、丙、丁共4名志愿者完成6项服务工作，每人至少完成1项工作，每项工作由1人完成，甲不能完成其中的A 项工作，则不同的安排方式有______种（用数字作答）.【答案】1170【解析】【分析】先分组，然后将不含工作A 的3组工作中选1组分配为甲，再分配其他3组工作即可.【详解】第一步，将6项工作分为1,1,1,3或1,1,2,2有3111221163216421322322C C C C C C C C 65A A A +=种情况；第二步，从不含工作A 的3组工作中选1组分配为甲，有13C 3=种情况；第三步，将剩下的3组工作分配给其余3人，有33A 6=种情况.由分布计数乘法计数原理可得不同的安排方式有65361170⨯⨯=种.故答案为：117014.函数()e xf x x =在0x =处的切线方程为_________；若()()ln 2g x f x x x a =--+-有两个零点，则实数a 的取值范围是_________．【答案】①.0x y -=②.(),1-∞【解析】【分析】第一个空，对()f x 求导，求出(0)f '和(0)f ，即可求解切线方程；第二个空，进行合理换元和同构，转化为()e t h t t =-的图象与直线2y a =-有两个交点，转化为交点问题，再利用导数研究函数的单调性、最值，最后得到参数的取值范围即可．【详解】()(1)e x f x x '=+，则(0)1f '=，又(0)0f =，所以函数()e x f x x =在0x =处的切线方程为y x =；令()()ln 2e ln 20x g x f x x x a x x x a =--+-=--+-=，所以ln e ln e (ln )2x x x x x x x x a +--=-+=-．令ln ()e (ln )x x F x x x +=-+，定义域为(0,)+∞，2y a =-，令ln t x x =+，易知ln t x x =+在(0,)+∞上单调递增，且R t ∈．所以()e t h t t =-，则函数()g x 有两个零点转化为函数()e t h t t =-的图象与直线2y a =-有两个交点．则()e 1t h t '=-，当0t <时，()0h t '<；当0t >时，()0h t '>，即()e t h t t =-在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以0()(0)e 01h t h ≥=-=，当t →-∞时，()h t →+∞；当t →+∞时，()h t →+∞，则21y a =->，解得1a <，即实数a 的取值范围是(,1)-∞．故答案为：y x =；(,1)-∞．【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用同构思想，构造函数()e t h t t =-，转化为直线与函数交点问题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()32212f x x ax x b =-++在2x =处取得极小值5.（1）求实数a ，b 的值；（2）当[]0,3x ∈时，求函数()f x 的最大值.【答案】（1）9a =，1b =.（2）10【解析】【分析】（1）直接求导得()2244120f a =-+='，解出a 值，验证即可；（2）由（1）知()3229121f x x x x =-++，求导再列表即可得到其最大值.【小问1详解】()26212f x x ax =-+'，因为()f x 在2x =处取极小值5，所以()2244120f a =-+='，得9a =，此时()()()261812612f x x x x x =-+=--'，令()0f x '<，解得12x <<；令()0f x '>，解得1x <或2x >，所以()f x 在()1,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，所以()f x 在2x =时取极小值，符合题意.所以9a =，()322912f x x x x b =-++.又()245f b =+=，所以1b =.综上，9a =，1b =.【小问2详解】由（1）知()3229121f x x x x =-++，()()()612f x x x -'=-，列表如下：x()0,11()1,22()2,33()f x '+-+()f x 1极大值6极小值510由于610<，故[]0,3x ∈时，()()max 310f x f ==.16.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），223.8σ=．（1）试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）；（2）若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y ，求随机变量Y 的分布列，数学期望与方差．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则(),0.6827P μσμσ-+≈，()2,20.9545P μσμσ-+≈，()3,30.9973P μσμσ-+≈．【答案】（1）159人（2）分布列见解析，()52E Y =，()54D Y =．【解析】【分析】（1）利用正态分布相关知识即可求解；（2）因为2~(10.6,3.8)X N ，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为1(10.6)2P X >=，可得1~(5,2Y B ，然后求出对应的概率即可得解．【小问1详解】样本中100名学生每周阅读时间的均值为：20.160.2100.3140.25180.1510.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即10.6μ=，又 3.8σ=，所以()2~10.6,3.8X N ，所以()()()16.810.68270.158652P X P X μσ≤=≤-=⨯-=，所以全年级学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数大约为：0.158651000159⨯≈（人）【小问2详解】因为()2~10.6,3.8X N ，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为()110.62P X >=，可得1~5,2Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()505110C 232P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()515151C 232P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()525152C 216P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()535153C 216P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()545154C 3232P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()555115C 232P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，随机变量Y 的分布列为：Y012345P132532516516532132故()15522E Y =⨯=，()1155224D Y =⨯⨯=．17.我国为了鼓励新能源汽车的发展，推行了许多购车优惠政策，包括：国家财政补贴、地方财政补贴、免征车辆购置税、充电设施奖补、车船税减免、放宽汽车消费信贷等．为了了解群众对新能源车和传统燃油车的偏好是否与年龄有关，调查组对400名不同年龄段（19岁以上）的车主进行了问卷调查，其中有200名车主偏好新能源汽车，这200名车主中各年龄段所占百分比见下图：在所有被调查车主中随机抽取1人，抽到偏好传统燃油车且在19~35岁年龄段的概率为316．（1）请将下列2×2列联表直接补充完整．偏好新能源汽车偏好燃油车合计19~35岁35岁以上合计并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关？（2）将上述调查中的频率视为概率，按照分层随机抽样方法，从偏好新能源汽车的车主中选取5人，再从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人在19-35岁年龄段的概率．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.1000.0500.0100.0050.001αχ 2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）表格见解析，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关（2）35．【解析】【分析】（1）补全22⨯列联表，计算2χ的值，与临界值比较即可判断；（2）利用古典概型的概率公式求解．【小问1详解】在所有被调查车主中随机抽取1人，抽到偏好传统燃油车且在19~35岁年龄段的概率为316，所以偏好传统燃油车且在19~35岁年龄段得人数：34007516⨯=（人），故偏好传统燃油车且在35岁以上年龄段得人数：20075125-=（人），新能源汽车200名车主中在19~35岁年龄段的比例为38%22%60%+=，故人数为：20060%120⨯=（人）：新能源汽车35岁以上的人数为：20012080-=（人），填表如下：偏好新能源汽车偏好燃油车合计19~35岁1207524035岁以上80125180合计200200400()()()()()()222400120125758020.26310.828195205200200n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，则能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关．【小问2详解】按照分层随机抽样，从偏好新能源汽车的车主中选取5人，其中在1935-岁年龄段的人数为12053200⨯=人，35岁以上的人数为2，从5人中任意取2人，共有25C 10=种情况，其中恰有1人在19~35岁年龄段的有1132C C 6=种情况，故2人中恰有1人在19~35岁年龄段的概率为63105P ==．18.定义函数()sin cos f x m x n x =+的“伴随向量”为(),a m n = ，向量(),a m n =的“伴随函数”为()sin cos f x m x n x =+．（1）若向量(),a m n = 的“伴随函数”()f x 满足π7π9tan 11π918f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，求n m的值；（2）已知2a b == ，设()0,0OP a b λμλμ=+>>，且OP的“伴随函数”为()g x ，其最大值为t ，求()()2t λμ-+的最小值，并判断此时向量a ，b的关系．【答案】（1）（2）最小值为12-，此时a b = ．【解析】【分析】（1）根据题意得出(),a m n = 的“伴随函数”，然后表示出1π91π18f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，令tan n m θ=，利用换元的思想得到π7πtan tan 99θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用正切函数求解即可；（2）设()2cos ,2sin a αα= ，()2cos ,2sin b ββ= ，利用向量线性运算的坐标表示得出OP，进一步得到()g x 的解析式，根据0x 满足0102π2π,2π2π,2x k x k αβ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩则0x x =时，22t λμ=+，从而()()()()2211122222t t t t λμ---+==-≥-，即可判断a b = ．【小问1详解】由题意知，向量(),a m n =的“伴随函数”为()sin cos f x m x n x =+，所以πππππsin cos sin cos tan 99999911π11ππππ11πsin cos cos sin 1tan 181899918πn f m n m n m n m n m n f m ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭===⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭，令tan n m θ=，上式化为π7πtan tan 99θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π7ππ99k θ+=+，2ππ3k θ=+，k ∈Z ，即2πtan tan 3n m θ===．【小问2详解】设()2cos ,2sin a αα= ，()2cos ,2sin b ββ=，因为()()()2cos cos ,2sin sin OP a b λμλαμβλαμβ=+=++，所以()()()2cos cos sin 2sin sin cos g x x xλαμβλαμβ=+++()()2cos sin sin cos 2cos sin sin cos x x x x λααμββ=+++()()2sin 2sin x x λαμβ=+++，令()()()2sin 2sin 22h x x x λαμβλμ=+++≤+，若0x 满足0102π2π,2π2π,2x k x k αβ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩则0x x =时，22t λμ=+，其中12,k k ∈Z ，此时()122πk k αβ-=-，即2πk αβ=+，k ∈Z ，故a b = ．从而()()()()2211122222t t t t λμ---+==-≥-，等号当且仅当1t =时成立，所以()()2t λμ-+的最小值为12-，此时a b = ．19.若非空集合A 与B ，存在对应关系f ，使A 中的每一个元素a ，B 中总有唯一的元素b 与它对应，则称这种对应为从A 到B 的映射，记作f ：A →B ．设集合{}5,3,1,1,3,5A =---，{}12,,,n B b b b = （*n ∈N ，6n ≤），且B A ⊆．设有序四元数集合()1234{,,,,i P X X x x x x x A ==∈且1,2,3,4}i =，(){}1234,,,Q Y Y y y y y ==．对于给定的集合B ，定义映射f ：P →Q ，记为()Y f X =，按映射f ，若i x B ∈（1,2,3,4i =），则1i i y x =+；若i x B ∉（1,2,3,4i =），则i i y x =．记()41B i i S Y y ==∑．（1）若{}5,1B =-，()1,3,3,5X =--，写出Y ，并求()B S Y ；（2）若{}123,,B b b b =，()1,3,3,5X =--，求所有()B S Y 的总和；（3）对于给定的()1234,,,X x x x x =，记41i i xm ==∑，求所有()B S Y 的总和（用含m 的式子表示）．【答案】（1）()2,3,3,5Y =--，()1B S Y =（2）40（3）63128m +【解析】【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可求解；（2）对1，3-，5是否属于B 进行分类讨论，求出对应所有Y 中的总个数，进而求解；（3）由题意，先求出在映射f 下得到的所有1y 的和，同理求出在映射f 下得到的所有i y （2,3,4i =）的和，即可求解.【小问1详解】由题意知，()()()()()1,3,3,511,3,3,52,3,3,5Y f X f ==--=+--=--，所以()23351B S Y =--+=．【小问2详解】对1，3-，5是否属于B 进行讨论：①含1的B 的个数为25C 10=，此时在映射f 下，1112y =+=；不含1的B 的个数为35C 10=，此时在映射f 下，11y =；所以所有Y 中2的总个数和1的总个数均为10；②含5的B 的个数为25C 10=，此时在映射f 下，4516y =+=；不含5的B 的个数为35C 10=，此时在映射f 下，45y =；所以所有Y 中6的总个数和5的总个数均为10；②含3-的B 的个数为25C 10=，此时在映射f 下，2312y =-+=-，3312y =-+=-；不含3-的B 的个数为35C 10=，此时在映射f 下，23y =-，33y =-；所以所有y 中2-的总个数和3-的总个数均为20．综上，所有()B S Y 的总和为()()101256202314010040⨯++++⨯--=-=．【小问3详解】对于给定的()1234,,,X x x x x =，考虑1x 在映射f 下的变化．由于在A 的所有非空子集中，含有1x 的子集B 共52个，所以在映射f 下1x 变为111y x =+；不含1x 的子集B 共521-个，在映射f 下1x 变为11y x =；所以在映射f 下得到的所有1y 的和为()()5511121216332x x x ++-=+．同理，在映射f 下得到的所有i y （2,3,4i =）的和()()5521216332i i i x x x ++-=+．所以所有()B S Y 的总和为()12346332463128x x x x m ++++⨯=+．【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点.。

2023-2024学年度第二学期期末质量监测高二数学参考答案

2023-2024学年度第二学期期末质量监测高二数学参考答案及评分标准一．单项选择题（每小题5分，共40分）1-4、CBAD5-8、BDCA二．多项选择题（每小题6分，共18分）9.AC10.ACD11、ABD三．填空题（每小题5分，共15分）12.0.313.711714.3(,)2e+∞四．解答题（本大题5小题，共77分）15.（1）由PA AC ⊥，,D E 分别为棱,PC AC 的中点，得//,DE PA DE AC⊥AB BC ==,,D E F 分别为棱,,PC AC AB的中点，且1,EF DE DF ===222DF DE EF =+，DE EF ⊥，EF ⊂平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,EF AC E ⋂=,DE ∴⊥平面ABC ……4分DE ⊂平面DEF所以平面DEF ⊥平面ABC .……5分（2）由（1）知DE ⊥平面ABC ，又ABC ∆是等腰直角三角形，E 是AC 中点，BE AC ∴⊥，以E 为原点，EA ，EB ，ED 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，……6分则(0,2,0),(0,0,1),(0,0,0),(2,0,0),(2,0,2)B D E C P -,则(2,2,2),(4,0,2),P P C B =--=--……7分设平面PBC 的法向量(m x =，y ，)z ，则·2220·420m x y z x P PC z B m ⎧=-+-=⎨=--=⎩，取1x =，得(1,1,2)m =--，……9分设平面BDE 的法向量(1,0,0)n =， (10)分6cos ,||||m n m n n m ⋅∴<>===⋅，……12分记平面PBC 与平面BDE 所成角为θsin 6θ∴===∴平面PBC 与平面BDE……13分16.（1）由题意知：当1n =时：1122a q a =+①当2n =时：21112()2a q a a q =++② (4)分联立①②，解得12,3a q ==.所以数列{}n a 的通项公式123n n a -=⨯.……7分（2）由（1）知123n n a -=⨯，123n n a +=⨯.所以1(21)n n n a a n d +=++-.所以114311n n n n a a d n n -+-⨯==++.……9分设数列{}n d 中存在3项m d ，k d ，p d ，（其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列.则2=k m p d d d ⋅，……10分所以2111434343111k m p k m p ---⎛⎫⨯⨯⨯=⋅ ⎪+++⎝⎭，即212243431(1)(1)k m p k m p -+-⎛⎫⨯⨯=⎪+++⎝⎭.……11分又因为m ，k ，p 成等差数列,所以2k m p=+……12分所以2(1)(1)(1)k m p +=++化简得22k k mp m p+=++所以2k mp=……14分又2k m p =+，所以k m p ==与已知矛盾.所以在数列{}n d 中不存在3项m d ，k d ，p d 成等比数列.……15分由()()()()P A B P B P B A P A ⋅=⋅，解得()6P B A =所以.6P B A =……2分则()()()()()P A P B P A B P B P A B =⋅+⋅，解得1()6P A B =.……4分（2）个性化错题本期末统考中的数学成绩合计及格A 不及格A建立B 20424未建立B 4812合计241236……6分根据列联表中的数据，经计算得到()2236208449 6.63524121224χ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.……8分所以有99%的把握认为期末统考中的数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关.……9分（3）从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行座谈，其中建立个性化错题本的学生人数为2人，不建立个性化错题本的学生人数为4人。

2023-2024学年上海中学高二下学期数学期末试卷及答案(2024.06)

1上海中学2023-2024学年第二学期高二年级数学期末2024.06一、填空题(每题3分，共36分)1.已知事件A 满足()0.3P A =，则()P A =___________.2.将4封不同的信投入3个不同的信箱，则不同的投递方式共有___________种.3.已知3223n n C P =，则n =___________.4.在()101x +的展开式中，3x 的系数为.___________(以数字作答)5.函数()242f x lnx x x =−−的驻点为___________.6.若随机变量X 服从正态分布()1,3,21N Y X =+，则[]D Y =___________.7.集合A 是{}12,3,4,5,6,7,8,9,10，的子集，且A 中的元素有完全平方数，则满足条件的集合A 共有___________个.8.从正方体的12条棱中选择两条，这两条棱所在直线异面直线的概率为___________. 9.若不等式x e ax ≥对任意1x ≥−成立，则a 的取值范围是___________.10.对于在定义域上恒大于0的函数()f x ，令()()g x lnf x =.已知()f x 与()g x 的导函数满足关系式()()()f x f x g x ′=′.由此可知，函数()2x f x x =在1x =处的切线方程为___________.11.甲、乙、丙、丁、戊乘坐高铁结伴出行并购买了位于同一排座位的五张车票，因此他们决定自行安排这些座位.高铁列车的座位安排如图，甲希望坐在靠窗的座位上，乙不希望坐在B 座，丙和丁希望坐在相邻的座位上(中间不能隔着过道)，则满足要求的座位安排方式共有___________种.12.将1,2,3,4,5,6的所有排列按如下方式排序:首先比较从左至右第一个数的大小，较大的排列在后;若第一个数相同，则比较第二个数的大小，较大的排列在后，依此类推.按这种排序2方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是___________. 二、选择题(每题4分，共16分) 13.设()2f x sin x =，则()f x ′=（）(A)2cos x (B)2cos x − (C)22cos x (D)22cos x −14.某班级共有40名同学，其中15人是团员.现从该班级通过抽签选择10名同学参加活动，定义随机变量X 为其中团员的人数，则X 服从（）(A)二项分布 (B)超几何分布 (C)正态分布 (D)伯努利分布 15.将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为12，且三次抛掷的结果互相独立.记事件A 为“至少两次结果为正面”，事件B 为“第三次结果为正面”，则()P B A =∣（） (A)12 (B)23 (C)34 (D)7816.现有编号分别为()1,2,,*n n N …∈的小球各两个，每个球的大小与质地均相同.将这2n 个球排成一列，使得任意编号相同的球均不相邻，记满足条件的排列个数为n a ，则（） ①对任意,*n n N a ∈都是偶数;②()()()11212n n a n n a n −>−−≥.(A)①②都是真命题 (B)①是真命题，②是假命题 (C)①是假命题，②是真命题 (D)①②都是假命题三、解答题(本大题共5题，共48分，解答各题须写出必要的步骤) 17.(本题8分)求函数()()231x f x e x x =⋅−+的单调区间.18.(本题8分)某公司对购买其产品的消费者进行了调研，已知这些消费者在一年内再次购买产品的概率为33%，且这些消费者可以分为A B C、、三类.其中A类消费者占30%，其在一年内再次购买产品的概率为60%;B类消费者占40%，其在一年内再次购买产品的概率为30%;C类消费者占比x%，其在一年内再次购买产品的概率为y%.(1)求x与y的值.(2)若一名消费者在一年内再次购买了产品，求其是B类消费者的概率.19.(本题10分)某学校举办知识竞赛，该竞赛共有三道问题，参赛同学须回答这些问题，以其答对的问题的得分之和作为最终得分.每个问题的得分与参赛同学答对的概率如下表(每次回答是否正确相互独立).定义随机变量X为最终得分.(1)求()50P X=.(2)求[]D X.E X与[]3420.(本题10分)设函数()()()1f x x x x a =−−，其中1a >.且()f x 在0x =与x a =处的切线分别为12,l l .(1)若1l 与2l 平行，求a 的值.(2)记(1)中a 的值为0a .当0a a >时，记12,l l 与x 轴围成的三角形面积为S .当S 取到最小值时，求a 的值.21.(本题12分)仿照二项式系数，可以定义“三项式系数”k n T 为()21nx x ++的展开式中kx 的系数()02k n ≤≤，即()201122221.nn n n n n n x x T T x T x T x ++++++其中0122,,,,n n n n n T T T T Z …∈. (1)求234333,,T T T 的值:(2)对于给定的*n N ∈，计算以下两式的值:20n knk T =∑与20nk n k k T =∑(3)对于*n N ∈，记0122,,,,n n n n n T T T T …中偶数的个数为n a ，奇数的个数为n b .是否存在n 使得2024n n a b −≥?若存在，请给出一个满足要求的n 并说明理由;若不存在，请给出证明.5参考答案一、填空题1.0.7;2.81;3.11;4.120;5.1;6.12;7.896;8.411;9.1,e e−; 10.210x y −−=； 11.11 12.2，3，4，6，1，5二、选择题13.C 14.B 15.C 16.A 三．解答题17.（1）增区间为()(),1,2,−∞−+∞，减区间为[]1,2− 18.（1）30,10x y == （2）123319.（1）0.36 （2）[]57E X =，[]853D X = 20．（1）2 （221．（1）234333676,,T T T ===（2）203nnk nk T ==∑，203n nk n k k T n ==⋅∑ （3）1024n =。

山东济宁2024年高二下学期期末考试数学试题+答案

2023-2024学年度第二学期质量检高二数学试题本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}220,2,1,0,1,2A xx x B =−−=−−∣ ，则A B ∩的元素个数为（）A.1B.2C.3D.42.命题“230,x x x ∃>>”的否定是（）A.230,x x x ∀>> B.230,x x x ∀> C.230,x x x ∀ D.230,x x x ∃> 3.已知随机变量()21,X N σ∼，若()20.8P X = ，则(01)P X <<=（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.44.用5种不同的颜色对如图所示的四个区域进行涂色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法有（）III IIIIVA.60种B.120种C.180种D.240种5.已知定义在R 上的偶函数()f x ，若对于任意不等实数[)12,0,x x ∞∈+都满足()()12120f x f x x x −>−，则不等式()()22f x f x >−的解集为（）A.(),2∞−− B.()2,∞−+ C.22,3− D.()2,2,3∞∞−−∪+6，已知两个变是x 和y 之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组样本数据，斥利用最小二乘法求得的回归方程是0.280.16yx +，其相关系数是1r .由于某种原因，其中一个数据丢失，将其记为m ，具体数据如下表所示：x1 2 3 4 5 y0.50.6m1.41.5若去掉数据()3,m 后，剩下的数据也成线性相关关系，其相关系数是2r ，则（） A.12r r = B.12r r >C.12r r <D.12,r r 的大小关系无法确定7.已知函数()22222,0e ,0xx ax a x f x ax x −+−= −> 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（） A.[]0,1 B.[]1,e C.[]0,2e D.[]1,2e 8.若2023ln2ln32023,,232024ab c ==，则（）A.a b c <<B.a c b <<C.b c a <<D.c a b <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知0,0a b >>，则下列结论正确的是（） A.若a b >，则22ac bc > B.若11a b>，则a b < C.若2a b +=，则14a b+的最小值为9 D.若221a b +=，则a b + 10.已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()()4,22f x f x f x f x =−+=−.当[]2,0x ∈−时，()243f x x x =++，则下列结论正确的是（） A.()f x 的图象关于直线2x =对称 B.()f x 是奇函数C.()f x 在[]4,6上单调递减D.20251()1012k f k ==∑11.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O 出发，每隔1s 等可能地向左或向右移动一个单位.设移动n 次后质点位于位置n X ，则下列结论正确的是（）A.()55116P X =−= B.()50E X = C.()63D X =D.移动6次后质点位于原点O 的概率最大三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()2()1m f x mm x =−−为幂函数，且在区间(0,)+∞上单调递减，则实数m =__________.113.现有6位同学报名参加学校的足球､篮球等5个不同的社团活动，每位同学只能参加一个社团，且每个社团都要有同学参加，在小华报名参加足球社团的条件下，有两名同学参加足球社团的概率为__________.14.已知,P Q 分别是函数()e ln xf x x x x =+−和()23g x x =−图象上的动点，测PQ 的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）为了解高二､1班学生数学建模能力的总体水平，王老师组织该班的50名学生（其中男生24人，女生26人）参加数学建模能力竞赛活动.（1）若将成绩在80分以上的学生定义为“有潜力的学生”，统计得到如下列联表，依据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为该班学生的数学建模能力与性别有关联？没有潜力有潜力合计男生 6 18 24 女生 14 12 26 合计203050（2）现从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人作进一步的调研，记随机变量X 为这3人中男生的人数，求X 的分行列和数学期望.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b a c c d b d χ−==+++++++. α0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 a x2.7063.8416.6357.87910.82816.（15分）在(21)n x −的展开式中，第3项与第10项的二项式系数相等. （1）求12(21)nx x +−的展开式中的常数项；（2）若230123(21)n nn x a a x a x a x a x −=+++++ ，求012323n a a a a na +++++ .17.（15分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x +−=，且当(],1x ∞∈−时，()3(1)f x x =−.（1）求()f x 在R 上的解析式；（2）若()()2ln f x x f x a ++ 恒成立，求实数a 的取值范围.18.（17分）已知甲､乙两位同学参加某知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答的形式进行，共有7道题，抢到并回答正确者得1分，答错则对方得1分，当其中一人得分领先另一人3分或7道题全部答完时比赛结束.甲､乙两人抢到每道题的概率都是12，甲正确回答每道题的概率均为89，乙正确回答每道题的概率均为59，且两人每道题是否回答正确均相互独立.（1）求答完前两道题后两人各得1分的概率；（2）设随机变量X 为比赛结束时两人的答题总个数，求X 的分布列和数学期望. 19.（17分）已知函数()()e 1xf x ax a =+−∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x 恒成立，求a 的值；（3）在（2）的条件下，证明：()ln f x x >.2023—2024学年度第二学期质量检测高二数学试题参考答案及评分标准2024.07一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.D2.B3.C4.C5.D6.A7.D8.A8.提示：设()ln ,0xf x x x=>，易知()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减，因为()()ln2ln4ln34,3243a f b f =====，所以()()()43e f f f <<，即1e a b <<. 因为1ln 1x x− （当且仅当1x =时等号成立）（选择性必修二94页），所以202320241ln1202420232023>−=−，所以2023lnc 2023ln 12024=>−，所以1e c >. 所以1ea b c <<<.故选A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.BD 10.ACD 11.ABD10.提示：设随机变量ξ表示“移动n 次后质点向右移动的次数”，则1,2B n ξ∼，由题意知()n X n ξξ=−−，即2nX n ξ=−. 对于A ：()()52551512C 216P X P ξ =−====，A 正确；对于B ：()()()51252525502E X E E ξξ=−=−=××−=，B 正确；对于C ：()()()61126446622D X D D ξξ=−==×××=，C 错误；对于D ：6626,X X ξ=−的所有可能取值有6,4,2,0,2,4,6−−−，当3i =时，661C 2i 最大，()()603P X P ξ===最大，D 正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.1− 13.13四､解答题：本题共5小题，共77分.15.解：（1）零假设为0H ：该班学生的数学建模能力与性别无关因为2250(6121418)2254.327 6.6352426203052χ×−×==≈<×××，所以，依据小概率值0.01α=的独立性检验，没有充分证据证明推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即该班学生的数学建模能力与性别无关.（2）从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，其中男生有3人女生有2人，则随机变量X 服从超几何分布，X 可能取1,2,3.()123235C C 31C 10P X ===， ()213235C C 632C 105P X ====， ()303235C C 13C 10P X ===. 则X 的分布列为所以()39355E X =×=. 16.解：（1）因为29C C n n =，所以11n =.所以111111112(21)2(21)(21)x x x x x +−=×−+×−所以1112(21)x x +−的展开式中的常数项为 111101112(1)C 2(1)20x x×−+×××−=. （2）因为112311012311(21)x a a x a x a x a x −=+++++ 令0x =得01a =−.因为102101231111(21)22311x a a x a x a x ×−×=++++令1x =得12311231122a a a a ++++=. 所以01232312221n a a a a na +++++=−+= . 17.解：（1）当()1,x ∞∈+时，()2,1x ∞−∈−所以()()3332(21)(1)(1)f x f x x x x =−−=−−−=−−=− 所以当()1,x ∞∈+时，()3(1)f x x =−，又当(],1x ∞∈−时，()3(1)f x x =−，所以()3(1),f x x x =−∈R （2）因为()23(1)0f x x =−′ ，所以()3(1)f x x =−在R 上为增函数.又()()2ln f x x f x a ++ ，所以2ln x x x a ++ ，即2ln x x x a −+ .设()2ln ,0g x x x x x =−+>.则()212112x x g x x x x −++=−+=′ ()()211,0x x x x−+−>，令()0g x ′>得01x <<；令()0g x ′<得1x >.所以()g x 的单调递增区间为(]0,1，单调递减区间为[)1,∞+故()max ()10g x g ==，所以0a ，即实数a 的取值范围为[)0,∞+.18.解：（1）设i A =“第i 道题甲得1分”()1,2,3,4,5,6,7i =，i B =“第i 道题乙得1分”()1,2,3,4,5,6,7i =，C =“答完前两道题后两人各得1分”.则i A 与i B 独立，所以()181********i P A =×+×−= ， ()()211133i i P B P A =−=−=， ()()()()()()()()121212121212P C P A B B A P A B P B A P A P B P B P A =∪=+=+ 2112433339=×+×=. （2）随机变量X 的取值为3,5,7.()332113333P X ==+=()2222223321212125C C 3333339P X ==×××+×××= ()()()12471351399P X P X P X ==−=−==−−=所以随机变量X 的分布列为所以()124473573999E X =×+×+×=. 19.解：（1）()e xf x a ′=+①当0a 时，()()0,f x f x ′>在R 上单调递增.②当0a <时，令()0f x ′>得()ln x a >−；令()0f x ′<得()ln x a <−. 所以()f x 在()(,ln a ∞−−）上单调递减，在()()ln ,a ∞−+上单调递增. 综上，当0a 时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在()(),ln a ∞−−上单调递减，在()()ln ,a ∞−+上单调递增.（2）①当0a 时，()f x 在R 上单调递增，又()00f =，所以当0x <时，()0f x <，所以()0f x 不恒成立.②当0a <时，()f x 在()(,ln a ∞−−）上单调递减，在()()ln ,a ∞−+上单调递增.所以()f x 的最小值为()()()ln ln 1f a a a a −=−+−−. 因为()0f x 恒成立，所以只要()()()ln ln 10f a a a a −=−+−− . 设()()ln 1(0)g a a a a a =−+−−<，则()()()1ln 1ln g a a a =−+−+=−′，所以当1a <−时，()0g a ′>；当10a −<<时，()0g a ′<. 所以()g a 在(),1∞−−上单调递增，在()1,0−上单调递减.所以()()10g a g −=，即()()ln 10g a a a a =−+−− .（当且仅当1a =−时等号成立）所以当且仅当1a =−时，()()()ln ln 10f a a a a −=−+−−=. 所以1a =−.（3）由（2）可知，()e 1xf x x =−−.设()()ln e 1ln (0)x h x f x x x x x =−=−−−>，下面证明()0h x >.所以()()211e 1(0),e 0xx h x x h x x x′=−−>=+′>′，所以()h x ′在()0,∞+上单调递增. 又()11e 20,302h h=−>=−<′′，所以01,12x ∃∈ ，使得()00h x ′=，即01e 1x x =+. 所以当()00,x x ∈时，()()0,h x h x ′<在()00,x 上单调递减；当()0,x x ∞∈+时，()()0,h x h x ′>在()0,x ∞+上单调递增.所以()()00000001e 1ln ln x h x h x x x x x x =−−−=−− .因为01,12x∈ ，所以00010,ln 0x x x −>−>，所以()()00001ln 0h x h x x x x =−−> ，所以()ln f x x >成立.。

河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题(含答案)

南阳市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上并将考生的条形码贴在答题卡指定位置上2、回答选择题时选出每小题答案之后用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3、考试结束之后，将本卷和答题卡一并收回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x ，代替，分布列如下：则（）1234560.210.200.100.10A. 0.35B. 0.45C. 0.55D. 0.652. 若等比数列各项均为正数，且成等差数列，则（）A. 3B. 6C. 9D. 183. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（）A. 异面 B.平行 C. 垂直 D. 相交但不垂直4. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（）A. 120种 B. 180种 C. 240种 D. 300种5. 的展开式中的常数项为（）A. B. 240C. D. 1806. 如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（）A B. C. D. 7. 若双曲线C ：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C 的离心的.(),N y x y ∈()31123P X <<=X i=()P X i =0.5x 0.1y{}n a 5761322a a a ，，10482a a a a ++()1,2,3A ()2,1,6B --()3,2,1C ()4,3,0D AB CD 63112x x ⎛⎫⎛-+ ⎪ ⎝⎝⎭240-180-1e 2e 3e 4e 1243e e e e <<<2134e e e e <<<3412e e e e <<<4312e e e e <<<()222210,0x y a b a b-=>>()2223x y -+=率的取值范围为（）A. B. C. D. 8 设，，，则（）A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（）A. B. C. D.10. 法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（）A. 圆的方程为 B. 四边形面积的最小值为4C. 的最小值为 D. 当点为时，直线的方程为11. 已知函数的定义域为，且是的一个极值点，则下列结论正确的是（）A. 方程的判别式B.C. 若，则在区间上单调递增D. 若且，则是的极小值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列满足．且，若，则________．13. 已知函数在区间上有定义，且在此区间上有极值点，则实数取值范围是__________．14. 某校课外学习社对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中有的学生喜欢网络游戏，女生中有的学生喜欢网络游戏，若有超过的把握但没有的把握认为是否喜欢网络游戏和性别有关，则被调查的学生中男生可能有_____________人.附：，其中.0.050.013.8416.635四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..的∞⎫+⎪⎪⎭()2,+∞()1,2⎛ ⎝ln1.5a =0.5b =ππcos 0.522c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b c <<b a c <<c<a<b c b a<<A BCD -ABD BCD ()2,1,1n =-()1,1,2m = A BD C --π6π32π35π622:13x C y +=M :40l x y --=P MA B M 223x y +=PAMB PA PB ⋅12-P (1,3)-AB 340x y --=()()23023a b cf x a x x x=---≠()0,∞+x c =()f x 20ax bx c ++=Δ0>1ac b +=-a<0()f x (),c +∞0a >1ac >x c =()f x {}n a 1265n n a a n ++=+13a =()1nn n b a =-1232024b b b b ++++= ()24ln 2x f x x =-()1,4a a -+a 453595%99%()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0k15. 已知函数在处有极值36．（1）求实数a ，b 的值；（2）当时，求的单调递增区间．16. 在四棱锥中，底面是边长为6的菱形，，，.（1）证明：平面；（2）若，M 为棱上一点，满足，求点到平面的距离.17. 某商场举行抽奖活动，准备了甲､乙两个箱子，甲箱内有2个黑球､4个白球，乙箱内有4个红球､6个黄球.每位顾客可参与一次抽奖，先从甲箱中摸出一个球，如果是黑球，就可以到乙箱中一次性地摸出两个球；如果是白球，就只能到乙箱中摸出一个球.摸出一个红球可获得90元奖金，摸出两个红球可获得180元奖金.（1）求某顾客摸出红球的概率；（2）设某家庭四人均参与了抽奖，他们获得的奖金总数为元，求随机变量的数学期望.18. 已知椭圆经过点和．（1）求的方程；（2）若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标．19. 对于项数为有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的；（2）设是的控制数列，满足（为常数，）.证明：.（3）考虑正整数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由.的()322f x x ax bx a =+++3x =-0b >()f x P ABCD -ABCD 60ABC ∠=︒PB PD =PA AC ⊥BD ⊥PAC 3PA =PC 23CM CP =A MBD Y Y ()E Y 2222:1(0)x y E a b a b +=>>P ⎛ ⎝()2,0A -E ,M N A E 0AM AN ⋅=MN m {}n a n b ()12,,,1,2,,n a a a n m ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}n b {}n a {}n a {}n a {}n b {}n a 1n m n a b C -++=C 1,2,,n m =⋅⋅⋅()1,2,,n n b a n m ==⋅⋅⋅1,2,,m ⋅⋅⋅{}n c {}n c {}n c参考答案1. B2. C.3. B4. C5. C6. A ．7. B ．8. A9. BC 10. BD 11. ABD 12. 202413. 14. 45，或50，或55，或60，或6515. （1）或（2），16. （1）证明：在四棱锥中，连接交于，连接，如图，因为底面是菱形，则，又是的中点，，则，而平面，所以平面.（217. （1）（2）192（元）.18. （1）（2）（方法一）由题意可知均有斜率且不为0，设直线的方程为，联立方程组消去得，可得，解得，所以点的坐标为．[)1,339a b =⎧⎨=-⎩69a b =⎧⎨=⎩(),3-∞-()1,-+∞P ABCD -BD AC O PO ABCD BD AC ⊥O BD PB PD =BD PO ⊥,,AC PO O AC PO =⊂ PAC BD ⊥PAC 22452214x y +=,AM AN AM ()2y k x =+()222,1,4y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y ()222214161640k x k x k +++-=22164214M k x k--=+()222284,21414M M M k kx y k x k k -==+=++M 222284,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为，所以直线的斜率为，同理可得点．当时，有，解得，直线的方程为．当时，直线的斜率，则直线的方程为，即，即，直线过定点．又当时，直线也过点．综上，直线过定点．（方法二）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，联立方程组消去得，，即．设，则，．因为，所以，即，，，化简得，解得或，所以直线的方程为或（过点A ,不合题意，舍去），所以直线过定点．0AM AN ⋅= AN 1k -222284,44k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭M N x x =22222828144k k k k --=++21k =MN 65x =-M N x x ≠MN ()()22222422442011442828161144M N MN M N k k k k y y k k k k k x x k k k ++-++====-----++()2541k k -MN ()N MN N y y k x x -=-()()()2222222252845528444414141k k k k k k y x x k k k k k k⎛⎫--=--=-⋅- ⎪+++---⎝⎭()2245441k k x k k =-+-()()()22225624565415441k k k x k k k --⎛⎫⋅=+ ⎪-+-⎝⎭()256541k y x k ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭M N x x =65x =-6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN x MN y kx m =+22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222148440k x kmx m +++-=()()()222222Δ644144416140k m k m m k =-+-=--->2214m k <+()()1122,,,M x y N x y 2121222844,1414km m x x x x k k--+==++()22121212y y k x x km x x m =+++0AM AN ⋅=()()1212220x x y y +++=()()()2212121240kx x km x x m++++++=()()2222244812401414m km k km m k k --⎛⎫+++++= ⎪++⎝⎭()()()()()2222144824140k mkm km m k +--++++=22516120m km k -+=65m k =2m k =MN 65y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()2y k x =+MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭当直线垂直于轴时，设它的方程为，因为，所以．又，解得或（过点A ,不合题意，舍去），所以此时直线的方程为，也过点．综上，直线过定点．19.（1）由题意，，，，，所以数列有六种可能：；；；；；．（2）证明：因为，，所以，所以控制数列是不减的数列，是的控制数列，满足，是常数，所以，即数列也是不减的数列，，那么若时都有，则，若，则，若，则，又，由数学归纳法思想可得对，都有；（3）因为控制数列为等差数列，故.设的控制数列是，由（2）知是不减的数列，必有一项等于，当是数列中间某项时，不可能是等差数列，所以或，若，则（），是等差数列，此时只要，是的任意排列均可．共个，，而时，数列中必有，否则不可能是等差数列，由此有，即就是，只有一种排列，综上，个数是．的MN x 1x x =0AM AN ⋅= ()221120x y +-=221114x y +=165x =-12x =-MN 65x =-6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭12a =23a =34a =46a =56a ≤{}n a 2,3,4,6,12,3,4,6,22,3,4,6,32,3,4,6,42,3,4,6,52,3,4,6,612max{,,,}n n b a a a = 1121max{,,,,}n n n b a a a a ++= 1n n b b +≥{}n b {}n b {}n a 1n m n a b C -++=C 1n n a a +≥{}n a 123m a a a a ≤≤≤≤ n k ≤n n b a =1121max{,,,,}k k k b a a a a ++= 1k k a a +>11k k b a ++=11k k a b ++=11k k k k b b a a ++===11b a =1,2,,n m = n n b a =3m ≥{}n c {}n b {}n b {}n b m m {}n b {}n b 1b m =m b m =1b m =n b m =1,2,,n m = {}n b 1c m =23,,,m c c c 1,2,3,,1m - (1)!m -m b m =1b m ≠{}n b n b n =n c n ={}n c 1,2,3,,m {}n c (1)!1m -+。